第11章 动量定理

O
ϕ
A
O
解：
在某时刻，小球的受力及 速度方向如图。
根据质点的动量定理
d
(m vv ) =
v F
dt
ϕv FT A vvA v P
有
d dt
(mv
A
)=
−P
sin
ϕ
因
v A = L ϕ&
故 ϕ&& + g sin ϕ = 0
L
ϕ&& + g sin ϕ = 0
L
摆锤微笑摆动时 sin ϕ ≈ ϕ ϕ&& + g ϕ = 0
k
v
Ax
Fk
ϕM
B
d dt
[mx& A
+
m1 (x& A
+
Lω
cosϕ
)]
=
−kxA
&x&A
+
m
k +
m1
xA
=
m1Lω 2
m + m1
sin ωt
§11-3 质心运动定理
1、质量中心
矢径
∑∑ ∑ rvc =
mirvi =
mi rvi
mi
m
直角坐标投影
∑∑ ∑ xc =
mi xi = mi
mi xi m
y xA
k
v
Ax
Fk
ϕM
B
将质点系的动量定理在x方向投影，有
d dt
(mvA
+ m1vB ) = −Fk
= −kxA
vA = x&A vB = x&A + Lϕ& cosϕ = x&A + Lω cosϕ
d dt
(mvA
+
m1vB
)
=
−kxA
vA = x&A
vB = x&A + Lω cosϕ
y xA
只有外力才能改变质点系质心的运动；内力不 影响质心的运动，但可改变系统内各质点的运动。
3、质心运动守恒定律
∑ m avC =
v Fi
(e
)
∑ ① 若
v F
i
(e
)
≡
0
则 质心作匀速直线运动或保持静止。
∑ ② 若
F
(e
ix
)
≡
0
则 质心的速度在x轴上的投影保持不变。
例题11-8 电动机的外壳固定在水平基础上，定子
它们以简明的数学形式， 表明两种量 ： 一种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能 等)；另一种是同力相关的量(冲量、力 矩、功等) — — 之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深 入的研究。在一定条件下，上述特征量用这些定理来 解答动力学问题非常方便简捷 。
第十一章 动量定理
§11–1 §11–2 §11–3
概述-动力学普遍定理
对质点动力学问题： 可建立运动微分方程求解。
对质点系动力学问题： 可逐个质点建立运动微分 方程，联立求解，但求解 过程很复杂。
实际问题是： 1、联立求解微分方程非常困难。 2、大量的问题中，不需要了解每 一个质点的运动，仅需要研究 质点系整体的运动情况。
动量定理、动量矩定理、动能定理统称动力学 普遍定理，它们从不同的侧面揭示了质点和质点系 总体的运动变化与其受力之间的关系，可以求解质 点系动力学问题。
1、质点的动量定理
牛顿第二定律
d
(m vv ) =
v F
dt
d (m vv ) =
v Fdt
质点动量定理的微分形式，即质点动量的增
量等于作用于质点上的力的元冲量。
对上式积分，得
∫ mv2 − mv1 =
t2 t1
Fdt = I
质点动量定 理积分形式
2、质点系的动量定理
mi，速设度质为点v系i，有所n个受质外点力，为其Fvi中(e) 第，所i 个受质内点力的为质Fv量i(i)为
(m1 + m2 )&x&C = FNx (m1 + m2 )&y&C = FNy − (m1 + m2 )g
即 − m2eω 2 cosωt = FNx
− m2eω 2 sin ωt = FNy − (m1 + m2 )g
所以
FNx = −m2eω 2 cosωt
FNy = (m1 + m2 )g − m2eω 2 sin ωt
由质点系动量定理可见，质点系的内力不能改 变质点系的总动量，但可以改变各质点的动量。
动量定理在直角坐标系的投影式分别为：
∑ dpx =
dt
F (e) x
∑ dpy =
dt
F (e) y
∑ dpz =
dt
F (e) z
∑ p2x − p1x =
I (e) x
∑ p2 y − p1y =
I (e) y
pv = mvvC
例题11-1 求下列质量均为m的均质物体的动量。
Oω
L
vvC
vvC
ω
C
C
ω
C
vvC
e
A
p = 1 mωL
2
p = mvC
p =0
p = meω
例题11-2 求如下各物体质量均为m的均质物体系
统的总动量。各接触处均无相对滑动。
vv
解：
p = mv + 2mvC
