弹性力学大作业
《弹性力学》试题参考答案(参考题)
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟）一、填空题（每小题4分）1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。
2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。
3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D=⎰⎰2ϕ的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。
4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数ϕ在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力的矩 。
5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：0,=+i j ij X σ ，)(21,,i j j i ij u u +=ε。
二、简述题（每小题6分）1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。
作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数ϕ的分离变量形式。
题二（2）图（a ）⎩⎨⎧=++= )(),(),(222θθϕϕf r r cy bxy ax y x （b ）⎩⎨⎧=+++=)(),(),(33223θθϕϕf r r dy cxy y bx ax y x3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。
试求薄板面积的改变量S ∆。
题二（3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l ∆。
由q E)1(1με-=得，)1(2222με-+=+=∆Eb a q b a l设板在力P 作用下的面积改变为S ∆，由功的互等定理有：l P S q ∆⋅=∆⋅将l ∆代入得：221b a P ES +-=∆μ显然，S ∆与板的形状无关，仅与E 、μ、l 有关。
弹性力学大作业
Computational Elasticity and Plasticity Project-2012 FallProject DescriptionMeeting the objectives of the Graduate course, Computational Elasticity and Plasticity in Civil Engineering Materials, the course project as described herein enables the enhancement and practicing of theory of Elasticity and Plasticity learned in the class. As the project is carried out in parallel with the class the students will have to digest the essentials of elastic and plastic constitutive laws that are the core issue of this course.Your tasks:(a) Assuming an isotropic material, derive the elasto-plastic incremental stiffness matrix using V on Mises yield surface, associated flow rule and considering the isotropic strain-hardening rule based on the effective plastic strain. Implement this model with MATLAB. The Von Mises yield surface is as follows:20F J k =-= (1) The uniaxial stress-strain relationship is as follows: 0000p EE E σεσσσσσεσσ=≤-=+> (2) The elasto-plastic stress-strain relationship is as follows:[][][][]x x y y z z ep xy xy yz yz zx zx ep p d d d d d d C d d d d d d C C C σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭=+ (3) The elastic moduli matrix is as follows:11.112000[]2(1)(12)120000212000002v v v sym v v v v E C v v v v -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦(4) The plastic moduli matrix is as follows:22222222.1[](1).x x y y x z y z z p x xy y xy z xy xy x yz y yz z yz xy yz yz x zx y zx z zx xy zx yz zx zx xxy xz ij y yz z s s s s sym s s s s s E C H v s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s sym s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(5)222()331e e p d E H d vσσε=++ (6) Where, s ij is the stress deviator tensor.Please prove eq.(5) and (6).