610高等数学强化讲义解读

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高等数学610各章节复习提纲

高等数学610各章节复习提纲第一章：函数与极限（★★★★★）重点章节，近几年的610考题中都至少30+的分数出自该章节，该章节偏简单，对于一些难题不必过分研究，高数610对这一章节的要求比较低，出的题目大都偏简单，重要细心保证不出错即可。

重点考点：求极限，几乎每年必考，必须灵活掌握极限的多种求解方法；间断点的判别；无穷小；函数的连续性、凹凸性、奇偶性、可导性；分段函数；保号性；极限存在法则；闭区间上连续函数的性质（一致连续性不用看）等。

第二章：导数与微分（★★★★★）重点章节，出的题目也相对简单，考生不必再此章节花费过多的时间。

重点考点主要有：导数定义，几乎必考；微分定义；；函数的求导，尤其是一些复杂函数的求导；高阶函数（莱布尼茨），一些n阶导数公示必须背诵；反函数求导；基本求导类型；双曲函数与反双曲函数求导曾经考过一次，因为这在地大版本的高数教材上是重点内容，不超纲，也必须背诵公式；分段函数求导，几乎是必考题目；相关变化率（会出应用题）。

第三章：微分中值定理与导数的应用（★★★★）高数610对此章节考察程度不深，证明题学会构造辅助函数即可。

泰勒公式对于求极限非常重要，必须熟记会用，对于有些题目来讲，泰勒公式会是一种非常简便的方法。

函数的单调性、凹凸性、极值、拐点几乎每年必考的一个大题，曲率必须记住公式。

对于图形的描绘和方程近似解没必要看。

导数的应用经常会出应用题，这个必须搞懂！第四章：不定积分（★★★★★）本章节是重中之重，必须对每个知识点熟记，对每类积分的方法必须熟练掌握，必须在该章节上下功夫，多做题。

第五章：定积分（★★★★★）本章节是重中之重，必须对每个知识点熟记，对每类积分的方法必须熟练掌握，必须在该章节上下功夫，多做题。

积分题在高数610中占了很大的比重，每个考生必须在这方面下功夫，反常积分考过两次，也必须掌握，包括反常积分的审敛法。

伽马函数有时会是一种很好的解题方法，也要掌握。

第六章：定积分的应用（★★★★★）本章节是高数610试题中的常见考点，尤其是一些应用题。

10考研高等数学强化讲义(第三章)全

第三章一元函数积分学§3. 1 不定积分（甲）内容要点一、基本概念与性质1．原函数与不定积分的概念设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立。

则称()x F 为()x f 在区间I 的原函数，()x f 在区间I 中的全体原函数成为()x f 在区间I 的不定积分，记为()⎰dx x f 。

原函数：()()⎰+=C x F dx x f其中⎰称为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积分函数，()dx x f 称为被积表达式。

2．不定积分的性质设()()⎰+=C x F dx x f ，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。

则（1）()()⎰+='C x F dx x F 或()()⎰+=C x F x dF 或⎰+=+C x F C x F d )(])([ （2）()[]()x f dx x f ='⎰或()[]()dx x f dx x f d =⎰（3）()()⎰⎰=dx x f k dx x kf （4）()()[]()()⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f3．原函数的存在性一个函数如果在某一点有导数，称为可导；一个函数有不定积分，称为可积。

原函数存在的条件：比连续要求低，连续一定有原函数，不连续有时也有原函数。

可导要求比连续高。

⎰-dx ex这个不定积分一般称为积不出来，但它的积分存在，只是这个函数的积分不能用初等函数表示出来设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如()⎰dx x 2sin ，()⎰dx x 2cos ，⎰dx x x sin ，⎰dx x x cos ，⎰x dx ln ，⎰-dxe x 2等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。

