倍长中线模型,构造全等证明线段或角之间的关系

倍长中线模型，全等三角形搭桥，难题分析讲解三角形是初中数学里最基本的几何图形，而其边上，又是很常见的条件。当涉及三角形问题时，常采用延长中线一倍的办法，即倍长中线法，实现角和线段的转化，以此来作辅助线解题。好处是通过此法构造全等三角形继而得到平行，也可以证明三角形全等，可将分散的条件集中在一个三角形内解题，常常出奇制胜，化腐朽为神奇。且看模型，和模型产生的基本结论.

倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（其中有对顶角相等）

例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围。

分析：延长AD 至E ，使ED=AD ，连接BE ，见模型1，

可证△ABD 与△ECD 全等，把AB 边转移到EC 上了，

再看△AEC ，用第三边大于两边之差小于两边之和可解。

【归纳总结】

1. 三角形的三边关系是求线段范围的常用方法．

2. 出现中线时，常考虑倍长中线构造全等三角形，实现线段的转化．

例 2：已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线， E 是

AD 上的一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，

求证：AF=EF

延长ED 至G ，使GD=ED ，利用SAS 可证△BED

与△CGD 全等，把BE 转移到GC 上，∠G=∠1，由已知

BE=AC ，得到GC=AC ，由等腰三角形性质可知∠G=∠3，

通过∠G 传递，得到∠2=∠3，得证AF=EF

例3：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF//BA 交AE 于点F ，DE=AC ，求证：AE 平分∠BAC

证明：如图，延长FE 到G ，使EG=EF ，连接CG ．

在△DEF 和△CEG 中，

∵ ，∴△DEF ≌△CEG ． ∴DF=GC ，∠DFE=∠G ．∵DF ∥AB ，∴∠DFE=∠BAE ．

∵DF=AC ，∴GC=AC ．∴∠G=∠CAE ．∴∠BAE=∠CAE ．

即AE 平分∠BAC

⎪⎩

⎪⎨⎧==FG FE CEG ＝∠DEF ∠EC ED

例4：如图；在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使得BD=AB，取AB的中点E，连结CD和CE，求证：CD=2CE

证明：延长CE至F，使EF＝CE，则CF＝2CE

易证△ACE≌△BFE，

∴AC＝BF＝AB＝BD，∠ABF＝∠BAC

∴∠DBC＝∠ACB+∠BAC＝∠ABC+∠ABF＝∠FBC

∴△BCF≌△BCD（SAS）∴CD＝CF＝2CE

【融会贯通】

1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长AE、DF交于G，证明AB=GC、AF=GF，所以AB=AF+FC

2、如图，AD为△ABC的中线，DE平分∠BDA交AB于E，

DF平分∠ADC交AC于F.求证：BE+FC>FE

提示：方法1：在DA上截取DG=BD，连结EG、FG，

证明ΔBDE≌ΔGDEΔDCF≌ΔDGF，所以BE=EG、CF=FG

利用三角形两边之和大于第三边

【归纳总结】

中线是三角形中重要的线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用“倍长中线法”添加辅助线。

1. 出现中点时，常考虑倍长与中点相关的线段，构造全等三角形，转换线段．

2. 出现垂直关系时，常考虑倍长直角边，构造等腰三角形