结构力学3静定结构的内力分析

结构力学
第三章 静定结构的内力分析
求解内力之前，通常先确定支座反力，未知支反力可任意假 设正方向。若计算结果为正，则表示支反力的实际方向与假设方 向相同；反之，则表示实际方向与假设方向相反。 求出支座反力后，为避免以后计算过程中误判支反力方向， 一般用括号中的箭头标明其实际方向，如计算得实际支反力向上， 则在求得的支座反力后采用“（↑）”标注。 【例3.1】试求图(a)伸臂梁截面D弯矩M D 、截面A右侧的剪力 FQA右 。 2kN 2kN 2kN/m 2kN/m 【解】(1)求支反力 A D E B D F 绘出该梁受力 C F F 2m 1m 图，如图3.3(b)所 1m 2m 示。对A点处取力 FRB 4 2 5 2 3 0.5 0 MA 0 矩平衡方程
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第三章 静定结构的内力分析
弯矩、剪力、分布荷载集度之间的积分关系求截面内力
梁段上从左向右依次有A、B两点，若FQA、MA已知，计算B点的FQB、MB.。 dFQ ( x) dFQ ( x) q( x)dx; q( x), A B dx B
B B
dFQ ( x) q( x)dx, FQ B FQ A A q( x)dx; A A A、B两点间分布荷载图形的面积 同理，由 B dM ( x) M B M A FQ ( x)dx; FQ ( x), A dx
本章小结
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第三章 静定结构的内力分析
3.1 单跨静定梁的内力分析
梁是以受弯为主的结构，以承受竖向荷载为主。静定梁可分为单跨静定梁 和多跨静定梁。单跨静定梁为单杆结构，其全部支座反力和内力都可用静力平 衡方程求出。 常见的单跨静定梁形式包括简支梁、斜梁、悬臂梁和伸臂梁等，如图3.1 所示。在建筑结构中，窗台上的过梁属于简支梁；楼梯梁属于斜梁；雨棚属于 悬臂梁；阳台上的挑梁属于伸臂梁。


弯矩——截面上内力对截面形心的合力矩。 “下凸上凹为正，反之为负”。 弯矩M的数值等于截面任一边所有外力对该截面 形心之矩的代数和。 M mo ( Fi ) 铰支座竖向反力—— mB ( Fi ) 与所求反 力力矩方向相反的外力矩符号规定为正。 FRA

