《等比数列的前n项和》优质课比赛一等奖
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高二数学等比数列前n项和2省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
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寒而栗の错觉,那副气势果然是白起没错.东舌望咯壹眼白起,笑道:"果然是英雄出少年,您可有意加入孤大军,来日壹起征战沙场？"白起嘴角勾勒起壹丝冷笑,冷冷道:"加入无妨,但吾加入,肯定要做叁军之帅/"好狂妄の话语/长辽上前喝问道:"好小子,您有何能力能担任那叁军主帅,看年 龄应该是连孙子兵法都未曾念过."白起重瞳之中锐气****,四把雪亮刀锋般の目光,冷眼凝视着长辽.冷冷反问道:"孙子兵法,否过烂书壹本,有何价值可言？""您"长辽指着眼前の白起,登时气得说否出话来."好/"东舌猛地壹拍龙案.深吸壹口气后,淡然问道:"既然您说那孙子兵法烂书壹 本,那孤问您,您比孙武怎样？"白起用壹双寒星般の眼睛,冷冷の盯着东舌.过咯片刻,才冷笑道:"孙武成事否足败事有余,生平尽会说些大道理,打仗却是败绩累累,所谓の孙子兵法,却是太过拘泥,真正兵法是与战场融会贯穿,故他否及吾壹分/"话音刚落,郭嘉轻轻放下酒樽,用那深邃如渊 の目光望着白起.赞叹道:"妙哉,居然有如此意气风发の少年,在下倒是见所未见,闻所未闻,殿下何否将其留在帐下,后来再慢慢积攒威望."东舌捋咯捋须绒,昂首笑道:"既然如此,那孤便收您入帐,您若真有本事,来日便让您统率叁军."白起那才上前拱手道:"谢殿下.等到那壹天,吾定让世 人见识吾白起の威名/""罢咯,今夜厮杀过累,文远您速速号令叁军.各自清理战场之后便开始休整,孤也累咯,诸位便先退下吧."东舌若有所思の点咯点头,朝台下诸将喝令道.众人点咯点头,上前拱手壹礼,便退出咯大殿.各司其职而去.大殿之中,便又剩余咯东舌与琼英二人,东舌却是用指 尖否断轻敲额头,眉目紧锁."殿下,如今
等比数列前n项和的求和公式微课名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
设{an}为等比数列,a1 为首项,q为公比,它旳前n项和
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 ①
两边同步乘以 q 为
qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn ②
两式相减得 (1 q)Sn a1 1 qn
错位相减
(1 q)Sn a1 1 qn
课堂小结及巩固作业
(1)等比数列旳前n项和公式
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 anq 1 q
,q 1
Sn
na1 q
1
(2) 公式推导利用思想 “错位相减”
(3) 公式旳利用： a1, q, n, Sn
作业：完毕课后习题2,3
①
两边同步乘以2，
2S30 2 22 23 229 230 ②
由①-②得,
S30 1 230 即 S30 230 1 1.01010.
而S30' 3.0 1053,显然S30比S30'大得多,
所以，究竟是猪八戒占便宜还是孙悟空 有谋略？
三：问题拓展，有效指导
探讨：对于一般旳等比数列我们该怎样求它 旳前n项和?
教学重、难点：
要点：等比数列旳前n项和公式旳推导； 难点：灵活应用公式处理有关问题。
回忆：求等差数列旳前n项和用了倒序相加法
即
Sn a1 a2
Sn an an1
an a1
两式相加 而得 Sn
对于该式子是否也能用倒序相加法呢？
能否找到一种式 子与原式相减能
消去中间项？
S30 1 2 22 228 229
？
Sn
a1
1 qn 1 q
分类讨论
等比数列旳
当q 1 时
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 ①
两边同步乘以 q 为
qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn ②
两式相减得 (1 q)Sn a1 1 qn
错位相减
(1 q)Sn a1 1 qn
课堂小结及巩固作业
(1)等比数列旳前n项和公式
Sn
a1
1 qn 1 q
a1 anq 1 q
,q 1
Sn
na1 q
1
(2) 公式推导利用思想 “错位相减”
(3) 公式旳利用： a1, q, n, Sn
作业：完毕课后习题2,3
①
两边同步乘以2，
2S30 2 22 23 229 230 ②
由①-②得,
S30 1 230 即 S30 230 1 1.01010.
而S30' 3.0 1053,显然S30比S30'大得多,
所以，究竟是猪八戒占便宜还是孙悟空 有谋略？
三：问题拓展，有效指导
探讨：对于一般旳等比数列我们该怎样求它 旳前n项和?
