随机变量的函数变换
概率论变量变换法
概率论变量变换法概率论变量变换法是一种求解随机变量函数的分布的方法，它利用随机变量之间的函数关系，通过积分或者求和的方式，得到新的随机变量的概率分布。
概率论变量变换法有两种常见的形式：一元变换和多元变换。
一元变换是指已知一个随机变量X的分布，求另一个随机变量Y=f(X)的分布。
一元变换的方法有两种：累积分布函数法和密度函数法。
累积分布函数法是利用Y=f(X)的累积分布函数F_Y(y)等于F_X(f^{-1}(y))或者1-F_X(f^{-1}(y))，根据X的累积分布函数F_X(x)求出F_Y(y)，然后求导得到Y 的密度函数f_Y(y)。
密度函数法是利用Y=f(X)的密度函数f_Y(y)等于f_X(f^{-1}(y))乘以f^{-1}(y)对y的导数的绝对值，根据X的密度函数f_X(x)求出f_Y(y)。
一元变换的例子有指数分布、正态分布、卡方分布、t分布等。
多元变换是指已知n个随机变量X_1,X_2,...,X_n的联合分布，求另外m个随机变量Y_1,Y_2,...,Y_m=g(X_1,X_2,...,X_n)的联合分布。
多元变换的方法有两种：雅可比行列式法和矩母函数法。
雅可比行列式法是利用(Y_1,Y_2,...,Y_m)和(X_1,X_2,...,X_n)之间的雅可比行列式J=\frac{\partial(Y_1,Y_2,...,Y_m)}{\partial(X_1,X_2 ,...,X_n)}，根据(X_1,X_2,...,X_n)的联合密度函数f_{X_1,X_2,...,X_n}(x_1,x_2,...,x_n)求出(Y_1,Y_2,...,Y_m)的联合密度函数f_{Y_1,Y_2,...,Y_m}(y_1,y_2,...,y_m)，其中f_{Y_1,Y_2,...,Y_m}(y_1,y_2,...,y_m)=f_{X_1,X_2,... ,X_n}(g^{-1}(y_1,y_2,...,y_m))|J|。
随机信号第3讲
2.1.2随机过程的分布律
一个随机过程是定义在一个时间区间上,而这个 时间区间上的任意一个时刻,随机过程表现为一个随 机变量,那么我们是否可以用随机变量的分布律来表 征随机过程的分布律呢? 下面我们既要用随机变量的分布律描述随机过程 的分布律,又要用随机变量的数字特征来描述随机过 程的一些数字特征.
FX ( x1 , t1 ) f X ( x1 , t1 ) x1
为随机过程的概率密度函数.
一维分布律只表征随机过程在固定时刻t上的统 计特性.若需了解随机过程更详细的情况，还要研 究随机过程的二维非步履乃至多维分布律。
二维分布律:随机过程X(t)在任意时刻t1,t2, 是一个二 维随机变量{X(t1),X(t2)},定义t=t1时X(t1) ≤x1和 t=t2时 X(t2) ≤x2的概率为随机过程X(t)的二维概率分布函 数 FX ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) P{X (t1 ) x1 , X (t 2 ) x2 }
x x
1 2
f X ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 )dx1dx2
这实际上是随机过程在t1,t2时刻的两个状态的二阶 混合原点距.
描述随机过程的相关性的另一个矩函数是二阶混 合中心矩,称为协方差函数.
C X (t1 , t 2 ) E[{X (t1 ) m X (t1 )}{X (t 2 ) m X (t 2 )}]
n n n
(7)随机信号的分布律: 二项式分布,泊松分布(离散变量) 均匀分布(※连续变量) (8)高斯分布(※正态分布): 概率密度函数 概率分布函数 概率积分函数(三条性质) 归一化高斯变量:数学期望为0,方差为1.
第二章 随机过程和随机序列
第六章 随机变量的生成
第六章 随机变量的生成在第四章，我们讨论产生和检验均匀随机数的方法。
因为均匀分布随机数是生成其它分布类型的随机变量的基本要素。
及进行随机仿真，必须要随机抽样，即产生服从一定分布的随机变量。
若给出随机变量的分布函数F (x ),，则可用各种方法生成服从该分布的随机变量。
本章讨论生成随机变量的方法。
第一节 逆变法对任一严格单调增的分布函数F (x )，其逆函数X =F -1(U )的分布函数为)()}({})({}{1x F x F U P x U F P x X P =≤=≤=≤- （6.1.1） 即X ～F (x )。
反之，若随机变量X 有严格单调的分布函数F (x )，其逆函数为F -1令U =F (X )，显然U 也是随机变量，因0≤F (X )≤1，故有0≤U ≤1，于是对任一0≤u ≤1有 u u F F u F X P u X F P u U P ==≤=≤=≤--)]([)}({})({}{11（6.1.2） 即U ～U (0,1)。
因此，可由U (0,1)随机数，根据已知一个随机变量的分布函数F (x )，令U =F (X )得逆函数X =F -1(U )，于是有x i =F -1(u i )(i =1,2,…)，由上可知x i 是分布为F (x )的随机数。
这就是说，可通过求随机变量的分布函数F (x )的逆函数，得到分布为F (x )的随机数。
由于通过逆函数得到随机数，故称为逆变法。
逆变法的步骤是：①生成随机数；②用逆函数产生随机变量。
一、 均匀分布在区间[a,b]上均匀分布U(a,b)，其概率密度函数f (x )及分布函数F (x )分别是：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,0,1)(b x a a b x f （6.1.3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<=bx b x a a b ax a x x F ,1,,0)( （6.1.4） 令ab ax x F u --==)( 其中)1,0(U u ∈。
随机变量的函数变换
对数变换的性质与定理
1
对数变换可以用来将正态分布转换为标准正态分 布。
2
如果随机变量X的对数变换Y=logX服从正态分布， 那么Y的数学期望EY=0，方差DY=1。
3
如果X是连续型随机变量，那么对于任意实数a， 有P(aX≤x)=P(X≤x/a)。
幂函数变换的性质与定理
幂函数变换可以用来将均匀 分布转换为标准均匀分布。
对数变换
对数变换是指将随机变量X替换为 log(X)，其中log表示以e为底的对数。 对数变换可以用来将概率分布从偏态 分布转化为正态分布。
在生物学、医学和金融领域，对数变 换被广泛应用于处理数据，因为这些 领域的数据往往呈现偏态分布。
幂函变换
幂函数变换是指将随机变量X替换为X^a，其中a是常数且a≠0。幂函数变换可以用来改变随机变量的分 布形状，特别是当X的值域较大时。
在研究随机过程时，经常需要将时间变量或空间变量进行函数变 换，以分析随机过程的性质和行为。
随机变量的变换
通过对随机变量进行函数变换，可以研究其概率分布的性质，如 期望、方差、协方差等。
随机事件的变换
在概率论中，通过对随机事件进行函数变换，可以研究其概率的 增减和变化规律。
在金融数学中的应用
风险度量
如果随机变量X的幂函数变换 Y=X^n服从均匀分布[0,1]，那 么Y的数学期望EY=1/n，方差
DY=1/n^2。
如果X是连续型随机变量，那 么对于任意实数a和正整数n， 有 P(aX≤x)=P(X≤x^(1/n))/|a|^ n。
05
函数变换的应用
在统计学中的应用
分布变换
通过函数变换，可以将一种分布 的随机变量转换为另一种分布的 随机变量，从而简化统计分析过 程。
高级数学中的概率论与随机变量
离散型随机变量：其分布函数是一个阶梯函数，概率密度函数是离散的。 连续型随机变量：其分布函数是连续的，概率密度函数也是连续的。 正态分布：其分布函数和概率密度函数都是钟形的，且对称轴为均值所在直线。 指数分布：其分布函数和概率密度函数都是无限可导的，且在均值处达到最大值。
随机变量的数字特 征
越弱
矩的定义：矩是随机变量的概率分布的数学描述，包括原点矩和中心矩。 矩的性质：矩具有一些重要的性质，如线性性质、幂等性质和正定性等。 常用矩：常用的矩包括期望值、方差、偏度和峰度等。 矩的计算方法：可以通过概率密度函数或概率质量函数来计算矩。
随机变量的极限理 论
