周期信号的频谱分析——傅里叶级数
Signal_2_周期信号的频谱
3
§2.1 时域分析到变换域分析：
• 时域分析： • 频域分析：－－－傅里叶变换，自变量
为 j • 复频域分析：－－－拉氏变换, 自变量为
S = +j
4
信号的频域分析 时域分析与频域分析的关系
幅值
信号频谱X(f)代表了信号 在不同频率分量成分的大 小，能够提供比时域信号 波形更直观，丰富的信息。
17
二、周期函数的复指数级数
e j0t cos0t j sin 0t
cos0t
1 2
(e
j0t
e j0t
)
f (t) a0
AnCOS(n0t n ) a0
A e 1
j (n0t n )
2n
n1
n1
A e 1
j (n0t n )
2n
A e e 1
jn jn0t
2n
n1
n
Cne jn0t n
33
两种频谱图的特点
三角形式、复指数形式实质是一样的： C-n引入了负频率变量，没有物理意义，只是
数学推导；负频率和正频率，各占一半，合起 来才表示一个振荡分量。 An 是实函数，三角形式是单边频谱.但就数学 关系式而言， An是偶函数；φn是奇函数 Cn 一般是复函数，复指数形式是双边频谱
时域分析
频域分析
5
一、三角形式的傅里叶级数:
满足狄里赫利条件下，任意周期信号
f (t) a0 (an cos n0t bn sin n0t) n1
直流
基波分量
分量
n =1
谐波分量
n>1
0
信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
周期信号的傅里叶级数分析
第9章周期信号的傅里叶级数分析9.1已知周期半波余弦信号和周期全波余弦信号的波形分别如图所示，用MATLAB编程求出它们的傅里叶系数，绘出其直流，一次，二次，三次，四次及五次谐波叠加后的波形图，并将其与原周期信号的时域波形进行比较，观察周期信号的分解与合成过程。
实验代码如下：% 观察周期余弦半波信号的分解和合成% m:傅立叶级数展开的项数display('Please input the value of m (傅立叶级数展开的项数)');m=input('m = ');t=-2.5*pi:0.01:2.5*pi;t1=-0.5*pi:0.01:0.5*pi;n=round(length(t)/5);f=[cos(t1)';zeros(n-1,1);cos(t1)';eros(n-1,1);cos(t1)'];y=zeros(m+1,max(size(t)));y(m+1,:)=f';subplot((m+2),1,1)plot(t/pi,y(m+1,:));grid;axis([-2.5 2.5 -0.5 1.5]);title('期半波余弦信号'); xlabel('t/pi','Fontsize', 8);x=zeros(size(t)); kk='1';%计算系数syms tx nT=2*pi;fx=sym('cos(tx)');Nn=30;an=zeros(m+1,1);bn=zeros(m+1,1);A0=2*int(fx,tx,-T/4,T/4)/T;An=2*int(fx*cos(2*pi*(n+eps/2)*tx/T),tx,-T/4,T/4)/T;Bn=2*int(fx*sin(2*pi*(n+eps/2)*tx/T),tx,-T/4,T/4)/T;an(1)=double(vpa(A0,Nn)); an(2)=0.5;for k=2:man(k+1)=double(vpa(subs(An,n,k),Nn));bn(k+1)=double(vpa(subs(Bn,n,k),Nn));end%计算直流分量pause;x=an(1)*cos(0*t)/2;plot(t/pi,y(m+1,:));hold on;plot(t/pi,x);grid;hold off;axis([-2.5 2.5 -0.5 1.5]);title('直流分量');xlabel('t/pi','Fontsize', 8);%各次谐波叠加for k=1:mpause;x=x+an(k+1).*cos(k*t);y(k,:)=x;subplot((m+2),1,k+1);plot(t/pi,y(m+1,:));hold on;plot(t/pi,y(k,:));hold off;grid;axis([-2.5 2.5 -0.5 1.5]);title(strcat('第',kk,'次谐波叠加'));xlabel('t/pi','Fontsize', 8);kk=strcat(kk,'、',num2str(k+1));end pause;subplot((m+2),1,m+2)plot(t/pi,y(1:m+1,:));grid;axis([-2.5 2.5 -0.5 1.5]);title('各次谐波叠加波形');xlabel('t/pi','Fontsize', 8);% End% 观察周期余弦全波信号的分解和合成% m:傅立叶级数展开的项数display('Please input the value of m (傅立叶级数展开的项数);t = -2.5*pi:0.01:2.5*pi;t1=-0.5*pi:0.01:0.5*pi-0.01;n = round(length(t)/5);f = [cos(t1)';cos(t1)';cos(t1)';cos(t1)';cos(t1)';0];y = zeros(m+1,max(size(t)));y(m+1,:)=f';subplot(m+2,1,1)plot(t/pi,y(m+1,:));grid on;axis([-2.5 2.5 -0.2 1.2]);title('周期全波余弦信号');xlabel('t/pi','Fontsize', 8);x=zeros(size(t));kk = '1';%计算系数syms tx nT=pi;fx=sym('cos(tx)');Nn=32;an=zeros(m+1,1);bn=zeros(m+1,1);A0=2*int(fx,tx,-T/2,T/2)/T;An=2*int(fx*cos(2*pi*(n+eps/2)*tx/T),tx,-T/2,T/2)/T;Bn=2*int(fx*sin(2*pi*(n+eps/2)*tx/T),tx,-T/2,T/2)/T;an(1) = double(vpa(A0,Nn));for k=1:man(k+1)=double(vpa(subs(An,n,k),Nn));bn(k+1)=double(vpa(subs(Bn,n,k),Nn));End%求直流信号pause;x=an(1)*cos(0*t)/2;subplot(m+2,1,1)plot(t/pi,y(m+1,:));hold on;plot(t/pi,x);grid on;hold off;axis([-2.5 2.5 -0.2 1.2]);title('周期全波余弦信号');xlabel('t/pi','Fontsize', 8);%各次谐波叠加for k=1:mpause;x=x+an(k+1).