控制工程基础第三章
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控制工程基础第三章
特征方程： D(s)=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=0
特征根： 特征方程的根，即D(s)=0的解。
时域分析有关概念----主要概念
3.系统的零点、极点和零极点分布图 Xo(s) = M(s)
闭环零点： 闭环传递函数中M(s)=0的解
Xi (s) D(s)
闭环极点： 闭环传递函数中D(s)=0的解，等价特征根 开环零极点与开环传递函数相对应
f1
稳定性分析 s
s s
n n n
系12 统的特aab征011 方程aba为-223--D -代( s ) a数b a34a 5(0 劳s n 斯a a1 as )76n 稳 1 定 性 a b判n b 121 s 据 a aan 11a a240 aa11aa00aa35
4(s 2) G(s) s2 s
稳定
临界稳定
例 单位反馈系统的开环传递函数如下，判断系统是否稳定？
G(s) s 5 (s 2)
不稳定
稳定性分析----代数(劳斯)稳定性判据
系统的特征方程为 D ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n 0
时域分析有关概念----典型输入信号
1.阶跃(位置)信号
a，t 0 x(t) 0，t 0
a为常数，a =1时为单位 阶跃信号，记为1(t)。
2.斜坡(速度)信号
at，t 0
x(t)
0，t
0
a为常数，a =1时为单位 斜坡信号，记为t·1(t)。
时域分析有关概念----典型输入信号
3.抛物线(加速度)信号
at2，t 0 x(t) 0， t 0
特征根： 特征方程的根，即D(s)=0的解。
时域分析有关概念----主要概念
3.系统的零点、极点和零极点分布图 Xo(s) = M(s)
闭环零点： 闭环传递函数中M(s)=0的解
Xi (s) D(s)
闭环极点： 闭环传递函数中D(s)=0的解，等价特征根 开环零极点与开环传递函数相对应
f1
稳定性分析 s
s s
n n n
系12 统的特aab征011 方程aba为-223--D -代( s ) a数b a34a 5(0 劳s n 斯a a1 as )76n 稳 1 定 性 a b判n b 121 s 据 a aan 11a a240 aa11aa00aa35
4(s 2) G(s) s2 s
稳定
临界稳定
例 单位反馈系统的开环传递函数如下，判断系统是否稳定？
G(s) s 5 (s 2)
不稳定
稳定性分析----代数(劳斯)稳定性判据
系统的特征方程为 D ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n 0
时域分析有关概念----典型输入信号
1.阶跃(位置)信号
a，t 0 x(t) 0，t 0
a为常数，a =1时为单位 阶跃信号，记为1(t)。
2.斜坡(速度)信号
at，t 0
x(t)
0，t
0
a为常数，a =1时为单位 斜坡信号，记为t·1(t)。
时域分析有关概念----典型输入信号
3.抛物线(加速度)信号
at2，t 0 x(t) 0， t 0
控制工程基础第三章参考答案
控制工程基础第三章参考答案1. 请问什么是系统的时滞？系统的时滞是指系统输入与响应之间的时间延迟。
在许多实际的控制系统中，输出变量的改变并不立即反映在系统的输入上，而是有一定的延迟。
这种延迟就是系统的时滞。
2. 请简述控制系统的稳态误差。
控制系统的稳态误差是指在稳态下，输出与期望值之间的差别。
稳态误差可以分为零稳态误差和非零稳态误差。
零稳态误差是指当输入值为常数时，输出值与期望值之间的差别；非零稳态误差是指当输入值为非常数时，输出值与期望值之间的差别。
3. 请解释积分环节在控制系统中的作用。
积分环节在控制系统中的作用是消除稳态误差，尤其对于常量输入的情况。
当系统存在零稳态误差时，引入积分环节可以通过积累误差信号来逐渐减小误差，以达到稳定的目标。
积分环节还可以提高系统的灵敏度，增强系统的抗干扰能力。
4. 请简要说明先行环节的作用。
先行环节是在系统前面加入的一个环节，其作用是预先对输入信号进行处理，以改善系统的性能。
常见的先行环节包括微分环节和预估环节。
微分环节可以提高系统的动态响应速度，并减小系统超调量；预估环节可以通过估计未来的输入值来增强系统的鲁棒性。
5. 请解释滞后环节在控制系统中的作用。
滞后环节在控制系统中的作用是补偿相位滞后，改善系统的相位特性。
它可以有效提高系统的稳定性和抗干扰能力，减小系统的超调量和震荡现象。
滞后环节常用于降低系统的低频增益，使系统在低频段的响应更加平滑和稳定。
6. 什么是校正环节？请简要说明其作用。
校正环节是指在控制系统中用于校正输出与期望值之间差别的环节。
它通过调整系统的增益、相位和延迟等参数，使得系统的输出能够与期望值更加接近。
校正环节起到了提高系统性能、降低误差和稳定系统的作用。
7. 请解释反馈控制在控制系统中的作用。
反馈控制是一种常见的控制策略，它根据系统的输出信号与期望值之间的差别，调整系统的输入信号，以实现期望的控制目标。
反馈控制可以有效补偿系统的非线性特性、时滞和干扰等因素，提高系统的稳定性和鲁棒性。
控制工程基础_第3章时间特性分析法精品文档
除前面分析之外，还有两点值得提出：
1.当输入信号不为单位值时，输入信号的拉氏变换
分别为：
阶跃输入
X(s) R s
斜坡输入 脉冲输入
R X(s) s2 X(s) R
对应于不同输入时的响应分别如下列各式
阶跃输入 斜坡输入 脉冲输入
t
y(t) R(1 e T )
t
y(t) R(t T Te T ) R t
单位斜坡函数的拉氏变换为
1 X(s) s2
代入（3-1）式，可得输出信号拉氏变换为
1
1
Y (s) Ts 1 X (s) s2(Ts 1)
展开成部分分式
Y (s)
1 s2
T s
T
s
1 T
（3-6） （3-7）
取（3-7）式的拉氏反变换，可得
t
y(t) t T Te T
2
s3
图3-4 抛物线信号
该输入信号相当于控制系统中加入一恒加速度变 化的信号，加速度为R，当R=1时，叫做单位抛 物线信号。
