1.3 条件概率与贝叶斯公式
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1-3条件概率 全概率 贝叶斯公式
§3条件概率
我们得
P ( AB ) P (B A) = P ( A)
P( AB) = P( A)P(B A)
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这就是两个事件的乘法公式． 这就是两个事件的乘法公式． 乘法公式
第一章 概率论的基本概念
2）多个事件的乘法公式 ）
个随机事件， 设 A1， A2， L， An 为 n 个随机事件，且
一个有限划分， 一个有限划分，即
( 1)
A1 ,
n k =1
A2 , L ,
=S ;
An 两两互不相容； 两两互不相容；
( 2 ) U Ak
( 3) P ( Ak ) > 0 ( k = 1,
2, L , n ) ;
则有： 则有：
P( A )P(B | A ) k k P( A | B) = P( Ak B) = , k = 1,2,L, n k n P(B) ∑ P( Aj )PB ) = ∑ P ( Ak )P (B Ak ).
k =1
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第一章 概率论的基本概念
全概率公式的证明： 全概率公式的证明： 由条件： 由条件：B S = 得
n
§3条件概率
n
U Ak
k =1
BA1
B = BA1 U BA2 LU BAn
B = U ( Ak B )
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(
)
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第一章 概率论的基本概念
§3条件概率
两台车床加工同一种零件共100个，结果如下 例 1 两台车床加工同一种零件共 个 合格品数 次品数 总计 30 5 35 第一台车床加工数 50 15 65 第二台车床加工数 80 20 100 总 计 个零件中任取一个是合格品} 设A={ 从100个零件中任取一个是合格品 个零件中任取一个是合格品 B={从100个零件中任取一个是第一台车床加工的 } 从 个零件中任取一个是第一台车床加工的 P 求： ( A) , P ( B ), P ( AB ), P ( A | B ) . 解：P ( A) = 80 , P (B ) = 35 , P ( AB ) = 30 , 100 100 100 30 80 P (A B) = ≠ P( A) = , 35 100 目 录 前一页 后一页 退 出
全概率公式贝叶斯公式推导过程
全概率公式贝叶斯公式推导过程Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...An-1) > 0 时，有：P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足，B2....两两互斥，即 Bi∩ Bj= ，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(Bi)>0,i=1,2,....;∪B2∪....=Ω，则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi ),P(A|Bi)(i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A 的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
条件概率、全概公式、贝叶斯公式
应用定义
P(AB 3 36 1 ) P(A| B) = = = 。 P(B ) 6 36 2 解法2: 解法 P(A| B) = 3 = 1。 6 2
在B发生后的 发生后的 缩减样本空间 中计算
设某种动物由出生算起活到20年以上的 例2: 设某种动物由出生算起活到 年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为 年以上的概率为0.4。 概率为 ，活到 年以上的概率为 。问 现年20岁的这种动物 它能活到25岁以上的 岁的这种动物， 现年 岁的这种动物，它能活到 岁以上的 概率是多少？ 概率是多少？ 能活20年以上 能活25年以上 解:设A={能活 年以上 B={能活 年以上 设 能活 年以上}, 能活 年以上}, 所求为P(B|A) 。 所求为 依题意， 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4， ，
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。” 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大
我们用A 表示“ 个人抽到入场券 个人抽到入场券” 我们用 i表示“第i个人抽到入场券”， i＝1,2,3,4,5。 ＝ 。 表示“ 个人未抽到入场券 个人未抽到入场券” 则 A “第i个人未抽到入场券”， 表示 i 显然，P(A1)=1/5，P( A)＝4/5， 显然， ， ， 1＝ 也就是说， 也就是说， 个人抽到入场券的概率是1/5。 第1个人抽到入场券的概率是 。 个人抽到入场券的概率是
乙两厂共同生产1000个零件，其中 个零件， 例3: 甲、乙两厂共同生产 个零件 其中300 件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有189个 个零件中， 件是乙厂生产的。而在这 个零件中 个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件中任取一个， 是标准件，现从这 个零件中任取一个 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 零件是乙厂生产}， 设B={零件是乙厂生产 ， 零件是乙厂生产 A={是标准件 ， 是标准件}， 是标准件 所求为P(AB)。 。 所求为
P(AB 3 36 1 ) P(A| B) = = = 。 P(B ) 6 36 2 解法2: 解法 P(A| B) = 3 = 1。 6 2
在B发生后的 发生后的 缩减样本空间 中计算
设某种动物由出生算起活到20年以上的 例2: 设某种动物由出生算起活到 年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为 年以上的概率为0.4。 概率为 ，活到 年以上的概率为 。问 现年20岁的这种动物 它能活到25岁以上的 岁的这种动物， 现年 岁的这种动物，它能活到 岁以上的 概率是多少？ 概率是多少？ 能活20年以上 能活25年以上 解:设A={能活 年以上 B={能活 年以上 设 能活 年以上}, 能活 年以上}, 所求为P(B|A) 。 所求为 依题意， 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4， ，
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。” 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大
我们用A 表示“ 个人抽到入场券 个人抽到入场券” 我们用 i表示“第i个人抽到入场券”， i＝1,2,3,4,5。 ＝ 。 表示“ 个人未抽到入场券 个人未抽到入场券” 则 A “第i个人未抽到入场券”， 表示 i 显然，P(A1)=1/5，P( A)＝4/5， 显然， ， ， 1＝ 也就是说， 也就是说， 个人抽到入场券的概率是1/5。 第1个人抽到入场券的概率是 。 个人抽到入场券的概率是
乙两厂共同生产1000个零件，其中 个零件， 例3: 甲、乙两厂共同生产 个零件 其中300 件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有189个 个零件中， 件是乙厂生产的。而在这 个零件中 个 是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这 个零件中任取一个， 是标准件，现从这 个零件中任取一个 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？ 零件是乙厂生产}， 设B={零件是乙厂生产 ， 零件是乙厂生产 A={是标准件 ， 是标准件}， 是标准件 所求为P(AB)。 。 所求为
全概率公式—叶贝斯公式课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册
P(A1)
0.26
13
例如2：试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个
答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答
案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该
考生会做这道题的概率为0.85.
