1.3 条件概率与贝叶斯公式

7 3 3 2 3 P ( A2 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 ) 10 9 10 9 10
例 一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球， 先后两次从袋中各取一球（不放回） (1) 已知第一次取得黑球时，求第二次取得黑球的 概率； (2) 已知第二次取得黑球时，求第一次取得黑球的 概率。 解 设 Ai = “第 i 次取到的是黑球” (i = 1,2) 2 A3 1 (2) 由于 P ( A1 A2 ) 2 A10 15
注：条件概率与普通概率有相类似的性质：
(1) 若 BC＝ΦBaidu Nhomakorabea则
P((B∪C)|A)= P(B|A)+ P(C|A).
(2) P ( B | A) 1 P ( B | A).
条件概率的性质 1 非负性 2 规范性 3 可加性
0 P( A | B) 1,
P( | B) 0 , P( | B) 1,
(2) 在Ω中,先求P(AB)和P(A),在按定义计算P(B|A)
P ( AB) 0.4 2 P ( B | A) P ( A) 0 .6 3

例2 设试验E为掷两颗骰子，观察出现的点数。 用B表示事件“两颗骰子的点数相等”，用A表示事 件“两颗骰子的点数之和为4”，求 | B), P ( A | B). P( A 解一 以 ( i , j )表示两颗骰子的点数，则样本空间 一共有36个事件。且A={(1, 3), (2, 2), (3, 1)}， B={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}.
i 1 i 1 i 1
n
n
3. 全概率公式的应用 如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而成，E1 有若干种可能的结果，E2在E1的基础上也有若干种可 能的结果，如果求和E2的结果有关事件的概率，可以 用全概率公式．试验E１的几种可能的结果就构成了完 备事件组。
例 设袋中有12个球, 9个新球, 3个旧球. 第一次比 赛取3球, 比赛后放回, 第二次比赛再任取3球, 求第二次 比赛取得3个新球的概率. 解 Ai=第一次比赛恰取出i个新球（i=0, 1, 2, 3 )； B=求第二次比赛取得3个新球． 显然A0, A1, A2, A3构成一个完备事件组，由全概率公式 得：
P( A1 A2 | B) P( A1 | B) P( A2 | B), A1 A2 .
其他概率的性质如单调性,减法公式,加法公式等 条件概率同样具备.
计算条件概率有两种方法: (1) 在缩减的样本空间A中求B的 概率，就得到P(B|A).
nAB 2 P ( B | A) nA 3
解 设A={三次取出的均为黑球}，Ai = {第i次取出 的是黑球}，i=1, 2, 3，则有 A=A1 A2 A3．由题意得
b bc P( A1 ) , P( A2 | A1 ) , ab abc b 2c P( A3 | A1 A2 ) , a b 2c
故
b bc b 2c P( A) P( A1 A2 A3 ). a b a b c a b 2c
2 2 / 4 P ( AB ) P( A | B) p( A) 3 3/4 P( B)
1.3.1 条件概率与乘法公式
定义1 设 A，B为随机试验 E 的两个事件， 且 P(A)＞0，则称
P ( AB ) P ( B | A) P ( A)
为在事件 A已发生的条件下，事件B发生的条件概率.
该摸球模型称为卜里耶（Poloya）模型．上述概率 显然满足不等式 P(A1)＜P(A2|A1)＜P(A3|A1A2) . 这说明当黑球越来越多时，黑球被抽到的可能性也 就越来越大，这犹如某种传染病在某地流行时，如不 及时控制，则波及范围必将越来越大；地震也是如此， 若某地频繁地发生地震，从而被认为再次爆发地震的 可能性就比较大．所以，卜里耶模型常常被用作描述 传染病传播或地震发生的数学模型．
7 3 3 2 3 P ( A2 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 ) 10 9 10 9 10
所以
P ( A1 A2 ) 2 P ( A1 | A2 ) P ( A2 ) 9
例 一袋中装有a只白球，b只黑球，每次任取一球， 取后放回，并且再往袋中加进c只与取到的球同色的球， 如此连续取三次，试求三次均为黑球的概率．
1.3.2 全概率公式与贝叶斯公式 引例：设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白 球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒 任取2球，求从乙盒取出2个红球的概率． 解 B=B＝(A1∪A2∪A3)B＝ A1B∪ A2B∪A3B, P(B)=P(A1B∪A2B∪A3B) =P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B) = P(A1 )P(B| A1)＋P(A2)P(B| A2)＋P(A3)P(B|A3)
1 1 2 2 C2 C32 C32 0 C3C2 C2 3 2 2 2 2 2 2 . C5 C7 C5 C7 C5 C7 70
思考：这种解法是否可一般化？
1. 完备事件组（样本空间的一个划分） 定义1.3.2 设事件Ａ1, Ａ2, …,Ａn为 样本空间 的一组事件。 如果 A1 A2 (1) Ai Aj= （i≠j）; (2)
A , A B A B , (i j ).
i i 1
i j
n
3
按概率的可加性及乘法公式有
B B ( Ai ) B ( A1 B A2 B An B),
n i 1 n
P( B) P( AiB) P( AiB) P( Ai ) P( B | Ai ).
1.3.2 全概率公式与贝叶斯公式 引例：设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白 球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒 任取2球，求从乙盒取出2个红球的概率． 解 设A1＝从甲盒取出2个红球; A2 ＝从甲盒取出2 个白球; A3＝从甲盒取出1个白球1个红球; B=从乙盒取 出2个红球; 则 A1, A2, A3 两两互斥, 且A1∪A2∪A3 ＝, 所以 B = B＝(A1∪A2∪A3)B＝ A1B∪ A2B∪A3B, P(B)=P(A1B∪A2B∪A3B) =P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B) = P(A1 )P(B| A1)＋P(A2)P(B| A2)＋P(A3)P(B|A3)
