数学物理方法第2章复变函数积分-2016
02复变函数微积分
数学物理方法
应用
v( x, y ) dv
2 2 u ( x , y ) x y 例2.5 已知解析函数f(z)的实部
且f(0)=0,试求出虚部和f(z) 。 解： v u 2 y x y
v u 2x y x
数学物理方法
2 xy C
（2）凑全微分显示法
dv( x, y) 2 ydx 2 xdy d (2 xy C )
v( x, y) 2 xy C
（3）不定积分法
v u 2x y x
v u 2y x y
v 2 y ( x) x
l l
l1 l 2
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
l1 l2
l
l
f ( z )dz f ( z )dz , 其中 l 是l的逆向
l
f ( z )dz
l
f ( z ) dz
f ( z)dz
l l
f ( z ) ds
那么有
u v v u , x y x y
上式称为柯西－黎曼条件。简称（C-R条件）
数学物理方法
证明：
1）若 y 0, x 0
f ( z z ) f ( z ) u ( x x, y ) iv( x x, y ) u ( x, y ) iv( x, y ) lim z 0 z 0 z x u ( x x, y ) u ( x, y ) v( x x, y ) v( x, y ) lim i lim z 0 z 0 x x u ( x, y ) v( x, y ) i x x lim
数学物理方法第二章复变函数的积分
d z b ln b ln a ln i Arg b Arg a az a
b
ln z ln(| z |e )
Arg z
此积分与路径有关系！因z = 0 是1/z的一个奇点。 如被积函数有奇点，则由不定积分给出的函数可能是 多值的。被积函数的奇点，可能是该函数的支点。
x d y y d x d d f ( z ) d z u v d t i u v d t l t d t t d t d t d t A A
t B t B
几个重要性质 1.常数因子可以移到积分号之外
c f ( z ) d z c f ( z ) d z
推广：若 f (z)在单连通域B上解析，在闭单连通 域 B 上连续，则沿 B 上任一分段光滑闭合曲 线 l (也可以是 B 的边界)，有
l
f (z)d z 0
（二）复连通域情形 如果区域内存在： (1)奇点 ；(2)不连续线段；(3)无定义区 为了把这些奇异部分排除在外，需要作适当的 围道 l1、l2、 l3 把它们分隔开来，形成带孔的区 域—复连通区域。
C 2
只要起点和终点固定不变，当积分路径连续变形时 （不跳过“孔”）时，函数的路积分值不变。
§2.3 不定积分（原函数）
根据 Cauchy 定理，若函数 f (z) 在单连通
区域B上解析， 则沿B上任一分段光滑曲线 l
的积分
l
f ( z) dz 只与起点和终点有关，而与
路径无关。因此如果固定起点 z0 而变化终点 z, 这个不定积分便定义了一个单值函数 F(z):
l
f (z)d z 0
George Green
数学物理方法课后答案 (2)
2
2+ 4 i
1+i
[( x 2 − y 2 ) + 2ixy ](dx + idy )
86 − 6i 3
= ∫ [ x 2 − (3 x − 2) 2 + 2ix(3 x − 2)](1 + 3i ) dx = −
（3）沿1 + i 到 2 + i ，再到 2 + 4i 的折线。
I =∫
2 1
2+ 4 i
L
∫ ∫
L
f (ξ )[
f (ξ ) Δ z ∫ L (ξ − z ) 2 (ξ − z − Δ z ) d ξ
ξ − z ( ξ − z − Δz )
2
d ξ ， 现 在 讨 论 能 否 找 到 δ ( ε )， 使 当 Δ z < δ 时 d ,同 时 将 2
上 式 成 立 。 因 本 题 是 讨 论 Δ z → 0时 的 积 分 极 限 ， 不 妨 令 Δ z < min z − ξ = d 代 入 有 Δ I ≤ δ
4 4 1 1 0 0
I3 = ∫ {[2(t2 + 3) + (2t)2 ]2dt + [3(2t)-(t2 + 3)]2tdt} = ∫ (24t 2 + 12 − 2t 3 − 6t )dt =
数学物理方法第2章复变函数积分-2016方案
(2.1.3)
(2) 化为参数积分计算．设积分曲线L的参数方程为z(t)，
将z(t)及dz(t)＝z'(t)dt代入式(2.1.4)，可得
3
【例2.1.1】计算积分I=
其中曲线L是
(1)沿1+ i 到2+4 i 的直线，见图2.2(a)；
(2)沿1+ i 到2+i，再到2+4 i 的折线，见图2.2(b)；
§2.2.1 单通区域的柯西定理
定理 若函数f(z)在单通区域D 内解析，则f(z)在D内沿任意 闭曲线的积分为零
∮l f(z)dz = 0 (2.2.1)
证明 这个定理的严格证明比较复 杂, 为简单起见, 我们在“f(z)在D 内连续” 附加条件下证明这个定 理．
先将复变积分化为两个实变积 分的线性叠加
29
这就是解析函数的定积分公式，它与实变 函数中的牛顿-莱布尼茨公式具有相同的形 式。
通常把f(z)的原函数的集合
称f(z)的不定积分，式中C为复常数。
30
(2.2.8)
31
§2.2.3 复通区域的柯西定理
定理 若f(z)在闭复通区域 解析，则f(z)沿所
有内、外边界线(L=L0+ 之和为零
37
【2.2.2】试计算 其中积分回路分别(图2.11) (1) |z-i|＝2；(2) |z+i|＝2；(3) |z|＝3.