(1)求该考生选出此题正确答案的概率；
(2)已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．
如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起
的概率，则用Bayes公式 即求 PAi B
P ( B1 | A)
0.397.
P ( A)
P ( A)
0.956
例6 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列. 由于随机因素的干
扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0. 已知发送信号0时，接收
为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为
0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的.
i 1
2. 贝叶斯公式：
设A1 ,A2 ,,An是一组两两互斥的事件,A1
A2
An ,且P ( Ai ) 0 ,
i 1,2,,n,则对任意的事件B ,P ( B) 0 ,有
P ( Ai B ) P ( Ai ) P ( B | Ai )
P ( Ai ) P ( B | Ai )
P(B)
0.475
1
=
19
课堂小结：
1. 全概率公式：
一般地,设A1 ,A2 , ,An是一组两两互斥的事件,A1
A2
An ,且
P ( Ai ) 0,i 1,2, ,n,则对任意的事件B ,有
0.26
13
例如2：试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个
答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答
案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该
考生会做这道题的概率为0.85.
(1)求该考生选出此题正确答案的概率；
(2)已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．
如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起
的概率，则用Bayes公式 即求 PAi B
P ( B1 | A)
0.397.
P ( A)
P ( A)
0.956
例6 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列. 由于随机因素的干
扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0. 已知发送信号0时，接收
为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为
0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的.
i 1
2. 贝叶斯公式：
设A1 ,A2 ,,An是一组两两互斥的事件,A1
A2
An ,且P ( Ai ) 0 ,
i 1,2,,n,则对任意的事件B ,P ( B) 0 ,有
P ( Ai B ) P ( Ai ) P ( B | Ai )
P ( Ai ) P ( B | Ai )
P(B)
0.475
1
=
19
课堂小结：
1. 全概率公式：
一般地,设A1 ,A2 , ,An是一组两两互斥的事件,A1
A2
An ,且
P ( Ai ) 0,i 1,2, ,n,则对任意的事件B ,有
1.3,1.4条件概率,全概率公式
解 设 A表示抽到的为男子，B表示抽到的是女子。
C表示抽到的人有色盲症。
则
1 P( A) P( B) , P(C | A) 0.05, P(C | B) 0.0025 2
由Bayes公式有
P( A) P(C | A) 0.5 0.05 P( A | C ) P( A) P(C | A) P( B) P(C | B) 0.5 0.05 0.5 0.0025
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P( A3 ) P( A3) P( A3 ( A1 A2 A1 A2 A1 A2 ))
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
i 1 n
全概率公式
证明 B B B ( A A A ) 1 2 n
BA1 BA2 BAn .
由 Ai A j ( BAi )( BAj ) P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
解
设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P( A) 0.7 100 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 （2）方法1： 70 P( A B) 0.7368 95 方法2：
C表示抽到的人有色盲症。
则
1 P( A) P( B) , P(C | A) 0.05, P(C | B) 0.0025 2
由Bayes公式有
P( A) P(C | A) 0.5 0.05 P( A | C ) P( A) P(C | A) P( B) P(C | B) 0.5 0.05 0.5 0.0025
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P( A3 ) P( A3) P( A3 ( A1 A2 A1 A2 A1 A2 ))
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
i 1 n
全概率公式
证明 B B B ( A A A ) 1 2 n
BA1 BA2 BAn .
由 Ai A j ( BAi )( BAj ) P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
解
设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P( A) 0.7 100 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 （2）方法1： 70 P( A B) 0.7368 95 方法2：
全概率公式、贝叶斯公式推导过程
全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足1.B1，B2....两两互斥，即B i ∩ B j = ∅，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事件AB1,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+AB n, 每一B i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B i)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
高中数学第6章概率1随机事件的条件概率1.3全概率公式课件北师大版选择性必修第一册
P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则 P(Bi|A)=
( )(| )
∑ P(B j )P(A|B j )
.
=1
称上式为贝叶斯(Bayes)公式.
(2)贝叶斯公式的思想:“执果溯因”,即在观察到事件A已发生的条件下,寻找
导致A发生的 每个原因 的概率.
3.两个地区C1和C2的人口比例是1∶3,已知C1地区患某病的概率是0.1%,C2
“取到的元件不合格”,由全概率公式可得
P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.25×0.05+0.30×0.04+0.45×0.03=0.038.由条件概率
(1 )
知,P(B1|A)= ()
=
(1 )(|1 )
()
=
0.25×0.05
≈0.328
0.038
9.