大数定律：描述了当试验次数趋于无穷时，随机事件的相对频率趋于该事件的概率。 中心极限定理：无论独立随机变量的分布是什么，它们的和在平均值附近趋近于正态分布。
数学期望的定义：随机变量所有可能取值的概率加权和 数学期望的性质：线性性质、非负性、可加性 数学期望与概率的关系：反映随机变量的平均水平 数学期望在概率论中的应用：估计概率分布、计算概率密度函数等
方差的定义：衡量随机变量偏 离其期望值的程度
方差的性质：非负性、有界性、 对称性
方差的计算公式：D(X)=E[(XE(X))^2]
强大数定律： 描述了当试验 次数趋于无穷 时，随机变量 的平均值趋近
于真实值。
弱收敛性：描 述了随机变量 的分布函数在 概率空间上的
收敛性质。
两者关系：强大 数定律是弱收敛 性的一个特例， 弱收敛性更广泛 地描述了随机变 量的收敛性质。
应用场景：在 统计学、概率 论、金融等领 域有广泛应用。
定义：随机变量序列的极限存在，即存在一个随机变量X，使得对于任意小的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，Xn与X 的距离不超过ε的概率不小于1-δ。
第06章 随机变量函数
第六章 随机变量函数第一节 一维随机变量函数一、一维随机变量函数1、一元波雷尔函数：设)(x f 为一元实函数,若1B ∈∀B ,有11})(|{)(B ∈∈=-B x f x B f ，则称)(x f 为一元波雷尔函数. 可以证明：连续函数、单调函数都是波雷尔函数.2、定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 为S 上的一维随机变量，)(x f 为一元波雷尔函数, S e ∈∀,规定: ))(()(e X f e Y =R ∈,称Y 为X 的函数. 记作)(X f Y =.显然,1B ∈∀B ,F ∈∈=∈=--)}()(|{}))((|{)(11B f e X e B e X f e B Y ， 故Y 也是S 上的一维随机变量.二、离散型设X 的概率分布为X 1x 2x … k x… P1p 2p…kp…)(X f Y =为X 的函数，那么}{~k k y Y P q Y ==,其中 ∑-∈-=∈=====)(11)}({})({}{k i y fx i k k k k p y fX P y X f P y Y P q .特别,当f 为一一对应函数时,令)(k k x f y =, 有k k k k p x X P y fX P q ===∈=-}{)}({1,那么Y)(1x f )(2x f… )(k x f … P1p2p …kp…例1 设X 的概率分布为X-1 01 P1/3 1/2 1/6求：(1)1-X ;(2)X 2-;(3)2X 的概率分布. 解:列表计算1/3 1/2 1/6 X -1 0 1 1-X -2 -1 0 X 2- 2 0 -2 2X1 0 1所以 (1) 1-X 的概率分布为:1-X-2 -1 0 P1/3 1/2 1/6 (2) X 2-的概率分布为:X 2--2 0 2 P 1/6 1/2 1/3 (3) 2X 的概率分布为: 2X0 1 P1/2 1/2例2 设()kk X P X 2/1}{~==，N ∈k ，)2sin(X Y π=，求Y 的概率分布.解: 显然Y 的可能取值为1,0,1-.由已知条件知:∑∑∞=+∞=⎪⎭⎫⎝⎛=+===014021}14{}1{n n n n X P Y P ∑∑∑∞=-∞=∞==-⨯=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛====1112131411141414121}2{}0{n n n nn n X P Y P ,152}0{}1{1}1{==-=-=-=Y P Y P Y P .所以Y 的概率分布为:Y-1 0 1 P2/15 1/3 8/15三、连续型设)(~x X ϕ，)(X f Y = 1、 分布函数法先求出⎰≤=≤=≤=yx f Y dx x y X f P y Y P y F )()(})({}{)(ϕ；(2) 再求出)()(y F y Y Y '=ϕ.例3 设)(~x X ϕ,||X Y =,则)()()(y y y X X Y -+=ϕϕϕ，0>y . 解:(1)当0≤y ，0)(=y F Y ,因此0)(=y Y ϕ；(2) 当0>y ,)()(}{}|{|)(y F y F y X y P y X P y F X X Y --=≤≤-=≤=, 那么)()()()()(y y y F y F y X X X XY -+=-'-'=ϕϕϕ.2、公式法(1) 设)(~x X ϕ,)(X f Y =,0)(>'x f ，)(-∞=f α，)(+∞=f β,)(y h 为)(x f 的反函数,则 )()]([)(y h y h y X Y '=ϕϕ，βα<<y .证明:因0)(>'x f ,则)(x f y =存在反函数)(y h x =,且0)(>'y h ,那么)(y h 递增.显然βα≤≤)(X f ,且})({}{)(y X f P y Y P y F Y ≤=≤=.① 当α≤y 时, 0)(=y F Y ,⇒0)(=y Y ϕ； ② 当β≥y 时, 1)(=y F Y ,⇒0)(=y Y ϕ； ③ 当βα<<y 时,)]([)}({)}()]([{)(y h F y h X P y h X f h P y F X Y =≤=≤=, 所以 )()]([)()(y h y h y F y X Y Y '='=ϕϕ.(1)’ 设)(~x X ϕ,)(X f Y =,0)(<'x f ，)(+∞=f α，)(-∞=f β,)(y h 为)(x f 的反函数,则 |)(|)]([)(y h y h y X Y '=ϕϕ，βα<<y .证明:同(1),只是0)(<'y h ,那么)(y h 递减. 当βα<<y 时,)}({1)}({)}()]([{)(y h X P y h X P y h X f h P y F Y <-=≥=≥= )]([1y h F X -=, 所以|)(|)]([)()]([)()(y h y h y h y h y F y X X Y '='-='=ϕϕϕη.例4 设)(~x X ϕ,b aX Y +=,)0(≠a ，则⎪⎭⎫⎝⎛-=a b y a y X Y ϕϕ||1)(,+∞<<∞-y .解:令b ax x f y +==)(,那么-∞=α，+∞=β，ab y y h -=)(,ay h 1)(=',⎪⎭⎫⎝⎛-='=a b y a y h y h y X X Y ϕϕϕ||1|)(|)]([)(,+∞<<∞-y .例5 设),(~2σμN X ,σμ-=X Y ,，则)1,0(~N Y . 解: b aX Y +=,01>=σa ,σμ-=b ,于是()μσσϕϕϕ+=⎪⎭⎫⎝⎛-=y a b y ay XX Y 1)(,()22][222212yy ee --+-==πσπσσμμσ, +∞<<∞-y .例6 设),(~2σμN X ,b aX Y +=,)0(≠a ，则),(~22σμa b a N Y +.证明: 222)(||21||1)(σμσπϕϕ---=⎪⎭⎫⎝⎛-=a b y X Y ea ab y a y2222)]([||21ab a y e a σμσπ+--=，+∞<<∞-y所以 ),(~22σμa b a N Y +.(2)设)(~x X ϕ,b x a <<,)(X f Y =,0)(>'x f ，)(b f =α，)(a f =β,)(y h 为)(x f 的反函数,则)()]([)(y h y h y X Y '=ϕϕ，βα<<y . 证明:因0)(>'x f ,则)(x f y =在),(b a 上存在反函数)(y h x =,且0)(>'y h ,那么)(y h 递增.显然βα≤≤)(X f ,且})({}{)(y X f P y Y P y F Y ≤=≤=. ① 当α≤y 时, 0)(=y F Y ,⇒0)(=y Y ϕ； ② 当β≥y 时, 1)(=y F Y ,⇒0)(=y Y ϕ； ③ 当βα<<y 时,)]([)}({)}()]([{)(y h F y h X P y h X f h P y F X Y =≤=≤=, 所以 )()]([)()(y h y h y F y X Y Y '='=ϕϕ.