2017泉州市质检数学试题
2017年福建省泉州市初中学业质量检查
(第7题图) (第8题图)(第6题图) E D C BA O DCB A 2017年福建省泉州市初中学业质量检查数 学 试 卷（试卷满分：150分；考试时间：120分钟）友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上相应题目的答题区域内作答． 1．下列各式正确的是( )A ．(2017)2017--=B ．20172017-=±C. 020170= D ．120172017-=-2．计算232a （-）的结果是( ) A ．66a -B ．58a -C ．58aD ．68a -3．某几何体如下左图所示，该几何体的右视图是( )4．一个正多边形的边长为2，每个外角都为60°，则这个多边形的周长是( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．18 5．不等式组10,2x x -≤⎧⎨-<⎩的整数解的个数为( )A ．0个B ．2个C ．3个D ．无数个6．如图，ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，要使它成为矩形，需再添加的条件是( )A ．AO OC =B ．AC BD = C ．AC BD ⊥ D ．BD 平分ABC ∠7．在学校演讲比赛中，10名选手的成绩折线统计图如图所示，则下列说法正确的是( ) A ．最高分90 B ．众数是5 C ．中位数是90 D ．平均分为87.5 8．如图，在ABC 中，点D E ，分别是边AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，若12AD DB =，3DE =，则BC 的长度是( )A ．6B ．8C ． 9D ．109．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点从左到右依次是A ，B ，C ，D ，若0b d +=，则a c +的值( ) A ．小于0 B ．等于0 C ．大于0 D ．与a ，b ，c ，d 的取值有关10．已知双曲线ky x=经过点(m ，n )，(1n +，1m -)，(21m -，21n -)，则k 的值为( ) A. 0或3 B.0或3- C. 3- D.3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置. 11．已知0x =是方程25210x x m -+-=的解，则m 的值是 ．12．分解因式：34x x -= ．13．某口袋中装有2个红球和若干个黄球，每个球除颜色外其它都相同，搅匀后从中摸出一个球恰为红球的概率是15，则袋中黄球的个数为 ．14．抛物线267y x x =-+的顶点坐标是 ．15．在直角坐标系中，点M 绕着坐标原点O 旋转60︒后，M 对应点的坐标是 ． 16．如图，在面积为16的四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于点P ，则DP 的长是 ．三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 在答题卡的相应位置内作答.17．(8分)先化简，再求值：(2)(1)(1)2x x x x x ++-+-，其中x =18．(8分)解方程组：13,7x y x y -=⎧⎨+=⎩．19．(8分) 如图，在四边形ABCD 中，3AB AD ==，4DC =，60A ∠=︒，150D ∠=︒，试求BC 的长度．20．(8分)如图，E ，F 是ABCD 的对角线AC 上的两点，AE CF =，求证：DF BE =．(第23题图)F E D CBAPDCBA(第16题图)DCBA(第19题图)21．(8分) 某中学采用随机的方式对学生掌握安全知识的情况进行测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请根据有关信息解答：(1)接受测评的学生共有________人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为________°，并补全条形统计图；(2)若该校共有学生1200人，请估计该校对安全知识达到“良”程度的人数；(3)测评成绩前五名的学生恰好3个女生和2个男生，现从中随机抽取2人参加市安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出抽到1个男生和1个女生的概率．22．(10分)某学校在“校园读书节”活动中，购买甲、乙两种图书共100本作为奖品，已知乙种图书的单价比甲种图书的单价高出50%．同样用360元购买乙种图书比购买甲种图书少4本.(1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元；(2)如果购买图书的总费用不超过3500元，那么乙种图书最多能买多少本？23．(10分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是边AD的中点，且AC=DC=1．(1)求证：AB DE=；(2)求tan EBD∠的值.24．(13分)如图，AB 为O ⊙的直径，F 为弦AC 的中点，连接OF 并延长交AC 于点D ，过点D 作DE ∥AC ，交BA 的延长线于点E ，连接AD ，CD ． (1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若2OA AE ==时，①求图中阴影部分的面积；②以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴，直径AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，试在线段AC 上求一点P ，使得直线DP 把阴影部分的面积分成1:2的两部分．25．(13分)如图，在直角坐标系中，抛物线22y x bx =-++与x 轴交于A 、B 两点，与直线2y x =交于点(1,)M m ．(1)求m ，b 的值； (2)已知点N ，点M 关于原点O 对称，现将线段MN 沿y 轴向上平移s (s >0)个单位长度．若线段MN 与抛物线有两个不同的公共点，试求s 的取值范围；(3)利用尺规作图，在该抛物线上作出点G ，使得AGO BGO ∠=∠迹)2017 年福建省泉州市初中学业质量检查数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题4分，共40分）1．A 2．D 3．D 4．B 5．C 6. B 7．C 8．C 9．A 10．D 二、填空题（每小题4分，共24分）11．12 12. (2)(2)x x x +- 13．8 14．(3,2)- 15.1)- 16．4三、解答题（共86分） 17．（本小题8分）解：原式22212x x x x =++-- …………………………6分=221x - ………………………………………………………………7分当x ==221413⨯-=-=………………………………8分18．（本小题8分）解：1,37.x y x y -=⎧⎨+=⎩①②①+②得：4=8x ，……………………………4分 所以=2x . ………………………………………5分 把=2x 代入①得：y=1.所以，该方程组的解为2,1.x y =⎧⎨=⎩…………………………………………8分19．（本小题8分）解：连结DB ,∵AB AD =，60A ∠=︒，∴ABD 是等边三角形，∴3BD AD ==，60ADB ∠=︒，…………………………………4分 又∵150ADC ∠=︒∴1506090CDB ADC ADB ∠=∠-∠=︒-︒=︒， ………………………6分 ∵4,DC =∴5,BC = ……………………………………8分 20．（本小题8分）证明：在ABCD 中，DCAB ，DC AB =……………………4分女2女3男1男2女1女3男1男2 1女2男1男2 1女2女3男2 1女2女3男1女1 女2 女3 男1 男2 开始∴DCA BAC ∠=∠ …………………………………………………………5分 在DCF 和BAE 中，DC BA DCA BAC CF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩………………………………………………………6分 ∴()DCF BAE SAS ≌ ……………………7分 ∴DF BE =………………………8分21．（本小题8分）(1)80，135°； 条形统计图如图所示；…3分 (2)该校对安全知识达到“良”程度的人数：30251200=82580+⨯（人）………………5分 （3）解法一：列表如下:………………………………7分所有等可能的结果为20种，其中抽到一男一女的为12种，所以P （抽到1男1女）123205==．……………………………8分 解法二：画树状图如下:…7分所有等可能的结果为20种，其中抽到一男一女的为12种，所以P （抽到1男1女）123205==．…………………………………………8分 22．（本小题10分）解：（1）设甲种图书的单价是x 元,则乙两种图书的单价是1.5x 元, …………1分依题意得：3603604,1.5x x-= …………………………………4分 解得：30x =经检验30x =是原方程的解，且30x =，1.545x =符合题意. ………………5分 答：甲种图书的单价是30元,则乙两种图书的单价是45元．…………………6分 （2）设乙种图书能买m 本，依题意得：4530(100)3500,m m +-≤………………………………………8分 解得：100133,33m ≤=………………………………………………………………9分 因为m 是正整数，所以m 最大为33.答：乙种图书最多能买33本． ……………………………………………10分 23．（本小题10分）(1)证明：在矩形ABCD 中，90,DAB ∠=︒,AB DC =,AC DB =∵AC =1DC =，∴在Rt ADC中，2,AD === ………………………………3分 ∵E 是边AD 的中点， ∴ 1.AE DE == ∵1,AB =∴.AB DE = …………………………………………………………5分 (2)解：过点E 作EM ⊥BD 于M ，∵BD AC ==在Rt DEM 和Rt DBA 中，sin ,EM AB ADB ED BD ∠==即：1EM =…………7分解得：EM =………………………8分 又在Rt ABE中，BE ===在RtBEM 中，5BM ===………………………9分 在Rt BEM 中，1tan .3EM EBD BM ∠===……………………………………………10分 24．（本小题13分）解：(1)证明：连结OCMOEDCBA∵,OA OC =F 为AC 的中点∴,OD AC ⊥ ……………………………………………………………………………………2分 又∵,DEAC∴,OD DE ⊥ ……………………………………………………………………………………3分 ∴DE 是⊙O 的切线. ……………………………………………………………………………4分(2) ①由（1）得,OD DE ⊥ ∴90.EDO ∠=︒ ∴ 2.OA AE ==∴12.2AD OE ==∴ 2.OA OD AD === ∴AOD 是等边三角形∴60.AOD DAO ∠=∠=︒ ………………………………………………………5分∴130.2ACD AOD ∠=∠=︒又∵.AC OD ⊥∴30.CAO CAD ∠=∠=︒ ∴.ACD CAO ∠=∠ ∴.CD AB ∴S S .ACD OCD = ∴S S .OCD =阴扇形…………………………………………………………6分∵603030.CAD OAD OAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴260.COD CAD ∠=∠=︒ ………………………………………………………7分∴26022S .3603ππ⨯==阴 …………………………………………………………8分②由已知得：A C （-2,0),，∴直线AC的表达式为y x =+……………………………………………………………9分过点P 分别作PM x ⊥轴，,PN AD ⊥垂足分别为M ,N ,由①得A C 平分.OAD ∠ ∴.PM PN =设21Px x x ≤≤（)，33PM PN =x =+………10分∵直线DP 把阴影部分的面积分成1:2的两部分若1SS .3APD =阴即1122.23333x π⨯⋅=⨯（+解得：x2).9P π ……………………………………12分 若2S S ,3APD=阴同理可求得184(,).99P π-综上所述：满足条件的点P 的坐标为182(,)99Pπ-和184(,).99P π-………13分 25．（本小题13分） 解：（1）把(1,)M m 代入2y x =得21 2.m =⨯=………………………………………………2分 把(1,2)M 代入22y x bx =-++得2212,b =-++即 1.b =…………………………………4分 （2）由（1）得22,y x x =-++(1,2)M因为点N ，点M 关于原点O 对称，所以(1,2)N --过点N 作CN x ⊥轴，交抛物线于C , 则C 的横坐标为 1.-所以C 的纵坐标为2(1)(1)20.--+-+= 所以(1,0)C -与A 重合.则==2CN AN ，即当2s =线段MN 与抛物线有两个公共点. ……………………………5分 设平移后的直线表达式为2y x s =+由222y x sy x x =+⎧⎨=-++⎩得220.x x s ++-=由214(2)0,s ∆=--=得9.4s =即当9,4s =线段MN 与抛物线只有一个公共点.………7分所以，当线段MN 与抛物线有两个公共点时. s 取值范围为92.4s ≤<………………………………………………8分（3）如图，在x 轴上取一点(2,0),P -以P 为圆心，OP 为半径作圆，⊙P 与抛物线的交点，即是所求作的点G （图中的G 与G ′）…………………………………………………10分 理由：当点G 在x 轴上方时， 由作图可知，2,1, 4.PG PA PB ===则1.2PA PG PG PB ==又∵,GPA BPG ∠=∠ ∴.GPA BPG ∽ ∴,PGA PBG ∠=∠ ∵2,GP PB == ∴.POG PGO ∠=∠又,POG PBG OGB ∠=∠+∠,PGO PG AG A O ∠=∠+∠∴.AGO BGO ∠=∠………………………………………………………………………12分 同理可证：当点G （G ′）在x 轴下方时，结论也成立. ………………………………13分图2。
【全国市级联考】福建省泉州市2017届九年级初中学业质量检查数学(解析版)
2017年福建省泉州市初中学业质量检查数学试卷（试卷满分：150分；考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上相应题目的答题区域内作答．1. 下列各式正确的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：A、根据相反数的求法得出选项正确；B、根据负数的绝对值等于它的相反数可得：原式=2017；C、任何非零实数的零次幂为1可得：原式=1；D、根据负指数次幂的计算法则可得：原式= .2. 计算的结果是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：积的乘方等于乘方的积；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘.3. 某几何体如下左图所示，该几何体的右视图是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据三视图的法则可得：A为主视图，B为俯视图，D为左视图.4. 一个正多边形的边长为2，每个外角都为60°，则这个多边形的周长是( )A. 8B. 12C. 16D. 18【答案】B【解析】试题分析：根据多边形的外角求法可得：这个多边形的边数为六边形，则周长为：2×6=12.5. 不等式组的整数解的个数为( )A. 0个B. 2个C. 3个D. 无数个【答案】C【解析】试题分析：解不等式组可得不等式组的解为：，则整数解有x=-1、0、1，共三个.6. 如图，的对角线与相交于点，要使它成为矩形，需再添加的条件是( )A. B. C. D. 平分【答案】B...【解析】试题分析：对角线相等的平行四边形为矩形，有一个角为直角的平行四边形为矩形，则根据题意可知添加的条件为AC=BD.7. 在学校演讲比赛中，10名选手的成绩折线统计图如图所示，则下列说法正确的是( )A. 最高分90B. 众数是5C. 中位数是90D. 平均分为87.5【答案】C【解析】试题分析：根据折线统计图可得：最高分为95，众数为90；中位数90；平均分=(80×2+85+90×5+95×2)÷(2+1+5+2)=88.5.8. 如图，在中，点分别是边，上的点，且∥，若，，则的长度是( )A. 6B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】试题分析：根据可得：，根据DE∥BC可得：△ADE∽△ABC，则，根据DE=3可得BC=3DE=9.点睛：本题主要考查的就是三角形相似的应用.解决本题的关键就是根据题意得出三角形相似.