倍长中线模型,构造全等证明线段或角之间的关系
倍长中线法构造全等三角形例题
倍长中线法构造全等三角形例题《倍长中线法构造全等三角形》一、引言在数学中，全等三角形是非常重要的概念，它们具有相同的三边和三角角度，但形状和位置可能有所不同。
而倍长中线法是构造全等三角形的一种重要方法。
本文将深入探讨倍长中线法的原理和应用，通过具体的例题来演示构造全等三角形的过程。
二、倍长中线法的原理1. 什么是倍长中线法？倍长中线法是指通过将三角形中的两条边分别延长相等的长度，然后连接延长后的两条边的中点，得到一个边长为原来中线的两倍的新三角形的方法。
2. 倍长中线法的原理当我们通过倍长中线法构造全等三角形时，我们实际上是借助了中线的性质。
在三角形中，连接一个顶点和对边中点的线段就是该对边的中线，中线的定义是连接三角形的一个顶点和边对面中点的线段。
对于一个三角形ABC来说，若D为AB的中点，那么有AD = BD，这就是中线的性质之一。
而倍长中线法利用了中线的这一性质，通过延长两条边相等的长度，再连接延长后的两条边的中点，可以构造出一条新的中线，新中线的长度是原中线的两倍。
这样就得到了一个边长为原三角形中线长度两倍的全等三角形。
三、倍长中线法构造全等三角形的例题现在，让我们通过具体的例题来演示倍长中线法对全等三角形的构造过程。
例题1：已知△ABC中，AB = 6cm, AC = 4cm，以AC为底边做三角形ACD，且AD = 6cm，BD = 4cm，连接BC并延长到E，使得CE = AB。
连接DE并延长到F，使得DF = AB。
证明△ADF≌△ABC。
解题步骤：1. 延长BC和DE我们根据题目要求，延长BC和DE，使得CE = AB，DF = AB。
2. 连接CD接下来，连接CD，得到三角形ACD。
3. 寻找AD和DB的中点我们在AD和DB上分别寻找其中点，分别记为G和H。
4. 连接GH连接GH，得到新的中线GH。
5. 观察三角形ADF和三角形ABC我们可以观察到，三角形ADF和三角形ABC中，AD = AB，DG = BH。
全等三角形倍长中线知识点
全等三角形倍长中线知识点全等三角形倍长中线是一个重要的几何概念，它涉及到三角形的一条特殊线段。
在本文中，我们将介绍什么是全等三角形倍长中线以及它的性质和应用。
全等三角形指的是具有相同边长和角度的两个三角形。
当两个三角形全等时，它们的对应边和对应角都相等。
倍长中线是指通过三角形的两个顶点和中点构造的线段。
具体来说，对于三角形ABC，倍长中线是通过顶点A和边BC的中点D构造的线段AD。
我们来看倍长中线的性质。
根据全等三角形的定义，我们可以得出以下结论：1. 在全等三角形中，倍长中线的长度相等。
也就是说，如果三角形ABC和三角形A'B'C'全等，那么线段AD的长度等于线段A'D'的长度。
2. 倍长中线将三角形分成两个面积相等的三角形。
具体来说，三角形ABC可以分成三角形ABD和三角形ACD，而且它们的面积相等。
接下来，我们来探讨倍长中线的应用。
倍长中线在解决几何问题时有着广泛的应用，特别是在证明全等三角形的过程中往往会用到倍长中线的性质。
以下是一些常见的应用场景：1. 证明两个三角形全等。
当我们需要证明两个三角形全等时，可以利用倍长中线的性质来进行推导。
通过比较倍长中线的长度和其他边长或角度的关系，可以判断出两个三角形是否全等。
2. 求解三角形的面积。
由于倍长中线将三角形分成两个面积相等的三角形，我们可以利用这个性质来求解三角形的面积。
通过计算倍长中线的长度和底边的长度，再利用面积公式，可以得到三角形的面积。
3. 寻找三角形的重心。
重心是三角形的一个重要特征点，它是三条三角形的中线的交点。
在全等三角形中，倍长中线和其他两条中线交于同一点，即重心。
因此，通过倍长中线可以确定三角形的重心。
总结起来，全等三角形倍长中线是一个重要的几何概念，它在解决几何问题时有着广泛的应用。
通过研究倍长中线的性质，我们可以判断两个三角形是否全等，求解三角形的面积，以及确定三角形的重心。
初中数学模型1-倍长中线模型构造全等三角形
• ∴△EFD≌ △HFD（AAS） • ∴EF=FH • 在△BDE和△CDH中，
• DE=DH • ∠1=∠2
• BD=DC • ∴△BDE≌△CDH（SAS） • ∴BE=CH • 在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞
FH • ∵CH=BE,FH=EH • ∴BE&#Ｄ
• 解析： • 延长AM到D，使MD=AM,连CD • ∵AM是BC边上的中线， • ∴BM=CM • 又AM=DM,∠AMB=∠CMD • ∴△ABM≌△DCM，∴AB=CD • 在△ACD中，则AD＜ AC+CD • 即2AM＜AC+AB • 即结论成立。
例3
• 如图，在△AB C中，AD交BC于点D，点E是BC 的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于 点G，若BG=CF,求证：AD为△ABC的角平分线.
倍长中线模型构造全等三角形
专题说明
• 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中 线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应 角对应边都对应相等。常用于 构造全 等三角形。 中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间 的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原 题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时 候）。
知识总结
• 题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线 段），或中点，通常考虑倍长中线或 类中线，构 造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全 等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题 的方法.
主要思路：倍长中线（线段）造全等
A
A
B
C
D
B
C
D
E
在△ABC中 AD是BC边中线; 延长AD到E， 使DE=AD，连接BE;
• BD=DE, • ∠ADB=∠CDE
倍长中线模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案(全国通用)(原卷版)
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题5倍长中线模型如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）．如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE＝FD，易证：△FDB≌△EDC（SAS）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．【例1】．（2020·陕西咸阳·一模）问题提出（1）如图，AD是△ABC的中线，则AB+AC__________2AD；（填“>”“<”或“=”）问题探究（2）如图，在矩形ABCD中，CD=3,BC=4，点E为BC的中点，点F为CD上任意一点，当△AEF的周长最小时，求CF的长；②图①图构造全等倍长类中线倍长中线D CBAFFAB CAB CDCA经典例题解题策略问题解决（3）如图，在矩形ABCD中，AC=4,BC=2，点O为对角线AC的中点，点P为AB上任意一点，点Q为AC上任意一点，连接PO、PQ、BQ，是否存在这样的点Q，使折线OPQB的长度最小？若存在，请确定点Q的位置，并求出折线OPQB的最小长度；若不存在，请说明理由．【例2】．（2021·湖北武汉·八年级期中）已知△ABC中，（1）如图1，点E为BC的中点，连AE并延长到点F，使FE=EA，则BF与AC的数量关系是________．（2）如图2，若AB=AC，点E为边AC一点，过点C作BC的垂线交BE的延长线于点D，连接AD，若∠DAC=∠ABD，求证：AE=EC．（3）如图3，点D在△ABC内部，且满足AD=BC，∠BAD=∠DCB，点M在DC的延长线上，连AM交BD的延长线于点N，若点N为AM的中点，求证：DM=AB．【例3】（2020·安徽合肥·二模）如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分∠EAD，交CD于点F．(1)如图1，若点F恰好为CD中点，求证：AE=BE+2CE；(2)在(1)的条件下，求CE的值；BC(3)如图2，延长AF交BC的延长线于点G，延长AE交DC的延长线于点H，连接HG，当CG=DF时，求证：HG⊥AG．【例4】．（2020·江西宜春·一模）将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，OA =OB,OC =OD,∠AOB =∠COD =90°，连接AC,BD ．（1）如图1,若A 、O 、D 三点在同一条直线上，则AC 与BD 的关系是 ；（2）如图2，若A 、O 、D 三点不在同一条直线上,AC 与BD 相交于点E ，连接OE ,猜想AE 、BE 、OE 之间的数量关系，并给予证明；（3）如图3，在(2)的条件下作BC 的中点F ,连接OF ，直接写出AD 与OF 之间的关系．一、解答题1．（2022·全国·八年级）如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8，求AC 边上的中线BD 的取值范围． （1）小聪同学是这样思考的：延长BD 至E ，使DE ＝BD ，连接CE ，可证得△CED ≌△ABD ． ①请证明△CED ≌△ABD ； ②中线BD 的取值范围是 ．（2）问题拓展：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，分别以AB ，BC 为直角边向△ABC 外作等腰直角三角形ABM 和等腰直角三角形BCN ，其中，AB ＝BM ，BC ＝BN ，∠ABM ＝∠NBC ＝∠90°，连接MN ．请写出BD 与MN 的数量关系，并说明理由．培优训练2．（2022·全国·八年级课时练习）【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．在△ABD与△ECD中{BD=DC∠ADB=∠EDCAD=DE∴△ABD≅△ECD（SAS）∴AB＝．又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∴＜AE＜．又∵AE＝2AD．∴＜AD＜．【探索应用】如图②，AB∥CD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为．（直接写答案）【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP．3．（2022·江苏·八年级课时练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．4．（2022·全国·八年级课时练习）已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．5．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝180°．（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝2√2，求OB的长；（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．6．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．(1)如图1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．7．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，在△ABC中，CM是AB边的中线，∠BCN=∠BCM交AB延长线于点N，2CM=CN．（1）求证AC=BN；的值．（2）如图2，NP平分∠ANC交CM于点P，交BC于点O，若∠AMC=120°，CP=kAC，求CPCM 8．（2021·全国·八年级单元测试）（1）如图1，△ABC中，AD为中线，求证：AB+AC＞2AD；（2）如图2，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F．求证：BE+CF＞EF．9．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；（2）如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；（3）如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．10．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM＝BM，点D是线段AM上一动点．（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD＝MC，连接AC，若BD＝17，求AC的长；（2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F 是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．（3）如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE，AE＝EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）11．（2022·全国·八年级课时练习）已知：等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．（1）如图1，延长DE交BC于点F，若∠BAE=68°，则∠DFC的度数为；（2）如图2，连接EC、BD，延长EA交BD于点M，若∠AEC=90°，求证：点M为BD中点；（3）如图3，连接EC、BD，点G是CE的中点，连接AG，交BD于点H，AG=9，HG=5，直接写出△AEC的面积．12．（2022·全国·八年级课时练习）在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．（1）如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长MP交CN于点E．求证：PM=PE．（2）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时S△BMP+S△CNP=7，BM=1，CN=3，求MN的长度．（3）若过P点作PG⊥直线a于点G．试探究线段PG、BM和CN的关系．13．（2021·陕西·西安市铁一中学八年级开学考试）（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是；中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．14．（2020·辽宁·大连市第三十四中学八年级阶段练习）课堂上，老师出示了这样一个问题：如图1，点D是△ABC边BC的中点，AB=5，AC=3，求AD的取值范围．（1）小明的想法是，过点B作BE//AC交AD的延长线于点E，如图2，从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；（2）请按照上述提示，解决下面问题：在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D边AC延长线上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，过点A作AF⊥AE，且AF=AE，连接EF交BC于点G，连接CF，求证BG=CG．15．（2022·全国·八年级课时练习）如图，点P是∠MON内部一点，过点P分别作PA∥ON交OM于点A，PB∥OM交ON于点B（P A≥PB），在线段OB上取一点C，连接AC，将△AOC沿直线AC翻折，得到△ADC，延长AD交PB于点E，延长CD交PB于点F．（1）如图1，当四边形AOBP是正方形时，求证：DF＝PF；（2）如图2，当C为OB中点时，试探究线段AE，AO，BE之间满足的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，∠ACE的平分线CH交AE于点H，设OA＝a，BE＝b，若∠CAO ＝∠CEB，求△CDH的面积（用含a，b的代数式表示）．16．（2022·全国·八年级专题练习）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），①延长AD到M，使得DM＝AD；②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．17．（2022·全国·八年级课时练习）（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE．利用全等将边AC 转化到BE，在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_________，中线AD的取值范围是_________；（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DM⊥DN．求证：BM＋CN＞MN；（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是BC的中点，分别以AB，AC为直角边向△ABC外作Rt△ABM 和Rt△ACN，其中∠BAM＝∠NAC＝90°，AB＝AM，AC＝AN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由．18．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE＝CD，BD交CE于点P．（1）如图1，求证：∠BPC＝120°；（2）点M是边BC的中点，连接P A，PM，延长BP到点F，使PF＝PC，连接CF，①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是．②如图3，若点A，P，M三点不共线，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由．19．（2022·山东德州·八年级期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB//CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．20．（2021·重庆市渝北中学校九年级阶段练习）（1）如图1．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC ＝6，点D、E分别在边CA，CB上且CD＝3，CE＝4，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是．（提示：延长CF到点M，使FM＝CF，连接AM）（2）将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为．21．（2022·安徽宿州·九年级期末）已知：在矩形ABCD中，连接AC，过点D作DF⊥AC，交AC于点E，交AB于点F．（1）如图1，若tan∠ACD=√2．2①求证：AF=BF；②连接BE，求证：CD=√2BE．（2）如图2，若AF2=AB⋅BF，求cos∠FDC的值．22．（2022·全国·八年级课时练习）阅读理解：（1）如图1，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使得AD=DE，再连接BE，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边关系即可判断中线AD的取值范围是______．（2）解决问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，D是BC边上的中点，延长DA至E，使得AC=BE，求证：∠CAD=∠BED．23．（2022·全国·八年级课时练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】（1）如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，证明：△ACD≌△EBD．【理解与应用】（2）如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，则x的取值范围是________．（3）如图3，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF>EF．24．（2020·福建福州·九年级开学考试）如图1，已知正方形ABCD和等腰RtΔBEF，EF=BE，∠BEF=90°，F是线段BC上一点，取DF中点G，连接EG、CG．（1）探究EG与CG的数量与位置关系，并说明理由；（2）如图2，将图1中的等腰RtΔBEF绕点B顺时针旋转α°(0<α<90°)，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若AD=2，求2GE+BF的最小值．。
专题09 倍长中线模型(解析版)
专题09倍长中线模型倍长中线模型概述：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移。