(2)’ 设)(~x X ϕ,b x a <<,)(X f Y =,0)(<'x f ，)(a f =α，(b f =β,)(y h 为)(x f 的反函数,则|)(|)]([)(y h y h y X Y '=ϕϕ，βα<<y . 证明:同(2),只是0)(<'y h ,那么)(y h 递减. 当βα<<y 时,)}({1)}({)}()]([{)(y h X P y h X P y h X f h P y F Y <-=≥=≥= )]([1y h F X -=,所以|)(|)]([)()]([)()(y h y h y h y h y F y X X Y Y '='-='=ϕϕϕ.例7 设)2,2(~ππ-U X ,X A Y sin =,)0(>A ，求)(y Y ϕ.解:已知x A x f y sin )(==,0)(>'x f ,)2,2(ππ-∈x ,A -=α,A =β,Ay y h arcsin)(=,221)(yA y h -='，又 ⎩⎨⎧>≤=.2/|| ,0 ,2/|| ,1/ )(πππϕt t t X所以 ⎪⎩⎪⎨⎧<<--='=. ,0 , ,1|)(|)]([ )(22其他A y A yA y h y h y XY πϕϕ(3) 设)(~x X ϕ,)(X f Y =,)()(x f x f i =,i I x ∈,且在i I 导数恒不为零,)(y h i 为)(x f i 的反函数, }),(|{i i i I x x f y y J ∈==,i I 为互不相交的区间,.,,2,1m i =,则 iJ y i mi i XY y h y h y ∈='=∑|)(|)]([)(1ϕϕ.证明：由(2)知, |)(|)]([)()(y h y h y i i X X f i '=ϕϕ,i J y ∈.∑∑=∈≤=≤=≤=mi iI e X Y y X fP y X f e P y X f e P y F i1)(})({})(|{})(|{)(iJ y i mi i Xmi i Y Y y h y h y X f P dyd dyy dF y ∈=='=≤==∑∑|)(|)]([})({)()(11ϕϕ.例8 设)(~x X ϕ,2X Y =,则)]()([21)(y y yy X X Y -+=ϕϕϕ，0>y .证明:令0,0,)(,)(121><-===y x y y h x x f y ，0,0,)(,)(222><===y x y y h x x f y ,那么),0(21+∞==J J .由(3)知 )]()([21|)(|)]([)(021y y yy h y h y X X y i i i XY -+='=>=∑ϕϕϕϕ,0>y .例9 设)1,0(~N X ,2X Y =,则)1()21,21(~22χ∆=Γ=X Y .解: )(1)]()([21)(y yy y y y X X X Y ϕϕϕϕ=-+=()21121212)2/1(2/1211---Γ==eyeyy π,0>y .所以 )21,21(~2Γ=XY .四、随机变量存在定理设定义在R 上的函数)(x F 满足：(1)R ∈∀x ,1)(0≤≤x F ；(2))(x F 为单调不减函数；(3)0)(lim =-∞→x F x ,1)(lim =+∞→x F x ；(4))(x F 为右连续函数.则)(x F 必为某一维随机变量的分布函数.事实上,取)1,0(~U X ,定义})(|sup{)(x t F t x G <=,则)(X G Y =的分布函数为)(x F .说明: ① 由此可见满足分布函数(1)-(4)的)(x F 可确定一个随机变量.②利用数学或物理的方法产生)1,0(中均匀分布随机变量的子样(称为均匀分布随机数)，再利用变换)(X G Y =可得到任意分布)(x F 的随机数.这在蒙特卡洛方法中具有重要性．证明:①先证明)(x G 单调不减,那么)(x G 是波雷尔函数.R ∈<∀21x x ,若1)(x t F <,有2)(x t F <⇒})(|{})(|{11x t F t x t F t <⊂<⇒})(|sup{})(|sup{21x t F t x t F t <≤<⇒)()(21x G x G ≤. 所以)(x G 单调不减.其次证明)(x G 的定义域)1,0(⊃D .因X 的值域为)1,0(, 这样)(X G 就是一维随机变量.)1,0(∈∀r ,因(3),必R ∈'''∃x x ,,使得)()(x F r x F ''<<'. 因r x F <')(,有})(|{r t F t x <∈',于是})(|{r t F t <非空；又})(|{r t F t s <∈∀,有)()(x F r s F ''<<,因(2),有x s ''<, 于是})(|{r t F t <有界,这样})(|sup{)(r t F t r G <=存在,. 于是D r ∈,那么D ⊂)1,0(.③ 再证明R ∈∀x ，有x y F x G y <⇔<)()(，这样 )()(y F x y x G ≤⇔≤.“⇐”x y F <)(,因(4),则y y >'∃,使得x y F y F <'<)()(， 这样 )(})(|sup{x G x t F t y y =<≤'<“⇒”)(x G y <，因})(|sup{)(x t F t x G <=,则})(|{ x t F t y <∈'∃， 使得y y x G x G '<--])([)(,即y y '<,又因(2),有x y F y F <'≤)()(. ④ 最后证明)(X G Y =的分布函数为)(x F .因)1,0(~U X ,故x x F X =)(,10≤≤x ,而由(1)知1)(0≤≤y F , 因此 R ∈∀y ，)()]([)}({})({}{)(y F y F F y F X P y X G P y Y P y F X Y ==≤=≤=≤=.第二节 n 维随机变量一、n 维随机变量1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，k X ，)(n N k ∈为S 上的一维随机变 量，称),,,(21n X X X X =为S 上的n 维随机变量.符号约定：设nn n y y y y x x x x R ∈==),,,( ),,,,(2121 ,规定： ① y x <⇔k k y x <；n k ,,2,1 =.②y x ≤⇔k k y x ≤，)(n N k ∈.③将),,,(21n x x x x =写成列(column)向量) (21'n x x x ,即==),,,(21n x x x x ) (21'n x x x .) (),,,(2121'==n n X X X X X X X .2、X 关于J X 的边缘分布：),,,(21mk k k I X X X X =.)(),,,(21n N k k k I m ⊂= 表示)(},,,{21n N k k k m ⊂ .3、X 的分布：}{B P ∈X , n B B ∈. 其中可证：=∈}{B X F ∈∈∈},)(|{S e B e X e .4、分布函数(1)定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 为S 上的n 维随机变量, n x R ∈∀,规定}{)(x X P x F ≤=.称)(x F 为X 的分布函数.(2) 性质① n x R ∈∀,1)(0≤≤x F .② )(x F 关于k x 为单调不减右连续函数，)(n N k ∈. ③ 0)(lim =-∞→x F J x ,)(n N J ⊂；1),,,(=+∞+∞+∞ F .④ ),,,(lim }{)(21n x J JJ x x x F x XP x FJ JX +∞→=≤=,)(n N J J =+.5、相互独立: 设),,,(21m X X X X =,)(x F 为X 的分布函数, 而),,,(21kkn k k k X X X X =为k n 维随机变量, )(k k x F 是k X 的分布函数,m k ,,2,1 =，恒有)(x F ∏==mk k kx F1)(，则称m X X X ,,,21 相互独立.注：① 若mmn m n X X ,,,,,,11111X X 独立,即X 独立， 则m X X X ,,,21 独立.②m X X X ,,,21 独立⇔kn k B B ∈∀，m k ,,2,1 =恒有}{}{}{},,,{22112211m m m m B X P B X P B X P B X B X B X P ∈∈∈=∈∈∈ .