分式方程的解法.doc
分式方程解法逐字稿
分式方程解法逐字稿
分式方程的解法可以通过以下步骤进行逐步推导：
步骤1：消除分式中的分母。
如果分式方程中含有分母，就需要进行消去。
可以通过两种方法消除分母，一种是通分，另一种是将分母乘到等式的两边。
步骤2：合并同类项。
将等式两边的所有项进行合并，即将所有的变量项放在一起，将所有的常数项放在一起。
步骤3：移项。
将含有变量的项移到等式的一边，将常数项移到另一边。
此步骤需要根据方程的要求，将变量项移动到等式的左边或右边。
步骤4：整理方程。
对方程进行整理，例如将常数项合并为一个常数，将变量项合并为一个变量。
此步骤可以简化方程，方便求解。
步骤5：解方程。
根据方程的类型，可以采用不同的方法来解方程。
常见的方法有代入法、消元法、因式分解法、配方法等。
根据具体方程的形式，选择合适的方法求解。
步骤6：验证。
将求得的解代入原方程中，验证方程的等式是否成立。
若成立，则所求的解是正确的；若不成立，则需重新检查解的过程或寻
找其他解的可能。
这些是解分式方程的一般步骤，需要根据具体的方程形式来进行具体的求解方法选择。
通过这些步骤，我们可以逐步推导并解出分式方程的解。
分式方程的解法
分式方程的解法分式方程是含有分式的方程，其基本形式为$ \frac{A}{B} = C $，其中A、B、C均为代数表达式。
解决分式方程的关键在于消除分母，求得方程的解。
本文将介绍两种常见的分式方程解法：通分法和代入法。
一、通分法通分法是解决分式方程的常用方法。
首先，我们需要找到方程中分式的公共分母，然后将方程两边的分式通分，最终得到一个简单的方程。
例1：解方程$ \frac{x+1}{2} + \frac{x-2}{3} = \frac{x-1}{6} $解：首先，我们发现分式$ \frac{x+1}{2} $、$ \frac{x-2}{3} $、$ \frac{x-1}{6} $的公共分母为6。
因此，我们可以将方程两边的分式通分，得到：$ \frac{3(x+1)}{6} + \frac{2(x-2)}{6} = \frac{x-1}{6} $接下来，我们将分子相加，并且令等式两边相等：$ \frac{3x+3+2x-4}{6} = \frac{x-1}{6} $化简后得到：$ \frac{5x-1}{6} = \frac{x-1}{6} $由于等式两边的分式相等，我们可以得到：$ 5x-1 = x-1 $继续化简，我们得到：$ 4x = 0 $最终解得：$ x = 0 $二、代入法代入法是另一种解决分式方程的方法。
通过代入合适的值来验证方程的解，从而求得方程的解。
例2：解方程$ \frac{x+3}{2x-1} = \frac{4x+5}{3x+2} $解：首先，我们假设一个数值代入方程，例如x=1。
将该值代入方程中，计算等式两边的结果。
当x=1时，方程变为：$ \frac{1+3}{2(1)-1} = \frac{4(1)+5}{3(1)+2} $化简后得到：$ \frac{4}{1} = \frac{9}{5} $由于等式两边不相等，我们可以推断x=1不是方程的解。
接下来，我们尝试另一个值，例如x=2。
分式方程的解法
分式方程的解法多年的教学，总结了一下分式方程的解法，供大家参考，希望对大家有所帮助。
方法1：计算法例 解方程 32223=-++x x x 解：移项，得()()()()是原方程的根时，检验：当计算，得4,022440164022164-032223=≠-+===+-=-++=--++x x x x x x x x x x x x原理：分式的值为0，分子为0，分母不为0.方法是把所有的项集中于方程左边，右边为0 ，从而利用分式的值为0求出未知数。
方法2：分式相等法例 解方程 32223=-++x x x 解：原方程化为()()()()()()()()()()()()416412344322322232222322222322=-=--=+--+=++--+-+=-+++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x经检验，x=4是原方程的解。
原理：两分式相等，分母相等，分子也相等。
方法3：等式性质法例 解方程 32223=-++x x x 解：方程两边同乘()()22-+x x 得()()()()4164123443223222322=-=--=+--+=++-x x x x x x x x x x经检验，x=4是原方程的解。
原理：利用等式性质，去分母化为整式方程。
方法2结合方法3，降低去分母的难度。