610高等数学是哪本教材

610高等数学是哪本教材《610高等数学》是一本备受期待的高等数学教材。

众所周知，高等数学作为大学数学的一门基础课程，对于培养学生的数学思维和解决实际问题的能力具有重要意义。

而《610高等数学》作为一本经典教材，深受广大学生和教师的喜爱。

本教材以系统性、规范性和深入性为特点，将高等数学的理论与实践相结合。

它的出现填补了市场上高等数学教材的空白，提供了一种全新的教学思路和学习方法。

下面将从教材的内容特点、教学应用和评价三个方面对《610高等数学》进行讨论。

首先，教材内容翔实全面。

《610高等数学》的内容设计紧贴大纲，有机地融合了数学的基本概念、定理和方法。

教材以数列、函数、极限、微分、积分等基本概念为主线，同时还涉及到曲线、多元函数、级数、微分方程等高级内容。

每个章节都由讲授基础知识、解题方法和习题训练三部分构成，使得学习者能够循序渐进地掌握数学知识。

其次，教材应用广泛而灵活。

《610高等数学》不仅注重理论的阐述，还注重数学知识的实际应用。

教材配有大量生动的例题和问题，以及详细的解题思路和方法。

这样，学生既可以通过例题加深对知识点的理解，又可以通过各类习题加强对知识点的巩固。

此外，教材还融入了大量的实际案例和实践活动，使学生能够将数学知识与实际问题相结合，培养解决实际问题的能力。

最后，教材备受好评。

《610高等数学》出版以来，得到了广大学生和教师的好评。

学生们认为，教材内容清晰易懂，条理清晰，对于高等数学的学习起到了很大的帮助作用。

教师们则称赞教材的设计合理，突出了数学思维的培养和实际问题的解决能力的训练。

同时，教材还提供了配套的教学资源和辅助材料，方便教师进行教学辅导和学生进行课后巩固。

综上所述，《610高等数学》作为一本备受期待的教材，通过其翔实的内容、广泛的应用和好评如潮的口碑，确实满足了学生与教师对高等数学教材的需求。

它的出现不仅推动了高等数学教学的发展，也为学生的数学学习和应用奠定了坚实的基础。

武忠祥高数强化讲义注解p210

武忠祥高数强化讲义注解p210武忠祥高数强化讲义是一本经典的高数教材，主要针对高中生和大学生学习高等数学的需要而编写。

在这本讲义的第210页，作者主要讲述了函数的极值和拐点的概念及其应用。

首先，函数的极值是指函数在某一区间内取到的最大值或最小值。

具体来说，函数的极大值是指函数在某一区间内取到的最大值，而函数的极小值则是指函数在某一区间内取到的最小值。

函数的极值是非常重要的概念，因为它可以帮助我们了解函数的特性和性质，并且在解决实际问题时也有很大的应用价值。

其次，函数的拐点是指函数图像的拐弯处。

具体来说，当函数的图像从某一点开始向下弯曲时，这个点就是函数的下拐点；当函数的图像从某一点开始向上弯曲时，这个点就是函数的上拐点。

函数的拐点是非常重要的概念，因为它可以帮助我们了解函数图像的形状，并且在解决实际问题时也有很大的应用价值。

在这本讲义的第210页，作者还介绍了如何利用极值和拐点的性质解决实际问题。

例如，我们可以利用函数的极值性质来求解最值问题；也可以利用函数的拐点性质来求解不等式问题。

此外，作者还介绍了如何利用极值和拐点的性质来分析函数的特殊性质。

例如，我们可以利用函数的极值性质来分析函数是否单调递增或递减；也可以利用函数的拐点性质来分析函数是否有拐点。

总的来说，武忠祥高数强化讲义的第210页讲述了函数的极值和拐点的概念及其应用，并给出了一些实例来帮助读者更好地理解和掌握这些知识。

在阅读这一章节时，读者需要对函数的定义和图像的概念有所了解，并且要掌握一些基本的数学知识，如不等式、单调性和连续性等。

在学习这一章节时，读者还需要注意一些细节问题。

例如，在求解函数的极值时，需要注意函数的单谷点、双谷点和驼峰点的区别，并且要熟练掌握一些基本的判定法。

此外，在分析函数的拐点时，也要注意函数的拐点的种类和性质，并熟练掌握一些基本的判定法。

通过对武忠祥高数强化讲义第210页的学习，读者将能够掌握函数的极值和拐点的概念及其应用，并能够运用这些知识来解决实际问题。

考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤

第一讲极限与连续主要内容概括（略）重点题型讲解一、极限问题类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++⨯+⨯∞→)12)(12(1531311lim n n n ；（2）11lim 332+-=∞→k k nk n π；（3）∑=∞→+nk n n k k 1])1(1[lim ； 2．求下列极限：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22241241141lim ； 3．求下列极限：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22222212111lim n n n n n ；（2）nn nn !lim∞→；（3）∑=∞→++ni n ni n 1211lim。

