一元二次方程总预习复习考点梳理

一元二次方程总复习
考点1：一元二次方程的概念
一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．
一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。

注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。

考点2：一元二次方程的解法
1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。

X+a=±b
∴1x =-a+b 2x =-a-b
2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．
3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a
ac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。

步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。

步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。

5．一元二次方程的注意事项：
⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．
⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．
⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2 =3（x ＋4）中，不能随便约去x ＋4。

⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．
6．一元二次方程解的情况
⑴b 2－4ac ≥0⇔方程有两个不相等的实数根；
⑵b 2－4ac=0⇔方程有两个相等的实数根；
⑶b 2－4ac ≤0⇔方程没有实数根。

解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首先考虑用b 2－4ac 解题。

主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。

考点3：根与系数的关系:韦达定理
对于方程ax 2＋bx+c=0(a ≠0）来说，x1 +x2 =—a b ，x1●x2= a c。

利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如2122122212)(x x x x x x -+=+
2121
2111x x x x x x +=+。

解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理。

二、经典考题剖析：
【考题1－1】下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ．ax2＋bx+c=0 B. k2 x ＋5k+6=0
C.3x2＋2x+x 1
=0 D.( k2＋3) x2＋2x+1=0
【考题1－2】解方程：x2＋2x －3=0
【考题1－3】（2009、青岛，6分）已知方程5x2+kx －10=0一个根是－5，求它的另一个根及k 的值．
三、针对性训练：
1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）
2222211.3(1)2(1) .20.0 .21A x x B x y
C ax bx c
D x x x +=++-=++=+=-
2、若
22324x ( )x x +-与互为相反数，则的值为 A ．12 B 、2 C 、±2 D 、±12
3、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100
B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2-7t-4=0化为1681)47(2=-t
D.3y2-4y-2=0化为
910)32(2=-y 5、若x1 ，x2 是方程x2 －5x+6=0的两个根，则x1 +x2的值是（ ）
A .1 B.5 C. －5 D.6
6、若x1 ，x2 是方程x2 －3x －1=0的两个根，则2111x x +
的值为（ ）
A.3
B.－3
C.31 D －31
7、若x1 ，x2 是方程x2 －6x+k －1=0的两个根，且242221=+x x ，则k 的值为（）
A.8
B. －7
C.6
D.5
8、若关于x 的方程kx 2 －2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）
A.k ＞－1
B. k ＞－1且k ≠0
C. k ＜1
D. k ＜1且k ≠0
9、已知一元二次方程x 2 +2x －8=0的一根是2，则另一个根是______________.
10、(2009泰安) 若关于x 的方程－x 2 +（2k+1）x+2－k 2
=0有实数根，则k 的取值范围是_______
11、解方程：(1)32)32(22=-x ; (2)3(1)2(1)y y y -=-;
(3) 3(4x2 －9)－(2x －3)=0; (4) x2 －6x+8=0
12、(2009鄂州)关于x 的方程kx 2+(k+2)x+4k
=0有两个不相等的实数根，
(1)求k 的取值范围；
(2)是否存在实数k 使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在求出k 的值；不存在说明理由。

考点：一元二次方程的应用
一、考点讲解：
1．构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下：
⑴ 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等；
⑵ 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的
等量关系是a(1±x ）2=b ，其中a 表示增长（降低）前的数据，x 表示增长率（降低率），b 表示后来的数据。

注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过1。

⑶ 经济利润问题：总利润=（单件销售额－单件成本）×销售数量；或者，总利润=总销售额－总成
本。

⑷ 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中变化的线
段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。