倍长中线模型模型：【倍长中线】已知点D 为∆ABC 中BC 边中点，延长线段AD 到点E 使AD=DE1）连接EC,则∆ABD ≌∆ECD ，AB ∥CE2）连接BE ,则∆ADC ≌∆EDB ，AC ∥BE证明：∵点D 为∆ABC 中BC 边中点∴BD=DC在∆ABD 和∆ECD 中AD=ED∠1=∠2∴∆ABD ≌∆ECD （SAS ）∴∠ABD=∠ECD ∴AB ∥CE BD=DC在∆ADC 和∆EDB 中AD=ED∠ADC=∠BDE∴∆ADC ≌∆EDB （SAS ）∴∠EBD=∠ACD ∴AC ∥BE BD=DC【倍长类中线】已知点D 为∆ABC 中BC 边中点，延长线段DF 到点E 使DF=DE,连接EC，则∆BDF ≌∆CDE【基础过关练】1．在ABC 中，6AC =，中线10AD =，则AB 边的取值范围是（）A ．1622AB <<B ．1426AB <<C ．1626AB <<D ．1422AB <<【答案】B【分析】延长AD 至E ，使DE AD =，然后利用“边角边”证明ABD △和ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB CE =，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE 的取值范围，即为AB 的取值范围．【详解】解：如图，延长AD 至E ，使DE AD =，∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，在ABD △和ECD 中，BD CD ADB EDC AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD ECD SAS ≌，∴AB CE =，∵6AC =，10AD =，∴101020AE =+=，∴206206CE -<<+，即1426CE <<∴1426AB <<．故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．“遇中线，加倍延”构造全等三角形是解题的关键．2．如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，点D 为BC 的中点，则AD 的长可能是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ．证△ADC ≌△EDB （SAS ），可得BE ＝AC ＝2，再利用三角形的三边关系求出AE 的范围即可解决问题．【详解】解：延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，在△ADC 和△EDB 中，AD ED ADC EDB CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），∴BE ＝AC ＝2，在△ABE 中，AB ﹣BE ＜AE ＜AB +BE ，即2＜2AD ＜6，解得1＜AD ＜3，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的全等判定和性质，三角形三边关系定理，熟练证明三角形的全等是解题的关键．3．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝10，BC 边上的中线AD ＝4，则△ABC 的面积为()A ．30B ．24C ．20D ．48【答案】B 【分析】延长AD 到E ，使DE=AD ，连接CE ，利用SAS 得出△ADB 与△EDC 全等，得到AB=CE ，利用勾股定的面积，利用三角形的面积公式即可得出结4．如图，△ABC中，D是AB的中点，CD：AC：BC＝1：2：BCD＝_____．【答案】30°【分析】利用“中线倍长法”构造全等三角形，进而得出等腰三角形，再通过作等腰三角形的高，依据锐角三角函数可求出答案．【详解】解：延长CD到E，使DE＝CD，连接BE，过E点作EF⊥BC，垂足为F，∵D是AB的中点，5．如图，在ABC ∆中，D 是BC 上一点，连接AD ，已知CD AB =，BAD BDA ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线．求证：2AC AE =．【答案】见解析【分析】延长AE 至F ，使EF AE =，连接DF ．先证明ABE FDE ∆≅∆．得到AB FD =，B EDF ∠=∠，再利用外角性质及等式的性质得到ADC ADF ∠=∠，进而得到ADF ADC ∆≅∆，最后即可得到2AC AE =．【详解】证明：如图，延长AE 至F ，使EF AE =，连接DF ．∵AE 是ABD ∆的中线，∴BE DE =．在ABE ∆与FDE ∆中，AE EF AEB FED BE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE FDE ∆≅∆．∴AB FD =，B EDF ∠=∠．∵CD AB =，∴CD FD =．∵ADC B BAD ∠=∠+∠，ADB BAD ∠=∠，ADF ADB EDF B ADB ∠=∠+∠=∠+∠，∴ADC ADF ∠=∠．在ADF ∆与ADC ∆中，AD AD ADC ADF CD FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADF ADC ∆≅∆．∴AC AF =．∵2AF AE EF AE =+=，∴2AC AE =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．6．如图，在ABC 中，AB AC =，BE 是AC 的中线，点D 在AC 的延长线上，连接BD ，BC 平分EBD ∠．(1)求证：ABE D ∠=∠；(2)求证：2BD BE =．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）由题意易得A ABC CB =∠∠，EBC DBC ∠=∠，然后可得,ACB D DBC ABC ABE EBC ∠=∠+∠∠=∠+∠，进而问题可求证；（2）延长BE 到点F ，使得EF EB =，连接CF ，易证ABE CFE ≌，然后可得ABE F D ∠=∠=∠，进而可证BCF BCD ≌，最后问题可求证．【详解】（1）证明：∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∵BC 平分EBD ∠，∴EBC DBC ∠=∠，∵,ACB D DBC ABC ABE EBC ∠=∠+∠∠=∠+∠，∴D DBC ABE EBC ∠+∠=∠+∠，∴ABE D ∠=∠；（2）证明：延长BE 到点F ，使得EF EB =，连接CF ，如图所示：∵BE 是AC 的中线，∴AE CE =，∵AEB CEF ∠=∠，∴ABE CFE ≌（SAS ），∴ABE F ∠=∠，∵ABE D ∠=∠，∴D F =∠∠，∵FBC DBC ∠=∠，BC BC =，∴BCF BCD ≌（AAS ），∴BD BF =，∴2BD BE =．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键．7．如图所示，AD 为ABC ∆的角平分线，,E F 分别在,BD AD 上，DC DE =，若EF AB ∥．求证：EF AC =．AC GC ∴=，EF AC ∴=.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是证△EDF 与△CDG 全等．8．如图，已知//AP BC ，点E 是DC 的中点，且AD BC AB +=，求证：AE BE ⊥．【答案】证明见解析【分析】延长AE 、BC 交于点M ，利用AAS 证出△ADE ≌△MCE ，从而得出AD=MC ，AE=ME ，结合已知条件即可证出BM=AB ，再利用SSS 即可证出△BAE ≌△BME ，从而得出∠BEA=∠BEM ，根据垂直定义即可证出结论．【详解】解：延长AE 、BC 交于点M ，如下图所示∵点E 是DC 的中点，∴DE=CE ，∵//AP BC∴∠1=∠M在△ADE 和△MCE 中156M DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△MCE∴AD=MC ，AE=ME∵AD BC AB+=∴MC ＋BC=AB∴BM=AB在△BAE 和△BME 中AE ME BE BE BA BM =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△BAE ≌△BME∴∠BEA=∠BEM∵∠BEA ＋∠BEM=180°∴∠BEA=∠BEM=90°∴AE BE⊥【点睛】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义是解题关键．【提高测试】1．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AB BD ⊥，5AB =，4BD =，3CD =，点E 是AC 的中点，则BE 的长为（）．A ．2B ．52CD ．3【答案】C 【分析】延长BE 交CD 延长线于P ，可证△AEB ≌△CEP ，求出DP ，根据勾股定理求出BP 的长，从而求出BM 的长．【详解】解：延长BE 交CD 延长线于P ，∵AB ∥CD ，∴∠EAB ＝∠ECP ，在△AEB 和△CEP 中，EAB ECP AE CE AEB CEP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEB ≌△CEP （ASA ）∴BE ＝PE ，CP ＝AB ＝5又∵CD ＝3，∴PD=2，∵4BD =∴2225BP DP BD =+=∴BE ＝12BP ＝5．故选：C ．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP ．2．如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点，点E 为BA 延长线上一点，DF DE ⊥交射线AC 于点F ，连接EF ，则BE CF +与EF 的大小关系为()A ．BE CF EF+<B ．BE CF EF +=C ．BE CF EF +>D ．以上都有可能【答案】C 【分析】如图，延长ED 到T ，使得DT ＝DE ，连接CT ，TF ，证明△EDB ≌△TDC （SAS ），推出BE ＝CT ，由CT ＋CF ＞FT ，可得BE ＋CF ＞EF ．【详解】解：如图，延长ED 到T ，使得DT DE =，连接CT ，TF ．3．在ABCF 中，2BC AB =，CD AB ⊥于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ∠=︒，则B ∠的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】D 【分析】连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE ≌△CFE ，所以NE ＝CE ，NA ＝CF ，再由已知条件CD ⊥AB 于D ，∠ADE ＝50°，即可求出∠B 的度数．【详解】解：连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，4．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90,8C AC ∠=︒=，F 为AB 边的中点，点D ，E 分别在,AC BC 边上运动，且保持AD CE =，连接,,DE DF EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①DEF 是等腰直角三角形；②四边形CDFE 的面积保持不变；③AD BE DE +>．其中正确的是（）A ．①②③B ．①C ．②D ．①②【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定和三角形的三边关系，掌握构造全等三角形的方法是解决的关键．5．如图，在平行四边形ABCD 中，28CD AD ==，E 为AD 上一点，F 为DC 的中点，则下列结论中正确的是（）A ．4BF =B ．2ABC ABF ∠>∠C ．ED BC EB +=D ．2DEBC EFBS S =V 四边形【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可以得到228CD AD BC ===，且F 为DC 的中点，所以4CF BC ==,由此可判断A 选项；再结合平行线的性质可以得到CFB FBA ∠=∠，由此可判断B 选项；同时延长EF 和BC 交于点P ，,,DF CF DFE PFC D FCP =∠=∠∠=∠可以证得DFE CFP ≅ ，所以ED BC CP BC BP +=+=,由此可以判断C 选项；由于DFE CFP ≅ ，所以BEP DEBC S S =四边形V ，由此可以判断D 选项；【详解】 四边形ABCD 是平行四边形∴228CD AD BC ===∴4CF BC ==由于条件不足，所以无法证明4BF =,故A 选项错误；4CF BC ==∴CFB FBC∠=∠ DC AB∥∴CFB FBC FBA∠=∠=∠∴2ABC ABF∠=∠故B 选项错误；同时延长EF 和BC 交于点PAD BP∴D FCP∠=∠∴在DFE △和CFP 中：()DF CF DFE PFC D FCP ASA ⎧=⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴DFE CFP≅ ∴ED BC CP BC BP+=+=由于条件不足，并不能证明BP BE =，故C 选项错误；DFE CFP≅ ∴BEPDEBC S S =四边形V F 为DC 的中点∴2BEP BEF DEBCS S S ==四边形V V 故D 选项正确；故选：D.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定，根据题意作出相应的辅助线是求解本题的关键.6．如图，DE 是△ABC 的中位线，F 是DE 的中点，CF 的延长线交AB 于点G ，若△CEF 的面积为12cm 2，则S △DGF 的值为（）A ．4cm 2B ．6cm 2C ．8cm 2D ．9cm 2【答案】A 【分析】取CG 的中点H ，连接EH ，根据三角形的中位线定理可得EH //AD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠GDF =∠HEF ，然后利用“角边角”证明△DFG 和△EFH 全等，根据全等三角形对应边相等可得FG =FH ，全等三角形的面积相等可得S △EFH =S △DGF ，再求出FC =3FH ，再根据等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的面积的比，从而得解．【详解】解：如图，取CG 的中点H ，连接EH ，7．如图，在ABC 中，AD 为BC 边的中线，E 为AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于点F ，若AEF FAE ∠=∠，4BE =， 1.6EF =，则CF 的长为____________．【答案】2.4【分析】延长AD 到点G ，使DG AD =，首先证明()SAS BDG CDA V V ≌，然后得到G CAD ∠=∠，BG AC =，然后根据等腰三角形的性质得到4BG BE AC ===，然后根据线段的和差求解即可．【详解】如解图，延长AD 到点G ，使DG AD =，∵AD 为BC 边的中线，∴BD CD=∵BDG CDA ∠=∠，DG AD=∴()SAS BDG CDA V V ≌∴G CAD ∠=∠，BG AC=∵AEF FAE∠=∠∴G BEG∠=∠∴4BG BE AC ===∵AEF FAE ∠=∠， 1.6EF =∴ 1.6AF EF ==∴ 2.4CF AC AF =-=．故答案为：2.4．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．8．如图，已知AD 是△ABC 的中线，E 是AC 上的一点，BE 交AD 于F ，AC ＝BF ，∠DAC ＝24°，∠EBC ＝32°，则∠ACB ＝_____．【答案】100°##100度【分析】延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，证△BDM ≌△CDA （SAS ），得得到BM ＝AC ＝BF ，∠M ＝∠DAC ＝24°，∠C ＝∠DBM ，再证△BFM 是等腰三角形，求出∠MBF 的度数，即可解决问题．【详解】解：如图，延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，在△BDM 和△CDA 中，=DM DA BDM CDA BD CD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△BDM ≌△CDA （SAS ），∴BM ＝AC ＝BF ，∠M ＝∠DAC ＝24°，∠C ＝∠DBM ，∵BF ＝AC ，∴BF ＝BM ，∴∠M ＝∠BFM ＝24°，∴∠MBF ＝180°﹣∠M ﹣∠BFM ＝132°，∵∠EBC ＝32°，∴∠DBM ＝∠MBF ﹣∠EBC ＝100°，∴∠C ＝∠DBM ＝100°，故答案为：100°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．9．如图，ABC 中，点D 在AC 上，3,10AD AB AC =+=，点E 是BD 的中点，连接,2CE ACB ABC BCE ∠=∠+∠，则CD =______________．【答案】43##113【分析】如图，延长CE 至F ，使得EF CE =，交AB 于点G ，通过“边角边”证明BEF DEC ≌ ，则,F DCE BF DC ∠=∠=，根据题意与三角形的外角性质可得AGC DCE ∠=∠，进而可得,AG AC BF BG CD ===，设BF BG CD x ===，根据题意得到关于x 的方程，然后求解方程即可．【详解】解：如图，延长CE 至F ，使得EF CE =，交AB 于点G ，∵点E 是BD 的中点，∴BE DE =，在BEF △与DEC 中，=BE DE BEF DEC EF EC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴BEF DEC ≌ ，∴,F DCE BF DC ∠=∠=，∵2ACB ABC BCE ∠=∠+∠，∴DCE ACB BCE ABC BCE ∠=∠-∠=∠+∠，∵AGC ABC BCE ∠=∠+∠，∴AGC DCE ∠=∠，∴,F DCE AGC BGF AG AC ∠=∠=∠=∠=，∴BF BG CD ==，10．如图，AB AE =，AB AE ⊥，AD AC =，AD AC ⊥，点M 为BC 的中点，3AM =，DE =______．∴()SAS AMC NMB ≌ ，∴AC BN =，C NBM ∠=∠，∴AD BN =，∵AB AE ⊥，AD AC ⊥，∴90EAB DAC ∠=∠=︒，∴180EAD BAC ∠+∠=︒，∴180ABN ABC NBM ABC C BAC EAD ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=∠，在EAD 和ABN 中，AE AB EAD ABN AD BN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABN EAD ≌ ，∴26DE AN AM ===．故答案为：6．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力，延长AM 至N ，使MN AM =，再证AN DE =即可，这就是“倍长中线”，实质是“补短法”．11．如图，ABC 中，13AB =，6AD =，5AC =，D 为BC 边的中点，则ABC S = ______．【答案】30【分析】由“SAS ”可证CDE ≌BDA △，可得13CE AB ==，ADB CDE S S = ，可得ACE CAB S S = ，由勾股定理的逆定理可求ACE △为直角三角形，即可求解．【详解】解：延长AD 到E 使6AD DE ==，连接CE ，如图所示：在CDE 和BDA △中，12．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝__．13．（1）如图1，在ABC 中，＝4，AC ＝6，AD 是BC 边上的中线，延长AD 到点E 使DE ＝AD ，连接CE ，把AB ，AC ，2AD 集中在ACE 中，利用三角形三边关系可得AD 的取值范围是；（2）如图2，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且DE ⊥DF ，求证：BE ＋CF ＞EF ；（3）如图3，在四边形ABCD 中，∠A 为钝角，∠C 为锐角，∠B ＋∠ADC ＝180°，DA ＝DC ，点E ，F 分别在BC ，AB 上，且∠EDF ＝12∠ADC ，连接EF ，试探索线段AF ，EF ，CE 之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）1＜AD ＜5；（2）见解析；（3）AF +EC =EF ，见解析【分析】（1）证明CDE BDA SAS ≌（），推出CE =AB =4，在ACE △中，利用三角形的三边关系解决问题即可．（2）如图2中，延长ED 到H ，使得DH =DE ，连接DH ，FH ．证明BDE CDH SAS ≌（），推出BE =CH ，再证明EF =FH ，利用三角形的三边关系即可解决问题．（3）结论：AF +EC =EF ．延长BC 到H ，使得CH =AF ．提供两次全等证明AF =CE ，EF =EH 即可解决问题．【详解】（1）∵CD =BD ，AD =DE ，∠CDE =∠ADB ，∴CDE BDA ≌(SAS)，∴EC =AB =4，∵6﹣4＜AE ＜6+4，∴2＜2AD ＜10，∴1＜AD ＜5，故答案为：1＜AD ＜5；（2）如图2中，延长ED 到H ，使得DH =DE ，连接DH ，FH ．∵BD =DC ，∠BDE =∠CDH ，DE =DH ，∴BDE CDH △≌△(SAS)，∴BE =CH ，∵FD ⊥EH ，又DE =DH ，∴EF =FH ，在△CFH 中，CH +CF ＞FH ，∵CH =BE ，FH =EF ，∴BE +CF ＞EF ；（3）结论：AF +EC =EF ．理由：延长BC 到H ，使得CH =AF ．∵∠B +∠ADC =180°，∴∠A +∠BCD =180°，∵∠DCH +∠BCD =180°，∴∠A =∠DCH ，∵AF =CH ，AD =CD ，14．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AB 上一点，F 是AC 上一点．若∠EDF ＝90°，且BE 2＋FC 2＝EF 2，求证：∠BAC ＝90°．【答案】见解析【分析】延长FD 到G 使DG ＝DF ，连接BG ，EG ，先证明△BDG ≌△CDF （SAS ）得BG ＝FC ，∠GBD ＝∠C ，从而有BG AC ∥，DG ＝DF ，又由勾股定理的逆定理得90ABG ∠︒＝，再利用平行线的性质即可证明结论成立．【详解】证明：如图，延长FD 到G 使DG ＝DF ，连接BG ，EG ，∵D 为BC 中点，∴BD ＝CD ，∵在△BDG 和△CDF 中，BD CD BDG CDF DG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDG ≌△CDF（SAS ），∴BG ＝FC ，∠GBD ＝∠C ，∴BG AC ∥，DG ＝DF ，∵ED ⊥DF ，∴EG ＝EF ，∵222BE FC EF +=，∴222BE BG EG +=，∴90ABG ∠=︒，∵BG AC ∥，∴180A ABG ∠+∠=︒，∴90BAC ∠=︒．【点睛】本题主要考查了平行线的判定及性质、三角形全等的判定及性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形全等的判定及性质以及勾股定理的逆定理是解题的关键．15．已知：如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且ED FD ⊥于D .求证：222AE BF EF +=.【答案】详见解析【分析】通过倍长线段DE ，将AE 、BF 、EF 转化到BGF ∆中，再证BGF ∆为直角三角形.【详解】延长ED 至G ，使DG DE =，连结BG 、FG ，AD BD = ，ADE BDG ∠=∠，ADE BDG ∴∆≅∆，AE BG ∴=，A DBG ∠=∠，AC BG ∴ ，180C FBG ∴∠+∠=︒，90FBG ∴∠=︒，222BG BF GF ∴+=，又ED FD ⊥ ，ED GD =，EF GF ∴=，222AE BF EF ∴+=.【点睛】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键.16．阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE ＝∠CDE ．求证：AB ＝CD ．