4.脉冲信号
脉冲信号如图3-5所示，其数学表达式为
x(t
)
1 h
(0
t
h)
0(t 0, t h)
其中，脉冲宽度为h,脉冲面
积为1。若对实际脉冲的宽
第三章时间特性分析法
时间特性法是分析系统的方法之一，而分析的基础， 是确定系统的数学模型。分析系统的方法，还有频 率特性法和根轨迹法。
控制系统都是在时间域内进行工作的。因此， 时间特性分析法是这些方法中最常用、又是比 较精确的方法，它是通过拉普拉斯反变换求出 系统输出量的表达式，从而提供了时间响应的 全部信息；
控制工程基础3章
零状态响应 随时间的推移(t → ∞)而衰减、趋于零。 (所有Re(si)<0时的自由响应。) t → ∞，仍然存在。 (稳定系统的强迫响应。)
↘强迫响应
Notes:
(1) 几个概念 系统的时间响应－－输入一定时系统输出随时间的变化规律。 时域分析方法－－直接求解微分方程和状态方程，求出时域响应来评价系 统的方法。 零输入响应－－在没有输入(x(t)=0)时，仅由系统的初始状态引起的响应。 零状态响应－－在初态为零时，仅由外部输入(激励)引起的响应。 暂态响应－－是指随时间的增长而趋于零的那部分响应。 稳态响应－－是指暂态消失后，余下的那部分响应。 (2) n 与 si ，既与系统的初态无关，更与系统的输入无关； 它们取决于系统的结构与参数这些固有特性。 (3) 传递函数定义指明系统初态为零，故初态决定的零输入响应为零；从而 对Y(s) = G(s)X(s)进行拉式逆变换 y(t)=L-1[Y(s)]，就是系统的零状态响应。 (4) 对同一线性定常系统，若输入函数等于某函数的导函数x1(t) = x’(t) ， 该输入函数的响应函数，也等于这一函数的响应函数的导函数 y1(t) = y’(t) 。
解I 另可求出 y * F k
1 1 n
2
cost 是满足微分方程(1)的特解。
令λ = ω / ωn，得到微分方程(1)的完全解为：
F 1 y yT y A1 sin nt A2 cos nt cos t (3) 2 k 1
第三章 时间响应分析
本章要点： 1、时间响应及其组成，以及一些基本概念； 2、一、二阶系统的典型信号激励的响应及其计算； 3、评价二阶系统的性能指标；
4、系统的零点对系统的影响。
控制工程基础第三章 系统框图及简化
B
Y(s)
1 G s
X(s)
2.引出点前移
X(s)
A
G(s)
Y(s)
B
X(s)
A
G(s)
G s
Y(s) Y(s)
B
Y(s)
比较点的移动
Ø
将比较点跨越框图移动时，应遵循移动前后总输出量保持 不变的等效原则。 Y s ( X s - X s )Gs
Y s Y1 s Y2 s Y3 s
G1 s G2 s G3 s
并联的补充说明
l
这表明几个环节并联时，可以用一个等效环节去取代， 等效环节的传递函数为各环节传递函数的代数和。写成一 般形式为
G s G i s
i 1
n
Y2 s X s G2 s
Y3 s X s G3 s
Y1 s X s G1 s
输入量相同，输出量相加或相减的连接称为并联。如图所示， 三个环节的输入部分都为 X， 而输出分别为Y1、Y2、Y3 ，
Y s X s G1 s X s G2 s X s G3 s G s X s X s
X 0 (s)= G (s)E (s) B (s)= H (s)X 0 (s)
E( s) 1 = Xi (s ) 1 ±G (s)H (s) 称为误差传递函数（偏差信号与输入信号之比）
整理得
s ( ) E( ss) B ss E s =X Xii ± B ) (
E s X i s H s G s E s
Ui (s) -Uo (s) R1IR s
1/R1
U 0 ( s ) I ( s ) R2
Y(s)
1 G s
X(s)
2.引出点前移
X(s)
A
G(s)
Y(s)
B
X(s)
A
G(s)
G s
Y(s) Y(s)
B
Y(s)
比较点的移动
Ø
将比较点跨越框图移动时，应遵循移动前后总输出量保持 不变的等效原则。 Y s ( X s - X s )Gs
Y s Y1 s Y2 s Y3 s
G1 s G2 s G3 s
并联的补充说明
l
这表明几个环节并联时，可以用一个等效环节去取代， 等效环节的传递函数为各环节传递函数的代数和。写成一 般形式为
G s G i s
i 1
n
Y2 s X s G2 s
Y3 s X s G3 s
Y1 s X s G1 s
输入量相同，输出量相加或相减的连接称为并联。如图所示， 三个环节的输入部分都为 X， 而输出分别为Y1、Y2、Y3 ，
Y s X s G1 s X s G2 s X s G3 s G s X s X s
X 0 (s)= G (s)E (s) B (s)= H (s)X 0 (s)
E( s) 1 = Xi (s ) 1 ±G (s)H (s) 称为误差传递函数（偏差信号与输入信号之比）
整理得
s ( ) E( ss) B ss E s =X Xii ± B ) (
E s X i s H s G s E s
Ui (s) -Uo (s) R1IR s
1/R1
U 0 ( s ) I ( s ) R2
控制工程基础(第三章,控制系统的复数域描述)
负载效应
2、动态结构图的等效变换 结构图表示了系统中各信号之间的传递与运算的全部关 系。但有时结构图比较复杂，需简化后才能求出传递函数， 等效原则是：对结构图任何部分进行变换时，变换前后该 部分的输入量、输出量及其相互之间的数学关系应保持不 变。 （1）串联环节的简化
X 0 (s)
G1 ( s )
4. 积分环节 积分环节的动态方程和传递函数分别为
c (t ) K r (t ) dt
K G (s) s
特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入 消失，输出具有记忆功能。 实例：电动机角速度与角度间的传递函数、电容 充电、模拟计算机中的积分器等。
5. 二阶振荡环节
振荡环节的运动方程和传递函数分别为
(a)
(b)
结构图的相加点(a)和分支点(b)
绘制系统方框图的一般步骤 1） 写出系统中每一个部件的运动方程式 2） 根据部件的运动方程式写出相应的传递函数，一个 部件用一个方框表示在框中填入相应的传递函数