2.(1)贝叶斯公式:设B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分,若
P(B2)=0.35,P(B3)=0.25,P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.92,P(A|B3)=0.90.
从而由全概率公式,可知P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)·P(A|B3)
=0.4×0.95+0.35×0.92+0.25×0.9=0.927.
由全概率公式得
3
1
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=4×0.1%+4×0.02%=0.000
由贝叶斯公式得所求概率为
答案:0.625
P(B 1 )P(A|B 1 )
P(B1|A)= P(A)
=
4.
( )(| )
∑ P(B j )P(A|B j )
.
=1
称上式为贝叶斯(Bayes)公式.
(2)贝叶斯公式的思想:“执果溯因”,即在观察到事件A已发生的条件下,寻找
导致A发生的 每个原因 的概率.
3.两个地区C1和C2的人口比例是1∶3,已知C1地区患某病的概率是0.1%,C2
“取到的元件不合格”,由全概率公式可得
P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.25×0.05+0.30×0.04+0.45×0.03=0.038.由条件概率
(1 )
知,P(B1|A)= ()
=
(1 )(|1 )
()
=
0.25×0.05
≈0.328
0.038
9.
2.(1)贝叶斯公式:设B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分,若
P(B2)=0.35,P(B3)=0.25,P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.92,P(A|B3)=0.90.
从而由全概率公式,可知P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)·P(A|B3)
=0.4×0.95+0.35×0.92+0.25×0.9=0.927.
由全概率公式得
3
1
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=4×0.1%+4×0.02%=0.000
由贝叶斯公式得所求概率为
答案:0.625
P(B 1 )P(A|B 1 )
P(B1|A)= P(A)
=
4.
1.3概率的运算法则解读
定理3 (概率的乘法公式)
若P ( A) 0, 则P ( AB ) P ( A) P ( B A). 同样, 若P ( B ) 0, P ( AB ) P ( B ) P ( A B ).
从而有P( AB) P ( A) P( B A) P ( B) P( A B).
推论
若 P ( A1 A2 An1 ) 0, 则
P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB) PAC ) P ( BC ) P ( ABC )
推论 若A、B、C为任意三事件，则
对任意的n个事件有 P ( A1 A2 An ) P ( Ai )
1 i j k n
e
e (1 1
k
) 1e
则
P ( A) 1 P ( A ) 1 P ( A0 ) 1 e
所得结果与上同。
这里所讲的两种解法较为典型。前者从事件的互 斥分解开始，通常称为直接解法。其优点是较为直观， 易于理解，缺点是计算较繁琐。后者是从对立事件出 发，通常称为间接解法。其优点是应用了对立事件的 概率计算公式，使计算过程大为简化，在具体解决实 际问题中，应注意此方法的运用。
(2) 若已知选的一套住房是经济适用房，求它被困难 户购买的概率。
解 设A={任选一套住房被困难户购买}
3000 6 在已知B 发生的条件下，A的概率为 P( A B) 3500 7
(1) 由表可知，样本空间所含基本事件数为5000， 有利于A的基本事件数为3200。 3200 16 所以 P ( A) 5000 25 (2) B={ 选出的一套住房为经济适用房}
若P ( A) 0, 则P ( AB ) P ( A) P ( B A). 同样, 若P ( B ) 0, P ( AB ) P ( B ) P ( A B ).
从而有P( AB) P ( A) P( B A) P ( B) P( A B).
推论
若 P ( A1 A2 An1 ) 0, 则
P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB) PAC ) P ( BC ) P ( ABC )
推论 若A、B、C为任意三事件，则
对任意的n个事件有 P ( A1 A2 An ) P ( Ai )
1 i j k n
e
e (1 1
k
) 1e
则
P ( A) 1 P ( A ) 1 P ( A0 ) 1 e
所得结果与上同。
这里所讲的两种解法较为典型。前者从事件的互 斥分解开始，通常称为直接解法。其优点是较为直观， 易于理解，缺点是计算较繁琐。后者是从对立事件出 发，通常称为间接解法。其优点是应用了对立事件的 概率计算公式，使计算过程大为简化，在具体解决实 际问题中，应注意此方法的运用。
(2) 若已知选的一套住房是经济适用房，求它被困难 户购买的概率。
解 设A={任选一套住房被困难户购买}
3000 6 在已知B 发生的条件下，A的概率为 P( A B) 3500 7
(1) 由表可知，样本空间所含基本事件数为5000， 有利于A的基本事件数为3200。 3200 16 所以 P ( A) 5000 25 (2) B={ 选出的一套住房为经济适用房}
§1.3 条件概率与贝叶斯公式
A={(男, 男), (男, 女), (女, 男)}，B={(女, 女), (男, 女), (女, 男)}. 显然，P(A)=P(B)=3/4．现在B已经发生，排除了有两个男孩的 可能性，相当于样本空间由原来的缩小到现在的 B=B，而事件 相应地缩小到={(男, 女)，(女, 男)}，因此 2 2 / 4 P( AB) P( A | B) p( A) 3 3/ 4 P( B)
第一章
§1.3 条件概率与贝叶斯公式
第7页
定理1.3.1 乘法公式 若Ｐ(B)>0, 则 若Ｐ(A)>0, 则
P(AB) = P(B)· P(A |B)
P(AB) = P(A)· P(B|A)
推广 若P(A1 A2… An-1)>0，则 P(A1 A2… An)＝ P(A1 ) P(A2| A1) P(A3| A1 A2) … P(An ｜A1 A2… An-1). 证 反复应用两个事件的乘法公式，得到
P ( AB) 0.12 P( A | B) 0.67 , P( B) 0.18
P ( AB) 0.12 P ( B | A) 0.60, P( A) 0.2
第一章
§1.3 条件概率与贝叶斯公式
第6页
课堂练习
(1) 设P(B)＞0，且AB，则下列必然成立的是( (2) ) ① P(A)<P(A|B) ② P(A)≤P(A|B) ③ P(A)>P(A|B) ④ P(A)≥P(A|B) (2) P(A)=0.6, P(AB)=0.84, P(B|A)=0.4, 则 P(B)=( 0.6 ).