38
解 首先，将被积函数分解为部分分式(利用通 分可以凑出来)
≠0
=0
39
40
【例2.2.3】若f(z)=1/(z-a) 在z=a的无心邻域内 连续，积分回路是以a点为圆心的圆弧
由于a点在D内随意变动时，柯西公式依然成立， 有时分别用z和x代替式 (2.3.1)的a和z。将柯西公 式改写为
数学物理方法 第二章 复变函数的积分
证明： 1 dz 1 f (α )dz (1)已知f (α ) = f (α ) ⋅ ∫l z − α = 2πi ∫l z − α 2πi 1 f ( z )dz 1 f ( z ) − f (α ) 与f (α ) = 比较，只需证明 ∫l z − α ∫l z − α dz = 0即可. 2πi 2πi f ( z ) − f (α ) (2)因为z = α为 的奇点，因此，以α为圆心，取任意小 z −α f ( z ) − f (α ) ε为半径做小圆Cε , 这样在l及Cε 所围复通区域上 单值解析。 z −α f ( z ) − f (α ) 1 f ( z ) − f (α ) 1 根据柯西定理， ∫ dz = ∫Cε z − α dz l 2πi z −α 2πi 对于Cε 上的z有：z − α = εe iϕ , dz = iεeiϕ dϕ 于是, 有： 1 f ( z ) − f (α ) 1 2π f ( z ) − f (α ) iϕ 1 iεe dϕ = iϕ ∫l z − α dz = 2πi ∫0 εe 2πi 2π
wuxia@
∫
2π
0
[ f ( z ) − f (α )]dϕ
(3)现在需要对上式右端做估计 因为f ( z )连续，一定可以找到∆ > 0,当 | z − α |≤ ∆时， | f ( z ) − f (α ) |≤ ε ′ 因而有： 1 2π 1 2π 1 ∫0 [ f ( z ) − f (α )]dϕ ≤ 2π ∫0 | f ( z ) − f (α ) |⋅ | dϕ |< 2π 2π =ε 1 f ( z ) − f (α ) 1 f ( z) ∴ dz = 0, f (α ) = ∫l z − α ∫l z − α dz 2πi 2πi
数学物理方法课件-2 复变积分
其中，M (R) max f (z) , n 1,2, z R
证：
f (n) ( )
n!
2i
(
f ( ) )n1
d
n!
2
M (R) R n 1
2R
n!M (R) Rn
即
f
(n) ( )
n!M R
(
n
R)
，得证.
整函数: 在整个复平面上解析的函数称为整函数.
49
1
0 1
z100 k 1 z 2k
98!!
§2.5 解析函数的高阶导数
1.高阶导数
2. 柯西不等式与刘维尔定理
柯西不等式：设f (z)在区域B上解析，为B内一点，以
为圆心作圆周： R，只要及其所包含区域均含于
B, 则有
f
(n) ( )
n!M (R) Rn
0 2i 2i 0 0
即
C
1 z2
z
dz
0
§2.3 不定积分
证:
B
§2.4 柯西公式
1.有界区域柯西公式
( )
证: 如图，根据复连通区域柯西定理有
1 f (z)
1 f (z)
dz
dz
2i C z
2i Cr z
欲证原式，即证
第二章 复变积分
§2.1 复变积分
性质:
例:
补:简单曲线 光滑曲线
1. 简单曲线
设曲线C的参数方程为 x x(t), y y(t), z z(t) (a t b)
其中，x(t), y(t), z(t)在[a, b]连续，当t1 t2 (a t1, t2 b)时, (x(t1), y(t1), z(t1)) (x(t2 ), y(t2 ), z(t2 ))
第02章 复变函数的积分
第二章复变函数的积分基本要求：1．正确理解复变数函数路积分的概念；2．深刻理解柯西定理及孤立奇点的定义；3．理解并会熟练运用柯西公式。
教学内容：§2.1 复数函数的积分，路积分及其与实变函数曲线积分的联系。
§2.2 柯西定理。
柯西定理的内容和应用，孤立奇点，单连通区域，复连通区域，回路积分。
§2.3 不定积分*。
原函数。
§2.4 柯西公式。
柯西公式的导出，高阶导数的积分表达式。
（模数原理及刘维定理不作要求）本章重点：柯西定理，柯西公式和孤立奇点。
§2.1 复变函数的积分（一）复变函数的积分（简称复积分）1.复积分的定义曲线l 是分段光滑曲线（起点0()A z ，终点()n B z ）；()f z 在l 上连续；（光滑曲线：曲线上每一点都有切线）。
把曲线l 分成n 小段，1k k z z -→是第k 小段，在1[]k k z z --上任取一点k ζ，求和111()()=()nnkk k k k k k f z z f z ζζ-==-∆∑∑，当n →∞而且每个k z ∆都趋于零时，如果这个和的极限存在，而且其值与各个k ζ的选取无关，则这个和的极限称为函数()f z 沿曲线l 从A ，终点B 的路积分，记作()lf z dz ⎰，即max 01()lim()k nkk lz k f z dz f z ζ∆→==∆∑⎰(2.1.1)2. 复积分的计算方法复变函数积分可以分解为两个实积分来计算。
即：()(,)(,)f z u x y iv x y =+，dz dx idy =+(,)(,)(()[(,),(,)]())(,)llllu x y dx v x y d f z dz u x y iv x y dx idy i y v x y dx u x y dy-+=++=+⎰⎰⎰⎰3. 复积分的性质复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分，因而实变函数线积分的许多性质也对路积分成立，如(1)常数因子可以移到积分号之外；()d ()d llcf z z c f z z =⎰⎰(2)函数和的积分等于各个函数的积分和；[]1212()()......()()().......()nnll l l f z f z f z dz f z dz f z dz f z dz +++=+++⎰⎰⎰⎰(3)反转积分路径，积分变号；()()l lf z dz f z dz +-=-⎰⎰(4)全路径上的积分等于各段上的积分和。
数学物理方法第二章
证明：对 [ f (z)]n 应用柯西公式
[ f (z)]n 1 [ f ( )]n d
2 i l z
若 |f(z)| 在l上极大值为M，|z| 的极小值为，l的长为s
f (z) n M n s
2
1
f
(z)
M
s
2
n
n
f (z) M
21
Liouville定理：如 f(z) 在全平面上解析，并且是有界 的，即 |f(z)| N，则 f(z) 必为常数。
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
l
l1
l2
ln
13
柯西定理总结 1. 闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。
2. 闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向 的积分和为零。
3. 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的 积分等于沿所有内境ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线逆时针方向的积分的和。
