非线性规划的QP-free方法

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非线性规划算法

非线性规划算法现代数学算法的发展，使得计算机在解决多种实际问题中发挥出越来越重要的作用。

其中，非线性规划算法作为一种重要的优化算法，被广泛应用于生产、经济、地质和金融等领域。

本文将介绍非线性规划问题的定义、特点、求解方法和应用。

一、非线性规划问题的定义非线性规划问题是指在目标函数和约束条件中至少有一项是非线性函数的数学规划问题。

具体的表示形式可以是以下形式：$$\min f(x)$$$$s.t.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g_i(x) \leq 0, \ \ i=1,2, \cdots, m $$$$h_j(x) =0,\ \ j=1,2, \cdots, n$$其中，$x$为决策变量，$f(x)$为目标函数，$g_i(x)$和$h_j(x)$分别是不等式约束和等式约束条件。

二、非线性规划问题的特点非线性规划问题与线性规划问题相比，具有以下几个特点：1. 非线性规划问题的数学模型较为复杂。

在考虑实际问题时，目标函数中经常包含各种复杂的非线性函数，如三角函数、指数函数、对数函数等等。

同时，约束条件的不等式表达式也可能是非线性函数。

2. 非线性规划问题的求解难度较大。

因为非线性规划问题的目标函数和约束条件不再满足线性性质，导致求解过程中出现很多非线性优化问题。

这也意味着，非线性规划问题中需要用到高级的优化算法，这些算法的计算成本和正确性都需要严格考虑。

3. 非线性规划问题的解可能存在多个局部最优解。

相比线性规划问题，非线性规划问题的解集合往往具有多个局部最优解。

这意味着，解决这类问题时需要针对不同的局部解进行分析，从而找到全局最优解。

三、非线性规划求解方法通常情况下，非线性规划问题的求解方法包括以下几种:1. 梯度方法。

梯度方法是一种基于梯度信息的优化算法，能保证解的收敛性和稳定性。

这种方法的主要思想是通过计算目标函数的梯度信息来确定下一步迭代的方向和步长。

2. 共轭梯度法。

共轭梯度法是在梯度法基础上改进而来的算法，更加高效和优化。

【国家自然科学基金】_非线性最优化问题_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802

推荐指数 4 4 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1
2009年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106
排产指数稳定投影微粒群微分进化算法强次可行方向法强收敛性强wolfe线性搜索开关建模广义投影广义实码遗传算法广义复合杂波分布天气预报多机电力系统外强迫复合形法均衡约束图像恢复图像处理固液平衡噪声周期解同轴度误差台风适应性观测可靠h∞控制反问题参数解藕参数反演参数估计原始对偶区间分析化学方程加速比初始种群函数优化内点法共轭梯度算法共轭梯度法共轭梯度全局渐近稳定全局优化低频振荡优化扰动人工鱼群算法交叉策略二维波动方程中心参数选取不精确线性搜索不确定非线性系统一维mt反演 pontryagin最大值原理 ncp lyapunov函数

一种带滤子的QP-free非可行域方法

考虑如下的约束非线性优化问题（Ｐ：ＮＬ）
ｍｉｎ－） ∈ Ｒ，厂（，
ｓｏｈｉｅｕｌｙｃｎｔａｎｓＴｈｓｍｅｈｄｉｉｔｏｕｅｙｓｌｉｇｎｎｍｏｔｑａｉｎｉｒ — ｍｏｔｑａｉｏｓｒｉｔ．ｉｎｔｔｏｓｎｒｄｃｄｂｏｖｎｏｓｏｈｅｕｔｓｗｈｃａｅｅｏｈｑｉａｎｏｔｅＫＫＴｉｔｏｄｒｏｔａｉｏｄｔｎｈｔａｅｃｎｔｕｔｄｂｈｌｐｉｒａｄｓｍｅｕｖｌｔｔｈｅｆｓ—ｒｅｐｉｌｙｃｎｉｉｓｔａｒｓｒｃｅｙｔｅｍｕｔｌｎｒｍｔｏｏｉｅｏＮＣｕｃｉｎ．ｏａｌ，ａｈｉｒｔｏｆｔｉｍｅｈａｅｖｅｄａｅｔｒａｉｎｏｗｔｎｏＰｆｎｔｓＬｃｌｅｃｅａｉｎｏｈｓｏｙｔｔｏｃｎｂｉｗｅｓａｐｒｕｂｔｆａＮｅｏｒｄｏ
Ｋｅｒｓｃｎｔａｎｄｏｔｚｔｎ； —ｒｅｍｅｈ；ｏｓｒｉｅｕｃｉｎ；ｎｎｉｅｒｃｍｐｅｎａ — ｙｗｏｄ：ｓｒｉｅｐｉａｉＱＰｆｅｔｏｃｎｔａｎｄｆｎｔｏｍｉｏｄｏｏｌａｏｌｍｅｔｒｎ
ｉｙｆｎｔｎ；ｃｎｅｇｎｅｔｕｃｉｏｏｖｒｅｃ
ｑａｉｗｔｎｉｒｔｎｏｏｈｔｅｐｉｌｎｕｌｖｉｂｅｏｈｏｕｉｎｏｈｕｓＮｅｏｅａｉｎｂｔｈｒｍａｄｄａａａｌｓｆｒｔｅｓｌｔｆｔｅＫＫＴｐｉｌｙ — ｔｏａｒｏｏｔｍａｉｔｃｎｉｏｓＴｈｉｅｅｈｄｉａｓｓｄｉｉｅｒｓａｃＴｈｓｍｅｈｓｉｌｍｅｔｂｅａｄｇｏａｌｏｄｔｎ．ｅｆｌｒｍｔｏＳｌｕｅｎｌａｅｒｈ．ｉｔｏｉｍｐｅｎａｌｎｌｂｌｉｔｏｎｄｙｃｎｅｇｎ．ｅｍｅｈｄｐｏｅｏｈｖｕｅｌｅｒｃｎｅｇｎｅｒｔｎｅｏｉｏｄｔｎ．ｅｏｖｒｅｔＴｈｔｏｒｖｓｔａｅｓｐｒｉａｏｖｒｅｃａｅｕｄｒｓｍｅｍｌｃｎｉｏｓＴｈｎｄｉｃｍｐｔｔｎｌｅｕｔｈｗｈｔｔｉａｇｒｔｍＳｅｆｉｎｎｅｉｂｅｏｕａｉａｒｓｌｓｏｔａｈｓｌｏｉｏｓｈｉｆｉｅｔａｄｒｌｌ．ｃａ