方法4：比例式法例 解方程 415+=x x解：两外项的乘积等于两內项的乘积 ()55554154-==-+=+=x x x x x x经检验，x=-5是原方程的解。
解分式方程的方法
解分式方程的方法一、通分法：针对分式的分母进行通分，并将方程中的每一项乘以分母的通分因子，使得分式方程中的分母相同。
然后将等号两边的分子相加或相减，将分式转化为整式方程。
示例：解方程$\frac{1}{x}+\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x+1}$首先，将方程两边的分式通分，通分因子为$x(x-1)(x+1)$，得到$(x-1)(x+1)+2x=x(x-1) \Rightarrow x^2-1+2x=x^2-x \Rightarrowx=1$二、消元法：通过合理的变换，将方程中的分式消去，转化为整式方程。
示例：解方程$\frac{1}{x}-\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x+1}$首先，将两边的分式通过通分转化为同类分数，得到$\frac{x-1-2x}{x(x-1)}=\frac{3}{x+1} \Rightarrow \frac{-x-1}{x(x-1)}=\frac{3}{x+1} \Rightarrow (-x-1)(x+1)=-3(x)(x-1) \Rightarrow x=1$三、代换法：通过合理的代换将含有分式的方程转化为整式方程。
示例：解方程$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}=1$令$y=\frac{1}{x}$，则分式方程转化为整式方程$y+\frac{1}{y-1}=1$。
将等式两边通分，得到$y(y-2)+1=y-1 \Rightarrow y^2-2y+1=y^2-2y \Rightarrow 1=-1$，此时方程无解。
四、等效方程法：通过等效方程将分式方程转化为整式方程。
示例：解方程$\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x}=\frac{2x-3}{x(x-1)}$首先将等式两边的分式通分，得到$\frac{x+2(x-1)}{(x-1)(x)}=\frac{2x-3}{x(x-1)}$。
由等式两边的分母相等，可得$x+2(x-1)=2x-3$。
分式方程的解法与应用技巧
分式方程的解法与应用技巧分式方程是含有分数的方程，其求解过程相对复杂。
本文将介绍分式方程的解法与应用技巧，帮助读者更好地掌握这一内容。
一、简单分式方程的解法对于形如$\frac{a}{x}=b$的简单分式方程，其中$a$和$b$为已知数，$x$为未知数。
我们可以通过以下步骤求解：1. 将方程两边乘以$x$，消去分式：$a=bx$。
2. 将方程两边除以$b$，解出未知数：$x=\frac{a}{b}$。
例如，对于分式方程$\frac{2}{x}=3$，我们可以按照以上步骤解得$x=\frac{2}{3}$。
二、复杂分式方程的解法对于形如$\frac{ax+b}{cx+d}=e$的复杂分式方程，其中$a$、$b$、$c$、$d$和$e$为已知数，$x$为未知数。
我们可以通过以下步骤求解：1. 消去分母，得到线性方程：$ax+b=ecx+ed$。
2. 整理方程，将未知数放在一侧，已知数放在另一侧：$ax-ecx=ed-b$。
3. 合并同类项，得到线性方程：$x(a-ec)=ed-b$。
4. 解出未知数：$x=\frac{ed-b}{a-ec}$。
例如，对于分式方程$\frac{2x+1}{3x+2}=4$，我们可以按照以上步骤解得$x=\frac{7}{10}$。
三、分式方程的应用技巧1. 化简分式：在处理分式方程时，我们可以通过化简分式来简化计算过程。
例如，对于分式方程$\frac{3x^2+6x}{2x}=5$，我们可以化简分式为$\frac{3(x+2)}{2}=5$，然后继续求解。
2. 注意特殊解：有些分式方程存在特殊解。
例如，对于分式方程$\frac{x-1}{x}=0$，我们可以通过化简分式得到$x=1$，但这并不是方程的解，因为分母为0时方程无解。
3. 检验解的合法性：在求解分式方程时，我们应该检验解的合法性。
即将解代入原方程，检验等式是否成立。
如果不成立，则解是无效的。
4. 借助整体思维：在处理分式方程的过程中，我们可以借助整体思维，将分数表示为整体，并通过整体与部分的关系，简化方程求解。
分式方程的解法