P Q y x
由于复变函数的积分可转化为两个实变线积分
z2
z2
z2
f (z)dz udx vdy i vdx udy
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
7
单连通区域柯西定理： 如果函数f (z)在闭单连通域B上解析，则沿B上任
一分段光滑闭曲线l（也可以是B的边界），有
f (z) f ()dz
max f (z) f ()
2 0
C z
18
如果l是圆周z= +reiθ，
f () 1 2 f ( rei )d 2 0
这就是说，一个解析函数在圆心处的值等于它
在圆周的平均值。
第02章_复变函数的积分
Re zdz
l
y
i
A
O
l
(2) (1)
B (1, i)
1
分别沿路径(1)和(2)，如图 解：
1 (1) I1 xdx ixdy i 0 0 2
1 1
1 1
Re zdz xd(x iy) xdx ixdy
l l
x
1 (2) I 2 0 id y x d x 0 0 2
k 1
n
k
x
当 n 而且每一个 z k 0时， 若该和的极限存在，并且其值与 各 k的选取无关，则该和的极限 称为 f ( z )沿曲线 l从 A到 B的路积分
z0
O
记作 l f ( z )dz ，即：
l
f ( z )d z
max z k 0
lim
f (
k 1
l l
复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分, 它 们分别是路积分的实部和虚部。 因此, 实变函数线积分的许多性质对复变函数的路积分也 成立。复变函数的路积分满足如下6条性质： 1. 常数因子可以移到积分号之外； 2. 函数的和的积分等于各个函数的积分之和； 3. 反转积分路径，积分变号； 4. 全路径上的积分等于各段上积分之和； 5. 积分不等式1：
l1
B' A'
f (z)dz f (z)dz
CD
l2
f ( z)dz
l1
D 'C '
f ( z)dz 0
其中沿同一割线两边缘上的积分值相互抵消，于是有
f (z)dz
l
l
f ( z )dz f ( z )dz 0
数学物理2
例2. 试计算积分 上例相同
2
z dz 其中路径 l与
2 l
f ( z) z ( x yi) =x y 2xyi
2 2 2
u=x y , v 2xy
2 2
udx i vdx vdy i udy
0 0 0 0
1
1
1
1
x dx i 0dx 2 ydy i (1 y )dy
闭复连通区域上的解析函数沿外边界线逆时针积分等于 沿所有内边界线逆时针积分之和
公式:
f ( z)dz
l i
li
f ( z )dz
柯西定理
1.闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。
2.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向 的积分和为零。
3.闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向的 积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的和。
L1
f ( z )dz f ( z )dz
L2
证明(略，详见教材)
f ( z )dz 0
l
f ( z )dz f ( z )dz ) 0
L1 L2
推广
规律 若f(z)在闭复通区域 B 中解析， 则f(z)沿所有边界线正方向积分 之和为零。
证明(略)： 提示:把复通区域做割线，得单通区域，根据单 通区域的柯西定理 正方向：沿边界线的正方向环绕时， 保持在左边。
这是一个很重要的结果，由它可以导出一系列重要结论。
2.4 柯西公式
公式：
若f(z)在闭单连通区域 B 上解析，l为 B 的境 B B 界线，a为域内的任一点，有 柯西公式（也称柯
《数学物理方法》电子教案：第二章 复变函数的积分
dz d (t it 2 ) (1 i 2 t ) dt
24i
2
2
2
z2dz (t it2 )2 (1 i2t)dt [(t2 t4 ) 4t4 ]dt i [2t3 2t(t2 t4 )]dt
1i
1
1
1
２．
1和y 3t 2
二、 复通区域的柯西定理 定理4. 若f(z)在闭复通区域D 中解析，则f(z)沿所有边界线正
方向积分之和为零。 正方向：沿边界线的正方向环绕时，D 保持在左边。
证明：作割线将闭复通区域变成闭单通区域。闭单通区域
的边界线L由 L1, L', L2 和 L'' 组成，则
L f (z)dz 0
又
D
内的偏导数
P y
和
Q x
连续，并且
P y
Q x
由于复变函数的积分可转化为两个实变线积分：
z2
z2
z2
f (z)dz (udx vdy) i vdx udy)
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件。
一、单通区域的柯西定理
定理 1. 若 f(z)在单通区域 D 内解析，则 f(z)在 D 内 的积分与路径无关。
w=f(z)在 L 上有定义；
(2)将 L 任意分成n 段，k 为第k 段[zk 1, zk ]上的任意一点;
(3)当 n ，且 max zk 0时，若和式的极限
n
lim f (k)zk
max zk 0 k 1
存在，并且极限值与 zk 和 k 的选取方式无关，则称它 为 f(z)沿 L 从 A 到 B 的积分，记作：
F’(z)=f(z)
数学物理方法 charpt2 (周明儒)
l3 l2 l1
B
l
⇒
（2）证明
由单通区域 的Cauchy定理，得
A
'
A
B
B'
l1 l2
D'
l
B
D
C
C'
思路：做切割线连接外境界线与所有内境界线，复通区域变成单通区域。
∫
l
f ( z )dz + ∫ f ( z )dz + ∫ l f ( z )dz + ∫ f ( z )dz + ∫ f ( z )dz + ∫ l f ( z )dz 2
A
'
A
B
B'
l1 l2
D'
∫
l
l
B
D C
C'
式中 l 为外境界线，诸 l i 为内境界线，积分均沿境界线的正 方向进行。 说明：
⇒
∫
l
f ( z )dz = − ∑ ∫ f ( z )dz
i =1 li
n
∫
l
f ( z )dz = ∑ ∫ f ( z )dz
i =1 li
n
即沿内外境界线逆时针方向积分相等
I=
∫
l
( z − a )n dz = 0
a R C
（2）若回路 l 不包含点 a ,如图。 当 n ≥ 0 ， ( z − a )n 在 l 上是解析的
I=
现不管 n ≥
∫
l
( z − a )n dz = 0
当 n < 0 ，( z − a )n 在 l 上是有一奇点。
0或 n < 0 ，总可以将 l 变形为一以点 a 为圆心，
数学物理方法第二章
证 设光滑曲 C由线参数方程给出
zz(t)x(t)i y(t), t
正方向为参数增加的方向,
参数 及 对应A 于 及起 终 B , 点 点
数学物理方法第二章
6
并 z ( t) 且 0 , t,
如f(果 z) u (x ,y) iv(x ,y)在 D 内处 , 处 那u 么 (x,y)和 v(x,y)在 D内均为连 , 续函
n
n
f(k)zk [u(k,k)xkv(k,k)yk]
k1
k1
n
i[v(k,k)xku(k,k)yk]
k1
