弹塑性力学第二章

y)
17
二、平面应变问题的物理方程
x

1 2
E
( x
1

y )

y

1 2
E
(
y
1

x )

xy

2(1 E
)
xy

三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的
变换关系
将平面应力中的关系式：

x y

1
E 1
xy dy 1 Y dx dy 1 0
8
整理得:
x yx X 0
x y
y xy Y 0
y x
这两个微分方程中包含着三个未知函数 x , y , xy yx。因此 决定应力分量的问题是超静定的；还必须考虑形变和位移，才能 解决问题。
对于平面应变问题,虽然前后面上还有 z ,但它们完全不影
响上述方程的建立。所以上述方程对于两种平面问题都同样适用。
9
§2-3 斜面上的应力、主应力
一、斜面上的应力
已知弹性体内任一点P处的应力分量 x , y , xy yx，求经 过该点任意斜截面上的应力。为此在P点附近取一个平面AB，
y)
x (x,
x
y)
dx
同样

y
、 xy
、
yx
对平面应力状态考虑体力时，仍可证明剪应力互等定理。以通过中
心D并平行于z轴的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程 MD 0 ：
(
xy

xy
x
dx)dy
1
dx 2

xydy
1
dx 2

(
yx

yx
y
dy)dx 1
问题相反。
4
二、平面应变问题 很长的柱体，在柱面上承受平行于横截面并且不沿长度
变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化。
ε z = 0 τ zx = 0 τ zy = 0 如：水坝、受内压的圆柱管道和长水平巷道等。
y
x
P
x
图 2－2
注意平面应变问题z = 0，但 z 0 ，这恰与平面应力
二、P点的切应变
y

v y
线段PA的转角：


(v

v x
dx)

v

v
dx
x
同理可得线段PB的转角：
u
y
所以

xy




v x

u y
14
因此得到平面问题的几何方程：

x


u x

y


v y



xy

v x

u y
由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变 分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分 量却不能完全确定。
当边界面垂直于 y 轴时，应力边界条件简化为：
( y )s Y ,( yx)s X
21
三、混合边界条件
1.物体的一部分边界上具有已知位移，因而具有位移边界条
件，另一部分边界上则具有已知面力。则两部分边界上分别
有应力边界条件和位移边界条件。如图2-6，悬臂梁左端面
有位移边界条件：
uvss

zx


xy

1 G

x
y

16
式中，E为弹性模量；G为刚度模量； 为泊松比。三者
的关系：
G E
2(1 )
一、平面应力问题的物理方程
x

1 E
(
x


y
)


y

1 E
(
y

x )


xy

2(1 E
)
xy

且有：
z



E
( x
问题相反。
5
§2-2 平衡微分方程
无论平面应力问题还是平面应变问题，都是在xy平面内研究问题，
所有物理量均与z无关。
下面讨论物体处于平衡状态时，各点应力及体力的相互关系，并 由此导出平衡微分方程。从图2－1所示的薄板取出一个微小的正平行
六面体PABC(图2－3），它在z方向的尺寸取为一个单位长度。
E
( (
x y


y
)

x )


xy

1
2E
xy

18
作代换
E

E
1
2
1
就可得到平面应变中的 关系式：
由于这种相似性，在解平面 应变问题时，可把对应的平面应 力问题的方程和解答中的弹性常 数进行上述代换，就可得到相应 的平面应变问题的解。
l( x )s m( yx)s X

m( y )s l( xy )s Y
其中 X 和 Y 为面力分量，( x )s、( y )s 、( xy )s 、( yx)s 为边界上的应 力分量。
当边界面垂直于 x 轴时，应力边界条件简化为：
( x )s X , ( xy)s Y
按位移求解时，以位移分量为基本未知函数，由一些只 包含位移分量的微分方程和边界条件求出位移分量以后，再 用几何方程求出形变分量，从而用物理方程求出应力分量。
15
§2-5 物理方程
在完全弹性的各向同性体内，形变分量与应力分量之间的 关系根据虎克定律建立如下：
x

1 E
[
x
( y
z )]

y

1 E
[
y
( z
x )]
z

1 E
[
z
( x



y
)
]

yz

1 G

y
z

zx

1 G
二、举例
设有柱形构件，在两端截面的形心受到大小相等而方向 相反的拉力P ，如图2-9a。如果把一端或两端的拉力变换为 静力等效的力，如图2-9b或2-9c，只有虚线划出的部分的应 力分布有显著的改变，而其余部分所受的影响是可以不计的。 如果再将两端的拉力变换为均匀分布的拉力，集度等于 ， 其中P / A 为构件的A横截面面积，如图2-9d，仍然只有靠近两端 部分的应力受到显著的影响。
2
§2-1 平面应力问题与平面应变问题
在实际问题中，任何一个弹性体严格地说都是空间物体， 它所受的外力一般都是空间力系。但是，当所考察的弹性体 的形状和受力情况具有一定特点时，只要经过适当的简化和 力学的抽象处理，就可以归结为弹性力学平面问题。
平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
一、平面应力问题
等厚度薄板，板边承受平 行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面 并且不沿厚度变化。
σz = 0 τzx = 0 τzy = 0
图2－1
3
特点：
1) 长、宽尺寸远大于厚度
2) 沿板边受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力
平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上
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无外力作用。
y
x
注意：平面应力问题z =0，但 z 0 ，这与平面应变
x