分式方程的解法分式方程是指含有分数的方程，其形式可以表示为两个多项式的商等于另一个多项式。
解分式方程时，我们需要确定未知数的取值范围，并通过一系列步骤将方程化简为等价的形式，进而求得方程的解。
下面，我们将介绍两种常见的分式方程解法：通分法和消元法。
一、通分法通分法是解决分式方程的常用方法之一。
其基本思路是通过相同的公分母，将分式方程中的分式转化为整式方程。
下面以一个简单的例子来说明通分法的具体步骤。
例题1：求解方程 1/(x+1) + 2/(x-1) = 1步骤1：找到方程的最小公倍数作为公分母。
本例中，最小公倍数为 (x+1)(x-1)。
步骤2：将方程中的每一项通分，并结合同类项。
通分后的方程变为 [(x-1) + 2(x+1)] / [(x+1)(x-1)] = 1。
步骤3：化简方程，消去分母。
将分子展开并结合同类项，得到 (3x + 1) / [(x+1)(x-1)] = 1。
步骤4：通过消去分母的方式解方程。
将方程中的分母乘到分子上，得到 3x + 1 = (x+1)(x-1)。
步骤5：将方程化简为标准形式，并解方程。
将右侧的乘法展开，并结合同类项，得到 3x + 1 = x^2 - 1。
步骤6：整理方程，将方程移到一侧，得到 x^2 - 3x - 2 = 0。
步骤7：使用因式分解法或求根公式等方法，解出方程的根。
解得x = -1 或 x = 2。
所以，方程 1/(x+1) + 2/(x-1) = 1 的解为 x = -1 或 x = 2。
二、消元法消元法是另一种解决分式方程的常用方法。
其基本思路是通过去除方程中的分母，并将方程转化为整式方程。
下面以一个示例来说明消元法的具体步骤。
例题2：求解方程 (2/x) - (3/(x+1)) = 1/2步骤1：寻找方程中的最小公倍数，并将方程中的每一项通分。
本例中，最小公倍数为 2x(x+1)。
步骤2：将方程中的分式乘以相应的倍数，使得分母相同。
高中数学中的分式方程的解法
高中数学中的分式方程的解法在高中数学中，分式方程是一个重要的内容，它是由含有分式的方程组成的。
解决分式方程需要一些特定的技巧和方法。
本文将介绍一些常见的分式方程的解法。
一、一次分式方程的解法一次分式方程是指方程中只含有一次分式的方程。
解决一次分式方程的关键是将方程化简为一个整式方程。
例如，对于方程 $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-2} = \frac{3}{x-1}$，我们可以通过通分的方式消去分母，得到 $x(x-2) + 2(x+1) = 3(x+1)$。
然后，我们将方程化简为一个整式方程 $x^2 - 2x + 2x + 2 = 3x + 3$，进一步简化为 $x^2 - 3x - 1 = 0$。
最后，我们可以使用因式分解、配方法或求根公式等方法求得方程的解。
二、二次分式方程的解法二次分式方程是指方程中含有二次分式的方程。
解决二次分式方程需要将方程化简为一个二次方程。
例如，对于方程 $\frac{1}{x^2 - 1} + \frac{1}{x^2 - 4} = \frac{2}{x^2 - 9}$，我们可以先找到方程中的公共分母 $(x^2 - 1)(x^2 - 4)(x^2 - 9)$。
然后，我们将方程中的每一项乘以相应的公共分母，得到 $(x^2 - 4)(x^2 - 9) + (x^2 - 1)(x^2 - 9) = 2(x^2 - 1)(x^2 - 4)$。
进一步化简得 $x^4 - 13x^2 + 36 + x^4 - 10x^2 + 9 = 2x^4 - 6x^2$。
最后，我们将方程化简为一个二次方程 $2x^4 - 3x^2 - 45 = 0$，并使用因式分解、配方法或求根公式等方法求得方程的解。
三、分式方程的约束条件在解决分式方程时，有时需要考虑方程的约束条件。
约束条件是指方程中的变量需要满足的条件。
例如，对于方程 $\frac{x}{x+1} + \frac{2}{x-2} = \frac{3}{x-1}$，我们可以通过观察发现，当 $x=-1$、$x=1$、$x=2$、$x=3$时，方程的左边或右边的分式将无定义。
分式方程的解法
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3(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ +1)一 丌+3〓 0
分析:去 分母后应对分子艿+3加 小括号,正 确的结果为※丌+ll-← +ω =0.
