鸽巢原理

余数做抽屉
• 任意4个整数中，至少有两个整数，其差能 被3整数。 • 任意5个整数，必能从中取出3个，其和能 被3整除。 • 在1,2, …,2n中任取n+1个不同的数，至少 有一个数是另一个数的倍数。
余数做抽屉
• 设x1,x2, …,xn是n个正整数，一定能从中取 出连续的若干个数，其和是n的倍数。 • 给定正整数n，一定可以将它乘以适当地正 整数，得到一个完全由7和0构成的正整数。
Ramsey数的基本性质
• 若a,b≥2，则R(a,b) ≤C(a+b-2,a-1)。
例子
• 设G是具有18个顶点的完全图K18，如果我 们对它的边任意涂以红色或蓝色，则G中一 定包含一个红色完全四边形或者一个蓝色 的完全四边形。
K17
已知的Ramsey数
引例
• 17位科学家讨论3个题目，每两个人之间仅 讨论一个题目，则至少有3个人之间讨论同 一个题目。 • 将完全图K17用三种颜色任意涂色，必存在 同色三角形。
例题：图形做抽屉
• 边长为1的正三角形中任选5个点，必存在两点，其 距离不超过1/2。 • 边长为1的正三角形中任选10个点，必存在两点， 其距离不超过1/3。 • 边长为1的正三角形中，至少任选？个点，才能使 得必存在两点，其距离不超过1/n。
例题：图形做抽屉
• 正方形被9条直线分割，每条直线都把该正方形分 成面积比为3:2的两个梯形。证明：这9条线中至少 有三线过同一个点。
“奇偶性”做抽屉
• 任意3个整数中，至少有两个整数，其和能 被2整除。 • 平面上两个整点的重心 • 平面上任意5个整点中，必有两个点，其重 心是整点。 • 平面上4个点的重心 • 平面上任意13个整点中，至少有4个点，其 重心是整点。
“奇偶性”做抽屉
• 1985个正整数构成集合M，M中每个数的质 因数都小于26。证明：M中至少有4个数的 几何平均数仍是自然数。 • 1985可改为任何不小于1537的正整数。
抽屉原理的变形
• 把无穷多个元素任意分成有限个集合，则至少有 一个集合仍含有无穷多个元素。
例题：图形做抽屉
• 3×2的长方形内任取4个点，至少有两个点的距离 不超过 5 。 • 边长为2的正方形中任取5个点，必存在两点，其距 离不超过 2 。 • 在边长为1的正方形中任取9个点，则一定存在3个 点，它们组成的三角形的面积不超过1/8。
抽屉原理的变形
• 设m1,m2, …,mn是正整数，若将(m1-1)+(m2-1)+ …+(mn-1)+1= m1+m2+ …+mn-n+1个物体放入n个 抽屉，则至少有一个抽屉中至少放入了mi个物体。 • 例如：一篮子水果装有苹果、香蕉和橘子，为了 保证篮子内或者至少有8个苹果，或者至少6个香 蕉，或者至少9个橘子，则放入篮子中的水果的最 少数目是多少？ • 8+6+9-3+1=21 • 如果只放入20个水果，则不能保证。
• 孙子算经“物不知其数”—问题：今有物不知其 数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩 二，问物几何？ • 求一个正整数n适合下面三个同余式 • n≡2(mod 3) n≡3(mod 5) n≡2(mod 7)
“物不知其数”—的解法
• 术曰：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩 三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之得 二百三十三；以二百一十减之即得。 • 凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则 置二十一；七七数之剩一，则置十五；一百六以 上以一百五减之即得。 • 三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。niàn 七子团圆正半月，除百零五便得知。-----程大位 • (70×2+21×3+15×2)105=23
中国剩余定理
• 令m和n为二互素的正整数，并令a和b为两整数， 且0≤a ≤ m-1 以及0 ≤ b ≤ n-1。于是存在一个正整 数x，使得x除以m的余数为a，并且x除以n的余数 为b，即x既可以写成x=pm+a形式，同时又可以 写成x=qn+b的形式，这里，p,q是两个整数。
“物不知其数”—问题
鸽巢原理 （pigeonhole principle）
抽屉原理 鞋盒原理
例子
• 13个人中，必有两个人的生肖一样。 • 13个人中，必有两个人的生日在同一个月份。
抽屉原理的内容
• 把n+1个物体放进n个抽屉，则必有一个抽屉，其 中至少有两个物体。 • 把多于n个物体放进n个抽屉，则必有一个抽屉， 其中至少有两个物体。 • 把kn+1个物体放进n个抽屉，则必有一个抽屉， 其中至少有k+1个物体。 • 把多于kn个物体放进n个抽屉，则必有一个抽屉， 其中至少有k+1个物体。
抽屉原理的变形
• 如果n个正整数m1,m2, …,mn的平均数>m-1，则其 中必存在一个数大于或等于m。 • 将m个物体放进n个抽屉(m>n)，必有一个抽屉， 其中至少有[(m-1)/n]+1个物体。 • 例：将1990个物体放进6个抽屉，必有一个抽屉， 其中至少有[(1990-1)/6]+1=332个物体。
引例
• 设G是具有10个顶点的完全图K10，如果我 们对它的边任意涂以红色或蓝色，则G中一 定包含一个红色的三角形或者一个蓝色的 完全四边形。
Ramsey数的定义