九.非线性规划(NonlinearProgramming)

九. 非线性规划(Nonlinear Programming)非线性规划是研究目标函数和约束条件中至少包含一个非线性函数的约束极值最优化问题。

由于非线性问题的复杂性，非线性规划与线性规划相比在理论和算法上呈现出明显的多样性，成果非常丰富。

非线性规划的理论成果包括约束极值问题到达极值解的充分和必要条件（即最优性条件）、非线性规划的对偶理论等。

非线性规划的算法种类繁多，但本质上都是采用数值计算迭代方法求解非线性方程组。

解非线性规划问题时所用的计算方法最常见的是迭代下降算法，即算法同时具有迭代和下降两种特征:迭代：从一点x(k)出发，按某种规则算出后继点x(k+1)；用x(k)代替x(k+1)，重复上述过程，产生点列{x(k)}；下降：对某个函数，每次迭代后，后继点的函数值要有所减少。

评价算法的几个要素通用性与可靠性对参数与数据的敏感性准备与计算的工作量收敛性一维搜索算法可以归纳为两大类：试探法和函数逼近法。

试探法：黄金分割法（0.618法）；Fibonacci法（斐波那契法）函数逼近法：牛顿法；割线法；抛物线法；插值法多维搜索中使用导数的最优化算法（无约束问题）最速下降法（梯度法）；牛顿法（二阶梯度法）；共轭梯度法；拟牛顿法；……多维搜索无约束最优化的直接方法（不用导数）模式搜索法；Rosenbrock算法；单纯形法；……有约束最优化方法可行方向法；惩罚函数法；线性逼近法及二次规划；SQP(序贯二次规划)法；……十.多目标数学规划(Multiobjective Programming)多目标规划标准形式：(VP)实际问题往往难以用一个指标来衡量，需要用一个以上相互间不很协调（甚至相互冲突）的衡量指标，形成多目标规划问题。

x f x f V T p )](,),(min[1符号V －min 表示区别于单目标求最小，指对向量形式的p 个目标求最小。

由于实际问题中p 个目标量纲不同，有必要对每个目标事先规范化。

解约束优化问题的QP—free方法及其全局收敛性

文献标识码：Ａ
文章编号：２３３４２０）２０６ — ５０５— ７Ｘ（０８０ — ２８０
ＡＮｗｏａｎｕｅｌｅｒｎｅｇｎ — ｒｅＭｅｈｄｅＧｌｂｌａｄＳｐｒｎａｌＣｏｖｒｅｔＱＰ。ｅｔｏｌｙｉｙＦ
２Ｃｌｇｆｔｅｔｓｎｏｕｅ，ｂｉｉｒｔ，１ｏｉ７０２Ｃｉ）．ｏｌｅｏｈｍａｉｄＣｍｐｔＨｅｅＵｎｅｓｙ３ｄｎ０１０，ｈｎｅＭａｃａｒｖｉａｇａ
Ａｂｔｃ：Ｂａｅｎａｎｎｓｏｈｅｕｔｎｏｓｒｔａｓｄｏｏ —ｍｏｔｑａｉｆＫＫＴｐｉｌｙｃｎｉｉｎｔｉｐｐｒｒｓｎｓｅＱＰｏｏｔｍａｉｏｄｔ，ｈｓａｅｅｅｔｎｗ — ｔｏｐａ
ｗｈｃｎｕｅｈｅｓｂｌｙｏｌｉｒｔｓａｄｍａｅｔｕｎｃｓａｙｔｅｒｈａｏｇａｒ．ｖｉｉｅｓｒｓｔｅｆａｉｉｔｆａｌｔａｅｎｋｓｉｎｅｅｓｒｏｓａｃｌｎｎａｃＴｏａｏｄｈｉｅ
ｍｅｈ．ｔｉｎｗｔｏｎｙｎｅｓｔｖｏｍｏｅｔａｈｅｙｔｍｓｏｉｅｒｅｕｔｎｐｒｉｒ — ｔｏｄｈｓｅｍｅｈｏｌｅｄｏｍｌｅｎｒｈｎｔｒｅｓｓｅｆｌａｑａｉｅｅａｄｎｏｔｔｎｗｉｌｂｌｏｖｒｅｃｎｏａｓｐｒｉｅｒｃｎｅｇｎｅｕｄｒｓｍｅｒａｎｂｅｃｎｉｏｓｉｔｇｏａｏｈｃｎｅｇｎｅａｄｌｃｌｕｅｌａｏｖｒｅｃｎｅｏｅｓａｌｏｄｔｎ．ｎｏｉ