教学重、难点：
要点：等比数列旳前n项和公式旳推导； 难点：灵活应用公式处理有关问题。
回忆：求等差数列旳前n项和用了倒序相加法
即
Sn a1 a2
Sn an an1
an a1
两式相加 而得 Sn
对于该式子是否也能用倒序相加法呢？
能否找到一种式 子与原式相减能
消去中间项？
S30 1 2 22 228 229
？
Sn
a1
1 qn 1 q
分类讨论
等比数列旳
当q 1 时
《等比数列的前n项和》优质课比赛一等奖PPT课件
1 210
63 1024
2
【解法2】 a5 a9 a10
S10 S4
1 2
(1
1 210
)
1 2
(1
1 24
)
1 1
1
2
2
1 24
1 210
63 1024
练习课本28页1题
例3 五州电扇厂去年实现利税300万元，计 划在以后5年中每年比上年利税增长10%，问 从今年起第5年的利税是多少？这5年的总利 税是多少(结果精确到万元)
思路一
S30 1 2 22 23 ... 229 1 2(1 2 22 23 ... 228 )
解 方
1 2(S30 229 ) ,
程 法
移项得：S30 2S30 1 230
解 得：S30 230 1
思路二
乘公比错位相减法
观察得：
解：每年的利税组成一个首相 a1 300,公比q 110%
的等比数列。从今年起，第5年的利税为
a6 a1q5 300 (110%)5 3001.15 483
这5年的总利税为
S a2 (q5 1) 3001.1 1.15 1 2015万元
q 1
1.1 1
回顾
情境引入
高老庄集团
周转不 灵……
第一天出１分入１万；第 二天出２分入２万;第三天 出这4猴分子入会３不万会元又；在……耍哇我，？发
……
了……
猴哥,能不能帮帮 我……
No problem！第一 天给你１万，每天给 你投资比前一天多１ 万元， 连续一个月 (30天)，但有一个条
《等比数列的前n项和》课比赛一等奖课件
直观示例
通过具体生活案例和直观图示 ,帮助学生理解等比数列前n项 和的概念。如房地产投资、人 口增长等。
分步讲解
循序渐进地讲解等比数列的定 义、通项公式、首项和公比, 再推导前n项和公式。引导学 生理解各步骤。
应用实践
设计大量应用实例,如财务分 析、自然科学等,让学生运用 所学解决实际问题,增强学习 兴趣。
数学模型构建
等比数列前n项和在数学建模中扮演着关键 角色,帮助建立描述实际问题的数学模型,为 后续分析决策提供基础。
经济金融模型
对于一些经济金融问题,如现金流分析、股 票收益预测等,等比数列前n项和模型是有效 的数学工具。
工程技术应用
在工程技术领域,等比数列前n项和模型可用 于设备寿命分析、材料疲劳计算等,提高设 计方案的可靠性。
探索发现
鼓励学生自主探索等比数列前 n项和的性质和应用,激发其主 动学习的积极性和创造力。
等比数列前n项和的重要性及意 义
1 数学概念的深入理解
等比数列前n项和涉及数列、 级数、函数等多个数学概念,有 助于学生全面理解数学知识体 系。
2 实际应用的广泛性
等比数列前n项和在工程、经 济、金融等领域有广泛应用,体 现了数学在现实生活中的重要 作用。
等比数列前n项和在风险投资、保险定价等场景中帮助分析师权衡风
险和收益。通过寻找最优n,可以达到风险收益的最佳平衡点。
等比数列前n项和的变形计算
边界条件变形
根据实际问题的需求, 可以将等比数列的首项和公比等情况进行适当变形处理, 以获得更加精确的计算结果。
等价转换
有时通过等价变形, 可以将等比数列前n项和问题转化为更容易解决的形式,从而 简化计算过程。
等比数列的前n项和
《等比数列的前n项和》课比赛一等奖课件
2 前n项和
$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$
如何求等比数列的前n项和？
• 确定数列的首项和公比 • 利用前n项和的通, 16, 32$
首项
$a_1=2$
公比
$q=2$
前3项和
$S_3=\frac{2(12^3)}{1-2}=14$
《等比数列的前n项和》 优质课比赛一等奖PPT课 件
欢迎来到《等比数列的前n项和》优质课比赛一等奖PPT课件。让我们一起探 索等比数列的奇妙世界吧！
什么是等比数列？
首项和公比
等比数列由首项和公比两部分组成
公比的定义
公比指的是相邻两项之间的比值
等比数列的通项公式
1 第n项
$a_n=a_1 \cdot q^{n-1}$
总结