C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
数学物理方法第二章
9
公式 C f(z)dz CudxvdyiCvdxudy
在形式上可以看成是
f(z)uiv与 dzdxidy相乘后求 : 积
f(z)dzf ( z ) d z f ( z ) d z f ( z ) d z .
C
C 1
C 2
C n
在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的.
数学物理方法第二章
12
性质：
设L是简单逐段光滑曲线，f,g在L上连续，则
(1)f(z)dz f(z)d;z反转积分路径，积分反号
z2
z2
f(z)dzudxvdyivdxudy
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
数学物理方法第二章
24
单连通区域柯西定理：
如果函数f (z)在闭单连通域B 上解析，则沿B上任一分段光滑 闭曲线l（也可以是B的边界）， 有
f (z)dz 0
复变函数的积分
f (z)eimzdz f (Rei )eimR(cos isin ) R ei id
CR
0
f (Rei ) e Rd mRsin max f (Rei ) R e d mRsin
0
0
数学物理方法
e d mRsin 0
e d e d 2 mR sin 0
mR sin
阶连续偏导数，则曲线积分 L Pdx Qdy 与路径无关的
充要条件是
Q P ( x, y) D
x y
l zdz l xdx ydy il ydx xdy
数学物理方法
3 用极坐标计算
例4 计算 l z dz, 其中 l 为: 圆周 z 2.
解 积分路径的参数方程为
z 2ei (0 2π), dz 2iei d
2
y
y1
2
1
y2 sin
e d e d ( ) 2 mR sin 0
0 mR sin( )
O
2
2
e d e d 2 e d 2 e d 2 mR sin
2 mR sin
2 mR sin
2mR
2
0
0
0
0
2mR 2
2
e 2mR
0
(1 emR )
L f (z)dz 0
数学物理方法
推论2
若f (z)在单连通区域D内解析，则l f (z)dz与路径无关
l
l1
A
D
B
l2
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz 0
l
lAB
lBA
l1 AB
l2 AB
f (z)dz f (z)dz
(完整word版)数学物理方法总结(改)(word文档良心出品)
数学物理方法总结第一章 复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρϕϕ=+和i z e ϕρ=欧拉公式:{1sin ()21cos ()2iz iz iz izz e e iz e e --=-=+柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x yv v x y∂∂=∂∂∂∂=-∂∂ (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C ==(12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即22220u vx y∂∂+=∂∂ 例题: 已知某解析函数f(z)的实部22(,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数.解答: 由于22ux∂∂=2;22v y ∂∂=-2;则22220u v x y ∂∂+=∂∂曲线积分法u x ∂∂=2x;u y ∂∂=-2y.根据C-R 条件有:v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x.于是 22dv ydx xdy =+;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy Cxdy C xy C=++=++++=+=+⎰⎰⎰⎰凑全微分显式法 由上式可知 22dv ydx xdy =+ 则易得 (2)dv d xy = 则显然 2v xy C =+不定积分法 上面已有v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x则第一式对y 积分,x 视为参数,有 2()2()v xy x xy x ϕϕ=+=+⎰. 上式对x 求导有2'()vy x xϕ∂=+∂,而由C-R 条件可知 '()0x ϕ=, 从而 ()x C ϕ=.故 v=2xy+C.222()(2)f z x y i x y C z i C=-++=+第二章 复变函数的积分单连通区域柯西定理 如果函数f(z)在闭单连通区域B 上解析,则沿B 上任意一分段光滑闭合闭合曲线l(也可以是B 的边界),有()0lf z dz =⎰.复连通区域柯西定理 如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则1()()0inll i f z dz f z dz =+=∑⎰⎰.式中l 为区域外边界线,诸i l 为区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即1()()inll i f z dz f z dz ==∑⎰⎰.柯西公式 1()()2lf z f dz iz απα=-⎰n 次求导后的柯西公式 ()1!()()2()n n l n f fz d i z ζζπζ+=-⎰第三章 幂级数展开幂级数200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-++-+∑其中0a ,1a ,2a ,3a ,……都是复常数. 比值判别法(达朗贝尔判别法) 1.若有110100limlim1k k k kk k kk a z z a z z a a z z +++→∞→∞-=-<- 则 2010200............kk a a z z a z z a z z +-+-++-+收敛,200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.若极限1lim /k k k a a +→∞存在,则可引入记号R,1limkk k a R a →∞+=,于是,若0z z R -<,则 200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.2.若0z z R ->,则后项与前项的模之比的极限11010l i m l i m 1k k k k k k kk a z z aR a a z z +++→∞→∞->=-,即说明20102000()()()......()......k k k k k a z za a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑发散.例题: 求幂级数2461.....z z z -+-+的收敛圆,z 为复变数. 解答: 由题意可得 1l i m1kk k a R a →∞+== 故 246211......1z z z z -+-+=+ (1z <). 