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB ＝CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；【分析】（1）①如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ，△BEF ≌△CED ，∠BAE ＝∠F ，AB ＝CD ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ，△BEF ≌△CEG△BAF ≌△CDG ，AB ＝CD ；（2）如图3，过C 点作CM ∥AB ，交DE 的延长线于点M ，则∠BAE ＝∠EMC ，△BAE ≌△CFE （AAS ），∠F ＝∠EDC ，CF ＝CD ，AB ＝CD ；【详解】（1）①如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△BEF 和△CED 中，BE CE BEF CED EF ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEF ≌△CED （SAS ），∴BF ＝CD ，∠F ＝∠CDE ，∵∠BAE ＝∠CDE ，∴∠BAE ＝∠F ，∴AB ＝BF ，∴AB ＝CD ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ，∴∠F ＝∠CGE ＝∠CGD ＝90°，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△BEF 和△CEG 中，90F CGF BEF CEG BE CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEF ≌△CEG （AAS ），∴BF ＝CG ，在△BAF 和△CDG 中，90BAE CDE F CGD BF CG ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BAF ≌△CDG （AAS ），∴AB ＝CD ；（2）如图3，过C 点作CM ∥AB ，交DE 的延长线于点M ，则∠BAE ＝∠EMC ，∵E 是BC 中点，∴BE ＝CE ，在△BAE 和△CME 中，BAE CME BEA CEM BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE ≌△CFE （AAS ），∴CF ＝AB ，∠BAE ＝∠F ，∵∠BAE ＝∠EDC ，∴∠F ＝∠EDC ，∴CF ＝CD ，∴AB ＝CD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．17．如图，在 ABC 中，AC=2AB ，AD 平分∠BAC ，延长CB 到点E ，使BE=BD ，连接AE ．（1）依题意补全图形；（2）试判断AE 与CD 的数量关系，并进行证明．（2）如图，判断：AE CD =证明如下：延长AB 至点F ，使得BF AB =，连接DF在ABE 和FBD 中，∵AB FBABE FBD EB DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE ≌FBD∴AE FD=∵BF AB=∴2AF AB=∵2AC AB=∴AF AC=∵AD 平分∠BAC∴FAD CAD∠=∠在FAD △和CAD 中，∵AF AC FAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴FAD △≌CAD∴FD CD=又∵AE FD=∴AE CD=【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键．18．如图，已知AD 是ABC 的中线，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ．若BE=6，求点C 到AD 的距离．【答案】6【分析】延长AD ，过点C 作CF AD ⊥于点F ，证明()BDE CDF AAS ≅ ，再根据全等三角形的性质得到6BE CF ==．【详解】解：如图，延长AD ，过点C 作CF AD ⊥于点F ，∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，∵BE AD ⊥，CF AD ⊥，∴90BED CFD ∠=∠=︒，在BDE △和CDF 中，BED CFD BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BDE CDF AAS ≅ ，∴6BE CF ==，即点C 到AD 的距离是6．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用倍长中线的方法做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解．19．问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，若AB ＝4，AC ＝3，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，则得到△ADC ≌△EDB ，小明证明△BED ≌△CAD 用到的判定定理是：（用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以△ABC 的边AB ，AC 为边向外作△ABE 和△ACD ，AB ＝AE ，AC ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，M 是BC 中点，连接AM ，DE ．当AM ＝3时，求DE 的长．【答案】问题背景：SAS ；问题解决：完整过程见解析；拓展应用：DE ＝6．【分析】问题背景：先判断出BD =CD ，由对顶角相等∠BDE =∠CDA ，进而得出△ADC ≌△EDB （SAS ）；问题解决：先证明△ADC ≌△EDB （SAS ），得出BE =AC =3，最后用三角形三边关系即可得出结论；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN =AM ，连接BN ，同（1）的方法得出△BMN ≌△CMA （SAS ），则BN =AC ，进而判断出∠ABN =∠EAD ，进而判断出△ABN ≌△EAD ，得出AN =ED ，即可求解．【详解】问题背景：如图1，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连接BE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△ADC 和△EDB 中，AD ED CDA BDE CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），故答案为：SAS ；问题解决：如图1，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，连接BE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，由问题背景知，△BMN ∴BN＝AC，∠CAM＝∠∴AC//BN，∵AC＝AD，∴BN＝AD，∵AC//BN，∴∠BAC+∠ABN＝180°∴∠ABN ＝∠EAD ，在△ABN 和△EAD 中，AB EA ABN EAD BN AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABN ≌△EAD （SAS ），∴AN ＝DE ，∵MN ＝AM ，∴DE ＝AN ＝2AM ，∵AM ＝3，∴DE ＝6．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，补角的性质，掌握倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．20．如图，AB=AE ，AB ⊥AE ，AD=AC ，DE=2AM ，点M 为BC 的中点，连接AM ．求证：AD ⊥AC【答案】见解析【分析】延长AM 至N ，使MN=AM ，证△AMC ≌△NMB ，推出AC=BN=AD ，ED=AN ，证△EAD ≌△ABN ，得到∠EAD+∠BAC=180°，即可证明AD ⊥AC ．【详解】延长AM 至N ，使MN=AM ，连接BN ，∵点M 为BC 的中点，∴CM=BM ，在△AMC 和△NMB 中，AM MN AMC NMB CM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMC ≌△NMB （SAS ），∴AC=BN ，∠C=∠NBM ，∠CAM=∠N ，∵DE=2AM ，AD=AC ，∴DE=AN ，AD=BN ，在△EAD 和△ABN 中，AE AB DE AN AD BN =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△EAD ≌△ABN （SSS ），∴∠EAD=∠ABN ，∴∠EAD+∠BAC=∠EAD+∠BAN+∠CAM=∠ABN+∠BAN+∠N=180︒，∵AB ⊥AE ，∴∠EAB=90°，∴∠DAC=360°-∠EAB-(∠EAD+∠BAC)=90°，∴AD ⊥AC ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，延长AM 至N ，使MN=AM ，利用“中线倍长”构造全等三角形的是解题的关键．21．如图，AB AE =，AD AC =，180BAE DAC ∠+∠=︒，点F 为DE 的中点，求证：2BC AF =.【答案】详见解析【分析】如图，延长AF 至G ，使AF FG =，连结EG ，证明ADF GEF ∆∆≌，从而可得AD GE =，ADF GEF ∠=∠，继而得GEA BAC ∠=∠，再证明AEG ACB ∆∆≌，可得AG=BC ，继而可得结论.【详解】如图，延长AF 至G ，使AF FG =，连结EG ，又DF EF = ，AFD GFE ∠=∠，ADF GEF ∴∆∆≌，AD GE ∴=，ADF GEF ∠=∠.AD GE ∴ ，180GEA DAE ∴∠+∠=︒，180BAE DAC ∴∠+∠=︒，180DAE BAC ∴∠+∠=︒，GEA BAC ∴∠=∠，又AB AE = ，AC AD =，AC GE ∴=，AEG ACB ∴∆∆≌，AG BC ∴=，即2BC AF =.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据倍长中线正确添加辅助线是解题的关键.22．如图，分别以ABC 的边向外作正方形ABFG 和ACDE ，连接EG ，若O 为EG 的中点，求证：（1）12AO BC =；（2）AO BC ⊥．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【分析】（1）如图，延长AO 到M ，使OM=AO ，连接GM ，延长OA 交BC 于点H ．根据全等三角形的性质得到AE=MG ，∠MGO=∠AEO ，根据三角形的内角和得到∠MGA+∠GAE=180°，根据正方形的性质得到AG=AB ，AE=AC ，∠BAG=∠CAE=90°，根据全等三角形的性质得到AM=BC ，等量代换即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠M=∠EAO ，∠M=∠ACB ，等量代换得到∠EAO=∠ACB ，求得∠AHC=90°，根据垂直的定义即可得到结论．【详解】解：（1）如图，延长AO 到M ，使OM=AO ，连接GM ，延长OA 交BC 于点H ．∵O 为EG 的中点，∴OG=OE ，在△AOE 与△MOG 中，AO OM AOE MOG OE OG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△MOG （SAS ），∴AE=MG ，∠MGO=∠AEO ，∴∠MGA+∠GAE=180°，∵四边形ABFG 和四边形ACDE 是正方形，∴AG=AB ，AE=AC ，∠BAG=∠CAE=90°，∴AC=GM ，∠GAE+∠BAC=180°，∴∠BAC=∠AGM ，。
初中全等三角形几何模型专题-倍长中线模型
三角形中中线（中点）的四大模型模型 1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形模型分析如图（1），AD是∆ABC的中线，延长A D至点E使D E=AD，易证：∆ADC≅∆EDB(SAS)。
如图（2），D是B C中点，作CF⊥AD于F,作B E⊥AD的延长线于E，易证：∆CDF≅∆BDE(AAS)。
如图（3），D是BC 中点，M为AB 上一点，过点C 作NC // AB 交MD 延长线于点N ，易证：∆BMD ≅∆CND( AAS / ASA) 。
当遇见中线或者中点时，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。
模型 2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用：“三线合一”模型分析等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应该想到：“边等、角等、三线合一”。
注：倍长中线辅助线画法1.已知BD =CD 辅助线画法：延长ED 至F ，使ED =FD ，连接CF2.已知：AB // DE ，AO =OD 辅助线画法：延长BO 与DE 交于C例题：一、倍长中线例 1．如图，在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线．求证：AB +AC > 2 AD ．3. AB D C例2．如图，在∆ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．求证：BF =CG ．例 3．如图，CB ，CD 分别是钝角∆AEC 和锐角∆ABC 的中线，且AC =AB ．求证：CE = 2CD ．CE B D A变式 1：已知在∆ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF =EF ．变式 2：在四边形ABCD 中，AB // CD ，E 为BC 边的中点，∠BAE =∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F ，求证：AB =AF +CF 。
78 全等模型—倍长中线模型
拓展应用：以△ABC 的边 AB，AC 为边向外作△ABE 和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°， M 是 BC 中点，连接 AM，DE．当 AM＝3 时，求 DE 的长． 【答案】问题背景： SAS；问题解决：完整过程见解析；拓展应用： DE＝6． 【分析】问题背景：先判断出 BD=CD，由对顶角相等∠BDE=∠CDA，进而得出△ADC≌△EDB（SAS）； 问题解决：先证明△ADC≌△EDB（SAS），得出 BE=AC=3，最后用三角形三边关系即可得出结论； 拓展应用：如图 2，延长 AM 到 N，使得 MN=AM，连接 BN，同（1）的方法得出△BMN≌△CMA（SAS）， 则 BN=AC，进而判断出∠ABN=∠EAD，进而判断出△ABN≌△EAD，得出 AN=ED，即可求解． 【详解】问题背景：如图 1，延长 AD 到点 E，使 DE＝AD，连接 BE，
【答案】4＜AE＜8 【分析】证明△ABD≌△ECD（AAS），得到 AB=EC=6，AD=ED，再由三角形的三边关系即可得出答案． 【详解】解：∵AD 是 BC 边上的中线， ∴BD=CD． ∵AB∥CE， ∴∠BAD=∠E， 在△ABD 和△ECD 中， BAD E BDA CDE ， BD CD ∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∴AB=EC=6， ∴AD=DE， 在△ACE 中，CE-AC＜AE＜CE+AC， 即 6-2＜AE＜6+2， ∴4＜AE＜8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的三边关系等知识；熟练掌握三角 形的三边关系，证明三角形全等是解题的关键．
题型二：利用倍长中线证明线段、角相等 【例题 2】（2021·全国八年级课时练习）如图，CE、CB 分别是 ABC 与 ADC 的中线，且 ACB ABC ， AC AB ．求证： CD 2CE ．
中考数学难点突破与经典模型精讲练全等三角形中的倍长中线模型(解析版)
专题07 全等三角形中的倍长中线模型【模型展示】已知：在△ABC中，D为AC中点，连接BD并延长到E使得DE=BD，连接AE则：BC平行且等于AE．【证明】延长BD到E，使DE＝BD，连接CE，∵AD是斜边BC的中线∵AD＝CD∵∵ADE＝∵BDC∵∵ADE∵∵BDC（SAS）∵AE＝B C，∵D BC＝∵AED∵AE∵BC【模型证明】【证明】延长DE至点F，使EF＝DE．∵E是BC的中点∵BE＝CE，在∵BEF和∵CED中，∵∵BEF∵∵CED（SAS）．∵BF＝CD，∵D＝∵F．又∵∵BAE＝∵D，∵∵BAE＝∵F．∵AB＝BF．∵AB＝CD．△△F＝△CGE＝90°．又△△BEF＝△CEG，BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，△△BFE△△CGE．△BF＝CG．在△ABF和△DCG中，△，△△ABF△△DCG．△AB＝CD．方法三：作CF△AB，交DE的延长线于点F．△△F＝△BAE．又△△BAE＝△D，△△F＝△D．△CF＝CD．△，△△ABE△△FCE．△AB＝CF．△AB＝CD．一、解答题1．如图，ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE CF∥．(1)求证：BDE△CDF；(2)若15AE=，8AF=，试求DE的长．【答案】(1)见解析；(2)72；【分析】（1）根据两直线平行内错角相等；全等三角形的判定（角角边）；即可证明；（2）由（1）结论计算线段差即可解答；（1）证明：△BE△CF，△△BED=△CFD，△△BDE=△CDF，BD=CD，△△BDE△△CDF（AAS）；（2）解：由（1）结论可得DE=DF，△EF=AE-AF=15-8=7，△DE=72；【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定（AAS）和性质；掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．2．如图，在Rt △ABC 中，△ACB =90°，点D 是AB 的中点，小明发现，用已学过的“倍长中线”加倍构造全等，就可以测量CD 与AB 数量关系．请根据小明的思路，写出CD 与AB 的数景关系，并证明这个结论．【答案】CD =12AB ，证明过程详见解析【分析】延长CD 到点E ，使ED =CD ，连接BE ，根据全等三角形的判定和性质即可求解．【详解】解：CD =12AB ，证明：如图，延长CD 到点E ，使ED =CD ，连接BE ，在△BDE 和△ADC 中，BD AD BDE ADC ED CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△BDE △△ADC (SAS)，△EB =AC ，△DBE =△A ，△BE ∥AC ，△△ACB =90°，△△EBC =180°-△ACB =90°，△△EBC =△ACB ，在△ECB 和△ABC 中，EB AC EBC ACB CB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ECB △△ABC (SAS)，△EC=AB，△CD=12EC=12AB．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是正确的作出辅助线．3．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA ＝OB，OC＝OD，△AOB＝△COD＝90°，回答下列问题：(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．△请在图中通过作辅助线构造△BPE△△DPO，并证明BE＝OD；△求证：AC＝2OP．【答案】(1)见解析(2)△见解析；△见解析【分析】（1）证出△AOC+△BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论；（2）△延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE△△DPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD；△证明△EBO△△COA（SAS），由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论．（1）证明：△△AOB=△COD=90°，△△AOC+△BOD=360°-△AOB-△COD=360°-90°-90°=180°，又△AO=OB，OC=OD，△△OAC和△OBD是兄弟三角形；（2）△证明：延长OP至E，使PE=OP，△P为BD的中点，△BP=PD，又△△BPE=△DPO，PE=OP，△△BPE△△DPO（SAS），△BE=OD；△证明：△△BPE△△DPO，△△E=△DOP，△BE∥OD，△△EBO+△BOD=180°，又△△BOD+△AOC=180°，△△EBO=△AOC，△BE=OD，OD=OC，△BE=OC，又△OB=OA，△△EBO△△COA（SAS），△OE=AC，又△OE=2OP，△AC=2OP．【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．4．【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图1，AD是△ABC的中线，若AB＝8，AC＝6，求AD的取值范围．【探究方法】小强所在学习小组探究发现：延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE．可证出△ADC与△EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到同一个△ABE中，进而求出AD的取值范围．方法小结：从上面思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD 延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做倍长中线法．【应用方法】（1）请你利用上面解答问题的方法思路，写出求AD 的取值范围的过程；【拓展应用】（2）已知：如图2，AD 是△ABC 的中线，BA ＝BC ，点E 在BC 的延长线上，EC ＝BC ．写出AD 与AE 之间的数量关系并证明．【答案】（1）1＜AD ＜7；（2）2AD =AE ．理由见解析【分析】（1）延长AD 至点E ，使DE =AD ，连接BE ，证明△BDE △△CDA （SAS ），得出AC =BE =6，由三角形三边关系可得出答案；（2）延长AD 至F ，使DF =AD ，由SAS 证明△BDF △△CDA ，利用已知条件推出△FBA =△ACE ，再由SAS 证明△ACE △△FBA 2AD =AE ．【详解】（1）证明：延长AD 至E ，使DE =AD ，△AD 是BC 边上的中线，△BD =CD ，在△BDE 和△CDA 中，BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BDE △△CDA （SAS ），△AC =BE =6，在△ABE 中，AB -BE ＜AE ＜AB +BE ，△8-6＜2AD ＜8+6，△1＜AD ＜7；（2）2AD =AE ．