北航数学建模——拟合模型
数学建模插值及拟合详解Word版
数学建模插值及拟合详解Word版插值和拟合实验⽬的：了解数值分析建模的⽅法，掌握⽤Matlab进⾏曲线拟合的⽅法，理解⽤插值法建模的思想，运⽤Matlab⼀些命令及编程实现插值建模。
实验要求：理解曲线拟合和插值⽅法的思想，熟悉Matlab相关的命令，完成相应的练习，并将操作过程、程序及结果记录下来。
实验内容：⼀、插值1．插值的基本思想·已知有n +1个节点（xj,yj），j = 0,1,…, n，其中xj互不相同，节点(xj, yj)可看成由某个函数 y= f（x）产⽣；·构造⼀个相对简单的函数 y=P(x)；·使P通过全部节点，即 P (xk) = yk，k=0,1,…, n ；·⽤P (x)作为函数f ( x )的近似。
2．⽤MATLAB作⼀维插值计算yi=interp1(x，y，xi，'method')注：yi—xi处的插值结果；x，y—插值节点；xi—被插值点；method—插值⽅法（‘nearest’：最邻近插值；‘linear’：线性插值；‘spline’：三次样条插值；‘cubic’：⽴⽅插值；缺省时：线性插值）。
注意：所有的插值⽅法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。
练习1：机床加⼯问题x035791112131415y0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6⽤程控铣床加⼯机翼断⾯的下轮廓线时每⼀⼑只能沿x⽅向和y⽅向⾛⾮常⼩的⼀步。
表3-1给出了下轮廓线上的部分数据但⼯艺要求铣床沿x⽅向每次只能移动0.1单位.这时需求出当x坐标每改变0.1单位时的y坐标。
试完成加⼯所需的数据，画出曲线.步骤1：⽤x0，y0两向量表⽰插值节点；步骤2：被插值点x=0:0.1:15; y=y=interp1(x0,y0,x,'spline');步骤3：plot(x0,y0,'k+',x,y,'r')grid on答：x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ];y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ];x=0:0.1:15;y=interp1(x0,y0,x,'spline');plot(x0,y0,'k+',x,y,'r')grid on0510150.511.522.53．⽤MATLAB 作⽹格节点数据的插值(⼆维) z=inte rp2(x0,y0,z0,x,y,’method’) 注：z —被插点值的函数值；x0，y0，z0—插值节点；x ，y —被插值点；method —插值⽅法（‘nearest’ ：最邻近插值；‘linear’ ：双线性插值； ‘cubic’ ：双三次插值；缺省时：双线性插值）。
数学建模-拟合模型剖析
二. 经验模型与最小二乘法
▪ 1. 经验模型及其组建 ▪ 在简单模型中选择拟合效果好者。 ▪ 例 人口预测 ▪ 1949年—1994年我国人口数据资料如下： 年份 xi 49 54 59 64 69 74 79 84 89 94 人数 yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.1 11.8
设数据满足 最小二乘法
算得 模型
ln yi ln a bxi i
n
n
Q
2 i
(ln yi ln a bxi )2
i 1
i 1
aˆ 2.33 bˆ 0.0177
y 2.33e0.0177x
拟合精度 Q 2 0.7437
结论
▪ 1. Q1 = 0.2915 < 0.7437 = Q2. ▪ 线性模型更适合中国人口的增长。
▪ 30. 经验模型和插值模型 ▪ 经验模型：主要是探讨变量间的内在规律， ▪ 容许出现一定的误差。 ▪ 在简单的数学表达式中选择拟合效果好的 ▪ 插值模型：以数据拟合的效果为主。 ▪ 要求精确地拟合观测数据， ▪ 即在观测点之间插入适当的数值。
▪ 4. 其他利用数据组建的模型
▪ 判别模型, ▪ 主成分模型, ▪ 分类模型, ▪ 因子模型 ▪ 趋势面模型, ▪ 时间序列模型等。
建模分析我国人口增长的规律, 预报99年我国人口数
1. 在坐标系上作观测数据的散点图。 2. 根据散点分布的几何特征提出模型 3. 利用数据估计模型的参数 4. 计算拟合效果
▪ 假设：人口随时间线性地增加
▪ 模型：y = a + b x
▪ 参数估计
▪ 观测值的模型：
▪
yi = a + b xi + εi ，i = 1,…,n
数学建模第四讲(下)：拟合模型
切比雪夫（Chebyshev）多项式
切比雪夫多项式
在 [-1, 1] 上带权 (x)= 1 的正交多项式称为 切比雪夫多项式
1 x2
记号：T0 , T1 , T2 , ...