解 设A={活到20岁}，B={活到25岁}， 则 P(A)=0.8, P(B)=0.4. 由于AB，有AB=B，因此P(AB)= P(B)=0.4， 于是所求概率为
条件概率,全概率公式,贝叶斯公式
条件概率
在实际问题中经常考虑在一个事 件发生的前提下另一个事件发生的概 率，这样就引入了条件概率的概念。 条件概率中同时考虑了两个事件， A与B． 在B发生的前提下考虑A发生的可能性的大小。 用记号P（A|B）表示。 合理的看法是P（A|B）与P（AB）成正比： 用公式表达如下 P（A/B）， P（A/B）=kP（AB） 因为P（B/B）=1=kP（BB）=kP（B） 所以k=1/P（B） 得到P（A/B）= 当然有P（B）>0. 上面作为条件概率的定义。 容易证明，条件概率也满足概率定义中三条公理 所以条件概率也是概率。 条件概率的运算规律与、普通概率完全一样。 特别有： 例1．4．2 设一批产品中一，二，三等品各占 60%，30%，10%。从中随意抽取一件， 发现不是三等品，求此产品不是一等品 的概率。 解： 设Ai表示“取出的产品是i等品“，i=1， 2，3， 则：
例.1.4.4。 解:
全概率公式与贝叶斯公式.
全概率公式是一个计算复杂事件的概率的公式:
其基本想法是样本空间的划分的概念. ,
全概率公式可以理解为各个条件概 率的一种平均值。（加权平均，权重为 各种可能的可能性大小）。
贝叶斯公式： 是一个计算复杂的条件概率的公式：
注意到上式的特点，贝叶斯公式也叫逆概公式。
通常条件概率不是通过定义计算的。 而是用其它方法计算（或者是直接给 出）。其中一种常用的方法是缩减样本空 间。
乘法公式： P（AB）=P（A/B）P（Bபைடு நூலகம்=P（B/A）P（A）
使用乘法公式的注意事项： 1． 先发生的当条件 2． 简单的当条件 3． 用问题中已经知道（或者容易计算的）的为条件。
例1．4．3 已知P（A）=0.6,P(C)=0.2,P(AC)=0.1, P(B|)=0.7,A,求 解:
在实际问题中经常考虑在一个事 件发生的前提下另一个事件发生的概 率，这样就引入了条件概率的概念。 条件概率中同时考虑了两个事件， A与B． 在B发生的前提下考虑A发生的可能性的大小。 用记号P（A|B）表示。 合理的看法是P（A|B）与P（AB）成正比： 用公式表达如下 P（A/B）， P（A/B）=kP（AB） 因为P（B/B）=1=kP（BB）=kP（B） 所以k=1/P（B） 得到P（A/B）= 当然有P（B）>0. 上面作为条件概率的定义。 容易证明，条件概率也满足概率定义中三条公理 所以条件概率也是概率。 条件概率的运算规律与、普通概率完全一样。 特别有： 例1．4．2 设一批产品中一，二，三等品各占 60%，30%，10%。从中随意抽取一件， 发现不是三等品，求此产品不是一等品 的概率。 解： 设Ai表示“取出的产品是i等品“，i=1， 2，3， 则：
例.1.4.4。 解:
全概率公式与贝叶斯公式.
全概率公式是一个计算复杂事件的概率的公式:
其基本想法是样本空间的划分的概念. ,
全概率公式可以理解为各个条件概 率的一种平均值。（加权平均，权重为 各种可能的可能性大小）。
贝叶斯公式： 是一个计算复杂的条件概率的公式：
注意到上式的特点，贝叶斯公式也叫逆概公式。
通常条件概率不是通过定义计算的。 而是用其它方法计算（或者是直接给 出）。其中一种常用的方法是缩减样本空 间。
乘法公式： P（AB）=P（A/B）P（Bபைடு நூலகம்=P（B/A）P（A）
使用乘法公式的注意事项： 1． 先发生的当条件 2． 简单的当条件 3． 用问题中已经知道（或者容易计算的）的为条件。
例1．4．3 已知P（A）=0.6,P(C)=0.2,P(AC)=0.1, P(B|)=0.7,A,求 解:
1.3 条件概率、全概率公式
• 例1.20 由以往的临床记录，某种诊断癌症的实 验具有如下效果：被诊断者有癌症，实验反应 为阳性的概率为0.95，被诊断者没有癌症，实 验反应为阴性的概率为0.98，现对自然人群进 行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为 0.005，求：已知实验反应为阳性，该被诊断者 确有癌症的概率。
P(A|B)= 1/3. 容易看到
P(A|B) 1 1 6 P( AB) 3 3 6 P(B)
1. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称
P( A | B) P( AB)
(1)
P(B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
“条件概率”是“概率”吗？
条件概率符合概率定义中的三个条件 对概率所证明的一些结果都是用） 设A、B ，P(A)>0,则 P(AB)＝P(A)P(B|A).