理由如下：证明：延长AD 至F ，使DF =AD ，△AD 是BC 的中线，△BD =CD ，在△BDF 和△CDA 中，BD CD BDF CDA DF DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BDF △△CDA （SAS ），△AC =BF ，△CAD =△F ，△AC △BF ，△△FBA +△BAC =180°，△BA =BC ，△△BAC =△BCA ，△△ACE +△BCA =180°，△△FBA =△ACE ，△BA =BC ，EC =BC ，△BA =EC ，在△ACE 和△FBA 中，CE BA ACE FBA AC BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACE △△FBA （SAS ），△AE =AF ，△2AD =AF ，△2AD =AE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．5．[问题背景]△如图1，CD为△ABC的中线，则有S△ACD＝S△BCD；△如图2，将△中的△ACB特殊化，使△ACB＝90°，则可借助“面积法”或“中线倍长法”证明AB＝2CD；[问题应用]如图3，若点G为△ABC的重心（△ABC的三条中线的交点），CG△BG，若AG×BC ＝16，则△BGC面积的最大值是（）A．2B．8C．4D．6【答案】[问题背景]△见解析；△见解析；[问题应用]C【分析】[问题背景]△设AB边的高长为h，可得11,22ACD BCDS AD h S BD h=⨯=⨯，再由AD=BD，即可求证；△延长CD至点E，使DE=CD，连接AE，BE，根据AD=BD，可得四边形ACBE是平行四边形，再由△ACB＝90°，可得到四边形ACBE是矩形，即可求证[问题应用]如图，过点G作GH△BC于点H，根据题意可得点D是BC的中点，AG=2DG，从而得到12DG BC=，得到AG=，再由AG×BC＝16，可得到AG=BC=4，再由GH△BC，可得GH≤DG，从而得到当GH=DG时，△BGC面积的最大，即可求解．【详解】解：[问题背景]△设AB边的高长为h，△11,22ACD BCDS AD h S BD h =⨯=⨯，△CD为△ABC的中线，即AD=BD，△=ACD BCDS S；△如图，延长CD至点E，使DE=CD，连接AE，BE，△CD为△ABC的中线，△AD=BD，△DE=CD，△四边形ACBE是平行四边形，△△ACB＝90°，△四边形ACBE是矩形，△AB=CE，△DE=CD，△AB=CD+DE=2CD；[问题应用]如图，过点G作GH△BC于点H，△点G为△ABC的重心（△ABC的三条中线的交点），△点D是BC的中点，AG=2DG，△CG△BG，△12DG BC，△AG=BC，△AG×BC＝16，△AG=BC=4，△DG=2，△GH△BC，△GH≤DG，△GH≤2，△当GH =2，即GH =DG 时，△BGC 面积的最大，最大值为1124422DG BC ⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，重心的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理，重心的性质是解题的关键．6．先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC 中，AD 为中线．延长AD 至E ，使DE=AD ．在△ABD 和△ECD 中，AD=DE ，△ADB =△EDC ，BD=CD ，所以，△ABD △△ECD （SAS ），进一步可得到AB=CE ，AB △CE 等结论．在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．解决问题：如图2，在△ABC 中，AD 是三角形的中线，F 为AD 上一点，且BF=AC ，连结并延长BF 交AC 于点E ，求证：AE=EF ．【答案】证明见试题解析．【分析】延长AD 到G ，使DF =DG ，连接CG ，得到BD=DC ，根据SAS 推出△BDF △△CDG ，根据全等三角形的性质得出BF=CG ，△BFD =△G ，求出△AFE =△G ，CG=AC ，推出△G =△CAF ，求出△AFE =△CAF 即可．【详解】解：延长AD 到G ，使DF=DG ，连接CG ，△AD是中线，△BD=DC，在△BDF和△CDG中，△BD=DC，△BDF=△CDG，DF=DG，△△BDF△△CDG，△BF=CG，△BFD=△G，△△AFE=△BFD，△△AFE=△G，△BF=CG，且已知BF=AC，△CG=AC，△△G=△CAF，△△AFE=△CAF，△AE=EF．【点睛】本题考查了倍长中线法、三角形全等的判定、性质及等腰三角形的性质等，本题的关键是借助阅读材料中提供的方法延长AD到G，使DF=DG，进而构造三角形全等．7．（1）如图1，若△ABC是直角三角形，△BAC=90°，点D是BC的中点，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE，可以得到△ABD△△ECD，这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”.求证：△ACE是直角三角形（2）如图2，△ABC是直角三角形，△BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE△DF.试说明BE2+CF2=EF2；（3）如图3，在（2）的条件下，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1694. 【分析】（1）根据全等三角形的性质和直角三角形的判定解答即可；（2）延长ED 至点G ，使得DG=DE ，连接FG ，CG ，根据全等三角形的判定和性质进行解答；（3）连接AD ，根据全等三角形的判定和性质和三角形的面积公式解答即可．【详解】（1）△△ABD△△ECD△△ECD=△B△△BAC=90°△△B+△BCA=90°△△BCE+△BCA =90°,即△ACE=90°△△ACE 是直角三角形（2）延长ED 至点G ，使得DG=DE ，连接FG ，CG ，△DE=DG ，DF△DE ，△DF 垂直平分DE ，△EF=FG ，△D 是BC 中点，△BD=CD ，在△BDE 和△CDG 中，BD CD BDE CDG DE DG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， △△BDE△△CDG （SAS ），△BE=CG ，△DCG=△DBE ，△△ACB+△DBE=90°，△△ACB+△DCG=90°，即△FCG=90°，△CG 2+CF 2=FG 2，△BE 2+CF 2=EF 2；（3）连接AD ，△AB=AC ，D 是BC 中点，△△BAD=△C=45°，AD=BD=CD ，△△ADE+△ADF=90°，△ADF+△CDF=90°，△△ADE=△CDF ，在△ADE 和△CDF 中，BAD C AD CDADE CDF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， △△ADE△△CDF （ASA ），△AE=CF ，BE=AF ，AB=AC=17，△S 四边形AEDF =12S △ABC ， △S △AEF =12×5×12=30， △△DEF 的面积=12S △ABC ﹣S △AEF =1694. 【点睛】考查全等三角形的判定与性质，通过证明三角形全等得出对应边相等、对应角相等是解题基础，将待求线段转化成求等长线段是解题的关键．8．（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝5，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：△延长AD 到Q ，使得DQ ＝AD ；△再连接BQ ，把AB 、AC 、2AD 集中在△ABQ 中；△利用三角形的三边关系可得4<AQ<14，则AD 的取值范围是_____________．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）请你写出图1中AC 与BQ 的位置关系并证明．（3）思考：已知，如图2，AD 是△ABC 的中线，AB ＝AE ，AC ＝AF ，△BAE ＝△FAC ＝90°．试探究线段AD 与EF 的数量和位置关系并加以证明．【答案】（1）2＜AD＜7；（2）AC△BQ，理由见解析；（3）EF＝2AD，AD△EF，理由见解析【分析】（1）先判断出BD＝CD，进而得出△QDB△△ADC（SAS），得出BQ＝AC＝5，最后用三角形三边关系即可得出结论；（2）由（1）知，△QDB△△ADC（SAS），得出△BQD＝△CAD，即可得出结论；（3）同（1）的方法得出△BDQ△△CDA（SAS），则△DBQ＝△ACD，BQ＝AC，进而判断出△ABQ＝△EAF，进而判断出△ABQ△△EAF，得出AQ＝EF，△BAQ＝△AEF，即可得出结论．【详解】解：（1）延长AD到Q使得DQ＝AD，连接BQ，△AD是△ABC的中线，△BD＝CD，在△QDB和△ADC中，BD CDBDQDQ DA=⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，△△QDB△△ADC（SAS），△BQ＝AC＝5，在△ABQ中，AB﹣BQ＜AQ＜AB+BQ，△4＜AQ＜14，△2＜AD＜7，故答案为2＜AD＜7；（2）AC△BQ，理由：由（1）知，△QDB△△ADC，△△BQD＝△CAD，△AC△BQ；（3）EF＝2AD，AD△EF，理由：如图2，延长AD到Q使得BQ＝AD，连接BQ，由（1）知，△BDQ△△CDA（SAS），△△DBQ＝△ACD，BQ＝AC，△AC＝AF，△BQ＝AF，在△ABC中，△BAC+△ABC+△ACB＝180°，△△BAC+△ABC+△DBQ＝180°，△△BAC+ABQ＝180°，△△BAE＝△F AC＝90°，△△BAC+△EAF＝180°，△△ABQ＝△EAF，在△ABQ和△EAF中，AB EAABQ EAF BQ AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABQ△△EAF，△AQ＝EF，△BAQ＝△AEF，延长DA交EF于P，△△BAE＝90°，△△BAQ+△EAP＝90°，△△AEF+△EAP＝90°，△△APE＝90°，△AD△EF，△AD＝DQ，△AQ＝2AD，△AQ＝EF，△EF＝2AD，即：EF＝2AD，AD△EF．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解题的关键．9．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D 是BC 边上的中点，怎样求AD 的取值范围呢？我们可以延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，然后连接BE （如图△），这样，在△ADC 和△EDB 中，由于AD DE ADC EDB BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADC △△EDB ，△AC ＝EB ，接下来，在△ABE 中通过AE 的长可求出AD 的取值范围．请你回答：（1）在图△中，中线AD 的取值范围是 ．（2）应用上述方法，解决下面问题△如图△，在△ABC 中，点D 是BC 边上的中点，点E 是AB 边上的一点，作DF △DE 交AC 边于点F ，连接EF ，若BE ＝4，CF ＝2，请直接写出EF 的取值范围．△如图△，在四边形ABCD 中，△BCD ＝150°，△ADC ＝30°，点E 是AB 中点，点F 在DC 上，且满足BC ＝CF ，DF ＝AD ，连接CE 、ED ，请判断CE 与ED 的位置关系，并证明你的结论．【答案】（1）1＜AD ＜7；（2）△2＜EF ＜6；△CE △ED ，理由见解析【分析】（1）在△ABE 中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；（2）△延长ED 到点N ，使ED DN =，连接CN 、FN ，由SAS 证得NDC EDB ∆≅∆，得出4BE CN ==，由等腰三角形的性质得出EF FN =，在△CFN 中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；△延长CE 与DA 的延长线交于点G ，易证DG△BC ，得出GAE CBE ∠=∠，由ASA 证得GAE CBE ∆≅∆，得出,GE CE AG BC ==，即可证得CD GD =，由GE CE =，根据等腰三角形的性质可得出CE ED ⊥．【详解】（1）在△ABE 中，由三角形的三边关系定理得：AB BE AE AB BE -<<+ 8686AE ∴-<<+，即214AE <<2214AD ∴<<，即17AD <<故答案为：17AD <<；（2）△如图△，延长ED到点N，使ED DN=，连接CN、FN △点D是BC边上的中点BD CD∴=在△NDC和△EDB中，CD BDCDN BDE DN ED=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()NDC EDB SAS∴∆≅∆4BE CN∴==,DF DE ED DN⊥=EFN∴∆是等腰三角形，EF FN=在△CFN中，由三角形的三边关系定理得：CN CF FN CN CF-<<+ 4242FN∴-<<+，即26FN<<26EF∴<<；△CE ED⊥；理由如下：如图△，延长CE与DA的延长线交于点G△点E是AB中点BE AE∴=150,30BCD ADC∠=︒∠=︒//DG BC∴GAE CBE∴∠=∠在△GAE和△CBE中，GAE CBE AE BEAEG BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()GAE CBE ASA∴∆≅∆,GE CE AG BC∴==,BC CF DF AD==CF DF BC AD AG AD∴+=+=+，即CD GD= GE CE=CE ED∴⊥．（等腰三角形的三线合一）【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2）△，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．10．阅读材料，解答下列问题．如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至点E，使DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，△ADC=△EDB，BD=CD，所以，△ACD△△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE 等结论．在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．【答案】详见解析【分析】延长AD到M，使DM=AD，连接BM，根据SAS推出△BDM△△CDA，根据全等三角形的性质得出BM=AC，△CAD=△M，根据BF=AC可得BF=BM，推出△BFM=△M，求出△AFE=△EAF即可．【详解】如图，延长AD至点M，使得MD AD，并连结BM，△AD 是三角形的中线，△BD CD =，在MDB △和ADC △中，,,,BD CD BDM CDA DM DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△MDB ADC △≌△，△AC MB =，BMD CAD ∠=∠，△BF AC =，△BF BM =，△BMD BFD ∠=∠，△BFD EFA ∠=∠，BMD CAD ∠=∠，△EFA EAF ∠=∠，即AE EF =．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形． 11．（1）如图1所示，在ABC 中，D 为BC 的中点，求证：2AB AC AD +>甲说：不可能出现ABD △ACD ≌△，所以此题无法解决； 乙说：根据倍长中线法，结合我们新学的平行四边形的性质和判定，我们可延长AD 至点E ，使得DE AD =，连接BE 、CE ，由于BD DC =，所以可得四边形ABEC 是平行四边形，请写出此处的依据_______________________________________（平行四边形判定的文字描述） 所以AC BE =，ABE △中，AB BE AE +>，即2AB AC AD +>请根据乙提供的思路解决下列问题：（2）如图2，在ABC 中，D 为BC 的中点，5AB =，3AC =，2AD =，求ABC 的面积； （3）如图3，在ABC 中，D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，连接BM 交AD 于F ，若AM MF =．求证：BF AC =．【答案】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2）6；（3）见解析．【分析】（1）根据题意，DE AD =，BD DC =即可得四边形的对角线相等，根据平行四边形的判定定理即可写出；（2）根据倍长中线法，延长AD 至点G ，使得DG AD =，可以求得,,AG AC GC ,再根据 勾股定理的逆定理可知AGC 为Rt ，继而即可求得面积（3）根据倍长中线法，延长AD 至点N ,证明四边形ABNC 是平行四边形，由AM MF =即可证明BF AC =．【详解】解：（1）DE AD =，BD DC =∴四边形ABEC 是平行四边形依据是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．（2）如图，根据倍长中线法，延长AD 至点G ，使得DG AD =，由（1）可知，四边形ABGC 是平行四边形GC AB ,//AC BG5AB =，3AC =，2AD =4AG ∴=,5GC =22223425AC AG +=+=22525CG ==222AC AG CG ∴+=AGC ∴△是Rt//AC BG1134622ABC AGC S S AC AG ∴==⋅=⨯⨯=△△（3）如图，根据倍长中线法，延长AD 至点N ，使,AD DN =由（1）可知：四边形ABNC是平行四边形，=∴,AC BN//AC BN∴∠=∠MAF BNF=AM MF∴∠=∠MAF MFA∠=∠又MFA BFN∴∠=∠BNF BFN∴=BF BNBF AC∴=【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理的逆定理，等角对等边，运用倍长中线法是解题的关键．12．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），△延长AD到M，使得DM＝AD；△连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；△利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，△BAE＝△CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD 与EF 的数量关系，并加以证明．【答案】（1）1＜AD ＜7；（2）AC △BM ，且AC ＝BM ，证明见解析；（3）EF ＝2AD ，证明见解析．【分析】（1）延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，根据题意证明△MDB △△ADC ，可知BM ＝AC ，在△ABM 中，根据AB ﹣BM ＜AM ＜AB +BM ，即可；（2）由（1）知，△MDB △△ADC ，可知△M ＝△CAD ，AC ＝BM ，进而可知AC △BM ；（3）延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，由（1）（2）的结论以及已知条件证明△ABM △△EAF ，进而可得AM ＝2AD ，由AM ＝EF ，即可求得AD 与EF 的数量关系．【详解】（1）如图2，延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，△AD 是△ABC 的中线，△BD ＝CD ，在△MDB 和△ADC 中，BD CD BDM CDA DM AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△MDB △△ADC （SAS ），△BM ＝AC ＝6，在△ABM 中，AB ﹣BM ＜AM ＜AB +BM ，△8﹣6＜AM ＜8+6，2＜AM ＜14，△1＜AD ＜7，故答案为：1＜AD ＜7；（2）AC △BM ，且AC ＝BM ，理由是：由（1）知，△MDB △△ADC ，△△M ＝△CAD ，AC ＝BM ，△AC △BM ；（3）EF ＝2AD ，理由：如图2，延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，由（1）知，△BDM △△CDA （SAS ），△BM ＝AC ，△AC ＝AF ，△BM ＝AF ，由（2）知：AC △BM ，△△BAC +△ABM ＝180°，△△BAE ＝△F AC ＝90°，△△BAC +△EAF ＝180°，△△ABM ＝△EAF ，在△ABM 和△EAF 中，AB EA ABM EAF BM AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABM △△EAF （SAS ），△AM ＝EF ，△AD ＝DM ，△AM ＝2AD ，△AM ＝EF ，△EF ＝2AD ，即：EF ＝2AD ．【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．13．【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图△，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，若延长AD 至E ，使DE AD =，连接CE ，可根据SAS 证明ABD ECD △△≌，则AB EC =．(1)【类比探究】如图△，在DEF中，3DF=，点G是EF的中点，求中线DG的DE=，7取值范围；(2)【拓展应用】如图△，在四边形ABCD中，AB CD∥，点E是BC的中点．若AE是BAD∠的平分线．试探究AB，AD，DC之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】(1)2＜DG＜5(2)AD=DC+AB【分析】（1）延长DG至M，使GM=DG，连接MF，根据SAS可证△DEG△△MFG，得出MF=3，然后根据三角形三边不等关系定理求出DM取值范围，最后把DM=2DG代入即可求解；（2）延长AE，DC相交于点F，根据ASA可证△ABE△△FCE，则AB=FC，然后由AE平分△BAD，AB∥CD可证△F=△DAF，由等角对等边可得AD=DF，最后由线段的和差关系即可求解．(1)解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF，又EG=FG，△EGD=△FGM，△△DEG△△MFG，△DE=MF，又DE=3，△MF=3，又DF=7，△DF-MF＜DM＜DF+MF，△7-3＜DM＜7+3，即4＜DM＜10，△4＜2DG＜10，△2＜DG＜5；(2)延长AE，DC相交于点F，△AB∥CD，△△BAE=△F，又BE=CE，△AEB=△FEC，△△ABE△△FCE，△AB=CF，△△BAE=△F，△DAF=△BAE，△△F=△DAF，△AD=FD，又FD=CD+DF，CF=AB，△AD=CD+AB．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形三边关系定理等知识，读懂题意，添加“倍长中线”的辅助线是解题的关键．14．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．