*cos(2*k*t);y(k,:) = x;subplot(m+2,1,k+1) plot(t/pi,y(m+1,:));hold on;plot(t/pi,y(k,:));hold off;grid on;axis([-2.5 2.5 -0.2 1.2]);title(strcat('第',kk,'次谐波叠加')); xlabel('t/pi','Fontsize', 8);kk = strcat(kk,'、',num2str(k+1)); end pause;subplot(m+2,1,m+2)plot(t/pi,y(1:m+1,:));grid on;axis([-2.5 2.5 -0.2 1.2]);title('各次次谐波叠加波形'); xlabel('t/pi','Fontsize', 8);% End实验截图如下：9.2试用MATLAB编程出题9.1中所示周期信号的幅度频谱，要求交互输入信号周期观察分析周期信号与频谱的关系。
傅里叶级数及频谱
三角形式的傅里叶级数 周期信号可表示为
x(t ) = x(t + mT )(m = 0,±1,±2,L)
任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下， 数线性组合的无穷级数。 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或指数 函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数” 函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级数”。
∫
T0 2 T − 0 2
x (t )d t
2 an = T0
bn 2 = T0
∫
∫
T0 2 T − 0 2
x ( t ) c o s n ω 0 td t
x (t ) s in nω 0td t
T0 2 T − 0 2
T0 T0 ~ 以上各式中的积分限一般取： 以上各式中的积分限一般取： 0 ~ T0 或 − 2 2 三角形式的傅里叶级数也可表示成： 三角形式的傅里叶级数也可表示成：
( n = 2 , 4 ,6 L ) ( n = 1,3,5 L )
可见，在奇谐函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次 谐波的正弦、余弦分量，而不会包含直流和偶次谐波分量。
（4）偶谐函数 ）
T1 f (t ± ) = f (t ) 2 f (t )
L
T1 T1 − − 2 4 T1 4 T1 2
L
0t
这就是傅立叶级数的指数形式
0
1 ∞ x (t ) = ∑ An e jϕ n e jn ω 0 t = 2 n = −∞
n = −∞
∑ X (nω
∞
)e
jn ω 0 t
1 X (nω 0 ) = An e jϕn 2
2 an = T0 ∫ 可求得如下
信号与系统第三章-周期信号的傅里叶级数表示
一. 连续时间傅里叶级数
成谐波关系的复指数信号集:
k(t) { ejk 0 t}k 0 , 1 , 2 ,
其中1. 每个信号都是以 2 为周期的.
2.公共周期为
2 0
k 0
，且该集合中所有的信号都
是彼此独立的。
若将信号集 k (中t ) 所有的信号线性组合起来
有 x(t) akejk0t, k0,1 , 2
——傅里叶级数的三角函数表示式
若令 ak Bk jCk 则
x (t) a 0 1(B k jC k)e jk 0 t (B k jC k)e jk 0 t
k
k 1
a 0 (B k jC k)e jk 0 t (B k jC k)e jk 0 t k 1
ak* ak
k1
a k * a k A k e jk A k e j k
即： Ak Ak
k k
结论： 若 x ( t ) 是实信号,则有：
a k 的模关于k 偶对称，幅角关于 k 奇对称。
x(t)a 0[A kejk0 tejkA kejk0 tejk] k 1
a02 Akcos(k0tk) k1
B kjC kB kjC k
因此 Bk Bk
Ck Ck
结论： 若 x ( t ) 是实信号,则有：
a k 的实部关于 k 偶对称，虚部关于 k 奇对称。
将关系 Bk Bk , Ck Ck 代入，可得到
x (t) a 0 (B k jC k)e jk 0 t (B k jC k)e jk 0 t k 1 a 0 (B kjC k)ejk 0 t (B kjC k)ejk 0 t k 1 a02 B kcosk0tC ksink0t k1
周期信号的频谱分析——傅里叶级数
1 2
an
jbn
F ( n 1 ) T 1 0 T f( t) c o s n 1 td t jT 1 0 T f( t) s in n 1 td t
1 2
an
jbn
F(n1)F , (n1)是复 数 F n1F (n1)ejn
X
17
第
幅频特性和相频特性 页
幅频特性
F(n1)1 2
c0 1
0 0
c n c 1 2 .24
c0 1
c2 1
0 1 2 1
n
0 . 25
1
0
2 1
0 . 15
c1 52.236 1 0.15
c2 1
2 0.25
X
20
化为指数形式
第
页
f(t)1 1 ej1t ej1t 2j
2ej1t ej1t 1e2j1t4 e2jn1t4
0.15
2 1 1 0
0.25
1 2 1
0.25
0.15
X
22
三角形式与指数形式的频谱图对比
第
页
三角函数形式的频谱图
c n c 指数形式的频谱图
n
0 . 25
1
0
2 1
0 . 15
cn ~ n ~
关系曲线称为幅度频谱图 关系曲线称为相位频谱图
可画出频谱图
周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性
X
14
第
二．指数函数形式的傅里叶级数 页
1．复指数正交函数集 ejn 1 t n0, 1 , 2
2．级数形式 f(t) F(n1)ejn1t
4
n
3．系数
第三章周期信号的傅里叶级数表
补充例题：
例:对单位冲激响应 h(t) 的 (LtT) I系统，其特征函数，
相应的特征值是什么?