3）根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，并 把系统的输入量置于系统方框图的最左端，输出量置 于最右端 例 绘制下图所示电路的方框图 方程有
Gs 就是该系统的传递函数 阵
用拉氏变换做微分方程组的传递函数矩阵，中间变量的消元
三、典型环节的传递函数 1. 比例环节
比例环节又称放大环节，该环节的运动方程和相 对应的传递函数分别为
c(t ) Kr (t )
式中K为增益。
C ( s) G( s) K R( s )
特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。
Ｒ-L-C电路
c
弹簧-质量-阻尼器系统
6. 纯时间延时环节
延时环节的动态方程和传递函数分别为
控制工程基础课件第3章
3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
50
3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
51
3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
52
3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
53
3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
54
3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
55
3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
56
3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
57
3.5 稳定性及其劳斯稳定判据
71
3.6.3 稳态误差计算
3.6 稳态误差分析与计算
72
3.6.3 稳态误差计算
3.6 稳态误差分析与计算
73
3.6.3 稳态误差计算
3.6 稳态误差分析与计算
74
3.6.3 稳态误差计算
3.6 稳态误差分析与计算
75
3.6.3 稳态误差计算
3.6 稳态误差分析与计算
76
3.6.3 稳态误差计算
3.6 稳态误差分析与计算
77
3.6.3 稳态误差计算
3.6 稳态误差分析与计算
78
3.6 稳态误差分析与计算
79
3.7 根轨迹法
80
3.7.1 根轨迹的基本概念
是指开环传递函数某一参 量由零变到无穷大时，闭 环极点在s平面上变化的 轨迹。
3.7 根轨迹法
81
3.7.2 幅值条件和相角条件
3.2 一阶系统时域分析
13
3.2.2 时间响应
3.2 一阶系统时域分析
14
3.2.2 时间响应
3.2 一阶系统时域分析
15
3.2.2 一阶系统的瞬态性能指标
3.2 一阶系统时域分析
16
3.2.2 一阶系统的瞬态性能指标
控制工程基础(王建平)章 (3)
1 s
T Ts 1
1 s
1 s 1
T
(3-14)
第3章 瞬态响应和稳态响应分析
对式(3-14)两边进行拉氏反变换，得单位阶跃响应h(t)为
h(t)
xo(t)
1
t
eT
t 0
(3-15)
由上式可以看出，输出量h(t)的初始值等于零，而最终将 趋于1。常数项“1”是由1/s反变换得到的，由于它在稳态过 程中仍起作用，因此称为稳态分量（稳态响应）。式 (3-15)中，第二项由1/(s+1/T)经拉氏反变换得到，随着时间t 的增加，它将逐渐衰减，最后趋于零，称为瞬态响应。可见， 阶跃响应曲线具有非振荡特性，故也称为非周期响应。
wt
1 T2
e
t T
t≥0
(3-12)
出一阶特别系地统，的在单t位=0脉时冲刻响，应w曲0线 如 图T132。 -3根 所据 示式。由(3图-1可1)见可，以响绘
应曲线是一条单调下降的指数曲线。时间响应的初始值为1/T， 当自变量t趋于无穷时输出量趋近于零，故对应的稳态分量为0。
第3章 瞬态响应和稳态响应分析
第3章 瞬态响应和稳态响应分析
(1) 信号具有典型性，能够反映系统工作的大部分实际情
(2) (3) 根据上述试验信号选用原则，实际应用中常用的典型输入 信号有如下几种。
第3章 瞬态响应和稳态响应分析
1. 单位脉冲信号如图3-1（a）所示，表示为
(t)
0
t 0 t 0
且
(t)dt 0 (t)dt 1
第3章 瞬态响应和稳态响应分析
实际系统的输入信号常具有随机性质，预先无法知道，而 且难以用简单的解析式表示。因而常预先规定一些特殊的试验 输入信号，然后比较各种系统对这些试验输入信号的响应，以 此作为依据比较各种系统的性能。因为系统对典型试验输入信 号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间存在着 一定的关系，所以采用试验信号来评价系统的性能是合理的。
《控制工程基础》3.3
1．串联环节的等效规则 ： ．
2．并联环节的等效规则 ： ．
第 3 章
3.7 7
传递函数方框图的等效简化
传递函数化简：等效变换，即变换前后输入输出的数学关系保持不变。 传递函数化简：等效变换，即变换前后输入输出的数学关系保持不变。 说明： 说明： 3．反馈连接及其等效规则 ： ． 1．前向通道、反馈通道、开环传递函数都只是闭环系统部分环节（环 ．前向通道、反馈通道、开环传递函数都只是闭环系统部分环节（ 前向通道传递函数： 前向通道传递函数： G ( s = X o ( s ) E ( s ) 节的组合）的传递函数，而闭环传递函数才是系统的传递函数； 节的组合）的传递函数，)而闭环传递函数才是系统的传递函数； 反馈通道传递函数： 反馈通道传递函数： H ( s ) = B ( s ) X o ( s ) 2．相加点 处的符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈。 ．相加点B(s)处的符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈。 处的符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈 开环传递函数： 开环传递函数：GK ( s ) = B ( s ) E ( s ) = G ( s ) H ( s ) 反馈环节