正解 :
解 分式方程不检验 (易 忽略检验 )
獬 扛 一⊥ 例5。 解方程:±万一⊥2 =2」-男亠~2 X-2 -2 方程两边都乘以←-2)得 : 1-x=-1-2(豸 一2)
解这个 整式方程得 :
习题 1.解 方程 :
⑴白=争
⑵三=⊥ · 艿 艿一2
第 1页
⑴孟〓圭: 习题 2。 解方程 :
⑵≠⒒-爿纡砘
例⒉觞程击=砉 · 眸圭=面希习
方 程 两 边 同时乘 以 ← +lX艿 -1)得 :
X十 1=2
解这个整式方程得 :
豸=1
检验:把 丌=1代入←十1》 -D得 :
ll+1)× ll-1)=0
例⒊解方租÷1广 3=扦 · 锊爹解艮 +3=;1::
:Ξ
方程两=÷边都乘以←-⑶ 得:
2+3〓 y-1
分析:在 转化为整式方程时出错,常 数3漏 乘了最简公分母←-㈥ ,这 是不符合等
第 3页
式的性 质 的,必 然得 到一个错 解. 正解 :
例⒋幡杜÷⒈-素丢=⒐
如何解分式方程
1．一般法所谓一般法，就是先去分母，将分式方程转化为一个整式方程。
然后解这个整式方程。
解原方程就是方程两边同乘以（x＋3）（x－3），约去分母，得4（x－3）＋x（x＋3）=x2－9－2x。
2．换元法换元法就是恰当地利用换元，将复杂的分式简单化。
分析本方程若去分母，则原方程会变成高次方程，很难求出方程的解设x2＋x=y，原方程可变形为解这个方程，得y1=－2，y2=1。
当y=－2时，x2＋x=－2。
∵Δ＜0，∴该方程无实根；当y=1时，x2＋x=1，∴经检验，是原方程的根，所以原方程的根是。
3．分组结合法就是把分式方程中各项适当结合，再利用因式分解法或换元法来简化解答过程。
4．拆项法拆项法就是根据分式方程的特点，将组成分式方程的各项或部分项拆项，然后将同分母的项合并使原方程简化。
特别值得指出的是，用此法解分式方程很少有增根现象。
例4 解方程解将方程两边拆项，得即x=－3是原方程的根。
5．因式分解法因式分解法就是将分式方程中的各分式或部分分式的分子、分母分解因式，从而简化解题过程。
解将各分式的分子、分母分解因式，得∵x－1≠0，∴两边同乘以x－1，得检验知，它们都是原方程的根。
所以，原方程的根为x1=－1，x2=0。
6．配方法配方法就是先把分式方程中的常数项移到方程的左边，再把左边配成一个完全平方式，进而可以用直接开平方法求解。
∴x2±6x＋5=0，解这个方程，得x=±5，或x=±1。
检验知，它们都是原方程的根。
所以，原方程的根是x1=5，x2=－5，x3=1，x4=－1。
7．应用比例定理上述例5，除了用因式分解法外，还可以应用合比和等比定理来解。
分式方程与分式不等式的解法
分式方程与分式不等式的解法分式方程和分式不等式是涉及分数的方程和不等式，其解法与一般的代数方程和不等式有一些不同之处。
本文将介绍分式方程和分式不等式的解法，并给出一些实例说明。
一、分式方程的解法分式方程是包含有分数的方程，一般形式为：$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=c$解分式方程的一般步骤如下：1. 将方程的两边通分，以消去分母。
2. 将分子相加，将方程转化为一个整式方程。
3. 解得整式方程的解。
4. 检验解，将解代入原方程验证是否成立。
例如，解方程$\frac{3}{x}-\frac{2}{y}=5$：解：首先将方程的两边通分，得到$3y-2x=5xy$。
接着整理方程，得到$5xy+2x-3y=0$。
将该方程转化为整式方程：$5xy+2x-3y=0$。
解得整式方程$5xy+2x-3y=0$的解。
程$5xy+2x-3y=0$的解。
二、分式不等式的解法分式不等式是包含有分数的不等式，一般形式为：$\frac{a}{x}>\frac{b}{y}$解分式不等式的一般步骤如下：1. 将不等式的两边通分，以消去分母。
2. 根据分数的正负和大小关系确定不等式符号。
3. 将分子相减，得到一个整式不等式。
4. 解得整式不等式的解。
5. 检验解，将解代入原不等式验证是否成立。
例如，解不等式$\frac{5}{x}>\frac{2}{y}$：解：首先将不等式的两边通分，得到$5y>2x$。