解：Q h(t) (t) 的 LTI 系统是恒等系统，所以任何函 数都是它的特征函数，其特征值为 1。
例:如果一个LTI系统的单位冲激响应为， h(t) (t T)
找出一个信号，该信号不具有 的est形式，但却是
P179作业：9月13日
56
§3.5连续时间傅里叶级数的性质
Properties of Continuous-Time Fourier Series 这些性质的学习，有助于对概念的理解与信号 的展开.
10
② x2 t 不是一个特征函数形式，根据欧拉公式，将
其分解为特征函数的线性组合：
x2 t
cos4t
3
cos7t
3
1 2
e
j 4t
1 2
e
j 4t
1 2
e
j7t
1 2
e
j7t
以上4个特征函数的输出用① 步的方法求出，分别为：
1 e j4t 1 H j4 e j4t 1 e e j12 j4t , 1 e j4t 1 H j4 e j4t 1 e j12e j4t
ak
2T1 T0
Sa k
2
T0
T1
1 8
Sa k
8
k k 8 为第一个零点，对应 8
k0 80 ,0 2 Tak
1 4
Sa k
4
ak
1 8
Sa k
8
3）谱线随参数变化的结论：
ak
2T1 T0
Sak0T1
2T1 T0
Sa k
2
实验四、周期信号的傅里叶级数和频谱分析
实验四、周期信号的傅里叶级数和频谱分析1实验目的1）学会利用MATLAB 分析傅里叶级数展开，并理解傅里叶级数的物理含义； 2）学会利用MATLAB 分析周期信号的频谱特性。
2实验原理及实例分析2.1 周期信号的傅里叶级数（基本原理请参阅教材第四章的4.1节和4.2节。
）例1：周期方波信号)(t f 如图1所示，试求出该信号的傅里叶级数，利用MATLAB 编程实现其各次谐波的叠加，并验证Gibbs 现象。
f(t)t(sec)图1 周期方波信号)(t f 的波形图解：从理论分析可知，周期方波信号)(t f 的傅里叶级数展开式为)9sin 917sin 715sin 513sin 31(sin 4)(00000 +++++=t t t t t t f ωωωωωπ其中，ππω220==T。
则可分别求出1、3、5、9、19、39、79、159项傅里叶级数求和的结果，其MATLAB 程序如下，产生的图形如图2所示。
close all;clear all; clct = -2:0.0001:2; omega = 2 * pi;y = square(2 * pi * t,50); n_max = [1 3 5 9 19 39 79 159]; N = length(n_max); for k = 1:Nfk = zeros(1,length(t)); for n = 1:2:n_max(k) bn = 4 / (pi * n);fk = fk + bn * sin(n * omega * t); endfigure; plot(t,y,t,fk,'Linewidth',2); xlabel('t(sec)');ylabel('部分和的波形'); String = ['最大谐波数=',num2str(n_max(k))];axis([-2 2 -3 3]);grid; title(String);disp([String,'时，在信号跳变点附近的过冲幅度（%）']);f_max = (max(fk) - max(y)) / (max(y) - min(y)) * 100 endt(sec)部分和的波形最大谐波数=1t(sec)部分和的波形最大谐波数=3t(sec)部分和的波形最大谐波数=5t(sec)部分和的波形最大谐波数=9t(sec)部分和的波形最大谐波数=19t(sec)部分和的波形最大谐波数=39t(sec)部分和的波形最大谐波数=79t(sec)部分和的波形最大谐波数=159图2 例1程序产生的图形程序输出的用于验证Gibbs 现象的数值分别为：13.6620 10.0211 9.4178 9.1164 8.9907 8.9594 8.9484 8.94642.2周期信号的频谱分析（基本原理请参阅教材第四章的4.3节。
信号分析3.01 周期信号的频谱分析——傅里叶级数
时域信号分解 频域信号分解
X
三角傅立叶级数 指数傅立叶级数
频域分析概念
第 第 8 8 页 页
提出以正弦信号或虚指数函数为基本信号进行信号 分解,从而引出信号的频域分析. 其思想:任意复杂的激励信号可分解为一系列不同幅 值、不同频率的正弦信号或虚指数信号的线性组合. 引出傅立叶变换概念 对周期信号
三维空间矢量 类 比
正交矢量集
C
2
A C1 A1 C2 A2 C3 A3
分解 正交函数集
A3
A2
A
C C
3 1
A1
2.信号空间
f (t )
c
j 1 j
j
(t )
n维空间
X
3.正交函数集
n个函数i(t) （i=1，…，n），若在区间( t1，t2)上满足:
1 t 0 T 积分限为-T/2 直流分量 a0 f (t ) d t 到T/2行吗? t0 T 2 t 0 T 余弦分量的幅度 an t f (t ) cosn 1t d t T 0 2 t 0 T 正弦分量的幅度 bn f (t ) sinn1t d t T t0
bn An sin n
bn n arctan a n
f (t ) a0 [ An cos n cos( n1t ) An sin n sin( n1t )]
余弦形式
, bn , An , n随变量nw1变化，是nw1n的函数 信号的频域分析 n an
f (t )
画波形
A
O
T t
A
f (t ) A(sin t 1 sin 3t 1 sin 5t ) 3 5
周期信号傅里叶级数
分析公式 （正变换）
连续时间傅里叶级数对：
称为傅里叶系数或频谱系数
综合公式 （反变换）
3.三角形式傅立叶级数
若 f (t)为实函数，则有 利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为 令 由于C0是实的，所以b0=0，故 由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
傅里叶系数 连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
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四、周期信号的功率谱
周期信号属于功率信号，周期信号f(t)在1欧姆电阻上消耗的平均功率为：
单击此处添加小标题
由下面关系可以推导出，帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理：
单击此处添加小标题
01
02
四、周期信号的功率谱
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。
[解] 周期矩形脉冲的傅立叶系数为
将A=1，T=1/4，=1/20，w0=2p/T=8p 代入上式 功率谱
信号的平均功率为 包含在有效带宽(0~2p/t)内的各谐波平均功率为 周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功率之和占整个信号平均功率的90%。
求f (t)的功率。
第七-2章周期信号的傅里叶级数
由积分可知
T
2 T
cos
n1t
sin
m1t
dt
0
2
T 2 T 2
cos
n1t
cos
m1t
dt
T , 2 0,
mn mn
T 2 T 2
sin
n1t
sin
m1t
dt
T , 2 0,
mn mn
14
7-2-2 三角形傅立叶级数
f (t ) a0 (an cos n1t bn sin n1t )
j sin n1t]dt
1
1
2 an j 2 bn
17
7-2-2三角形傅立叶级数
通过比较可以得到指数形式的傅里叶系数与三角形式 的傅里叶系数有以下关系：
Fn
1 2
an
j
1 2
bn
Fn
1 2
an2
bn2
1 2
Cn
n
arctan
bn an
Fn Fn
18
【例题7-1】求周期锯齿波的三角形式的傅里叶级数展开式
29
7-3-2周期信号的频谱特性
（3）频谱函数 Fn 的幅度具有收敛性，随着频率增加， Fn 逐渐减小； （4）指数形式的频谱图是双边谱，幅度谱 Fn 是偶函数， 相位谱 n 是奇函数。 （5） Fn 与 f (t) 具有唯一对应性， Fn 包含了信号 f (t) 的 全部信息。
30
➢ 下面求三角形式的傅立叶级数与频谱 根据三角形式傅立叶级数展开形式
2
傅里叶级数的由来
• 对周期信号的研究，最早来自于1748年欧拉 对振动弦的工作。
• 欧拉发现，所有的振荡模式都是x的正弦函数，并 形成谐波关系。
第四章(1)周期信号的傅里叶级数和频谱
1 j n jnt f ( t ) An e e 2 n
1 j n j n 令复数量 2 An e Fn e Fn
，称其为复
Fn
傅里叶系数，简称傅里叶系数。其模为
，
相角为 n ， 则得傅里叶级数的指数形式为 ：
f (t )
n
F e
n
jnt
复傅里叶系数
n 2 , 4 , 6 , 8 ,...... n 1 , 3 , 5 , 7 ,.....
, 0 bn 4 n ,
4
1 1 1 f t [sin t sin3t sin5t .... sinnt ...] 3 5 n
2
0
T 2
2 an 0 T
n 0,1 , 2 , 3,.......
2 bn T 2 T
0
T 2 T 2
f ( t ) si nnt dt
2 T2 (1) si nnt dt T
0
T 2 0
si nnt dt
T 2
2 1 2 1 cosnt cosnt T T n T n 0
a0 an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1 2 其中 an , bn 称为傅里叶系数， 。 T
那么,傅里叶系数如何求得呢?