类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限：（1）)0(2cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x xx x n n ；（2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+；2．求下列极限：（1）()xx xcos 1120sin 1lim -→+；（3）)21ln(103sin 1tan 1lim x x x x x +→⎪⎭⎫⎝⎛++；（4）21cos lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→；类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限：（1）)cos 1(sin 1tan 1lim 0x x xx x -+-+→；（2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→；（3）]1)3cos 2[(1lim30-+→x x x x ；（4）)tan 11(lim 220xx x -→；（5）203)3(lim xx xx x -+→；（6）设A a x x f x x =-+→1)sin )(1ln(lim，求20)(lim x x f x →。

2．求下列极限：xx ex x x sin cos lim3202-→-类型四：极限存在性问题：1．设01,111=-+=+n n x x x ，证明数列}{n x 收敛，并求n n x ∞→lim 。

高等数学强化班讲义

高等数学（强化班）讲义第一章函数、极限、连续一、重、难点内容归纳1. 函数概念、性质1）会讨论分段函数在“接头点”处极限、连续、导数、积分。

2）会求分段函数的复合函数。

3）熟悉函数的性态——单调性，奇偶性，周期性，有界性。

2. 极限1）熟悉应用“保号性定理”。

2）熟练求极限的方法（特别要注意运用方法的条件、技巧。

易出错的地方）。

3. 会讨论函数的连续性与间断性1）分段函数在“接头点”处的连续性的讨论。

2）明确函数间断性的讨论是指：① 求出全部间断点； ② 指出间断点的类型。

4. 熟悉连续函数在闭区间上的性质1）熟练应用“零点定理，介值定理，最值定理”。

2）会讨论方程的根（① 根的存在性，唯一性； ② 根的个数的确定）。

二、方法、技巧、题型例1 分段函数的复合<例1.1> 设⎩⎨⎧>≤-=⎩⎨⎧>≤=1||21||2)(,1||1||)(22x x x x g x x x x x f ，求))((x g f .（答：⎩⎨⎧>≤-=⎪⎩⎪⎨⎧>≤>--≤≤--=1||21||21||21||,1|2|21||,1|2|)2())((222222x x x x x x x x x x x g f 且且）<例1.2> 设⎩⎨⎧>≤-=⎩⎨⎧>≤=2||22||2)(,1||01||1)(2x x x x g x x x f ，求))(()),((x f g x g f .（答：⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=2||01||03||11))((x x x x g f 或2||3≤<x ，⎩⎨⎧>≤=1||21||1))((x x x f g ）例2 函数性态单调性 <例2.1> 求⎰-=π0d 2sin 1x x I （答：22）.<例2.2> 设)(x f 连续且单调增.求证：0)(d )(0≤-⎰x xf t t f x . <例2.3> 设),0[,0)0(+∞∈∀=x f 有xx f x g x f )()(,)(=↑'，证明： )(x g 单调增.奇偶性 <例2.4> 设)(x f 连续，⎰-=xt t f t x x F 0d )()2()(时，那么1）若)(x f 为奇函数，证明)(x F 为奇函数。

中国地质大学(北京)610高等数学考试大纲讲课讲稿

中国地质大学(北京)610高等数学考试大纲高等数学（科目代号610）考试大纲考试内容：一元微积分、常微分方程一、函数、极限、连续考试内容：函数的概念及函数的性质，复合函数、反函数、隐函数分段函数的性质及其图形。

数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限与右极限无穷小和无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限；函数连续的概念，函数间断点的类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

考试要求：1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系。

2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3、理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念。

4、掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念5、了解数列极限和函数极限（包括坐极限和右极限）的概念。

6、理解无穷小的概念和基本性质，掌握无穷小的比较方法，了解无穷大的概念及其无穷小的关系。

7、了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限四则运算法则，要熟练应用两个重要极限。

8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

9、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）及其简单应用。

二、一元函数微分学考试内容：导数的概念、导数的几何意义、函数的可导性与连续性之间的关系、导数的四则运算、基本初等函数的导数、复合函数、反函数和隐函数的导数、高阶导数、微分的概念和运算法则、一阶微分形式的不变性。