泰勒级数展开 设f(z)在以0z 为圆心的圆R C 内解析,则对圆内的任意z 点,f(z)可展为幂级数,0()()kkk f z a z z ∞==-∑,其中1()010()1()2()!R n k k C f z f a d iz k ζζπζ+==-⎰,1R C 为圆R C 内包含z 且与R C 同心的圆.例题: 在00z =的领域上将()zf z e =展开 解答: 函数()zf z e =的各阶导数()()n z fz e =,而()()0()(0)1k k f z f ==.则ze 在00z =的领域上的泰勒展开23401............1!2!3!4!!!k kzk z z z z z z e k k ∞==++++++=∑. 双边幂级数212010010220......()()()()......a z z a z z a a z z a z z ----+-+-++-+-+洛朗级数展开 设f(z)在环形区域201R z z R <-<的内部单值解析,则对环域上的任一点z,f(z)可展为幂级数0()()kkk f z a z z ∞=-∞=-∑.其中101()2()k k Cf a d iz ζζπζ+=-⎰, 积分路径C 为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.例题1: 在1z <<∞的环域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数.解答: 22222460211111111......111kk z z zz z z z z ∞=⎛⎫===+++ ⎪-⎝⎭-∑ 例题2: 在01z =的领域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数. 解答: 由题意得21111()()1211f z z z z ==---+ 则有z-1的-1次项,而0111111(1)()111222212kk k z z z z ∞=-===--+-++∑ (12z -<) 故 01111()(1)()2142k kk z f z z ∞=-=---∑.第四章 留数定理留数定理 设函数f(z)在回路l 所围区域B 上除有限个孤立奇点1b ,2b ,……,n b 解析,在闭区域B 上除1b ,2b ,……, n b 外连续,则11()2R e ()2nj lj f z d z i s f b i aππ-===∑⎰. 其中,1111Re ()lim{[()()]}(1)!j m m j j m z b d a sf b z b f z m dz---→==--. 推论1: 单极点的留数为000Re ()lim[()()]z z sf z z z f z →=-.推论2: 若f(z)可以表示为P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在0z 点解析,0z 是Q(z)的一阶零点(0()0Q z =).0()0P z ≠,则000000()()'()()()Re ()lim()lim ()'()'()z z z z P z z z P z P z P z sf z z z Q z Q z Q z →→+-=-==. 上式最后一步应用了罗毕达法则.留数定理的应用 类型一20(cos ,sin )R x x dx π⎰.作自变量代换 ix z e =.则式子变为111(,)22z z z z z dzI R iz--=+-=⎰.例题: 计算 202cos dxI xπ=+⎰.解答: 21201122cos 41(2)2z z dxdz dzI i i z z xz zz π-====-=-+++++⎰⎰⎰,Z的单极点为1,22z ==- 则221Re (22241z s i z z z π→--=+=++, 由于2-1z =内.故 I =. 类型二()f x dx ∞-∞⎰.积分区间是(,)-∞∞;复变函数f(z)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面及实轴上→∞时,zf(z)一致地0→.则式子可以变为()2I f x d x i π∞-∞==⎰{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}.例题: 计算21dx x ∞-∞+⎰. 解答: 21dzI z ∞-∞=+⎰的单极点为1,2z i =±.21Re ()2lim()1z i sf i i z i z ππ→=-=+,故21dxx π∞-∞=+⎰.类型三()cos F x mxdx ∞⎰,0()sin G x mxdx ∞⎰,积分区间是[0,]+∞;偶函数F(x)和奇函数G(x)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面或实轴上→∞,F(z)及G(z)一致地0→.则式子可以变为0()c o s {()}i m xF x m x d x i F x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和;()s i n {()}i m x G x m x d x G x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和. 若类型二,类型三的实轴上有有限个奇点,则有()2Re ()Re ()f x dx isf z isf z ππ∞-∞=+∑∑⎰在上平面实轴上.其中,在类型三中f(x)应理解为()imzF x e或()imxG x e.第五章 Fourier 变换傅里叶级数 周期为2l 的函数f(x)可以展开为级数01()(c o s s i n )k kk k x k x f x a a b llππ∞==++∑. 其中,{1()cos1()sin lk lk lk l k a f d l lk b f d l lπξξξδπξξξ--==⎰⎰, k δ={2(0)1(0)k k =≠.注: 积分上下限只要满足 上-下=2l 即可. 复数形式的傅里叶级数 ()k xilkk f x c eπ∞=-∞=∑其中 *1()[]2k x i l lk l c f e d lπξξ-=⎰. 傅里叶积分 0()()cos ()sin f x A xd B xd ωωωωωω∞∞=+⎰⎰傅里叶变换式 {1()()cos 1()()sin A f d B f d ωξωξξπωξωξξπ∞-∞∞-∞==⎰⎰复数形式的傅里叶积分{*()()()()[]i xi x f x F e d F f x e dx ωωωωω∞-∞∞-∞==傅里叶变换的性质(1) 导数定理 F [f ’(x)]=iwF(w)(2) 积分定理 F [()()x f d ξξ⎰]=1()F w iw(3) 相似性定理 F [f(ax)]=1()wF a a(4) 延迟定理 F [0()f x x -]=0()iwx e F w -(5) 位移定理 F [0()iw xef x ]=0()f w w -(6) 卷积定理 若F [1()f x ]=1()F w ,F [2()f x ]=2()F w ,则 F [1()f x *2()f x ]=122()()F w F w π. 其中1212()*()()()f x f x f f x d ξξξ∞-∞=-⎰称为1()f x 和2()f x 的卷积.