N (s) + G2 (s) H (s)
如考虑扰动的反馈控制系统： 如考虑扰动的反馈控制系统：
X i (s) +
−
只考虑给定输入时： 只考虑给定输入时：G X = 系统总的输出量： 系统总的输出量： X o =
G1G2 1+ G1G2 H
G1 ( s )
+
X o (s)
只考虑扰动输入时： 只考虑扰动输入时：GN =
第 3 章
3.8 8
闭环控制系统的传递函数
多个输入同时作用于系统时，分别考虑每个输入的影响。 多个输入同时作用于系统时，分别考虑每个输入的影响。
2．并联环节的等效规则 ： ．
第 3 章
3.7 7
传递函数方框图的等效简化
传递函数化简：等效变换，即变换前后输入输出的数学关系保持不变。 传递函数化简：等效变换，即变换前后输入输出的数学关系保持不变。 说明： 说明： 3．反馈连接及其等效规则 ： ． 1．前向通道、反馈通道、开环传递函数都只是闭环系统部分环节（环 ．前向通道、反馈通道、开环传递函数都只是闭环系统部分环节（ 前向通道传递函数： 前向通道传递函数： G ( s = X o ( s ) E ( s ) 节的组合）的传递函数，而闭环传递函数才是系统的传递函数； 节的组合）的传递函数，)而闭环传递函数才是系统的传递函数； 反馈通道传递函数： 反馈通道传递函数： H ( s ) = B ( s ) X o ( s ) 2．相加点 处的符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈。 ．相加点B(s)处的符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈。 处的符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈 开环传递函数： 开环传递函数：GK ( s ) = B ( s ) E ( s ) = G ( s ) H ( s ) 反馈环节
N (s) + G2 (s) H (s)
如考虑扰动的反馈控制系统： 如考虑扰动的反馈控制系统：
X i (s) +
−
只考虑给定输入时： 只考虑给定输入时：G X = 系统总的输出量： 系统总的输出量： X o =
G1G2 1+ G1G2 H
G1 ( s )
+
X o (s)
只考虑扰动输入时： 只考虑扰动输入时：GN =
第 3 章
3.8 8
闭环控制系统的传递函数
多个输入同时作用于系统时，分别考虑每个输入的影响。 多个输入同时作用于系统时，分别考虑每个输入的影响。
控制工程基础第三章系统的传递函数
如图所示为机械转动系统，由惯性负载和粘性摩擦阻 尼器构成，以转矩Ti为输入量，以角速度w为输出量
机械转动系统
dw ( t) 其运动方程式为：J + Bw ( t )= Ti ( t) dt W (s ) 1 K 其传递函数为：G ( s)= = = Ti (s ) Js + B Ts + 1 J 1 式中 T= , K = 。 B B
B
i(t)
C
uo (t)
x
机械平移系统
d 2x dx m 2 B k x f t dt dt
RLC电路
X s 1 1 2n Gs ＝ 2 F s ms Bs k k s 2 2n s 2 n
n
k m
B 2 km
C
uo (t )
其微分方程为：Ri( t)+ u0 () t = ui () t du0 () t i( t)= C dt 消去中间变量后，得 du0 () t RC + u0 () t = ui () t dt 通过拉氏变换求得电路的传递函数为： U0 (s) 1 G( s)= = Ui (s) Ts+1 式中 T=RC
4. 微分环节
输出量与输入量的微分成比例的环节，称为微分环节 dxi ( t) 其运动方程式为：x0 ( t )= TD dt 其传递函数为： G ( s)= TD s
式中 TD ─ 微分环节的时 间常数 。
当输入量为单位阶跃信号时，输出量就是脉冲函数，这 在实际中是不可能的。因此，理想的微分环节不能实现，在 实际中用来执行微分作用的都是近似的，称为实际微分环节， 其传递函数具有如下形式：
一阶微分环节和二阶微分环节的微分方程分别为：
控制工程基础第三章 时域瞬态响应
整理课件
t 1. 上升时间 r
响应曲线从零时刻首次到达稳态值的时间。 或从稳态值的 10% 上升到稳态值的90％ 所 需的时间。
xo (t) t r
tr
t 整理课件
t 2. 峰值时间 p
响应曲线从零时刻上升到第一个峰值点所需要 的时间。
xo (t)
tp
t
整理课件
3. 最大超调量 M p
响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值 之比；单位阶跃输入时，即是响应曲线的最大 峰值与稳态值的差。通常用百分数表示。
单位脉冲响应
xoδ(t)
e 1 T1t
T
1t
xo1 t
dxot t
dt
xoδ (t)
dxo1 t
dt
三者的关系？ 整理课件
3.3 二阶系统的瞬态响应
用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。 它的典型形式是二阶振荡环节。
形式一：
Xo(s) Xi(s)
s2
2 n
2nsn2
为阻尼比； 为n 无阻尼自振角频率
(2) 经过时间 T 曲线上升到 0.632 的高度；
(3) 调整时间为 (3～4)T ；
(4) 在 t = 0 处，响应曲线的切线斜率为 1/T；
(5)
xo(t)
1t 1e T
1t
常数
故 T1lgetlg1xo(t)
据此鉴别系统是否为一阶惯整性理环课节件。
Lg[1-xo(t)] t
0
T1lget lg1xo(t)
当允许有一定超调时，工程上一般选 择二阶系统阻尼比ζ在0.5~1之间。当 ζ变小时，ζ愈小，则调整时间 愈长； 而当ζ变大时，ζ愈大，调整时间 也愈 长。
整理课件
t 1. 上升时间 r
响应曲线从零时刻首次到达稳态值的时间。 或从稳态值的 10% 上升到稳态值的90％ 所 需的时间。
xo (t) t r
tr
t 整理课件
t 2. 峰值时间 p
响应曲线从零时刻上升到第一个峰值点所需要 的时间。
xo (t)
tp
t
整理课件