vv
= mv + 2m v 2
∑ p2z − p1z =
I (e) z
3、质点系动量守恒定律
∑ ∑ d pv =
dt
v Fi
(e
)
dpx = dt
F (e) x
∑ ① 若
v F
i
(e
)
≡
0
则 pv = 常矢量
∑ ② 若
F
(e
ix
)
≡
0
则 p x = 常量
例题11-4 图示单摆，OA=L，小球A重P，给小球
一初始速度或初始位移，它就在经过O点的铅垂面 内摆动。求此单摆在微笑摆动时的运动规律。
ϕ
A
vvC 2 vvB
θ
C2
B x
px
= − mωL cos 450
2
−
5mωL cosθ −
2
2mωL = −2 2mωL
py =
mωL sin 450
2
+
5mωL sinθ = 2 mωL
2
2
pv = mvvC1 + mvvC2 + mvvB
vC1 = ωL 2
y
vvA
ω AB
E
vC2 = 5 ωL 2
例题11-9 浮动起重船，船的重量为P1=200kN，
起重杆的重量为P2=10kN， 长 l =8m，起吊物体的重 量为P3=20kN 。 设开始起吊时整个系统处于静止，
y
vvA
ω AB
E
vvC1 A
ω C1
Oϕ
vvC 2 C2 vvB
B x
vC2 = C2E ⋅ωAB = 5ωL 2
pv = mvvC1 + mvvC2 + mvvB
vC1 = ωL 2
y
vvA
ω AB
E
vC2 = 5 ωL 2
tan θ
vB = 2ωL
计算动量在坐标轴 上投影
=1 3
O
vvC1
ω C1
vvC
= 2mv
向右
例题11-3 曲柄连杆机构的曲柄OA以匀ω 转动，
设OA=AB=L ，曲柄OA及连杆AB都是匀质杆，质
量各为m ，滑块B的质量也为m。求当ϕ = 45º时系
统的总动量。
A
ω
Oϕ
B
解：
pv = mvvC1 + mvvC2 + mvvB
vC1 = ωL 2
E为AB杆的速度瞬心
ωAB = vA AE = ω vB = BE ⋅ωAB = 2ωL
L
ϕ = A sin (ω 0t + ϕ 0 )
O
ϕv FT A vvA v P
其中 ω 0 = g L 称为固有频率或圆频率 ϕ 0 为初始相位
A 为振幅
例题11-5 质量为m1的平台AB，放于水平面上，
平台与水平面间的滑动摩擦系数为f。质量为m2的 小车D，由绞车拖动，相对于平台的运动规律为 s=bt 2/2，其中b为已知常数。不计绞车的质量，求
vB = 2ωL
计算动量在坐标轴 上投影
vvC1 A
θ
ω C1
Oϕ
vvC 2 C2 vvB
B x
pv = mvvC1 + mvvC2 + mvvB
= −2 2mωL ⋅ iv + 2 mωL ⋅ vj
2
4、冲量
力与其作用时间的乘积称为力的冲量，表示力 在其作用时ห้องสมุดไป่ตู้内对物体作用的累积效应的度量。
例如，推动车子时，较大的力作用较短的时 间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总 效应。
∑ ∑ (∑ ) 量。 ②以符号
pv
pv = mivvi
表示
=
mi
drvi dt
=d dt
mi rvi
∑ 令 m = mi 为质点系各质点质量之和
∑ 定义：质点系的质量中心C的矢径 rvC =
mi rvi m
( ) ∑ ∑ ∑ pv =
mivvi =
mi
drvi dt
=d dt
mi rvi
m = ∑ mi
∑ 质量中心C rvC =
mi rvi m
( ) ∑ pv = d dt
mi rvi
=
d dt
(mrvC )
= mvvC
上式表明：质点系的动量等于质心速度与其全部质 量的乘积。
对于质量分布均匀的物体（均质物体），质心 就是几何形心，也是重心。
3、刚体的动量
刚体的动量等于刚体质心速度与刚体质量的乘积。
于是，根据质点动量定理，有
d (m i vvi ) =
v F
i
(e
)d
t
+
v Fi
(i
)d
t
∑ ∑ ∑ d (m ivvi ) =
v F
i
(e
)d
t
+
v F
i
(i
)d
t
=
0
(∑ ) ∑ d
m i vvi =
v F
i
(e
)d
t
-------质点系的动量定理的微分形式
质点系的动量定理的微分形式也可写成
vD = vDr − vAB
avAB
S
A
vvDr
ω
D
vvAB
B
v FS max
d dt
(m2vD