③ 若),,,(21m X X X X =相互独立 ⇒kJ J J X X X ,,,21独立,)(21m N J J J k ⊂+++ .6、随机变量序列}{n X 的独立：若}{n X 中任意有限个随机变量独立，则称}{n X 独立.n 维离散型随机变量1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，),,,(21n X X X X =为S 上的n 维随机变量，若X 的取值为有限个或可数个(至多可数)，称X 为S 上的n 维离散型随机变量.显然：X 为S 上的n 维离散型随机变量⇔i X ),,2,1(n i =均为S 上的一维离散型随机变量.2、概率分布：假设X 所有可能取的值为I x ),,,(21ni i i x x x =，nn i i i I N ∈=),,,(21 ，令},,,{}{2121ni n i i I I x X x X x X P x X P p ====== ,称其为n 维随机变量X 的概率分布.3、分布律性质(1)0≥I p ; (2) 1=∑II p ;(1)(2)为离散型随机变量的特征性质. 反之亦然.(3) ∑∈=∈Bx I I p B X P }{,n B B ∈；(4)n X X X ,,,21 独立⇔nI N∈∀,恒有}{}{}{}{2121n i n i i I x X P x X P x X P x X P ===== .4、IJ p Y X ~),(的边缘分布,n I N ∈,mJ N ∈(1)),(Y X 关于X 的边缘分布：∑=∙JIJ I p p X ~.(2)),(Y X 关于Y 的边缘分布：∑=∙IIJ J p p Y ~.5、IJ p Y X ~),(的条件分布(1)在I x X =的条件下Y 的分布：∙===I IJ I J p p x X y Y P }|{.在J y Y =的条件下X 的分布：JIJ J I p p y Y X X P ∙===}|{.三、n 维连续型随机变量1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 为S 上的n 维随机变量，)(x F 为X 的分布函数,若存在非负可积函数)(x ϕ，对n x R ∈∀,有⎰≤=xt dt t x F )()(ϕ,则称X为n 维连续型随机变量. )(x ϕ为X 的概率密度函数.记作)(~x X ϕ. 注：(1) )(x F 为连续函数；(2) )(x ϕ意义与一维相同.2、性质(1)0)(≥x ϕ; (2)⎰∈=nx dxx R1)(ϕ；(1)(2)为连续型随机变量的特征性质. 反之亦然.(3)⎰∈=∈Bx dx x B X P )(}{ϕ,nB B∈；(4)n B B ∈∀,若0)(=B m ,有0}{=∈B X P .(5)n X X X ,,,21 独立⇔nn R x x x x ∈=∀),,,(21 ,恒有∏==nk k X X x x k1)()(ϕϕ.3、 X 关于J X 的边缘分布： ⎰=JJ dx x x )()(ϕϕ，)(n N J J =+.4、在J J x X =的条件下L X 的分布： )()()|(J L J J L x x x x ϕϕϕ+=，)(n N L J ⊂+. 例1 (均匀分布) 在n A B ∈(0)(>A m )中任取一点X ，则X 的密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=. ,0 , )(1)(A x A x A m x ，ϕ 此时，记：)(~A U X .例2 (n 维正态分布) 设)(~),,,(21x X X X X n ϕ =,n R ∈μ,C 为n 阶正定对称矩阵，且)()(211212||)2(1)(μμπϕ-'---=x Cx eC x n,n x R ∈称X 服从n 维正态分布，记作),(~C N X μ.特别,当2=n 时, ),(21μμμ=,因⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211c cc c C 为二阶正定对称矩阵,于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22121211c cc c C ,且011>c ,0||2122211>=-C c c c ,那么022>c , 令111c =σ,222c =σ,221112c c c =ρ，这样1||<ρ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=22212121σσρσσρσσC , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-212121221||1σσρσσρσσC C, )1(||22222ρσσ-=C , 于是 )()(211212||)2(1)(μμπϕ-'---=x C x eC x n⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-------=2222212121212)())((2)()1(21221121σμσσμμρσμρρσπσy y x x e，这正是二维正态分布.第三节 n 维随机变量函数一、n 维随机变量函数1、n 元波雷尔函数：设)(x f 为n 元实函数,若1B ∈∀B , 有n B x f x B fB ∈∈=-})(|{)(1，则称)(x f 为n 元波雷尔函数.可以证明：连续函数是波雷尔函数.2、定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 为S 上的n 维随机变量，)(x f 为n 元波雷尔函数, S e ∈∀,规定: ))(()(e X f e Y =R ∈,称Y 为X 的函数. 记作)(X f Y =.3、显然：1B ∈∀B ,F ∈∈=∈=--)}()(|{}))((|{)(11B fe X e B e Xf e B Y ，故Y 也是S 上的一维随机变量.二、离散型设X 的概率分布为}{I x X P =,n I N ∈,)(X f Y =为X 的函数， 则Y 的概率分布为)}({I x f Y P =.例1 设),(Y X 的概率分布为YX -1 1-1 1/4 1/3 1 1/6 1/4求：(1)Y X +；(2) Y X -2 的概率分布.解:列表计算P),(Y X Y X + Y X -2 1/4 (-1,-1) -2 -1 1/3 (-1,1) 0 -3 1/4 (1,1) 2 1 1/6 (1,-1) 0 3所以:(1) Y X +的概率分布为:Y X +-2 0 2 P1/4 1/2 1/4(2)Y X -2的概率分布为:Y Z -2-3 -1 13 P1/3 1/4 1/4 1/6例2 设)(~i i P X λ,2,1=i 独立, 21X X Z +=则 )(~2121λλ++=P X X Z . 解：Z 的可能取值为 ,2,1,0,而∑=-====+==ki i k X i XP k X X P k Z P 02121},{}{}{∑∑=---=-=-===ki ik iki ei k ei i k X P i XP 02102121)!(!}{}{λλλλ)(21210)(2121!)()!(!!!λλλλλλλλ+--=+-+=-=∑ek i k i k k eki k i ki ，0N k ∈,所以)(~2121λλ++=P X X Z .三、连续型1、分布函数法: 设),(~),(y x Y X ϕ，),(Y X f Z =,为S 上的二维随机变量, (1) 先求出⎰⎰≤=≤=≤=zy x f Z dxdyy x z Y X f P z Z P z F ),(),(}),({}{)(ϕ,R ∈∀z ；(2) 再求出)()(z F z Z Z '=ϕ.2、随机变量四则运算公式: 设二维随机变量),(~),(y x Y X ϕ.(1)Y X Z +=,则 ⎰+∞∞--=dx x z x z Z ),()(ϕϕ，或⎰+∞∞--=dyy y z z Z),()(ϕϕ.若X 与Y 独立，则⎰+∞∞--=dx x z x z Y XZ )()()(ϕϕϕ.