3. 最大超调量 M p
响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值 之比；单位阶跃输入时，即是响应曲线的最大 峰值与稳态值的差。通常用百分数表示。
单位脉冲响应
xoδ(t)
e 1 T1t
T
1t
xo1 t
dxot t
dt
xoδ (t)
dxo1 t
dt
三者的关系？ 整理课件
3.3 二阶系统的瞬态响应
用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。 它的典型形式是二阶振荡环节。
形式一：
Xo(s) Xi(s)
s2
2 n
2nsn2
为阻尼比； 为n 无阻尼自振角频率
(2) 经过时间 T 曲线上升到 0.632 的高度；
(3) 调整时间为 (3～4)T ；
(4) 在 t = 0 处，响应曲线的切线斜率为 1/T；
(5)
xo(t)
1t 1e T
1t
常数
故 T1lgetlg1xo(t)
据此鉴别系统是否为一阶惯整性理环课节件。
Lg[1-xo(t)] t
0
T1lget lg1xo(t)
当允许有一定超调时，工程上一般选 择二阶系统阻尼比ζ在0.5~1之间。当 ζ变小时，ζ愈小，则调整时间 愈长； 而当ζ变大时，ζ愈大，调整时间 也愈 长。
整理课件
控制工程基础第三章
1）瞬态响应 系统在某一输入信号的作用下，系统的输出量 从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态响应。 2）稳态响应 在某一输入信号的作用后，时间趋于无穷大 时系统的输出状态称为稳态响应。
分析系统的时间响应亦即分析描述其运动的微分 方程的解。 以RC网络为例：
稳态分量
t RC
瞬态分量
1.若uc (0) U 0，则有uc ( t ) U Ue
开环传递函数为： G ( s ) 1 Ts 1 闭环传递函数为：( s ) Ts 1
二、一阶系统的单位阶跃响应
当单位阶跃信号xi(t)作用于一阶系统时，一阶系统 的单位阶跃响应为： 取上式进行拉氏反变换，可得单位阶跃输入的时 间响应（称为单位阶跃响应）为：
t 1 1 1 1 x0 (t ) L X 0 ( s ) L 1 e T , (t 0) Ts 1 s
dxo ( t ) 1 dt t 0 T dxo ( t ) 0 dt t
dxo ( t ) 1 0.368 dt t T T xo ( ) 1
初始斜率特性，也是常用的确定一阶系统时间常数的方法之一。
一阶系统的单位阶跃响应如果以初始速度等速上升至稳 态值1所需的时间应恰好为T。 时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工程中当响应曲 线达到并保持在稳态值的95%~98%时，认为系统响应过程 基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间ts为3T~4T。
时间域进行分析时，为了比较不同系统的控 制性能，需要规定一些具有典型意义的输入 信号建立分析比较的基础。这些信号称为控 制系统的典型输入信号。
对典型输入信号的要求 能够使系统工作在最不利的情形下； 形式简单，便于解析分析； 实际中可以实现或近似实现。
控制工程基础课件 第三章
图3-5a 一阶系统的时间响应
c() c(t )
t
1
第三章 控制系统的时域分析
§3-2 一阶系统的时间响应
把t = T代入式(3-3)可得 c(T ) 1 e1 0.632 故时间常数T可定义为系统的时间响应达到稳态值的63.2%所需要 的时间。 从图3-5a可以看出，经过三倍的时间常数，响应曲线上升到稳 态值的95%，经过四倍的时间常数，响应曲线达到稳态值的98.2%。 如果要求响应曲线保持在稳态值的5%～2%的允许误差范围内，那么 系统的调整时间ts =(3～4)T，以此作为评价响应时间长短的标准。 时间常数决定于系统参数 而与输入函数无关。 在图3-3所示系统中 ， T f / k
§3-2 一阶系统的时间响应
时间响应从零值到终值呈指 数曲线上升 。曲线在t = 0的初始 斜率为
d c(t ) 1 T c(0) e d t t 0 T
t
t 0
1 T
可见，时间常数T是一阶系统 重要的特征参数。它表征了系统 过渡过程的品质，T越小，惯性越 小，系统的响应越快。 系统响应的稳态值为
1 R( s) 为单位阶跃函数 R(s) s C (s) 1 1 1 T C (s) R(s) R( s) Ts 1 s s Ts 1
对上式进行拉氏反变换，得出
(3-2)
c(t ) 1 et T ( t ≥ 0 )
时间响应曲线见图3-5a。
(3-3)
第三章 控制系统的时域分析
第三章 控制系统的时域分析
§3-1时间响应及系统性能指标
2%
1 0.9
td
Mp
允许误差
5%
c t
t d ：延迟时间
c() c(t )
t
1
第三章 控制系统的时域分析
§3-2 一阶系统的时间响应
把t = T代入式(3-3)可得 c(T ) 1 e1 0.632 故时间常数T可定义为系统的时间响应达到稳态值的63.2%所需要 的时间。 从图3-5a可以看出，经过三倍的时间常数，响应曲线上升到稳 态值的95%，经过四倍的时间常数，响应曲线达到稳态值的98.2%。 如果要求响应曲线保持在稳态值的5%～2%的允许误差范围内，那么 系统的调整时间ts =(3～4)T，以此作为评价响应时间长短的标准。 时间常数决定于系统参数 而与输入函数无关。 在图3-3所示系统中 ， T f / k
§3-2 一阶系统的时间响应
时间响应从零值到终值呈指 数曲线上升 。曲线在t = 0的初始 斜率为
d c(t ) 1 T c(0) e d t t 0 T
t
t 0
1 T
可见，时间常数T是一阶系统 重要的特征参数。它表征了系统 过渡过程的品质，T越小，惯性越 小，系统的响应越快。 系统响应的稳态值为
1 R( s) 为单位阶跃函数 R(s) s C (s) 1 1 1 T C (s) R(s) R( s) Ts 1 s s Ts 1
对上式进行拉氏反变换，得出
(3-2)
c(t ) 1 et T ( t ≥ 0 )
时间响应曲线见图3-5a。
(3-3)
第三章 控制系统的时域分析
第三章 控制系统的时域分析