罗尔定理和拉格郎日中值定理及其应用洛必达（L’Hospi tal）法则，函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线、函数图形的描绘、函数最大值和最小值。

考试要求：1、理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义。

2、掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，掌握反函数与隐函数求导法以及对数求导法。

2024考研数学李林高等数学辅导讲义解析

2024考研数学李林高等数学辅导讲义解析一、概述2024年考研数学高等数学一直是考研学子备战考试的焦点。

为帮助考生更好地掌握数学知识，提高解题能力，李林老师精心编写了高等数学辅导讲义。

本文将对李林老师的辅导讲义进行解析，帮助考生更好地理解和应用这些知识。

二、讲义内容概述李林老师的高等数学辅导讲义分为多个章节，涵盖了高等数学的各个知识点，包括微积分、多元函数、级数、常微分方程等内容。

讲义内容扎实，逻辑严谨，既包括基础知识的讲解，也包括典型例题的分析和解答，适合考生系统复习和巩固知识点。

三、微积分部分1.极限与连续讲义对极限与连续的概念进行了详细介绍，从基本概念到极限存在的条件，再到连续性的定义和性质，帮助考生理解和掌握这一重要知识点。

讲义中还包括了大量例题分析，帮助考生加深对极限与连续的理解，提高解题能力。

2.微分与微分中值定理针对微分的定义和微分中值定理等内容，讲义中提供了详细的公式推导和典型例题讲解，帮助考生掌握微分的概念和性质，熟练运用微分中值定理解决实际问题。

3.不定积分与定积分在不定积分与定积分部分，讲义重点讲解了换元积分法、分部积分法等解题技巧，并结合典型例题进行深入分析，帮助考生掌握积分的计算方法和技巧，提高解题效率。

四、多元函数部分1.多元函数的概念与性质讲义对多元函数的概念、多元函数的极限、连续性、偏导数等内容进行了系统介绍，并结合实际问题进行讲解，帮助考生理解多元函数的重要性及其在实际问题中的应用。

2.方向导数与梯度在方向导数与梯度的部分，讲义对方向导数的定义、计算方法和梯度的概念进行了详细讲解，并提供了大量例题进行分析，帮助考生掌握这一知识点的计算方法和应用技巧。

五、级数部分1.数项级数的收敛性与敛散性讲义对数项级数的收敛性与敛散性进行了全面介绍，包括正项级数的收敛判别法、一般项级数的审敛法等内容，帮助考生系统掌握级数收敛性的判别方法，提高解题能力。

2.幂级数与傅立叶级数在幂级数与傅立叶级数部分，讲义介绍了幂级数的收敛半径、函数展开成幂级数的方法，以及傅立叶级数的基本概念和性质，帮助考生理解级数在实际问题中的应用。

2010海天强化数学讲义第二章

第二章一元函数微分学第一节导数与微分1．导数定义：=；=′)(0x f xx f x x f x ∆−∆+→∆)()(lim0000)()(limx x x f x f x x −−→左导数：；=′−)(0x f x x f x x f x ∆−∆+−→∆)()(lim 0003．隐函数求导法：4．反函数的导数：5．参数方程求导法：6．对数求导法：7．高阶导数：题型一．可导性的讨论（导数定义）例2.1设函数在处连续，下列命题错误的是)(x f 0=x （A）若.（B）若.0)0(,)(lim0=→f xx f x 则存在0)0(,)()(lim 0=−+→f x x f x f x 则存在（C）若存在.（D）若存在。