根据分数的正负和大小关系，确定不等式符号为>。
接着整理不等式，得到$2x-5y<0$。
将该不等式转化为整式不等式：$2x-5y<0$。
解得整式不等式$2x-5y<0$的解。
等式$2x-5y<0$的解。
结论本文简要介绍了分式方程和分式不等式的解法。
对于分式方程，我们通过通分和整理方程，将其转化为整式方程来求解。
对于分式不等式，我们通过通分和整理不等式，将其转化为整式不等式来求解。
分式方程的解
练一练
1.
(2007
荆门)若方程
x x
3 2
m 2x
无解,求 m
的值.
2.
若关于 x 的方程
x
x
1
m x
1
无解,
则 m 的值为
.
3.
若关于 x 的方程
x 1 x2
m x2
2 无解,
则 m 的值为
.
4.
若关于 x 的方程
x4 x3
k 3
x
8 无解,
则k
的值为
7x p x(x 1)
有根?
5.关于 x 的方程 xx m2 1 的解大于零, 求 m 的取值范围.
关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程两边同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生 不适合原分式方程的根,这种根通常称为增根.
1.若关于 x 的方程 x2m 9 x 2 3 x 1 3 有增根, 则增根是多少?产生增根的 m 值又是多少?
2.
若方程
1 x3
7
x4 3 x
将分式方程变形为整式方程方程两边同时乘以一个含有未知数的整式并越去分母有时可能产生不适合原分式方程的根这种根通常称为增根
例 1.解方程(1)
x
3
2
2
x
x
2
分式方程的解
(2)
x x
1 1
x
4 2
1
1
小结:一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为 0,所以解分式方程必 须检验.
.
分式方程的解法与应用
分式方程的解法与应用分式方程是数学中的一种常见形式，它包含有分数的方程。
解决分式方程的过程需要运用一些特定的方法和技巧，同时，分式方程在实际生活中也有着广泛的应用。
本文将介绍分式方程的解法以及其在实际问题中的应用。
一、分式方程的解法解决分式方程的关键是将其转化为简单的等式，然后求解。
下面将介绍几种常用的分式方程解法。
1. 通分法当分式方程中含有多个分母时，可以使用通分法来简化方程。
首先找到方程中所有分母的最小公倍数，然后将方程两边同时乘以最小公倍数，将分母消去，得到一个简化的等式。
最后，通过移项和化简，求得方程的解。
2. 倒数法倒数法是解决分式方程中含有倒数的情况。
首先将方程中的倒数部分转化为分数形式，然后通过移项和化简，求得方程的解。
3. 分解法对于一些特殊的分式方程，可以使用分解法来解决。
例如，对于形如$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$的方程，可以将其分解为$\frac{x+y}{xy}=1$，然后通过移项和化简，求得方程的解。
二、分式方程的应用分式方程在实际生活中有着广泛的应用。
下面将介绍几个典型的应用案例。
1. 比例问题比例问题是分式方程的一种常见应用。
例如，某商品原价为$x$元，现在打折后的价格为原价的$\frac{2}{3}$，求打折后的价格。
通过建立方程$\frac{2}{3}x=x-\frac{1}{3}x$，可以求得打折后的价格为$\frac{1}{3}x$。
2. 浓度问题浓度问题也是分式方程的一种常见应用。
例如，某种饮料中含有$30\%$的果汁，现在要制作$1$升含有$20\%$果汁的饮料，需要加入多少升的纯果汁？通过建立方程$\frac{x}{1+x}=0.2$，可以求得需要加入的纯果汁的升数。
3. 财务问题财务问题中也常常涉及到分式方程的应用。
例如，某人的年收入为$x$元，他的生活开销占年收入的$\frac{1}{4}$，求他的生活开销。
通过建立方程$\frac{1}{4}x=x-\frac{3}{4}x$，可以求得他的生活开销为$\frac{3}{4}x$。
分式方程的解法
分式方程的解法分式方程是一个含有分式的代数方程，其中包含有关变量的分数项。