− m1vAB ) =
f (m1 + m2 )g
vDr = S& = bt vD = vDr − vAB
d dt
[m2vDr
− (m1
+ m2 )vAB ] =
f
(m1
+ m2 )g
a AB
=
dvAB dt
动量与冲量 动量定理 质心运动定理
§11-1 动量与冲量
1、质点的动量
①定义：质点的质量与速度的乘积 mv 称为质
点的②动动量量。是是瞬表时征矢质量点，机方械向运与动强vv 相度同的。一种度量。 ③动量单位是 kg⋅m/s，以符号 pv 表示
pv = mvv
2、质点系的动量
①定义：质点系内各质点的动量矢量和 称为质 点系的动量。 是表征质点系机械运动强度的一种度
∑∑ ∑ yc =
mi yi = mi
mi yi m
∑∑ ∑ zc =
mi zi = mi
mi zi m
2、质心运动定理
(∑ ) ∑ d
m i vvi =
dt
v F
i
(e
)
∑ d (mv C ) = dt
v F
i
(e
)
或
∑ m avC =
v Fi
(e
)
质点系质量与质心加速度乘积等于质点系外 力矢量和，该规律称为质心运动定理。
的质量为m1，转子质量为m2 ， 转子的轴通过定子的 质心O1，但由于制造误差，转子的质心O2到O1的距
离为e 。求转子以角速度ω 作匀速转动时，基础作用
在电动机底座上的约束反力。
解: 取整个电动机作为质点系研究，受力如图
在任意时刻 t
定子质心坐标 x1=y1=0；
转子质心坐标 x2=e cosωt，y2=e sinωt
于是有 M (−v)+mvax =0
M (−v) + m(vrx − v) = 0
∑ F (e) x
=
0
px = 常量。
M (−v) + m(vrx − v) = 0
vrx = M + m vm
Srx = M + m Sm
S
=
m M+
m
S rx
= m (a − b) M +m
例题11-7 质量为 m 的滑块 A ，可以在水平光滑槽
如力F是常矢量： I = F t
力 F 的冲量的方向与力的方向相同，单位是 N·s， 与动量的单位相同。
如力F 是变矢量（包括大小和方向的变化）： 则在微小时间间隔内，力F的冲量称为元冲量。
元冲量 dI = Fdt
而力 F 在时间 t 内的冲量为矢量积分：
∫t
I = Fdt 0
§11-2 动量定理
因此，电机的质心坐标为
xC
=
m1x1 + m2 x2 m1 + m2
=
m2e cosωt
m1 + m2
yC
=
m1 y1 + m2 y2 m1 + m2
=
m2e sin ωt
m1 + m2
xC
=
m2e cosωt
m1 + m2
yC
=
m2e sin ωt
m1 + m2
由质心运动定理，得电机质心C的运动微分方程为
= m2b − f (m1 + m2 )g
m1 + m2
例题11-6 质量为M的大三角形柱体，放于光滑水
平面上，斜面上另放一质量为m的小三角形柱体，求 小三角形柱体滑到底时，大三角形柱体的位移。
解：选两物体组成的系统为研究对象。
∑ F (e) x
=
0
px = 常量。
设大三角块速度为 vv
小则三小角三块角相块对的大速三度角vv块a =速v度ve为+vvvvrr
∑ ∑ d pv =
v Fi
(e
)d
t
或
d pv = dt
Fvi (e )
即质点系的动量的增量等于作用于质点系的外 力元冲量的矢量和。或质点系的动量对时间的一阶 导数等于作用于质点系的外力的矢量和。
∑ 积分得： pv 2 − pv 1 =
Ivi(e )
积分形式
即质点系的动量的改变量等于作用于质点系的 外力冲量的矢量和。
中运动，具有刚度系数为 k 的弹簧一端与滑块相 连，另一端固定。杆AB长度为L，质量忽略不计，A 端与滑块铰接，B端上装有质量为m1的小球，在铅垂
面内可绕A点转动。设在力偶M作用下转动角速度ω
为常数。求滑块A的运动微分方程。
k A
ϕM
B
解：
以弹簧自然长度位置为 坐标原点，建立图示坐 标系，则有
xB = xA + L sin ϕ
平台的加速度。
S
ω
D
A
B
解：
设AB的速度和加速 度均向左，受地面 摩擦力向右，如图
avAB
S
A
小车D相对AB的速度向右，如图
vvDr
ω
D
vvAB
B
v FS max
将质点系的动量定理在x方向投影，有
( ) d
dt
m2vD − m1vAB
= Fs max
=
f (m1 + m2 )g
由点的速度合成定理，可得