非线性规划算法介绍

非线性规划算法介绍在优化问题中，线性规划被广泛应用，但是有时候我们需要解决一些非线性问题。

非线性规划问题是指目标函数或约束条件至少有一个是非线性的优化问题，求解非线性规划问题是在一些工程和科学领域中很重要的任务。

这篇文章将会介绍非线性规划算法的一些概念和原理。

1. 概述非线性规划（Non-linear programming，简称NLP）是指存在非线性的目标函数和约束的最优化问题。

相对于线性规划问题，非线性规划问题的求解要困难得多，因此需要更复杂的算法来解决。

然而，在实际应用中非线性规划问题比比皆是，如金融风险管理、科学研究、交通规划等，因此非线性规划算法的研究意义非常重大。

2. 常见算法(a) 梯度下降法梯度下降法（Gradient descent algorithm）是求解最小化目标函数的一种方式。

在非线性规划问题中，该方法利用目标函数的梯度方向来确定下降的方向，迭代调整参数，直到梯度为零或达到可接受的误差范围。

梯度下降法有多种变形，包括共轭梯度法、牛顿法等。

(b) 拟牛顿法拟牛顿法（Quasi-Newton methods）是用来求解非线性约束优化问题的经典算法之一。

拟牛顿法利用牛顿法的思想，但不需要求解目标函数的二阶导数，转而用近似的Hessian矩阵来取代二阶导数，并用更新步长向量的方式近似求解目标函数的最小值。

虽然有缺点，但启发式算法具有较强的鲁棒性和适应性，可用于非线性规划问题的求解。

常见的启发式算法包括模拟退火、遗传算法、蚁群算法、粒子群算法等。

3. 应用案例非线性规划算法在实际应用中发挥着不可或缺的作用。

这里介绍两个基于非线性规划算法的应用案例。

(a) 水利工程在水利工程中，常常需要寻找最优的方案来解决水库调度、灌溉、排洪等问题。

非线性规划算法能够通过寻找水资源的最优利用方法，保证水利工程的经济和社会效益。

非线性规划

非线性规划（nonlinear programming）1.非线性规划概念非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。

非线性规划研究一个n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。

目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。

2.非线性规划发展史公元前500年古希腊在讨论建筑美学中就已发现了长方形长与宽的最佳比例为0.618,称为黄金分割比。

其倒数至今在优选法中仍得到广泛应用。

在微积分出现以前，已有许多学者开始研究用数学方法解决最优化问题。

例如阿基米德证明：给定周长，圆所包围的面积为最大。

这就是欧洲古代城堡几乎都建成圆形的原因。

但是最优化方法真正形成为科学方法则在17世纪以后。

17世纪，I.牛顿和G.W.莱布尼茨在他们所创建的微积分中，提出求解具有多个自变量的实值函数的最大值和最小值的方法。

以后又进一步讨论具有未知函数的函数极值，从而形成变分法。

这一时期的最优化方法可以称为古典最优化方法。

最优化方法不同类型的最优化问题可以有不同的最优化方法，即使同一类型的问题也可有多种最优化方法。

反之,某些最优化方法可适用于不同类型的模型。

最优化问题的求解方法一般可以分成解析法、直接法、数值计算法和其他方法。

(1)解析法：这种方法只适用于目标函数和约束条件有明显的解析表达式的情况。

求解方法是：先求出最优的必要条件，得到一组方程或不等式，再求解这组方程或不等式，一般是用求导数的方法或变分法求出必要条件，通过必要条件将问题简化，因此也称间接法。

(2)直接法：当目标函数较为复杂或者不能用变量显函数描述时，无法用解析法求必要条件。

此时可采用直接搜索的方法经过若干次迭代搜索到最优点。

这种方法常常根据经验或通过试验得到所需结果。

对于一维搜索(单变量极值问题)，主要用消去法或多项式插值法；对于多维搜索问题(多变量极值问题)主要应用爬山法。

非线性规划

非线性规划什么是非线性规划？非线性规划（Nonlinear Programming，简称NLP）是一种数学优化方法，用于求解包含非线性约束条件的优化问题。

与线性规划不同，非线性规划中的目标函数和约束条件都可以是非线性的。

非线性规划的数学表达式一般来说，非线性规划可以表示为以下数学模型：minimize f(x)subject to g_i(x) <= 0, i = 1, 2, ..., mh_j(x) = 0, j = 1, 2, ..., px ∈ R^n其中，f(x)是目标函数，g_i(x)和h_j(x)分别是m个不等式约束和p个等式约束，x是优化变量，属于n维实数空间。