相似三角形的边长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，各边对应的中线、高线以及角平分线的比值等于相似比.在证明三角形相似的时候，利用两个角对应相等来证明是用的最多的一种方法.9. 实数，，，在数轴上的对应点从左到右依次是，，，，若，则的值( )A. 小于0B. 等于0C. 大于0D. 与a，b，c，d的取值有关【答案】A【解析】试题分析：根据b+d=0可得：b、d互为相反数，则根据题意可画出数轴为：，则a+c为负数.10. 已知双曲线经过点(，)，(，)，(，)，则的值为( )A. 或B. 或C.D.【答案】D【解析】试题分析：根据反比例函数图象上点的特征可得：mn=(n+1)(m-1)，则m-n=1mn=将m-n=1代入可得：mn=，则=3mn，解得：mn=0或3，即k=0或3，根据反比例函数的性质可得：k=3.点睛：本题主要考查的就是反比例函数图象上点的坐标的特点，难度中等.解决这个问题的关键就是能够根据题意列出两个等式，然后通过完全平方公式来进行解答.对于反比例函数图象上的点横纵坐标的积为定值，经过反比例函数图象上的任意一点分别作x轴和y轴的垂线所形成的矩形的面积为.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置.11. 已知是方程的解，则的值是___________．【答案】【解析】试题分析：将x=0代入方程可得：0-0+2m-1=0，解得：m=.12. 分解因式：=___________．【答案】...【解析】试题分析：==x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．13. 某口袋中装有2个红球和若干个黄球，每个球除颜色外其它都相同，搅匀后从中摸出一个球恰为红球的概率是，则袋中黄球的个数为___________．【答案】【解析】试题分析：设黄球的个数为x个，则根据概率可得：，解得：x=8，即袋子黄球的个数为8个.14. 抛物线的顶点坐标是_______________．【答案】【解析】试题分析：将函数解析式配方成顶点式可得：y=，则函数的顶点坐标为(3，-2).点睛：本题主要考查的就是二次函数一般式转化为顶点式，属于简单的题目.在化顶点式的时候我们首先通过提取将二次项系数化为1，然后再加上一次项系数一半的平方，从而得到顶点式.二次函数的基本形式一般有三种：一般式；顶点式：；交点式也称两根式：，对于不同的题目我们要选择不同的形式来进行解答.15. 在直角坐标系中，点绕着坐标原点旋转后，对应点的坐标是_______________．【答案】或(0,2)【解析】试题分析：本题首先在平面直角坐标系中画出点M所在的位置，如果绕着坐标原点顺时针旋转时则点的坐标为()；如果绕着坐标原点逆时针旋转时则点的坐标为(0，2).16. 如图，在面积为的四边形中，，，于点，则的长是___________．【答案】【解析】试题分析：过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E ∵DP⊥AB，DE⊥BC，∠ABC=90°∴四边形DPBE为矩形∴∠PDE＝∠E＝90°，PD＝BE，DE＝PB ∴∠PDC+∠EDC＝90°∵∠ADC＝90°∴∠PDC+∠PDA＝90°∴∠DEC＝∠PDA∵∠APD＝∠E＝90°，AD＝CD ∴△APD≌△CED （AAS）∴PD＝DE ∴四边形DPBE为正方形则四边形ABCD的面积等于正方形DPBE的面积即，则DP=4.点睛：本题主要考查的是图形的旋转、三角形全等以及特殊平行四边形的判断，难度中等，解决本题的关键就是将△APD通过旋转转化为△CED，然后根据特殊平行四边形来进行证明.在解决非特殊四边形的问题时，我们经常会通过旋转或割补的方法转化为特殊的四边形来进行解答.在证明特殊平行四边形的时候，我们一定要根据实际的题目来选择合适的证明方法.三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 在答题卡的相应位置内作答.17. 先化简，再求值：，其中.【答案】,3【解析】试题分析：首先根据多项式的乘法以及平方差公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x 的值代入化简后的式子进行计算得出答案.试题解析：原式 =当时，原式=18. 解方程组：【答案】...【解析】试题分析：首先将两式相加得出关于x的一元一次方程，求出x的值，然后将x的值代入第一个方程求出y的值，从而得出方程组的解.试题解析：①+②得：，所以 .把代入①得：.所以，该方程组的解为19. 如图，在四边形中，，，，，试求的长度．【答案】【解析】试题分析：连接DB，根据AB=AD，∠A=60°得出等边三角形，根据等边三角形的性质以及∠ADC=150°得出△BDC为直角三角形，最后根据勾股定理求出BC的长度.试题解析：连结DB, ∵，，∴是等边三角形，∴，，又∵∴，∵∴20. 如图，，是的对角线上的两点，，求证：．【答案】证明见解析【解析】试题分析：根据平行四边形的性质得出DC=AB，∠DCA=∠BAC，结合CF=AE得出△DCF和△BAE全等，从而得出答案.试题解析：在中，，∴在和中，∴∴21. 某中学采用随机的方式对学生掌握安全知识的情况进行测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请根据有关信息解答：(1)接受测评的学生共有________人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为________°，并补全条形统计图；(2)若该校共有学生1200人，请估计该校对安全知识达到“良”程度的人数；(3)测评成绩前五名的学生恰好3个女生和2个男生，现从中随机抽取2人参加市安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出抽到1个男生和1个女生的概率．【答案】(1)80，135°，条形统计图见解析；(2)825人；（3）图表见解析，（抽到1男1女）．试题解析：(1)80，135°；条形统计图如图所示(2)该校对安全知识达到“良”程度的人数：（人）（3）解法一：列表如下:...所有等可能的结果为20种，其中抽到一男一女的为12种，所以（抽到1男1女）．解法二：画树状图如下:所有等可能的结果为20种，其中抽到一男一女的为12种，所以（抽到1男1女）．22. 某学校在“校园读书节”活动中，购买甲、乙两种图书共100本作为奖品，已知乙种图书的单价比甲种图书的单价高出50%．同样用360元购买乙种图书比购买甲种图书少4本.(1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元；(2)如果购买图书的总费用不超过3500元，那么乙种图书最多能买多少本？【答案】（1）甲种图书的单价是元,则乙两种图书的单价是元．（2）乙种图书最多能买本．【解析】试题分析：(1)、首先设甲种图书的单价是x元,则乙两种图书的单价是1.5x元，然后根据同样的钱所购的图书数量列出分式方程，从而求出x的值，得出答案；(2)、乙种图书能买m本，根据总费用列出不等式，然后根据m为正整数，从而得出m的最大值.试题解析：（1）设甲种图书的单价是元,则乙两种图书的单价是元,依题意得：解得：经检验是原方程的解，且，符合题意.答：甲种图书的单价是元,则乙两种图书的单价是元．（2）设乙种图书能买本，依题意得：解得：因为是正整数，所以最大为.答：乙种图书最多能买本．23. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，是边的中点，且，．(1)求证：；(2)求的值....【答案】(1)证明见解析； (2)试题解析：(1)、在矩形中，∵，，∴在中，∵E是边AD的中点，∴∵∴(2)、过点E作EM⊥BD于M，∵在和中，即：解得：又在中，在中，在中，24. 如图，为的直径，为弦的中点，连接并延长交于点，过点作∥，交的延长线于点，连接，．(1)求证：是⊙的切线；(2)若时，①求图中阴影部分的面积；②以为原点，所在的直线为轴，直径的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，试在线段上求一点，使得直线把阴影部分的面积分成的两部分．【答案】(1)证明见解析；(2) ①②或【解析】试题分析：(1)、连接OC，根据等腰三角形的三线合一定理得出OD⊥AC，根据平行线的性质得出OD⊥DE，从而得出切线；(2)、首先得出△AOD为等边三角形，然后根据题意得出△ACD和△OCD的面积相等，从而得出阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，然后根据扇形的面积计算法则得出答案；(3)、根据题意得出直线AC的解析式，过点P分别作PM⊥x轴，PN⊥AD，垂足分别为M，N，设设根据面积分成1:2两部分得出△APD的面积等于阴影部分面积的或列出方程，求出x的值，得出点P的坐标.试题解析：(1)、连结∵为的中点∴又∵∴∴是⊙O的切线(2)、①由（1）得∴∴∴∴∴是等边三角形∴∴又∵∴∴∴∴∴∵∴∴②由已知得：∴直线的表达式为过点P分别作轴，垂足分别为,, 由①得平分...∴设∵直线把阴影部分的面积分成的两部分若即解得：，此时若同理可求得综上所述：满足条件的点P的坐标为和25. 如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与直线交于点．(1)求，的值；(2)已知点，点关于原点对称，现将线段沿轴向上平移(>0)个单位长度．若线段与抛物线有两个不同的公共点，试求的取值范围；(3)利用尺规作图，在该抛物线上作出点，使得，并简要说明理由．(保留作图痕迹)【答案】（1），；（2）取值范围为；（3）作图见解析，理由见解析.【解析】试题分析：(1)、根据一次函数解析求出点M的坐标，然后将点M的坐标代入二次函数解析式得出b的值；(2)、根据对称得出点N的坐标，过点N作CN⊥x轴，交抛物线于C，从而得出CN=AN=2，即当S=2时线段MN与抛物线有两个交点，然后设平移后的解析式为y=2x+s，然后将一次函数和二次函数联立成方程组，根据根的判别式得出s的值，从而得出取值范围；(3)、如图，在x轴上取一点P(-2,0)以P为圆心，OP为半径作圆，⊙P与抛物线的交点，即是所求作的点G，根据△GPA和△BPG相似得出答案.试题解析：（1）、把代入得把代入得即（2）、由（1）得因为点，点关于原点对称，所以过点N作轴，交抛物线于C, 则C的横坐标为所以C的纵坐标为所以与重合.则，即当线段与抛物线有两个公共点.设平移后的直线表达式为由得由得即当线段与抛物线只有一个公共点.所以，当线段与抛物线有两个公共点时. 取值范围为(3）、如图，在轴上取一点以为圆心，为半径作圆，⊙与抛物线的交点，即是所求作的点（图中的与）理由：当点在轴上方时，由作图可知，则又∵∴∴∵∴又∴同理可证：当点（）在轴下方时，结论也成立. ...点睛：本题主要考查的就是二次函数与一次函数的交点，三角形相似，圆的知识的综合题，综合性比较强，难度比较大.在求一次函数和二次函数交点个数问题的时候，我们首先需要将一次函数和二次函数联立成方程组，然后转化为一元二次方程，从而根据根的判别式来进行判断根的个数.在做圆与函数的综合题时，我们往往会将圆的题目转化为三角形全等或者相似来进行证明解答.。
2017年泉州市泉港区初中毕业班质量检查试卷(数学)
密
A
O
B
x
封 线 内
23.（10 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，△ABC 的顶点 和点 O 均在网格图的格点上．将△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°，得到△A1B1C1． （1）请画出△A1B1C1； （2）以点 O 为圆心， 5 为半径作⊙O．请判断直线 AA1 与⊙O 的位置关系，并说明理由．
2
（2）如果把“特别关注”、“一般关注”都统计成关注，那么我区关注本次金砖峰会的高三年学 生大约有多少名？ （3）在这次调查中，有甲、乙、丙、丁四人特别关注本次金砖峰会，现准备从四人中随机抽 取两人为本次金砖峰会的志愿者，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是 甲和乙的概率．
学校
A. 图像经过点（1，1） C. 两个分支关于 x 轴成轴对称
16．如图，在△ABC 中， D，E 为边 AB 上的两个点，且 AE＝AC，BD＝BC，∠BCF＝70°．则 ∠DCE＝ 度． C F C B A A （第 14 题） D E （第 16 题） B
内
一般关注 不关注
40%
40
偶尔关注
封
）
三、解答题（共 86 分）
1 0 17．（8 分）计算： ( 2017 ) 3 6 ( ) 2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
泉港区2017 年春季九年级学科质量检测 数 学 试 题
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）
9．顺次连结矩形四条边的中点，所得的四边形一定是（ A．正方形 B．矩形 C．菱形
）
D．平行四边形 A B （第 10 题） 米． C
福建省泉州市2017届高三3月质量检测数学理试题 Word版含答案
2017年泉州市普通高中毕业班质量检查理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知z 为复数z 的共轭复数，且()11i z i -=+，则z 为（ ） A ．i - B ． i C ．1i - D ．1i +2.已知集合11|<22,|ln 022x A x B x x ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=≤=-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎩⎭，则()R A C B = （ ） A ． ∅ B ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(]1,1-3. 若实数,x y 满足约束条件1222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则22z x y =+的最小值是（ ）A．45 C ．1 D ． 44.已知向量,a b满足()1,0a a b a a b =-=-= ，则2b a -= （ ） A ． 2 B．．5. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和且22n n S a =-，则54S S -的值为（ ） A ． 8 B ．10 C. 16 D ．32 6.已知函数()2sin cos 222x x f x ϕϕπϕ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且对于任意的x R ∈，()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.则 （ ）A ．()()f x f x π=+B ．()2f x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()3f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．()6f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭7. 函数()()ln sin 0f x x x x x ππ=+-≤≤≠且的图象大致是（ ）A ．B ．C. D ．8.关于x 的方程ln 10x x kx -+=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,1e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ B ．(]1,1e - C. 11,1e e⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．()1,+∞9.机器人AlphaGo （阿法狗）在下围棋时，令人称道的算法策略是：每一手棋都能保证在接下来的十几步后，局面依然是满意的.这种策略给了我们启示：每一步相对完美的决策，对最后的胜利都会产生积极的影响.下面的算法是寻找“1210,,,a a a ”中“比较大的数t ”，现输入正整数“42，61，80，12，79，18，82，57，31，18“，从左到右依次为1210,,,a a a ，其中最大的数记为T ，则T t -= （ ）A ．0B ． 1 C. 2 D ．310.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是 （ ）A ．圆弧B ．抛物线的一部分 C. 椭圆的一部分 D ．双曲线的一部分 11.已知抛物线E 的焦点为F ，准线为l 过F 的直线m 与E 交于,A B 两点，,CD 分别为,A B 在l 上的射影，M 为AB 的中点，若m 与l 不平行，则CMD ∆是（ ）A ．等腰三角形且为锐角三角形B ．等腰三角形且为钝角三角形 C.等腰直角三角形 D ．非等腰的直角三角形 12. 数列{}n a 满足12sin122n n n a a n π+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前100项和为（ ） A ． 