（1）小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD 到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED△△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：AD的取值范围是．（2）参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D．求证：PA•CD＝PC•BD．【答案】（1）1<AD<5；（2）证明见试题解析．【详解】试题分析：（1）由△BED△△CAD ，得到BE=AC ，在△ABE 中，由三角形三边关系即可得到结论；（2）延长PD 至点F ，使EF ＝PE ，连接BF ．得到△BEF△△AEP ，从而△APE ＝△F ，BF ＝PA ，又由△BDF ＝△CDP ，得到△BDF△△CDP ，故＝，即可得到结论．试题解析：（1）1<AD<5； （2）证明：延长PD 至点F ，使EF ＝PE ，连接BF ．△BE ＝AE ，△BEF ＝△AEP ，△△BEF△△AEP ，△△APE ＝△F ，BF ＝PA ，又△△BDF ＝△CDP ，△△BDF△△CDP ，△＝，△＝，即PA·CD ＝PC·BD ． ．考点：相似三角形的判定与性质．15．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法．(1)如图1，AD 是ABC 的中线，7AB =，5AC =求AD 的取值范围．我们可以延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，易证ADC MDB ≌△△，所以BM AC =．接下来，在ABM 中利用三角形的三边关系可求得AM 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围是___________．(2)如图2，AD 是ABC 的中线，点E 在边AC 上，BE 交AD 于点F ，且AE EF =，求证：AC BF =；【答案】(1)1<AD <6(2)见解析【分析】(1)如图1，延长AD 到点M ，使DM =AD ，连接BM ，证明△ADC △△MDB (SAS)，推出AC =BM =5，再根据AB −BM △AM △AB +BM ，可得结论；(2)如图2，延长AD 到T ，使得DT =AD ，连接BT ，由△ADC △△TDB ，推出AC =BT ，△C =△TBD ，推出BT AC ，再证明BF =BT ，可得结论．（1）解：如图1中，延长AD 到点M ，使DM =AD ，连接BM ，△AD 是△ABC 的中线，△BD =CD ，在△ADC 和△MDB 中，DA DM ADC MDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADC △△MDB (SAS)，△AC =BM =5，△AB =7，△AB −BM <AM <AB +BM ，△2<AM <12，△2<2AD <12，△1<AD <6，故答案为：1<AD <6；（2）证明：如图2中，延长AD 到T ，使得DT =AD ，连接BT ，△AD 是△ABC 的中线，△BD =CD ，在△ADC 和△TDB 中，DA DT ADC TDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADC △△TDB (SAS)，△AC =BT ，△C =△TBD ，△BT AC ，△△T =△DAC ，△EA =EF ，△△EAF =△EF A ，△△EF A =△BFT ，△△T =△BFT ，△BF =BT ，△AC =BF【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，倍长中线构造全等三角形解决问题．16．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．（1）如图1，AD 是ABC ∆的中线，7,5,AB AC ==求AD 的取值范围．我们可以延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，易证ADC MDB ∆≅∆，所以BM AC =．接下来，在ABM ∆中利用三角形的三边关系可求得AM 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围是 ；（2）如图2，AD 是ABC 的中线，点E 在边AC 上，BE 交AD 于点,F 且AE EF =，求证：AC BF =；（3）如图3，在四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 是AB 的中点，连接CE ，ED 且CE DE ⊥，试猜想线段,,BC CD AD 之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）16AD <<；（2）见解析；（3）CD BC AD =+，证明见解析【分析】（1）延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，即可证明ADC MDB ∆≅∆，则可得BM AC =，在ABM ∆中，根据三角形三边关系即可得到AM 的取值范围，进而得到中线AD 的取值范围；（2）延长AD 到点,M 使DM AD =，连接BM ，由（1）知ADC MDB ≅，则可得M CAD BM AC ∠=∠=，，由AE EF =可知，CAD AFE ∠=∠，由角度关系即可推出BMF BFM ∠=∠，故BM BF =，即可得到AC BF =；（3）延长CE 到F ，使EF EC =，连接AF ，即可证明AEF BEC ∆≅∆，则可得EAF B AF BC ∠=∠=，，由//AD BC ，以及角度关系即可证明点,,F A D 在一条直线上，通过证明Rt DEF △△DEC Rt △，即可得到FD CD =，进而通过线段的和差关系得到CD BC AD =+．【详解】（1）延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，△AD 是ABC ∆的中线，△DC DB =，在ADC ∆和MDB ∆中，AD MD =，ADC MDB =∠∠，DC DB =，△ADC MDB ∆≅∆，△BM AC =，在ABM ∆中，AB BM AM AB BM -+＜＜，△7575AM -+＜＜，即212AM ＜＜，△16AD ＜＜；（2）证明:延长AD 到点,M 使DM AD =,连接BM ，由（1）知ADC MDB ≅，△M CAD BM AC ∠=∠=，，AE EF =，CAD AFE ∴∠=∠，MFB AFE ∠=∠，MFB CAD ∴∠=∠，BMF BFM ∴∠=∠，BM BF ∴=，AC BF ∴=，（3）CD BC AD =+，延长CE 到F ，使EF EC =，连接AF ，AE BE AEF BEC =∠=∠，，AEF BEC ∴∆≅∆，EAF B AF BC ∴∠=∠=，，//AD BC ，180BAD B ∴∠+∠=︒，180EAF BAD ∴∠+∠=︒，∴点,,F A D 在一条直线上，CE ED ⊥，△90DEF DEC ==︒∠∠，△在Rt DEF △和DEC Rt △中，EF EC =，DEF DEC ∠=∠，DE DE =，△Rt DEF △△DEC Rt △，FD CD ∴=，△FD AD AF AD BC =+=+，CD BC AD ∴=+．【点睛】本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键．17．问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图△，已知E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且BAE CDE ∠=∠．求证：AB CD =．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质．本题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，所以考虑从全等三角形入手，而AB 与CD 所在的两个三角形不全等．因此，要证AB CD =，必须添加适当的辅助线构造全等三角形．以下是两位同学添加辅助线的方法．第一种辅助线做法：如图△，延长DE 到点F ，使DE EF =，连接BF ；第二种辅助线做法：如图△，作CG DE ⊥于点G ，BF DE ⊥交DE 延长线于点F .(1)请你任意选择其中一种对原题进行证明：方法总结：以上方法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题．(2)方法运用：如图△，AD 是ABC 的中线，BE 与AD 交于点F 且AE EF =．求证：BF AC =． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）第一种辅助线做法：延长DE 到点F ，使DE EF =，连接BF ．只要证明△BEF △△CED ，即可解决问题．第二种辅助线做法：作CG DE ⊥于点G ，BF DE ⊥交DE 延长线于点F ，先证明△BEF △△CEG ，再证明△ABF △△DCG 即可．（2）延长AD 到点A ˊ，使得DA ˊ=AD ，连接BA ˊ，只要证得△BDA ˊ△△CDA 即可．（1）第一种辅助线做法：证明：如图1，延长DE 到点F ，使得DE =EF ，连接BF ，△E 是BC的中点△BE=CE在△BEF与△CED中BE CEBEF CEDDE FE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△BEF△△CED（SAS）△BF=CD，△F=△CDE又△△BAE=△CDE△△BAE=△F△BF=AB △AB=CD第二种辅助线做法：证明：如图2，作CG△DE于点G，BF△DE交DE延长线于点E；则△F＝△CGE＝△CGD＝90°，△E是BC的中点，△BE=CE在△BEF与△CEG中F CGEBEF CEGBE CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△BEF△△CEG（AAS）△BF=CG，在△ABF与△DCG中，BAE CDEF CGDBF CG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABF△△DCG（AAS），△AB=CD．（2）如图3，延长AD到点Aˊ，使得DAˊ=AD，连接BAˊ，△AD是△ABC的中线，△BD=CD．在△BDAˊ与△CDA中BD CDBDA CDADA DA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ˊˊ，△△BDAˊ△△CDA（SAS）△BAˊ=AC，△Aˊ=△CAD，又△AE=EF，△△CAD=△EF A=△BF Aˊ，△Aˊ=△BF Aˊ△BF=BAˊ △BF=AC．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的中线等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。
初中数学北师大七年级下册第三章三角形中点四大模型微专题一倍长中线——构造全等三角形PPT
E
中点四大模型微专题一
倍长中线（类中线）构造全等三角形
方法三：
M
在△ABC中，AD是BC边中线 A
构造过程： 延长MD到N，使DN=MD，连接CN
B
D
C
N
易证：△MDB ≌ △NDC(SAS)
中点四大模型微专题一
倍长中线（类中线）构造全等三角形
方法四：
在△ABC中，D是BC边上中点
构造过程：
延长ED到F，使DF=ED，连接CF E
D
C
在△ADC与△EDB中，
｛AD=ED, ∠ADC= ∠EDB , CD=BD, ∴ △ADC ≌ △EDB(SAS)
中点四大模型微专题一
倍长中线（类中线）构造全等三角形
方法二：
在△ABC中，AD是BC边中线 A
构造过程：
F
B
D
C
作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E. 易证：△CFD ≌ △BED(AAS)
中点四大模型微专题一
倍长中线（类中线）构造全等三角形
模型分析
A 在△ABC中，AD是BC边中线
B
D
C
倍长中线（类中线）就是将 中线（类中线）加倍延长构 造全等三角形
中点四大模型微专题一
倍长中线（类中线）构造全等三角形
方法一：
B EAຫໍສະໝຸດ 在△ABC中，AD是BC边中线
构造过程：
延长中线AD到E，使DE=AD，连接BE.
｛PD=FD ∠PDE=∠FDE ED=ED
在△FDC与△PDB中，
∴△PDE≌ △FDE(SAS)
｛FD=PD ∠FDC=∠PDB BD=CD ∴△FDC ≌ △PDB(SAS)
∴EF=PE ∵在△BEP中，BE+BP＞EP ∴BE+CF ＞EF
2024年九年级中考数学项复习：倍长中线模型(1)课件
（2）如图④，在AB上任取一点M，连接MD，延长MD至点N，使DN＝MD，连接CN.
1.[一题多辨]（1）如图①，在△ABC中，D为边BC的中点，AB
（2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则
【观察猜想】
（1）线段DE与AM之间的数量关系是 DE＝2AM ，位置关系是 DE⊥AM .
【探究证明】
（2）将图①中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图
②，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？请说明理由.
解：仍然成立.线段DE与AM之间的数量关系是
DE ＝ 2AM. 线 段 DE 与 AM 之 间 的 位 置 关 系 是
几何部分的常用模型
倍长中线模型
学习目标：
1.梳理全等三角形和相似三角形的判定和性质定理，
选择合适的方法解决问题；
2.理解倍长中线模型，进行过程的推导；
3.总结利用倍长中线模型解决问题的注意事项，发展
几何直观、数学抽象、数学建模核心素养。
模型解读
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中
△ABC的面积是 8 .
2.如图，在△ABC中，D为BC边的中点，分别以AB，AC为
直角边向外作直角三角形，且满足∠ABE＝∠ACF＝30°，
连接EF，若AD＝2 ，则EF＝
4 .
3.（2021·烟台）有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按图①所示放置，点E，
F分别在边AB和AD上，连接BF，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于点N.
线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全
初中所有几何模型
初中所有几何模型
初中几何中常见的模型包括但不限于以下几种：
1. 手拉手模型：这种模型通常涉及到两个三角形，其中一个三角形的顶点与另一个三角形的对应顶点相连。
根据角度和边的关系，可以证明这两个三角形是相似的或全等的。
2. 倍长中线模型：如果一个中线长度超过另一边的一半，则可以通过倍长中线来构造新的三角形，从而利用中线性质进行证明。
3. 平行线模型：通过平行线的性质，可以证明一些角的关系，或者利用平行线的传递性来证明一些线段的比例关系。
4. 角平分线模型：利用角平分线的性质，可以证明一些角或者线段的比例关系。
5. 直角三角形模型：通过直角三角形的性质，可以证明一些角或者线段的关系。
6. 对角线模型：利用对角线的性质，可以证明一些线段的比例关系，或者通过构造新的三角形来证明一些结论。
7. 旋转模型：通过旋转图形，可以证明一些结论或者找到一些新的等量关系。
8. 相似三角形模型：通过相似三角形的性质，可以证明一些角或者线段的比例关系。
9. 特殊四边形模型：对于一些特殊的四边形，如平行四边形、矩形、菱形等，可以利用它们的性质来证明一些结论。
以上是一些常见的初中几何模型，它们都是基于几何的基本性质和定理构建的。
掌握这些模型可以帮助学生在解决几何问题时更加高效和准确。
部编数学八年级上册专题02全等三角形中的六种模型梳理(解析版)(人教版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题02 全等三角形中的六种模型梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。
类型一、倍长中线模型中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。
目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。
将分散的条件集中到一个三角形中去。
例1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．【答案】[探究与发现]见解析；[理解与应用]（1）见解析；（2）1＜x＜4【详解】解：[探究与发现]证明：∵DE∥AB，∴∠B=∠D，又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，∴△ABC≌△EDC（ASA）；[理解与应用]（1）证明：如图2中，延长AE到F，使EF=EA，连接DF，∵点E 是CD 的中点，∴ED =EC ，在△DEF 与△CEA 中，EF EA DEF CEA ED EC =ìïÐ=Ðíï=î，∴△DEF ≌△CEA （SAS ），∴AC =FD ，∴∠AFD =∠CAE ，∵∠CAE =∠B ，∴∠AFD =∠B ，∵AD 平分∠BAE ，∴∠BAD =∠FAD ，在△ABD 与△AFD 中，B AFD BAD FAD AD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△AFD （AAS ），∴BD =FD ，∴AC =BD ；（2）解：由（1）得：AF =2AE =2x ，△ABD ≌△AFD ，∴AB =AF =2x ，∵BD =3，AD =5，在△ABD 中，由三角形的三边关系得：AD -BD ＜AB ＜AD +BD ，即5-3＜2x ＜5+3，解得：1＜x ＜4，即x 的取值范围是1＜x ＜4．【变式训练1】如图1，在ABC V 中，CM 是AB 边的中线，BCN BCM Ð=Ð交AB 延长线于点N ，2CM CN =．（1）求证AC BN =；（2）如图2，NP 平分ANC Ð交CM 于点P ，交BC 于点O ，若120AMC Ð=°，CP kAC =，求CP CM的值．【答案】（1）见解析；（2）21kk +【详解】（1）如图1所示，延长CM 至点D ，使CM DM =，在ACM △与BDM V 中，CM DM AMC BMD AM BM =ìïÐ=Ðíï=î，ACM BDM \D @D ，AC BD \=，2CM CN =Q ，CD CN \=，在DCB V 与NCB △中，CD CN DCB NCB CB CB =ìïÐ=Ðíï=î,DCB NCB \D @D ，BN BD \=，AC BN \=；（2）如图所示，120AMC Ð=°Q ，60CMN \Ð=°，NP Q 平分MNC Ð，BCN BCM Ð=Ð，1602PNC BCN AMC Ð+Ð=Ð=°，120CON \Ð=°，60COP Ð=°，180CMN BOP \Ð+Ð=°，作CQ CP =，在CPO △与CQO V 中，CQ CP QCO PCO CO CO =ìïÐ=Ðíï=î，CPO CQO \D @D ，123\Ð=Ð=Ð，45\Ð=Ð，在NOB V 与NOQ V 中，45BNO QNO NO NO Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，NOB NOQ \D @D ，BN NQ \=，CN CP NB \=+，2CM CP AC \=+，设AC a =，CP ka \=，(1)2a k CM +=，21CP k CM k \=+．【变式训练2】（1）如图1，已知ABC V 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>；（2）如图2，在ABC V 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+；（3）如图3，在ABC V 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【详解】证：（1）如图所示，延长AD 至P 点，使得AD =PD ，连接CP ，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 的中点，BD =CD ，在△ABD 与△PCD 中，BD CD ADB PDC AD PD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△PCD (SAS )，∴AB =CP ，在△APC 中，由三边关系可得AC +PC ＞AP ，∴2AB AC AD +>；（2）如图所示，取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，∵H 为DE 中点，D 、E 为BC 三等分点，∴DH =EH ，BD =DE =CE ，∴DH =CH，在△ABH 和△QCH 中，BH CH BHA CHQ AH QH =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABH ≌△QCH (SAS )，同理可得：△ADH ≌△QEH ，∴AB =CQ ，AD =EQ ，此时，延长AE ，交CQ 于K 点，∵AC +CQ =AC +CK +QK ，AC +CK ＞AK ，∴AC +CQ ＞AK +QK ，又∵AK +QK =AE +EK +QK ，EK +QK ＞QE ，∴AK +QK ＞AE +QE ，∴AC +CQ ＞AK +QK ＞AE +QE ，∵AB =CQ ，AD =EQ ，∴AB AC AD AE +>+；（3）如图所示，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，∵M 为DE 中点，∴DM =EM ，∵BD =CE ，∴BM =CM ，在△ABM 和△NCM 中，BM CM BMA CMN AM NM =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABM ≌△NCM (SAS )，同理可证△ADM ≌△NEM ，∴AB =NC ，AD =NE ，此时，延长AE ，交CN 于T 点，∵AC +CN =AC +CT +NT ，AC +CT ＞AT ，∴AC +CN ＞AT +NT ，又∵AT +NT =AE +ET +NT ，ET +NT ＞NE ，∴AT +NT ＞AE +NE ，∴AC +CN ＞AT +NT ＞AE +NE ，∵AB =NC ，AD =NE ，∴AB AC AD AE +>+．【变式训练3】在ABC V 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，BM ^直线a 于点M ．CN ^直线a 于点N ，连接PM ，PN ．（1）如图1，若点B ，P 在直线a 的异侧，延长MP 交CN 于点E ．求证：PM PE =．（2）若直线a 绕点A 旋转到图2的位置时，点B ，P 在直线a 的同侧，其它条件不变，此时7BMP CNP S S +=△△，1BM =，3CN =，求MN 的长度．（3）若过P 点作PG ^直线a 于点G ．试探究线段PG 、BM 和CN 的关系．