(习题课2)--随机变量及其分布概要

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分布函数 ： F ( x) f (t)dt
性质2： a非负性: f (x) 0, x (, )
b规范性:
f (x)dx 1
c: P(a x b) F (b) F (a)
b
f (x)dx
a
d概率密度与分布函数的关系: 若f (x)在x处连续，则F(x) f ( x)
注1：对于连续型随机变量而言，由于在任意单点出的概率为0(P(x=a)=0)，故分布规律 无法用类似离散分布列出所有点的概率来描述，必须求出具体的概率密度或分布函数的 表达式。
概率密度 (x)
1
x2
e2
2
x
1
x2
分布函 (x)
e 2 dx
数
2
注：这里单独列出标准正态分布。
一方面：是由于在应用时，标准正态分布的使用要更方便，它的分布函数在每点的值 都可以通过已知的表得到。 另一方面是：每一个正态分布都可以标准化，归结到标准正态分布上。
e.正态分布的标准化计算
定理1： 如果
五、习题
注：本章习题分布为，（1-4）关于离散型分布的性质和计算，其中（4）同时考察了二项分布的泊 松逼近；（5-8）关于连续型分布的性质和计算，其中（7）考察了正态分布的标准化；（9-12）关 于随机变量的函数分布,9考察了离散情形，10、11、12考察连续情形。（主要关注解题步骤和方法）
1.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，
X ~ N (, 2 ),
则
F
(x)
x
P(a X b) (b ) ( a )
P(X b) (b ) P(X a) 1 ( a )
(x) 1 (x);这些公式常用于计算。
定理2：若X ~ N(, 2 ),则Y X ~ N(0,1)，即标准正态分布 。
四、连续型随机变量的函数的分布
分别为随机变量X,Y的分布律，如果已知P(X>=1)=5/9,试求P(Y>=1).
4.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且 设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机 需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？
一、分布函数
1. 定义：设X为一随机变量,则对任意实数x，(X≤x)是一个随机事件，称 F(x)=P(X<=x)为随机变量X的分布函数。
2.分布函数的性质： a.P(X>b)=1- P(X≤b)=1 - F(b)
b.P(a<X≤b)=F(b) - F(a) c.F(x)是单调不减函数。 d.F(x)右连续。
1
( x )2
e 2 2 , 0、为常数。
2
分布函 数
x
F ( x)
1
e dx
(
x )2 2 2
2
性质：对称性: 关于 x = 对称。
单调性： （- ，）递增，（，+ ）递减。
拐点： ( ,
1
1
e 2) ,
2
f最大（）
1
2
d.标准正态分布 0 1 (0) 0.5
12.设随机变量X的密度函数为f(x)设随机变量X的密度函数为
f
(
x)
2
x
2
,
0,
0 x 其他
试求Y=sinX的密度函数。
参考解答（完成之后再参考！若解答有错误请自己悄悄更正）： 1.
2. 3.
4.
5.
6.
7. 8.
9.
10.
11.
解： 当y 1时，FY ( y) P(Y y) 0
e.0≤ F(x) ≤1, 且 F() lim F(x) 0, F() lim F(x) 1。
x
x
二.离散型分布
1.定义：设离散型随机变量的所有可能取值是有限集或者可数集。
PX xk pk
2.常见离散型分布
X
0
1
a.二点分布：
P
1－p
p
b.二项分布: P{X k} Cnk pk (1 p)nk , k 0,1，n. c.泊松分布: P( X k ) k e , k 0,1,2...
fY ( y) FY( y)
方法2： 定理：若随机变量X和随机变量Y=g(X)的密度函数分别为 f X (x) fY (y), 当
g(x) 是严格单调函数，则：
fY ( y) fX [(G( y)] G( y)
其中 x G( y) 为 y g(x) 的反函数
注1：特别地，正态分布的线性函数仍为正态分布.
Cnk pk (1
p)nk
k e ,
k!
np.
b.实际应用中，当p接近1/2时，上述方法不能用，此时可以近似用正态分布代替进 行计算。
三、连续型分布
1.定义：设X为一随机变量，若存在非负实函数 f (x) , 使对任意实数 a < b ，有
b
P{a x b} a f (x)dx
则称X为连续型随机变量， f (x) 称为X 的概率密度函数,简称概率密度或密 度函数.
当y 1时，FY ( y) P(Y y) P(eX y) P(X ln y)
lny
exdx
1
1
0
y
故，FY
(
y)
1
1 y
,
y
1
0, y 1
所以， fY
(
y)
1 y2
,
y
1
0, y 1
12.
解： 当y 0时，FY ( y) P(Y y) 0
7.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2），若要求 P{120＜X≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？
8.设随机变量X的分布函数为：F
(x)
1
1 x
2
,
x
(1)
,
(2), x (3)
试确定(1),(2),(3)项.
X -2 9.设随机变量X的分布律为
Pk 1/5
-1
注2：由上一条单点处的概率为0，可以得到对于连续型分布而言，随机变量落在某区间 的概率与区间的断点是否取到无关，即：
P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)
注3：思考：想一想为何以上d条中要求f(x)连续？不连续是否也满足？答案是肯定的！那 么f(x)的连续性起什么作用？
2.常见连续型分布
a.均匀分布
概率密度
1
f
(
x)
b
a
a xb
0 其它
分布函 数
0,
F
(
x)
x b
a a
,
1,
xa a xb b x
b.指数分布
概率密度
e x
f (x)
x0
( 0为常数）
0 x 0
分布函 数
0 , x 0 F(x) 1 ex , x 0
c.正态分布
概率密度
f (x)
0
1/6 1/5
1 1/15
3 11/30
求Y=X2的分布律. 10.设随机变量X的概率密度为
x, f (x) 2 x,
0,
0 x 1, 1 x 2,
其他.
求X的分布函数F(x)。
11.设随机变量X的密度函数为
ex , f (x)
x 0,
0, x 0.
求随机变量Y=eX的密度函数fY(y)。
以
X表示取出的次品个数，求：
(1)X的分布律；
(2)X的分P布(X函数1并);作P(图1 ；X 3); P(1 X 3); P(1 X 2) 。
(3)计算
2
2
2
2.（1）设随机变量X的分布律为 P( k ) a k
k!
其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a.
3.设 P{X k} C2k pk (1 p)2k , k 0,1,2; P{Y m} C4m pm (1 p)4m , k 0,1,2,3,4.
问题：设 X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为 f (x)；y = g(x)为一个连 续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数。
方法1：
(1) 求Y的分布函数 FY(y)
根据分布函数的定义
FY ( y)
P(Y y) P(g(X ) y)
P(X x g(x) y)
(2) 对FY(y) 求导，得到 fY(y)
k!
注1：对于离散型分布，分布律与分布函数之间是互相唯一确定（其中分布函数是一个分 段函数），而分布律的表达更加方便，所以对于离散分布而言，一般！不要求写出分布函 数只写出分布律（列）即可。
注2：a.实际应用中：当n较大,p较小（小于等于0.05），np适中时（大于等于20），可用 泊松公式近似代替二项概率公式。
5.已知随机变量X的密度函数为f(x)=Ae-|x|,-∞<x<+∞,求：（1）A值；(2)F(x)
6.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为
f
(x)
100 x2
,
x 100,
0 , x 100.
求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F（x）.