1 2
E
x

1

y

y

1 2
E

y
1

x


xy

2(1 E
)
xy

19
§2-6 边界条件
当物体处于平衡状态时,其内部各点的应力状态应满足 平衡微分方程；在边界上应满足边界条件。
按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、 应力边界问题和混合边界问题。 一、位移边界条件
dy 2

yxdx 1
dy 2

0
将上式的两边除以dxdy 得到：

xy

1 2
xy
x
dx


yx

1 2
yx
y
dy
令 dx 0, dy 0 ，即略去微量不计，得： xy
yx
7
下面推导平面应力问题的平衡微分方程，对单元体列平 衡方程：
Fx 0 :
(
x (x dx, y)，将上式展开为泰勒级
数：

x
(
x

dx,
y
)


x
(
x,
y)


x (x, x
y)
dx

1 2!


2 x (x, x2
y
)
(dx)
2



1 n!


n x (x, xn
y)
(dx)n
6
略去二阶及二阶以上的微量后便得 都一样处理，得到图示应力状态。
x (x,
x

x
x
dx)
dy 1
x
dy1
(
yx

yx
y
dy)
dx 1
yx dx1 X dx dy 1 0
Fy 0 :
(
y

y
y
dy) dx1
y
dx 1 ( xy

xy
x
dx) dy 1
如图2-7连杆支撑边界条件： u us 0
Y ( xy )s 0
如图2-8齿槽边界条件：
v vs 0
X ( x )s 0
o
x
y
图2-7
o
y
图2-8
x
23
§2-7 圣维南原理
一、圣维南原理
如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同 但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相 同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所 受的影响可以不计。
cos(N, x) l,cos(N, y) m
图2－4
10
斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB
的平衡条件Fx 0 可得：
X N dS xldS yxmdS
除以 dS 即得：
X N l x m yx
同样由 Fy 0 得出： YN m y l xy
1
第二章 平面问题的基本理论
§2-1 平面应力问题与平面应变问题 §2-2 平衡微分方程 §2-3 斜面上的应力主应力 §2-4 几何方程刚体位移 §2-5 物理方程 §2-6 边界条件 §2-7 圣维南原理 §2-8 按位移求解平面问题 §2-9 按应力求解平面问题。相容方程 §2-10 常体力情况下的简化 §2-11 应力函数逆解法与半逆解法 习题课
斜面AB上的正应力 N ，由投影可得：
N lXN mYN l2 x m2 y 2lm xy
斜面AB上的剪应力 N ，由投影可得：
N lYN mXN lm( y x ) (l2 m2) xy
11
二、主应力
如果经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面 上的正应力称为P点的一个主应力，而该斜面称为P点的一个 应力主面，该斜面的法线方向称为P点的一个应力主向。
当边界上已知位移时，应建立物体边界上点的位移与 给定位移相等的条件。如令给定位移的边界为 Su ，则有
（在 Su 上）： us u vs v
其中 u s 和 vs 表示边界上的位移分量，而 u 和 v 在边界上
是坐标的已知函数。
20
二、应力边界条件
当物体的边界上给定面力时，则物体边界上的应力应满 足与面力相平衡的力的平衡条件。
一、P点的正应变
x

(u

u dx) x dx
u

u x
在这里由于小变形，由y
方向位移v所引起的PA的伸缩
是高一阶的微量，略去不计。
o
u P
v
y
P
B v v dy
y
u u dx x
A
A
x
v v dx x
B
u u dy y
图2－5
13
同理可求得：
24
P
P
(a)
P
(b)
P/2 P/2
(c)
P/ A
(d)
P/2
在上述四种情况下，离开两
P / 2 端较远的部分的应力分布，并
没有显著的差别。
P/2
P / 2 注意：
应用圣维南原理，绝不能 P / A 离开“静力等效”的条件。
P
P
(e)
图2-9
25
§2-8 按位移求解平面问题
在弹性力学里求解问题，有三种基本方法：按位移求解、 按应力求解和混合求解。
它平行于上述斜面，并与经过P点而垂直于x轴和y轴的两个平
面划出一个微小的三角板或三棱柱PAB。当平面AB与P点无限
接近时，平面AB上的应力就成为上述斜面上的应力。
o
yx y
x
P
A
xy
x
y
B
N
YN
XN
N
S
N
设AB面在xy平面内的长度为dS， 厚度为一个单位长度，N 为该面的外
法线方向，其方向余弦为：
1.主应力的大小

1 2


x
y
2


(
x

2
y
)2

2 xy
2.主应力的方向 1 与 2 互相垂直。
12
§2-4 几何方程、刚体位移
在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。
通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性
体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。

u v
0 0
h 2
上下面有应力边界条件：
h 2
X ( yx)s 0

Y ( y )s 0
右端面有应力边界条件：
X ( x )s q Y ( xy )s 0
o
l y
图2-6
q
x
22
2.在同一边界上，既有应力边界条件又有位移边界条件。
o
x
yx
y
P X A xy D Y x
x

x x
dx

xy

xy x
dx
y B C
y

yx y
y
yx y
dy
dy
图2－3
设作用在单元体左侧面上的正 应力是 x x (x, y，) 右侧面上坐标 x 得到增量 dx，该面上的正应力为