1信号及其描述

aX ( f ) bY ( f )
3.对称性 若:(时域信号) x(t) X(ƒ) (频域信号)，则 X (t) ↔ x (-ƒ )
4.尺度改变性质 若k为常数，且k>0,则
x(kt) x(kt)e j2ft dt Leabharlann 1j 2 f (kt)
x(kt)e k d (kt)
k
1 X( f ) kk
确定性信号
周期信号 非周期信号
1、周期信号
定义：按一定的时间间隔周而复始重复出现的信号。 x ( t ) = x ( t + nT0 ) n＝±1，±2，±3…
(1)谐波信号，如余弦信号 x ( t ) = 2cos0t
(2)一般周期信号,如方波、三角波。
x(t)
x(t)
0
t
0
t
2、非周期信号 定义：确定性信号中那些不具有周期重复性的信号。
信号的频域描述 ➢ 应用傅里叶级数或傅里叶变换，对信号进行变换（分解）， 以频率为独立变量建立信号幅值、相位与频率的函数关系。 ➢ 频谱图：以频率为横坐标的幅值、相位变化图。 幅值谱：幅值-频率图 相位谱：相位-频率图 ➢ 频域描述抽取信号内在的频率组成及其幅值和相角的大小， 描述更简练、深刻、方便。
相频图
例3：求周期方波的频谱。
x(t) x(t nT0 ), n 1, 2, 3,
x(t )
A
A
(0 t T0 2) ( T0 2 t 0)
x(t)
…
T0
T0
2
2
T0
0
T0
…
t
因x(t)是奇函数，在对称区间积分值为0，所以 a0 0, an 0
bn
2 T0
T0 / 2 T0 / 2
准周期信号 瞬变非周期信号
直接求 傅里叶变换
一、傅里叶变换
1.傅里叶变换及其存在条件
周期信号的傅里叶级数的复指数展开式：
x(t) cne jn0t
n
1
n T
T 2 x(t)e jn0t dt e jn0t
T 2
T 2 x(t)e jn0t dt e jn0t
2 n
T 2
当T→∞时，周期信号相邻谱线间隔
n
n＝1，2，3… n=0 n=-1,-2,-3…
例4：求周期方波的双边频谱。
三、周期信号的频谱图
1、单边频谱
An — 幅频谱 øn — 相频谱
周期信号的单边频谱
2、双边频谱
Cn — 幅频谱
Cn — 相频谱
周期信号的双边频谱
3、实频、虚频图
实频谱图： Recn — 虚频谱图： Imcn —
1.3 瞬变信号
bn
2 T0
T0
2 T0
x(t ) sin
n0tdt
2
正弦分量
若x(t)为偶函数，则 b n ＝0
正、余弦合并后得 x(t) a0 An co（ s n0t n ) （n＝1，2，3…） n1
其中 An＝ an2 bn2
n
arctan
bn an
2.周期信号的单边频谱
幅频图
例3：求周期方波的频谱。
为了避免出现
1
2
将 2 f
代入上式，得
x
(
t
)
X(f
) e j 2 ft df
X ( f )
x ( t ) e j 2 ft dt
傅里叶变换的存在条件：
(1)连续或只有有限个第一类间断点；
(2)有限个极值点；
(3)无限区间上绝对可积，即 x(t) dt ＜
X ( f ) x(t)e dt x(t)(cos 2 ft j sin 2 ft)dt
x(t) sin n0tdt
2 T0
[
0
T0 / 2 ( A) sin n0tdt
T0 / 2 0
A sin n0 tdt]
2 A [ cosn0t
T0
n0
0 T0 / 2
c os n0t n0
] T0 / 2
0
2A
n0T0
[1 cos(n0T0
/
2)
c os(n0T0
/ 2)
1]
4A
n0T0
➢ 测试就是信号的获取、加工、处理、显示记录与分析的 过程。
➢ 测试的任务是按一定的目的和要求，获取与研究任务相 关的有用信息。
1.1 信号的分类与描述
1.1.1 信号的分类
一、确定性信号和非确定性信号； 按信号幅值随时间变化的规律不同，将信号分为确
定性信号和非确定性信号。
（一）确定性信号 定义：能用明确数学关系式或图像表达的信号称为确定
2.瞬变非周期 信号x(的t)频co谱s 2 ftdt j x(t) sin 2 ftdt