T 2 T 2
a0 1 2 T
f ( t )dt
T 2 2 an T f ( t ) cos(nt )dt T 2 T b 2 2 f ( t ) sin( t )dt n n T T 2
A0 1 1 j n jnt j n jnt Ane e Ane e 2 2 n 1 2 n 1
实验5 周期信号的傅里叶级数及频谱分析
N = length(n_max) ;
for k=1:N
n = 1:2:n_max(k) ;
b = 4./(pi*n) ;
x = b*sin(omega*n'*t) ;
figure
plot(t,y) ;
hold on
plot(t,x) ;
hold off ;
xlabel('t') ;
ylabel(' 部分和的波形') ;
f (t) A0 An cos(nw0t n ) n1
A0 a0
An an2 bn2
n
arctg
bn an
(n 1, 2, )
a0 A0
bann
Acosn Asinn
(n 1, 2, )
从物理概念上来说，A0是信号f (t)的直流分量, A1 cos(w0t 1)
f (t)e jnw0t , n 0, 1, 2,
2
例1：周期方波信号如图6-1所示，是求出 该信号的傅里叶级数，利用MATLAB编程 实现其各次谐波的叠加，并验证其收敛性
ex6_1.m
理论分析，周期方波信号的傅里叶级数展 开式子为：
4A
1
1
1
f (t) (sin w0t 3 sin 3w0t 5 sin 5w0t 7 sin 7w0t )
Fne jnw0t与Fne jnw0t成对出现
傅里叶系数的幅度 Fn 或随An角频率 的n变w0化关系绘制 成的图形称为信号的幅度谱，而相位 随角n或频n率 变化关系nw绘0 制成图形，称为信号的相位谱。幅度谱 和相位谱统称为信号的频谱，信号频谱是信号的另 一种形式的表示，它提供了从另一个角度来观察和 分析信号的途径。利用MATLAB命令可以对周期 信号的频谱及其特点进行观察验证分析
3.1-2 周期信号的傅里叶级数分析
2 t0 T1 an t0 f (t ) cos n1tdt T1
2 t0 T1 bn t0 f (t ) sin n1tdt T1
an jbn jn1t an jbn jn1t f (t ) a0 e e n1 n1 2 2 F0 Fn e
还得出了关于非周期信号的表示不是成谐波关系的正弦信 号的加权和，而是不全成谐波关系的正弦信号的加权和。和傅 立叶级数一样，傅立叶积分(或变换)仍然是分析LTI系统的最 强有力的工具之一。 当时指定了四位著名的科学家和数学家来评审1807年傅立 叶的论文，其中三位即S.F.拉克劳克斯、G.孟济和P.S.拉普拉 斯赞成发表傅立叶的论文，而第四位J.L.拉格朗日仍然顽固地 坚持他于50年前就已经提出过的关于拒绝接受三角级数的论点。 由于拉格朗日的强烈反对，傅立叶的论文从未公开露过面，为 了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表，在经过了几 次其它的尝试后，傅立叶才把他的成果以另一种方式出现在 “热的分析理论”这本书中。这本书出版于1822年，也即比他 首次在法兰西研究院宣读他的成果时晚15年。
n1
jn1t
Fn e jn1t
n1 jn1t
F0 Fn e
n1
jn1t
Fn e
n1
又有
F0 Fn e jn1t
n 0
于是，可将上式写成紧凑的形式：
f (t ) Fn e
n
jn1t
（注意n的取值范围与 三角形傅氏级数不同）
到1807年，傅立叶已完成了关于热传理论实质部分的研究， 并于1807年12月21日向法兰西研究院提交了他的研究成果。在 他的研究过程中，傅立叶发现在表示一个物体的温度分布时， 成谐波关系的正弦函数是非常有用的，另外，他还断言“任何” 周期信号都可以用这样的级数来表示！虽然在这一问题上，他 的论述是很有意义的，但是隐藏在这一问题后面的其它很多基 本概念已经被其他科学家们所发现；同时傅立叶的数学证明也 不是很完善的。后来1829年P.L.狄里克雷给出了若干精确的条 件，在这些条件下一个周期信号才可以用一个傅立叶级数来表 示，因此，傅立叶并没有对傅立叶级数的数学理论作出贡献， 然而，他确实洞察出这个级数表示法的潜在威力，并且在很大 程度上正是由于他的工作和断言，才大大激励和推动着傅立叶 级数问题的深入研究。另外，傅立叶在这一问题上的研究成果 比他的任何前驱者都大大前进了一步，这指的是他
周期信号的傅里叶级数分析
实验三周期信号的傅里叶级数分析一、实验目的熟悉连续时间周期信号的傅里叶级数分解原理及方法，掌握周期信号的傅里叶频谱的概念及计算方法，熟悉相应MATLAB 函数的调用格式和作用，掌握利用MATLAB 计算傅里叶级数系数及绘制频谱图的方法。
二、实验原理（一）周期信号的傅里叶级数分析原理按傅里叶分析的原理，任何周期信号都可以用一组三角函数)}cos(),{sin(t n t n ΩΩ的组合表示。
1、三角函数形式的傅里叶级数∑∞=Ω+Ω+=+Ω+Ω+Ω+Ω+=1022110)]sin()cos([2...)2sin()2cos()sin()cos(2)(n n n t n b t n a a t b t a t b t a a t f （1） 式中，n n b a a ,,0称为傅里叶系数。
()dt t f T a TT ⎰-=22012()...3,2,1)cos(222=Ω=⎰-n dt t n t f T a TT n ，(),...3,2,1,)sin(222=Ω=⎰-n dt t n t f T b TT n即可以用一组正弦波和余弦波合成任意的周期信号。