(b) Apply this newly implemented model to predict the stress development and the stress-strain relationship of one point material behavior subjected to given strain-controlled paths. Analyze the features of your results .path 1: strain-controlled uniaxial monotonic loading::00.05x ε→path 2: strain-controlled uniaxial cyclic loading::00.00100.00100.0100.0100.05x ε→→→-→→→→-→→path 3: strain-controlled pure shear monotonic loading::00.05xy ε→path 4: strain-controlled pure shear cyclic loading::00.00100.00100.0100.0100.05xy ε→→→-→→→→-→→path 5: strain-controlled shear and tension monotonic loading::00.05xy x and εε→path 6: strain-controlled shear and tension cyclic loading::00.00100.00100.0100.0100.05xy x and εε→→→-→→→→-→→Assume that E =200GPa, v =0.3, σ0=300MPa and E p =2000MPa.Project EvaluationWe hope that every student in this course will complete the project independently. Upon the completion every student presents the project in a concise report. The project should be completed before January 25, 2013 and every student presents the project in both printed and electronicversion with your MATLAB coding.Appendix 1: Unified Variable NamelistMATLAB is a high-level language and interactive environment that enables you to perform computationally intensive tasks faster than with traditional programming languages such as C, C++, and FORTRAN. Compared to UMAT (User-defined Material Mechanical Behavior) in ABAQUS, variables can be used in MATLAB without previous declaration and you can use variable names according to your own habits. However, in order to make your program code more readable, we hope that all of you use the following important variable names.DDSDDE(NTENS, NTENS): a NTENS*NTENS matrix representing the elastic-plastic stiffness matrix ∂Δσ/∂Δε，Δσ is incremental stress，Δε is incremental strain. DDSDDE(i, j) defines the change in the I th stress component at the end of the time step caused by an infinitesimal perturbation of the J th component of the strain increment array. Generally speaking it is symmetric matrix.DDEDDS(NTENS, NTENS): a NTENS*NTENS matrix representing the elastic-plastic compliance matrix ∂Δε/∂Δσ，Δσ is incremental stress，Δε is incremental strain. DDEDDS(i, j) defines the change in the I th strain component at the end of the time step caused by an infinitesimal perturbation of the J th component of the stress increment array. Generally speaking it is symmetric matrix.STRESS(NTENS): Stress matrixSTRAIN(NTENS): Strain matrixDSTRESS(NTENS): Stress incremental matrixDSTRAIN(NTENS): Strain incremental matrixPROPS(NPROPS): Material parameter matrixAppendix 2:Formulation of incremental elastic-plastic constitutive relationships, consistency condition check. Please refer to the reference book, Elasticity and Plasticity, 2005, pp460-472, from WF Chen et al.Von Mise yielding surface, equivalent plastic strain and isotropic hardening rules. Please refer to the reference book, Elasticity and Plasticity, 2005, Chapter 7, from WF Chen et al..。