δ函数()x δ={0(0)(0)x x ≠∞=.()bax dx δ=⎰{0(,0,0)1(a<0<b)a b <>都或都.δ函数的一些性质1. ()x δ是偶函数.()()'()'()x x x x δδδδ-=-=-2. ()()xH x t dt δ-∞==⎰{0(0)1(0)x x <>.3.00()()()f t d f t τδττ∞-∞-=⎰.第六章 Laplace 变换拉普拉斯变换 0()()ptf p f t e dt ∞-=⎰拉普拉斯变换的一些性质 (1) 线性定理 若11()()f t f p ,22()()f t f p ,则 1121122()()()()c f t c f t c f pc fp ++. (2) 导数定理 '()()(0)f t p f p f -.(3) 积分定理1()td p ϕττ⎰L [()p ϕ]. (4) 相似性定理 1()()p f at f p a . (5) 位移定理 ()()te f t f p λλ-+.(6) 延迟定理 00()()pt f t t e f p --. (7) 卷积定理 若11()()f t f p ,22()()f t f p ,则1212()*()()()f t f t f p f p , 其中12120()*()()()tf t f t f f t d τττ=-⎰称为1()f t 和2()f t 的卷积.第七章 数学物理定解问题(1) 均匀弦的微小振动,均匀杆的纵振动,传输线方程,均匀薄膜的微小横振动,流体力学与声学方程,电磁波方程的形式为20tt xx u a u -=或220tt u a u -∆=或230tt u a u -∆=.(2) 扩散方程,热传导方程的形式为20t xx u a u -=或20t u a u -∆=.(3) 稳定浓度分布,稳定温度分布,静电场,稳定电流场方程的形式为(拉普拉斯方程)0u ∆=.(4) 以上方程中x u 意为ux∂∂,xx u 意为22u x ∂∂.若以上各方程均为有源,则方程为 各方程=f(x,y,z,t).定解条件初始条件 初始”位移” 0(,,,)(,,)t u x y z t x y z ϕ==, 初始”速度” 0(,,,)(,,)t t u x y z t x y z ψ==. 边界条件 第一类边界条件 (,)(,)u r t f M t ∑=第二类边界条件(,)u f M t n∑∂=∂第三类边界条件 ()(,)uu Hf M t n ∑∂+=∂ 衔接条件 00(0,)(0,)u x t u x t -=+00(0,)(0,)()x x Tu x t Tu x t F t +--=-.(T 为张力) 达朗贝尔公式 定界问题 达朗贝尔公式 11(,)[()()]()22x at x at u x t x at x at d aϕϕψξξ+-=++-+⎰. 其中0()t u x ϕ==,0()tt u x ψ==.()x -∞<<∞第八章 分离变数法泛定方程 20tt xx u a u -=(若该方程可以使用分离变量法,则可以化成2''()''()()()T t X x a T t X x λ==-). ''()()0X x X x λ+=在不同的边界条件下解不同.边界条件(1) {(0)0()0X X l == , X(x)的解为 {2()()sinn n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=1,2,3……(2) {'(0)0()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()cosn n k lk X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2……(3) {(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()sinn n k l k X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2…… (4) {'(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {2()()cosn n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=0,1,2……T(t)的方程在有n 且n=0时的解为 ()T t At B =+; 在0n ≠时的解为()sincos n a n aT t A t B t l lππ=+; 在有k 的情况下为(21)(21)()sincos 22k a k aT t A t B t l lππ++=+. 初始条件 将u(x,t)=T(t)X(x)带入初始条件,确定u(x,t)中的常数项.欧拉型常微分方程 22220d R dRm R d d ρρρρ+-=. 解法为做代换t e ρ=.第九章 二阶常微分方程级数解法 本征值问题拉普拉斯方程 0u ∆=(1) 球坐标系下 2222222111()(sin )0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂. 分解为 2222(1)0R R r r l l R r r ∂∂+-+=∂∂ 其解为 11()ll R r Cr D r+=+. 和22211(sin )(1)0sin sin Y Y l l θθθθθϕ∂∂∂+++=∂∂∂(球方程,(,)()()Y θϕθϕ=ΘΦ) 球方程又可以分离为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为 {2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2……和 22222(1)2[(1)]01d d m x x l l dx dx x ΘΘ--++-Θ=- (连带勒让德方程).(2) 柱坐标系下 2222211()0u u u z ρρρρρϕ∂∂∂∂++=∂∂∂∂.分解为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为{2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2…… 和 ''0Z Z μ-=和 22221()0d R dR m R d d μρρρρ++-=. 当0μ=时,Z=C+Dz,()R ρ={ln (0)/(1,2,3......)m m E F m E F m ρρρ+=+=; 当0μ>时,()Z z De =+,方程R 转换为 22222()0d R dR x x x m R dx dx++-=(x =,m 阶贝塞尔方程). 当0μ<时,()Z z C D =+,方程R 转换为22222()0d R dR x x x m R dx dx +-+=(x =,m 阶虚宗量贝塞尔方程). 亥姆霍兹方程 20v k v ∆+=.在00x =的领域上l 阶勒让德方程的解为 0011()y x a y a y =+ 其中 2402()(1)(2)()(1)(3)1...2!4!(22)(24)...()(1)(3)...(21)......(2)!k l l l l l l y x x k l k l l l l l k x k -+--++=+++-----+++-++ 35121(1)(2)(3)(1)(2)(4)...3!5!