证明：⎰⎰⎰⎰+∞∞--∞-≤+==xz z y x Z dyy x dx dxdyy x z F ),(),()(ϕϕ⎰⎰⎰⎰∞-+∞∞-+∞∞-∞-=--=-====zzyx t dx x t x dt dtx t x dx ),(),(ϕϕ⎰⎰⎰∞-∞-+∞∞-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=zzdt t dt dx x t x )(),(ζϕϕ,所以⎰+∞∞--=dx x z x z Z ),()(ϕϕ.例3 设)1,0(~N X i ,2,1=i 独立,则)2,0(~21N X X Z +=. 证明：由 222222)(z xz x x z x +-=-+ 22222222)2(22222z z x z z zxx +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=, 从而 ⎰⎰+∞∞----+∞∞-=-=dx eedx x z x z x z xX X Z 2)(2222121)()()(πϕϕϕ⎰⎰∞+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-∞+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2221221222222222222222z x d eedx eez x z z x zπππ ()2222221⋅-=z eπ,R ∈z . 所以)2,0(~N Z .注：一般地，设),(~2i i i N Z σμ,2,1=i 独立,则),(~22212121σσμμ+++=N X X Z .4 设),(~λi i r X Γ,2,1=i 独立, 21X X Z +=则 ),(~2121λr r X X Z +Γ+=.证明: ⎰⎰+∞+∞∞--=-=)()()()()(2121dx x z x dx x z x z X X X X Z ϕϕϕϕϕ,① 当0≤z 时, 0)(=z Z ϕ； ② 当0>z 时,⎰⎰------ΓΓ=-=zx z r r r r zX X Z dx ex z r exr dx x z x z 0)( 12 x11 0221121)()()()()()(λλλλϕϕϕ⎰⎰---+-=--+--⋅ΓΓ===-ΓΓ=111121 0112121212121)1()()()()()()(dt t tz r r edx x z xr r er r r r zxzt zr r r r z λλλλλzr r e z A 121)(λλλ--+=，又因 ) ()()()(1210121r r A z d ez A dz z zr r Z +Γ===⎰⎰+∞--++∞∞-λλϕλ,⇒[]121) (-+Γ=r r A ，这样 []z121 1121212121)()() ()(λλλλλϕ--++--+-+Γ=+Γ=ezr r ez r r z r r r r zr r Z .所以),(~21λr r Z +Γ.(2)Y X Z -=,则 ⎰+∞∞--=dx z x x z Z ),()(ϕϕ.若X 与Y 独立，则⎰+∞∞--=dx z x x z Y XZ )()()(ϕϕϕ.证明：⎰⎰⎰⎰+∞∞--∞-≤-==zx z y x Z dy y x dx dxdyy x z F ),(),()(ϕϕ⎰⎰⎰⎰∞-+∞∞-+∞∞-∞-=--=-====zzyt x dx t x x dt dtt x x dx ),(),(ϕϕ,所以 ⎰+∞∞--=dx z x x z Z ),()(ϕϕ.独立时简单证明: 因 )()(y y Y Y -=-ϕϕ,于是⎰⎰+∞∞-+∞∞---+-=-==dx z x x dx x z x z z Y XY XY X Z )()()()()()()(ϕϕϕϕϕϕ.(3) XY Z =,则 ⎰+∞∞-=dy y yz y z Z ),(||1)(ϕϕ，或⎰+∞∞-=dx xzx x z Z ),(||1)(ϕϕ.若X 与Y 独立，则⎰+∞∞-=dx xzx x z Y X Z )()(||1)(ϕϕϕ.证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞-∞+≤+==),(),(),()(yzyzzxy Z dxy x dy dx y x dy dxdyy x z F ϕϕϕ⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞-∞-=+===01),(1),(zzxyt dt yy yt dydt yy yt dyϕϕ⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞-∞-+=00),(||1),(||1zzdt y yt y dydt y yt y dyϕϕ⎰⎰⎰⎰∞-+∞∞-+∞∞-∞-==zzdy y yt y dtdt y yt y dy),(||1),(||1ϕϕ所以 ⎰+∞∞-=dy y yz y z Z ),(||1)(ϕϕ.例5 设),(~),(y x Y X ϕ,且⎩⎨⎧<≤<= . ,0,10 8),(其他，y x xy y x ϕXY Z =,求)(z Z ϕ.解:⎰⎰==+∞∞-1),(1),(||1)(dy y yz ydy y yz y z Z ϕϕϕz z y d y yz yZZZ ln 481110-==+=⎰⎰⎰,10<<z .(4) YX Z =,则 ⎰+∞∞-=dy y yz y z Z ),(||)(ϕϕ.若X 与Y 独立，则⎰+∞∞-=dy y yz y z Y XZ )()(||)(ϕϕϕ.证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞≤+==),(),(),()(zyzyzyxZ dx y x dy dx y x dy dxdyy x z F ϕϕϕ⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞--∞=+===00),(),(zzxty ydty ty dy ydt y ty dy ϕϕ⎰⎰⎰⎰+∞∞-∞-∞-+=00),(||),(||zzdt y ty y dy dt y ty y dy ϕϕ⎰⎰⎰⎰∞-+∞∞-+∞∞-∞-==zzdyy ty y dt dt y ty y dy ),(||),(||ϕϕ所以 ⎰+∞∞-=dy y yz y z Z ),(||)(ϕϕ.例5 设)(~i Exp X i ,2,1=i 独立, 21X X Z =,求)(z Z ϕ. 解: ⎰⎰+∞+∞∞-==)()()()(||)(2121dy y yz y dy y yz y z X X X X Z ϕϕϕϕϕ，① 当0≤z 时, 0)(=z Z ϕ；当0>z 时, ⎰+∞--=22)(dy eyez yzyZ ϕ22)2(122)2(2)2()2(2])2[()2()2(2z z y z d ez z yz +=+Γ=+++=⎰+∞+--.所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0 ,0 ,0 ,)2(2)(2z z z z Z ϕ四、最大、最小公式设),,,(21n X X X 为S 上的n 维随机变量,且n X X X ,,,21 独立.(1) },,,max{21n X X X Z =，则∏==ni X Z z Fz F i1)()(.证明: }},,,{max{}{)(21z X X X P z Z P z F n Z ≤=≤= },,,{21z X z X z X P n ≤≤≤=∏==≤≤≤=ni X n z Fz X P z X P z X P i121)(}{}{}{ .(2)},,,min{21n X X X Z =，则∏=--=ni X Z z F z F i1)](1[1)(.证明: }},,,{min{1}{1}{)(21z X X X P z Z P z Z P z F n Z >-=>-=≤=},,,{121z X z X z X P n >>>-=∏=--=>>>-=ni X n z F z X P z X P z X P i 121)](1[1}{}{}{1 .