P( AB) 0.12 P( A | B) 0.67 , P( B) 0.18
P( B | A)
P( AB) 0.12 0.60, P( A) 0.2
例
一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、
白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得 的是一只红球，试求该红球是新球的概率。 解:设 A=“从盒中随机取到一只红球” B = “从盒中随机取到一只新球”
P(An ｜A1 A2… An-1).
例 一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球， 先后两次从袋中各取一球（不放回） (1) 已知第一次取得黑球时，求第二次取得黑球的 概率； (2) 已知第二次取得黑球时，求第一次取得黑球的 概率。 解 设 Ai = “第 i 次取到的是黑球” (i = 1,2) 2 (1) P ( A2 | A1 ) 9 2 A3 1 (2) 由于 P ( A1 A2 ) 2 A10 15
若Ｐ(A)>0, 则 P(AB) = P(A)· P(B|A)
上面两式都称为乘法公式，利用它们可以计算两 个事件同时发生的概率.
乘法公式还可推广到三个事件的情形：
P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB). 推广 若P(A1 A2… An-1) >0，则 P(A1 A2… An)＝ P(A1 ) P(A2| A1) P(A3| A1 A2) …
§1.3 条件概率与贝叶斯公式
1.3.1 条件概率与乘法公式 1.3.2 全概率公式与贝叶斯公式
实际中，有时会遇到在某一事件A已经发生的条 件下，求另一事件B发生的概率，称这种概率为A发生 的条件下B发生的条件概率，记为 P ( B | A)，这种概率
一般不同于 P ( B ) 例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女 孩，问另一是男孩的概率是多大（假定一个小孩是男 还是女是等可能的） ？ 解 观察两个小孩性别的随机试验所构成的样本空 间 ={(男,男)、(男, 女)、(女, 男)、(女, 女)}． 设A={两个小孩中至少有一个男孩}，B={两个小孩中 至少有一个女孩}，C={一个男孩子一个女孩}，从而
1 在新样本空间B中，A {(2, 2)}, 于是，P ( A | B ) . 6
当 B 发生时，样本空间缩减为 B B 在新样本空间 B中，A {(1, 3),(3,1)}, 于是，
2 1 P( A | B) . 30 15
例 设某种动物由出生后活到20岁的概率为0.8， 活到25岁的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物活到 25岁的概率？ 解 设A={活到20岁}，B={活到25岁}， 则 P(A)=0.8, P(B)=0.4. 由于AB，有AB=B，因此P(AB)= P(B)=0.4， 于是所求概率为
例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩， 问另一是男孩的概率是多大（假定一个小孩是男还是女 是等可能的） ？ 解 A={(男, 男), (男, 女), (女, 男)}， B={(女, 女), (男, 女), (女, 男)}.
C={(男, 女), (女, 男)}. 显然，P ( A ) = P ( B ) = 3/4。现在 B 已经发生，排 除了有两个男孩的可能性，相当于样本空间由原来的 缩小到现在的 B = B，而事件相应地缩小到 C ={(男, 女)，(女, 男)}，因此
AB {(2, 2)}, AB {(1, 3),(3,1)}
于是所求概率为
P ( AB ) 1 36 1 P( A | B) , P ( B ) 6 36 6 P ( AB ) 2 36 1 P( A | B) . P( B) 30 36 15
例2 设试验E为掷两颗骰子，观察出现的点数。 用B表示事件“两颗骰子的点数相等”，用A表示事 件“两颗骰子的点数之和为4”，求A | B), P ( A | B). P( 解二 当B发生时，样本空间缩减为 B {(1,1),(2, 2),(3, 3),(4,4),(5,5),(6,6)}
P ( AB ) 0.4 P ( B | A) 0.5. P ( A) 0.8
例 甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余 年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分 别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，求： （1）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率；
（2）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率. 解 设A={甲市是雨天}，B={乙市是雨天}， P(A)=0.2， P(B)=0.18， P(AB)=0.12， 则
… An …
A
i 1
n
i

A3
则称Ａ1，Ａ2，…，Ａn为样本空间的一个划分。 例如上例中的 Ａ1＝从甲盒取出 2 个白球， Ａ2＝从甲盒取出 2 个红球， Ａ3＝从甲盒取出 1 个白球 1 个红球， 就构成了一个完备事件组。
2. 全概率公式 定理 设试验E的样本空间为Ω，设事件A1, A2, …, An为样本空间Ω的一个划分，且 P(Ai) >0 (i =1, 2, …, n). 则对任意事件B，有 … n A1 A2 P( B) P( Ai ) P( B | Ai). An B i 1 证明 因为Ai Aj = (i≠j) … A
n A 60
nAB 40
红 新
旧
白 30
10
nAB 2 P ( B | A) nA 3
40
20
或 P ( A) 60
40 P ( AB) 100 100 P ( AB) 0.4 2 P ( B | A) P ( A) 0 .6 3
定理1.3.1 乘法公式 P(A 若Ｐ(B)>0, 则 P(AB) = P(B)· |B)