推广到三个事件的情形： P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).
• 例1.15 一批彩电，共100台，其中有10台次品， 采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽1台，求 第三次抽到合格品的概率。
如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率， 将此概率记作P(A|B).
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}，P(A )=1/6，P(A|B)=？
已知事件B发生，此时试验所有可能
结果构成的集合就是B，
掷骰子
B中共有3个元素,它们的出现是等
可能的,其中只有1个在集A中. 于是
定理1.3 贝叶斯公式
设事件A1, A2 ,..., An是的一个划分，B是任意一个事件
且P(B)>0, P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则有
1.3全概率公式课件-高二上学期数学北师大版选择性
0.2 0.4 0.5 0.2 0.2 0.6 0.1 0.2 0.32
当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为1-0.32=0.68.
2、全概率公式
例9：某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中 成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能 生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，求从该厂产品中任 意取出一件成品是优等品的概率.
P( A1) 50%, P( A2 ) 30%, P( A3) 20%, P(B | A1) 95%, P(B | A2 ) 90%, P(B | A3) 70%. P(B) P( A1)P(B | A1) P( A2 )P(B | A2 ) P( A3)P(B | A3)
50% 95% 30% 90% 20% 70% 88.5%.
次品，则它是第1台车床加工的概率为_32_25_9_．
P
A1
5
5 7
8
0.25,
P
A2
5
7 7
8
0.35,
P
A3
5
8 7
8
0.4
P B | A1 0.05, P B | A2 0.04, P B | A3 0.03
60%.某天生产线启动时，产出的第一件产品是合格品，求当天生产
线初始状态良好的概率（精确到0.1%）.
解答：用A表示生产线初始状态良好，B表示产品为合格品.则由已知有
P( A) 80%, P(B | A) 95%, P(B | A) 60%.
从而 P( A) 1 80% 20%, 因此由贝叶斯公式可知
P( A | B) P( A)P(B | A)
P( A)P(B | A)
当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为1-0.32=0.68.
2、全概率公式
例9：某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中 成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能 生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，求从该厂产品中任 意取出一件成品是优等品的概率.
P( A1) 50%, P( A2 ) 30%, P( A3) 20%, P(B | A1) 95%, P(B | A2 ) 90%, P(B | A3) 70%. P(B) P( A1)P(B | A1) P( A2 )P(B | A2 ) P( A3)P(B | A3)
50% 95% 30% 90% 20% 70% 88.5%.
次品，则它是第1台车床加工的概率为_32_25_9_．
P
A1
5
5 7
8
0.25,
P
A2
5
7 7
8
0.35,
P
A3
5
8 7
8
0.4
P B | A1 0.05, P B | A2 0.04, P B | A3 0.03
60%.某天生产线启动时，产出的第一件产品是合格品，求当天生产
线初始状态良好的概率（精确到0.1%）.
解答：用A表示生产线初始状态良好，B表示产品为合格品.则由已知有
P( A) 80%, P(B | A) 95%, P(B | A) 60%.
从而 P( A) 1 80% 20%, 因此由贝叶斯公式可知
P( A | B) P( A)P(B | A)
P( A)P(B | A)
1.3 条件概率
解 易知此属古典概型问题.
P ( AB ) P ( B A) = P ( A)
3 2 4 3 3 3 4 3
6 12 2 . 9 12 3
二、乘法定理
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
乘法定理 设P ( A) 0, 则有 P ( AB ) P ( A) P ( B A) 推广 设A, B , C为事件, 且P ( AB ) 0, 则有
P ( An A1 A2 An1 )
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型. 例5 设袋中装有r只红球, t只白球. 每次自袋 中任取一只球, 观察其颜色然后放回, 并再放入a只
与所取出的那只球同色的球. 若在袋中连续取球四 次, 试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白 球的概率. 解 以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”
事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为
P( B A).
例2 全年级100名学生中，有男生(事件A)80人，女生 20人；来自福州的(事件B)有20人，其中男生12人， 女生8人；免修英语(事件C)有40人，其中男生32人， 女生8人。试写出 P(A), P(B), P(C), P(B | A), P(A | B), P(AB),
解：由题设 P(A)=0.7 P(Ā)=0.3 P(B|A)=0.95 P(B|Ā)=0.8 甲厂生产的合格品，即 P(AB)=P(A)P(B|A)=0.7×0.95 =0.665 乙厂生产的合格品，即 P(ĀB)=P(Ā)P(B|Ā)=0.3×0.8 =0.24 B=AB ĀB且AB与ĀB互不相容。 P(B)=P(AB ĀB) =P(AB)+P(ĀB) =P(A)P(B|A)+P(Ā)P(B|Ā) =0.7×0.95+0.3×0.8 =0.905 P( A)P( B | A) P(AB) P(A | B) P( A)P( B | A) P(A)P( B | A) P( B) 0.7 0.95 0.735 0.7 0.95 0.3 0.8
13条件概率全概公式贝叶斯公式
打破的概率是 7 ,若前两次未打破 , 第三次落下打
破的概率是
9
10 ,试求透镜落下三次未打破的概率 .