式（1）的三角函数形式傅里叶级数可以写成余弦函数的形式：∑∞=+Ω+=10)cos(2)(n n n t n A A t f ϕ其中：00a A =，22n n n b a A +=,nn n a b arctan -=ϕ 2、指数函数形式的傅里叶分析其中系数3、周期信号的频谱（1）三角函数形式频谱w A n ~关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为相位频谱图（2）指数函数形式频谱 w F n ~关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为相位频谱图（二）周期信号的傅里叶级数的MATLAB 实现例1：试用MATLAB 求如图1所示的周期方波信号的傅里叶级数分解。
解：周期方波信号是一个偶函数，又是一个奇谐函数，因此其傅里叶级数只含有奇次谐波的余弦项，即周期方波信号可以分解为： ()...5,3,1)cos(5.04)cos(244-22=Ω=Ω=⎰⎰-n dt t n T dt t n t f T a TT T T n ， 求傅里叶系数的程序如下：syms t n T;∑∞-∞==n t jn n F t f Ωe )(⎰-=22-Ωd e )(1T T t jn n t t f T F w n ~ϕw n ~ϕy=0.5*cos(n*2*pi/T*t);an=(4/T)*int(y,-T/4,T/4);运行结果为：an=2*sin(1/2*pi*n)/pi/n则此周期方波信号可以分解为：）（,...5,3,1)2sin(2,0===n n n a b n n ππ 将其展开为三角函数形式的傅里叶级数：,...)3,2,1()cos(2sin 2)(...])5cos(51)3cos(31)[cos(2(12==-+-=∑∞-=j nwt n n t f wt wt wt t f j n πππ） 例2：根据例1的结果，试用正弦信号的叠加近似合成一频率为50Hz ，幅值为3的方波。
3.2.1 周期信号的频谱周期信号的频谱分析——傅里叶级数
4
狄利克雷（Dirichlet）条件 条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个；
条件3:在一周期内，信号绝对可积;
5
狄利克雷（Dirichlet）条件1:例1 不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期 为8，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一 个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8， 但不连续点的数目是无穷多个。
0
1
1
0
1
2 1
2 1
指数形式的频谱图
F n 1
0.15
n
0.5
1.12
1
1.12
0.5
2 1
0.15 2 1
1
0.25
2 1 1
0
1
1
0
0.15
2 1
0.25
21
四．总结
（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
满足离散性，谐波性不满足收敛性，频带无限宽
26
一．频谱结构
f (t ) E
/ 2
脉宽为 脉冲高度为E 周期为T1
T1
/2
T1
t
1. 指数函数形式的谱系数
2. 频谱特点
27
1．指数形式的谱系数
1 F ( n 1 ) T1
1 = T1
jn 1 t
T1
T1
2 2
f ( t )e jn1t d t
bn n tg a n
1
关于的偶函数（实际 n 取正值） 关于的奇函数（实际 n 取正值） 关于的偶函数 关于 的奇函数
实验三 周期信号的频谱分析
实验三 周期信号的频谱分析一、实验目的1、掌握连续时间周期信号的傅里叶级数的物理意义和分析方法；2、观察截短傅里叶级数而产生的“Gibbs 现象”，了解其特点以及产生的原因；3、掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征 二、原理说明：1、连续时间周期信号的傅里叶级数分析任何一个周期为T 1的正弦周期信号，只要满足狄利克利条件，就可以展开成傅里叶级数。
其中三角傅里叶级数为：∑∞=++=1000)]sin()cos([)(k k k t k b t k a a t x ωω 2.1或： ∑∞=++=100)cos()(k k kt k ca t x ϕω 2.2其中102T πω=，称为信号的基本频率（Fundamental frequency ），k k b a a ，和，0分别是信号)(t x 的直流分量、余弦分量幅度和正弦分量幅度，k k c ϕ、为合并同频率项之后各正弦谐波分量的幅度和初相位，它们都是频率0ωk 的函数，绘制出它们与0ωk 之间的图像，称为信号的频谱图（简称“频谱”），k c －0ωk 图像为幅度谱，k ϕ－0ωk 图像为相位谱。
三角形式傅里叶级数表明，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的正弦信号所组成，其中每一个不同频率的正弦信号称为正弦谐波分量 (Sinusoid component)，其幅度（amplitude ）为k c 。
也可以反过来理解三角傅里叶级数：用无限多个正弦谐波分量可以合成一个任意的非正弦周期信号。