2．注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别
要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．
练习题
6.已知一元二次方程x 2 －2x －7=0的两个根为x 1，x 2，则x 1+ x 2的值为（ ）
A ．－2
B ．2
C ．－7
D ．7
7.已知x 1、x 2是方程x 2－3x ＋1 ＝0的两个实数根，则
2111x x 的值是( ) A 、3 B 、－3 C 、13
D 、1 8.用换元法解方程(x 2＋x)2＋(x 2＋x)＝6时，如果设x 2＋x ＝y ，那么原方程可变形为（ ）
A 、y 2＋y －6＝0
B 、y 2－y －6＝0
C 、y 2－y ＋6＝0
D 、y 2＋y ＋6＝0
9.方程x 2－5x=0的根是（）
A ．0
B ．0，5
C ．5，5
D ．5
10.若关于x 的方程x 2＋2x ＋k=0有实数根，则（ ）
A ．k ＜1，
B ．k ≤1
C ．k ≤－1
D ．k ≥－1
11.如果一元二次方程x 2－4x ＋2＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2等于（ ）
A. 4
B. －4
C. 2
D. －2
12.用换元法解方程(x 2－x)－x x -2＝6时，设x x -2＝y ，那么原方程可化为（ ）
A.2y ＋y －6＝0
B. 2y ＋y ＋6＝0
C. 2y －y －6＝0
D. 2y －y ＋6＝0
13.设x 1，x 2是方程2x 2+3x-2=0的两个根，则x 1＋x 2的值是 ( )
A ．-3
B ．3
C ．－23
D ．23
14.方程x 3-x=0的解是（ ）
A ．0，1
B ．1，-1
C ．0，-1
D ．0，1，－1
15.用换元法解方程25x ()40=y,11x+1x x x x -+=++时，若设则原方程_ _
16.两个数的和为6，差（注意不是积）为8，以这两个数为根的一元二次方程是__________
17.方程x 2－x=0的解是______________
18.等腰△ABC 中，BC=8， AB 、BC 的长是关于x 的方程x 2
－10x+m= 0的两根，则m 的值是________.
19.关于x 的一元二次方程ax2 +2x+1=0的两个根同号，则a 的取值范围是 _______________.
20. 21.解方程：x 3－2x 2
－3x ＝0.
22.解方程组：22y=x+1x +y =5⎧⎨⎩ 23.解方程：2（x －1）2
+5（x －l ）+2=0．
24.解方程：x 2 －2x －2=0
25.解方程：x 2 +5x+3=0
26.已知关于x 的一元二次方程2(1)60x k x -+-=的一个根是2，求方程的另一根和k 的值．
27.已知关于 x 的一元 二次方程22(4)3340k x x k k ++++-=的一个根为0，求k 的值．
中考预测题
一、基础经典题( 44分)
(一)选择题(每题4分，共28分 )
【备考1】如果在－1是方程x 2
+mx －1=0的一个根，那么m 的值为（ ）
A ．－2
B ．－3
C ．1
D ．2
【备考2】方程2(3)5(3)x x x -=-的解是（ ）
A ．12553 . .3, .322x
B x
C x x
D x =====- 【备考3】若n 是方程20x mx n ++=的根，n ≠0，则m+n 等于（ ）
A ．－7
B ．6
C ．1
D ．－1
【备考4】关于x 的方程20x mx n ++=的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是（ ）
A ．m ＝0，n ＝0
B ．m ＝0，n ≠0
C ．m ≠0，n = 0
D ．m ≠0，n ≠0
【备考5】以5－2 6 和5+2 6 为根的一元二次方程
是（ ）
A ．21010x x -+=
B ．01102=++x x
C ．01102=--x x
D ．01102=-+x x
【备考6】已知1x ，2x 是方程x 2
－x －3=0的两根，
那么2221x x +值是（ ）
A ．1
B ．5
C ．7
D 、494
【备考7】关于x 的方程221(3)04x m x m --+= 有两个不相等的实根，那么m 的最大整数是（ ） A ．2 B ．－1 C ．0 D ．l
（二）填空题（每题4分，共16分）
【备考8】已知一元二次方程x2＋3x+1=0的两个根为x
1，x
2
那么（1+ x
1
）（1+ x
2
）的值等于_______.
【备考9】已知一个一元二次方程x2+px+l=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则P的值是_______. 【备考10】如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x－3=0的根，则□ABCD的周长是_______
【备考11】关于x的方程
2
(1)3(2)
k x k x
++-+2420
k-=的一次项系数是－3，则k=_______
【备考12】关于x的方程
221
(1)50
a a
a x x
--
++-=是一元二次方程，则a=__________.。