例6 设)(~i i Exp X λ,2,1=i 独立,},max{211X X Z =,},min{212X X Z =, 求)(1z Z ϕ,)(2z Z ϕ.解:已知 xX i i ex F λ--=1)(,0>x ,那么① )1)(1()()()(21211zzX X Z eez F z F z F λλ----==,0>z ,zzzZ Z eeez F z )(2121212111)()()(λλλλλλλλϕ+---+-+='=，0>z .⎩⎨⎧≤>+-+=+---.0 ,0,0 ,)( )()(212121211z z e e e z z z z Z λλλλλλλλϕ② zX X Z ez F z F z F )(212121)](1)][(1[1)(λλ+--=---=,0>z ,zZ Z ez F z )(212122)()()(λλλλϕ+-+='=，0>z .所以 ⎩⎨⎧≤>+=+-.0 ,0,0 ,)( )()(21212z z e z z Z λλλλϕ五、函数的独立性设m X X X ,,,21 独立，),,,(21kkn k k k X X X X =，)(k k k X f Y =，m k ,,2,1 =.则 m Y Y Y ,,,21 也独立.证明：121,,,B ∈∀m B B B ,有},,,{2211m m B Y B Y B Y P ∈∈∈)}(,),(),({121221111m m m B f X B f X B f X P ---∈∈∈= )}({)}({)}({121221111m m m B f X P B f X P B f X P ---∈∈∈=}{}{}{2211m m B Y P B Y P B Y P ∈∈∈=例8 设),(~2i i i N X σμ,m i ,,2,1 =独立,则),(~1211∑∑∑====mi i mi i mi iN XY σμ.例9 设),(~λi i r X Γ,m i ,,2,1 =独立, 则),(~11λ∑∑==Γ=mi i mi ir XY .例10 设X 与Y 独立，且)(),(y x Y X ϕϕ,),(y x ϕ均连续, 而)(),(~),(22y x q y x Y X +=ϕ,则X 与Y 均服从正态分布.引理:设)(x f 与)(y g )0,(≥y x 都连续不恒为0,且0,≥∀y x 恒有)()()(y x h y g x f +=,则xka x f =)(,0≥x ，此处a k ,是常数, 0>a .证明:①先证明0)0(≠f .反证.假设0)0(=f ，则0)(≡x h .)(y g 不恒为0,故00≥∃y ,使得0)(0≠y g ,,那么0)()()(00≡+=y g y x h x f ,这与)(x f 不恒为0矛盾,故0)0(≠f .同理可证0)0(≠g .② 由于)()()0()0()(x h x g f g x f ==,那么)()0()0()()0()()0()(x p g f x h g x g f x f ===, 于是)()0()0()()0()()0()()()(y x p g f y x h g y g f x f y p x p +=+==,0,≥y x . ③ 再证明 0)1(≠p .反证. 假设0)1(=p ⇒0)1()1(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡p n p n⇒0)1(lim )0(==→∞n p p n .而1)0()0()0(==f f p ,故0)1(≠p .④ 因)()()(y x p y p x p +=,0,≥y x .则 x a x p =)(⇒x x ka a f x f ==)0()(.此处a k ,是常数,且 0)21()21()1(>==p p p a .例10证明: 因X 与Y 独立,则)(),()()(22y x q y x y x Y X +==ϕϕϕ.考虑在第一象限1D 中,令)()()(22x x x f X X ϕϕ==,)()()(22y y x g Y Y ϕϕ==, 显然都连续不恒为0,再令 )()(2222y x q y x h +=+,于是 )()()(2222y x h y g x f +=,因此2)()(2x X ka x f x ==ϕ,0)0()0()1(>=g f h a .由于σπσπσπϕσ222)(12222k dx ek dx a kdx x xx====⎰⎰⎰+∞∞--+∞∞-+∞∞-,有σπ21=k ,其中,因⎰+∞∞-dx a x2收敛,于是10<<a ,这样0ln 21>-=aσ.从而22221)(σσπϕxX ex -=，在其他三象限同样有此结果,于是),0(~2σN X .由对称性知道, ),0(~2σN Y .六、随机变量的变换)(~x X ϕ为S 上的n 维随机变量，)(x f y =为nn R R →的变换,)(x f y =在其定义域x D 上雅可比行列式0≠∂∂=xyJ ，y D 为其值域， 则)(x f y =有逆变换)(y h x =,)(X f Y =也是S 上的n 维随机变量，且1)]([)]([)(-=∂∂=Jy h yx y h y X X Y ϕϕϕ，y D y ∈. 证明：n y R ∈∀,有⎰≤=≤=yx f XY dx x y X f P y F )()(})({)(ϕ,0≠∂∂xy ,x D x ∈,故)(x f t =有逆变换)(t h x =,且0≠∂∂tx ，那么⎰⎰≤≤∂∂==yt X yx f X Y dt tx t h dx x y F )]([)()()(ϕϕ.又⎰≤=yt YY dt t y F )()(ϕ,故 yx y h y X Y ∂∂=)]([)(ϕϕ，y D y ∈.华东师大《数学分析(下)》例11 设),(~),(y x Y X ϕ，Y X Z +=,则 ⎰+∞∞--=dx x z x z Z ),()(ϕϕ.证明：令Y X Z +=,X W =,定义域和值域都是2R ,且雅可比行列式为10111-==∂∂∂∂∂∂∂∂=y w x w yzx z J , 而逆变换),(w z h 为W X =,W Z Y -=.这样),(W Z 的密度函数为),(),()],([),(11w z w y x J w z h w z -===-ϕϕϕϕ，于是⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-=dx x z x dww z w z Z ),(),()(ϕϕϕ.。
1.1.3 随机变量的函数变换
1 f X ( x) = e 2π σ
−
( x −m )2 2σ 2
f X ( x) =
1 e 2π
x2 − 2
fY ( y) = f X1 ( y) ∗ f X2 ( y)
Φ Y (ω ) = Φ X1 (ω ) ⋅ Φ X 2 (ω ) = Φ (ω )
2 X
ΦX (−ω) = e
t2 − 2 2σ
f X ( x) =
1 2π σ X
−
( x−mX )2
2 2σ X
e
Y −b X = h(Y) = a
fY ( y ) = f X (h( y )) h′( y ) =
− 1 = e 2π a σ X
1 2π σ X
e
y −b −mX )2 − a 2 2σ X (
1 a
( y − am X −b ) 2
(1) Φ X (ω ) = Φ1 (ω )Φ 2 (ω )
(2) Φ X (ω ) = Φ1 (ω )Φ 2 (ω )Φ 3 (ω ) (3) Φ X (ω ) = Φ1 (ω )Φ 2 (2ω )Φ 3 (3ω )
(4) Φ X (ω ) = e
j10ω
Φ1 (2ω )Φ 2 (ω )Φ 3 (4ω )
性 3: 互 独 随 变 之 的 征 数 于 随 变 质 相 立 机 量 和 特 函 等 各 机 量 特 函 之 ,即: 若 = ∑Xn, Xn之 相 独 , 征 数 积 Y 间 互 立
n= 1 N
则: ΦY (ω) = E[e
jωY
] = ∏ Xn (ω) Φ
n= 1
14
N
随机变量X 1 , X 2 , X 3彼此独立, 且特征函数分别为Φ1 (ω ), Φ 2 (ω ), Φ 3 (ω ), 求下列随机变量的特征函数 : (1) X = X 1 + X 2 ; (3) X = X 1 + 2 X 2 + 3 X 3 (2) X = X 1 + X 2 + X 3 ; (4) X = 2 X 1 + X 2 + 4 X 3 + 10.