解决分式方程的关键是找到变量的值，使得方程成立。
本文将介绍两种常见的解决分式方程的方法：通分法和消去法。
一、通分法通分法是解决分式方程的一种常用方法。
首先，我们需要找到方程中所有分母，并找到它们的最小公倍数作为通分的基数。
然后，将方程中的每个分子乘以相应的倍数，使得所有分式的分母变成通分后的基数。
例如，考虑以下分式方程：$\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 1$。
首先，我们可以看到分式的分母是2和3，并且它们的最小公倍数是6。
我们将分子进行通分，得到$\frac{3x}{6} - \frac{2x}{6} = 1$。
接下来，我们将分子进行合并，得到$\frac{3x - 2x}{6} = 1$。
简化后得到$\frac{x}{6} = 1$。
最后，我们通过将方程两边乘以6来消除分母，得到$x = 6$。
所以，方程的解是$x = 6$。
二、消去法消去法是另一种解决分式方程的方法。
它通过消去方程中的分母来简化方程，使得方程变为只含有整式的形式。
这样，我们就可以用解决整式方程的方法来求得分式方程的解。
例如，考虑以下分式方程：$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} =\frac{1}{2}$。
首先，我们可以观察到方程中的分母是3和4。
我们可以通过将方程两边同时乘以12来消去分母，得到$4x + 3x = 6$。
接下来，我们将分子进行合并，得到$7x = 6$。
最后，我们通过将方程两边除以7来解出变量，得到$x = \frac{6}{7}$。
所以，方程的解是$x = \frac{6}{7}$。
三、总结通过通分法和消去法，我们可以解决各种形式的分式方程。
在解决分式方程时，我们需要注意以下几点：1. 确定方程中的所有分母，并找到它们的最小公倍数作为通分的基数。
2. 对每个分子进行通分，使得所有分式的分母变成通分后的基数。
分式方程的求解方法
分式方程的求解方法
分式方程是含有分式的方程，常见形式为$\frac{Ax+B}{Cx+D}=E$。
在解分式方程时，可以按照以下步骤进行求解：
1. **清除分母**
首先，通过等式两边乘以分母的方法，将方程中的分式去掉，得
到一个整式方程。
例如对于$\frac{3x+1}{2}=5$，可以将两边同乘以2，得到$3x+1=10$。
2. **移项化简**
接着，将方程中的未知数项移到等号同一侧，常数项移到另一侧，化简为标准形式。
继续以上面的例子，移项化简得到$3x=9$。
3. **解方程求解**
最后，根据化简后的整式方程，解方程求解，得到未知数的值。
对于上面的例子，解得$x=3$。
通过以上步骤，就可以比较简单地解决分式方程问题。
当然，在实
际应用中，可能会遇到更加复杂的分式方程，需要通过整理、因式分
解等方法进行求解。
通过不断练习和积累经验，可以掌握更多解决分
式方程的技巧，提高解题效率。
15.3分式方程的解法(教案)
教学难点与重点的设计旨在让学生在掌握核心知识的同时，明确学习中的困难点，并通过具体例子和教师的指导，精简扼要地理解并克服这些难点，确保学生对分式方程的解法有透彻的理解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“分式方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式方程的基本概念、求解步骤以及在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对分式方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
我还注意到，在案例分析环节，学生们对如何将实际问题转化为分式方程表现出浓厚的兴趣。他们似乎很喜欢这种将数学应用到现实生活中的方式。这也提醒了我，在未来的教学中，应该更多地引入实际情境，让学生感受到数学的实用性和趣味性。
在小组讨论环节，我看到了学生的积极性和创造力。他们提出了各种分式方程的应用场景，并且能够互相交流、共同解决问题。这让我感到很欣慰，因为这意味着他们不仅在学习知识，还在学习合作和沟通的技巧。