Tn ( x) cos(n arccos x), x 1,
若令x cos ,则Tn ( x) cos n , 0 .
n
( x, y) i xi yi 1 x1 y1 2 x2 y2 n xn yn i 1
正实数 1, 2, , n 称为加权系数
内积
例：Cn 上的内积：
n
( x, y) xi yi x1 y1 x2 y2 xn yn
i 1
加权内积 n
( x, y) i xi yi 1 x1 y1 2 x2 y2 n xn yn
式 记号：P0 , P1 , P2 , ...
P0 ( x) 1,
Pn (
x)
1 2n n!
dn dx n
( x2
1)n
x [-1, 1]，n = 1, 2, …
l
Pn (x) 的首项
xn
的系数为：2 n( 2 n
1) ห้องสมุดไป่ตู้n 2n n!
1)
(2n)! 2n ( n !)2
l
令
Pn( x)
n! (2n)!
函数逼近
最佳一致逼近
f
(x)
P
*(x)
min
PH n
f (x) P(x)
最佳平方逼近
f ( x) P * ( x) min f ( x) P( x)
2 PHn
2
正交多项式
定义 设 n(x) 是首项系数不为 0 的 n 次多项式，
数学建模课件--最小二乘法拟合
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------1 / 11数学建模课件--最小二乘法拟合4. 最小二乘法线性拟合 我们知道， 用作图法求出直线的斜率a 和截据b ， 可以确定这条直线所对应的经验公式， 但用作图法拟合直线时， 由于作图连线有较大的随意性， 尤其在测量数据比较分散时， 对同一组测量数据， 不同的人去处理， 所得结果有差异， 因此是一种粗略的数据处理方法， 求出的 a 和 b 误差较大。
用最小二乘法拟合直线处理数据时, 任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误， 得到的斜率 a 和截据 b 是唯一的。
最小二乘法就是将一组符合 Y=a+bX 关系的测量数据， 用计算的方法求出最佳的 a 和 b 。
显然， 关键是如何求出最佳的 a 和b 。
(1) 求回归直线 设直线方程的表达式为：(2-6-1) 要根据测量数据求出最佳的 a 和 b 。
对满足线性关系的一组等精度测量数据（xi ， yi ），假定自变量xi 的误差可以忽略， 则在同一 xi 下， 测量点 yi 和直线上的点a+bxi 的偏差 di 如下：显然最好测量点都在直线上（即 d1=d2==dn=0）， 求出的 a 和 b 是最理想的， 但测量点不可能都在直线上， 这样只有考虑 d1、 d2、 、dn 为最小， 也就是考虑 d1+d2++dn 为最小， 但因 d1、 d2、 、 dn有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而| d1| + | d2| ++ | dn| 又不好解方程，因而不可行。
现在采取一种等效方法：当 d1对 a 和 b 为最小时， d1、 d2、、 dn也为最小。
取（d12+d22++dn22+d22++dn2）为最小值，求 a和 b 的方法叫最小二乘法。
07第7讲 拟合模型
, m) ，得到关于
r ( x )[ a r ( x ) y ] 0,
i 1 j i k 1 k k i i
n
n
( j 1,
, m) ，
即
ak [ rj ( xi )rk ( xi )] rj ( xi )yi , ( j 1,
k 1 k 1 i 1
n
n
J (a1 , , am ) i2 [ f (xi ) yi ]2
i 1 i 1 n n
（2）
最小，称为最小二乘准则。 7.1.1 系数 ak 的确定 为求 a1 , , am 使 J 达到最小，只需利用极值的必要条件
a1 , , am 的线性方程组
J 0 (k 1, ak
a1 x2 a2 xy a3 y 2 a4 x a5 y 1 0 .