二维离散型随机变量
ρ(X,Y)=Cov(X,Y)σ(X)σ(Y)
相关系数具有对称性，即 ρ(X,Y)=ρ(Y,X)。
05 二维离散型随机变量的函 数变换
线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对二维离散型随机变量进行加、减、缩放等线性运算，得到新的二维离散型 随机变量。
线性变换的性质
线性变换保持了概率分布的平移、旋转和伸缩不变性，即变换后的随机变量的概率分布与 原随机变量的概率分布相同。
协方差与相关系数
协方差
计算公式
相关系数
计算公式
性质
二维离散型随机变量的 协方差是每个取值的横 坐标与期望值之差的乘 积和每个取值的纵坐标 与期望值之差的乘积的 期望值之和。
Cov(X,Y)=∑[(x−E(X))*(y −E(Y))]p(x,y)dxdy
协方差除以两个随机变 量的标准差的乘积，用 于衡量两个随机变量的 线性相关程度。
意义
联合概率分布函数提供了两个随机变量之间 关系的完整描述，包括它们同时发生的概率 。
性质
非负性
联合概率分布函数 F(x, y) 的值总是非负的。
01
归一化
联合概率分布函数满足条件，即所有可 能取值的概率之和为1。
02
03
独立性
如果两个随机变量是独立的，则它们 的联合概率分布函数可以表示为两个 边缘概率分布函数的乘积。
性质
可数性
二维离散型随机变量的取值可以 一一对应到自然数集上，即其取 值是可数的。
有限性
二维离散型随机变量的取值集合 通常是有限的，即其取值个数是 有限的。
独立性
在某些情况下，二维离散型随机 变量可能具有独立性，即两个随 机事件的发生与否相互独立。
联合概率分布
随机变量函数中的线性变换与平方变换的图解法
明
要 】概 率论与数理统计》 《 中的求解随机变量函数的分布 ， 图解法的求解直观、 易于掌握 ， 本文通过 实例 （ 线性 变换与平方 变换） 以说 加
【 关键词 】 图解法； 分布 函数法 ； 随机变量的函数
０ 引 言
数学上难于理解的问题 ， 若能用图形说清楚 ， 对学生 、 教师都会 收 【 其 它 Ｏ 到事半功倍 的效 果 ， 在求解随机变量 函数 Ｙ＝ （） ｇｘ 的分 布中 ， 一系列 的 ２ ８的概 率 密度 ． Ｘ＋ 公式推导令学生难于理解与掌握 ， 课堂上用图解法求解 函数 的的分布 从 图 ３上 ， Ｘ取值在（ ４ ， Ｏ，）对应 Ｙ的取值在 （ ， ） Ｏ８ ， 可使学生易于理解 、 易于掌握分 布函数法 ， 下面以实例来 说明用图解 法求解 随机 变量函数中常用的线性变换 Ｙ＝Ｘ＋ （≠０（ 调函数） ａ ｂａ ） 单 与 平 方 变 换 Ｙ Ｘ２ 单 调 函 数 ）学 生 也 可 以用 在其 它 类 型 的 变 换 中 ， ： ＝ ｆ 非 ， 如 Ｂ 对数变换 、 指数变换及三角函数变换 等． 。
—、 。 ：
Ｏ ｛ 哇
×
分 布函数 ：ｄ ）Ｆ（／ ）蹦 一 ／ ）两边对 Ｙ 导得 Ｙ的概率密度 Ｆｙ＝ ｘ 一 、 ， 、 求
ｆ ｙ＝ ｄ ） — 一 Ｏ ／ ｔ 、 ｙ） 、 ｙ） 一 ／ ） ．
２Ｖ Ｙ
图２
对平 方变换 Ｙ＝ 非单调 函数 ）从 图形上搞清 ｘ与 Ｙ的取值 范 Ｘ（ ， 围， 以写 出它们相应的分布函数 ， 可 从而求导得 Ｙ的概率 密度 函数．
一
ｆ
．
０ ＼
图３
Ｘ
率值 ， 如图 １ ：
Ｏ ｘ
随机变量的生成
0.5
0
F (x)
0.5 0.8
1.0
x 0 0 x 1 1 x 2 2x
如已知R=0.73, 则X=1
F(xi1) ri1 R ri F(xi ) 则有：X xi
或根据公式查 表如下:
输入 输出
0.50 0
0.80 1
1
2
0
1
2
x
补: 经验连续分布
如果建模者找不到能够为输入数据提供 模型的理论分布，那么就必须采用数据 的经验分布。
0 其他
则有：
0 x 0
F (x)
x2 2
1 x 2
(2 - x)2
1 -
2
x2
令F (x) R : 当0 x 1: R x 2/2。
因而：x 2R 当1 x 2 : R 1- (2 - x)2 / 2。
因而：x 2 2(1 R)
离散型随机变量逆变换法步骤
F (xi1) ri1 R ri F(xi ) 则有：X xi
方法: 逆变换法、卷积法、函数变换法、合成法、 取舍法
1）逆变换法
逆变换法也称反函数法。 是最常用、最简单的一种随机变量生成方法。 它以概率的积分变换定理为基础。 若给定随机变量的概率分布函数为F(X), 则F(X)是
在区间[0,1]的均匀分布随机变量, 并与F(X)的分 布特征无关。
连续型随机变量逆变换法步骤:
的最大cˆ值作为其估计值 )
将观测数据由小到大排列, 假定每个间隔
的概率为1/n, n表示观测值的个数。Fˆ ( x )
由此, 可以得到经验分布函数的估计值
第i条线段的斜率是:
ai
xi xi1 1/ n
因此，当 i-
1.1.3 随机变量的函数变换
h1' ( y ) = 1 ( 2 by )
' h2 ( y ) = 1 ( 2 by )
' fY ( y ) = f X (h1 ( y )) h1' ( y ) + f X (h2 ( y )) h2 ( y )
fY ( y ) = f X ( y b ) 1 (2 by ) + f X ( y b ) 1 (2 by )
P(x < X ≤ x + dx) = P( y < Y ≤ y + dy)
f X (x)dx = fY ( y)dy
1
dx fY ( y ) = f X ( x) dy
X = 1 (Y ) = h(Y )
考 到 率 度 负 虑 概 密 非 dx = f X (h( y)) h′( y) fY ( y) = f X (x) dy
f X ( x) =
1 2π σ X
( xmX )2
2 2σ X
e
Y b X = h(Y) = a
f Y ( y ) = f X (h( y )) h′( y ) =
1 = e 2π a σ X
1 2π σ X
e
y b mX )2 a 2 2σ X (
1 a
( y am X b ) 2
2 2 a 2σ X
ΦY (ω) =Φ (ω)
2 X
ΦX (ω) = e
ΦX (ω) = e
ω2
2
Φ Y (ω ) = e
ω 2
ω2
2
fY ( y ) = FT 1 [Φ Y (ω )]
FT[e
t2 2 2σ
] = σ 2π e
σ 2ω2
《随机信号分析基础》总复习题纲
概率论基础1.概率空间、概率（条件概率、全概率公式、贝叶斯公式）2．随机变量的定义（一维、二维实随机变量）3.随机变量的描述：⑴统计特性一维、二维概率密度函数、一维二维概率分布函数、边缘分布概率分布函数、概率密度函数的关系⑵数字特征一维数字特征：期望、方差、均方值（定义、物理含义、期望和方差的性质、三者之间的关系）二维数字特征：相关值、协方差、相关系数（定义、相互关系）⑶互不相关、统计独立、正交的定义及其相互关系△雅柯比变换（随机变量函数的变换一维随机变量函数的单值和双值变换、二维随机变量函数的单值变换）5、高斯随机变量一维和二维概率密度函数表达式高斯随机变量的性质△随机变量的特征函数及基本性质、随机信号的时域分析1、随机信号的定义从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ∆→→∞的推广2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机信号的统计特性分析：概率密度函数和概率分布函数（一维、二维要求掌握）4、随机信号的数字特征分析（定义、物理含义、相互关系） 一维：期望函数、方差函数、均方值函数。