弹性力学作业1
5 3 8 5 ij 3 0 3 10 Pa 8 3 11
试求八面体正应力与切应力。
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第一次作业（习题三）
解：首先求出应力不变量为：
此题错误多出在计算上
I1 x y z 16 105 Pa
2 2 2 I 2 y z z x x y yz zx xy 27 105 Pa 2 2 2 I 3 x y z x yz y zx z xy 2 yz zx xy 0
i11 A1 A1 i 22 A2 A2 i 33 A3 A3 0 i12 A1 A2 i 21 A2 A1 0 i13 A1 A3 i 31 A3 A1 0 i 23 A2 A3 i 32 A3 A2 0 ijk Aj Ak 0
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第一次作业（习题六）
解：基本思路：
应变张量必须要满足剪切应变互等定律和应 变相容原则。 剪切应变互等定律要求应变矩阵必须为对称形， 显然（1）和（2）都是满足的。现在我们来考虑 应变相容的原则，
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第一次作业（习题六）
（1）
因为这个问题都是平面应变问题，所以相容 方程只有一个，可以写作：
第一次作业
1：证明
(a):δij δij=3
(a):证明：
(b):εijk Aj Ak=0
表达式的某项中，某指标重复出现两次，则表示把该项在该指标取值 范围内遍历求和
ij ij 1111 22 22 33 33
2(1212 23 23 31 31 ) 1 1 1 3
l1 l2 l 3
m1 m2 m3
清华大学弹性力学-大作业
(1b)
其中 2 为 Laplace 算子， (1,1) (1,1) 为求解区域。 y 1
y 1
u0
-1
O -1
1
x
u 0 n
1
u0
O
u 0 n
图 2 第一象限
x 1
图 1 薄膜小挠度弯曲模型
其势能泛函为：
I (u ) 1 u u [( ) 2 ( ) 2 ]dA f u dA 2 x y x 1 ， y 1 u 0，
(2)
s.t.
(1) 根据最小势能原理，试由式(2)导出式(1)。 (2) 当 f ( x, y ) 2 ,即薄膜受均布荷载作用时，其挠度 u 关于 x 轴和 y 轴均对称， 取第一象限 1 (0,1) (0,1) 为求解区域，如图 2 所示（图中 n 为外法线方向） ， 请分别使用如下三种有限元单元计算原点 O 处的挠度 u (0,0) ， 并比较分析有限 元解与精确解的误差： (a) 2 个常应变三角形单元（如图 3a） ； (b) 4 个常应变三角形单元（如图 3b） ； (c) 1 个四结点四边形单元（如图 3c） 。 （注：精确解为 u (0,0) 0.5893 。 ） y 1 2 1 4
有限元法大作业——薄膜小挠度弯曲问题的有限元求解
如图 1 所示，边长为 2、四边固支的正方形薄膜，受到横向分布荷载 f ( x, y ) 的作用，用挠度 u u ( x, y ) 表示的平衡微分方程为 (1a) 2u f ( x, y ) ， ( x, y )
u0
x 1 ， y 1
1
y 2
y 1
2
1
Байду номын сангаас
弹性力学练习 -答案模板
一、填空题1. 等截面直杆扭转问题中， 2Ddxdy M φ=⎰⎰的物理意义是 : 杆端截面上剪应力 对转轴的矩等于杆截面内的扭矩M 。
5．弹性力学的基本假定为:连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形性。
6． 一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 、相容方程（变形协调条件） 。
7． 最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程 、应力边界条件 。
13．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：,0ij j i X σ+=，,,1()ij i j j i u u ε=+17. 有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
18. 为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。
19. 每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
20. 为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。
二、判断题1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
（√）2、均匀性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
（×）3、表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。
（×）4、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。
（√）5、连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。
（×）6、平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。
（×）7、按应力求解平面问题，最后可以归纳为求解一个应力函数。
（×）8、在有限单元法中，结点力是指单元对结点的作用力。
（完整版）弹塑性力学作业（含答案）（1）
（完整版）弹塑性⼒学作业（含答案）（1）第⼆章应⼒理论和应变理论2—3．试求图⽰单元体斜截⾯上的σ30°和τ30°（应⼒单位为MPa ）并说明使⽤材料⼒学求斜截⾯应⼒为公式应⽤于弹性⼒学的应⼒计算时，其符号及正负值应作何修正。