非线性规划的解法由于非线性规划问题比线性规划问题更为复杂，因此解决非线性规划问题的方法也更多样。

以下列举了几种常用的非线性规划求解方法：1. 数值方法数值方法是最常用的非线性规划求解方法之一。

它基于迭代的思想，通过不断优化目标函数的近似解来逼近问题的最优解。

常见的数值方法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。

2. 优化软件优化软件是一类针对非线性规划问题开发的专用软件，它集成了各种求解算法和优化工具，可以方便地求解各种类型的非线性规划问题。

常见的优化软件有MATLAB、GAMS、AMPL等。

3. 线性化方法线性化方法是一种将非线性规划问题转化为等价的线性规划问题的求解方法。

它通过线性化目标函数和约束条件，将非线性规划问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划的求解方法求解得到最优解。

4. 分类方法分类方法是一种将非线性规划问题分解为若干个子问题求解的方法。

它将原始的非线性规划问题分解为多个子问题，然后将每个子问题分别求解，并逐步逼近原始问题的最优解。

以上仅是非线性规划求解方法的一小部分，实际上还有很多其他的方法和技巧可供选择。

在实际应用中，选择合适的方法和工具是非常重要的。

非线性规划的应用非线性规划在实际生活和工程中有着广泛的应用。

非单调QP-free非可行域方法

ＡｂｔａｔＡｎｗＱ－ｒｅｉｆａｉｌｍｔｏｗｔｓｒｃ：ｅｐｆｅｎｅｓｅｂｅｈｄｉｈ
ｎｎｎｔｎ１ｅｓａｃｔｃｎｑｅｓａｄｔｅＦｓｈｒｏｍｏｏｏｅｉｅｒｈｅｈｉｕｉｎｈｉｃｅ－ｎＢｒｉｔｒＮＣＰｆｎｔｎｉｒｐｓｄｆｒｍｉｉｚｎｍｏｔｕｍｅｓｅｕｃｉｐｏｏｏｎｍｉｉｇａｓｏｏｓｅｈ
Ｒ是指满足ＮＰ问题的一阶最优必要条件：Ｌ
正（）＝０Ｇ（ ≤ ０ ≥ ０，，），，
ｇ（）＝０１≤ ｉｍｉｉ， ≤ （）３
ＮｎｏｏｏｅＬｎｅｒｈＴｃｎｑｅｆｒＱ－ｏｍｎｔｎｉｅＳａｃｅｈｉｏＰｕ
ＢｒｉｔｒＮＣｕｃｉｎｆｒｔｅＫＫＴｉｓ－ｒｅｐｉｌｙｕｍｅｓｅＰｆｎｔｏｏｈｆｒｔｏｄｒｏｔｍａｉｔ
ｃｎｉｉｎ．ｎｎｔｎｌｅｓａｃｅｈｉｕｓａｅａｏｔｄｏｄｔｓＮｏｍｏｏｏｅｉｅｒｈｔｃｎｑｅｒｄｐｅｏｎｏｉｅｓａｃｅ．ｉｔｏｓｉｌｍｅｔｂｅａｄｇｏｌｎｌｒｈｓＴｈｓｍｅｈｄｉｍｐｅｎａｌｎｌｂｌｎｅａｙ
敛性和在适当条件下具有超线性收敛性的Ｑ．ｅＰｆｅｒ方法．一方面，迭代点靠近一个狭长的峡谷区另当

结构塑性极限分析上限法数值计算方法研究

结构塑性极限分析上限法数值计算方法研究在土木工程中,结构物的极限承载力和破坏模式的确定是一项重要的研究题和工程问题。

分析此类问题的方法大致分为两类:一类是弹塑性的增量分;另一类则是塑性极限分析方法。

极限分析的上限和下限方法以塑性极限定为理论基础,是工程结构的设计和分析中直接而又严格的极限状态分析方法。

工程的实际应用中通常采用极限分析的数值方法。

其中,在工程结构的极限析中较为常用。

另外,极限分析方法最终需要求解一个数学规划问题,根据体的情况大致可分为线性和非线性规划问题。

随着问题维数的增加,数学规问题将可能成为大规模优化问题,其求解成为了一个难题。

因此本文从经典性极限分析理论出发,进一步改进运动许可速度场的构造方法,并将数值优领域中提出的新算法应用于数值极限分析上限的数学规划问题的求解中,取的主要成果如下。

在刚体有限元上限分析中,如果将安全系数定义为目标函数,则数学规划题就成为了带有约束的非线性规划问题。

本文首次采用一种新型的优化算法P-free方法求解此非线性规划问题。

求解非线性规划的常用算法为序列二次规(SQP)方法。

然而,在初始点任意的情况下,传统的SQP在求解刚体有限上限分析法的非线性规划模型时出现了子问题不相容的问题而导致得不到最解,且在每个迭代步中都要花费大量计算来求解一个二次规划(QP)问题。