m
B
( Fi )
l
河南理工大学万方科技学院
dM ( x ) FS ( x ) dx
d 2M ( x ) q( x ) 2 dx
3）区段叠加法。求出梁某段两侧截面上的弯矩值，用虚直线 连接两截面上的弯矩值，然后以它为基线，叠加上该段在所受 荷载单独作用下的相应简支梁的弯矩图，即得该段梁的弯矩图。
通常先选取梁的端点和梁上的外力不连续点（如集中力、 集中力偶作用点，分布荷载作用的起点和终点等外力变化的截 面）作为控制截面，并求出各控制截面上的内力值，然后由内 力变化规律及区段叠加法绘出内力图。
MC
2kN
2kN C FBy
图3.3 例3.1图
2kN/m A C FAy
2kN/m MA FQA右
(d)
FNA A FAy
F
②求A右侧截面的剪力 由AC梁段的受力图
FQA FAy 2 1 2.75kN
(3)应用截面法应注意以下问题： ①优先选取受力较为简单的部分作为隔离体。 ②隔离体的受力图上，约束力要符合约束性质，未知内力按正方 向标注；链杆仅有轴力，梁式杆件有轴力、剪力和弯矩。 ③应熟练掌握平衡方程的列法，尽量避免求解联立方程。
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第三章 静定结构的内力分析
3.1.2 内力图与荷载间的关系 工程中通常采用内力图表示结构在外荷载作用下的受力状 态。表示杆件上各截面内力沿杆轴线变化规律的图形称为内力 图。一般以杆件轴线为内力图基线，以垂直于基线的竖标表示 对应位臵处的内力值。如例3.1中所示结构各截面弯矩和剪力 的竖标表示方法分别如图3.4(a)、(b)所示。
2 kN·m
2.75 kN
A C
D 0.5 kN·m B E
C -2 kN
A
D -1.25 kN B E
(a) MB和MD在弯矩图中的竖标 (b) FQA左、FQA右和FQD在剪力图中的竖标 图3.4 内力竖标表示方法
将杆件上所有截面的内力求出，并用竖标绘在相应基线上， 再将所有竖标相连，可得相应的内力图。内力图中的轴力图和剪 力图可绘制在杆件的任意侧，并标注正负号以表明力的正负；弯 矩图无需标注正负号，但必须绘制在杆件截面上纤维受拉侧。
结构力学
第三章 静定结构的内力分析
河南理工大学万方科技学院
结构力学 土木工程指导性专业规范系列教材
第三章 静定结构的内力分析
主编：文国治
副主编：陈名弟
2013年12月8日
出版社
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第三章 静定结构的内力分析
第3章
静定结构的内力分析
教学基本要求：灵活运用截面法、内力图与荷载间的关系及 区段叠加法绘制杆件的内力图；熟练掌握静定梁和静定刚架内力 图的绘制方法；熟练掌握静定平面桁架结构轴力的计算方法，能 利用特殊结点的静力平衡条件判断零杆和等力杆；掌握静定组合 结构的受力特点及内力计算方法；掌握三铰拱支座反力及指定截 面内力的计算方法；了解三铰拱在几种常见荷载作用下的合理拱 轴线。 重点： 内力图特征；绘制单跨和多跨静定梁、静定平面刚 架的内力图，这是本课程最重要的基本功之一。
FAx 0 C FAy 4.75 kN() 1m
ຫໍສະໝຸດ Baidu
FBy 3.25kN()
MC
(a)
(b)
D D (2)求指定截面内力 FNC FNC FQC右 FQC右 ①求截面D的弯矩 FBy (c) 绘DBE梁段的受力图,如图3.3(c)。 M D FBy 2 2 3 0.5kN m
河南理工大学万方科技学院
结构力学 第三章 静定结构的内力分析 弯矩、剪力、荷载集度间的关系在内力图绘制中的应用(梁内力图特征) q=0 梁段 q=c 梁段 F作用截面 m 作用截面
梁 外
力
剪 力 图
弯 矩 图
q(x)=0梁段：剪力图
为平行线。弯矩图为 斜直线。
q(x)=常量梁段：剪力图
为斜直线;弯矩图为二次 曲线 FS=0的截面：弯矩M有极 值。
N Q N Q
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第三章 静定结构的内力分析
内力计算法则（直接法求内力）及符号规定： 轴力——截面上沿杆件轴线方向的内力合力。 “拉力为正，压力为负”。 轴力FN的数值等于截面任一边所有外力在梁 FN Fix 轴线方向投影的代数和。 剪力——截面上沿杆轴法线方向的内力合力。 “顺时针旋转为正，反之为负”。 剪力FQ的数值等于截面任一边所有外力在与梁轴 线垂直方向投影的代数和。 FQ Fiy
受力 情况
剪力图 弯矩图
FP A C l/2 l/2 y B A
A
第三章 静定结构的内力分析
表3.1 梁杆内力图特征 无外力区段 水平线 斜直线
均布荷载 作用区段
斜直线 抛物线
C B
B
集中力 作用处
突变 转折
FP /2 x A C
集中力偶 作用处
无变化 突变
B FP /2
(a)简支梁
FP l 4 (b)
(a) 简支梁
(b) 斜梁 (c) 悬臂梁 图 3.1 单跨静定梁的结构形式
(d) 伸臂梁
单跨静定梁内力分析和内力图绘制方法，是其他静定结构内力分析和内力 图绘制的基础。因此本节在材料力学等课程的基础上，进一步深入讨论单跨静 定梁内力图的绘制方法，包括截面法、内力图与荷载间的关系和区段叠加法。
河南理工大学万方科技学院
图3.6 根据弯矩图绘剪力图（水平杆）
(b) 剪力轮廓图 图3.8 例3.2图
6 1 2 3 4 5
7 8 9
10 11
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第三章 静定结构的内力分析
3.1.3 用区段叠加法快速绘制任一杆段的弯矩图
若某杆件内任一杆段两端弯矩为已知时，可利用简支梁弯矩图的叠加法 快速绘制该杆段的弯矩图，称为区段叠加法。 叠加原理：对于小变形线弹性结构而言，所有荷载产生的总效应（内力 和变形等）等于各种荷载单独作用产生效应的代数和。 图3.10(a)所示简支梁，两端作用集中力偶跨间布满均匀荷载，该梁弯矩 图可视为两部分之和：仅在集中力偶作用下的弯矩图(如图3.10(b)所示)和仅 在均匀荷载作用下的弯矩图(如图3.10(c)所示)。在叠加集中力偶和均匀荷载 的弯矩时，首先用虚线将 M i 和 M j 相联，以此虚线为新的基线，叠加均布 荷载作用下的弯矩图，即在虚线的中点b处将ab线段延长 ql 2 / 8 ，得到c点， 而后用光滑的曲线将d、c、e三点相联，该曲线即为最终的弯矩图(如图 q q Mi Mj Mj Mi Mj 3.10(d)所示)。
A、B两点间剪力图形的面积