请根据观测数据建立行星运行轨道的方程，并画出轨道曲线。
表 7.3 小行星观察数据的坐标
x 坐标
y 坐标
1 5.764 0.648
2 6.286 1.202
3 6.759 1.823
4 7.168 2.526
5 7.408 3.360
解上述线性方程组，得 a1 0.0508 ， a2 0.0702 ， a3 0.0381 ， a4 0.4531 ， a5 0.2643 ，
3
即小行星轨道的椭圆方程为
0.0508x2 0.0702 xy 0.0381y 2 0.4531x 0.2643 y 1 0 .
2 (ati b yi )ti 0,
7
化简，得到正规方程组
解之，得 a, b 的估计值分别为
ˆ a
数学建模 - 模型拟合
韩建伟 ( 浙江工商大学信息学院 hanjianwei@ ) 第 3 章模型拟合
2011/10/08
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变换后的数据
x ln y 1 2.1 2 3.1 3 4.1 4 5.1
Table: 变换后的数据: y = Cex ⇒ ln y = ln C + x
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韩建伟 ( 浙江工商大学信息学院 hanjianwei@ ) 第 3 章模型拟合
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用图形为数据拟合模型
如何确定模型的参数？收集数据！ 采集多少个数据点？观察它们的费用和模型所要求的精度间进行平 衡. 数据点的跨度. 自适应的数据采集密度. 将数据点看做是一个置信区间而不是一个单独的点.
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作业
P91: 7
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韩建伟 ( 浙江工商大学信息学院 hanjianwei@ ) 第 3 章模型拟合
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m ∑ i=1
yi
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韩建伟 ( 浙江工商大学信息学院 hanjianwei@ ) 第 3 章模型拟合
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应用最小二乘准则拟合直线
∑ ∑ ∑ m xi yi − xi yi ∑ 2 ∑ a= ⇒ 斜率 m xi − ( xi )2 ∑ ∑ ∑ ∑ m x2 yi − xi yi xi i∑ ∑ b= ⇒ 截距 m x2 − ( xi )2 i 拟合幂曲线 经变换的最小二乘拟合 方法与直线拟合类似
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拟合模型
a = ( R T R ) 1 R T y
(5 )
线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中 中 函数{r 函数{r1(x), …rm(x)}的选取 r (x)}的选取 怎样选择{r 有唯一解? 怎样选择 1(x), …rm(x)},以保证系数 1,…am}有唯一解? ,以保证系数{a 提示 {a1,…am}有唯一解 ← RTR可逆 ←Rank(RTR)=m 可逆 列满秩 列向量组{r ← Rank(R)=m ← R列满秩 ← 列向量组 1(x), …rm(x)} r ( x ) L r ( x ) 线性无关
线性最小二乘法的求解- 线性最小二乘法的求解-超矩阵解法
m n ∑ r1 ( x i )[ ∑ a k r k ( x i ) y i ] = 0 J k =1 i=1 = 0 L L ak n m ( k = 1, L m ) r ( x i )[ ∑ a k r k ( x i ) y i ] = 0 ∑1 m k =1 i=
2. 数据资料建模方法的含义
从数据资料中挖掘事物 的内部特征
利用数据资料寻找事物 内部各因素间的相互联 系
3. 数据资料建模必要准备
收集有用的数据资料
从数据资料中剥离有用数据
对非数据性指标作量化 处理
学习相适应的数据处理 方法
掌握相应的计算软件使 用方法
拟合模型原理
如果想确定具有因果关系的变量之间的确定因 果关系,可通过先测量一组数据, 果关系,可通过先测量一组数据,再通过数学 方法得到具体的函数表达式模型, 方法得到具体的函数表达式模型,利用该模型 可进行解释所研究的问题,可进行预测. 可进行解释所研究的问题,可进行预测.这个 过程就称为拟合过程, 过程就称为拟合过程,得到的模型称为拟合模 对插值法感兴趣的 同学可以查 与拟合模型相关的是插值模型, 型.与拟合模型相关的是插值模型,在此就不 李岳生编著上 阅相关书籍, 阅相关书籍,例如由 李岳生编著上 介绍了. 介绍了.