• 等比数列是数学中一种重要的数列类型 • 可以利用通项公式求出其前n项和 • 在数学竞赛和应用数学等领域有极高的实用价值 欢迎大家继续探索等比数列的魅力！
全国青年教师素养大赛一等奖等比数列前n项和优质课评课稿
等比数列的前n项和评课稿关于柴艳丹老师市优质课《等比数列的前n项和》，我经过认真细致的思考，认为这是一堂成功的优质课。
“倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力，获取新知识的能力，分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”方面，给我们做出了榜样或者是有意的尝试。
就本节课而言，我们认为有以下优点：1.课前准备充分，教材挖掘深刻、透彻，整堂课中，自始至终都体现出新课改的理念：教师的主导作用和学生的主体地位，这也是本节课的最大的亮点。
2.完成了预定的教学目标。
难点处理恰当，重点处理合适。
课堂的具体实施中，从引例出发，再到等比数列{}a的前n项和的推导，n在老师的引导下，先让学生进行主动地探求而得到的。
再通过例题的讲解，结合练习的巩固。
让学生学会了等比数列的简单应用。
3.本节课设计巧妙，有梯度，高而不难，环环相扣，层层推进，最后能水到渠成的得出所要的结论。
由引例出发，再到等比数列{}a的n前n项和的推导，最后很自然的证明了等比数列{}a的前n项和公式。
n从一连串的问题设计来看，教师运用并向学生渗透了特殊到一般，类比与转化、分类讨论等数学思想和方法，不知不觉地培养了学生的观察、归纳、抽象、概括等逻辑思维能力，运算能力。
4.教师授课语言干净利落，尽管声音响亮，但不重复，无啰嗦，语速适中。
教师提出每一个问题后，均能给学生留出思考、运算的时间，教师不催、不直接给出答案。
当然，由于学生的素质较高，所以每个问题经过学生的思考都能得到正确的结果。
以上仅是我的一些看法，如有不对之处，还请各位同仁指正。
点评人：焦作市第一中学郜珂。
苏教版等比数列前N项的和优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
（3）表达了分类数学思想;
(4)对等比数列求和需分清q=1还是q≠1
第8页
基础知识形成性练习
1 依据以下条件求Sn
(1)a1=3, q=2,n=6
(2) a1
8, q
2, a n
1 2
第9页
知识利用与探究
例1 求等比数列1/2，1/4，1/8…… (1)前8项和; (2)第四项到第八项和
解 (1) ∵a1=1/2 q=1/2 n=8
第5页
S30=1+2+22+…+229
①
若用公比2乘以上面等式两边，得到
Байду номын сангаас
2S30=2+22 +…+229+230
②
若②式减去①式，能够消去相同项， 得到：S30=230-1=1073741823(分)
≈1073(万元) ＞ 465（万元）
答案:穷人不能向富人借钱
第6页
等比数列前n项和公式推导
Sn = a1 + a1q + a1q2 +……+a1qn-2 + a1qn-1 (1) qSn = a1q + a1q2 + a1q3 + …+ a1qn-1 + a1qn (2)
在等比数列an 中,
a3 4, s3 12, 求a1与q
第15页
课堂小结
等差数列
求
和 公
Sn
n(a1
2
an
)
na1
n(n 2
1)
d
式
推
倒序相加
导
方
法
公 式
应 用
等比数列
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=? S n a 1 a 2 a 3 a n 1 a n
即
=? S n a 1 a 1 q a 1 q 2 a 1 q n 2 a 1 q n 1
错位相减法
等比数列 { a n },公比为 q,它的前 n项和
Sn a1a1q a1q 2 a1qn2a1qn1
qSn a1q a1q 2 a1qn2a1qn1a1q n
(1 1 - q q)Sna1a1qn
Sn
a1(1 qn) 1q
点击
判断是非
55555(11n)0
11
n个
1248 1 6 ( 2 )n 11
(1
2
n
)
（ 2）n
1 (2)
1 2 2 2 2 3 2 n 1 (1 2n ) n+1
12
例1 已知 { a n } 是等比数列，请完成下表：
2倍．
八戒吸纳的资金
返还给悟空的钱数
T30 123 30 S30 1 1, 2 2, 2 22 2, 2 23 3 , , 2 22 29 9
465 (万元)
=?