分式方程的认识与解法
分式方程的认识与解法一、分式方程的定义分式方程是指在方程中含有未知数的分式表达式的方程。
其一般形式可以表示为：分子和分母都含有未知数的代数式的方程。
二、分式方程的解法1. 清除分母当分式方程中存在分母时，我们首先要通过求通分的方式将分母消去，以便更方便地求解方程。
举例说明：解方程：$\frac{1}{x}+\frac{2}{x-1}=1$首先，我们可以将方程两边的分式的分母进行通分，得到：$\frac{x-1}{x(x-1)}+\frac{2x}{x(x-1)}=\frac{x(x-1)}{x(x-1)}$化简后得到：$x-1+2x=x(x-1)$接着，按照一般方程的求解方法，将方程化简为一般的多项式方程：$3x-1=x^2-x$整理后得到：$x^2-4x+1=0$然后，我们可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法求解多项式方程，得到方程的解：$x_1=2+\sqrt{3}$$x_2=2-\sqrt{3}$2. 分式方程的整理和化简有时，分式方程可能非常复杂，我们需要对方程进行整理和化简，以便更方便地进行后续的求解。
举例说明：解方程：$\frac{x^2+1}{x-2}-1=\frac{3x+4}{x-2}$首先，我们可以对方程进行整理和化简，得到：$\frac{x^2+1-x+2}{x-2}=\frac{3x+4}{x-2}$化简后得到：$\frac{x^2-x+3}{x-2}=\frac{3x+4}{x-2}$接着，我们可以将方程两边的分式进行合并，得到：$x^2-x+3=3x+4$化简后得到：$x^2-4x+1=0$然后，我们可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法求解多项式方程，得到方程的解：$x_1=2+\sqrt{3}$$x_2=2-\sqrt{3}$3. 分式方程的检验在求得分式方程的解后，我们还需要将解代入方程进行验证，以确认解的可行性。
举例说明：解方程：$\frac{x-2}{2x+3}=\frac{x+1}{3x-1}$假设解为$x=1$，我们将解代入方程中进行检验：$\frac{1-2}{2(1)+3}=\frac{1+1}{3(1)-1}$计算结果为：$\frac{-1}{5}=\frac{2}{2}$显然，左右两边不相等，所以$x=1$不是方程的解。
分式方程的解法
例 1 解方程 5 7 x x2
解： 方程两边都乘以 x ( x – 2 ) , 约去分母，得 5 ( x – 2 ) = 7x
解这个整式方程，得 x=–5
检验：当 x = – 5 时， x ( x – 2 ) = (– 5)(– 5 – 2) = 35 ≠0
所以 – 5 是原方程的根.
例 2 解方程 1 1x3 x2 2x
解： 方程两边都乘以 ( x – 2 ) , 约去分母，得 1 = x – 1– 3( x – 2)
解这个整式方程，得 x=2
检验：当 x = 2 时，x – 2 = 0
所以 2 是增根，原方程无解.
解方程
随 堂
练
(1)
3 x-1
=
4 x
习
(2)
x 2x-3
+
5 3-2x
=4
思考题:
解关于x的方程
x-3 x-1
=
m x-1
产生增根,则常数m的值等于(
)
(A)-2 (B)-1 (C ) 1 (D) 2
分式方程
【例3】两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单
独施工一个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙
队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪
个队的施工速度快？
解：设乙队如果单独施工一个月能完成总工程的 1 .
`
谢谢！
左左边边
9900 1188
55，， 右右边边
6600 1188 --
66
55
因因 为为 左左 边边 == 右右 边边 ，， 所所 以以 xx == 1188 是是 原原 方方 程程 的的 根根 ..