§3-1时间响应及系统性能指标
2%
1 0.9
td
Mp
允许误差
5%
c t
t d ：延迟时间
控制工程基础3章
1
1
t
t
对上式求拉氏反变换，得： c(t) t T (1 e T ) t T Te T
1t
因为误差信号为： e(t) r(t) c(t) T (1 e T )
所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为
ess
lim e(t) T t
上式表明：①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。
②由于系统存在惯性，对应的输出信号在数值上要滞后于输 入信号一个常量T，这就是稳态误差产生的原因。
一、线性系统时域响应及性能指标
●瞬态响应：系统在某一输入信号的作用下，其输出量 从初始状态到稳定状态之间的响应过程，有时也称过渡 过程、动态过程。
由于实际控制系统具有惯性、摩擦及其它一些原因，系 统输出量不可能完全复现输入量的变化。根据系统结构 和参数选择情况，瞬态响应表现为衰减、发散或等幅振 荡形式。显然，一个可以实际运行的系统的瞬态响应必 须是衰减的，即必须是稳定的。瞬态过程除提供系统稳 定性的信息外，还可提供响应速度及阻尼情况等信息。
C(s) 当初始条件为零时，其传递函数为
(s) C(s) 1
R(s) TS 1
这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。
下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的 时域响应。
1、一阶系统的单位阶跃响应
因为单位阶跃函数的拉氏变换为 R(s) 1 ，则系统的输出由下式可知
S为
(s) C(s) 1
分
输入信号 输入信号
时域
频域
输出响应
传递函数
(t)
1(t) t
1 t2 2
1
1
t
eT
(t 0)
T
1
t
S
1e T t 0
控制工程基础第三章
此特性适用于任何阶线性定常系统。
第三章 线性系统的时域分析法
3-3 二阶系统的时域分析
一、二阶系统的数学模型
R(s)
n2 s2 2n s n2
C(s)
R(s)
-
n2
C(s)
s(s 2n )
阻尼比
C(s) R(s)
s2
n2 2 n s
n2
系统无阻尼 固有频率
第三章 线性系统的时域分析法
二阶系统特征方程：
第三章 线性系统的时域分析法
3-2 一阶系统的时域分析
1、一阶系统的数学模型
R(s)
-
1 C(s) Ts
C(s) 1 R(s) Ts 1
第三章 线性系统的时域分析法
2、一阶系统的单位阶跃响应
c(t)
1
e
t T
,
t
0
稳态响应
瞬态响应
无振荡无 稳态误差
1
0.8
0.865 0.95 0.982
0.6
❖比例-微分（PD）控制：
R(s)
E(s) _
U(s)
1 Td s
2 n
s(s 2n )
C(s)
(s)
s2
n2 (Td s 1) (2n Tdn2 )s
n2
d
Tdn
2
不变
n
➢结论：比例-微分控制可以增大系统的阻尼， 使阶跃响应的超调量下降，调节时间缩短， 且不影响常值稳态误差及系统的自然频率。
❖ 峰值时间tp：指响应超过其终值到达第一个峰值所 需的时间；
❖ 调节时间ts：指响应到达并保持在终值的±5％或 ±2％内所需的最短时间；
第三章 线性系统的时域分析法
第三章 线性系统的时域分析法
3-3 二阶系统的时域分析
一、二阶系统的数学模型
R(s)
n2 s2 2n s n2
C(s)
R(s)
-
n2
C(s)
s(s 2n )
阻尼比
C(s) R(s)
s2
n2 2 n s
n2
系统无阻尼 固有频率
第三章 线性系统的时域分析法
二阶系统特征方程：
第三章 线性系统的时域分析法
3-2 一阶系统的时域分析
1、一阶系统的数学模型
R(s)
-
1 C(s) Ts
C(s) 1 R(s) Ts 1
第三章 线性系统的时域分析法
2、一阶系统的单位阶跃响应
c(t)
1
e
t T
,
t
0
稳态响应
瞬态响应
无振荡无 稳态误差
1
0.8
0.865 0.95 0.982
0.6
❖比例-微分（PD）控制：
R(s)
E(s) _
U(s)
1 Td s
2 n
s(s 2n )
C(s)
(s)
s2
n2 (Td s 1) (2n Tdn2 )s
n2
d
Tdn
2
不变
n
➢结论：比例-微分控制可以增大系统的阻尼， 使阶跃响应的超调量下降，调节时间缩短， 且不影响常值稳态误差及系统的自然频率。
❖ 峰值时间tp：指响应超过其终值到达第一个峰值所 需的时间；
❖ 调节时间ts：指响应到达并保持在终值的±5％或 ±2％内所需的最短时间；
第三章 线性系统的时域分析法
控制工程基础第三章参考答案
第三章 习题及答案传递函数描述其特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温。
发现需要时间才能指示出实际水温的98%的数值，试问该温度计指示出实际水温从10%变化到90%所需的时间是多少?解： 41min, =0.25min T T = 1111()=1-e0.1, =ln 0.9t h t t T -=-T21T22()=0.9=1-e ln 0.1t h t t T -=-，210.9ln2.20.55min 0.1r t t t T T =-===2.已知某系统的微分方程为)(3)(2)(3)(t f t f t y t y +'=+'+''，初始条件2)0( , 1)0(='=--y y ，试求：⑴系统的零输入响应y x (t )；⑵激励f (t )5™(t )时，系统的零状态响应y f (t )和全响应y (t )；⑶激励f (t )5 e 23t™(t )时，系统的零状态响应y f (t )和全响应y (t )。