解：在右图⽰单元体上建⽴xoy 坐标，则知σx = -10 σy = -4 τxy = -2 （以上应⼒符号均按材⼒的规定）代⼊材⼒有关公式得：代⼊弹性⼒学的有关公式得：⼰知σx = -10 σy= -4 τxy = +2由以上计算知，材⼒与弹⼒在计算某⼀斜截⾯上的应⼒时，所使⽤的公式是不同的，所得结果剪应⼒的正负值不同，但都反映了同⼀客观实事。
2—6. 悬挂的等直杆在⾃重W 作⽤下（如图所⽰）。
材料⽐重为γ弹性模量为 E ，横截⾯⾯积为A 。
试求离固定端z 处⼀点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。
解：据题意选点如图所⽰坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取⼀截⾯考虑下半段杆的平衡得：c 截⾯的内⼒：N z =γ·A ·z ；c 截⾯上的应⼒：z z N A zz A Aγσγ??===?；所以离下端为z 处的任意⼀点c 的线应变εz 为：z z z E Eσγε==；则距下端（原点）为z 的⼀段杆件在⾃重作⽤下，其伸长量为：()22z z z z z z z z y zz l d l d d zd EEEγγγε==??=?=ooooV ；显然该杆件的总的伸长量为（也即下端⾯的位移）：()2222ll A l lW ll d l EEAEAγγ=??===oV ；（W=γAl ） 2—9.⼰知物体内⼀点的应⼒张量为：σij =50030080030003008003001100-?? +---应⼒单位为kg ／cm 2 。
试确定外法线为n i（也即三个⽅向余弦都相等）的微分斜截⾯上的总应⼒n P v、正应⼒σn 及剪应⼒τn 。
弹性力学-04(习题)_图文_图文
y q
O q
得到：
x
代入应力分量式，有
y q
O q
x
材料力学结果： 截面弯矩 截面惯性矩 截面正应力
两者结果相差较大。
O
x
P
x
y
习题4-7 曲梁在两端受相反的两个力P作用，如图所示。试求其应力
分量。
解 （1）应力函数的确定 分：析 任取一截面 ，截面弯矩为
P
O
a
P x
：
br
y
将其代入相容方程：
r
代入应力分量：
得到 ：
思考题2. 有一薄壁压力容器，其平均半径为 R ，壁厚为 t 。现在容器壁上发现 一半径为 a 的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力 发生在何处？
p 2a
习题4-5 楔形体在两侧受有均布剪应力q，如图所示。试求其应力分量 。
解：（1）应力函数 的确定
由因次分析法，可知
代入相容方程：
又由位移单值条件，有
常数A、B由应力边界条件确定
。 应力分量： 边界条件：
习题4-3 设有刚体，具有半径为 b 的圆柱形孔道，孔道内放置一外 半径为 b而内半径为 a的圆筒，受内压力 q ，试求圆筒壁 的应力。
解： 边界条件：
刚体
代入边界条件，有
将常数A、C 代入，有
将常数A、C 代入，有
刚体
习题4-8 设有无限大的薄板，在板内的小孔中受有集中力P，如图所 示。试用如下应力函数求其应力分量。
提示：须要考虑位移单值条件
r
解 （1）。应力分量
：
（2）确定常数
取一半径为 r 的圆板为隔离体 其上受力如图 由圆板的平衡，得
，
清华大学弹性力学有限元大作业
弹性力学有限元大作业一、模型信息：已知：材料为铝合金。
E=71GPa ，v=0.3.矩形平板的几何参数：板长为480mm ，宽为360mm ，厚度为2mm ；图形如下图；加肋平板：二、matlab 编程实现1、程序相关说明：计算使用的软件为：matlab2010a 主函数：main.m 主要计算部分子函数：Grids.m 生成网格，节点数为：+1*+1I J （）（）、单元数： 2**I J AssembleK.m 将单元刚度矩阵组装成总刚度矩阵（叠加方法）GenerateB.m 生成单元格e B 矩阵 GenerateS.m 生成单元格e S 矩阵 GenerateK.m 生成单元刚度矩阵2、网格划分：利用Grid.m 子函数，取2020I J ==、，即可以得到网格如下： 节点数为：441个，单元格数：800个3、计算过程及结果 （1）、网格划分：通过Grid.m ，生成节点数为：441个、单元格数：800个的网格 （2）、生成总刚度矩阵K ：通过GenerateK.m 、AssembleK.m 生成总刚度矩阵 采用常应变三角单元，e e u N a =,易得=e e B LN由平面应力问题，可以确定2101011002E D νννν⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦即e e S DB =单元刚度矩阵为：e eT e K AtB DB = 总刚度矩阵为：eTe e eK GK G =∑（3）、求解过程：系统平衡方程为：Ka P = 将方程进一步划分为：E EF E E E T F F EFF K K d f r d f K K +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 通过已知边界条件（位移、载荷），确定E E F d f f 、、 ，从而将K 矩阵划分为四个模块：E EF TEF F K K K K ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()E E E EF F E TF F F EF E r K d K d f d K f K d -=+-=-支反力：部分位移：即整体位移向量为：E F d a d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦整体力边界条件为：E E F f r P f +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（4）后处理：（应力、应变、抹平） a 、单元应力、应变：e e e ee eS a B aσε==b 、抹平得到节点应力、应变：将每个节点参与组成的单元应力、应变叠加，然后除以叠加的单元数，得到抹平后的节点应力、应变。
弹性力学试题及答案