(21)(23)...(1)(2)(4)...(2)......(21)!k l l l l l l y x x x k l k l l l l l k x k +-+--++=+++-----++++++第十章 球函数高次项l x 的系数 2(2)!2(!)l l l a l = (在乘以适当的常数之后),用递推公式改写后为2(2)(1)()(1)k k k k a a k l k l +++=-++,则 22(22)!(1)!2()!(2)!l n l l n a n l n l n --=---.则勒让德多项式为 [/2]20(22)!()(1)!2()!(2)!l kl k l l k l k P x x k l k l k -=-=---∑.[/2]l ={/2()(1)/2()l l l l -为偶数为奇数. ()1o P x =1()cos P x x θ==2211()(31)(3cos 21)24P x x θ=-=+ 3311()(53)(5cos33cos )28P x x x θθ=-=+ 42411()(35303)(35cos 420cos 29)864P x x x θθ=-+=++…… 勒让德多项式是正交的例题1: 以勒让德多项式为基,在区间[-1,1]上把f(x)=3234x x ++展开为广义傅里叶级数.解答: 3234x x ++=00112233()()()()f P x f P x f P x f P x +++ = 23012311(31)(53)22f f x f x f x x ++-+- 则有 02142f f -=, 13332f f -=, 2302f =, 3522f =. 故有3234x x ++=0132144()()()55P x P x P x ++. 例题2: 在半径0r r =的球的内部求解拉普拉斯方程使满足边界条件02cos r r u θ==. 解答: 边界条件与ϕ无关,故选择球坐标,则有10(,)()(c o s )l l l l l l B u r A r P r θθ∞+==+∑. 又有自然边界条件 0r u =有限故0l B =.则有(,)(c o s )ll ll u r A r P θθ∞==∑. 而02202012cos (cos )()()33l l lr r l u A r P x P x P x θθ∞======+∑,则 22200121(,)(c o s )(c o s )33l l l l u r A r P r P r θθθ∞===+∑.。
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【例2.3.2】试计算积分，
积分回路L为x2 + y2=2x 解 (1) 积分回路的形状： (x-1)2+y2=1
(2)被积函数的奇点．
方程z4+1=0有四个根：z=exp[i (p+2kp)/4]， k=0,1,2,3，因此，被积函数有四个奇点，但仅有 z1与z4位于积分回路之内
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2. 复通区域的柯西公式
设f (z)在闭复通区域D中解析，a为D的内点， 则 式中积分沿D的内外边界线的正方向．
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证明 为了应用单通区域的柯西定理，作割线把外边界线 L0与内边界线连接起来，将闭复通区域变成闭单通区域。
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推论3 在f(z)的解析区域中，积分回路连 续变形时，其积分值不变．
证明 取变形前后的积分回路 作为复通区域 的内外边界 线，如图2.9所示．由式 (2.2.21a) 可得
移项后，改变l2的积分方向，即有
复变积分性质(5)及式(2.2.34)，可证
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由于e可任意地小，(q2-q1)为常量，式
(2.2.35)表明
可任意地小根据极限的定义，可得
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2. 大圆弧引理
若j(z)在无穷远点的无心邻域内连续，在大 圆弧CR(z=Reiq, R→∞,q1<q<q2 )上
这两个引理为计算沿圆弧的积分带来方便． 2.3节将分别用来证明单通区域及无界区域的 柯西公式．
(3)按复通区域的柯西定理及柯西公式计算以小圆周c1 和c2分别包围奇点z1和z4 ，则被积函数在外边界线l 与内边界线c1 ， c2 所围的复通区域解析。按复通区 域的柯西定理，沿l的积分等于沿C1与C2积分之和， 后两个积分可按柯西公式算出，即
已将z1 、 z2 、z3和 z4 的值代入。
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根据复变积分性质(5)及式(2.1.15)，易得
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【2.1.3】试证明 若当(Jordan)不等式
证明 分别作出 y1=2q/p 及 y2 = sinq 的函数 曲线图(图2.4). 易见在开区间 (0,p/2)中，有 sinq >2q/p ； 而在闭区间[0,p/2 ]的端点，有sinq = 2q/p。
≠0
=0
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【例2.2.3】若f(z)=1/(z-a) 在z=a的无心邻域内 连续，积分回路是以a点为圆心的圆弧
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§2.2.4 小圆弧引理与大圆弧引理
1. 小圆弧引理 若j(z)在z=a的无心邻域内连续，在小圆弧
一致成立，则
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证明 根据极限的定义，式(2.2.32)表明，任给 e＞0，存在与arg(z- a)无关的d (e)＞0，使当 |z- a|＝r<d 时，有 |(z- a)j (z)- k|＜e (2.2.34)
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(6)若在曲线 l 上, max|f(z)|=M, 曲线 l 的长度为 l ，则
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【2.1.2】试证明，若z在上半平面及实轴上趋 于∞时, zf(z)一致地趋于零(与辐角无关)，即 则f(z)沿图2.3中无穷大半圆周CR的积分
证明 式(2.1.16)中的 积分是一个复数，只 要证明，当R→∞时这 个复数的模为零，则 式(2.1.16)得证.
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【2.1.4】试证明 若当引理：若z在上半平 面及实轴上趋于∞时，f(z)一致地趋于零 (与辐角无关)，则
式中m>0，CR是以原点 为圆心、R为半径的上 半圆周，参看图2.3.