解：(1) 算子方程为：)()3()()2)(1(t f p t y p p +=++)()e 25e 223()()()( )()e 1e 23()()()( )()e e 2()(2112233)( )2(;0 ,e 3e 4)( 34221e e )( 2x 2222x 212121221x t t y t y t y t t t h t y t t h p p p p p p H t t y A A A A A A A A t y t t t t t t f f t t ttεεεε------------+=+=+-==-=⇒+-+=+++=-=⇒⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧--=+=⇒+=∴*/ )()e4e 5()()()( )()e e ()(e )()( )3(2x 23t t y t y t y t t t h t y ttt t t f f εεε------=+=-==*3.已知某系统的微分方程为)(3)(')(2)(' 3)(" t f t f t y t y t y +=++，当激励)(t f =)(e 4t tε-时，系统的全响应)()e 61e 27e314()(42t t y t t tε-----=。
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第三章 线性系统的时域分析法
第三章 线性系统的时域分析法
3-1
3-2
系统时间响应的性能指标
一阶系统的时域分析
3-3
3-4 3-5 3-6
二阶系统的时域分析
高阶系统的时域分析 线性系统的稳定性 线性系统的稳态误差计算
第三章 线性系统的时域分析法
3-1 系统时间响应的性能指标
典型输入信号：
名 单位阶跃函数
0.632
初始斜率：1/T
0 0T 1T 2T 3T 4T 5T 6T 7T
第三章 线性系统的时域分析法 3、一阶系统的单位脉冲响应
1 c(t ) e , t 0 T
1 /T 0.8/T 0.6/T 0.4/T
t T
瞬态响应
斜率：－1/T2 无稳态 误差
0.368/T
0.2/T 0
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1T
3T 4T 5T 6T
7T
第三章 线性系统的时域分析法
5、一阶系统的单位加速度响应
1 2 2 2 c(t ) t Tt T T e T , t 0 2 t
ess lim[r (t ) c(t )]
t
一阶系统无法跟踪加速度信号
第三章 线性系统的时域分析法
需的时间；
调节时间ts：指响应到达并保持在终值的±5％或
±2％内所需的最短时间；
第三章 线性系统的时域分析法
超调量：指响应的最大偏离值与终值的百分数， 即
%
h(t p ) h() h ( )
100%
振荡次数N：在调整时间ts内系统响应曲线的振荡 次数。
第三章 线性系统的时域分析法
C(s)
R(s)
-
2 n s( s 2n )
C(s)
2 n C ( s) 2 2 R(s) s 2 n s n
系统无阻尼 固有频率
阻尼比
第三章 线性系统的时域分析法
二阶系统特征方程：
D(s) s 2n s 0
2 2 n
s1, 2 n n 2 1
线性定常系统的一个重要特性：
系统对输入信号导数的响应等于系统对该输
入信号响应的导数。
系统对输入信号积分的响应等于系统对该输
入信号响应的积分，其积分常数由初始条件 确定。
此特性适用于任何阶线性定常系统。
第三章 线性系统的时域分析法
3-3 二阶系统的时域分析
一、二阶系统的数学模型
R(s)
2 n 2 s 2 2n s n
稳态误差是描述稳态性能的一种性能指 标，是系统控制精度或抗扰动能力的一种度 量。
ess lim e(t )
t
第三章 线性系统的时域分析法
h(t)
超调量
%
h(t p ) h() h()
100%
允许误差±5％或±2%
h(∞) 0.9h(∞)
稳态值
td
0.5h(∞)
tp
0.1h(∞) 0
3-2 一阶系统的时域分析
1、一阶系统的数学模型
R(s) C(s)
-
1 Ts
C (s) 1 R( s) Ts 1
第三章 线性系统的时域分析法
2、一阶系统的单位阶跃响应
c(t ) 1 e
稳态响应
1 0.8 0.6 0.4 0.2
t
T
,t 0
瞬态响应
无振荡无 稳态误差
0.865
0.95 0.982
j j 特征方程的解具有正实部，系统不稳定。 j
S1
0 无阻尼
n
0
S1=S2
n
0
S1
S2
0
S2
n 1 2
0 1
1
临界阻尼
1
过阻尼
特征方程的解 特征方程的 为一对共轭虚 解具有负实 根，系统等幅 振荡。 部，系统时 域响应含有 衰减分量。
欠阻尼
第三章 线性系统的时域分析法 二、二阶系统单位阶跃响应
动态过程指在典型输入信号作用下，系统 输出量从初始状态到最终状态的响应过程。 动态过程表现为：衰减、发散、等幅振荡。
稳态过程指系统在典型输入信号作用下， 当时间t 趋于无穷时，系统输出量的表现方式， 表征系统输出量复现输入量的程度。
第三章 线性系统的时域分析法 2、动态性能与稳态性能 动态性能是指描述稳定的系统在单位阶 跃函数作用下，动态过程随时间t 的变化状况 的指标。
2T
3T
4T
5T
6T
7T
第三章 线性系统的时域分析法 4、一阶系统的单位斜坡（速度）响应
c(t ) t T Te , t 0
瞬态响应
t T
存在稳 态误差
稳态响应
7T 6T 5T 4T 3T 2T 1T 0 0 1T 2T
r (t ) t
T
e() T
t T
c(t ) t T Te
峰值时间：响应曲 线达到第一个峰值 延迟时间：响应曲线第 所需要的时间。 一次达到稳态值的一半 调节时间：响应曲线达 所需的时间。 到并永远保持在一个允 上升时间：响应曲线 许误差范围内，所需的 从稳态值的10%上升到 最短时间。 90%，所需的时间。
t ts
tr
第三章 线性系统的时域分析法
h(t) h(∞) 0.9h(∞)
称
时域表达式
1(t ), t 0
t, t 0
复域表达式
1 s 1 s2 1 s3
单位斜坡（速度）函数
单位加速度函数
单位脉冲函数 正弦函数
1 2 t ,t 0 2 (t ), t 0
1
A s2 2
Asint
第三章 线性系统的时域分析法
系统性能指标：
1、动态过程与稳态过程
1、过阻尼情况（ 1）：
2 2 n n 1 C ( s) 2 2 s 2 n s n s s(s 1 T 1 )(s 1 T 2 )
根据ζ值的取值范围不同，特征根的分布情况有如下 七种：
第三章 线性系统的时域分析法
s1, 2 n n 2 1
j j
n 1 2