弹性力学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 弹性力学中，下列哪一项不是应力状态的描述？A. 正应力B. 剪应力C. 拉应力D. 弯矩答案：D2. 弹性体在外力作用下产生变形，当外力移除后，若能恢复到原始形状，则称为：A. 塑性变形B. 弹性变形C. 永久变形D. 非弹性变形答案：B3. 弹性模量是描述材料弹性特性的物理量，它与下列哪一项无关？A. 杨氏模量B. 泊松比C. 剪切模量D. 热膨胀系数答案：D4. 在弹性力学中，下列哪一项不是材料的本构关系？A. 胡克定律B. 牛顿流体定律C. 圣维南原理D. 弹性模量答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 弹性力学中，______是指材料在外力作用下发生形变，当外力移除后，材料能够恢复到原始形状的能力。
答案：弹性2. 弹性力学中，______是指材料在外力作用下发生形变，当外力移除后，不能恢复到原始形状的能力。
答案：塑性3. 在弹性力学中，______是指材料在受到剪切力作用时，单位面积上的剪切力与剪切变形的比值。
答案：剪切模量4. 弹性力学中，______是指材料在受到拉伸或压缩时，单位面积上的正应力与正应变的比值。
答案：杨氏模量三、简答题（每题10分，共40分）1. 简述弹性力学中的应力和应变的概念。
答案：应力是指材料内部由于外力作用而产生的内部相互作用力，通常用单位面积上的力来表示。
应变则是指材料在受力后发生的形变程度，通常用形变与原始尺寸的比值来表示。
2. 描述弹性力学中的胡克定律，并说明其适用范围。
答案：胡克定律是描述线性弹性材料应力与应变之间关系的定律，它指出在弹性范围内，材料的应力与应变成正比。
胡克定律的适用范围是材料处于弹性阶段，即材料的应变在很小的范围内，且材料未发生永久变形。
3. 弹性力学中的泊松比有何意义？请举例说明。
答案：泊松比是描述材料在受到拉伸或压缩时，横向应变与纵向应变之比的物理量。
它反映了材料在受力时的侧向膨胀或收缩特性。
清华大学弹性力学-大作业matlab代码
f1=int(N',m,-1,1); f=1/(4*a*b)*2*int(f1,n,-1,1); f=subs(f); %重积分过程求单元结点荷载 f %初始给定 K 为零阵
K=zeros((a+1)*(b+1),(a+1)*(b+1)); for x1=1:(1+a) for y1=1:(1+b) for x2=1:(1+a) for y2=1:(1+b) s1=(y1-1)*(a+1)+x1; s2=(y2-1)*(a+1)+x2; if x1==x2 & y1==y2 if x1==1
T=round(T); K=K(T,T); F=F(T); U=K\F; U(1,:) %A 点位移
end if abs(x1-x2)==1 & abs(y1-y2)==1 if (x1-x2)*(y1-y2)==1 K(s1,s2)=k(2,4); else K(s1,s2)=k(1,3); end end end end end end K; %以上循环生成 K 矩阵 %如果需要可以通过此处查看 K
1/3]; A\b 3.a×b 个矩形单元 %a×b 个矩形单元 clc,clear all a=input('单元格长数'); a=round(a); b=input('单元格宽数'); b=round(b); x=0:1/a:1; y=0:1/b:1; A=[1 -1 1 -1 1111 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1]; P=inv(A); syms m n; %m,n 相当于ξ和η N=[1,m,n,m*n]*P; B=[2*a*(P(2,:)+n*P(4,:)) 2*b*(P(3,:)+m*P(4,:))]; D=eye(2); k1=int(B'*D*B,m,-1,1); k=1/(4*a*b)*int(k1,n,-1,1); k=subs(k); %重积分过程求单元刚度矩阵 k
弹性力学徐芝纶课后习题及答案
弹性力学徐芝纶课后习题及答案弹性力学是固体力学的重要分支，对于工程技术领域有着广泛的应用。
徐芝纶先生所著的弹性力学教材备受推崇，其中的课后习题更是帮助学习者巩固知识、深化理解的重要途径。
接下来，让我们一起深入探讨一下其中的一些典型习题及答案。
首先，我们来看一道关于平面应力问题的习题。
题目给出了一个矩形薄板，在其边界上受到特定的载荷分布，要求求解板内的应力分布。
对于这类问题，我们首先需要根据已知条件，确定边界条件。
在这个例子中，矩形板的四条边上可能分别有均布力、集中力或者固定约束等。
然后，我们运用弹性力学中的平衡方程、几何方程和物理方程来建立求解方程。
平衡方程描述了物体内部的力的平衡关系；几何方程则将位移与应变联系起来；物理方程则反映了应力与应变之间的关系。
通过联立这些方程，并结合边界条件，我们可以使用数学方法（如傅里叶级数展开、分离变量法等）进行求解。
经过一系列的计算和推导，我们得到板内的应力表达式。
需要注意的是，在计算过程中，要仔细处理各项的系数和积分，确保计算的准确性。
再来看一道关于应变能的习题。
已知物体的应力状态，要求计算其应变能密度。
应变能密度的计算需要先根据应力求出应变，然后利用应力应变的关系计算应变能密度。
这道题主要考察对基本概念和公式的熟练掌握程度。
在求解过程中，要清晰地记住各种应力和应变的分量关系，以及它们在不同坐标系下的转换。
同时，对于复杂的应力状态，要善于运用矩阵运算来简化计算。
还有一道关于厚壁圆筒的习题。
题目给出了圆筒的内外半径、材料属性和承受的内压外压，要求求解圆筒内的应力分布。
对于这种轴对称问题，我们可以利用拉梅方程来求解。
首先确定圆筒的边界条件，即内表面和外表面的压力。
然后代入拉梅方程进行求解。
在计算中，要注意公式中各项的物理意义和单位的统一。
并且要理解厚壁圆筒在不同半径处应力的变化规律。
下面我们来探讨一下答案的重要性以及如何正确使用答案。
答案是对习题的一种验证和参考，但不能完全依赖答案。
弹性力学(徐芝纶)课后习题及答案
弹性力学(徐芝纶)课后习题及答案弹性力学(徐芝纶)课后习题及答案1. 弹性力学简介弹性力学是物理学的一个重要分支，研究物体在受力作用下的形变和恢复力的关系。
徐芝纶是该领域的知名学者，他的教材《弹性力学》深入浅出地介绍了这一课题。
本文将针对徐芝纶教材中的课后习题提供答案，帮助读者更好地理解弹性力学。
2. 弹性力学习题及答案2.1 习题一问题：一根弹性绳两端固定，绳长为L，质量均匀分布。
若绳以角频率ω振动，求各位置的位移函数。
答案：设绳的线密度为ρ，则单位长度上的质量为ρL。
考虑到绳在振动过程中的位移函数y(x, t)，根据弦波方程得到位移函数的表达式为y(x, t) = A sin(kx - ωt)，其中A为振幅，k为波数。