5050 B ．5100 C.9800 D ．9850第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.某厂在生产甲产品的过程中，产量x （吨）与生产能耗y （吨）的对应数据如下表：根据最小二乘法求得回归直线方程为ˆ0.65yx a =+．当产量为80吨时，预计需要生产能耗为 吨．14. ()()4121x x -+的展开式中，3x 的系数为 ．15.已知l 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线，l 与圆()222x c y a-+=（其中222c a b =+）相交于,A B 两点，若AB a =，则C 的离心率为 ．16.如图，一张4A 纸的长、宽分别为,2a ．,,,A B C D 分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线掀折起，使得1234,,,P P P P 四点重合为一点P ，从而得到一个多面体．关于该多面体的下列命题，正确的是 ．（写出所有正确命题的序号） ①该多面体是三棱锥； ②平面BAD ⊥平面BCD ；③平面BAC ⊥平面ACD ； ④该多面体外接球的表面积为25a π三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos cos cos sin A C A C B -+= ．（1）证明：,,a b c 成等比数列；（2）若角B 的平分线BD 交AC 于点D ，且6,2BAD BCD b S S ∆∆==，求BD ． 18.如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的多面体中，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，0//,,60,244AD BC AB CD ABC BC AF AD DE =∠=====．（1）请在图中作出平面α，使得DE α⊂，且//BF α，并说明理由； （2）求直线EF 和平面BCE 所成角的正弦值．19.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记为0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示.（1）求,,a b c 的值；（2）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中选取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ； （3）某评估机构以指标M （()()E M D ξξ=，其中()D ξ表示ξ的方差）来评估该校安全教育活动的成效．若0.7M ≥，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在（2）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？20. ABC ∆中，O 是BC 的中点，BC =，其周长为6+，若点T 在线段AO 上，且2AT TO =．（1）建立合适的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程；（2）若,M N 是射线OC 上不同两点，1OM ON = ，过点M 的直线与E 交于,P Q ，直线QN 与E 交于另一点R ．证明：MPR ∆是等腰三角形． 21. 已知函数()()ln 11,f x mx x x m R =+++∈．（1）若直线l 与曲线()y f x =恒相切于同一定点，求l 的方程； （2）当0x ≥时，()xf x e ≤，求实数m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=． （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）当()0,ϕπ∈时，l 与C 相交于,P Q 两点，求PQ 的最小值． 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()124f x x x =++-． （1）解关于x 的不等式()9f x <；（2）若直线y m =与曲线()y f x =围成一个三角形，求实数m 的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．试卷答案一、选择题1-5: ABBAD 6-10: CDADD 11、12：AB二、填空题16. ①②③④ 三、解答题17.解法一:（1）因为()2cos cos cos sin A C A C B -+= ，所以()2cos cos cos cos sin sin sin A C A C A C B --= ，化简可得2sin sin sin A C B =，由正弦定理得，2b ac =，故,,a b c 成等比数列. （2）由题意2BAD BCD S S ∆∆=，得11sin 2sin 22BA BD ABD BC BD CBD ∠=⨯∠ ， 又因为BD 是角平分线，所以ABD CBD ∠=∠，即sin sin ABD CBD ∠=∠， 化简得，2BA BC =，即2c a =.由（1）知，2ac b =，解得a c == 再由2BAD BCD S S ∆∆=得，11222AD h CD h ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（h 为ABC ∆中AC 边上的高）， 即2AD CD =，又因为6AC =，所以4,2AD CD ==. 【注】利用角平分线定理得到4,2AD CD ==同样得分，在ABC ∆中由余弦定理可得，222cos2b c a A bc +-===在ABD ∆中由余弦定理可得，2222cos BD AD AB AD AB A =+-，即(22242428BD =+-⨯⨯=，求得BD =解法二：（1）同解法一.（2）同解法一，4,2AD CD ==.在ABC ∆中由余弦定理可得，222cos 2b a c C ab +-==， 在BCD ∆中由余弦定理可得，2222cos BD CD BC CD BC C =+-，即(22222228BD =+-⨯⨯=，求得BD =解法三： （1）同解法一.（2）同解法二，4,2AD CD ==.在ABC ∆中由余弦定理可得，222543cos 2724a cb B ac +-===， 由于2cos 12sin2B B =-，从而可得sin 2B =， 在ABC ∆中由余弦定理可得，222cos 2b a c C ab +-==，求得sin C = 在BCD ∆中由正弦定理可得，sin sin CD BD CBD C =∠，即sin sin CD CBD CBD==∠ 【注】若求得sin A 的值后，在BDA ∆中应用正弦定理求得BD 的，请类比得分. 解法四： （1）同解法一.（2）同解法一，4,2AD CD ==.在BCD ∆中由余弦定理得，(2222214cos 224BD BD BDC BD BD +--∠==⨯⨯，在BDA ∆中由余弦定理得，(2222456cos 248BD BD BDA BDBD+--∠==⨯⨯，因为BDA BDC π∠+∠=，所以有cos cos 0BDC BDA ∠+∠=，故221456048BD BD BD BD--+=，整理得，2384BD =，即BD =18.解：（1）如图，取BC 中点P ，连接,PD PE ，则平面PDE 即为所求的平面α. 显然，以下只需证明//BF 平面α； ∵2,//BC AD AD BC =， ∴//AD BP 且AD BP =， ∴四边形ABPD 为平行四边形， ∴//AB DP .又AB ⊄平面PDE ，PD ⊂平面PDE ， ∴//AB 平面PDE .∵AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， ∴//AF DE .又AF ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， ∴//AF 平面PDE ，又AF ⊂平面,ABF AB ⊂平面,ABF AB AF A ⋂=， ∴平面//ABF 平面PDE . 又BF ⊂平面ABF ，∴//BF 平面PDE ，即//BF 平面α.（2）过点A 作AG AD ⊥并交BC 于G ， ∵AF ⊥平面ABCD ，∴,AF AG AF AD ⊥⊥，即,,AG AD AF 两两垂直，以A 为原点，以,,AG AD AF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.在等腰梯形ABCD 中，∵060,24ABG BC AD ∠===，∴1,BG AG ==则))1,0,BC-.∵44AF DE ==，∴()()0,2,1,0,0,4E F ，∴()()0,4,0,BC BE ==.设平面BCE 的法向量(),,n x y z =，由00n BC n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得4030y y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，取x =BCE的一个法向量)n =.设直线EF 和平面BCE 所成角为θ，又∵()0,2,3EF =-，∴sin cos ,n EF θ===，故直线EF 和平面BCE所成角的正弦值为26. 19.解：（1）由频率分布直方图可知，得分在[)20,40的频率为0.005200.1⨯=， 故抽取的学生答卷数为：6600.1=， 又由频率分布直方图可知，得分在[]80,100的频率为0.2， 所以600.212b =⨯=，又2460b a b +++=，得30a b +=， 所以18a =.180.0156020c ==⨯.（2）“不合格”与“合格”的人数比例为24：36=2：3， 因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人. 所以ξ有20，15，10，5，0共5种可能的取值.ξ的分布列为：()()()431226646444410101018320,15,1014217C C C C C P P P C C C ξξξ=========，()()134644441010415,035210C C C P P C C ξξ======. ξ的分布列为：所以()20151050121421735210E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由（2）可得()()()()()()2222218341201215121012512012161421735210D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，所以()()120.750.716E M D ξξ===>，故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案. 20.解法一：（1）以O 为坐标原点，以BC的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy .依题意得,B C ⎛⎫⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.由6AB AC BC ++=+6AB AC +=， 因为故6AB AC BC +=>，所以点A 的轨迹是以,B C 为焦点，长轴长为6的椭圆（除去长轴端点），所以A 的轨迹方程为()2221399x y x +=≠±. 设()()00,,,A x y T x y ，依题意13OT OA =，所以()()001,,3x y x y =，即0033x x y y =⎧⎨=⎩， 代入A 的轨迹方程222199x y +=得，()()22323199x y +=，所以点T 的轨迹E 的方程为()22211x y x +=≠±.（2）设()()()()()1122331,0,,0,1,,,,,,M m N m Q x y P x y R x y m ⎛⎫≠⎪⎝⎭. 由题意得直线QM 不与坐标轴平行， 因为11QM y k x m =-，所以直线QM 为()11y y x m x m=--， 与2221x y +=联立得，()()()22222211111122120mmx x m x x mx x m x +---+--=，由韦达定理2221111221212mx x m x x x m mx --=+-，同理222222111*********111122121112x x x mx m x x m m x x x x m mx x m m ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===+-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以23x x =或10x =， 当23x x =时，PR x ⊥轴， 当10x =时，由()()2112212112m x x x mmx -+=+-，得2221mx m =+，同理3222122111m m x x m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，PR x ⊥轴.因此MP MR =，故MPR ∆是等腰三角形. 解法二：（1）以O 为坐标原点，以BC的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy .依题意得,22B C ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 在x轴上取12,F F ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为点T 在线段AO 上，且2AT TO =， 所以12//,//FT AB F T AC ，则()1212116233FT F T AB AC F F +=+=⨯=>= 故T 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长为2的椭圆（除去长轴端点）， 所以点T 的轨迹E 的方程为()22211x y x +=≠±.（2）设()()()1,0,,0,1,M m N n m n m ⎛⎫≠=⎪⎝⎭，()()()112233,,,,,Q x y P x y R x y ， 由题意得，直线QM 斜率不为0，且()01,2,3i y i ≠=，故设直线QM 的方程为：x t y m =+ ，其中11x mt y -=， 与椭圆方程2221x y +=联立得，()2222210t y mty m +++-=，由韦达定理可知，212212m y y t -=+ ，其中()22221211122112222x m x mx m y t y y --+++=+=，因为()11,Q x y 满足椭圆方程，故有221121x y +=，所以22121122mx m t y -++=. 设直线RN 的方程为：x sy n =+，其中11x ns y -=， 同理222113221121,22nx n n y y s s y -+-=+=+ ， 故()()()()()()222222212222231321122211222m m s m s y y y t n y y y n t t s --+++====---+++ 222121212211211221111212nx n m m x y m m mx m mx my -+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-=-=--+-+ ， 所以23y y =-，即PR x ⊥轴，因此MP MR =，故MPR ∆是等腰三角形.21.解：（1）因为直线l 与曲线()y f x =恒相切于同一定点， 所以曲线()y f x =必恒过定点，由()()ln 11f x mx x x '=+++，令()ln 10x x +=，得0x =， 故得曲线()y f x =恒过的定点为()0,1.因为()()ln 111x f x m x x ⎛⎫'=+++ ⎪+⎝⎭，所以切线l 的斜率()01k f '==， 故切线l 的方程为1y x =+，即10x y -+=.（2）令()()()[)ln 11,0,x x g x e f x e x mx x x =-=--+-∈+∞，()()[)1ln 1,0,1x xg x e m x mx x '=--+-∈+∞+. 令()()[)1ln 1,0,1xx h x e m x mx x =--+-∈+∞+， ()()[)()211,0,,01211xh x e m x h m x x ⎡⎤''=-+∈+∞=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦. ① 当0m ≤时，因为()0h x '>，所以()h x 在[)0,+∞上单调递增，故()()()00h x g x h '=≥=， 因为当[)0,x ∈+∞时，()0g x '≥，所以()g x 在[)0,+∞上单调递增，故()()00g x g ≥=. 从而，当0x ≥时，()xe f x ≥恒成立.② 当102m <≤时， 因为()h x '在[)0,+∞上单调递增，所以()()0120h x h m ''≥=-≥， 故与①同理，可得当0x ≥时，()xe f x ≥恒成立.