10
解 设 Ai 透镜第 i 次落下打破,i 1,2,3 ,
B 透镜落下三次未打破 ,则 B A1A2 A3 .
PB PA1A2 A3 PA1 PA2 | A1 PA3 | A1A2
1
1 2
1
7 10
1
9 10
3 200
.
本题也可以先求 PB ,再由 PB 1 PB 求得 PB .
由于 B A1 A1 A2 A1 A2 A3 并 , 且 A1, A1A2 , A1A2 A3 为两两不相容事件, 故有
PB PA1 A1A2 A1A2 A3
PA1 PA1A2 PA1A2 A3
PB1 PA | B1 PBn PA | Bn n
PBi PA | Bi
i 1
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式 .
全概率公式的基本思想是把一个未知的复杂事件 分解为若干个已知的简单事件再求解 , 而这些简单 事件组成一个互不相容事件组 ,使得某个未知事件 A 与这组互不相容事件中至少一个同时发生 ,故在 应用此全概率公式时 ,关键是要找到一个合适的 S 的一个划分.
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式.
某一事件A的发生有各种可能的原因 ，如果A 是由原因Bi (i=1,2,…,n) 所引起，则A发生的概率是
P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi)
每一原因都可能导致A发生，故A发 生的概率是各原因引起A发生概率的总和， 即全概率公式.
由此可以形象地把全概率公式看成为“由原 因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“ 作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作 用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系
概率论与数理统计(4)
为试验E的样本空间 B 的样本空间， 定理 1.2 设Ω为试验 的样本空间， 1，B2，...Bn 为Ω的一个 分割,且 分割 且 P( Bi ) > 0 (i = 1,2,...n), 则对E的任一事件 有 则对 的任一事件A有 的任一事件 … … … B2 A …
(1) P( A) = P B1）（A | B1）+（B2）（A | B2）+...+（Bn）（A | Bn） （ P P P P P
50 1 (1) P ( A ) = = 500 10 10 1 (2) P ( A | B ) = = 200 20
10 10 500 P ( AB ) P(A | B) = = = 200 200 500 P(B)
对于一般的古典概型问题，设样本点总数为 , 对于一般的古典概型问题，设样本点总数为n,事件B 包含m个样本点，事件AB包含k个样本点，则有 包含 个样本点，事件AB包含 个样本点， 个样本点 AB包含 个样本点
P ( A) = 5 P ( A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ A4 ⋅ A5 ) =5 P ( A1 ) P ( A2 ⋅ A3 ⋅ A4 ⋅ A5 A1 ) 4! 1 1 1 3 =5 × × 1 − 1 − + − = 5! 2! 3! 4! 8
已知某工厂生产的产品的合格率为0.96，而合格品中的 例6 已知某工厂生产的产品的合格率为 ， 一级品率为0.75.求该厂产品的一级品率。 求该厂产品的一级品率。 一级品率为 求该厂产品的一级品率 表示“ 表示“ 解 设A表示“产品是一级品”，B表示“产品是合格品”，依题设 表示 产品是一级品” 表示 产品是合格品”
条件概率
符合概率定义中的三个条件： 符合概率定义中的三个条件： P( A | B)
条件概率贝叶斯公式与条件概率的关系
条件概率贝叶斯公式与条件概率的关系
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
而贝叶斯公式则是用来计算在已知一些先验概率和新的证据后，更新我们对某一事件概率的推断。
条件概率和贝叶斯公式之间有着密切的关系。
事实上，贝叶斯公式可以被视为是条件概率的一种特殊形式，其中先验概率和证据的概率都是条件概率。
具体来说，贝叶斯公式可以表示为P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)，其中P(A|B)表示在B发生的条件下，A发生的概率；P(B|A)表示在A 发生的条件下，B发生的概率；P(A)表示A发生的先验概率；P(B)表示B发生的总概率。
可以看到，P(A|B)和P(B|A)都是条件概率，而贝叶斯公式则将
它们联系起来，使我们能够在已知一些信息的情况下，计算我们对某一事件概率的更新值。
因此，条件概率和贝叶斯公式都是统计学和机器学习中非常重要的概念，它们在数据分析、预测和决策等方面都有着广泛的应用。
- 1 -。
1.3续全概率公式和贝叶斯公式
3 P( A ) 5 4 P( B | A ) 5 2 P( A ) 5 3 P( B | A ) 5
所以
P( B ) P( A )P( B | A ) P( A )P( B | A )
3 4 2 3 18 5 5 5 5 25
又
2 P( C | B ) 5
全概率公式
设B1 ，B2 ，...，Bn 构成一个完备事件组，且Ｐ(Bi )＞0, i＝1，2，...，n，则对任一随机事件A，有
P( A) P( Bi ) P( A | Bi )
i 1
n
B1 B2 B3
P( B1 ) P( A | B1 ) P( B2 ) P( A | B2 ) P( B3 ) P( A | B3 )