对于长度为L的绳子，首先将其离散化为N个小绳段，每个小绳段的长度为Δx = L/N。
然后利用微元法，对每个小绳段的质点计算其受力和位移，最后将每个小绳段的位移函数相加即可得到整根绳子的位移函数。
2.2 习题二问题：一个长为L的均匀杆在一个端点固定，杆的质量为m，细长处密度均匀。
当该杆受到一个力F时，求其在另一端的位移和挠曲角。
答案：设该杆受到的力矩为M，由弹性力学理论可知，弯矩和曲率成正比。
具体而言，弯矩M和挠曲角θ之间的关系为M = EIθ，其中E 为材料的弹性模量，I为截面的转动惯量。
对于均匀杆，其转动惯量可以通过I = (1/3)mL²求得。
由于杆的另一端固定，所以该端点的位移为零。
3. 结语本文介绍了弹性力学(徐芝纶)课后习题及答案。
弹性力学是物理学中的重要课题，对于理解和应用弹性力学理论具有重要意义。
徐芝纶的教材给出了深入浅出的讲解和习题练习，本文提供了部分习题的详细答案，希望能够帮助读者更好地掌握弹性力学的知识。
通过刷题和思考，读者可以进一步加深对弹性力学的理解，为解决实际问题提供理论支持。
弹性力学(大作业)
如图所示的悬臂梁，长度l=100mm ，高度h=10mm，板厚，，在上边界受
均布载荷Q=100Mpa。
1.用有限元方法求解悬臂梁应力应变；
2.用弹性力学方法解出解析解；
3.讨论网格划分对精度影响。
1．用有限元法解悬臂梁应力应变(用ansys)
分割单元格用三种不同的精度进行三次计算比较数据的精度：
1）精度低
经过计算可以得到悬臂梁的形变
悬臂梁x方向上的应力
悬臂梁y方向上的应力
悬臂梁x方向上的应变
悬臂梁y方向上的应变
经过计算可以知道悬臂梁的形变
悬臂梁x方向上的应力
悬臂梁y方向上的应力
悬臂梁x方向上的应变
悬臂梁y方向上的应变
经过计算可以知道悬臂梁的形变
悬臂梁x方向上的应力
悬臂梁y方向上的应力
悬臂梁x方向上的应变
悬臂梁y方向上的应变
2解析法
解：（参照习题3-10设应力函数）
（1）相容条件：
将代入相容方程，得，若满
足相容方程有
（2）应力分量表达式：
（3）考察边界条件：
○1.主要边界上，应精确满足应力边界条件
，得
，得
，得
○2．次要边界上，主矢和主矩都为零，应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件代替
，满足条件；
，得
，满足。
联立（a）（b）（c）（d）和（e），得
，，，，
将各系数代入应力分量表达式，得
代入数据。
弹性力学结课作业
弹性力学结课作业学院：专业：姓名：学号：弹性力学是土木工程的基础学科，要想学好有关土木方面的知识，就应该吧基础知识学好。
弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。
主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。
在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。
材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。
绝对弹性体是不存在的。
物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。
弹性力学中假定：1.假定物体是连续的，就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
2．假定物体是完全弹性的，就是假定物体完全服从胡克定律——应变与引起该应变的那个应力分量成比例。
3．假定物体是均匀的，就是整个物体是由同一材料组成的。
4．假定物体是各向同性的，就是物体内一点的弹性在所有各个方向都相同。
5．假定位移和形变是微小的。
土木工程主导专业课程的建构是基于几大力学课来实现的．若缺乏对几大力学的基本概念、物理意义和求解方法的深入理解，想真正掌握好相关专业课程。
做好有关工程设计、施工、监理乃至进一步的科研工作，是不可想象的．按照所开设力学课程的两类划分(结构力学类和弹性力学类)，相应的专业课两类分支也相应出现．基于结构力学类(结构工程方向)的包括：钢筋砼结构、砌体结构、钢结构、高层建筑设计、建筑抗震设计、桥梁结构、组合结构、建筑施工技术；基于弹性力学类(岩土工程方向)的包括：地基处理与加固、基础工程、挡土结构与基坑工程、地下结构、道路勘测与结构等．土木工程包括民建、路桥、岩土、地下结构等多个专业方向，显然不同专业方向对弹性力学的要求是不同的，其中以岩土、地下等专业放下对弹性力学要求较高，而其他专业方向尤其是建工方向则相对低一些。
弹性力学典型例题
2
h/2
h / 2 h/2
( x ) x 0 dy F ( xy ) x 0 dy Fs y ( x ) x 0 dy M
在小边界 y=0
( y ) y 0 dx
h / 2 h/2
h / 2
例题4
y
b 2
o
b 2
挡水墙的密 度为 1 ，厚度 为b,图示,水的密 度为 2 ，试求 应力分量。
对O点的力矩等效：
1, m 0 X y, Y 0
代入应力边界条件公式，有
上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。
x x h y 0 xy x h
h
h
( y )
y 0
xdx P h sin
2
x方向力等效：
q0 x 3 ( 4) q0 x ( 4) f1 ( y ) xf2 ( y ) 2 f1 ( y ) f 3( ( 4) y ) 0 6l l q0 x 3 ( 4) q0 ( 2) ( 4) f1 ( y) x f 2 ( y) 2 f1 ( y) f 3(( 4) y) 0 6l l 要使上述方程对任意的 x 成立，有 q0 x 3 f1 ( y ) xf2 ( y ) f 3( y ) 6l ( 4) (a) f1 ( y ) 0 积分式（c），得 q0 2 ( 4) f 2 ( y ) 2 f1 ( y ) 0 (b) f 3 ( y) Hy 3 Ky 2 (f) l ( 4) (c) f 3 ( y) 0 将求得的 f ( y ), f ( y ), f ( y )
y , 注意： y xy
y
清华大学弹性力学作业习题
6.DATE:2001-10-9
1．半径为 的圆截面杆两端作用扭矩 。试写出此杆的应力函数，并求出剪应力分量，最大剪应力及位移分量。
2.用位移法导出圆轴扭转的剪应力和扭角公式。
3.若柱体扭转时横截面上应力为 ，证明该柱体截面是圆。