③ 当12m >时，()h x '在[)0,+∞上单调递增， 所以当0x =时，()h x '在[)0,x ∈+∞内取得最小值()0120h m '=-<. 取410x m =->，因为()()()22111111111xh x e m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤'=-+≥+-+⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以()1111141440164284h m m m '-≥-->⨯-->， 前述说明在()0,41m -内，存在唯一的()00,41x m ∈-，使得()00h x '=，且当[]00,x x ∈时，()0h x '≤，即()h x 在[]00,x 上单调递减，所以当[]00,x x ∈时，()()()00h x g x h '=≤=， 所以()g x 在[]00,x 上单调递减，此时存在00x x =>，使得()()000g x g <=，不符合题设要求. 综上①②③所述，得m 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.说明：③也可以按以下方式解答： 当12m >时，()h x '在[)0,+∞上单调递增， 所以当0x =时，()h x '在[)0,x ∈+∞内取得最小值()0120h m '=-<，当x →+∞时，()211,011xe m x x ⎡⎤→+∞-+→⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，所以()h x '→+∞， 故存在()00,x ∈+∞，使得()00h x '=，且当()00,x x ∈时，()0h x '<， 下同前述③的解答.22.解一：（1）由直线l 的参数方程3cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t 得，()()3sin 1cos 0x y ϕϕ---=，即直线l 的普通方程为()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=， 由圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，得()24cos 0*ρρθ-=，将222cos x x y ρθρ=⎧⎨+=⎩代入(*)得， 2240x y x +-=， 即C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）将直线l 的参数方程代入()2224x y -+=得，()22cos sin 20t t ϕϕ++-=，()24cos sin 80ϕϕ∆=++>，设,P Q 两点对应的参数分别为12,t t ， 则()12122cos sin ,2t t t t ϕϕ+=-+=-，所以12PQ t t =-===因为()()0,,20,2ϕπϕπ∈∈， 所以当3,sin 214πϕϕ==-时，PQ 取得最小值【注：未能指出取得最小值的条件，扣1分】 解法二：（1）同解法一（2）由直线l 的参数方程知，直线l 过定点()3,1M ， 当直线l CM ⊥时，线段PQ 长度最小. 此时()223212CM=-+=，PQ ===所以PQ 的最小值为解法三： （1）同解法一（2）圆心()2,0到直线()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=的距离，cos sin 4d πϕϕϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又因为()0,ϕπ∈， 所以当34ϕπ=时，d又PQ == 所以当34ϕπ=时，PQ 取得最小值23.解：（1）()33,11245,1233,2x x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-+-<<⎨⎪-≥⎩.①当1x ≤-时，由不等式339x -+<，解得2x >-. 此时原不等式的解集是：{|21x x -<≤-.②当12x -<<时，由不等式59x -+<，解得4x >-. 此时原不等式的解集是：{}|12x x -<<.③当2x ≥时，由不等式339x -<，解得4x <， 此时原不等式的解集是：{}|24x x ≤<. 综上可得原不等式的解集为()2,4-.（2）由（1）可得，函数()f x 的图像是如下图所示的折线图. 因为()()()min 16,23f f x f -===，故当36m <≤时，直线y m =与曲线()y f x =围成一个三角形， 即m 的范围是(]3,6. 【注：范围正确，不倒扣】 且当6m =时，()()max 1316362S =+-=.。
【福建省泉州市】2017届高三3月质量检测(文科)数学试卷-答案
福建省泉州市2017届高三3月质量检测（文）数学试卷答 案1～5．CBCBD 6～10．AACBD 11．A 12．C 二、填空题 13．41415．53-16．2三、解答题17．（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d . 由题意，可得4242422,2,242a a a a b b ===⋅， 整理，得4224a a -=，即224d =，解得1d =， 又21a a d =+，故121a a d =-=， 所以()11n a a n d n =+-=.2n n b =.（Ⅰ）()()()21113222121132211122222212n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a a b a a b a a b b b b +++-+-++-=-+-++--=+++==--L L g L故2111322212017n n n n a b a b a b a b a b a b +-+-++-≤L ，可化为1222017n +-≤，即122019n +≤，即201922n ≤， 因为()2xf x =在R 上为增函数，且()()2019204820199512,10222f f =<=>， 所以n 的最大值为9.18．解：（1）取BC 的中点G ，连结DG ，交AC 于P ，连结PE .此时P 为所求作的点（如图所示）.下面给出证明：∵2BC AD =，∴BG AD =，又//BC AD ，∴四边形BGDA 是平行四边形， 故//DG AB 即//DP AB .又AB ⊂平面,ABF DP ⊄平面ABF ，∴//DP 平面ABF ；∵//,AF DE AF ⊂平面ABF ，DE ⊄平面ABF ，∴//DE 平面ABF . 又∵DP ⊂平面,PDE DE ⊂平面,PDE PD DE D =I ， ∴平面//ABF 平面PDE ，又∵PE ⊂平面PDE ，∴//PE 平面ABF .（2）在等腰梯形ABCD 中，∵60,24ABG BC AD ︒∠===，ACD △的面积为122⨯.∵DE ⊥平面ABCD ，∴DE 是三棱锥E ACD -的高.设三棱锥A CDE -的高为h .由A CDE E ACD V V --=，可得1133CDE ACD S h S DE ⨯⨯=⨯△△，即1212h ⨯⨯⨯h =故三棱锥A CDE -19．解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，得分在[)70,90的频率为0.005200.1⨯=， 再由[)70,90内的频数6，可知抽取的学生答卷数为60人， 则62460a b +++=，得30a b +=；又由频率分布直方图可知，得分在[]130,150的频率为0.2，即0.260b=， 解得12,18b a ==. 进而求得180.0156020c ==⨯.（Ⅰ）由频率分布直方图可知，得分在[]130,150的频率为0.2，由频率估计概率，可估计从全校答卷中任取一份，抽到“优秀”的概率为0.2，设该校测试评定为“优秀”的学生人数为n ，则0.23000n=，解得600n =， 所以该校测试评定为“优秀”的学生人数约为600.（Ⅰ）“良好”与“优秀”的人数比例为24：12=2：1，故选取的6人中“良好”有4人，“优秀”有2人，“良好”抽取4人，记为,,,a b c d ，“优秀”抽取2人，记为,A B ， 则从这6人中任取2人，所有基本事件如下：,,,,,,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ab ac ad bc bd cd 共15个，事件A :“所抽取的2人中有人为‘优秀’”含有8个基本事件， 所以所求概率()815P A =. 20．（Ⅰ）抛物线C 的焦点F 的坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭.因为32AO AF ==，所以可求得A 点坐标为4p ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将A 点坐标代入22x py =得()21362164p p p -=⨯， 解得2p =，故抛物线方程为24x y =.（Ⅰ）依题意，可知l 与x 轴不垂直，故可设l 的方程为y kx b =+，并设()()()11220,,,,,1,P x y Q x y M x PQ 的中点()0,1M x .联立方程组24y kx bx y=+⎧⎨=⎩，消去y ，得2440x kx b --=，所以12124,4x x k x x b +==-. 因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以()212122422y y k x x b k b +=++=+=，即212b k =-. 因为直线l 与C 交于,P Q ，所以216160k b =+>△，得20k b +>， 故()[)2222120,0,1k b k k k +=+->∈. 由y kx b =+，令0x =得212y b k ==-，故212111222OPQ S b x x k ∆=-=-=设212t k =-，则(]1,1t ∈-， 设()()()2222321112122t y k k tt t +=--=⋅=+， 令()2132320223y t t t t ⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭得0t =或23t =-，由0y '>得()21,0,13t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭U ，由0y '<得2,03t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以()3212y t t =+的单调增区间为()21,,0,13⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减区间为2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，当23t =-时，227y =；当1t =时，2127y =>，故max 1y =， 所以OPQ S △的最大值是2.注：面积也可通过求弦长PQ 和点O 到直线PQ 的距离建立，可参照上述类似给分.21．解：（Ⅰ）()()()1212111x x f x x n e x n x e --'⎡⎤=⎡-+⎤+-++⎣⎦⎣⎦， ()()()21111x x x n x n e x x n e --⎡⎤=+--=+-⎣⎦， 令()0f x '=得121,x x n =-=.当12x x =，即1n =-时，()()2110x f x x e -'=+≥，故()f x 在R 上单调递增，当12x x >，即1n <-时，令()0f x '<，得1n x <<-，所以()f x 在(),1n -上单调递减； 同理，可得()f x 在()(),,1,n -∞-+∞上单调递增.当12x x <，即1n >-时，令()0f x '<，得1x n -<<，所以()f x 在()1,n -上单调递减； 同理，可得()f x 在()(),1,,n -∞+∞上单调递增.综上可知，当1n <-时，()f x 在(),1n -上单调递减，在()(),,1,n -∞-+∞上单调递增， 当1n =-时，()f x 在R 上单调递增，当1n >-时，()f x 在()1,n -上单调递减，在()(),1,,n -∞-+∞上单调递增.（Ⅰ）由（Ⅰ）知，当()f x 在R 上单调递增时，1n =-，故()()121x f x g x e x -==+.不妨设21x x >，则要证()()()()2121212g x g x g x g x x x +->-，只需证()()()()()()2121212g x g x x x g x g x ⎡+⎤->-⎣⎦， 即证()()()21211111212x x x x e e x x e e ----+->-，只需证()()()222121121x x x x e x x e --+->-，令21t x x =-，则0t >，不等式()()()222121121x x x x e x x e --+->-可化为()()121t t e t e +>-. 下面证明：对任意()()0,121t t t e t e >+>-，令()()()()1210x x h x e x e x =+--≥，即()()()220x h x x e x x =-++≥， 则()()11x h x x e '=-+，令()()()()110x x h x x e x ϕ'==-+≥，则()0x x xe ϕ'=≥，所以()x ϕ在[)0,+∞上单调递增， 又()00ϕ=，所以当0x ≥时，()()00x ϕϕ≥=即()0h x '≥， 故()h x 在[)0,+∞上单调递增, 又()00h =，所以当0t >时，()()00h t h >=， 故对任意0t >，()()121t t e t e +>-，所以对任意12,x x R ∈且12x x ≠，()()()()2121212g x g x g x g x x x +->-.22．解一：（Ⅰ）由直线l 的参数方程3cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t 得，()()3sin 1cos 0x y ϕϕ---=，即直线l 的普通方程为()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=， 由圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，得()24cos 0*ρρθ-=，将222cos x x y ρθρ=⎧⎨+=⎩代入(*)得，2240x y x +-=， 即C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（Ⅰ）将直线l 的参数方程代入()2224x y -+=得，()22cos sin 20t t ϕϕ++-=，()24cos sin 80ϕϕ=++>△，设,P Q 两点对应的参数分别为12,t t ，则()12122cos sin ,2t t t t ϕϕ+=-+=-， 所以12PQ t t =-==因为()()0,,20,2ϕπϕπ∈∈，所以当3,sin 214πϕϕ==-时，PQ 取得最小值【注：未能指出取得最小值的条件，扣1分】解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅰ）由直线l 的参数方程知，直线l 过定点()3,1M ，当直线l CM ⊥时，线段PQ 长度最小. 此时()223212CM =-+=，PQ ==所以PQ 的最小值为解法三：（Ⅰ）同解法一（Ⅰ）圆心()2,0到直线()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=的距离，cos sin 4d πϕϕϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又因为()0,ϕπ∈，所以当34ϕπ=时，d .又PQ ==， 所以当34ϕπ=时，PQ 取得最小值23．解（Ⅰ）：()33,11245,1233,2x x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-+-<<⎨⎪-≥⎩.①当1x ≤-时，由不等式339x -+<，解得2x >-. 此时原不等式的解集是：{|21}x x -<≤-.②当12x -<<时，由不等式59x -+<，解得4x >-. 此时原不等式的解集是：{}|12x x -<<. ③当2x ≥时，由不等式339x -<，解得4x <，此时原不等式的解集是：{}|24x x ≤<. 综上可得原不等式的解集为()2,4-.（Ⅰ）由（Ⅰ）可得，函数()f x 的图像是如下图所示的折线图.因为()()()min 16,23f f x f -===，故当36m <≤时，直线y m =与曲线()y f x =围成一个三角形， 即m 的范围是(]3,6. 且当6m =时，()()max 1316362S =+-=.。
福建省泉州市2017届高三(5月)第二次质量检查数学(理)试题含答案