拟合模型2
最小二乘法——一元线性回归 求参数 a 和 b，使得误差平方和最小
Q ( yi a bxi )
i 1 2 i i 1 n n 2
Q Q 0, 0 a b
1 n 1 n x xi , y yi n i 1 n i 1
( xi )a ( xi2 )b xi yi
从频数直方图看接近正态分布 运用正态概率纸检验，近似正态分布 运用假设检验，确定符合正态分布
Matlab程序
x=[16 20 18 13 14 19 19 18 8 17 24 21 28 13 16 28 18 33 24 18 17 24 13 11 21 28 28 18 22 28 20 11 19 15 10 12 22 21 27 33]; g=[7.5 9.5 11.5 13.5 15.5 17.5 19.5 21.5 23.5 25.5 27.5 29.5 33.5]; f=histc(x,g); %计算频数 h=f/length(x); %计算频率 bar(g,f,'histc') %画频数直方图 h=lillietest(x) %用Lilliefore检验,当h=0时，确定 x服从正态分布。 h=normplot(x) %正态概率纸检验
为了更好反映总体的分布特征，对观测样本数据 分组。 将样本所在的区间[7.5 33.5]分割成k个小区间， 使得每个小区间都有观测值，并且观测值不落在 分点上。 每个小区间上的样本值构成一组。 通常对总数为n=40的样本分为k ≈ 1+lnn/ln2=6 组。 例如，可取分割端点7.5 9.5 11.5 13.5 15.5 17.5 19.5 21.5 23.5 25.5 27.5 29.5 33.5， 得到频数1 3 4 2 4 8 5 2 3 1 5 2
北航数学建模——数学模型12
我们称这个极限值为模型值 t 随参数 r 变化 的灵敏度，记为 S(t,r)。
由于售猪时间与增重量的关系为 t = (7.5g–13.1)/(0.12 g)。 故可以算出在 g = 2 附近，t 关于 g 的灵敏度为
dt g S (t , g ) dg t
g 2
13.1 2 6.89 0.12 4 7.92
教室门口的时间。
5.人体厚度相同w
继续讨论
1. T=(nd+L)/v, v增, 则T减; d增, 则 T增. 2. 多行行进 3.令d=0, 则有T=L/v, 疏散时间与人数无关! 假设中忽略了人体的厚度!! 4.考虑厚度的影响 T=(n(d+w)+L)/v, 若v*为可能最快的速度 v=v*, d=0, 则 T* = (nw+L)/v* 最短 合理吗？
继续修改假设
1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时, 单行、有序、间隔 均匀、匀速地撤出。 3.忽略列队的时间和第一个人到达 教室门口的时间。 4. 人体厚度相同 5. 行进速度与队列的密度有关 v=v(d)
模型
T=[n(d+w)+L]/v(d), 其中 v=v(d)应满足 d 增, 则v 增; 若d→∞,则 v=v*. 若d=0, 则 v=0. 这时存在唯一的间隔 d* 和相应的 速度 v*, 使得疏散的时间最短？
245
240
235
0
5
10
15
可以看出， 当猪的增重量g＜2，售价的减少量r＞0.06时 生猪的最优出售时间均处于8天之前， 其最优的净收益值均低于参数组（2，0.06）时 的净收益257.52元。 但是差别很小，不超过2元。
数学建模-拟合模型
y 2.33e
2
Q 0.7437
结论
1. Q1 = 0.2915 < 0.7437 = Q2. 线性模型更适合中国人口的增长。 2. 预报：1999年12.55亿，13.43亿 3. 人口白皮书： 2005年13.3亿， 2010年14亿 模型 I 2005年13.43亿，2010年14.16亿 模型II 14.94亿， 16.33亿
2 1i
l11b1 l12b2 l1y l21b1 l22b2 i x2i )b 2i ˆ2 x2i yi 1
模型：y = a+b1x1+b2x2， 数据：yi a b1x1i b2 x2i i y Ab , A (1, X ) T T 精度：Q ( y Ab ) ( y Ab )
1 n 1 n x xi , y yi n i 1 n i 1
l xy ( xi x )( yi y ) l xx ( xi x ) 2
i 1
n