X ( f )X RX( f()f)XjXe(I j(ff())f ) X ( f ) e j( f )
X ( f ) f 幅频图 ( f ) f 相频图
瞬变非周期信号的频谱是连续的。
X ( f )
只有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点，均可展开成：
x(t) a0 (an cos n0t bn sin n0t) n1
1 T0
其中， a0 T0
2 T0
x(t)dt
2
常值分量
an
2 T0
T0
2 T0
x(t) cosn0tdt
2
余弦分量
(n=1,2,3…)
若x(t)为奇函数，则 a0 ＝0 an ＝0
lim 1 T /2 x2 (t)dt
T T T / 2
这种信号称为功率信号。 如正弦信号 x（t）＝sint 一般持续时间无限的信号都属于功率信号。
1.1.2 信号的描述方法
时域描述:以时间为自变量来表示信号。 频域描述:以频率为自变量来表示信号。
信号的时域描述 ➢ 以时间为独立变量，描述信号随时间的变化特征， 反映信号幅值随时间变化的关系。 ➢ 波形图：时间为横坐标的幅值变化图。 ➢ 优点：形象、直观。 ➢ 缺点：不能明显揭示信号的内在结构（频率组成关系）。
连续信号的幅值 若离散，则为一般连续信号
若连续，则为一般离散信号
离散信号的幅值 若离散，则为数字信号
三、能量信号和功率信号
若信号在区间（-∞，+∞），满足
x2 (t)dt
则认为能量是有限的，这样的信号称为能量信号。
如矩形脉冲信号、指数衰减信号等。 一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。
若信号在区间（-∞，+∞）的能量无限，但在有限 区间（ t1 ，t 2）的平均功率是有限的，即满足
性信号。
（一）确定性信号 定义：能用明确数学关系式或图像表达的信号称为确定
性信号。
例1： m
A
x(t)
k
0
t
0
x(t) A cos(
k m
t
0
)
例2：正火处理后工件的温度变化。
T(t) T1
T0
0
t
特点：可以用数学关系式表示；
已知某一时刻 t 0，可以确切地知道 x(t 0 ) ； 相同实验条件下得到的信号相同。
准周期信号：由两种以上周期信号合成的，但各周期分量
包括
无公共周期。
瞬变非周期信号：除准周期信号之外的非周期信号。
x(t)
X (t) sin 0t sin 20t
0 t
矩形脉冲信号
谐波信号
确定性信号
周期信号 一般周期信号
准周期信号 非周期信号
瞬变非周期信号
（二）非确定性信号（随机信号）
定义：无法用明确的数学关系式表达的信号。
1.三角式－ cosn0t
复指数式－ e jn0t
2.三角式频率范围0～+∞ ，单边频谱；
复指数式频率范围-∞～+∞，双边频谱。
3.两种频谱是等价的，表示的是同一信号，信号的成分和 信息量没有增减。
单、双边频谱各次谐波幅值和相位间的关系：
幅值：
Cn
＝
1 2
An（n≠0
）
C0 ＝a0 （n＝0）
n 相位：Cn 0
XR( f )
偶函数 奇函数
例：求指数函数
x(t)
et
0
t 0 t <0
( >0) 的频谱。
例：求矩形窗函数 wR (t)
0 (t T 2) wR (t) 1 (T 2 t T 2)
0 (t T 2)
W(f ) T
3
1
T
T
13 TT
2
0
2
f
T
T
瞬变非周期函数的频谱特点：连续性、衰减性、奇偶对称性。
信号时域与频域描述的关系 ➢ 时域描述与频域描述是等价的，可以相互转换， 两者蕴涵的信息相同。 ➢ 时域描述与频域描述各有用武之地。 ➢ 将信号从时域转换到频域称为频谱(specrtrum)分析， 属于信号的变换域分析。 ➢ 采用频谱图描述信号，需要同时给出幅值谱(amplitude spectrun)和相位谱(phase spectrum)。
二、傅里叶变换的主要性质
1.奇偶虚实性 X ( f ) Re X ( f ) jI m X ( f )
Re X ( f )
x(t) cos 2 ftdt