【答案】（1）见解析；（2）7MN =；（3）线段PG 、BM 和CN 的位置关系为////BM PG CN ，数量关系为2PG CN BM =-或2PG BM CN =-或2PG CN BM=+【详解】（1）证明：如图1，BM ^Q 直线a 于点M ，CN ^直线a 于点N ，90BMA CNM \Ð=Ð=°，//BM CN \，MBP ECP \Ð=Ð，又P Q 为BC 边中点，BP CP \=，在BPM △和CPE △中，BPM CPE BP CP MBP ECP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()BPM CPE ASA \≌△△，PM PE \=．（2）解：如图2，延长MP 与NC 的延长线相交于点E ，BM ^Q 直线a 于点M ，CN ^直线a 于点N ，90BMN CNM \Ð=Ð=°，180BMN CNM \Ð+Ð=°，//BM CN \，MBP ECP \Ð=Ð，又P Q 为BC 中点，BP CP \=，又BPM CPE Ð=ÐQ ，∴在BPM △和CPE △中，BPM CPE BP CP MBP ECP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()BPM CPE ASA \≌△△，PM PE \=，BM CE =，BPM CPE S S =△△，∵1BM =，3CN =，4NE CN CE CN BM \=+=+=，7BMP CNP S S +=Q △△，7PNE CPE CNP BMP CNP S S S S S \+=+==△△△△△，214MNE PNE S S \==△△，\14142MN ´´=，7MN \=．（3）位置关系：////BM PG CN ，数量关系：分四种情况讨论∵BM ^直线a 于点M ．CN ^直线a 于点N ，PG ^直线a 于点G ，∴////BM PG CN ，①如图3，当直线a 与线段BP 交于一点时，由（1）可知PM PE =，12PMN PEN MNE S S S \==△△△，即111222MN PG NE MN ´×=×，2NE PG \=，BPM CPE Q ≌△△，BM CE \=，∵NE CN CE =-，2PG CN BM \=-．②当直线a 与线段CP 交于一点时，如图，延长MP 交CN 的延长线于点E ．BM ^Q 直线a 于点M ，CN ^直线a 于点N ，90BMN CNM \Ð=Ð=°，//BM CN \，MBP ECP \Ð=Ð，又P Q 为BC 边中点，BP CP \=，在BPM △和CPE △中，BPM CPE BP CP MBP ECP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()BPM CPE ASA \≌△△，PM PE \=．12PMN PEN MNE S S S \==△△△，即111222MN PG NE MN ´×=×，2NE PG \=，BPM CPE Q ≌△△，BM CE \=，∵NE CE CN =-，2PG BM CN \=-．③如图4，当直线a 与线段CB 的延长线交于一点时．由（2）得：()BPM CPE ASA V V ≌，PM PE \=，BPM CPE S S =△△，∴2MNE MNP BCNM S S S ==梯形△△，即()11222BM CN MN MN PG +×=´×，2PG CN BM \=+．④当直线a 与线段CB 的延长线交于一点时，如图，延长MP 交NC 的延长线于点E．BM ^Q 直线a 于点M ，CN ^直线a 于点N ，90BMN CNM \Ð=Ð=°，180BMN CNM \Ð+Ð=°，//BM CN \，MBP ECP \Ð=Ð，又P Q 为BC 中点，BP CP \=，又BPM CPE Ð=ÐQ ，∴在BPM △和CPE △中，BPM CPE BP CP MBP ECP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()BPM CPE ASA \≌△△，PM PE \=，BPM CPE S S =△△，∴2MNE MNP BCNM S S S ==梯形△△，即()11222BM CN MN MN PG +×=´×，2PG CN BM \=+．综上所述，线段PG 、BM 和CN 的位置关系为////BM PG CN ，数量关系为2PG CN BM =-或2PG BM CN =-或2PG CN BM =+．类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）例．在等边三角形ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，P 为△ABC 外一点，且∠MPN ＝60°，∠BPC ＝120°，BP ＝CP ．探究：当点M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系．(1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．(2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)一定成立；(3)MN＝NC﹣BM【解析】(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠BPC＝120°，BP＝CP，∴∠PBC＝∠PCB＝12×（180°﹣120°）＝30°，∴∠PBM＝∠PCN＝90°，在Rt△PBM和Rt△PCN中，PB PCPM PN=ìí=î，∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），∴∠BPM＝∠CPN＝30°，∵∠MPN＝60°，PM＝PN，∴△PMN为等边三角形，∴PM＝PN＝MN，在Rt△PBM中，∠BPM＝30°，∴BM＝12PM，同理可得，CN＝12PN，∴BM+CN＝MN．(2)解：一定成立，理由如下：延长AC至H，使CH＝BM，连接PH，如图所示，由（1）可知：∠PBM＝∠PCN＝90°，∴∠PCH＝90°，∴∠PBM＝∠PCH，在△PBM和△PCH中，BM CHPBM PCHPB PC=ìïÐ=Ðíï=î，∴△PBM≌△PCH（SAS），∴PM＝PH，∠BPM＝∠CPH，∵∠BPM +∠CPN ＝60°，∴∠CPN +∠CPH ＝60°，∴∠MPN ＝∠HPN ，在△MPN 和△HPN 中，PM PH MPN HPN PN PN =ìïÐ=Ðíï=î，∴△MPN ≌△HPN （SAS ），∴MN ＝HN ＝BM +CN ，故答案为：一定成立．(3)解：在AC 上截取CK ＝BM ，连接PK ，如图所示，在△PBM 和△PCK 中，90PB PC PBM PCK BM CK =ìïÐ=Ð=°íï=î，∴△PBM ≌△PCK （SAS ），∴PM ＝PK ，∠BPM ＝∠CPK ，∵∠BPM +∠BPN ＝60°，∴∠CPK +∠BPN ＝60°，∴∠KPN ＝60°，∴∠MPN ＝∠KPN ，在△MPN 和△KPN 中，PM PK MPN KPN PN PN =ìïÐ=Ðíï=î，∴△MPN ≌△KPN （SAS ），∴MN ＝KN ，∵KN ＝NC ﹣CK ＝NC ﹣BM ，∴MN ＝NC ﹣BM ．【变式训练1】如图，在四边形ABCD 中，,180AB AD B ADC =Ð+Ð=°，点E 、F 分别在直线BC 、CD 上，且12EAF BAD Ð=Ð．(1)当点E 、F 分别在边BC 、CD 上时（如图1），请说明EF BE FD =+的理由．(2)当点E 、F 分别在边BC 、CD 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF 、BE 、FD 之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)不成立，EF BE FD =-，见解析【解析】(1)EF ＝BE +DF ，理由：延长EB 至G ，使BG ＝DF ，连接AG ，∵∠ABC +∠ADC ＝180°，∠ABC +∠ABG ＝180°，∴∠ADC ＝∠ABG ，在△ABG 和△ADF 中，AB AD ABG ADF BG DF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABG ≌△ADF （SAS ），∴AG ＝AF ，∠BAG ＝∠DAF ，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠BAE +∠DAF ＝∠BAE +∠BAG ＝∠EAF ，即∠EAG ＝∠EAF ，在△EAG 和△EAF 中，AG AF EAG EAF AE AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△EAG ≌△EAF （SAS ），∴GE ＝EF ，∴EF ＝BE +DF ；(2)（1）中结论不成立，EF ＝BE ﹣FD ，在BE 上截取BM ＝DF ，连接AM ，∵∠ABC +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADF ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADF ，在△ABM 和△ADF 中，AB AD ABM ADF BM DF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABM ≌△ADF （SAS ），∴AM ＝AF ，∠BAM ＝∠DAF ，∵∠BAM +∠MAD ＝∠DAF +∠MAD ，∴∠BAD ＝∠MAF，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠EAF ＝12∠MAF ，∴∠EAF ＝∠EAM ，在△AME 和△AFE 中，AM AF EAM EAF AE AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AME ≌△AFE （SAS ），∴ME ＝EF ，∴ME ＝BE ﹣BM ＝BE ﹣DF ，∴EF ＝BE ﹣FD ．【变式训练2】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC Ð，180A C Ð+Ð=°．求证：DA DC =．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC ，当60DAC Ð=°时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180A C Ð+Ð=°，DA DC =，过点D 作DE BC ^，垂足为点E ，请直接写出线段AB 、CE 、BC 之间的数量关系．【答案】（1）证明见解析；（2）AB BC BD +=；理由见解析；（3）2BC AB CE -=．【详解】解：（1）方法1：在BC 上截BM BA =，连接DM ，如图．BD Q 平分ABC Ð，ABD CBD \Ð=Ð．在ΔABD 和ΔMBD 中，BD BD ABD MBD BA BM =ìïÐ=Ðíï=î，ΔΔABD MBD \≌，A BMD \Ð=Ð，AD MD =．180BMD CMD °Ð+Ð=Q ，180C A °Ð+Ð=．C CMD \Ð=Ð．DM DC \=，DA DC \=．方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，如图．BD Q 平分ABC Ð，NBD CBD \Ð=Ð．在ΔNBD 和ΔCBD 中，BD BD NBD CBD BN BC =ìïÐ=Ðíï=î，ΔΔNBD CBD \≌．BND C \Ð=Ð，ND CD =．180NAD BAD °Ð+Ð=Q ，180C BAD °Ð+Ð=．BND NAD \Ð=Ð，DN DA \=，DA DC \=．（2）AB 、BC 、BD 之间的数量关系为：AB BC BD +=．（或者：BD CB AB -=，BD AB CB -=）．延长CB 到点P ，使BP BA =，连接AP ，如图2所示．由（1）可知AD CD =，60DAC °Ð=Q ．ΔADC \为等边三角形．AC AD \=，60ADC °Ð=．180BCD BAD °Ð+Ð=Q ，36018060120ABC °°°°\Ð=--=．18060PBA ABC °°\Ð=-Ð=．BP BA =Q ，ΔABP \为等边三角形．60PAB °\Ð=，AB AP =．60DAC °Ð=Q ，PAB BAC DAC BAC \Ð+Ð=Ð+Ð，即PAC BAD Ð=Ð．在ΔPAC 和ΔBAD 中，PA BA PAC BAD AC AD =ìïÐ=Ðíï=î，ΔΔPAC BAD \≌．PC BD \=，PC BP BC AB BC =+=+Q ，AB BC BD \+=．（3）AB ，CE ，BC 之间的数量关系为：2BC AB CE -=．（或者：2BC CE AB -=，2AB CE BC +=）解：连接BD ，过点D 作DF AC ^于F ，如图3所示．180BAD C °Ð+Ð=Q ，180BAD FAD °Ð+Ð=．FAD C \Ð=Ð．在ΔDFA 和ΔDEC 中，DFA DEC FAD C DA DC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，ΔΔDFA DEC \≌，DF DE \=，AF CE =．在RtΔBDF 和RtΔBDE 中，BD BD DF DE =ìí=î，RtΔRtΔBDF BDE \≌．BF BE \=，2BC BE CE BA AF CE BA CE \=+=++=+，2BC BA CE \-=．【变式训练3】在ABC V 中，BE ，CD 为ABC V 的角平分线，BE ，CD 交于点F ．（1）求证：1902BFC A Ð=°+Ð；（2）已知60A Ð=°．①如图1，若4BD =， 6.5BC =，求CE 的长；②如图2，若BF AC =，求AEB Ð的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．【解析】解：（1）BE Q 、CD 分别是ABC Ð与ACB Ð的角平分线，11(180)9022FBC FCB A A \Ð+Ð=°-Ð=°-Ð，1180()180(90)2BFC FBC FCB A \Ð=°-Ð+Ð=°-°-Ð，1902BFC A \Ð=°+Ð，（2）如解（2）图，在BC 上取一点G 使BG=BD ，由（1）得1902BFC A Ð=°+Ð，60BAC Ð=°Q ，120BFC \Ð=°，∴18060BFD EFC BFC Ð=Ð=°-Ð=°，在BFG V 与BFD △中，BF BF FBG FBD BD BG =ìïÐ=Ðíï=î，∴BFG BFD @V △（SAS ）∴BFD BFG Ð=Ð，∴60BFD BFG Ð=Ð=°，∴12060CFG BFG Ð=°-Ð=°，∴60CFG CFE Ð=Ð=°在FEC V 与FGC △中，CFE CFG CF CF ECF GCF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()FEC FGC ASA \@V V ，CE CG \=，BC BG CG =+Q ，BC BD CE \=+；∵4BD =， 6.5BC =，∴ 2.5CE =（3）如解（3）图，延长BA 到P ，使AP=FC，60BAC Ð=°Q ，∴180120PAC BAC Ð=°-Ð=°，在BFC △与CAP V 中，120BF AC BFC CAP CF PA =ìïÐ=Ð=°íï=î，∴BFC CAP @V △（SAS ）∴P BCF Ð=Ð，BC PC =，∴P ABC Ð=Ð，又∵12P BCF ACB Ð=Ð=Ð，∴2ACB ABC Ð=Ð，又∵180ACB ABC A Ð+Ð+Ð=°，∴360180ABC Ð+°=°，∴40ABC Ð=°，80ACB Ð=°，∴1202ABE ABC Ð=Ð=°，180()180(2060)100AEB ABE A Ð=°-Ð+Ð=°-°+°=°类型三、做平行线证明全等例1．如图所示：ABC V 是等边三角形，D 、E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD CE =，连接DE 交BC 于点M ．求让：MD ME=【答案】见详解【详解】过点D 作DE ∥AC ，交BC 于点E ，∵ABC V 是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∵DE ∥AC ，∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC ，∴BDE V 是等边三角形，∴BD=DE ，∵BD CE =，∴DE=CE ，又∵∠EMD=∠CME ，∴∆EMD ≅∆CME ，∴MD ME =．【变式训练1】 P 为等边△ABC 的边AB 上一点，Q 为BC 延长线上一点，且PA ＝CQ ，连PQ 交AC 边于D ．（1）证明：PD ＝DQ ．（2）如图2，过P 作PE ⊥AC 于E ，若AB ＝6，求DE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）DE ＝3．【详解】（1）如图1所示，点P 作PF ∥BC 交AC 于点F ．∵△ABC 是等边三角形，∴△APF 也是等边三角形，AP =PF =AF =CQ ．∵PF ∥BC ，∴∠PFD =∠DCQ ．在△PDF 和△QDC 中，PDF QDC DFP QCDPF QC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△PDF ≌△QDC （AAS ），∴PD =DQ ；（2）如图2所示，过P 作PF ∥BC 交AC 于F ．∵PF ∥BC ，△ABC 是等边三角形，∴∠PFD =∠QCD ，△APF 是等边三角形，∴AP =PF =AF ．∵PE ⊥AC ，∴AE =EF ．∵AP =PF ，AP =CQ ，∴PF =CQ ．在△PFD 和△QCD 中，PDF QDC DFP QCDPF QC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△PFD ≌△QCD （AAS ），∴FD =CD ．∵AE =EF ，∴EF +FD =AE +CD ，∴AE +CD =DE 12=AC ．∵AC =6，∴DE =3．【变式训练2】已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；ME．【答案】(1)DM=EM．理由见详解；(2)成立，理由见详解；(3)MD=12【解析】(1)解：DM=EM；证明：过点E作EF//AB交BC于点F，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；又∵EF//AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，∴EF=EC．又∵BD=EC，∴EF=BD．又∵EF//AB，∴∠ADM=∠MEF．在△DBM 和△EFM 中BDM FEM BMD FME BD EF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△DBM ≌△EFM ，∴DM =EM ．(2)解：成立；证明：过点E 作EF //AB 交CB 的延长线于点F ，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠C ；又∵EF //AB ，∴∠ABC =∠EFC ，∴∠EFC =∠C ，∴EF =EC ．又∵BD =EC ，∴EF =BD ．又∵EF //AB ，∴∠ADM =∠MEF ．在△DBM 和△EFM 中BDE FEM BMD FME BD EF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△DBM ≌△EFM ；∴DM =EM ；类型四、旋转模型例．如图1，AC BC =，CD CE =，ACB DCE a Ð=Ð=，AD 、BE 相交于点M ，连接CM ．（1）求证：BE AD =，并用含a 的式子表示AMB Ð的度数；（2）当90a =°时，取AD ，BE 的中点分别为点P 、Q ，连接CP ，CQ ，PQ ，如图2，判断CPQ V 的形状，并加以证明．【答案】（1）证明见解析；AMB a Ð=；（2）CPQ V 为等腰直角三角形；证明见解析．【详解】证明：（1）如图1，ACB DCE a Ð=Ð=Q ，ACB BCD DCE BCD \Ð+Ð=Ð+Ð，ACD BCE ÐÐ\=，在ACD △和BCE V 中，CA CB ACD BCE CD CE =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)ACD BCE \≌△△，BE AD \=；ACD BCE V Q V ≌，CAD CBE \Ð=Ð，ABC Q V 中，180BAC ABC a Ð+Ð=°-，180BAM CAM ABC a \Ð+Ð+Ð=°-,180BAM ABM a \Ð+Ð=°-，ABM \V 中，180()180(180)AMB BAM ABM a a Ð=°-Ð+Ð=°-°-=；即AMB a Ð=；（2）CPQ V 为等腰直角三角形．证明：如图2，由（1）可得，BE AD =，AD Q ，BE 的中点分别为点P 、Q ，AP =BQ \，ACD BCE V Q V ≌，CAP CBQ \Ð=Ð，在ACP △和BCQ △中，CA CB CAP CBQ AP BQ =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)ACP BCQ \≌△△，CP CQ \=，且ACP BCQ Ð=Ð，又90ACP PCB Ð+Ð=°Q ，90BCQ PCB \Ð+Ð=°，90PCQ \Ð=°，CPQ \V 为等腰直角三角形．【变式训练1】四边形ABCD 是由等边ABC D 和顶角为120°的等腰ABD D 排成，将一个60°角顶点放在D 处，将60°角绕D 点旋转，该60°交两边分别交直线BC 、AC 于M 、N ，交直线AB 于E 、F 两点．（1）当E 、F 都在线段AB 上时（如图1），请证明：BM AN MN +=；（2）当点E 在边BA 的延长线上时（如图2），请你写出线段MB ，AN 和MN 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若7AC =， 2.1AE =，请直接写出MB 的长为 ．【答案】（1）证明见解析；（2）MB MN AN =+．证明见解析；（3）2.8．【解析】解：（1）证明：把△DBM 绕点D 逆时针旋转120°得到△DAQ ，则DM =DQ ，AQ =BM ，∠ADQ =∠BDM ，∠QAD =∠CBD =90°，∴点Q 在直线CA 上，∵∠QDN =∠ADQ +∠ADN =∠BDM +∠ADN =∠ABD -∠MDN =120°-60°=60°，∴∠QDN =∠MDN =60°，∵在△MND 和△QND 中，DM DQ QDN MDN DN DN ìïÐÐíïî＝＝＝，∴△MND ≌△QND （SAS ），∴MN =QN ，∵QN =AQ +AN =BM +AN ，∴BM +AN =MN ；（2）：MB MN AN =+.