指数形式的傅里叶级数为：∑∞-∞==k tjk kea t x 0)(ω 2.3其中，k a 为指数形式的傅里叶级数的系数，按如下公式计算：⎰--=2/2/1110)(1T T tjk k dt et x T a ω 2.4指数形式的傅里叶级数告诉我们，如果一个周期信号x(t)，满足狄里克利条件，那么，它就可以被看作是由很多不同频率的互为谐波关系（harmonically related ）的周期复指数信号所组成，其中每一个不同频率的周期复指数信号称为基本频率分量，其复幅度（complex amplitude ）为k a 。
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
1
∞
f (t) = a0 + ∑(an cos nω1t + bn sin nω1t), n为正整数
n=1
∞
1 直流分量： a 0 = T1
∫
t 0 + T1
t0
f ( t ) dt
2 t0 +T1 余弦分量的幅度：n = ∫ a f (t ) cos(nω1t )dt T1 t0
2 正弦分量的幅度： bn = T1
sin(ω1t )
4 T1 a1 = ∫ 2 f (t) cos(ω1t)dt T 0 1
4 T1 b = ∫ 2 f (t) sin( ω1t)dt 1 T 0 1
cos(2ω1t )
sin(2ω1t )
∞
令：Fn = Fn e
∞
jϕn
1 − jϕn 1 = (an − jbn ) F−n = F−n e = (an + jbn ) 2 2
jnwt 1
f (t) = F0 + ∑Fne
n=1
+ ∑F−ne
n=1
∞
− jnwt 1
= ∑Fne
n=0
∞
jnwt 1
+ ∑Fne jnw1t
n=−∞
−1
周期函数: f (t) =
7
周期信号的复数频谱 F0
complex frequency spectrum
F = Fn n − F = c0 0
1 = cn 2
8
周期信号的功率特性
1 t0 +T1 2 周期信号f (t )的平均功率 : P = f (t ) = ∫ f (t )dt T1 t0
2
第三章§3.2 周期信号的频谱分析——傅里叶级数
T
2 T 2
T , cos n 1 t cos m 1 t dt 2 0, T , sin n 1 t sin m 1 t dt 2 0,
m n m n m n m n
X
T
2 T 2
请画出其幅度谱和相位谱。
化为余弦形式
f (t ) 1 π 5 cos( 1 t 0 . 15 π ) cos 2 1 t 4
c0 1
三角函数形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
cn
c1
0 0
5 2 . 236
n
2 . 24 c2
a n
j bn
T
T 0
f ( t ) co s n 1t d t j
T
1 T
T 0
f ( t ) sin n 1t d t
1 T
f ( t )e
0
j n 1t
dt
t 0 T1 t0
因 此 F n 1
1 T
f (t ) e
j n 1t
n
j n 1t
n 0 , 1, 2
jn 1t
f (t )
F (n 1 ) e
4
a
n 1
n
co s n 1t b n sin n 1t
利用欧拉公式
sin n 1 t
co s n 1 t
周期信号
周期信号: 定义在区间 ( , ) ，每隔一定时间 T ，按相同规律重 复变化的信号，如图所示 。它可表示为
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2．奇函数 f ( t ) f ( t )
1 a0 T
第 第
19 19 页 页
T 2 T 2
T 2 T 2
f (t ) d t = 0
f (t )
T
O 1
1 T
t
2 a n f ( t ) cosn 1t d t 0 T 4 T2 2 T bn f ( t ) sinn 1t d t 0 f ( t ) sinn 1t d t 0 T T 0
1 1 Fn F ( n 1 ) an jbn jbn 2 2
傅里叶级数中无余弦分 量，F (n1 )为虚函数。
X
第 第
3．奇谐函数
若波形沿时间轴平移半 个周期并相对于该轴上 下反转，此时波形并不 发生变化：
T f (t ) f t 2
j n1t
dt
也可写为 Fn
1 T1
T1
0
f ( t )e
j n1t
dt
周期信号可分解为指数 信号 e
j n 1 t
的线性组合。
X
四．两种系数之间的关系及频谱图
1 T1 j n1t 利用欧拉公式 F ( n1 ) f ( t )e dt T1 0 1 T1 1 T1 f ( t ) cosn1t d t j f ( t ) sinn1t d t T1 0 T1 0 1 an jbn 2 1 T1 1 T1 F ( n1 ) f ( t ) cosn1t d t j f ( t ) sinn1t d t T1 0 T1 0
X
第 第
P.104
3 3 页 页
f (t )
E 2
T
2E
T 4
O
T 4
T
t
1 1 f (t ) [cos(1t ) cos(31t ) cos(51t ) 3 5 2E 1 ( n 1 ) ( 1) cos[(2n 1)1t ] n 1 2n 1
将 f ( t ) 化为余弦形式 π f ( t ) 1 5 cos(1t 0.15 π) cos(21t ) 4
an 2
2
X
π f ( t ) 1 5 cos(1t 0.15 π) cos(21t ) 4
三角函数形式的傅里叶级数的谱系数 三角函数形式的频谱图
c0 cn cosn1t n
n 1
n 1
指数形式
f (t )
n
F ( n )
1
e
j n 1 t
1 F n1 T1
T1
0
f (t ) e
j n1t
dt
X
(2)两种频谱图的关系
●
第 第
16 16 页 页