S1=S2 0 S2 S1 0
j
S1
j
n
0
n
0
n
n 1 2
S2
1
n 1 2
1
1 0
稳态值
td
0.5h(∞)
ts
0.1h(∞) 0
tr
t
第三章 线性系统的时域分析法
延迟时间td：指响应曲线第一次达到其终值的50％
所需的时间；
上升时间tr：指响应从终值的10％上升到终值的90
％所需的时间（对于有振荡的系统来说，上升时间 可定义为从零第一次上升到终值所需的时间）；
峰值时间tp：指响应超过其终值到达第一个峰值所
第三章 线性系统的时域分析法
3-1
3-2
系统时间响应的性能指标
一阶系统的时域分析
3-3
3-4 3-5 3-6
二阶系统的时域分析
高阶系统的时域分析 线性系统的稳定性 线性系统的稳态误差计算
第三章 线性系统的时域分析法
3-1 系统时间响应的性能指标
典型输入信号：
名 单位阶跃函数
0.632
初始斜率：1/T
0 0T 1T 2T 3T 4T 5T 6T 7T
第三章 线性系统的时域分析法 3、一阶系统的单位脉冲响应
1 c(t ) e , t 0 T
1 /T 0.8/T 0.6/T 0.4/T
t T
瞬态响应
斜率：－1/T2 无稳态 误差
0.368/T
0.2/T 0
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1T
3T 4T 5T 6T
7T
第三章 线性系统的时域分析法
5、一阶系统的单位加速度响应
1 2 2 2 c(t ) t Tt T T e T , t 0 2 t
ess lim[r (t ) c(t )]
t
一阶系统无法跟踪加速度信号
第三章 线性系统的时域分析法
需的时间；
调节时间ts：指响应到达并保持在终值的±5％或
±2％内所需的最短时间；
第三章 线性系统的时域分析法
超调量：指响应的最大偏离值与终值的百分数， 即
%
h(t p ) h() h ( )
100%
振荡次数N：在调整时间ts内系统响应曲线的振荡 次数。
第三章 线性系统的时域分析法
C(s)
R(s)
-
2 n s( s 2n )
C(s)
2 n C ( s) 2 2 R(s) s 2 n s n
系统无阻尼 固有频率
阻尼比
第三章 线性系统的时域分析法
二阶系统特征方程：
D(s) s 2n s 0
2 2 n
s1, 2 n n 2 1
线性定常系统的一个重要特性：
系统对输入信号导数的响应等于系统对该输
入信号响应的导数。
系统对输入信号积分的响应等于系统对该输
入信号响应的积分，其积分常数由初始条件 确定。
此特性适用于任何阶线性定常系统。
第三章 线性系统的时域分析法
3-3 二阶系统的时域分析
一、二阶系统的数学模型
R(s)
2 n 2 s 2 2n s n
稳态误差是描述稳态性能的一种性能指 标，是系统控制精度或抗扰动能力的一种度 量。
ess lim e(t )
t
第三章 线性系统的时域分析法
h(t)
超调量
%
h(t p ) h() h()
100%
允许误差±5％或±2%
h(∞) 0.9h(∞)
稳态值
td
0.5h(∞)
tp
0.1h(∞) 0
3-2 一阶系统的时域分析
1、一阶系统的数学模型
R(s) C(s)
-
1 Ts
C (s) 1 R( s) Ts 1
第三章 线性系统的时域分析法
2、一阶系统的单位阶跃响应
c(t ) 1 e
稳态响应
1 0.8 0.6 0.4 0.2
t
T
,t 0
瞬态响应
无振荡无 稳态误差
0.865
0.95 0.982
j j 特征方程的解具有正实部，系统不稳定。 j
S1
0 无阻尼
n
0
S1=S2
n
0
S1
S2
0
S2
n 1 2
0 1
1
临界阻尼
1
过阻尼
特征方程的解 特征方程的 为一对共轭虚 解具有负实 根，系统等幅 振荡。 部，系统时 域响应含有 衰减分量。
欠阻尼
第三章 线性系统的时域分析法 二、二阶系统单位阶跃响应
动态过程指在典型输入信号作用下，系统 输出量从初始状态到最终状态的响应过程。 动态过程表现为：衰减、发散、等幅振荡。
稳态过程指系统在典型输入信号作用下， 当时间t 趋于无穷时，系统输出量的表现方式， 表征系统输出量复现输入量的程度。
第三章 线性系统的时域分析法 2、动态性能与稳态性能 动态性能是指描述稳定的系统在单位阶 跃函数作用下，动态过程随时间t 的变化状况 的指标。
2T
3T
4T
5T
6T
7T
第三章 线性系统的时域分析法 4、一阶系统的单位斜坡（速度）响应
c(t ) t T Te , t 0
瞬态响应
t T
存在稳 态误差
稳态响应
7T 6T 5T 4T 3T 2T 1T 0 0 1T 2T
r (t ) t
T
e() T
t T
c(t ) t T Te
峰值时间：响应曲 线达到第一个峰值 延迟时间：响应曲线第 所需要的时间。 一次达到稳态值的一半 调节时间：响应曲线达 所需的时间。 到并永远保持在一个允 上升时间：响应曲线 许误差范围内，所需的 从稳态值的10%上升到 最短时间。 90%，所需的时间。
t ts
tr
第三章 线性系统的时域分析法
h(t) h(∞) 0.9h(∞)
称
时域表达式
1(t ), t 0
t, t 0
复域表达式
1 s 1 s2 1 s3
单位斜坡（速度）函数
单位加速度函数
单位脉冲函数 正弦函数
1 2 t ,t 0 2 (t ), t 0
1
A s2 2
Asint
第三章 线性系统的时域分析法
系统性能指标：
1、动态过程与稳态过程
1、过阻尼情况（ 1）：
2 2 n n 1 C ( s) 2 2 s 2 n s n s s(s 1 T 1 )(s 1 T 2 )
根据ζ值的取值范围不同，特征根的分布情况有如下 七种：
第三章 线性系统的时域分析法
s1, 2 n n 2 1
j j
n 1 2
S1=S2 0 S2 S1 0
j
S1
j
n
0
n
0
n
n 1 2
S2
1
n 1 2
1
1 0
稳态值
td
0.5h(∞)
ts
0.1h(∞) 0
tr
t
第三章 线性系统的时域分析法
延迟时间td：指响应曲线第一次达到其终值的50％
所需的时间；
上升时间tr：指响应从终值的10％上升到终值的90
％所需的时间（对于有振荡的系统来说，上升时间 可定义为从零第一次上升到终值所需的时间）；
峰值时间tp：指响应超过其终值到达第一个峰值所