解：设A={利率下调}, B={股票价格上涨},则 P(A)=0.6, P(B|A)=0.8. 由全概率公式，得
P(B) P(A)P(B | A) + P(A)P(B | A)
0.60 0.80 0.40 0.40 0.64;
概率论与数理统计
注：全概率公式给出了一个计算“多因一果” 事件中“结果”发生的概率，即当知道了各 种原因Bi(i=1,2,…,n)发生的条件下，求事件A 发生的概率可以通过全概率公式求得。
证明
P ( Bk P ( ABk ) A) P ( A)
P( Bk ) P( A | Bk )
P( B ) P( A B )
i 1 i i
n
小结
P( AB ) 1.条件概率 P( B | A ) P( A )
乘法公式
P(AB)=P(A)P(B|A)
全概率公式
P ( A) P ( A Bi ) P ( Bi )
所以
P( B ) P( A )P( B | A ) P( A )P( B | A )
3 4 2 3 18 5 5 5 5 25
又
2 P( C | B ) 5
全概率公式
设B1 ，B2 ，...，Bn 构成一个完备事件组，且Ｐ(Bi )＞0, i＝1，2，...，n，则对任一随机事件A，有
P( A) P( Bi ) P( A | Bi )
i 1
n
B1 B2 B3
P( B1 ) P( A | B1 ) P( B2 ) P( A | B2 ) P( B3 ) P( A | B3 )
解：设A={利率下调}, B={股票价格上涨},则 P(A)=0.6, P(B|A)=0.8. 由全概率公式，得
P(B) P(A)P(B | A) + P(A)P(B | A)
0.60 0.80 0.40 0.40 0.64;
概率论与数理统计
注：全概率公式给出了一个计算“多因一果” 事件中“结果”发生的概率，即当知道了各 种原因Bi(i=1,2,…,n)发生的条件下，求事件A 发生的概率可以通过全概率公式求得。
证明
P ( Bk P ( ABk ) A) P ( A)
P( Bk ) P( A | Bk )
P( B ) P( A B )
i 1 i i
n
小结
P( AB ) 1.条件概率 P( B | A ) P( A )
乘法公式
P(AB)=P(A)P(B|A)
全概率公式
P ( A) P ( A Bi ) P ( Bi )
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A , A B A B , (i j ).
i i 1
i j
n
3
按概率的可加性及乘法公式有
B B ( Ai ) B ( A1 B A2 B An B),
n i 1 n
P( B) P( AiB) P( AiB) P( Ai ) P( B | Ai ).
P( A1 A2 | B) P( A1 | B) P( A2 | B), A1 A2 .
其他概率的性质如单调性,减法公式,加法公式等 条件概率同样具备.
计算条件概率有两种方法: (1) 在缩减的样本空间A中求B的 概率，就得到P(B|A).
nAB 2 P ( B | A) nA 3
解 设A={三次取出的均为黑球}，Ai = {第i次取出 的是黑球}，i=1, 2, 3，则有 A=A1 A2 A3．由题意得
b bc P( A1 ) , P( A2 | A1 ) , ab abc b 2c P( A3 | A1 A2 ) , a b P( A1 A2 A3 ). a b a b c a b 2c
2 2 / 4 P ( AB ) P( A | B) p( A) 3 3/4 P( B)
1.3.1 条件概率与乘法公式
定义1 设 A，B为随机试验 E 的两个事件， 且 P(A)＞0，则称
P ( AB ) P ( B | A) P ( A)
为在事件 A已发生的条件下，事件B发生的条件概率.
i 1 i 1 i 1
n
n
3. 全概率公式的应用 如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而成，E1 有若干种可能的结果，E2在E1的基础上也有若干种可 能的结果，如果求和E2的结果有关事件的概率，可以 用全概率公式．试验E１的几种可能的结果就构成了完 备事件组。
例 设袋中有12个球, 9个新球, 3个旧球. 第一次比 赛取3球, 比赛后放回, 第二次比赛再任取3球, 求第二次 比赛取得3个新球的概率. 解 Ai=第一次比赛恰取出i个新球（i=0, 1, 2, 3 )； B=求第二次比赛取得3个新球． 显然A0, A1, A2, A3构成一个完备事件组，由全概率公式 得：
AB {(2, 2)}, AB {(1, 3),(3,1)}
于是所求概率为
P ( AB ) 1 36 1 P( A | B) , P ( B ) 6 36 6 P ( AB ) 2 36 1 P( A | B) . P( B) 30 36 15
例2 设试验E为掷两颗骰子，观察出现的点数。 用B表示事件“两颗骰子的点数相等”，用A表示事 件“两颗骰子的点数之和为4”，求A | B), P ( A | B). P( 解二 当B发生时，样本空间缩减为 B {(1,1),(2, 2),(3, 3),(4,4),(5,5),(6,6)}
若Ｐ(A)>0, 则 P(AB) = P(A)· P(B|A)
上面两式都称为乘法公式，利用它们可以计算两 个事件同时发生的概率.
乘法公式还可推广到三个事件的情形：
P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB). 推广 若P(A1 A2… An-1) >0，则 P(A1 A2… An)＝ P(A1 ) P(A2| A1) P(A3| A1 A2) …
P(An ｜A1 A2… An-1).