理由如下：如图，把△DAN 绕点D 顺时针旋转120°得到△DBP ，则DN =DP ，AN =BP ，∵∠DAN =∠DBP =90°，∴点P 在BM 上，∵∠MDP =∠ADB -∠ADM -∠BDP =120°-∠ADM -∠ADN =120°-∠MDN =120°-60°=60°，∴∠MDP =∠MDN =60°，∵在△MND 和△MPD 中，DN DP MDP MDN DM DM ìïÐÐíïî＝＝＝，∴△MND ≌△MPD （SAS ），∴MN =MP ，∵BM =MP +BP ，∴MN +AN =BM；（3）如图，过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，∵△ABC是等边三角形，∴△BMG是等边三角形，∴BM=MG=BG，根据（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN，∴∠MND=∠MHN，∴MN=MH，∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH，∵在△ANE和△GHE中，QND MHNAEN GEHAN GHÐÐìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ANE≌△GHE（AAS），∴AE=EG=2.1，∵AC=7，∴AB=AC=7，∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，∴BM=BG=2.8．故答案为：2.8【变式训练2】（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：①∠AEB的度数为 °；②线段AD、BE之间的数量关系是 ．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之间的数量关系．（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．【答案】（1）①60；②AD ＝BE ；（2）a 2＋b 2＝c 2；（3）60°或120°【详解】解：（1）①如图1，∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴CA =CB ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∴∠ACD =∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）．∴∠ADC =∠BEC ．∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE =∠CED =60°，∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC =120°，∴∠BEC =120°，∴∠AEB =∠BEC -∠CED =60°，故答案为：60；②∵△ACD ≌△BCE ，∴AD =BE ，故答案为：AD =BE ；（2）∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴CA =CB ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =90°．∴∠ACD =∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴BE =AD ，∠ADC =∠BEC ，∵△DCE 为等腰直角三角形，∴∠CDE =∠CED =45°．∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC =135°．∴∠BEC =135°，∴∠AEB =∠BEC -∠CED =90°，∴AD 2+AE 2=AB 2，∵AD =a ，AE =b ，AB =c ，∴a 2+b 2=c 2；（3）如图3，由（1）知△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD =∠CBE ，∵∠CAB =∠CBA =60°，∴∠OAB +∠OBA =120°，∴∠AOE =180°-120°=60°，如图4，同理求得∠AOB =60°，∴∠AOE =120°，∴∠AOE 的度数是60°或120°．【变式训练3】如图1，在Rt ABC V 中，90A Ð=°，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______．（2）探究证明：把ADE V 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN V 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE V 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN V 面积的最大值．【答案】（1）PM PN =、PM PN ^；（2）等腰直角三角形，证明见解析；（3）492【详解】解：（1）∵点P ，N 是BC ，CD 的中点， ∴PN ∥BD ，PN =12BD ，∵点P ，M 是CD ，DE 的中点， ∴PM ∥CE ，PM =12CE ，∵AB =AC ，AD =AE ， ∴BD =CE ， ∴PM =PN ，∵PN ∥BD ， ∴∠DPN =∠ADC ，∵PM ∥CE ， ∴∠DPM =∠DCA ，∵∠BAC =90°， ∴∠ADC +∠ACD =90°， ∴∠MPN =∠DPM +∠DPN =∠DCA +∠ADC =90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM=PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由如下：由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，利用三角形的中位线得，PN=12BD，PM=12CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC =∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=12BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，∴BD=AB+AD=14，∴PM=7，∴S△PMN最大= 12PM2=12×49=492．类型五、手拉手模型例．在等边ABCV中，点D在AB上，点E在BC上，将线段DE绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，连接CF．(1)如图（1），点D 是AB 的中点，点E 与点C 重合，连接AF ．若6AB =，求AF 的长；(2)如图（2），点G 在AC 上且60AGD FCB Ð=°+Ð，求证：CF DG =；(3)如图（3），6AB =，2BD CE =，连接AF ．过点F 作AF 的垂线交AC 于点P ，连接BP 、DP ．将BDP △沿着BP 翻折得到BQP V ，连接QC ．当ADP △的周长最小时，直接写出CPQ V 的面积．【答案】(1)AF =3；(2)见解析；【解析】(1)解：∵△ABC 为等边三角形，∴BC =AC ，∠BCA =60°，由旋转知，∠CDF =60°，CD =CF ，∴△DCF 为等边三角形，∴CD =CF ，∠DCF =60°，∴∠DCB =∠ACF ，∴△BCD ≌△ACF ，∴AF =BD ，∵D 为AB 中点，AB =6，∴BD =3，∴AF =3．(2)解：将CF 绕C 顺时针旋转60°得CH ，连接CH ，FH ，EF ，EH ，CD ，在AC 上截取AP =BE ，连接DP ，设CD 交EH 于M ，如图所示，由旋转知，△DEF 、△CFH 为等边三角形，∴DF =EF ，CF =FH ，∠DFE =∠CFH =60°，∴∠DFC =∠EFH ，∴△DCF ≌△BHF ，∴EH =CD ，∠DCF =∠EHF ，由三角形内角和知，∠HMC +∠EHF =∠DCF +∠HFC ，∴∠HMC =∠HFC =60°，∴∠DCE +∠HEC =60°，∵∠DCP +∠DCE =60°， ∴∠CEH =∠DCP ，∵AC =BC ，AP =BE ，∴CP =CE ，∴△ECH ≌△CPD ，∴CH =DP ，∠DPC =∠HCE ，又∠HCE =60°+∠2，∴∠DPC =60°+∠2，由∠1+∠FCG =∠2+∠FCG =60°，知∠1=∠2，又∠AGD =60°+∠1，∴∠AGD =∠DPG ， ∴DP =DG ，∵CH =CF ，∴CF =DG ．(3)：过D 作DH ⊥CB 于H ，连接EF ，如图所示，∵△ABC 为等边三角形，∴∠DBH =60°，∠BDH =30°，∴BD =2BH ，DH ，∵BD =2CE ，∴BH =CE ，设BH =CE =x ，则BD =2x ，EH =6－2x ，AD =6－2x ，由旋转知，△DEF 为等边三角形，∠EDF =60°，∴∠1+∠3=90°，DE =DF ，又∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，∴△ADF ≌△HED ，∴∠DAF =∠DHE =90°，∠PAF =30°，AF =DH ，∵∠AFP =90°，∴PF =x ，AP =2x ，过P 作PM ⊥AD 于M ，则AM =x ，DM =6－3x ，PM ，在Rt △PDM 中，由勾股定理得：PD ==故△ADP 周长=AD +AP +PD =6－2x +2x ，∴当x =32时，周长取最小值，最小值为9，此时DP =3，∴BD =AP =3，即D 为AB 中点，P 为AC 中点，∴直线BP 是等边△ABC 对称轴，如图所示，△BDP 沿BP 折叠后，Q 点落在BC 中点处，则△PCQ 面积=14×△ABC 面积=1426【变式训练1】△ACB 和△DCE 是共顶点C 的两个大小不一样的等边三角形．(1)问题发现：如图1，若点A，D，E在同一直线上，连接AE，BE．①求证：△ACD≌△BCE；②求∠AEB的度数．(2)类比探究：如图2，点B、D、E在同一直线上，连接AE，AD，BE，CM为△DCE中DE边上的高，请求∠ADB的度数及线段DB，AD，DM之间的数量关系，并说明理由．(3)拓展延伸：如图3，若设AD（或其延长线）与BE的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明．【答案】(1)①见解析；②∠AEB=60°；(2)∠ADB=60°，2DM+BD=AD，理由见解析；(3)α=60°，证明见解析【解析】(1)①证明：∵△ACB和△DCE是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）；②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=120°，又∵∠CED=60°，∴∠AEB=60°；(2)解：∠ADB=60°，2DM +BD=AD，理由如下；∵AC=BC，CD=CE，∠ACD=60°+∠DCB=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CDA=∠CED=60°；∵∠ADB+∠CDA=∠DCE+∠CED，∴∠ADB=60°；又∵CM⊥BE，且△CDE为等边三角形，∴DE=2DM，∴2DM +BD=BE=AD；(3)解：α=60°，理由如下：同理可证△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC，∴∠CDF+∠CEF=180°，∴∠ECD+∠DFE=180°，而α+∠DFE=180°，∴α=∠ECD=60°．【变式训练2】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，则CD＝ ．【答案】（1）BD ＝CE ；（2）BD 2＝54；（3）8【详解】解：（1）BD ＝CE ．理由是：∵∠BAE ＝∠CAD ， ∴∠BAE +∠BAC ＝∠CAD +∠BAC ，即∠EAC ＝∠BAD ，在△EAC 和△BAD 中， AE AB EAC BAD AC AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△EAC ≌△BAD ， ∴BD ＝CE ；（2）如图2，在△ABC 的外部，以A 为直角顶点作等腰直角△BAE ，使∠BAE ＝90°，AE ＝AB ，连接EA 、EB 、EC ．∵∠ACD ＝∠ADC ＝45°， ∴AC ＝AD ，∠CAD ＝90°，∴∠BAE +∠BAC ＝∠CAD +∠BAC ，即∠EAC ＝∠BAD ，在△EAC 和△BAD 中，AE AB EAC BAD AC AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△EAC ≌△BAD ，∴BD ＝CE ．∵AE ＝AB ＝5，∴BE =∠ABE ＝∠AEB ＝45°，又∵∠ABC ＝45°，∴∠ABC +∠ABE ＝45°+45°＝90°，∴(22222254EC BE BC =+=+=，∴2254BD CE == ．（3）如图，∵AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，把△ACD 绕点C 逆时针旋转60°得到△BCE ，连接DE ，则BE ＝AD ，△CDE 是等边三角形，∴DE ＝CD ，∠CED ＝60°，∵∠ADC ＝30°，∴∠BED ＝30°+60°＝90°，在Rt △BDE 中，DE 8，∴CD ＝DE ＝8．【变式训练3】（1）问题发现：如图1，ACB △和DCE V 均为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 在同一条直线上，则AEB Ð的度数为__________，线段AD 、BE 之间的数量关系__________；（2）拓展探究：如图2，ACB △和DCE V 均为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 不在一条直线上，请判断线段AD 、BE 之间的数量关系和位置关系，并说明理由．（3）解决问题：如图3，ACB △和DCE V 均为等腰三角形，ACB DCE a Ð=Ð=，则直线AD 和BE 的夹角为__________．（请用含a 的式子表示）【答案】（1）90°，AD =BE ；（2）AD =BE ，AD ⊥BE ；（3）a【详解】（1）∵ACB △和DCE V 均为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，∴AC BC ＝，CD CE ＝，∠CDE =45°∴∠CDA =135°∵∠ACB −∠DCB ＝∠DCE −∠DCB ，∴∠ACD ＝∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE ìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠BEC =∠ADC ＝135°，AD ＝BE ，∴∠AEB =90°故答案为：90°，AD ＝BE（2）AD =BE ，AD ⊥BE ，理由如下，（3）同理可得△ACD ≌△BCE ，则AD =BE ，延长AD 交BE 于点F ，设∠FAB =α，则∠CAD =∠CBE =45°-α∴∠ABE =45°+45°-α=90°-α∴∠AFB =180°-∠FAB -∠ABE =180°-α-(90°-α)=90°∴AD ⊥BE（3）如图，延长BE 交AD 于点G，∵ACB △和DCE V 均为等腰三角形，∴AC BC ＝，CD CE ＝，∵∠ACB =∠DCE =α，∵∠ACB +∠ACE ＝∠DCE +∠ACE ，∴∠ACD ＝∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE ìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE =∠CAD ∵ACB DCE a Ð=Ð=，∴∠CBA =∠CAB =()11180=9022a a °-°-∴∠GAB +∠GBA =()()CAD CAB ABC CBE Ð+Ð+Ð-ÐABC CAB =Ð+Ð180a =°-，∴∠AGB =180°-(∠GAB +∠GBA )a = ，即直线AD 和BE 的夹角为a ．故答案为：a ．类型六、一线三角模型例.在ABC V 中，90ACB Ð=°，AC BC =，直线MN 经过点C 且AD MN ^于D ，BE MN ^于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①ADC V ≌CEB △；②DE AD BE =+；(2)当直线MN 烧点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)证明见解析(3)DE BE AD =-（或者对其恒等变形得到AD BE DE =-，BE AD DE =+），证明见解析【解析】(1)解：①AD MN ^Q ，BE MN ^，90ADC ACB CEB \Ð=Ð=°=Ð，90CAD ACD \Ð+Ð=°，90BCE ACD Ð+Ð=°，CAD BCE \Ð=Ð，Q 在ADC D 和CEB D 中，CAD BCE ADC CEB AC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()ADC CEB AAS \D @D ；②ADC CEB D @D Q ，CE AD \=，CD BE =，DE CE CD AD BE \=+=+；(2)证明：AD MN ^Q ，BE MN ^，90ADC CEB ACB \Ð=Ð=Ð=°，CAD BCE \Ð=Ð，Q 在ADC D 和CEB D 中，CAD BCE ADC CEB AC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()ADC CEB AAS \D @D ；CE AD \=，CD BE =，DE CE CD AD BE \=-=-；(3)证明：当MN 旋转到题图（3）的位置时，AD ，DE ，BE 所满足的等量关系是：DE BE AD =-或AD BE DE =+或BE AD DE =+．理由如下：AD MN ^Q ，BE MN ^，90ADC CEB ACB \Ð=Ð=Ð=°，CAD BCE \Ð=Ð，Q 在ADC D 和CEB D 中，CAD BCE ADC CEBAC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()ADC CEB AAS \D @D ，CE AD \=，CD BE =，DE CD CE BE AD \=-=-（或者对其恒等变形得到AD BE DE =+或BE AD DE =+）．【变式训练1】【问题解决】（1）已知△ABC 中，AB =AC ，D ，A ，E 三点都在直线l 上，且有∠BDA =∠AEC =∠BAC ．如图①，当∠BAC =90°时，线段DE ，BD ，CE 的数量关系为：______________；【类比探究】（2）如图②，在（1）的条件下，当0°<∠BAC <180°时，线段DE ，BD ，CE 的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；【拓展应用】（3）如图③，AC =BC ，∠ACB =90°，点C 的坐标为（-2，0），点B 的坐标为（1，2），请求出点A 的坐标．【答案】（1）DE ＝BD +CE ；（2）DE ＝BD +CE 的数量关系不变，理由见解析；（3）（﹣4，3）【解析】解：（1）∵∠BAC ＝90°，∴∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ＝90°，∴∠ABD +∠BAD ＝90°，∠CAE +∠BAD ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE ADB CEA BA AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴AD ＝CE ，BD ＝AE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ，故答案为：DE ＝BD +CE ；（2）DE ＝BD +CE 的数量关系不变，理由如下：∵∠BAE 是△ABD 的一个外角，∴∠BAE ＝∠ADB +∠ABD ，∵∠BDA ＝∠BAC ，∴∠ABD ＝∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE ADB CEA BA AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴AD ＝CE ，BD ＝AE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE；。
倍长中线构造全等三角形
巧添帮助线——倍长中线【夯实基本】例：ABC ∆中,AD 是BAC ∠的等分线,且BD=CD,求证AB=AC办法1：作DE ⊥AB 于E,作DF ⊥AC 于F,办法2：帮助线同上,应用面积 办法3：倍长中线AD【办法精讲】经常应用帮助线添加办法——倍长中线 △ABC 中方法1： 延伸AD 到E,AD 是BC 使DE=AD, 衔接BE方法2：间接倍长作CF ⊥AD 于F, 延伸MD 到N, 作BE ⊥AD 的延伸线于E 使DN=MD,衔接BE 衔接CD【经典例题】例1：△ABC 中,AB=5,AC=3,求中线AD 的取值规模提醒：画出图形,倍长中线AD,应用三角形双方之和大于第三边例2：已知在△ABC 中,AB=AC,D 在AB 上,E 在AC 的延伸线上,DE 交BC 于F,且DF=EF,求证：BD=CE 办法1：过D 作DG ∥AE 交BC 于G,证实ΔDGF办法2：过E 作EG ∥AB 交BC 的延伸线于G, 办法3：过D 作DG ⊥BC 于G,过E 作EH ⊥BC 证实ΔBDG ≌ΔECH例3：已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE=AC,延伸BE 交AC 于F,求证：AF=EF 提醒：倍长AD 至G,衔接BG,证实ΔBDG ≌Δ 三角形BEG 是等腰三角形 例4：已知：如图,在ABC∆中,AC AB ≠,D.E 在BC 上,且DE=EC,过D作BA DF //交AE于点F,DF=AC.求证：AE 等分BAC ∠B第 1 题图ABFDEC提醒：办法1：倍长AE 至G,贯穿连接DG 办法2：倍长FE 至H,贯穿连接CH例5：已知CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE 是△ABD 的中线,求证：∠C=∠BAE 提醒：倍长AE 至F,贯穿连接DF 证实ΔABE ≌ΔFDE （SAS ）进而证实ΔADF ≌ΔADC （SAS ）【融合贯通】1.在四边形ABCD 中,AB ∥DC,E 为BC 边的中点,∠BAE=∠EAF,AF 与DC 的延伸线订交于点F.试探讨线段AB 与AF.CF 之间的数目关系,并证实你的结论 提醒：延伸AE.DF 交于G 证实AB=GC.AF=GF所以AB=AF+FC2.如图,AD 为ABC ∆的中线,DE 等分BDA∠交AB 于E,DF 等分ADC ∠交AC 于F. 求F第 14 题图DF CBE证：EF CF BE >+ 提醒：办法1：在DA 上截取DG=BD,贯穿连接EG.FG 证实ΔBDE ≌ΔGDE ΔDCF ≌ΔDGF 所以BE=EG.CF=FG应用三角形双方之和大于第三边 办法2：倍长ED 至H,贯穿连接CH.FH 证实FH=EF.CH=BE应用三角形双方之和大于第三边 3.已知：如图,ABC 中,C=90,CM AB 于M,AT 等分BAC 交CM 于D,交BC 于T,过D 作DE//AB 交BC 于E,求证：CT=BE.提醒：过T 作TN ⊥AB 于N 证实ΔBTN ≌ΔECD。
倍长中线法
