材料力学课件：弯曲内力

例：试建立图示简支梁的剪
力、弯矩方程，画剪力、弯 A
B
矩图。
l
解：1、求支反力，由梁的平衡：
FAy=FBy=ql/2 2、建立坐标轴Ox轴
o FAy
q
x
FBy
M
3、在截面x处截取左段为研 FAy 究对象，根据平衡条件：
x
FS
FS=FAy-qx=q(l-2x)/2 M=FAyx-(qx2/2) =qx(l-x)/2
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例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图
A
FS
FS:
M
M:
q
qa2
B
C
a
a
x
_
qa qa2/2 +
_
qa2/2
x
_x qa2/2
可以不求支反力 建立坐标 建立剪力弯矩方程：
FS=-qx (0 x a) M=-qx2/2 (0 x < a)
FS=-qa M=qa2-qa(x-a/2)
(a x < 2a) (a < x < 2a)
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剪力与弯矩一般与坐标x有关
剪力方程： FS=FS (x) 弯矩方程： M=M(x) 剪力图：剪力沿梁轴的变化曲线 弯矩图：弯矩沿梁轴的变化曲线
剪力图与弯矩图是解决梁弯曲问题的基础， 也是材料力学课程最重要的内容。(考试主体)
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§5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
•剪力、弯矩方程：剪力、 弯矩沿梁轴（x轴）变化的 解析表达式。
0< x<l 0 xl
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FS=q(l-2x)/2 M= qx(l-x)/2
0< x<l 0 xl
4、根据剪力、弯矩方程画 剪力、弯矩图
注意事项： •载荷、剪力、弯矩图对齐 •标注段值、极值、正负号 •按工程图要求，请用工具 作图 •间断点的含义
A
o FAy
FS
FS: ql/2
+
M
M:
q
B
l
பைடு நூலகம்
x
FBy
$ 在集中力偶作用处(包括支 座) 弯矩有突变
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总结：
分析步骤：求支反力
建立坐标
画剪力弯矩图
建立剪力弯矩方程
当需要分段列剪力弯矩方程时（集中力，集中力偶，分布载 荷不作用在整个梁段），可以采用整体坐标或局部坐标。
剪力弯矩图中要标明符号以及特征点的大小。 剪力图在有集中力作用处（包括支座处），发生突变。
7
FRy
FRy
可动铰支座：
固定铰支座： 固定端：
FRy FR
x
M FRy FR
x 8
•常见静定梁
简支梁：一端固定铰支、另 一端可动铰支的梁
悬臂梁：一端固定、另一 端自由的梁
F F
外伸梁：具有一个或两个
外伸部分的简支梁
F
F
•静不定梁
约束反力数超过有效平衡方程数的梁（ Ch7 研究）
9
简支梁： 悬臂梁：
_x ql/2
ql2/8 +
x
20
例：建立剪力弯矩方程，并画剪力弯矩图
q
FR 4qa
解：1、计算支座反力
FR 4qa ，作用于AC梁中点。
MB 0,
MA 0
4
FAy
3
qa
8
FBy 3 qa
AB段内力
Fs1
4 3
qa
qx1
0 x1 3a
BC段内力
M1
4 3
qax1
1 2
qx12
0 x1 3a
弯矩图在有集中力偶作用处（包括支座处），发生突变。
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§5-6 刚架与曲梁的内力 一、刚架
刚架：用刚性接头连接 的杆系结构（简化标注）
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材料力学内力正负号规定 外力无符号
材料力学内力正负号规定的原则： 在一个横截面上，同一种内力只能有一个符号 轴力的符号规定：拉为正，压为负 扭矩的符号规定：右手法则，扭矩矢量方向与
横截面外法矢一致为正。 剪力的符号规定：使微梁顺时针转动为正 弯矩的符号规定：使微梁弯曲呈下凹型为正
列平衡方程时：与坐标轴同向为正，反向为负
弯矩：使微段弯曲呈 下凹形为正
弯矩符号另一定义：使 横截面顶部受压为正
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•小结：任一指定截面剪力与弯矩的计算
假想地将梁切开，并任选一段为研究对象 画所选梁段的受力图，FS 与 M 宜均设为正
由 SFy=0 计算 FS
由 SMC=0 计算 M，C 为截面形心
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材料力学内力的类型 复习与总结
支反力
FAy
bF l
,
FBy
aF l
AC段(0<x1<a)：
bF FS1 l , M1 CB段(0<x2<b)：
bF l
x1
•剪FS力2 、弯alF矩,图M：2表 示alF剪x2力与弯矩沿梁轴变化的图线。
•方法：利用截面法，根据平衡关系，分段建立剪力、弯矩
方程（函数），然后画其函数图象。
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q
弯曲内力
§5-1 引言 §5-2 梁的约束与类型 §5-3 剪力与弯矩 §5-4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图 §5-6 刚架与曲梁的内力
1
§5-1 引言
2
•弯曲实例
上图：水闸立柱 下图：跳板
3
哪些构件承受 弯曲载荷？
4
•弯曲的定义、力学 特征与计算简图
上图：弯曲构件
下图：计算简图
外力特征：外力或外力偶的矢量垂直于杆轴
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应力、应变、变形、位移、方位角的符号
应力符号的规定 正应力：与截面外法线相同为正
(拉为正，压为负)； 切应力：与截面外法线顺时针90o为正。 应变符号的规定：由变形正负决定 变形的符号规定：由内力正负决定 正应变伸长为正，切应变以直角变大为正
位移的符号：由坐标方向决定
方位角符号的规定：x轴为起点，逆时针为正
A
B
C
3a
a
FAy
x1 FBy x2
(a)
FR1 qx1
FS 2
FR2 qx2
4
x1
qa
3
4 qa
3
M1 M2
FS1
x2
(b) qa
8 9
qa
2
(c)
Fs 5 qa 3
Fs2 qx2 0 x2 a
M2
1 2
qx22
0 x2 a
M
1 qa2
(d)
2
$ 在集中力作用处(包括支座) 剪力有突变
外伸梁：
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§5-3 剪力与弯矩
•梁的内力
分析方法：截面法
剪力－作用线沿所切 横截面的内力分量
弯矩－矢量沿所切横截面的 内力偶矩分量
FS－剪力 M－弯矩
由梁左段平衡求得
FS FAy F1
在m-m截面：
M FAyb F1 (b a)
注意：下标符号习惯，设正法。
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•剪力与弯矩的符号规定
剪力：使微段有沿顺时 针方向转动趋势为正
变形特征：杆轴由直线变为曲线
弯曲：以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲。 梁：外力或外力偶的矢量垂直于杆轴，以弯曲为主要变形的 杆件称为梁。 计算简图通常以轴线代表梁
5
材料力学分析的基本思路
内力 应力
外力
结构
材料性能 强度准则
变形 应变
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§5-2 梁的约束与类型（外力） •主要约束形式与反力
可动铰支座：垂直于支承平面的支反力FR 固定铰支座：支反力 FRx 与 FRy 固定端：支反力 FRx , FRy 与矩为 M 的支反力偶