例 一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球， 先后两次从袋中各取一球（不放回） (1) 已知第一次取得黑球时，求第二次取得黑球的 概率； (2) 已知第二次取得黑球时，求第一次取得黑球的 概率。 解 设 Ai = “第 i 次取到的是黑球” (i = 1,2) 2 (1) P ( A2 | A1 ) 9 2 A3 1 (2) 由于 P ( A1 A2 ) 2 A10 15
n A 60
nAB 40
红 新
旧
白 30
10
nAB 2 P ( B | A) nA 3
40
20
或 P ( A) 60
40 P ( AB) 100 100 P ( AB) 0.4 2 P ( B | A) P ( A) 0 .6 3
定理1.3.1 乘法公式 P(A 若Ｐ(B)>0, 则 P(AB) = P(B)· |B)
1 在新样本空间B中，A {(2, 2)}, 于是，P ( A | B ) . 6
当 B 发生时，样本空间缩减为 B B 在新样本空间 B中，A {(1, 3),(3,1)}, 于是，
2 1 P( A | B) . 30 15
例 设某种动物由出生后活到20岁的概率为0.8， 活到25岁的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物活到 25岁的概率？ 解 设A={活到20岁}，B={活到25岁}， 则 P(A)=0.8, P(B)=0.4. 由于AB，有AB=B，因此P(AB)= P(B)=0.4， 于是所求概率为
该摸球模型称为卜里耶（Poloya）模型．上述概率 显然满足不等式 P(A1)＜P(A2|A1)＜P(A3|A1A2) . 这说明当黑球越来越多时，黑球被抽到的可能性也 就越来越大，这犹如某种传染病在某地流行时，如不 及时控制，则波及范围必将越来越大；地震也是如此， 若某地频繁地发生地震，从而被认为再次爆发地震的 可能性就比较大．所以，卜里耶模型常常被用作描述 传染病传播或地震发生的数学模型．
P( AB) 0.12 P( A | B) 0.67 , P( B) 0.18
P( B | A)
P( AB) 0.12 0.60, P( A) 0.2
例
一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、
白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得 的是一只红球，试求该红球是新球的概率。 解:设 A=“从盒中随机取到一只红球” B = “从盒中随机取到一只新球”
1.3.2 全概率公式与贝叶斯公式 引例：设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白 球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒 任取2球，求从乙盒取出2个红球的概率． 解 B=B＝(A1∪A2∪A3)B＝ A1B∪ A2B∪A3B, P(B)=P(A1B∪A2B∪A3B) =P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B) = P(A1 )P(B| A1)＋P(A2)P(B| A2)＋P(A3)P(B|A3)
7 3 3 2 3 P ( A2 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 ) 10 9 10 9 10
例 一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球， 先后两次从袋中各取一球（不放回） (1) 已知第一次取得黑球时，求第二次取得黑球的 概率； (2) 已知第二次取得黑球时，求第一次取得黑球的 概率。 解 设 Ai = “第 i 次取到的是黑球” (i = 1,2) 2 A3 1 (2) 由于 P ( A1 A2 ) 2 A10 15
… An …
A
i 1
n
i
A3
则称Ａ1，Ａ2，…，Ａn为样本空间的一个划分。 例如上例中的 Ａ1＝从甲盒取出 2 个白球， Ａ2＝从甲盒取出 2 个红球， Ａ3＝从甲盒取出 1 个白球 1 个红球， 就构成了一个完备事件组。
2. 全概率公式 定理 设试验E的样本空间为Ω，设事件A1, A2, …, An为样本空间Ω的一个划分，且 P(Ai) >0 (i =1, 2, …, n). 则对任意事件B，有 … n A1 A2 P( B) P( Ai ) P( B | Ai). An B i 1 证明 因为Ai Aj = (i≠j) … A
7 3 3 2 3 P ( A2 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 ) 10 9 10 9 10
所以
P ( A1 A2 ) 2 P ( A1 | A2 ) P ( A2 ) 9
例 一袋中装有a只白球，b只黑球，每次任取一球， 取后放回，并且再往袋中加进c只与取到的球同色的球， 如此连续取三次，试求三次均为黑球的概率．
P ( AB ) 0.4 P ( B | A) 0.5. P ( A) 0.8
例 甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余 年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分 别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，求： （1）乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率；
（2）甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率. 解 设A={甲市是雨天}，B={乙市是雨天}， P(A)=0.2， P(B)=0.18， P(AB)=0.12， 则
(2) 在Ω中,先求P(AB)和P(A),在按定义计算P(B|A)
P ( AB) 0.4 2 P ( B | A) P ( A) 0 .6 3
例2 设试验E为掷两颗骰子，观察出现的点数。 用B表示事件“两颗骰子的点数相等”，用A表示事 件“两颗骰子的点数之和为4”，求 | B), P ( A | B). P( A 解一 以 ( i , j )表示两颗骰子的点数，则样本空间 一共有36个事件。且A={(1, 3), (2, 2), (3, 1)}， B={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}.
1.3.2 全概率公式与贝叶斯公式 引例：设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白 球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒 任取2球，求从乙盒取出2个红球的概率． 解 设A1＝从甲盒取出2个红球; A2 ＝从甲盒取出2 个白球; A3＝从甲盒取出1个白球1个红球; B=从乙盒取 出2个红球; 则 A1, A2, A3 两两互斥, 且A1∪A2∪A3 ＝, 所以 B = B＝(A1∪A2∪A3)B＝ A1B∪ A2B∪A3B, P(B)=P(A1B∪A2B∪A3B) =P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B) = P(A1 )P(B| A1)＋P(A2)P(B| A2)＋P(A3)P(B|A3)