参数估计
可以算出：a = – 1.93， b = 0.146 模型：y = – 1.93 + 0.146 x
2. 线性最小二乘法
模型：y = a， 数据： yi a i , i 1,, n 精度：Q
2 i
( yi a)2
2 2 ( y 2 y a a i i )
yi2 2( yi )a na2
1 估计： a ˆ yi y n
2 2
U b l xx U Q r 1 l yy l yy l xxl yy Q U l yy
数学建模方法 拟合共50页文档
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
北航数学建模——机理模型1
模型 I
a0(n) = a1(n-1) a1(n) = a0(n-1) + a1(n-1) a0(1)=1 a1(n) = 0 1. 模拟. a0(1)=1, a1(1)=0 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a0(n) 1 0 1 1 2 3 5 8 13 a1(n) 0 1 1 2 3 5 8 13 21 a (n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34
108 0.003675 1.003675 20 108 1.003675 1
0.15208
k月后的欠款余额
Ck (1 r)k (C0 C* ) C* x x k (1 r ) ( A ) r k r (1 r ) 1 k (1 r ) A x r
§3.3
平衡原理 与机理模型
§3.3 平衡原理与机理模型
一.
平衡原理 自然界任何物质在其运动变化过程中 一定受到某种平衡关系的支配。 二. 机理模型 在一定的假设下， 根据主要因素相互作用的机理， 对它们之间的平衡关系的数学描述
关于假设
是对实际问题的抽象、化简和规范 是组建数学模型的基础和前提。 假设较强，模型简单易分析和操作 但与实际差距大。 假设较弱，模型比较接近实际。 但模型复杂不易操作。
例2. 录音机的运行 建模分析磁带录音机的运行规律(计数器的 读数与运行时间的关系)。 数据：I. 读数与时间 t 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30 31 n 9 18 28 37 47 97 151 211 280 362 382 385 数据：II. 读数与转数 k 2 4 10 14 18 22 26 31 35 41 60 ｎ 1 2 5 7 9 11 13 15 17 20 29
数学建模实验拟合
数学建模实验拟合
曲线拟合
在美国的二手车价格在一年的调查数据显示在下表，其中席代表汽车服务年限，
yi表示相应的平均价格。
试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并计算使用4.5年后轿车的平均价格大致为多少？
xiyi123456538748290922610204042615194314941087765（1）绘制粗曲线操作程序
x1=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];
y1=[2615194314941087765538484290226204]；绘制（x1，Y1，'o'）运行结果
假设曲线方程y=a*e?kx方程两边取对数lny=lna-kx
让t=LNY，M=-K，n=LNA，拟合曲线t=n+MX执行以下程序来拟合并获得参数
X1=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]；
y1=[2615,1943,1494,1087,765,538,484,290,226,204];t=log(y1);aa=polyfit(x1,t,1)运行结果aa=
-0.29698.1591是Y1=e^（-0.2969*x+8.1591）。
运行程序以获得精确的曲线
X1=[1:0.001:10]；
y1=exp(-0.2969*x1+8.1591);plot(x1,y1,'r')
按运营方案计算的4.5年后的平均汽车价格X1=4.5；
y1=exp(-0.2969*x1+8.1591)运行结果y1=
九百一十八点七八三零。
拟合模型3
9. 有时拟合模型比轮廓模型更精确