如此，可利用积分法从梁左端向右端依次确定各控制截面内力值；按 内力图的特征逐段绘图。 梁端点上的内力值
梁端点 荷载 剪力值 弯矩值 铰支座无 集中荷载 支反力值 零 固定端无 集中荷载 支反力值 反力偶矩 自 无集中荷载 零 由 端 集中力F 集中力偶m 零
F力值
零
零
m力偶矩
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第三章 静定结构的内力分析
内力图的绘制方法 1）内力方程法。列出梁的内力方程，由方程绘制内力图。 2）微分关系法。根据梁上外力把梁分成若干段，由弯矩、剪力 和分布荷载间的微分关系导出的内力变化规律来确定各段内力 图的形状，计算各控制截面上的内力值，绘制梁的内力图。
dFS ( x ) q( x ) dx
难点： 内力与荷载间微分关系同内力图特征间的联系；区 段叠加法绘制弯矩图；选取适当的隔离体和静力平衡方程求静定 平面桁架的轴力。
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第三章 静定结构的内力分析
目录
§3-1 单跨静定梁的内力分析
§3-2 多跨静定梁的内力分析
§3-3 静定平面刚架的内力分析
§3-4 静定平面桁架的内力分析 §3-5 静定组合结构的内力分析 §3-6 三铰拱的内力分析 §3-7 静定结构的一般特性
结构力学
第三章 静定结构的内力分析
3.1.1 用截面法求指定截面的内力 杆件内力主要指截开杆件所暴露出的截面上的力。对于平面 杆件，一般包括轴力、剪力和弯矩三种，如图3.2(b)所示。
q 分析杆件内力最基本的方法是截面法， 其原理是利用静力平衡条件求截面的内力， 主要步骤包括： (a) 简支梁 图 3.2 截面内力 ① 截开截面——即用假想平面或曲 (b) 切开截面后的内力 面沿指定截面将原结构切开一分为二； q q M ② 内力代替——选取截面任一侧结 F 构为隔离体，截开截面暴露出的三种内力 F q 绘制在隔离体受力图截面上； M F ③ 列平衡方程——通过隔离体静力 F 平衡方程求解未知内力。 在列平衡方程求解内力时，需事先确定截面内力的方向， 而此时截面内力为未知力，因此，一般假定截面内力沿其正向 作用，则计算得到的正负号就是该截面内力的正负号。
q(x)=线性函数梁段：
剪力图为二次抛物线; 弯矩图为三次抛物线.
集中力F作用截面：剪 力图发生突变，且突变 值等于该集中力的大小 ；弯矩图出现尖角，且 尖角的方向与集中力的 方向相同。
集中力偶作用截面： 剪力图不变化；弯矩 图发生突变，且突变 值等于该集中力偶的 力偶矩。
河南理工大学万方科技学院
结构力学
M 图
(c) FQ图
当梁段的弯矩图为直线变化时，剪力图为平行线， F F M FP QAC QCA l/2 2 剪力数值大小为M图形的斜率，如上例： 切线水平 【例3.2】试由 图示弯矩图绘 出相应的剪力 轮廓图，其中 区段9-11的弯 矩为二次抛物 线。
(a)弯矩示意图
1 y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
Ax Ay By
FRB
m
B
( Fi )
同理 最后由
F
2 3 3.5 2 1 FAy 4.75kN() 4
x
l

2 5 2 3 0.5 3.25kN() 4
0
FAx 0
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第三章 静定结构的内力分析
2kN/m 2kN/m A C 2m 1m A D D 2m 2m 2kN B 2m 1m 2kN E B 1m E FAx 2kN/m 2kN/m FAx FAy D FAy D FBy 2kN