对这一非线性规划问题,文中采用了一种新型非线性优化算法——QP-free 法来求解刚体有限元上限分析法的非线性规划问题。

该方法的转轴操作可以免子问题不相容的问题,并且在每个迭代步中将求解QP问题转化为求解三具有相同系数矩阵的线性方程组。

而根据虚功率方程将安全系数表示为运动可速度场的函数,目的就是使得非线性规划问题的目标函数避免了其导数成常数向量,便于采用QP-free算法进行求解。

通过两类算法对经典边坡稳定题的对比分析,QP-free算法比传统的SQP 算法则更为有效。

在上述的刚体有限元上限分析法中,数学规划模型的非线性是由于采用安系数作为评价指标而引起的。

用QP-FREE可行有效集算法研究非线性规划概要

用QP-FREE可行有效集算法研究非线性规划L(x,λ)=0,(1.1)(x)=0,i =1,...,m,被称为固定点的问题（P）。

当L(x,λ)= f(x)+ (x)是（P）的Lagrange函数，如果并且λ≥0，(x,λ)被称为KKT点。

我们也称x ∈F是一个静态点或一个（P）的KKT点。

当存在λ∈，这样的(x,λ)是一个静态点或一个（P）的KKT点。

QP-free方法，在每一次迭代只需要解决的几个通常有共同的系数矩阵的线性系统，能在传统的二次规划方法中处理一些复杂问题。

例如，QP子问题可能是不可行的，并且在缺乏QP截断计划中不能找到确切的成本解决方案。

一些数值（例如[7, 9, 19, 28]）结果表明可医用QP-free方法替代SQPs方法来解决一类原始非退化问题，如有界约束优化问题。

在某些规律性的假设的条件下，QP-free方法的全局收敛等同于局部超线性收敛或局部二次收敛。

可以在Facchinei和Lucidi中找到QP-free方法的优点。

QP-free方法可以被归为第一类方法（例如[18, 13, 19]）与第二类方法（例如[7, 9, 20, 28]）。

第一类方法其运用的基础是牛顿法的KKT系统。

第二类方法来自于一阶必要的最优条件的替代。

当I = {1,...,m}并且对x ∈F, I(x\ni相当接近于有效约束量，线性系统（1.3 ）和（1.4 ）可能变得非常病态。

当在解决问题（P）时并没包括严格的互补性时，这可能发生。

在这种情况下，乘数近似序列可以不同，因此全局收敛失败。

为了避免病态问题，Qi 和Qi [19] 提出了新的第一类型QP-free方法来解决问题，基于非光滑方程改写KKT系统（ 1.1 ），通常在非线性互补问题中使用Fischer-Burmeister功能（例如[5, 16]）。

牛顿方程系数矩阵的形式(1.5) =当=+1,=-,=结果表明，根据LICQ ，（1.5 ）是均匀非奇异和妥善调整的，即使在积累点没有满足严格的互补性。

非线性规划课件

得 X(1)=(x₁ (0),x₂ (1))T,S(1)=f(X(1))
②再固定x₂=x₂ (1): 求以x₁为单变量的目标函数的极值点，
得 X(2)=(x,(2),x₂ (1))T ,S(2)=f(X(2))
此时S(2)优于S(1), 且搜索区间缩短为x₁*∈[x,(2),b,],x₂*∈[x₂ (1),b₂] 第二步：如此交替搜索，直至满足给定精度ε为止
否则，继续缩短区间，
直至满足给定的精度为
①f(x₂)≥f(xq), 取[aq=ao,b,=x,]
X₁ =X2
x'2=b₁-λ(b₁-aq) ②f(x₂)<f(x₁), 取[a=x2,b,=b,]
x=aq+λ(b₁-aq)
10
x₂ =x₁
例求解 f(x)=-18x²+72x+28 的极大值点，δ≤0.1,起始搜索区间为[0,3] 解：①用间接法：令 f'(x)=-36x+72=0, 得驻点 x=2
xq*∈[aq,b,],x²*∈[a₂ ,b₂ ],.,x*∈[an,b,]
1、原理： ①从起点 X(0) 出发，沿平行于 x, 轴的方向P(1)进行一维搜索，
求得 f(X) 在该方向P(1)上近似极值点 X(1);
②从点 X(1) 出发，沿平行于 x₂ 轴的方向P(2)进行一维搜索，
求得 f(X) 在该方向P(2)上近似极值点 X(2); ③从点 X(2) 出发，照此交替进行下去，直至满足给定的精度ε为止
六、寻优方法概述：
1、N.L.P.问题分类
① 无约束条件的NLP问题。 ② 有约束条件的NLP问题。 2、寻优方法
① 间接法(解析法):适应于目标函数有简单明确的数学表达式。

非线性规划的理论与算法

非线性规划的理论与算法非线性规划（Nonlinear Programming, NLP）是数学规划的一个重要分支，其研究对象是带有非线性约束条件的最优化问题。

非线性规划模型常见于各类工程技术问题的优化，如工业系统优化、经济系统优化、交通运输系统优化等。

本文将介绍非线性规划的基本理论和常用的求解算法。

一、非线性规划模型min f(x)s.t.g(x)≤0,h(x)=0其中，f(x)为目标函数；g(x)≤0与h(x)=0为约束条件；x为决策变量，其取值范围由约束条件决定。

