610高等数学强化讲义解读
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第一讲极限、无穷小与连续性一、知识网络图
二、重点考核点
这部分的重点是：
①掌握求极限的各种方法．
1
()) n n
x f x
+
=
②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法．
③判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限）． ④复合函数、分段函数及函数记号的运算．
§1 极限的重要性质
1．不等式性质
设B y A x n n n n ==∞
→∞
→lim lim ，，且A ＞B ，则存在自然数N ，使得当n ＞N 时有x n ＞y n ．
设B y A x n n n n ==∞
→∞
→lim lim ，，且存在自然数N ，当n ＞N 时有x n ≥y n ，则A ≥B ．
作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设A x n n =∞
→lim ，且A ＞0，则存在自然数N ，使
得当n ＞N 时有x n ＞0．设A x n n =∞
→lim ，且存在自然数N ，当n ＞N 时有x n ≥0，则A ≥0．
对各种函数极限有类似的性质．例如：设B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0
，，且A ＞B ，则存在δ＞
0，使得当0
0 <
x x -＜δ有f （x ）＞g （x ）．设
B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0
，，且存在δ＞0，使得
当0＜｜x －x 0｜＜δ时f （x ）≥g （x ），则A ≥B ． 2．有界或局部有界性性质
设A x n n =∞
→lim ，则数列｛x n ｝有界，即存在M ＞0，使得｜x n ｜≤M （n = 1，2，3，…）．
设，A x f x x =→)(lim 0
则函数f （x ）在x = x 0的某空心邻域中有界，即存在δ＞0和M ＞0，使得
当0＜｜x －x 0｜＜δ时有｜f （x ）｜≤M ．对其他类型的函数极限也有类似的结论．
§2 求极限的方法
1．极限的四则运算法则及其推广 设B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0
，，则
；B A x g x f x
x ±=±→)]()([lim 0
；AB x g x f x x =→)()(lim 0
．
)0()()(lim 0
≠=→B B
A x g x f x x 只要设)(g lim )(lim 0
x x f x x x x →→，
存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“0
”，“
∞
∞
”，“0·∞”，“∞－∞”四种未定式以外的各种情形．即： 1°设B x x f x x x x =∞=→→)(g lim )(lim 00，
，则∞=±→)]()([lim 0x g x f x x .∞=→)
()(lim 0x g x f x x （()0g x ≠）又B ≠0，则∞=→)]()([lim 0x g x f x x ．2°设∞=→)(lim 0
x f x x ，
当x →x 0时()g x 局部有界，（即0,0M δ∃>>，使得00x x δ<-<时()g x M <），
则 ∞=+→)]()([lim 0
x g x f x x ．
设∞=→)(lim 0
x f x x ，当x →x 0时｜g （x ）｜局部有正下界，（即∃δ＞0，b ＞0使得0＜｜x － x 0｜
＜δ时｜g （x ）｜≥b ＞0），则 ∞=→)]()([lim 0
x g x f x x ．
3°设∞=→)(lim 0
x f x x ，∞=→)(lim 0
x g x x ，则()∞=→)()(lim 0
x g x f x x ，又∃δ＞0使得0＜｜x －
x 0｜＜δ时f （x ）g （x ）＞0，则 ∞=+→)]()([lim 0
x g x f x x ．
4°设0)(lim 0
=→x f x x ，x →x 0时g （x ）局部有界，则()0)()(lim 0
=→x g x f x x （无穷小量与有界
变量之积为无穷小．）
2．幂指函数的极限及其推广
设．A x f B x g A x f B x g x x x x x x ===→→→)
()
(lim )(lim ＞0)(lim 0
则，
lim ()ln ()
()
()ln ()
ln (lim ()
lim )x x g x f x g x g x f x B A B x x x x f x e
e
e A →→→====
只要设0
lim ()lim ()x x x x f x g x →→，存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1∞
”
，“00”及“∞0”三种未定式以外的各种情形．这是因为仅在这三个情况下)(ln )(lim 0
x f x g x x →是“0·∞”型未定
式．
1°设)(lim 0
x f x x → = 0（0＜｜x －0x ｜＜δ时f （x ）＞0），0)(lim 0
≠=→B x g x x ，则
()0
(0)lim ()(0)g x x x
B f x B →>⎧=⎨
+∞<⎩
2°设)(lim 0
x f x x → = A ＞0，A ≠1，)(lim 0
x g x x → = + ∞，则 0
()0(0<1)
lim ()(1)g x x x A f x A →<⎧=⎨
+∞>⎩
3°设)(lim 0
x f x x → = + ∞，0)(lim 0
≠=→B x g x x ，则 ⎩⎨
⎧∞
+=→＞0)
()＜0(0
)(lim )(0
B B x f x g x
x
【例1】 设．，则，又________)(lim 0)(g lim )
()
(lim
000
===→→→x f x A x g x f x x x x x x
【分析】 ．＝00))()
()
((
lim )(lim 0
=⨯=⋅→→A x g x g x f x f x x x x