例如对人体体重与身高关系的讨论 轮廓模型：W=12.1L3 拟合模型：W=15.9L2.46
轮廓模型 ：W=rL3
模型 I：
r W / L 3 , W 1 / 8 Wi , L 1 / 8 Li
i 1 i 1
8
8
模型II：
r 1/8 Wi / L3
例 2. 赛跑距离和赛跑成绩 表列数据为1977年以前六个不同距离的中短 距离赛跑成绩的世界纪录. 试用这些数据建模分析赛跑的成绩与赛跑距 离的关系。 距离 x(m) 100 200 400 800 1000 1500 时间 t (s) 9.95 19.72 43.86 102.4 133.9 212.1
预报与置信区间
8. 统计检验回归模型
用拟合模型不能只计算拟合参数，应该作统计检 验，根据显著性分析确定模型的可靠性和预测的 有效性。
[d,bint,r,rint,stats]=regress(y‘,A)
%d拟合系数、bint系数的置信区间、r残差、rint 残差的95%置信区间、stats(R统计量、F值、P概 率、剩余方差).
>>fun=inline('a(1).*x.^(a(2))','a','x');
>>a0=[exp(r1(1)) r1(2)]; >>a=nlinfit(L,W,fun,a0);%利用线性化 模型的拟合参数作为非线性拟合参 数的初值。 a=15.4563 2.5343 >>ww3=fun(a,L); >>plot(L,ww2,L,ww3,’r’) >>Q=sum((W-ww2).^2)
求解拟合回归模型(数学建模 数学模型实验).
《数学建模》实验报告Xx大学数学建模课程组2011年5月第二题：根据数据，用matlab 求出数据，得出方程。
四、模型假设与变量符合说明：第一题：经理的年平均收入1x 千元，风险偏好度2x 和人寿保险额y 千元，用x1和x2来建立y 的预测模型。
第二题：根据生产函数理论，生产函数的基本形式为：()ε,,,K L t f Y =。
其中，L 、K 分别为生产过程中投入的劳动与资金，时间变量t 反映技术进步的影响。
五、模型建立与求解(算法,程序): 第一题：将表中数据导入MATLABy = A_pastespecial(:,1); %% y 人寿保险额(千元) x1 = A_pastespecial(:,2); %% x1 经理的年平均收入 x2 = A_pastespecial(:,3);%% x2 风险偏好度并将数据导入到变量Y ，X1，X2中， 输入程序： plot(x1,y,'o')20304050607080050100150200250300X1与Y 的散点图[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X)第二题：把数据导入MATLAB：X1 = A_pastespecial(:,1); %%T Y = A_pastespecial(:,2);X2= A_pastespecial(:,3); %%L X3= A_pastespecial(:,4); %%Kplot(T,Y,'o')02468101214161830004000500060007000800090001000011000T 和Y 的散点图 plot(L,Y,'o')Matlab中输入：x1=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17];x2=[3139,3208,3334,3488,3582,3632,3669,3815,3955,4086,4229,4273,4364,4472,4521,4498,4545]; x3=[2225.70,2376.34,2522.81,2700.90,2902.19,3141.76,3350.95,3835.79,4302.25,4786.05,5251.90,5808.71,6365.79,7071.35,7757.25,8628.77,9374.34];y=[3289.18,3581.26,3782.17,3877.86,4151.25,4541.05,4946.11,5586.14,5931.36,6601.60,7434.06,7721.01,7949.55,8634.80,9705.52,10261.65,10928.66]';X=[ones(17,1) x1' x2' x3' (x1.^2)' (x2.^2)' ];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X)得到各项系数为：a0=21221,a1=408,a2=-11,a3=1,a4=-30,a5=0可知工业企业生产函数为：Y=21221+408*T-11*K+L-30*T^2。