2017年泉州市普通高中毕业班第二次质量检查理科数学 第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}065,122<+-=>=x x x B x A x，则=B C A( ）A ．()3,2B ．(][)+∞∞-,32,C ．(][)+∞,32,0D ．[)+∞,3 2。
已知复数i a z +=().R a ∈若2<z ,则2i z +在复平面内对应的点位于( ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3。
公差为2的等差数列{}na 的前n 项和为.nS 若123=S，则=3a （ )A ．4B ．6C ．8D ．144.已知实数y x ,满足约束条件y x z y x xy +=⎩⎨⎧≤--≤,022，则满足1≥z 的点()y x ,所构成的区域面积等于( ）A ．41 B ．21 C 。
43 D ．15.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械中常见的结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，突出部分叫做“榫头”，某“榫头”的三视图及其部分尺寸如图所示,则该“榫头”的体积等于( )A．12B．13C。
14D．156.执行一次如图所示的程序框图，若输出i的值为0，则下列关于框图中函数()()Rxf∈的表述，正确的是（）xA．()x f是奇函数，且为减函数B．()x f是偶函数，且为增函数C.()x f不是奇函数，也不为减函数D．()x f不是偶函数，也不为增函数7。
已知以O为中心的双曲线C的一个焦点为P F,为C上一点，M为PF的中点，若OMF ∆为等腰直角三角形，则C 的离心率等于( ） A ．12-B ．12+ C 。
22+ D ．215+ 8.已知曲线()⎪⎭⎫⎝⎛<+=22sin :πϕϕx y C 的一条对称轴方程为6π=x ，曲线C 向左平移()0>θθ个单位长度，得到的曲线E 的一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,6π，则θϕ-的最小值是( )A ．12π B ．4π C 。
2017年泉州市普通高中毕业班质量检查理科数学含答案
2017年泉州市普通高中毕业班质量检查理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知z 为复数z 的共轭复数，且()11i z i -=+，则z 为（ ） A ．i - B ． i C ．1i - D ．1i +2.已知集合11|<22,|ln 022x A x B x x ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=≤=-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎩⎭，则()R A C B = （ ） A ． ∅ B ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(]1,1-3. 若实数,x y 满足约束条件1222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则22z x y =+的最小值是（ ）AB ．45C ．1D ． 44.已知向量,a b满足()1,0a a b a a b =-=-= ，则2b a -= （ ） A ． 2 B．．5. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和且22n n S a =-，则54S S -的值为（ ） A ． 8 B ．10 C. 16 D ．32 6.已知函数()2sin cos 222x x f x ϕϕπϕ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且对于任意的x R ∈，()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.则 （ ）A ．()()f x f x π=+B ．()2f x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()3f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．()6f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭7. 函数()()ln sin 0f x x x x x ππ=+-≤≤≠且的图象大致是（ ）A ．B ．C. D ．8.关于x 的方程ln 10x x kx -+=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,1e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ B ．(]1,1e - C. 11,1e e⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．()1,+∞9.机器人AlphaGo （阿法狗）在下围棋时，令人称道的算法策略是：每一手棋都能保证在接下来的十几步后，局面依然是满意的.这种策略给了我们启示：每一步相对完美的决策，对最后的胜利都会产生积极的影响.下面的算法是寻找“1210,,,a a a ”中“比较大的数t ”，现输入正整数“42，61，80，12，79，18，82，57，31，18“，从左到右依次为1210,,,a a a ，其中最大的数记为T ，则T t -= （ ）A ．0B ． 1 C. 2 D ．310.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是 （ ）A ．圆弧B ．抛物线的一部分 C. 椭圆的一部分 D ．双曲线的一部分 11.已知抛物线E 的焦点为F ，准线为l 过F 的直线m 与E 交于,A B 两点，,CD 分别为,A B 在l 上的射影，M 为AB 的中点，若m 与l 不平行，则CMD ∆是（ ）A ．等腰三角形且为锐角三角形B ．等腰三角形且为钝角三角形 C.等腰直角三角形 D ．非等腰的直角三角形 12. 数列{}n a 满足12sin122n n n a a n π+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前100项和为（ ） A ． 5050 B ．5100 C.9800 D ．9850第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.某厂在生产甲产品的过程中，产量x （吨）与生产能耗y （吨）的对应数据如下表：根据最小二乘法求得回归直线方程为ˆ0.65yx a =+．当产量为80吨时，预计需要生产能耗为 吨．14. ()()4121x x -+的展开式中，3x 的系数为 ．15.已知l 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线，l 与圆()222x c y a-+=（其中222c a b =+）相交于,A B 两点，若AB a =，则C 的离心率为 ．16.如图，一张4A 纸的长、宽分别为,2a ．,,,A B C D 分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线掀折起，使得1234,,,P P P P 四点重合为一点P ，从而得到一个多面体．关于该多面体的下列命题，正确的是 ．（写出所有正确命题的序号） ①该多面体是三棱锥； ②平面BAD ⊥平面BCD ；③平面BAC ⊥平面ACD ； ④该多面体外接球的表面积为25a π三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos cos cos sin A C A C B -+= ．（1）证明：,,a b c 成等比数列；（2）若角B 的平分线BD 交AC 于点D ，且6,2BAD BCD b S S ∆∆==，求BD ．18.如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的多面体中，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，0//,,60,244AD BC AB CD ABC BC AF AD DE =∠=====．（1）请在图中作出平面α，使得DE α⊂，且//BF α，并说明理由； （2）求直线EF 和平面BCE 所成角的正弦值．19.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记为0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示.（1）求,,a b c 的值；（2）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中选取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ； （3）某评估机构以指标M （()()E M D ξξ=，其中()D ξ表示ξ的方差）来评估该校安全教育活动的成效．若0.7M ≥，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在（2）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？20. ABC ∆中，O 是BC 的中点，BC =，其周长为6+，若点T 在线段AO 上，且2AT TO =．（1）建立合适的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程；（2）若,M N 是射线OC 上不同两点，1OM ON = ，过点M 的直线与E 交于,P Q ，直线QN 与E 交于另一点R ．证明：MPR ∆是等腰三角形． 21. 已知函数()()ln 11,f x mx x x m R =+++∈．（1）若直线l 与曲线()y f x =恒相切于同一定点，求l 的方程； （2）当0x ≥时，()xf x e ≤，求实数m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=． （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）当()0,ϕπ∈时，l 与C 相交于,P Q 两点，求PQ 的最小值． 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()124f x x x =++-． （1）解关于x 的不等式()9f x <；（2）若直线y m =与曲线()y f x =围成一个三角形，求实数m 的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．试卷答案一、选择题1-5: ABBAD 6-10: CDADD 11、12：AB二、填空题16. ①②③④ 三、解答题17.解法一:（1）因为()2cos cos cos sin A C A C B -+= ，所以()2cos cos cos cos sin sin sin A C A C A C B --= ，化简可得2sin sin sin A C B =，由正弦定理得，2b ac =，故,,a b c 成等比数列.（2）由题意2BAD BCD S S ∆∆=，得11sin 2sin 22BA BD ABD BC BD CBD ∠=⨯∠ ， 又因为BD 是角平分线，所以ABD CBD ∠=∠，即sin sin ABD CBD ∠=∠， 化简得，2BA BC =，即2c a =.由（1）知，2ac b =，解得a c == 再由2BAD BCD S S ∆∆=得，11222AD h CD h ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（h 为ABC ∆中AC 边上的高）， 即2AD CD =，又因为6AC =，所以4,2AD CD ==. 【注】利用角平分线定理得到4,2AD CD ==同样得分，在ABC ∆中由余弦定理可得，222cos2b c a A bc +-===在ABD ∆中由余弦定理可得，2222cos BD AD AB AD AB A =+-，即(22242428BD =+-⨯⨯=，求得BD =解法二：（1）同解法一.（2）同解法一，4,2AD CD ==.在ABC ∆中由余弦定理可得，222cos 2b a c C ab +-==， 在BCD ∆中由余弦定理可得，2222cos BD CD BC CD BC C =+- ，即(22222228BD =+-⨯⨯=，求得BD =解法三： （1）同解法一.（2）同解法二，4,2AD CD ==.在ABC ∆中由余弦定理可得，222543cos 2724a cb B ac +-===， 由于2cos 12sin2BB =-，从而可得sin 2B =， 在ABC ∆中由余弦定理可得，222cos 2b a c C ab +-==，求得sin C = 在BCD ∆中由正弦定理可得，sin sin CD BD CBD C =∠，即sin sin CD CBD CBD==∠ . 【注】若求得sin A 的值后，在BDA ∆中应用正弦定理求得BD 的，请类比得分. 解法四： （1）同解法一.（2）同解法一，4,2AD CD ==.在BCD ∆中由余弦定理得，(2222214cos 224BD BD BDC BD BD +--∠==⨯⨯，在BDA ∆中由余弦定理得，(2222456cos 248BD BD BDA BDBD+--∠==⨯⨯，因为BDA BDC π∠+∠=，所以有cos cos 0BDC BDA ∠+∠=，故221456048BD BD BD BD--+=，整理得，2384BD =，即BD =18.解：（1）如图，取BC 中点P ，连接,PD PE ，则平面PDE 即为所求的平面α. 显然，以下只需证明//BF 平面α； ∵2,//BC AD AD BC =， ∴//AD BP 且AD BP =， ∴四边形ABPD 为平行四边形， ∴//AB DP .又AB ⊄平面PDE ，PD ⊂平面PDE ， ∴//AB 平面PDE .∵AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， ∴//AF DE .又AF ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， ∴//AF 平面PDE ，又AF ⊂平面,ABF AB ⊂平面,ABF AB AF A ⋂=， ∴平面//ABF 平面PDE . 又BF ⊂平面ABF ，∴//BF 平面PDE ，即//BF 平面α.（2）过点A 作AG AD ⊥并交BC 于G ， ∵AF ⊥平面ABCD ，∴,AF AG AF AD ⊥⊥，即,,AG AD AF 两两垂直，以A 为原点，以,,AG AD AF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.在等腰梯形ABCD 中，∵060,24ABG BC AD ∠===，∴1,BG AG ==则))1,0,BC-.∵44AF DE ==，∴()()0,2,1,0,0,4E F ，∴()()0,4,0,BC BE ==.设平面BCE 的法向量(),,n x y z =，由00n BC n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得4030y y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，取x =BCE的一个法向量)n =.设直线EF 和平面BCE 所成角为θ，又∵()0,2,3EF =-，∴sin cos ,n EF θ===，故直线EF 和平面BCE所成角的正弦值为26. 19.解：（1）由频率分布直方图可知，得分在[)20,40的频率为0.005200.1⨯=， 故抽取的学生答卷数为：6600.1=， 又由频率分布直方图可知，得分在[]80,100的频率为0.2， 所以600.212b =⨯=，又2460b a b +++=，得30a b +=， 所以18a =.180.0156020c ==⨯.（2）“不合格”与“合格”的人数比例为24：36=2：3， 因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人. 所以ξ有20，15，10，5，0共5种可能的取值.ξ的分布列为：()()()431226646444410101018320,15,1014217C C C C C P P P C C C ξξξ=========，()()134644441010415,035210C C C P P C C ξξ======. ξ的分布列为：所以()20151050121421735210E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由（2）可得()()()()()()2222218341201215121012512012161421735210D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，所以()()120.750.716E M D ξξ===>，故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案. 20.