再看分式方程
分式方程的解法课件
用框图的方式总结为：
分式方程 整式方程
x =a
去分母 解整式方程 检验
x =a是分式 否
x =a 最简公分母是
是 x =a不是分式
方程的解
否为零？
方程的解
练习1 解方程：
（1）xx+1
-
3 x-1
=1；（2）2xx--32
=
1 1-x
+2．
例2
解关于x 的方程
a x-a
+b=1
（b 1）.
0，
所以，x=
ab-2a b-1
是原分式方程的解．
练习2
解关于x 的方程 m x
-
n x+1
=0
（m n 0）.
解：方程两边同乘 （x x+1），得 m（x+1）-nx =0. 化简，得 mx+m-nx=0. 移项、合并同类项，得（m-n）x = -m. ∵ m n 0， ∴ mn 0，
练习2
解关于x 的方程 m x
-
n x+1
=0
（m n 0）.
解：∴
x=-
m m-n
．
检验：当
x=-
m m-n
时，（x x+1） 0，
所以，x=-
m m-n
是原分式方程的解．
例3 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单
独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，
两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的
施工速度快？
1 + 1 + 1 =1. 3 6 2x
方程两边同乘6x，得 2x +x +3 =6x.
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分式方程的解法
一、知识清单
1. 分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程.
2. 解分式方程的基本思想是：去分母，化为整式方程.
3. 解分式方程的一般步骤是：
去分母→去括号→移项→合并同类项→化系数为1→检验.
4. 分式方程增根：使最简公分母为0 的未知数的值叫做分式方程的增根.
二、基础夯实
1. 解下列分式方程：
（1）
4x
x 2
1
3
2 x
x 2
（2） 1
x 1 ( x 1)( x 2)
2. 当m 为何值时，分式方程
m 2
x 1 x 1
3
2
x
会产生增根？
1
三、经典例题
1 1
例1. 我们容易求得分式方程 2
x
x 2 的解为x 2或
1
x （口头检验一下）.
2
1 1
（1）方程 3
x
x 3
的解为；
1 1
（2）以x为未知数的方程 c
x
x c
的解为；
（3）解方程：
x
3x
4
2
3x
x
2
4
26
5
例2. 解方程
x
x
2
1
x
x
3
2
x
x
4
3
x
x
5
4
例
3.
解
方
程
1
x(x 1)
(x
1
1)( x 2)
...
( x
1
1998)( x 1999 )
1
1
x
.
4 ax
例4. 当a 为何值时，以x为未知数的方程
3
x 2
无
解？
1 1 5
ab 1
x y y z 6
a b 3
例5. 解方程组（1）
bc
b c
1
4
（2）
1 1
y z z x
7
12 ca 1
1 1 3 c
a 5
z x x y 4
四、方法归纳
1. 解分式方程常用的方法：去分母法、部分分式法、逐项通分或整体通分法、裂项相消法、
1 1
换元法、倒置变换法等，还可以巧妙应用“x c
x c ”型的解是x c或x
1
c
.
2. 利用增根的意义解题是一类重要题型，其方法为：（1）先将分式方程转化为整式方程；（2）从原分式方程中求出使分母为零的增根；（3）把增根代入所得到的整式方程中.
3. 方程无解与方程有增根不是一回事. 如例4 方程无解时 a 有2 个值，但方程有增根时 a 只
有1 个值.
五、考题演练
1. 解关于x的方程
1
1
x
a .
x 1
a 1
2. 解方程13
11
2x
2x
17
15
2x
2x
19
17
2x
2x
11
9
2x
2x
3. 解方程x
1 1
1
1
2 x x x x x x2 x
2 2
3 2 5 6 7
12
4
21
4. 当a为何值时，未知数为x 的方程
1 a 2(a 1)
x 1 2 x (x 1)( x 2)
无解？
xy yz
5. 已知1， 2
x y y z
zx
， 3
z x
，求
y 的值.
x y z
6. 解方程组
7 10 5
2x 3y 4z 128
4 2
a ma 1
2 a
7. 已知 4 1 0 ，求m的值.
a ，且 5
3 2
3a ma 3a。