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0 -.43 -.06 .20 .18
-.06 .01
-.02
Q1=∑ε2 = 0.2941
模型二：y = a + b x + cx2
y = - 1.0387+0.1203x+0.0002x2
Q2=0.2832
12
11
10
9
8
7
6
Q2=0.2832
50 60 70 80 90 100
5 40
n
i
i
n
n
估计：ˆ y bx ˆ a
ˆ b ( xi x )( yi y)
(x x)
i
2
lxy lxx
模型：y = b1x1+b2x2，
T 精度： Q ( y Xb ) ( y Xb ) T
数据： yi b1x1i b2 x2i i
2 l xy
Q 0 r 1
2
Q l yy r 0
Q r 2
4. 可化简的非线性最小二乘法
10. y=a+b1f1(x)+b2 f2(x)+…+bn fn(x) 令 ui= fi(x), 则有 y=a+b1u1+…+bnun. 20. y=a ebx . 令 z=ln y, 则有 z = ln a + b x = a* + b x . 30. y = a xb . 令 z = ln y, u = ln x, 则有 z = ln y = lnａ＋b ln x = a*+ b u
9
9
8 8 7 7 6 5
4 6 5
4
3
3
2
2 1 1 00 0 0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
`
数据：yi a bxi i , i 1,, n Байду номын сангаас型：y = a + bx，
Q i2 ( yi a bxi )2 精度：
§3.2 拟合模型
与 最小二乘法
一. 数据资料与数学模型
1. 数据资料 数据资料 是在实际问题中收集到的观测数值。
数据携带有实际问题大量的信息， 是组建数学模型的重要依据。
数据获取 年鉴报表、学术刊物、网络资源、实验观测等等 数据误差 观测数据中一般都包含有误差。
正确对待和处理这 些误差是数学建模中不可回避的问题. 系统误差：偏差，来自于系统，有规律，可避免。 随机误差：无偏，来自随机因素，无规律，不可免
模型：
yi bi b i xi
yi bxi xii
xi2bi xi2 xi2 b 2 i xi
ˆ b
xi yi x
2 i
x=[1,2,3]; y=[2.3, 4, 6.2] y/x=[2.3, 2 ,2.1]; b1=2.133 x×y=[2.3, 8, 18.6]; x2=[1, 4, 9] b2=28.9/14=2.064 x 1 2 3 y 2.3 4 6.2 b1x 2.133 4.266 6.399 1i 0.167 -0.266 -0.199 b2x 2.064 4.128 6.192 2i 0.236 -0.128 0.008
y 数据： i bxi i , i 1,, n 模型：y = bx，
Q i2 ( yi bxi )2 yi2 2b xi yi b2 xi2 精度：
i i i i i
ˆ 估计：b xi yi
xi2 lxy lxx
ˆ 1 yi 1 b 讨论：b1 i n i xi n
Q ( yi a bxi )
i 1 2 i i 1 n n 2
na ( xi )b yi ( xi )a ( xi2 )b xi yi
a y bx
b lxy lxx
1 n 1 n x xi , y yi n i 1 n i 1
30. 经验模型和插值模型 经验模型：主要是探讨变量间的内在规律， 容许出现一定的误差。 在简单的数学表达式中选择拟合效果好的 插值模型：以数据拟合的效果为主。 要求精确地拟合观测数据， 即在观测点之间插入适当的数值。
4. 其他利用数据组建的模型
T T T T y y 2 y Ab b A Ab
Q T T 2 A y 2 A Ab 0 b
T A Ab A y
T
估计：
a y b1 x1 b2 x2
l21b1 l22b2 l2 y
l22 ( x2i x2 )