解法一：（1）以O 为坐标原点，以BC的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy .依题意得,B C ⎛⎫⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.由6AB AC BC ++=+6AB AC +=， 因为故6AB AC BC +=>，所以点A 的轨迹是以,B C 为焦点，长轴长为6的椭圆（除去长轴端点），所以A 的轨迹方程为()2221399x y x +=≠±. 设()()00,,,A x y T x y ，依题意13OT OA =，所以()()001,,3x y x y =，即0033x x y y =⎧⎨=⎩，代入A 的轨迹方程222199x y +=得，()()22323199x y +=，所以点T 的轨迹E 的方程为()22211x y x +=≠±.（2）设()()()()()1122331,0,,0,1,,,,,,M m N m Q x y P x y R x y m ⎛⎫≠⎪⎝⎭. 由题意得直线QM 不与坐标轴平行， 因为11QM y k x m =-，所以直线QM 为()11y y x m x m=--， 与2221x y +=联立得，()()()22222211111122120mmx x m x x mx x m x +---+--=，由韦达定理2221111221212mx x m x x x m mx --=+-，同理222222111*********111122121112x x x mx m x x m m x x x x m mx x m m ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===+-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以23x x =或10x =， 当23x x =时，PR x ⊥轴， 当10x =时，由()()2112212112m x x x mmx -+=+-，得2221mx m =+，同理3222122111m m x x m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，PR x ⊥轴.因此MP MR =，故MPR ∆是等腰三角形. 解法二：（1）以O 为坐标原点，以BC的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy .依题意得,22B C ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 在x轴上取12,F F ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为点T 在线段AO 上，且2AT TO =， 所以12//,//FT AB F T AC ，则()1212116233FT F T AB AC F F +=+=⨯=>= 故T 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长为2的椭圆（除去长轴端点）， 所以点T 的轨迹E 的方程为()22211x y x +=≠±.（2）设()()()1,0,,0,1,M m N n m n m ⎛⎫≠=⎪⎝⎭，()()()112233,,,,,Q x y P x y R x y ， 由题意得，直线QM 斜率不为0，且()01,2,3i y i ≠=，故设直线QM 的方程为：x t y m =+ ，其中11x mt y -=， 与椭圆方程2221x y +=联立得，()2222210t y mty m +++-=，由韦达定理可知，212212m y y t -=+ ，其中()22221211122112222x m x mx m y t y y --+++=+=，因为()11,Q x y 满足椭圆方程，故有221121x y +=，所以22121122mx m t y -++=. 设直线RN 的方程为：x sy n =+，其中11x ns y -=， 同理222113221121,22nx n n y y s s y -+-=+=+ ， 故()()()()()()222222212222231321122211222m m s m s y y y t n y y y n t t s --+++====---+++ 222121212211211221111212nx n m m x y m m mx m mx my -+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-=-=--+-+ ， 所以23y y =-，即PR x ⊥轴，因此MP MR =，故MPR ∆是等腰三角形.21.解：（1）因为直线l 与曲线()y f x =恒相切于同一定点， 所以曲线()y f x =必恒过定点，由()()ln 11f x mx x x '=+++，令()ln 10x x +=，得0x =， 故得曲线()y f x =恒过的定点为()0,1.因为()()ln 111x f x m x x ⎛⎫'=+++ ⎪+⎝⎭，所以切线l 的斜率()01k f '==， 故切线l 的方程为1y x =+，即10x y -+=.（2）令()()()[)ln 11,0,xxg x e f x e x mx x x =-=--+-∈+∞，()()[)1ln 1,0,1x xg x e m x mx x '=--+-∈+∞+. 令()()[)1ln 1,0,1xx h x e m x mx x =--+-∈+∞+， ()()[)()211,0,,01211xh x e m x h m x x ⎡⎤''=-+∈+∞=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦. ① 当0m ≤时，因为()0h x '>，所以()h x 在[)0,+∞上单调递增，故()()()00h x g x h '=≥=， 因为当[)0,x ∈+∞时，()0g x '≥，所以()g x 在[)0,+∞上单调递增，故()()00g x g ≥=. 从而，当0x ≥时，()xe f x ≥恒成立.② 当102m <≤时， 因为()h x '在[)0,+∞上单调递增，所以()()0120h x h m ''≥=-≥， 故与①同理，可得当0x ≥时，()xe f x ≥恒成立.③ 当12m >时，()h x '在[)0,+∞上单调递增， 所以当0x =时，()h x '在[)0,x ∈+∞内取得最小值()0120h m '=-<. 取410x m =->，因为()()()22111111111xh x e m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤'=-+≥+-+⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以()1111141440164284h m m m '-≥-->⨯-->， 前述说明在()0,41m -内，存在唯一的()00,41x m ∈-，使得()00h x '=，且当[]00,x x ∈时，()0h x '≤，即()h x 在[]00,x 上单调递减，所以当[]00,x x ∈时，()()()00h x g x h '=≤=， 所以()g x 在[]00,x 上单调递减，此时存在00x x =>，使得()()000g x g <=，不符合题设要求. 综上①②③所述，得m 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.说明：③也可以按以下方式解答： 当12m >时，()h x '在[)0,+∞上单调递增， 所以当0x =时，()h x '在[)0,x ∈+∞内取得最小值()0120h m '=-<，当x →+∞时，()211,011xe m x x ⎡⎤→+∞-+→⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，所以()h x '→+∞， 故存在()00,x ∈+∞，使得()00h x '=，且当()00,x x ∈时，()0h x '<， 下同前述③的解答.22.解一：（1）由直线l 的参数方程3cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t 得，()()3sin 1cos 0x y ϕϕ---=，即直线l 的普通方程为()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=， 由圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，得()24cos 0*ρρθ-=，将222cos x x y ρθρ=⎧⎨+=⎩代入(*)得， 2240x y x +-=， 即C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）将直线l 的参数方程代入()2224x y -+=得，()22cos sin 20t t ϕϕ++-=，()24cos sin 80ϕϕ∆=++>，设,P Q 两点对应的参数分别为12,t t ， 则()12122cos sin ,2t t t t ϕϕ+=-+=-，所以12PQ t t =-==因为()()0,,20,2ϕπϕπ∈∈， 所以当3,sin 214πϕϕ==-时，PQ 取得最小值【注：未能指出取得最小值的条件，扣1分】 解法二：（1）同解法一（2）由直线l 的参数方程知，直线l 过定点()3,1M ， 当直线l CM ⊥时，线段PQ 长度最小. 此时()223212CM=-+=，PQ ===所以PQ 的最小值为解法三： （1）同解法一（2）圆心()2,0到直线()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=的距离，cos sin 4d πϕϕϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又因为()0,ϕπ∈， 所以当34ϕπ=时，d又PQ == 所以当34ϕπ=时，PQ 取得最小值23.解：（1）()33,11245,1233,2x x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-+-<<⎨⎪-≥⎩.①当1x ≤-时，由不等式339x -+<，解得2x >-. 此时原不等式的解集是：{|21x x -<≤-.②当12x -<<时，由不等式59x -+<，解得4x >-. 此时原不等式的解集是：{}|12x x -<<.③当2x ≥时，由不等式339x -<，解得4x <， 此时原不等式的解集是：{}|24x x ≤<. 综上可得原不等式的解集为()2,4-.（2）由（1）可得，函数()f x 的图像是如下图所示的折线图. 因为()()()min 16,23f f x f -===，故当36m <≤时，直线y m =与曲线()y f x =围成一个三角形， 即m 的范围是(]3,6. 【注：范围正确，不倒扣】 且当6m =时，()()max 1316362S =+-=.。
福建省泉州市2017届高三(5月)第二次质量检查数学(理)试题Word版含答案
2017年泉州市普通高中毕业班第二次质量检查理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}065,122<+-=>=x x x B x A x ，则=B C A ( )A ．()3,2B ．(][)+∞∞-,32,C ．(][)+∞,32,0D ．[)+∞,3 2.已知复数i a z +=().R a ∈若2<z ，则2i z +在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.公差为2的等差数列{}n a 的前n 项和为.n S 若123=S ，则=3a ( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．14 4.已知实数y x ,满足约束条件y x z y x xy +=⎩⎨⎧≤--≤,022，则满足1≥z 的点()y x ,所构成的区域面积等于( ) A ．41 B ．21 C. 43D ．1 5.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械中常见的结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，突出部分叫做“榫头”，某“榫头”的三视图及其部分尺寸如图所示，则该“榫头”的体积等于( )A ．12B ．13 C.14 D ．156.执行一次如图所示的程序框图，若输出i 的值为0，则下列关于框图中函数()()R x x f ∈的表述，正确的是( )A ．()x f 是奇函数，且为减函数B ．()x f 是偶函数，且为增函数 C.()x f 不是奇函数，也不为减函数 D ．()x f 不是偶函数，也不为增函数 7.已知以O 为中心的双曲线C 的一个焦点为P F ,为C 上一点，M 为PF 的中点，若OMF ∆为等腰直角三角形，则C 的离心率等于( )A ．12-B ．12+ C. 22+ D ．215+ 8.已知曲线()⎪⎭⎫⎝⎛<+=22sin :πϕϕx y C 的一条对称轴方程为6π=x ，曲线C 向左平移()0>θθ个单位长度，得到的曲线E 的一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,6π，则θϕ-的最小值是( ) A ．12π B ．4π C.3π D ．125π 9.在梯形ABCD 中，060,32,2,1,//=∠===ACD BD AC AB CD AB ,则=AD ( )A ．2B ．7 C. 19 D ．3613-10.某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是4,3,2,1中的任一个，现密码破译者得知：甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同，则上述四人所设密码最安全的是( )A ．甲B ．乙 C.丙 D ．丁 11.已知直线PB PA ,分别于半径为1的圆O 相切于点().12,2,,PB PA PM PO B A λλ-+==，若点M 在圆O 的内部（不包括边界），则实数λ的取值范围是( )A ．()1,1-B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31 D ．()1,012.已知函数()().,2ax ax x g e x f x-==，若曲线()x f y =上存在两点，这两点关于直线x y =的对称点都在曲线()x g y =上，则实数a 的取值范围是( )A ．()1,0B ．()+∞,1 C. ()+∞,0 D ．()()+∞,11,0第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知椭圆134:22=+y x C 的左顶点、上顶点，右焦点分别为F B A ,,，则=⋅ ．14.已知曲线x x y C 2:2+=在点()0,0处的切线为l ，则由l C ,以及直线1=x 围成的区域的面积等于 ．15.在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边经过点()()11,≥x x P ，则θθsin cos +的取值范围是 ．16.已知在体积为π12的圆柱中，CD AB ,分别是上、下底面两条不平行的直径，则三棱锥BCD A -的体积的最大值等于 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在数列{}n a 中,().221,4211n n a n na a n n +=+-=+（Ⅰ） 求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和n S ； 18.某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试，测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子停下所需要的距离），无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1表.2已知表1 数据的中位数估计值为26，回答以下问题.(Ⅰ)求b a ,的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；（Ⅱ）根据最小二乘法，由表2的数据计算y 关于x 的回归方程∧∧∧+=a b y ；（Ⅲ）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y 大于（Ⅰ）中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据(Ⅱ)中的回归方程,预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？（附：回归方程ˆy ba ∧∧=+中，()1221,.ni ii nii x y n x y b a y b x xnx∧∧∧==-⋅==--∑∑）19.