几何模型02——倍长中线法当线段出现一个中点时，特别是三角形中，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法：△ABC 中AD 是BC 边中线方式1： 延长AD 到E ， 使DE=AD ，连接BE例1.已知：如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB +AC ＞2AD ．证明：延长AD 到M ，使DM ＝AD ，连接BM ，CM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝DC ，∵AD ＝DM ，∴四边形ABMC 是平行四边形，∴BM ＝AC ，在△ABM 中，AB +BM ＞AM ，即AB +AC ＞2AD ．例2.已知，如图△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，则中线AD 的取值范围是 ． 解：延长AD 到点E ，使AD ＝ED ，连接CE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△ABD 和△ECD 中∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴AB ＝EC ，在△AEC 中，AC +EC ＞AE ， 且EC ﹣AC ＜AE ，即AB +AC ＞2AD ，AB ﹣AC ＜2AD ，∴2＜2AD ＜8，∴1＜AD ＜4，故答案为：1＜AD ＜4．E D A B C练习1.如图，在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是．例3.如图，△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC的中点，E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF．若BE＝3，CF＝4，试求EF的长．解：延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，EG，∵在△CDF和△BDG中，，∴△CDF≌△BDG（SAS），∴BG＝CF＝4，∠C＝∠DBG，∵∠C+∠ABC＝90°，∴∠DBG+∠ABC＝90°，即∠ABG＝90°，∵DE⊥FG，DF＝DG，∴EF＝EG＝＝5．练习2.如图，已知AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB交AB于点E，DF平分∠ADC交AC于点F．求证：BE+CF＞EF．练习3.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，求GF的长．练习4.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE＝BE，点F是CD 的中点，且AF⊥AB，若AD＝2.7，AF＝4，AB＝6．求CE的长．例4.如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB中点，延长AB到D，使BD＝BA，延长CE至F，使得EF＝CE．求证：CD＝2CE．证明：方法一：如右图1，取AC的中点H，连接BH，∵BD＝BA，∴BH是△ACD的中位线，∴CD＝2BH，又∵E是AB的中点，AB＝AC，∴AE＝AH＝AB，在△ABH和△ACE中，，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴CE＝BH，∴CD＝2CE．方法二：∵点E为AB的中点，∴BE＝AE，在△BEF和△AEC中，，∴△BEF≌△AEC（SAS），∴BF＝AC，∠EBF＝∠A，∵AB＝AC＝BD，∴∠ACB＝∠ABC，BF＝BD，∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，∴∠CBD＝∠CBF，在△CBD和△CBF中，，∴△CBD≌△CBF（SAS），∴CD＝CF，∵CF＝CE+EF，CE＝EF，∴CF＝2CE，∴CD＝2CE．练习5.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB的中点．求证：CD＝2CE练习6.已知CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．练习7.如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AD是∠EAC的平分线．例5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E为BC的中点，过点E作EF∥AD 交AB于点G，交CA的延长线于点F．求证：BG＝CF．证明：作CM∥AB交FE的延长线于M．∵BG∥CM，∴∠B＝∠MCE，∵E是BC中点，∴BE＝EC，在△BEG和△CEM中，，∴△BEG≌△CEM，∴BG＝CM，∵AD∥EF，∴∠1＝∠FGA，∠2＝∠F，∵∠1＝∠2，∴∠F＝∠FGA，∵AB∥CM，∴∠FGA＝∠M，∴∠F＝∠M，∴CF＝CM，∴BG＝CF．练习8.已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE＝EC，过D 作DF∥BA交AE于点F，DF＝AC．求证：AE平分∠BAC．例6.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图，求证：EF＝2AD．证明：延长AD至点G，使得AD＝DG，连接BG，CG，∵AD＝DG，BD＝CD，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC＝AF＝BG，AB＝AE＝CG，∠BAC+∠ABG＝180°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAF＝∠ABG，在△EAF和△BAG中，，∴△EAF≌△BAG（SAS），∴EF＝AG，∵AG＝2AD，∴EF＝2AD．练习9.如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC中点，连接P A交EF于点Q，试探究AP与EF的数量和位置关系，并证明你的结论．方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ， 延长MD 到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ， 连接BE 连接CN例7.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF ＝EF ，求证：BD ＝CE ．证明：如图，过点D 作DG ∥AE ，交BC 于点G ；则△DGF ≌△ECF ，∴DG ＝CE ；∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ；∵DG ∥AE ，∴∠DGB ＝∠ACB ，∴∠DBG ＝∠DGB ，∴DG ＝BD ，∴BD ＝CE ．练习9.如图，△ABC 中，点D 在AB 上，E 是AC 延长线上一点，BD ＝CE ，DE 交BC 于点F ，DF ＝EF ，DP ∥AE 交BC 于点P ，求证：AB ＝AC ．F E D C B A N D C B A M课后练习1、如图1已知：AD为△ABC的中线，易证AB+AC＞2AD．（1）如图2，在△ABC中，AC＝5，AB＝13，D为BC的中点，DA⊥AC．求△ABC的面积．（2）问题2：如图3，在△ABC中，AD是三角形的中线．点F在中线AD上，且BF＝AC，连接并延长BF交AC于点E．求证AE＝EF．2.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并说明理由．3.如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：（1）AE平分∠DAB；（2）AB+CD＝AD．4.在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG＝CG且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），证明：EG＝CG且EG⊥CG．（2）如图（3）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，证明：EG＝CG且EG⊥CG．5.如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作FM∥AD交AC于F，求FC的长．6.如图所示，∠BAC＝∠DAE＝90°，M是BE的中点，AB＝AC，AD＝AE，求证：AM⊥CD．7.已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．。
全等三角形证明：倍长中线模型
1、倍长中线：重要条件：中点、2倍关系、平行说明：①作辅助线：中线倍长(连接中点的线都可倍长)；②连接被平分线段的端点并构成八字三角形；③证明八字三角形全等。
2、典型例题1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD。
2. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC。
3. 在ABC∆中，,，450BMAMABM⊥=∠垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.（1）如图1，若,5，23==BCAB求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是ABC∆外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC 于点F，且点F是线段BC的中点，求证：CEFBDF∠=∠.4.如图,在△ABC 中,点D 是AC 的中点,分别以AB,BC 为直角边向△ABC 外作等腰直角三角形ABM 和等腰直角三角形BCN ，其中∠ABM=∠NBC=90°，连接MN ，猜想BD 与MN 的数量关系，并证明。
5.△ABC 中，AB ⊥BC ，AB=BC ，E 为BC 上一点，连接AE ，过点C 作CF ⊥AE 交AE 的延长线于点F ，连接BF ，过点B 作BG ⊥BF 交AE 于G ．（1）求证：△ABG ≌△CBF ；（2）若E 为BC 中点，求证：CF+EF=EG ．6.（1）如图①，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是BC 的中点，若AE 是∠BAD 的平分线，试判断AB ，AD ，DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE 交DC 的延长线于点F ，易证△AEB ≌△FEC ，得到AB=FC ，从而把AB ，AD ，DC 转化在一个三角形中即可判断．AB 、AD 、DC 之间的等量关系为 ；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AF 与DC 的延长线交于点F ，E 是BC 的中点，若AE 是∠BAF 的平分线，试探究AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB ∥CF ，AE 与BC 交于点E ，E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，且∠EDF=∠BAE ，试判断AB 、DF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论7．（一中期末）如图，在等腰Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =；在等腰Rt DCE ∆中，90DCE ∠=︒，CD CE =，连接NE 和AD ，点N 是线段BE 的中点，延长NC 交AD 于点H ，求证：CH ⊥AD.。
全等模型-倍长中线与截长补短模型(学生版)-2024年中考数学常见几何模型
全等模型-倍长中线与截长补短模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型(倍长中线模型、截长补短模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．(注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候)。
【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE.若连结BE，则ΔBDE≅ΔCDA；若连结EC，则ΔABD≅ΔECD；2、中点型:如图2，C为AB的中点.证明思路：若延长EC至点F，使得CF=EC，连结AF，则ΔBCE≅ΔACF;若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则ΔACD≅ΔBCG.3、中点+平行线型：如图3, AB⎳CD，点E为线段AD的中点.证明思路：延长CE交AB于点F(或交BA延长线于点F)，则ΔEDC≅ΔEAF.1(2023·江苏徐州·模拟预测)(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．2(2023·贵州毕节·二模)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．3(2022·山东·安丘市一模)阅读材料：如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．类比迁移：(1)如图2，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，⋯⋯请根据小亮的思路完成证明过程．方法运用：(2)如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点(点D在点C的右侧)，连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．4(2022·河南商丘·一模)阅读材料如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．(1)类比迁移：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，⋯⋯请根据小明的思路完成证明过程．(2)方法运用：如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点(点D在点C的右侧)，连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
辅助线一-----倍长中线与截长补短法构造全等11
研究辅助线作法：在证明几何题目的过程中，常常需要通过全等三角形，研究两条线段（角）的相等关系，或者转移线段或角。
而有些时候，这样的全等三角形在问题中，并不是十分明显，因此，我们有时候，需要通过添加辅助线，构造全等三角形，进而证明所需的结论。
所以做辅助线是有规律可循的三角形中常见辅助线的添加1. 与角平分线有关的（1）可向两边作垂线。
（2）可作平行线，构造等腰三角形（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形2. 与线段长度相关的（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等证明余下的等于另一条线段即可（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等证明延长后的线段等于那一条长线段即可（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。
（4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。
3. 与等腰等边三角形相关的（1）考虑三线合一（2）遇到等腰三角形等边三角形直角三角形，还有一些特殊的做法,比如RT 中，30°角所对的直角边是斜边的一半等（如平谷期末考试24（2））...△ABC 中 AD 是BC边中线方式1：直接倍长中线：方式2：间接倍长（倍长过中点的线段） 延长AD 到E使DE=AD ，作CF ⊥AD 于F ， 作BE ⊥AD 交的AD 的延长线于E连接BE例1△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围例2已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC于F ，求证：AF=EF提示：延长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA三角形BEG 是等腰三角形例3已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠提示：方法1：倍长AE 至G ，连结DG方法2：倍长FE 至H ，连结CH例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至F ，连结DF证明ΔAB E ≌ΔFDE （SAS ）进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ） 注：倍长只是方法，做辅助线要说延长---连接---第 1 题图 A B F D E C1、如图，在ABC 中，AC AB >，E 为BC 边的中点，AD 为BAC ∠的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ，求证：BF CG =2、已知如图，ABC 中D 为BC 中点，E 为AC 上一点，AC 与BE 交于点F ，且EA EF =,求证：BF AC =3、如图，CB ，CD 分别是钝角AEC 和锐角ABC 的中线，且AC=AB,求证：CE=2CD总结：“倍长中线”的辅助线包含的基本图形“八字型”和“倍长中线”两种基本操作方法：1、倍长中线，2、倍长过中点的一条线段，对于解决含有过中点线段有很好的效果。
年级数学上册人教版：专题4全等三角形综合应用(中线倍长)(无答案)
课题：专题4 全等三角形综合应用（中线倍长）【学习目标】1.通过观察中点发现（构造）相等线段，寻找证明三角形全等条件。
2.小组合作，经历将过中点的线段延长一倍，构造对顶角相等，三角形对应边相等。
3.通过中线倍长构造全等，证明线段、角度之间关系。
【重点难点】重点：中线倍长构造全等三角形。
难点：通过三角形全等，证明线段、角度之间关系。
一、基础感知活动1：判定两个三角形全等的方法有 ；直角三角形全等特有判定是 。
2.一、自主学习例1（倍长中线法）：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD归纳结论：“倍长中线”：加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（常用“SAS ”证明） 二、 深入学习活动2：例题2：如图，点D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线．求证：2AC AE =．【方法总结】本题证明中，第一次全等的判定方法是 ，目的是 ；第二次全等的判定方法是 ，目的是 ；证明中关键点是： 。
变式：例题2中，将条件“CD AB =”和“求证2AC AE =”交换位置，能否证明结论成立？三、迁移运用例题3．如图，AD 是△ABC 的中线，AE ⊥AC ，AF ⊥AB ，且AE=AC ，AF=AB ，求证：AD=EF 21拓展变式:将例题3中，将△AEF 旋转如下图位置，AD 是△ABC 的中线，AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，且AE=AB ，AF=AC ，求证：(1)AD=EF 21(2)EF ⊥AD【方法总结】本题在证明线段的数量关系及位置关系，通过 做辅助线构造全等，转换 。
【堂测堂练】如图，在△ABC 中，点0为BC 的中点，点M 为AB 上一点，ON ⊥OM 交AC 于N ．求证：BM+CN ＞MN ．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
倍长中线模型，全等三角形搭桥，难题分析讲解三角形是初中数学里最基本的几何图形，而其边上，又是很常见的条件。
当涉及三角形问题时，常采用延长中线一倍的办法，即倍长中线法，实现角和线段的转化，以此来作辅助线解题。
好处是通过此法构造全等三角形继而得到平行，也可以证明三角形全等，可将分散的条件集中在一个三角形内解题，常常出奇制胜，化腐朽为神奇。
且看模型，和模型产生的基本结论.
倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（其中有对顶角相等）
例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围。
分析：延长AD 至E ，使ED=AD ，连接BE ，见模型1，
可证△ABD 与△ECD 全等，把AB 边转移到EC 上了，
再看△AEC ，用第三边大于两边之差小于两边之和可解。
【归纳总结】
1. 三角形的三边关系是求线段范围的常用方法．
2. 出现中线时，常考虑倍长中线构造全等三角形，实现线段的转化．
例 2：已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线， E 是
AD 上的一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，
求证：AF=EF
延长ED 至G ，使GD=ED ，利用SAS 可证△BED
与△CGD 全等，把BE 转移到GC 上，∠G=∠1，由已知
BE=AC ，得到GC=AC ，由等腰三角形性质可知∠G=∠3，
通过∠G 传递，得到∠2=∠3，得证AF=EF
例3：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF//BA 交AE 于点F ，DE=AC ，求证：AE 平分∠BAC
证明：如图，延长FE 到G ，使EG=EF ，连接CG ．
在△DEF 和△CEG 中，
∵ ，∴△DEF ≌△CEG ． ∴DF=GC ，∠DFE=∠G ．∵DF ∥AB ，∴∠DFE=∠BAE ．
∵DF=AC ，∴GC=AC ．∴∠G=∠CAE ．∴∠BAE=∠CAE ．
即AE 平分∠BAC
⎪⎩
⎪⎨⎧==FG FE CEG ＝∠DEF ∠EC ED
例4：如图；在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使得BD=AB，取AB的中点E，连结CD和CE，求证：CD=2CE
证明：延长CE至F，使EF＝CE，则CF＝2CE
易证△ACE≌△BFE，
∴AC＝BF＝AB＝BD，∠ABF＝∠BAC
∴∠DBC＝∠ACB+∠BAC＝∠ABC+∠ABF＝∠FBC
∴△BCF≌△BCD（SAS）∴CD＝CF＝2CE
【融会贯通】
1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。
试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论提示：延长AE、DF交于G，证明AB=GC、AF=GF，所以AB=AF+FC
2、如图，AD为△ABC的中线，DE平分∠BDA交AB于E，
DF平分∠ADC交AC于F.求证：BE+FC>FE
提示：方法1：在DA上截取DG=BD，连结EG、FG，
证明ΔBDE≌ΔGDEΔDCF≌ΔDGF，所以BE=EG、CF=FG
利用三角形两边之和大于第三边
【归纳总结】
中线是三角形中重要的线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用“倍长中线法”添加辅助线。
1. 出现中点时，常考虑倍长与中点相关的线段，构造全等三角形，转换线段．
2. 出现垂直关系时，常考虑倍长直角边，构造等腰三角形。