年份 xi 49 54 59 64 69 74 79 84 89 94 人数 yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 模型 yi 5.24 5.97 6.7 7.43 8.16 8.90 9.62 10.36 11.09 11.82
误差 i .16 .03
i i i
ˆ U ( yi y) (a bxi y) (bxi bx)2 b2lxx
2 2
2 T Q ( yi yi )
2 2
U b l xx U Q r 1 l yy l yy l xxl yy Q U l yy
0.0177 x
y 2.33e
2
Q 0.7437
结论
1. Q1 = 0.2915 < 0.7437 = Q2. 线性模型更适合中国人口的增长。 2. 预报：1999年12.55亿，13.43亿 3. 人口白皮书： 2005年13.3亿， 2010年14亿 模型 I 2005年13.43亿，2010年14.16亿 模型II 14.94亿， 16.33亿
l xy ( xi x )( yi y ) l xx ( xi x ) 2
i 1
n
参数估计
可以算出：a = – 1.93， b = 0.146 模型：y = – 1.93 + 0.146 x
拟合效果
ˆ ˆ ˆ yi a bxi i yi yi
y Xb
Q T T T 2 y Xb b X Xb b b b
T
T T T T y y 2 y Xb b X Xb
2 X y 2 X T Xb 0 T T T 1 T X Xb X y b ( X X ) X y
判别模型, 主成分模型, 分类模型, 因子模型 趋势面模型, 时间序列模型等。
二. 经验模型与最小二乘法
1. 经验模型及其组建 在简单模型中选择拟合效果好者。 例 人口预测 1949年—1994年我国人口数据资料如下： 年份 xi 49 54 59 64 69 74 79 84 89 94 人数 yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.1 11.8 建模分析我国人口增长的规律, 预报99年我国人口数 1. 在坐标系上作观测数据的散点图。 2. 根据散点分布的几何特征提出模型 3. 利用数据估计模型的参数 4. 计算拟合效果
ˆ ˆ ( x12i )b1 ( x1i x2i )b2 x1i yi
2 ˆ ˆ ( x1i x2i )b1 ( x2i )b2 x2i yi
l11b1 l12b2 l1y l21b1 l22b2 l2 y
模型：y = a+b1x1+b2x2， 数据：yi a b1x1i b2 x2i i y Ab , A (1, X ) T T 精度：Q ( y Ab ) ( y Ab )
2
l11b1 l12b2 l1y
l11 ( x1i x1 )
2
l12 l21 ( x1i x1 )(x2i x2 ) lky ( xki xk )( yi y)
3. 直线拟合的效果（相关系数）
ˆ yi a bxi
ˆ ˆ l yy ( yi y)2 ( yi yi )2 ( yi y)2 Q U
2. 线性最小二乘法
模型：y = a， 数据： yi a i , i 1,, n 精度：Q
2 i
( yi a)2
( yi2 2 yi a a2 )
yi2 2( yi )a na2
估计： a 1 yi y ˆ
n
讨论
xi 49 54 59 64 69 74 79 84 89 94 yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.0 11.8 yi 5.24 5.97 6.70 7.43 8.16 8.90 9.62 10.36 11.09 11.82 0.16 0.03 0.00 -0.43 -0.06 0.20 0.18 -0.06 0.01 -0.02 yi 5.55 6.06 6.62 7.23 7.90 8.64 9.44 10.31 11.26 12.31 -0.15 –.06 0.08 –0.23 0.20 0.46 0.36 –.01 –0.13 –0.51
假设：人口随时间线性地增加 模型：y = a + b x 参数估计 观测值的模型： yi = a + b xi + εi ，i = 1,…,n 拟合的精度: Q = i 2 = (yi - a – b xi)2, 误差平方和