• 给定正整数a,b(a,b≥2)，若存在一个最小的 正整数n，使得任何一个完全图Kn，用红、 蓝两色任意着色时，总能找到一个红色的 Ka或者一个蓝色的Kb，这个最小的正整数n 称为Ramsey数，记为R(a,b)。 • R(3,3) ≤6 • R(3,3) >5 • R(3,3) =6 • R(3,4) ≤10
引例
• 17位科学家讨论3个题目，每两个人之间仅讨论 一个题目，则至少有3个人之间讨论同一个题目。 • 66位科学家讨论4个题目，每两个人之间仅讨论 一个题目，则至少有3个人之间讨论同一个题目。 • 327位科学家讨论5个题目，每两个人之间仅讨论 一个题目，则至少有3个人之间讨论同一个题目。
单色三角形
例子
• 设G是具有9个顶点的完全图K9，如果我们 对它的边任意涂以红色或蓝色，则G中一定 包含一个蓝色的三角形或者一个红色的完 全四边形。
Ramsey数的基本性质
• 设a,b>2，若R(a-1,b)与R(a,b-1)都是偶数， 则有R(a,b) < R(a-1,b) + R(a,b-1) 。
• R(3,4) ≤ R(2,4) + R(3,3) < 4+6=10 • R(3,4)=9
例子
• 相邻的两个正整数是互素的。 • 在n+1个小于等于2n的不相等的正整数中， 一定存在两个数是互素的。
例题
• 一个人在连续的11周内下棋，每天至少下 一盘棋，任一周内至多下12盘棋。试证在 一些连续的日子里，他恰好下了21盘棋。
例题
• 每个包含mn+1个不同项的实数序列a1,a2, …,amn+1，或者有一个m+1项的递增子列，或者有 一个n+1项的递减子列。 • 每个包含n2+1个不同项的实数序列a1,a2, …,amn+1， 或者有一个n+1项的递增子列，或者有一个n+1项 的递减子列。 • 设n2+1个人肩并肩地排成一行，必能选出n+1个 人，让他们向前跨一步，使得从左向右看，它们 的身高是单调递增的或时单调递减的。
重叠原则
• 将m个球任意放入n个抽屉中，若m<n(n1)/2=C(n,2)，则至少有两个抽屉，其中放 入的球数相等。 • 反证。
例题
• 把1600颗花生分给100只猴子，试证不管怎样分， 至少有4只猴子得到的花生一样多。 • 证明：要使没有4只猴子分得的花生一样多，最经 济的分法是：3只猴子得0颗， 3只猴子得1颗，…， 3只猴子得32颗，还有一只猴子得33颗。这种分 法所需的花生颗数超过1600颗。
孙子定理
• 设m1,m2, …,mr是r个两两互素的大于1的整 数，令m= m1m2 …mr，那么任给ni∈Zmi， i=1,2, …,r，有唯一的一个n ∈Zm使得下列 这r个同余式n≡ni(mod mi)同时成立。
例子
• 给定7个互异的整数，其中必有两个，它们 的和或者差是10的倍数。 • 给定52个互异的整数，其中必有两个，它 们的和和或者差是100的倍数。 • 给定502个互异的整数，其中必有两个，它 们的和或者差是1000的倍数。
Ramsey数的基本性质
• R(a,b)=R(b,a) • R(a,2)=R(2,a)=a • 对任意的a,b≥2，R(a,b)都存在，且当a,b>2时， 有关系式R(a,b) ≤ R(a-1,b) + R(a,b-1) 。 • R(3,4) ≤ R(2,4) + R(3,3) ≤ R(2,4) + R(2,3)+R(3,2) =4+3+3=10 • R(4,4) ≤ R(3,4) + R(4,3) ≤10+10=20
例题
• 将平面上每个点均以红蓝两色着色。证明： 存在这样两个相似三角形，它们的相似比 为1995，并且每个三角形的三个顶点同色。 • 推广：将平面上每个点均以k种颜色着色。 证明：存在这样两个相似三角形，它们的 相似比为a，并且每个三角形的三个顶点同 色。
社团成员编号
• 一个国际社团的成员来自6个国家，共有成员 1990人，分别给成员用1,2, …,1990编号，每人 一个号。试证：不管如何编号，该社团中至少有 一个成员，他的号与他的两个同胞的号数之和相 等，或者他的号是他的一个同胞号数的2倍。
Ramsey number
• 兰姆西 Ramsey(1903~1930)是英国数理逻 辑学家,他把抽屉原理加以推广，得出广义 抽屉原理，也称为Ramsey定理。
引例
• 任意6个人中，或存在3个人相互认识，或 存在3个人相互不认识。 • 6个点构成的完全图，用红色和蓝色染色， 每条边只涂一种颜色。证明：不论如何涂 色，总存在一个同色三角形。 • 对于5个点构成的完全图，有一种涂色方法， 使得不存在同色三角形。
• 用m种颜色着色，保证有单色三角形存在的 完全图的最小定点数R(3,3, …,3)，记为 p(m)。 m个 • p(2)=R(3,3)=6 • p(3)=R(3,3,3) ≤17 • p(4)=R(3,3,3,3) ≤65
K16

一个数学网站
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例子
• 今有两组正整数，其中每一组中所有数都 小于正整数n，又每一组数中的数都是互不 相同的，这两组数的总个数大于等于n。试 证：一定可以从每一组中各取一个数，使 它们之和正好等于n。
例子
• 在任意一群人中，一定有这样的两个人， 他们在这群人中认识的人数相等(这里认识 指相互认识)。
例题
• 将大小不等的两个圆盘上都画出200条半径，分 别将它们分成200个全等的扇形。在大圆盘上任 取100个扇形着(zhuó)红色，剩下的着蓝色，而小 圆盘的每一个扇形则任意着上红色或蓝色。然后 把小圆盘放在大圆盘的上面圆心重合。证明：适 当地旋转小圆盘，可以使叠置的扇形对同色的至 少有100对。