非线性规划模型常见的类型包括无约束问题、等式约束问题和不等式约束问题等。

二、非线性规划的求解算法1. 顺序二次规划算法（Sequential Quadratic Programming, SQP）顺序二次规划算法是一种常用的非线性规划求解算法。

该算法通过构造拉格朗日函数来将非线性规划问题转化为一系列二次规划子问题。

通过迭代求解这些二次规划子问题，最终得到原始非线性规划问题的最优解。

SQP算法具有高效、稳定性强等优点，已广泛应用于实际问题中。

2. 内点法（Interior Point Methods）内点法是一种常用的非线性规划求解算法，可以有效处理约束条件较多的非线性规划问题。

该算法通过构造适当的增广 Lagrange 函数，将非线性规划问题转化为一系列无约束优化问题。

通过迭代求解这些无约束优化问题，最终找到原始非线性规划问题的解。

内点法具有收敛速度快、计算精度高等优点。

3. 遗传算法（Genetic Algorithm, GA）遗传算法是一种模拟生物进化过程的启发式优化算法，常用于求解非线性规划问题。

该算法通过借鉴自然选择、交叉和突变等遗传操作，逐步演化出一组较好的解，寻找最优解。

遗传算法不需要假设目标函数和约束条件的具体形式，因此适用于复杂的非线性规划问题。

4. 粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）粒子群优化算法是一种模拟鸟群觅食行为的优化算法，也常用于求解非线性规划问题。

非线性规划问题的求解方法

运行输出：
最优解 1.00012815099165 -0.00000145071779
k= 33
练习题：
1、用外点法求解下列模型
min( x12 2x22 ) s.t. x1 x2 1
2、将例子程序改写为一个较为通用的罚函数法程序。（考虑要提供哪些参数）
2. 内点法（障碍函数法）
min f (x) s.t. gi (x) 0,i 1,2,, m
第二步：求 (k) 最优的目标函数
function r=fungetlamada(lamada) %关于lamada的一元函数，求最优步长 global x0 d=fun1gra(x0); r=2*(x0(1)-lamada*d(1))^2+(x0(2)lamada*d(2))^2; %注意负号表示是负梯度
a 1, b 1 ，a,b 为常数，通常取 a=b=2。
算法步骤
（1）给定初始点 x(0)，初始罚因子 (1) ，放大系数 c>1；允许误差 e>0,设置 k=1；
（2）以 x(k-1)作为搜索初始点，求解无约束规划问题 min f (x) P(x) ，令 x(k)为所求极小点。
lamada=fminsearch(‘fungetlamada’,la mada);%求最优步长lamada
x0=x0-lamada*fun1gra(x0);%计算x0 d=fun1gra(x0);%计算梯度 k=k+1;%迭代次数
end
disp('x='),disp(x0),disp('k='),disp (k),disp('funobj='),disp(2*x0(1)^2+ x0(2)^2)

解约束优化问题的QP-free可行域方法

解约束优化问题的QP-free可行域方法周岩;濮定国【期刊名称】《运筹学学报》【年(卷),期】2007(011)003【摘要】本文利用一个新的分片线性NCP函数提出一个新的可行的QP-free方法解非线性不等式约束优化问题.不同于其他的QP-free方法,这个方法只考虑在工作集中的约束函数,工作集是积极集的一个估计,因此子问题的维数不是满秩的.这个方法可行的并且不需假定严格互补条件、聚点的孤立性得到算法的全局收敛性,并且积极约束函数的梯度不要求线性独立的,其中由拟牛顿法得到的子矩阵不需要求一致正定性.%In this paper, a new QP-free feasible method is proposed for solving inequality constrained optimization problems, by a new piecewise linear NCP functions.Unlike the existing QP-free algorithms, the proposed method is concerned with only the constraints in the working set, which is an estimate of the active set. Consequently, the dimension of the subproblems is not full dimensional. This method is implementable and globally convergent without assuming that the strict complementarity condition, the isolatedness of the accumulation points. Furthermore, the gradients of active constraints are not requested to be linearly independent. The submatrix, which is obtained by quasi Newton methods, isn't requested to be uniformly positive definite.【总页数】13页(P31-43)【作者】周岩;濮定国【作者单位】青岛大学管理科学与工程系,青岛,266071;同济大学应用效学系,上海,200092【正文语种】中文【中图分类】O22【相关文献】1.一个新的求解非线性等式约束的QP-free非可行域方法 [J], 刘爱兰2.非单调QP-free非可行域方法 [J], 濮定国;金中3.一种带滤子的QP-free非可行域方法 [J], 姜爱萍4.解约束优化问题的QP-free非可行域方法 [J], 濮定国;李康弟;薛文娟5.无罚函数和滤子的QP-free非可行域方法 [J], 濮定国;刘爱兰;尚有林;冯爱芬;孙振洋因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