如图，在三棱锥BCD A -中，平面ABD ⊥平面42,60,,0===∠=BC BD CBD AD AB BCD ，点E 在CD 上，.2EC DE =（Ⅰ）求证：BE AC ⊥；（Ⅱ）若二面角D BA E --的余弦值为515，求三棱锥BCD A -的体积. 20.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线()02:2>=p py x C 的焦点为F ,过点F 的直线l 交C 于B A ,两点,交x 轴于点BD ,到x 轴的距离比BF 小1.(Ⅰ)求C 的方程；（Ⅱ）若AOD BOF S S ∆∆=，求l 的方程. 21.已知函数().ln k kx x x f +-= (Ⅰ)若()0≥x f 有唯一解,求实数k 的值；（Ⅱ）证明：当1≤a 时，()().12--<-+ax e k kx x f x x（附：39.7,48.4,10.13ln ,69.02ln 223≈≈≈≈e e ）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1y x ，（α为参数）；在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为.sin cos 2θθρ= （Ⅰ）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线()0:≥=x kx y l 分别交21,C C 于B A ,两点（B A ,异于原点），当(]3,1∈k 时，求OB OA ⋅的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数().a x a x x f ++-= （Ⅰ）当2=a 时，解不等式()6>x f ；（Ⅱ）若关于x 的不等式()12-<a x f 有解，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CBBCC 6-10:DBABC 11、12：BD二、填空题13.6 14.3115.(]2,1 16.8 三、解答题17.解：（Ⅰ）()n n a n na n n 22121+=+-+的两边同时除以()1+n n ，得()*+∈=-+N n na n a nn 211， 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是首项为4，公差为2的等差数列. （Ⅱ）由（Ⅰ），得()121-+=n a na n， 即22+=n na n即n n a n 222+=，故()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=+-+⋅=+=11121112122112n n n n n n n n a n , 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111312121121n n S n , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=113121131211n n ,().1211121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n nn 18.解：（Ⅰ）依题意，得2650106-=a ，解得40=a ， 又10036=++b a ，解得24=b ； 故停车距离的平均数为.27100255100845100243510040251002615=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（Ⅱ）依题意，可知60,50==y x ，22222250590705030106050590907070605050303010⨯-++++⨯⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∧b 107=, 255010760=⨯-=∧a ,所以回归直线为.257.0+=∧x y（Ⅲ）由（Ⅰ）知当81>y 时认定驾驶员是“醉驾” 令81>∧y ，得81257.0>+x ，解得80>x ,当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”. 19.解：（Ⅰ）取BD 的中点，连接.,,EO CO AO 因为OD BO AD AB ==,，所以BD AO ⊥,又平面⊥ABD 平面BCD ,平面 ABD 平面⊂=AO BD BCD ,平面ABD , 所以⊥AO 平面BCD ,又⊂BE 平面BCD ,所以.BE AO ⊥ 在BCD ∆中，EC DE BC BD 2,2==,所以2==ECDEBC BD ， 由角平分线定理，得DBE CBE ∠=∠， 又2==BO BC ，所以CO BE ⊥,又因为⊂=AO O CO AO , 平面⊂CO ACO ,平面ACO , 所以⊥BE 平面ACO ,又⊂AC 平面ACO ，所以.BE AC ⊥（Ⅱ）在BCD ∆中，060,42=∠==CBD BC BD ,由余弦定理得32=CD ，所以222BD CD BC =+，即090=∠BCD ,所以DE BE EDB EBD ==∠=∠,300，所以BD EO ⊥,结合（Ⅰ）知，OA OD OE ,,两两垂直，以O 为原点，分别以向量OA OD OE ,,的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O -（如图），设()0>=t t AO,则()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,0,332,0,2,0,,0,0E B t A , 所以()⎪⎪⎭⎫⎝⎛==0,2,332,,2,0BE t BA , 设()z y x n ,,=是平面ABE 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0BE n BA n 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0233202y x tz y ，整理，得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,2,3y t z y x 令1-=y ，得23,1,.n t ⎛⎫=- ⎪⎭因为⊥OE 平面ABD ,所以()1,0,0m =是平面ABD 的一个法向量.又因为二面角D BA E --的余弦值为515， 所以5154133,cos 2=++=><t n m ，解得2=t 或2-=t （舍去）， 又⊥AO 平面BCD ,A 所以AO 是三棱锥BCD A -的高,故.3343222123131=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=∆-BCD BCD A S AO V 20.：（Ⅰ）C 的准线方程为2py -=， 由抛物线的定义，可知BF 等于点B 到C 的准线的距离，即2P y BF B +=, 又因为点B 到x 轴的距离比BF 小1， 所以12+=+B B y Py ， 故12=P，解得2=P ， 所以C 的方程为.42y x =（Ⅱ）由（Ⅰ）得C 的焦点()1,0F ，因为直线l 交C 于B A ,两点，交x 轴于点D ，所以l 的斜率存在且不为0，故可设l 的方程为()()().,,,,011111y x B y x A k kx y ≠+=， 则⎪⎭⎫⎝⎛-0,1k D . 联立方程组⎩⎨⎧+==,1,42kx y y x ，消去y ，得.0442=--kx x()()01616414422>+=-⨯⨯--=∆k k ,由韦达定理，得.4,42121-==+x x k x x 设点O 到直线l 的距离为d ,则.21,21AD d S BF d S AOD BOF ⋅=⋅=∆∆ 又AOD BOF S S ∆∆=，所以AD BF =.又F D B A ,,,在同一直线上，所以FB DA =，从而211x k x =⎪⎭⎫⎝⎛--，即k x x 112==,因为()()()()4444221221212-⨯-=-+=-k x x x x x x ,所以()()221444⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⨯-k k ，整理，得01161624=-+k k ,故4252-=k ，解得225-±=k ,所以l 的方程为1225+-±=x y . 21.解:(Ⅰ)函数()x f 的定义域为().,0+∞要使()0≥x f 有唯一解,只需满足()0max =x f ,且()0max =x f 的解唯一,()xkxx f -='1, ①当0≤k 时,()0>'x f ,故()x f 在()+∞,0上单调递增,且()01=f , 所以()0≥x f 的解集为[)+∞,1,不符合题意；②当0>k ，且⎥⎦⎤ ⎝⎛∈k x 1,0时，()()x f x f ,0≥'单调递增；当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,1kx 时，()()x f x f ,0<'单调递减，所以()x f 有唯一的一个最大值为⎪⎭⎫⎝⎛k f 1, 令()()01ln 1>--=⎪⎭⎫⎝⎛=k k k k f k g ，则()()k k k g g 1,01-='=, 当10<<k 时，()0<'x g ,故()k g 单调递减；当1>k 时，故()k g 单调递增， 所以()()01=≥g k g ，故令01ln 1=--=⎪⎭⎫⎝⎛k k k f ,解得1=k ， 此时()x f 有唯一的一个最大值为()1f ，且()01=f ，故()0≥x f 的解集是{}1，符合题意；综上，可得.1=k（Ⅱ）要证当1≤a 时，()(),1--<-+ax e k kx x f x x即证当1≤a 时，01ln 2>---x x ax e x , 即证.01ln 2>---x x x e x由（Ⅰ）得，当1=k 时，()0≤x f ,即1ln -≤x x ，又0>x ，从而()1ln -≤x x x x , 故只需证0122>-+-x x e x ，当0>x 时成立； 令()()0122≥-+-=x x x e x h x，则()14+-='x e x h x,令()()x h x F '=，则()4-='xe x F ，令()0='x F ，得.2ln 2=x因为()x F '单调递增，所以当(]2ln 2,0∈x 时，()()()x F x F x F ,0,0≤≤'单调递减，即()x h '单调递减，当()+∞∈,2ln 2x 时，()()x F x F '>',0单调递增，即()x h '单调递增， 且()()()0182,020,02ln 854ln 2>+-='>='<-='e h h h , 由零点存在定理，可知()()2,2ln 2,2ln 2,021∈∃∈∃x x ，使得()()021='='x h x h ， 故当10x x <<或2x x >时，()()x h x h ,0>'单调递增；当21x x x <<时，()()x h x h ,0<'单调递减，所以()x h 的最小值是()00=h 或().2x h由()02='x h ，得1422-=x e x ，()()()122252122222222---=-+-=-+=x x x x x e x h x ,因为()2,2ln 22∈x ，所以()02>x h ,故当0>x 时，所以()0>x h ,原不等式成立.22.解：（Ⅰ）由⎩⎨⎧=+=ααsin ,cos 1y x 可得()αα2222sin cos 1+=+-y x , 即1C 的普通方程为().1122=+-y x方程θθρsin cos 2=可化为θρθρsin cos 22= ()* , 将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ,代入方程()*，可得y x =2,所以2C 的直角坐标方程为y x =2，（Ⅱ）联立方程组()⎩⎨⎧==+-,,1122kx y y x 解得.12,1222⎪⎭⎫ ⎝⎛++k k k A 联立方程组⎩⎨⎧==,,2x y kx y 可得()2,k k B ，故k k k k k OB OA 21121222=⋅+⋅+⋅+=⋅, 又(]3,1∈k ,所以(].32,2∈⋅OB OA 23.解：（Ⅰ）当2=a 时，()⎪⎩⎪⎨⎧-<-≤≤->=++-=,2,2,22,4,2,222x x x x x x x x f当2>x 时，可得,62>x ，解得.3>x当22≤≤-x 时，因为64>不成立，故此时无解；当2-<x 时，由62>-x 得，故此时.3-<x综上所述，不等式()6>x f 的解集为()().,33,+∞-∞- （Ⅱ）因为()a a x a x a x a x x f 2=---≥++-=,要使关于x 的不等式()12-<a x f 有解，只需122-<a a 成立. 当0≥a 时，122-<a a 即,122-<a a 解得21+>a ，或21-<a （舍去）；当0<a 时，122-<a a ，即,122-<-a a 解得21+->a （舍去），或21--<a ； 所以，的取值范围为()().,2121,+∞+--∞-。
福建省泉州市普通高中2017年教学质量随机监测数学理试卷含答案
泉州市普通高中2017年教学质量随机监测试卷数 学 理(选修2—2）注意事项:1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页.2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1。
已知2i i(ia b +=+其中,a b ∈R ， i 为虚数单位），则b a +的值为A ．1-B ．1C ．2D ．32。
给出一个命题P ：若,,,a b c d ∈R 11a b c d +=+=，，,且1ac bd +>,则,,,a b c d 中至少有一个小于零.在用反证法证明P 时，应该假设A ．,,,a b c d 中至少有一个正数B ．,,,a b c d 全为正数C ．,,,a b c d 全都大于或等于0D ．,,,a b c d 中至多有一个负数3。
“三段论”是演绎推理的一般形式。
现给出一段推理：①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形。
那么，这段推理中的小前提是A ．①B ．②C ．③D ．无法确定4。
欧拉(Leonhard Euler ,国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的一种表示复数的方法ie cos isin θθθ=+(i 为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，并建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在高等数学的复变函数理论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”.根据此方法可知，在复平面内复数2ie 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5。
⎰-2024dx x 等于A ．π2B ．πC ．2πD ．4π6.已知函数()f x 21cos 4x x =+，'()f x 是()f x 的导函数，则'()f x 的图象大致是7.求由抛物线22y x =与直线2,0x y ==所围成的平面图形的面积时，将区间[]0,2等分成n 个小区间，则第i 个区间为 A ．1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1,i i n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()()2221,i i n n --⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．()212,i i nn -⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.曲线21x y x =-在其上的点11（，）处的切线方程为A ．20x y --= B ．20x y +-= C ．450x y +-=D ．450x y --=9.用数学归纳法证明2(1)(2)(32)(21),()n n n n n n *++++++--∈=N 时，若记)23()2()1()(-++++++=n n n n n f ,则)()1(k f k f -+等于A ．13-kB ．13+kC ．k 8D ．k 910。
2017届福建省泉州市高三3月质量检测数学理试卷(带解析)