4.证明在各向同性弹性体中，应力张量的主方向与应变张量的主方向一致。
5.各向同性弹性体承受单向拉伸（ ），试确定只产生剪应变的截面位置，并求该截面上的正应力（取 ）。
6.试推导体积应变余能密度 及畸变应变余能密度 公式：
3.DATE:2001-9-26
1.下面应力场是否为无体力时弹性体中可能存在的应力场？如果是，它们在什么条件下存在？
图5-8
5.一矩形截面构件受沿轴向的简单拉伸及绕 、 轴的弯矩作用，如图5-9所示。不计体力。六个应力分量为
试用平衡方程和B-M方程求 的函数形式。并利用端面边界条件
确定积分常数。（ 为端部横截面面积， 、 轴分别为截面的对称轴。截面对 、 轴的惯性矩分别为 ， ，设坐标原点处无平移和转动）
6.在一半平面的边界处，作用有自平衡的面力 。试说明(通过求解)该面力引起的应力场在表面以下呈指数衰减，并以及论证在这一问题上圣维南原理适用。
4．考虑一个单连通域的横截面，证明在条件
和
应力函数 可唯一确定。
5．考虑一个单连通的横截面，从中切去一个由应力函数等高线所界定的单连通域。试证明：
1． 新的、双连通的横截面所对应的应力函数仍为
原来的应力函数。
2．该环形域的扭转刚度为原问题的扭转刚度与
（挖去的）芯部区的扭转刚度之差。
弹性力学切应力大作业
弹性力学1 题目请分别用极坐标系下的半逆解法和有限元方法解答图中平面薄板在周边剪切荷载作用下的应力集中问题；并比较应力分布及应力集中系数的解析解和数值解2 弹性力学解答【解】求出两个主应力，即原来的问题变为矩形薄板在左右两边受均布拉力q而在上下两边受均布压力q，如图所示：应力分量，，代入坐标变换式，得到边界上的边界条件（a）（b）在孔边，边界条件是（c）（d）由边界条件式(a)、(b)、(c)、(d)可见，用半逆解法时，可假设为的某一函数乘以而为的另一函数乘以而因此可假设（e）将(e)式代入相容方程得删去因子以后，求解这个常微分方程，得，其中A,B,C,D为待定常数，代入式(e)，得应力函数(f)由应力函数得应力分量的表达式将上述式代入应力边界条件由式(a)得 (g)由式(b)得 (h)由式(c)得(i)由式(d)得(j)联立求解式(g)~(j)，并命，得将各式系数值代入应力分量的表达式得沿着孔边，环向正应力是。
它的几个重要数值如下表所示：表1 不同角度处的应力值3沿着y轴，，环向正应力是它的几个重要数值如下表所示。
可以看出应力在孔边达到均匀拉力的4倍，但随着远离孔边而急剧趋近于q 。
3 基于PDE 求解结果有限元法是一种将连续体离散为有限大小单元体的集合, 用以求解连续体力学问题的数值方法, 有限元法具有求解精度高、通用性强等特点。
3.1数值分析模型计算模型为长宽均为2mm ，中间开一半径为0.2mm 的圆孔的薄板，薄板的杨氏模量为1＊103 Mpa ，泊松比为0.3。
1. 建立如下的几何模型，拉压应力均为1。
2）划分网格3）求解结果将理论解与数值解进行对比从上图可以看出，虽然理论解与数值解之间存在一定的误差，主要是由于PDE建模时的诸多因素如网格密度、约束条件简化等引起的，但总的来说沿孔边的轴向正应力的理论解和PDE计算的数值解拟合的很好。
3.2其它计算模型1.改变计算模型，薄板的尺寸不变，改变中心圆孔半径，分别为0.5mm和0.7mm，材料参数不变。
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弹性力学上机作业楔形体的承载分析班级：海工10-1姓名：曾天宇学号：20100741231.问题重述楔形体受自重以及齐顶水压作用，求应力分布，已知：图1 楔形体承载示意图 2.问题分析该问题属于线性静力学问题，作为平面问题进行分析求解。
由于楔形体受到齐顶水压力，采用函数加载法施加载荷。
3.求解步骤和方法3.1建立工作文件名和工作标题1) 选择Utility Menu-File-Change Jobname 命令，出现Change Jobname 对话框。
在“/FILNAM ”Enter new Jobname 中输入文件工作名PROBLEM1（即 问题1），点击OK 。
()33344m kg 10,m N 102.4p 7m 10m,,1m 167.0MPa 102E =⨯=====⨯=ρμ水密度自重底边长高度作为平面应力问题厚度泊松比弹性模量图2建立工作名对话框2)选择Utility Menu-File-Change Title命令，输入W ATER PRESSURE，单击OK。
图3建立工作标题对话框3.2定义单元类型1)选择Main Menu-Preprocessor-Element Type-Add/Edit/Delete，在对话框中单击“Add”，出现Library of Element Types对话框，选择“Structural Solid, Triangle 6node2 ”，在Element type reference number栏中输入1，点击OK。
图4定义单元类型2)单击Element Types上的Options，在对话框中的Element behavior K3下拉选框中选择Plain strain，单击OK。
图5定义问题类型3)单击Element Type对话框中的Close，关闭该框。
3.3定义材料性能参数1)选择Main Menu-Preprocessor-Material Pros-Material Models，出现Define Material ModelBehavior对话框。
2)在Material Models Available 依次双击Structural-Linear-Elastic-Isotropic，（即，结构-线性-弹性-各向同性），在出现的对话框EX栏中输入，“2E10”，即弹性模量E=2×104MPa，在PRXY中输入0.167，即泊松比μ=0.167，点击OK。
图6定义材料性能参数（一）3)在Density中输入2.4E3，即材料密度为2400kg/m3，换算为自重即为p=2.4×104N/m3。
图7定义材料性能参数（二）4)在Define Material Model Behavior对话框中点击Material-Exit，退出。
3.4创建几何模型、划分网格1)选择Main Menu-Preprocessor-Modeling-Create-KeyPoints-In active CS，在NPT Keypointnuber输入1，在X,Y,Z Location in active CS输入栏分别输入0，0，0，单击Apply。