（相互关系）二维：自相关函数、自协方差函数、互相关函数、互协方差函数（相互关系） 5、严平稳、宽平稳定义、二者关系、判断宽平稳的条件、平稳的意义、联合平稳定义及判定 6、平稳随机信号自相关函数的性质： 0点值，偶函数，均值，相关值，方差7、两个随机信号之间的“正交”、“不相关”、“独立”。
（定义、相互关系） 8、高斯随机信号定义（掌握一维和二维）、高斯随机信号的性质 9、各态历经性定义、意义、判定条件（时间平均算子、统计平均算子）、平稳性与各态历经性的关系直流分量、直流平均功率、总平均功率、交流平均功率随机信号的频域分析1、随机信号是功率信号，不存在傅里叶变换，在频域只研究其功率谱。
随机变量函数中的线性变换与平方变换的图解法
随机变量函数中的线性变换与平方变换的图解法
线性变换与平方变换是随机变量函数的一类变换，它用于描述实验中观察到的随机变量之间的关系。
本文主要介绍线性变换与平方变换的图解法，并讨论它们之间的区别和特点。
线性变换是指把一个随机变量变换成另一个同样可以表示为一组常数乘以原来随机变量的新的随机变量的变换。
它的图解法可以用四象限散点绘图来表示，如图1所示，以一个变
量Y为横轴，另一个变量X为纵轴，变换前原变量X和Y在图中表示为正方形，变换后
新变量X'和Y'形成直线，其斜率可以由图中给出，公式可表示为：Y'/X' = kY/X。
图1 线性变换的图解法
平方变换是把一个随机变量X变换为X^2的随机变量Y的变换，它的图解法可以用交叉
散点图来表示，如图2所示，以一个变量X为横轴，另一个变量Y为纵轴，表示X^2 = Y，公式可表示为Y = X^2。
综上所述，线性变换与平方变换的图解法有所不同。
前者是从一个正方形变成一条斜率，而后者是从一个点变成一条曲线。
同时，它们都是研究随机变量之间联系，表现出不同随
机变量之间的内在联系的一种变换方式。
概率密度函数的变换方法
概率密度函数的变换方法概率密度函数的变换方法是指将一个随机变量的概率密度函数变换为另一个随机变量的概率密度函数的方法。
这种方法在概率论和统计学中有着广泛的应用，例如计算随机变量的分布函数、计算期望值和方差等。
基本原理概率密度函数的变换方法的基本原理是，如果随机变量X 的概率密度函数为f X (x )，则随机变量Y =g (X )的概率密度函数为f Y (y )=f X (g −1(y ))⋅|d dyg −1(y )|. 其中，g −1(y )是函数g (x )的反函数，|d dy g −1(y )|是函数g −1(y )的导数的绝对值。
常用变换方法概率密度函数的变换方法有很多种，常用的变换方法包括：1. 线性变换：如果Y =aX +b ，则f Y (y )=1a f X (y−b a ). 2. 平移变换：如果Y =X +a ，则f Y (y )=f X (y −a ).3. 尺度变换：如果Y =cX ，则f Y (y )=1c f X (y c ).4. 反射变换：如果Y =−X ，则f Y (y )=f X (−y ).5. 幂变换：如果Y =X c ，则f Y (y )=1c y 1/c−1f X (y 1/c ).6. 指数变换：如果Y =e X ，则f Y (y )=e y f X (lny ).7. 对数变换：如果Y =lnX ，则f Y (y )=1x f X (e y ). 应用概率密度函数的变换方法在概率论和统计学中有着广泛的应用，例如：1. 计算随机变量的分布函数：随机变量X 的分布函数定义为F X (x )=P (X ≤x )。
如果随机变量Y =g (X )，则随机变量Y 的分布函数为F Y (y )=P (Y ≤y )=P (g (X )≤y )=P(X ≤g −1(y ))=F X (g −1(y )).2. 计算期望值：随机变量X 的期望值定义为E (X )=∫x ∞−∞f X (x )dx 。
概率密度变换公式
概率密度变换公式
概率密度变换公式（或称为变量变换公式）是概率论中的一个重要公式，用于计算随机变量的概率密度函数之间的关系。
假设有两个随机变量X和Y，其概率密度函数分别为f_X(x)和
f_Y(y)，且Y是X的一个函数Y = g(X)。
那么，概率密度变换公式可以表示为：
f_Y(y) = f_X(x) * |dX/dY|
其中，dX/dY表示X关于Y的导数的绝对值，也可以写作
|g'(X)|。
这个公式的意义是，通过求解X和Y之间的函数关系，可以将X的概率密度函数转换为Y的概率密度函数。
需要注
意的是，这个变换公式只适用于一一对应的函数关系，且函数的导数存在。
概率密度变换公式的应用十分广泛，常见的例子包括正态分布的变量变换、指数分布的变量变换等。
在实际应用中，可以通过概率密度变换公式来计算随机变量的分布函数、期望值、方差等统计量。
同时，它也是概率论与数理统计中变量变换法的重要基础。
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如果随机变量Y是二维随机变量(X1,X2) 的函数，即
Y g ( X 1, X 2 )
可求Y的数学期望和方差。
f X ( x)
1 2 X
e
( x m X )2 2 X 2
a、b为常数，求Y的概率密度。
如果X和Y之间不是单调关系，即 Y的取值y可能对应X的两个或更多的 值x1,x2,…, xn。
假定一个y值有两个x值与之对应，则有
fY ( y ) f X (h1 ( y )) h ( y ) f X (h2 ( y )) h2 ( y )
' 1
'
一般地，如果y=g(x)有n个反函数 h1(y), h2(y),…, hn(y)，则
fY ( y ) f X (h1 ( y )) h ( y ) f X (h2 ( y )) h2 ( y ) f X (hn ( y )) hn ( y )
'
' 1
'
例2：假定输入输出的关系为Y=bX2， b>0，若已知X的概率密度为f(x)，求Y 的f(y)。
Y [ X ]
如果X与Y之间的关系是单调的，并且 存在反函数，即 X 1[Y ] h(Y )
若反函数h(Y)的导数也存在，则可利 用X的概率密度求出Y的概率密度。
综合上述讨论，得到
fY ( y ) f X ( h( y )) h ( y )
'
例1：随机变量X和Y满足线性关系 Y=aX+b，X为高斯变量，即
1.5 随机变量的函数变换
这个函数关系的含义为：在随机试 验E中，设样本空间为S={ei}，对每一 个试验结果ei，对应于X的某个取值 X(ei)，相应地指定一个Y(ei)，且Y(ei) 与X(ei)有如下关系：
Y (ei ) g[ X (ei )]
显然，Y的概率特性与X是有关系的。
1.5.1 一维变换 若随机变量X、Y满足下列函数关系
fY ( y1 , y2 ) J f X ( x1 , x2 ) h1 y1 h2 y1 h1 y2 f X ( h1 ( y1 , y2 ), h2 ( y1 , y2 )) h2 y2
例3：设有两个随机变量X1与X2，已知 它们的联合概率密度为f(x1,x2)，求它 们和、差、积、商的概率密度。
求得随机变量函数的概率密度后， 就可以求随机变量函数的数学期望和 方差。
1.5.2 二维变换
设二维随机变量(X1,X2)的联合概率密度f(x1, x2)，另有二维随机变量(Y1,Y2)，且
Y1 1 ( X 1 , X 2 )
Y2 2 ( X 1 , X 2 )
求随机变量(Y1,Y2)的联合概率密度f(y1, y2)。