Im X ( f ) x(t) sin 2ftdt
1）若x(t)为实偶函数，则ImX ( f ) =0，而X(ƒ)是实偶函数，即 X(ƒ)= Re X ( f ) ； 2）若x(t)为实奇函数，则 ReX ( f )＝0，而X(ƒ)是虚奇函数， 即X(ƒ)＝Im X ( f ) ；
k>1时，时域尺度压缩，则对应的频宽扩展，且幅值
减小。
k<1时，时域尺度扩展，则对应的频宽压缩，且幅值 增大。
第一章 信号及其描述
本章学习要求：
熟悉信号的分类 掌握信号描述方法，理解信号频谱结构 的概念 利用傅里叶变换求信号的频谱 掌握几种典型信号的频谱
信号无处不在
通信 • 古老通信方式：烽火、旗语、信号灯。 • 近代通信方式：电报、电话、无线通讯。 • 现代通信方式：计算机网络通信、视频电视传播、卫星
传输、移动通信。
2π T0
()
4A
/2
4A
3
4A
5
0 0
30
50
0 0
30
50
幅值谱
相位谱
x(t)
0
周期方波信号的合成
T0 t
周期方波信号的时、频域描述
周期信号频谱的特点
1. 周期信号的频谱是离散谱； 2. 每个谱线只出现在基波频率的整数倍上； 3. 工程上常见的周期信号，其谐波幅值随谐波次数的增 高而减小。因此，在频谱分析中没有必要取次数过高的 谐波分量。
0
2
T
→无穷小，
离散变量 n→0 连续变量 ，求和符号 →积分符号 。
带入上式得
x(t) d ( x(t)e jt dt)e jt
2
1
(
x(t)e jt dt )e jt d
2
X
()
x(t)e jt dt
x(t)
1
X ()e jt d
2
X () 称为 x(t) 的傅里叶变换 x(t) 称为X () 的傅里叶逆变换
周期函数的频谱特点：离散性、谐波性、收敛性。
二、傅里叶级数的复指数函数展开式与双边频谱
利用欧拉公式：x(t) Cne jn0（t n=0,1, 2,…）
n
式中，
Cn
1 T0
T0
2 T0
x(t)e jn0t dt
2
Cn — 幅频谱
Cn — 相频谱
周期信号的双边频谱
周期信号的频谱描述是通过傅里叶级数展开式得到 的，三角函数展开式与复指数函数展开式之间的联系：
如：加工零件的尺寸 机械振动 环境的噪声等
特点：1、不能用确切的数学关系式表示。 2、不能准确表达将来某一时刻的值。如天气变化。 3、实验每次结果都不同。 4、只能用概率统计方法来描述。
二、连续信号和离散信号
按独立变量取值是否连续，
连续信号：独立变量取值连续
信号 离散信号：独立变量取值离散
若连续，则为模拟信号
x(t)e j2 ft dt
x(t)(cos 2 ft j sin 2 ft)dt
x(t) cos 2 ftdt j x(t)sin 2 ftdt
X R ( f ) jX I ( f )
关于f的 关于f的 偶函数 奇函数
X ( f ) XR2( f ) XI2( f )
( f ) arc tan X I ( f )
例1：画出 x(t) x0 cos(0t 0 ) 幅频图和相频图。
幅频图
相频图
例2：画出x(t) 2cost＋cos(2t ) 幅频图和相频图。
4
1.2 周期信号
一、傅里叶级数的三角函数展开式与周期信号的单边频谱
1.傅里叶级数的三角函数展开式
任意周期信号x(t)在区间(-T0/2，T0/2)只要满足：连续或
[1 c os(n0T0
/ 2)]
4A 0
(nπ)
n 1,3,5... n 2,4,6...
x(t) a0 An co（ s n0t n ) n1
频域 A()
x(t)
4A π
s
in
0t
1 3
sin
30t
1 5
sin
50t
4A π
n0
1 sin(2n 2n 1
1)0t
，0
3）若x(t)为虚偶函数，则 ReX ( f ) ＝0，而X(ƒ)是虚偶函数；
4）若x(t)为虚奇函数，则 ImX ( f )＝0，而X(ƒ)是实奇函数。
2.线性叠加性质
若a、b为常数，则
F ax(t) by(t) ax(t) by(t) e j2 ft
a x(t)e j2 ftdt b y(t)e j2 ftdt