等比数列的前30项和
连续一个月(30天)
第一天返还1元， 第二天返还2元， 第三天返还4元…… 后一天返还数为前一天的
2倍．
等比数列的前n项和
S
1 25
(1
1 26
)
1 1
1 24
1 210
63 1024
2
【解法2】 a5a9a10
S10S4
1 2
(1
1 210
)
1 2
(1
1 24
)
1 1
1 1
2
2
1 1 24 210
63 1024
乘公比 错位相减
等比数列的 前n项和公式
小结
或 Sn
a1
(1 q 1q
n
)
q1
a1 anq
Sn
2倍．
八戒吸纳的资金
返还给悟空的钱数
T30 123 30S30 1 1, 2 2, 2 22 2 , 2 23 3 , , 2 22 29 9 465(万元)
等比数列的前30项和
每天投资100万元， 连续一个月(30天)
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天的
1q
q1
na1
q 1
na1
q 1
数
知三求二
数
学
学
源
用
于
于
生
生
活
活
思考
资料：
上海卫视０７好男儿总冠军即将 产生，据主办方透露，若某位选手的 人气指数超过１２５才有机会夺冠， 现在某位选手第一天的人气指数从0上 升到２５，以后每天上升指数为前一 天上升指数的８０％，你看好这位选 手么？
1、书面作业：
等比数列的前n项和
高老庄集团
周转不 灵……
第一天出１分入１万；第 二天出２分入２万;第三天 出这4猴分子入会３不万会元又；在……耍哇我，？发
……
了……
猴哥,能不能帮帮 我……
No problem！第一 天给你１万，每天给 你投资比前一天多１ 万元， 连续一个月 (30天)，但有一个条
件：
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天的
题号 a1
q
(1) ３ ２
(2) ８
1
2
(3)
3
2
n
an
Sn
６ 96 189
1
பைடு நூலகம்127
7 8
8
6
96 63
a1、q、n、an、Sn中
知三求二
例2
1 求等比数列2
,
1 4
,
1 8
,
的第5项到第10项的和.
【解法1】此等比数列的第5项到第10项构
成一个首项是
a5
1 25
公比为
q
1
2
，项数 n6 的等比数列
必做题：课本P28 练习1, P30习题1-3 6 选做题:
画一个边长为2cm的正方形, 再将这个 正方形各边的中点相连得到第2个正方 形,依此类推,这样一共画了10个正方形, 求这10个正方形的面积的和
作业
Thank you！
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
即
=? S n a 1 a 1 q a 1 q 2 a 1 q n 2 a 1 q n 1
错位相减法
等比数列 { a n },公比为 q,它的前 n项和
Sn a1a1q a1q 2 a1qn2a1qn1
qSn a1q a1q 2 a1qn2a1qn1a1q n
(1 1 - q q)Sna1a1qn
Sn
a1(1 qn) 1q
点击
判断是非
55555(11n)0
11
n个
1248 1 6 ( 2 )n 11
(1
2
n
)
（ 2）n
1 (2)
1 2 2 2 2 3 2 n 1 (1 2n ) n+1
12
例1 已知 { a n } 是等比数列，请完成下表：
2倍．
八戒吸纳的资金
返还给悟空的钱数
T30 123 30 S30 1 1, 2 2, 2 22 2, 2 23 3 , , 2 22 29 9
465 (万元)
=?
等比数列的前30项和
连续一个月(30天)
第一天返还1元， 第二天返还2元， 第三天返还4元…… 后一天返还数为前一天的
2倍．
等比数列的前n项和
S
1 25
(1
1 26
)
1 1
1 24
1 210
63 1024
2
【解法2】 a5a9a10
S10S4
1 2
(1
1 210
)
1 2
(1
1 24
)
1 1
1 1
2
2
1 1 24 210
63 1024
乘公比 错位相减
等比数列的 前n项和公式
小结
或 Sn
a1
(1 q 1q
n
)
q1
a1 anq
Sn
2倍．
八戒吸纳的资金
返还给悟空的钱数
T30 123 30S30 1 1, 2 2, 2 22 2 , 2 23 3 , , 2 22 29 9 465(万元)
等比数列的前30项和
每天投资100万元， 连续一个月(30天)
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天的
1q
q1
na1
q 1
na1
q 1
数
知三求二
数
学
学
源
用
于
于
生
生
活
活
思考
资料：
上海卫视０７好男儿总冠军即将 产生，据主办方透露，若某位选手的 人气指数超过１２５才有机会夺冠， 现在某位选手第一天的人气指数从0上 升到２５，以后每天上升指数为前一 天上升指数的８０％，你看好这位选 手么？
1、书面作业：
等比数列的前n项和
高老庄集团
周转不 灵……
第一天出１分入１万；第 二天出２分入２万;第三天 出这4猴分子入会３不万会元又；在……耍哇我，？发
……
了……
猴哥,能不能帮帮 我……
No problem！第一 天给你１万，每天给 你投资比前一天多１ 万元， 连续一个月 (30天)，但有一个条
件：
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天的
题号 a1
q
(1) ３ ２
(2) ８
1
2
(3)
3
2
n
an
Sn
６ 96 189
1
பைடு நூலகம்127
7 8
8
6
96 63
a1、q、n、an、Sn中
知三求二
例2
1 求等比数列2
,
1 4
,
1 8
,
的第5项到第10项的和.
【解法1】此等比数列的第5项到第10项构
成一个首项是
a5
1 25
公比为
q
1
2
，项数 n6 的等比数列
必做题：课本P28 练习1, P30习题1-3 6 选做题:
画一个边长为2cm的正方形, 再将这个 正方形各边的中点相连得到第2个正方 形,依此类推,这样一共画了10个正方形, 求这10个正方形的面积的和
作业
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