三角函数形式： cn ~ ， n ~ 单边频谱
指数函数形式： Fn ~ ， n ~ 双边频谱 1 F ( n1 ) cn n 0 F0 c0 a0 关系 2 偶函数 ● 指数形式的幅度频谱为
F ( n 1 ) F ( n 1 )
●
相位频谱为奇函数 ( n 1 ) ( n 1 )
X
（3）周期信号的频谱是离散谱
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
主要内容
•两种形式的傅氏级数
三角函数形式的傅氏级数 指数函数形式的傅氏级数 两种傅氏级数关系 • 频谱图 •函数的对称性与傅里叶级数的关系
第 第 1 1 页 页
X
一．背景
J. Fourier
(1768-1830)
第 第 2 2 页 页
1807:
1822:发表“热的分 析理论”提出并证 明了将周期函数展 开为正弦级数的原 理，奠定了傅里叶 级数的理论基础。
X
第 第
五．函数的对称性与傅里叶级数的关系
1. 偶函数
f (t ) f ( t )
18 18 页 页
f (t )
E
O 1 1 F n F ( n 1 ) an jbn an 2 2
F ( n 1 )为实函数。
T T t
bn 0
n 0
傅里叶级数中不含正弦 项，只含直流项和余弦 项。
n
0.25 π
第 第
13 13 页 页
c0
1
c2
1
1
1
O
0 .15 π
O
指数形式的频谱图 F n 1
0.5
2 1
2 1
n
0.15 π
2 1
1.12
1
O
1.12
0 .5
2 1
0.25 π
2 1 1
1
1
1
O
0 .15 π
21
0.25 π
1. 复指数正交函数集 2. 级数形式 f ( t )
j n 1 t F ( n ) e 1
10 10 页 页
e
j n1t
n 0, 1, 2
3 - 10
( 3 11)
3. 系数 1 F ( n1 ) T1
n
t 0 T1
t0
f (t ) e
f (t )
20 20 页 页
T
O T 2
T
t
f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即
a0 0
n 2,4,6时 an bn 0
X
第 第
4．偶谐函数
T1 波形移动 与原波形 2 重合，称为偶谐函数。 T
T1 f t f t 2
f (t )
X
第 第
小结
（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 （2）两种频谱图的关系 （3）周期信号的频谱是离散谱 （4）引入负频率
14 14 页 页
X
第 第
(1)傅里叶级数的两种形式
三角形式
15 15 页 页
f ( t ) a0 an cosn 1t bn sinn 1t
解： 由 f ( t ) 的表达式可知
2 1 2 1
π 已知 f ( t ) 1 sin 1t 2 cos 1t cos(21t )， 4 试画出其幅度谱和相位谱。
a0 1, a1 2, b1 1
c1 a b 5 2.24 1 bn 1 tan 1 , 1 arctan( ) 0.15 ,
( 3 2)
( 3 3)
( 3 4)
X
第 第
3. 其他形式
7 7 页 页
f ( t ) a0 an cosn1t bn sinn1t
余弦形式
n 1
(3 - 5) n 1 b n 2 2 c0 a0 , cn an bn , n arctan a n an cn cos n bn cn sin n
周期信号可分解为直流 ，基波（ 1 ）和各次谐波 （n 1 : 基波角频率的整数倍） 的线性组合。
X
f ( t ) c0 cn cosn1t n
正弦形式 (见教材P.95)
第 第
4. 幅频特性和相频特性(频谱图)
8 8 页 页
cn ~ 关系曲线称为幅度频谱图； n ~ 关系曲线称为相位频谱图。
第 第
17 17 页 页
谐波性：（离散性）， 频率只出现在 nω1处
(4)引入负频率
对于双边频谱，负频率 ( n 1 ) ，只有数学意义，而无 物理意义。为什么引入负频率?
f t 是实函数，分解成虚指 数，必须有共轭对 e j n1 和e－j n1，才能保证 f ( t )的实函数的性质不变。
21 21 页 页
T1 O 2 T1 2
T1
1
t
2 1 T1
f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波 分量
n 1,3,5时
an bn 0
X
第 第
11 11 页 页
1 an j bn 2
F (n1 ), F ( n1 )是复数
F n1 F (n1 ) e j n
X
幅频特性和相频特性
幅频特性 相频特性
an bn
1 2 1 2 F ( n 1 ) a n bn c n 2 2 bn n arctan a n
n 1
3 - 1
称上式为三角形式的傅里叶级数 三角函数集
2.如何求系数?
X
f ( t ) a0 an cosn1t bn sinn1t
n 1
第 第 6 6 页 页
1 t0 T1 f (t ) d t 直流分量 a0 T1 t0 余弦分量的幅度 2 t0 T 1 an f ( t ) cosn1t d t T1 t0 正弦分量的幅度 2 t0 T1 bn f ( t ) sin n t dt 1 T 1 t0
第 第
12 12 页 页
关于的偶函数 (实际 n 取正值) 关于的奇函数 (实际 n 取正值) F ( n 1 ) F ( n 1 )
X
F ( n1 ) 关于的偶函数
n1 关于 的奇函数
例
三角函数形式的频谱图 c n c1
2.24
π f ( t ) 1 sin 1t 2 cos 1t cos 21t ， 4
X