非线性极大极小问题一个新的QP-free算法

非线性极大极小问题一个新的QP-free算法
马国栋;周泽文;靳文慧
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2018(31)4
【摘要】本文研究非线性无约束极大极小优化问题. QP-free算法是求解光滑约束优化问题的有效方法之一,但用于求解极大极小优化问题的成果甚少.基于原问题的稳定点条件,既不需含参数的指数型光滑化函数,也不要等价光滑化,提出了求解非线性极大极小问题一个新的QP-free算法.新算法在每一次迭代中,通过求解两个相同系数矩阵的线性方程组获得搜索方向.在合适的假设条件下,该算法具有全局收敛性.最后,初步的数值试验验证了算法的有效性.
【总页数】8页(P933-940)
【关键词】非线性极大极小问题;QP-free算法;全局收敛性
【作者】马国栋;周泽文;靳文慧
【作者单位】玉林师范学院数学与统计学院,广西高校复杂系统优化与大数据处理重点实验室,广西玉林537000;玉林师范学院教务处,广西玉林537000
【正文语种】中文
【中图分类】O221.2
【相关文献】
1.求解非线性极大极小问题的一种新的混合算法 [J], 刘国志
2.求解极小极大问题的一个新算法 [J], 赵奇
3.求极小极大分式规划问题的一个新的分支定界算法 [J], 汪春峰;蒋妍;申培萍
4.非线性互补约束规划问题的一个新的QP-free 算法 [J], 陈凤华;李双安
5.非线性极大极小问题的一个有效算法 [J], 田益祥;陈华富
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顾此失彼,因无全局

顾此失彼,因无全局
李文超
【期刊名称】《四川教育》
【年(卷),期】2009(000)010
【摘要】@@ 文本,"生本",二者不可厚此薄彼、顾此失彼;二者不分孰重孰轻;二者缺一不可,缺了文本,课堂是无源之水,师生信马由缰,最终与"知识"渐行渐远,缺了"生本",教师是"孤家寡人",独霸课堂,辛苦而"和寡",更谈不上课堂的生态与和谐.所以,二者不存在鱼和熊掌似的取舍,也无轻重权衡,文本也好,"生本"也罢,都是成功课堂的必要条件.
【总页数】1页(P32)
【作者】李文超
【作者单位】乐山市外国语小学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.非线性半定规划一个全局收敛的无罚无滤子SSDP算法
2.不续约便无奖林家栋顾此失彼
3.全局优化问题的一个新的无参数填充函数
4.中国首例完全局部麻醉且无镇静下极简式经导管主动脉瓣置换术
5.无罚无滤子的修正非单调不可行QP-free方法及其全局收敛性（英文）
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基于F—BNCP函数的可行QP—free算法

基于F—BNCP函数的可行QP—free算法朱笑荣【期刊名称】《泰山学院学报》【年(卷),期】2012(000)003【摘要】本文得到一种可行QP-free算法，引入ε-有效集策略使得每次迭代只需求解规模较小的线性方程组得到迭代方向，且方程组只包含工作集中的约束，其规模较原问题大大减小，同时不进行弧搜索，从而降低了运算量．%This paper presents a feasible QP - free method by using the - efficient set. The equations contain only the focus constraints. At each iteration, the smaller group of linear equations with the same efficient matrix needs to be solved to get the iteration direction. Moreover, the equations involve only constrains in the working set and those not in the working set are totally neglected, which reduces the problem size greatly.【总页数】5页(P43-47)【作者】朱笑荣【作者单位】泰山学院信息科学技术学院,山东泰安271021【正文语种】中文【中图分类】O224【相关文献】1.等式约束优化一个无罚函数无滤子的QP-free算法 [J], 杨振平;黎健玲2.一个求解不等式约束优化问题的非内点型可行QP-free算法 [J], 陈玉;陈内萍;段玉3.无罚函数和滤子的QP-free非可行域方法 [J], 濮定国;刘爱兰;尚有林;冯爱芬;孙振洋4.分片线性NCP函数滤子QP-free算法 [J], 濮定国;孔祥庆;王新长5.3-分片线性NCP函数的滤子QP-free算法 [J], 李康弟;濮定国;田蔚文因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