绝密★启用前2017届福建省泉州市高三3月质量检测数学理试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．已知为复数的共轭复数，且(1−i )z =1+i ，则z 为（ ） A. −i B. i C. 1−i D. 1+i2．已知集合A ={x |12<2x ≤2},B ={x |ln (x −12)≤0}，则A ∩(C R B )= （ ）A. ∅B. (−1,12]C. [12,1) D. (−1,1]3．若实数x ,y 满足约束条件{x ≤1y ≤22x +y ≥2，则z =x 2+y 2的最小值是（ ）A.2 55B. 45 C. 1 D. 44．已知向量a ,b 满足|a |=1,|a −b |= 3,a ·(a −b )=0，则|b −2a |= （ ） A. 2 B. 2 3 C. 4 D. 4 35．已知S n 为数列{a n }的前n 项和且S n =2a n −2，则S 5−S 4的值为（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 32 6．已知函数f (x )=2sin (x +φ2)cos (x +φ2)(|φ|<π2)，且对于任意的x ∈R ，f (x )≤f (π6).则 （ ）A. f (x )=f (x +π)B. f (x )=f (x +π2)C. f (x )=f (π3−x ) D. f (x )=f (π6−x )7．函数f (x )=ln |x |+|sin x |(−π≤x ≤π且x ≠0)的图象大致是（ ）A. B.C. D.8．关于x的方程x ln x−k x+1=0在区间[1e,e]上有两个不等实根，则实数k的取值范围是（）A. (1,1+1e ] B. (1,e−1] C. [1+1e,e−1] D. (1,+∞)9．机器人A l p a G o（阿法狗）在下围棋时，令人称道的算法策略是：每一手棋都能保证在接下来的十几步后，局面依然是满意的.这种策略给了我们启示：每一步相对完美的决策，对最后的胜利都会产生积极的影响.下面的算法是寻找“a1,a2,⋯,a10”中“比较大的数t”，现输入正整数“42，61，80，12，79，18，82，57，31，18“，从左到右依次为a1,a2,⋯,a10，其中最大的数记为T，则T−t=（）A. 0B. 1C. 2D. 310．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是（）A. 圆弧B. 抛物线的一部分C. 椭圆的一部分D. 双曲线的一部分11．已知抛物线E的焦点为F，准线为l过F的直线m与E交于A,B两点，C,D分别为A,B在l上的射影，M为A B的中点，若m与l不平行，则ΔC M D是（）A. 等腰三角形且为锐角三角形B. 等腰三角形且为钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 非等腰的直角三角形|−1)a n+2n，则数列{a n}的前100项和为（）12．数列{a n}满足a n+1=(2|sin nπ2A. 5050B. 5100C. 9800D. 9850第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．某厂在生产甲产品的过程中，产量x（吨）与生产能耗y（吨）的对应数据如下表：根据最小二乘法求得回归直线方程为y=0.65x+a．当产量为80吨时，预计需要生产能耗为__________吨．14．(1−x)(2x+1)4的展开式中，x3的系数为__________．15．已知l为双曲线C:x2a −y2b=1(a>0,b>0)的一条渐近线，l与圆(x−c)2+y2=a2（其中c2=a2+b2）相交于A,B两点，若|A B|=a，则C的离心率为__________．16．如图，一张A4纸的长、宽分别为22a,2a．A,B,C,D分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线掀折起，使得P1,P2,P3,P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体．关于该多面体的下列命题，正确的是__________．（写出所有正确命题的序号）①该多面体是三棱锥；②平面B A D⊥平面B C D；③平面B A C⊥平面A C D；④该多面体外接球的表面积为5πa2三、解答题17．ΔA B C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且cos A·cos C−cos(A+C)=sin2B．（1）证明：a,b,c成等比数列；（2）若角B的平分线B D交A C于点D，且b=6,SΔB A D=2SΔB C D，求B D．18．如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的多面体中，A F⊥平面A B C D，D E⊥平面A B C D，A D//B C,A B=C D,∠A B C=600,B C=A F=2A D=4D E=4．（1）请在图中作出平面α，使得D E⊂α，且B F//α，并说明理由；（2）求直线E F和平面B C E所成角的正弦值．19．某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记为0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下（1）求a,b,c的值；（2）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中选取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)；（3）某评估机构以指标M（M=E(ξ)D(ξ)，其中D(ξ)表示ξ的方差）来评估该校安全教育活动的成效．若M≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在（2）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？20．ΔA B C中，O是B C的中点，|B C|=32，其周长为6+32，若点T在线段A O上，且|A T|=2|T O|．（1）建立合适的平面直角坐标系，求点T的轨迹E的方程；（2）若M,N是射线O C上不同两点，|O M|·|O N|=1，过点M的直线与E交于P,Q，直线Q N与E交于另一点R．证明：ΔM P R是等腰三角形．21．已知函数f(x)=m x ln(x+1)+x+1,m∈R．（1）若直线l与曲线y=f(x)恒相切于同一定点，求l的方程；（2）当x≥0时，f(x)≤e x，求实数m的取值范围．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x O y中，直线l的参数方程为{x=3+t cosφy=1+t sinφ（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=4cosθ．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）当φ∈(0,π)时，l与C相交于P,Q两点，求|P Q|的最小值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|+|2x−4|．（1）解关于x的不等式f(x)<9；（2）若直线y=m与曲线y=f(x)围成一个三角形，求实数m的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．参考答案1．A【解析】由题意，得z =1+i 1−i=(1+i )2(1+i )(1−i )=i ⇒z=−i ，则选A. 2．B【解析】由题意得，A ={x |−1<x ≤1} ，B ={x |12<x ≤32}，则A ∩(C R B )= (−1,12] ，故选B. 3．B【解析】由约束条件约束条件{x ≤1y ≤22x +y ≥2，作出可行域如图，由图可知,z 2=x 2+y 2的最小值为原点O(0,0)到直线2x +y −2=0的距离的平方， 等于(1+4)2=45 ,故选：B. 4．A【解析】由题意得，|a |=1,|a −b |= 3,a ·(a −b )=0 则a ⋅b =1 ，|b |2=4 ，则|b −2a |= 4−4×1+4×1=2 故选A. 5．D【解析】∵ S n =2a n −2 ∴S n +1=2a n +1−2两式相减得：a n +1=2a n∵a 1=2∴{a n }是首项为2，公比为2的等比数列 ∴S 5−S 4=32 故选D. 6．C【解析】函数f (x )=2sin (x +φ2)cos (x +φ2)(|φ|<π2)，若对任意的x ∈R ，f (x )≤f (π6)，则f (π6)等于函数的最大值，即π6+φ=2k π+π2(k ∈Z )，则φ=2k π+π3,k ∈Z ， 又||φ|<π2,∴φ=π3，∴f (x )=sin (x +π3) ，∴f (x )的周期为T =2π，A. B 错误；又f (x )的对称轴是x =k π+π6,k ∈Z ，C 正确，D 错误故选：C. 7．D【解析】函数f (x )=ln |x |+|sin x |(−π≤x ≤π且x ≠0)是偶函数排除A. 当x >0时,f (x )=ln x +sin x ,可得：f ′(x )=1x +cos x ,令1x +cos x =0，作出y =1x 与y =−cos x 图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点，f (π)=ln π>1故选：D. 8．A【解析】关于x 的方程x ln x −k x +1=0，即：ln x +1x =k ,令函数f (x )=ln x +1x ,若方程x ln x −k x +1=0在在区间[1e,e ]上有两个不等实根，即函数f (x )=ln x +1x 与y =k 在在区间[1e ,e ]有两个不相同的交点，f ′(x )=1x −1x ,令1x −1x =0可得x =1，当x ∈[1e ,1)时f ′(x )<0 ,函数是减函数,当x ∈[1,e )时, f ′(x )>0，函数是增函数，函数的最小值为：f (1)=1，f (1e)=−1+e ,f (e )=1+1e.函数的最大值为：1+1e方程f (x )+m =0 在关于x 的方程x ln x −k x +1=0在区间[1e ,e ]上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是(1,1+1e ].故选：A.【点睛】本题主要考查函数的导数的综合应用，利用导数求闭区间上函数的最值，函数零点的判定定理，利用导数研究函数的极值，转化思想，属于中档题，解决问题的关键是对方程合理变形，转化成两个函数的交点问题，再利用导数求函数在区间上的最值问题. 9．D【解析】模拟程序框图的运行过程，可得： i=1m=42，t=61，n=80 i=2不满足条件t>4m 且t>4n ，m=61，t=80，n=12，i=3 不满足条件t>4m 且t>4n ，m=80，t=12，n=79，i=4 不满足条件t>4m 且t>4n ，m=12，t=79，n=18，i=5 满足条件t>4m 且t>4n ，结束，输出t 的值为79. 由于最大的数记为T 的值为82， 则T−t=82−79=3. 故选：D. 10．D 【解析】由已知中的三视图可得，侧视图中的虚线部分是由平行与旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分， 故选：D. 11．A 【解析】:∵点A 在抛物线y 2=2px 上，F 为抛物线的焦点，C ，D 分别为A ，B 在l 上的射影，M 为AB 的中点，NM 是M 到抛物线准线的垂线，垂足为N ，准线与x 轴的交点为E ，如图：∴△CMD 中，CN=ND ，所以三角形CMD 是等腰三角形， 可得∠CFD=90° ，MN>EF ，可得：∠CMD<90°则△CMD是等腰三角形且为锐角三角形。
2017年泉州市小学毕业班教学质量抽查数学科试卷
2017年泉州市小学毕业班教学质量抽查数学科试卷D⑵共享单车的广泛使用正不断改变人们的出行方式。
目前泉州四个品牌共享单车的投放量已达5.4万辆，其中“哈罗” 单车投放了1.2万辆，比“摩拜” 单车多60%，“摩拜” 单车投放了多少辆？（用方程解答） 解：设⑴奇思看一本《中华诗词集锦》 ，已经看了这本书的52，再看30页后，已看的页数和总页数的比是1︰2。
这本书共几页？比例尺2. 图形①②③中：（1）（ ）是正方体的平面展开图，请写出两个相对的面:（ ）和（ ）； （2）（ ）不是正方体的平面展开图，请移动此图中一个正方形，使该图是正方体的平面展开图（在方格纸上画出来，标上字母）。
1.只列式不计算。
2.小希在同一时刻测量了直立在太阳下的四根竹竿的影长，结果如下：如果小希在这一时刻测得一根竹竿的影长为0.9米。
那么，这根竹竿的的高度是多少？3. 李叔叔驾车以75千米/小时的速度在公路上行驶，前方出现限速60千米/小时的标志，如果他保持原速继续行驶，他将受到扣几分的处罚？竹高（米） 0.2 0.5 0.8 1影长（米） 0.4 1 1.6 2五、解决问题。
（4+4+4+6+4+4，共26分） 得 分 评卷人《道路交通安全法实施条例》规定： 超速50%以上扣12分；超速20%以上未达50%扣6分；超速未达 20%扣3分。
① ②4. 下面数据是一组同学参加数学测试的成绩（单位：分）：86，89，84，57，68，70，76，95，88，96，87，100，66，73（1）请根据上面记录的数据填写表格。
（2）计算出该小组的优秀率（85分以（3）你认为该小组的平均成绩在哪个上为优秀）和及格率（60分以上为分数段?请说明理由。
及格）。
（百分号前面保留两位小数）5.小华星期天请6位同学来家做客，他购买了一盒长方体包装的果汁饮料招待同学（如图1），给每个同学倒上一满杯后（如图2），他自己还能喝到果汁饮料吗？（请说明理由）图1 图26.有大、小两筐梨子。
2017年福建省泉州市初中学业质量检查数学试题参考答案及评分标准(初定稿)20170516
数学试题参考答案及评分标准
说明： （一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分． （二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原 则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分． （三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数． 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1．A 2．D 3．D 4．B 5．C 6.B 7．C 8．C 9．A10．D 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11．
（3）解法一：列表如下:
女1 女1 女2 女3 男1 男2 --女 1女 2 女 1女 3 女 1男 1 女 1男 2 女2 女 2女 1 --女 2女 3 女 2男 1 女 2男 2 女3 女 3女 1 女 3女 2 --女 3男 1 女 3男 2 男1 男 1女 1 男 1女 2 男 1女 3 --男 1男 2 男2
12 3 ．…………………………第 2 页共 6 页
22． （本小题 10 分） 解： （1）设甲种图书的单价是 x 元,则乙两种图书的单价是 1.5 x 元, …………………………1 分 依题意得：
360 360 4, ……………………………………………………………………4 分 x 1.5 x
∴ CDB ADC ADB 150 60 90 ，……………………………………………6 分 ∵ DC 4, ∴ BC
∵ AB
DC 2 DB2 42 32 5, …………………………………………………………8 分
参考答案 第 1 页共 6 页
解得： x 30 经检验 x 30 是原方程的解，且 x 30 ， 1.5x 45 符合题意. ………………………………5 分 答：甲种图书的单价是 30 元,则乙两种图书的单价是 45 元．…………………………………6 分 （2）设乙种图书能买 m 本， 依题意得： 45m 30(100 m) 3500, …………………………………………………………8 分 解得： m
福建省泉州市2017届高三第二次质量检查理科数学试卷-答案
由抛物线的定义，可知 等于点 到 的准线的距离．2分
又因为点 到 轴的距离比 小1，
所以点 到 轴的距离比点 到抛物线准线的距离小1，3分
故 ，解得 ，
所以 的方程为 ．4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 的焦点为 ，设直线 的方程为 ， ， ．
则 ．5分
联立方程组 消去 ，
在点 处的切线方程均为 ．由导数的概念，可知当 或 时，曲线 与
直线 交于两点，必与曲线 交于两点，故答案为（D）．
解法二：方程 显然有一个根 ．
若满足在去心邻域 存在非 的根则符合题意．
又因为对于区间 （其中 为任意充分小正数）， （ 表示等价无穷小），
故去心邻域 中，方程等价为 ，
所以 取遍去心邻域 ，
（Ⅱ）联立方程 得 ．7分
联立方程组 ，可得 ，
所以 ．9分
又 ，所以 ．10分
23．解：（Ⅰ）当 时， ．1分
当 时，可得 ，解得 ．2分
当 时，因为 不成立，故此时无解；3分
当 时，由 得， ，故此时 ．4分
综上所述，不等式 的解集为 ．5分
（Ⅱ）因为 ，6分
要使关于 的不等式 有解，只需 成立即可．7分
因为 ，
所以 ，
故 ， ，
所以 ，7分
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ，8分
又因为 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ，
所以 为二面角 的平面角，9分
所以 ，
所以 ，解得 ，10分
设 ，则 ，
解得 或 （不合，舍去），11分
又 平面 ，
所以 是三棱锥 的高，