2)参照上一步的操作，依次创建一下关键点：2(7,0,0)，3(0,10,0)。
单击OK。
3)选择Main Menu-Preprocessor-Modeling-Create-Areas-Arbitrary-Though KPs，在屏幕上依次点取1，2，3，1各个关键点，单击OK。
创建楔形体成功。
图8创建几何模型4)选择Main Menu-Preprocessor-Meshing-Size Cntls-Manual Size-Lines-Picked Lines，在对话框中输入1，再在NDIV No. of element divisions 输入20。
5)之后参照上步操作，将直线2，3的NDIV No. of element divisions设置为30。
6)选择Main Menu-Preprocessor-Meshing-Mesh-Areas-Mapped-By corners，出现Map MeshArea by选择菜单，输入1，点击OK，再次在Map Mesh Area by菜单输入3，2，1，点击OK。
7)选择Utility Menu-Select-Everything。
8)选择Utility Menu-Plot-Element，ANSYS显示窗口显示网格划分结果。
图9划分网格结果9)Save Database，输入1-1.db。
3.5加载求解1)选择Main Menu-Solutions-Analysis Type-New analysis，选择分析类型为Static，点击OK。
2)选择Main Menu-Solution-Define loads-Apply-Functions-Define/edit，出现Function Editor，参照下图设置。
选择对话框上的File-Save，出现另存为对话框，将函数命名为FUNC 保存为工作目录下，单击保存。
Close关闭Function editor。
图10函数编辑器对话框3)选择Main Menu-Solution-Define Loads-Apply-Functions-Read file，打开FUNC.func；出现Function Loader，在table parameter name输入PRES1单击OK。
图11函数加载器对话框4)选择Main Menu-Solution-Define loads-Apply-Structural-Pressure-On lines，出现ApplyPRES on lines，在输入栏中输入3，点击OK，出现Apply PRES on lines，在[SFL]Apply PRES on lines as a 下拉菜单中选择Existing table，点击OK，出现Apply PRES on lines，选择PRES1，点击OK。
5)选择Main Menu-Solution-Define loads-Apply-Structural-Displacement-On lines，出现Apply U,ROT on L选择菜单，输入1，点击OK，出现Apply U,ROT on Lines，参照下图设置。
Displacement value 输入0。
图12施加位移载荷对话框6)选择Main Menu-Solution-Define loads-Apply-Structural-Inertia-Gravity-Global，将Y方向重力加速度设置为10。
7)选择Utility Menu-File-Save as，保存为1-2.db。
8)选择Main Menu-Solution-Solve-Current LS，单击Solve current load step上的OK，ANSYS开始求解计算，求解结束后系统反馈Note提示框，点击Close关闭即可。
9)选择Utility Menu-File-Save as，出现save database 对话框，输入1-3.db，保存求解结果。
图13求解结果图3.6查看求解结果1)选择Main Menu-General Postproc-Plot Results-Contour Plot-Nodal Solu，出现ContourNodal Solution data,选择Nodal Solution-DOF Solution-X-Component of displacement,单击OK，出现如下图所示X移等值线图。
图14X位移等值线图2)选择Main Menu-General Postproc-Plot Results-Contour Plot-Nodal Solu，出现ContourNodal Solution data,选择Nodal Solution-DOF Solution-Y-Component of displacement,单击OK，出现如下图所示Y移等值线图。
图15Y位移等值线图3)选择Main Menu-General Postproc-Plot Results-Contour Plot-Nodal Solu，出现ContourNodal Solution data，选择Nodal Solution-DOF Solution-Displacement vector sum，单击OK，出现如下图所示合位移等值线图。
图16合位移等值线图4)选择Main Menu-General Postproc-Plot Results-Contour Plot-Nodal Solu，出现ContourNodal Solution data，选择Nodal Solution-Stress-X-Component of stress，单击OK，ANSYS 显示框框显示如下图所示X应力场等值线图。
图17等效应力场等值线图5)选择Main Menu-General Postproc-Plot Results-Contour Plot-Nodal Solu，出现ContourNodal Solution data，选择Nodal Solution-Stress-Y-Component of stress，单击OK，ANSYS 显示框框显示如下图所示Y应力场等值线图。
图18等效应力场等值线图6)选择Main Menu-General Postproc-Plot Results-Contour Plot-Nodal Solu，出现ContourNodal Solution data，选择Nodal Solution-Stress-von Mises stress，单击OK，ANSYS显示框框显示如下图所示等效应力场等值线图。
7)保存数据，退出程序。