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证明 当z 在CR上时，z=Reiq，由复变积 分性质(5)可得
将积分(2.1.19)分为两项: 0由p/2的积分与由p/2 到p的积分．第二项先作变换 q = p-j，再用q 表示j，两项合并后利用若当不等式，即有
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§2.3 解析函数的柯西公式
从柯西定理和大、小圆弧引理出发证明解 析函数的柯西公式; 证明建立在柯西公式 基础上的高阶导数公式、柯西不等式、平 均值定理、最大模定理及刘维尔(Liouville) 定理; 最后，介绍“柯西型积分”并证明 其解析．
§2.3.1 柯西公式
1.单通区域的柯西公式 设f(z)在单通区域 解 析，a为 的内点，则
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解 (1) 直线方程为
先将 z=x+iy 代入被积表达式， 随后将 y=3x-2 代入，即有
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(2) 在1+i到2+i段 有 y=1，dy=o； 在2+i到2+4i段 有 x=2，dx=0， 因而
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(3) 将z=x+iy=t(1+it)及dz＝(1+i2t)dt 代入，即有
x=t, y=t2
(2.3.1)
式中L为 的边界线，见图2.12. 证明 利用柯西定理的推论3，将积分回路连 续变形为以a为心，r为半径的小圆周Cr，如 图2.12.由于积分的结果与r的大小无关(保证 Cr在 内)，故可取r→0的积分值表示之，令
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易见j(z)在a的无心邻域内连续，将式(2.3.2) 代入的式(2.2.32)便有 (2.3.3)
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(3)当n ＜-1，a点仍为f(z)的奇点．仿上可得
综合以上三式，即有
这个公式在计算洛朗系数(3.4节)及证明留数定理 (4.2节)时均要用到．
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【2.2.2】试计算
其中积分回路分别(图2.11)
(1) |z-i|＝2；(2) |z+i|＝2；(3) |z|＝3.
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解 首先，将被积函数分解为部分分式(利用通 分可以凑出来)
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【例2.2.1】试证明
(n是整数)
式中a点在积分回路 l 之内, dnm为克罗内克 (Kronecker)符号(简称d符号)，其定义为
证明 (1)当n≥0时，被积函数(z-a)n为解析函数， 故 0 n≥0
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(2)当n=-1，则a点为f(z)的奇点
根据柯西定理的推论3， 积分回路可连续变形为 以a点为圆心的单位圆 C(图2.10).在单位圆C上 有
通常把f(z)的原函数的集合
称f(z)的不定积分，式中C为复常数。
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(2.2.8)
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§2.2.3 复通区域的柯西定理
定理 若f(z)在闭复通区域 解析，则f(z)沿所 有内、外边界线(L=L0+ )正方向积分 之和为零 (2.2.18)
“正方向”：当沿内、外边 界线环行时，D保持在左 边．换句话说，外边界线 取逆时针方向，内边界线 取顺时针方向．
将k=f(a)及q1-q2=2p代入小圆弧引理，得
式(2.3.4)就是单通区域的柯西公式．
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单通区域的柯西公式表明，解析函数f(z)在边界 L上的取值完全确定f(z)在D内各点的取值，进一 步显示了解析函数取值的关联性． 应用柯西公式要注意两点：一是f(z)在以L为边 界的闭区域解析；二是a点在L的内部． 由于a点在D内随意变动时，柯西公式依然成立， 有时分别用z和x代替式 (2.3.1)的a和z。将柯西公 式改写为
(2.1.3)
(2) 化为参数积分计算．设积分曲线L的参数方程为z(t)， 将z(t)及dz(t)＝z'(t)dt代入式(2.1.4)，可得
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【例2.1.1】计算积分I=
其中曲线L是
(1)沿1+ i 到2+4 i 的直线，见图2.2(a)； (2)沿1+ i 到2+i，再到2+4 i 的折线，见图2.2(b)； (3)沿抛物线x=t, y=t2，其中1≤ t ≤2，见图 2.2(c)．
∮l f(z)dz = 0
(2.2.1)
证明 这个定理的严格证明比较复 杂, 为简单起见, 我们在“f(z)在D 内连续” 附加条件下证明这个定 理．
先将复变积分化为两个实变积 分的线性叠加
(2.2.2)
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其次, 考查上述两个实变积分在什么条件下为零？
设l为D内任一闭曲线(图2.5), 若函数P(x,y), Q(x,y) 以及 在D内连续，则格林公式 成立
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综合式(2.1.20)和式(2.1.19)式，并利用题设条件
(2.1.21)
由复变积分性质(5)导出的例2.1.2和例2.1.4这 两个结论，将会启发我们怎样用留数定理计 算实变积分，见4.2节． 对于解析函数的积分，还具有一些特有的性 质，由2.2节、2.3节介绍的柯西定理、柯西公 式、最大模定理等反映．
第二章 复变函数的积分
2.1. 复变积分的定义、性质 2.2. 柯西定理、原函数与定积分公式 2.3. 柯西公式 复变函数的积分是研究解析函数的重要 工具解析函数特有的积分性质: 柯西定理、柯西公式、高阶导数公式、 最大模定理等， 它们是今后解决许多理论与实际问题的 重要基础.
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§2.1.1 复变函数积分的定义
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由于解析函数的积分与路径无 关，不妨取z到z+Dz的积分路 径为直线(图2.7).考虑到解析 函数必连续，因而任给e>0， 必存在d>0，使当|x-z|<d,有 |f(x)-f(z)|＜e (2.2.11)
利用式(2.2.10)和式(2.2.11)，以及复变积分 的性质(5)，可得
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推论2 若f(z)在单通区域D内解析，则 ∫l f(z)dz 与路径无关。
证明 设A、B分别为两积分 曲线的起点和终点，如图2.6 所示． 因为l1,与l2- (l2- 与l2重合但反 向)构成闭曲线l，由柯西定 理可得