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我们也说是一个ＫＫＴ点如果存在一个使得（，满足（）．面）２式找到约束问题ＮＬ的ＫＫＴ点可以转化为求解（）中的混合非线性互补问题ＮＰＰ２式Ｃ．ＮＰ问题因其广泛的应用而备受瞩目，综述见文献『６．中一个解非线性互补性问题的Ｃ３］其－方法是构建牛顿法求解一个非线性方程组［１７２】
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Ｖ１１０３ｌ．Ａ
其中＝（１Ａ，，） ∈Ｒ是乘子向量，为方便起见，用（，表示列向量（，），２… Ｘ）Ｘ．Ｋｒｓ— ｈ — ｕｋｒＫ— Ｔ点（， ∈ＲａｕｈＫｕｎＴｃｅ（Ｋ— ）面） ×Ｒ是满足ＮＰ问题的一阶最优必要条Ｌ件的点，则
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数学物理学报
２１，１Ｉ：３１６０１３Ａ（）０１１ｈｔ：ａｔｍｓｗｐａ．ｔｐ／ｃａ．ｉｍ．ｃ／ｃｎ
非线性规划的ＱＰｆｅ方法．ｅｒ
姜爱萍
（海大学悉尼工商学院上海２１０）上０８０
收稿日期：０８１— ９修订日期：０００ — ３２０ — １２；２１ — １１
Ｅ— ａｌｐ７４ｓｍｉ：ａ２＠ｈｕ．ｄＣ１ｅｕ．Ｉ
基金项目：上海市优秀青年教师科研专项（．７１５０ — ０）Ｂ３－１ —８０７、上海大学创新基金（１ — １５０ —０）０Ａ．０１ —９９０、上海０市自然科学基金（９Ｒ１１００和国家自０Ｚ４０）１然科学基金（００００资助７５２２）
（，＝０）
（）中的可行性问题一直有着重要的地位，因为在一些实际应用中例如在工程设计和２式经济学中［１，ｓ３只要求定义在可行区域内的数据．ＱｉＱ［提出了一种新的Ｏ — ｅ，Ｊ和ｉＬ】Ｐｆｅ方ｒ法，该方法保证了所有扰动的严格可行性．他们根据Ｆｓｅ— ｕｍｅｔｒ的ＮＣｉｒＢｒｉｅｈｓＰ函数，证明了在没有聚点的孤立性和严格互补性条件下的全局收敛性．他们也证明了在适当条件下此方法具有超线性收敛性．但是，对于全局收敛，文献『仍然使用了一些较强的条件．中之一是积极约束函数的２１其梯度具备线性独立；另一个是通过牛顿或拟牛顿法获得的Ｈ是正定的．但是对于一般的函数Ｆ（）我们不能保证子矩阵Ｈ是一致正定的．为了弥补这些缺点，本文根据ＱｉＱ［，和ｉ］２的方法提出一种解不等式约束的最优化问题的算法．我们的主要任务是对该方法进行改进，而使其能在一些较弱条件下仍得到全局收敛性．与ＱｉＱｉ】和［的方法相比，我们的方法是可实行的，且在没有假定日是正定的和积极约束函数的梯度是线性独立的假设下，仍有全局收敛性．此外，在本文中，我们使用３１Ｃ－ＮＰ函数代替Ｆｓｅ— ｕｍｅｔｒｉｒｒｉｅ函数＿．ｈＢｓ２一个原因Ｊ是Ｆｓｅ— ｕｍｅｔｒｉｒＢｒｉｅ函数的计算比３１ｈｓ — 线性ＮＰ函数更加复杂，另一个原因是３１ＣＣ－ＮＰ函数也是一种新的尝试．在第７部分中的数值试验证明使用３１Ｐ函数的方法是有效的． —ＮＣ我们也证明了在适当条件下该算法具有超线性收敛性．其中部分想法来自于文献【和【１２１１．０特别地，对于算法的超线性收敛性，我们采取与文献『中方法相同的条件．２１本文结构如下：第２部分给出了一些预备知识；在第３部分中，提出了一个Ｑ — ｅＰｆｅ可ｒ行域方法；第４部分明确定义了算法；在第５和第６部分，讨论了对于非线性约束问题该算法全局收敛和超线性收敛的条件，并且证明了该算法的全局收敛性和超线性收敛性；在第７部分，进行了一些数值测试，结果表明我们的方法是有效的．
Ｄ＝｛ ∈Ｒｌｘ＜０ａ（））
和
Ｄ＝ｃ（＝ｘ∈Ｒｌｘ０ｌＤ）ａ（））分别为约束问题ＮＰ的严格可行集和可行集．Ｌ
约束非线性优化问题（Ｐ的Ｌｇａｇａ子函数为ＮＬ）ａｒｎｉｎ乘
Ｌｘ），＋Ｇ（）（，＝（）Ｔ，
文章编号：１０ —９８２１）１１３１０３３９（０１０ —０．４
１引言
考虑如下的约束非线性规化问题（ＬＮＰ）
ｍｉ厂ｚ， ∈Ｒｎ．）（
ｓ．ｘ０．Ｇ（）ｔ
（）１
其中：ｆ：数．令
一Ｒ和ｃ（）（１ｚ，２） … ，．）Ｒｘ＝９（）９（，９，）Ｔ： ”一Ｒ是Ｌｐｃｉ连续可微函，（ｉｓｈｔｚ
摘要：该文提出一种ＱＰｆｅ可行域方法用来解满足光滑不等式约束的最优化问题．此方法 —ｅｒ把ＱＰｆｅ方法和３１线性互补函数相结合一个等价于原约束问题的一阶ＫＫＴ条件的方程 —ｅｒ－组，并在此基础上给出解这个方程组的迭代算法．这个方法的每一步迭代都可以看作是对求ＫＫＴ条件解的牛顿或拟牛顿迭代的扰动，且在该方法中每一步的迭代均具有可行性．该方法是可实行的且具有全局性，且不需要严格互补条件、聚点的孤立性和积极约束函数梯度的线性
独立等假设．在与文献［２］中相同的适当条件下，此方法还具有超线性收敛性．数值检验结果
表示，该文提出的ＱＰｆｅ可行域方法是切实有效的方法． —ｅｒ
关键词：滤子；ＱＰｆｅ方法；约束函数；ＮＣＰ函数；收敛性． —ｅｒ
ＭＲ（００主题分类：０３中图分类号：２１文献标识码：Ａ２０）９Ｃ０Ｏ２．２