)0(,)(lim 0f x x f x ′→则存在)0(,)()(lim 0f xx f x f x ′−−→则存在解法1直接法，直接说明（D ）中的命题是错误的.令，我们知道不存在，但x x f =)()0(f ′0h h→=h e e f e f hhh h −−−−→11)0()1(lim 0=令h h h e f e f −−−−→1)0()1(lim 0t e h =−1=)0()0()(limf tf t f t ′−=−−→故应选（B ）.解法2排除法由于2020cosh1cosh 1)0(cosh)1(limcosh)1(limh f f h f h h −−−−=−→→=)0(21cosh 1)0(cosh)1(lim 210+→′=−−−f f f h 由于，则（A ）中极限存在只能推得在处的右导数存0cosh 1>−)(x f 0=x可导的充要条件是在可导，令0=x x x f sin )(0=x xx f x sin )()(=ϕ⎪⎩⎪⎨⎧→−→==−−−+→→0),0(0),0(sin )(lim 0)0()(lim 00x f x f x x x f x x x x ϕϕ则是在可导的充要条件，故应选（A ）.0)0(=f )(x ϕ0=x 注：由本题的分析过程也得到一条常用的结论：设，其a x x x f −=)()(ϕ在处连续，则在处可导的充要条件是)(x ϕa x =)(x f a x =0)(=a ϕ例2.4函数不可导的点的个数是||)2()(32x x x x x f −−−=（A）3.（B）2.（C）1.（D）0.解xx x x x f −−−=32)2()(=xx x x x 1)1)(2(−++−同理（D ）不正确，故应选（B ）.解法2直接法，直接证明（B ）正确.令)()(x f x =ϕax a f x f a x a x a x a x −−=−−→→)()(lim)()(limϕϕ=ax x f ax −→)(lim=⎪⎩⎪⎨⎧→′−→′−+a x a f a x a f )()(即，)()(a f a ′=′+ϕ)()(a f a ′−=′−ϕ由于，则，则在不可导，故应选（B ）.0)(≠′a f )()(a a −+′≠′ϕϕ)(x f a x =解1)显然在处连续，而)(x g 0≠x )0()(lim)(lim 0f xx f x g x x ′==→→则若时在上连续.)0(f a ′=)(x g ),(+∞−∞2)当时，0≠x ，且连续.2)()()(x x f x f x x g −′=′)(x g ′当时，0=x xg x g g x )0()(lim)0(0−=′→=200)0()(lim )0()(lim x xf x f x f x x f x x ′−=′−→→=（导数定义）2)0(2)0()(lim 0f x f x f x ′′=′−′→20200)()0())0()((lim )()(lim )(lim x x f f x f x f x x x f x f x x g x x x −′+′−′=−′=′→→→)例2.10设函数可导，求的导数。

高数强化讲义

第一讲函数、极限、连续考点总结：1.复合函数2.函数的极限3.数列的极限4.无穷小的阶5.间断点类型考点解读：一、极限的基本概念及运算（一）极限的定义与性质1、定义：定义1：对于数列{}n a ,设A 为一个常数，若0ε∀>,N ∃,使当N n >时，有||n a A ε−<，则称在n →∞时，{}n a 以A 为极限，记作Aa n x =∞→lim 定义2：对于函数)(x f y =，设A 为一个常数，若0>∀ε，X ∃，使当X x >时，有|()|f x A ε−<，则称Ax f x =+∞→)(lim 定义3：对于函数)(x f y =，设A 为一个常数，若0>∀ε，1X ∃，使当1x X <时，有|()|f x A ε−<，则称Ax f x =−∞→)(lim 定义4：对于函数)(x f y =，设A 为一个常数，若0>∀ε，2X ∃，使当2||X x >时，有|()|f x A ε−<，则称Ax f x =∞→)(lim 定义5：对于函数)(x f y =，设A 为一个常数，若0>∀ε，0>∃δ，使当δ<−<||00x x 时，有|()|f x A ε−<，则称Ax f x x =→)(lim 0定义6：对于函数)(x f y =，设A 为一个常数，若0>∀ε，0>∃δ，使当),(00δ+∈x x x 时，有|()|f x A ε−<，则称0lim ()x x f x A +−=定义7：对于函数)(x f y =，设A 为一个常数，若0>∀ε，0>∃δ，使当)(00x x x ，δ−∈时，有|()|f x A ε−<，则称Ax f x x =−−)(lim 0结论：A x f x =∞→)(lim 成立的充要条件是：A x f x =+∞→)(lim 且Ax f x =−∞→)(lim A x f x x =→)(lim 0成立的充要条件是：A x f x x =−−)(lim 0且Ax f x x =+−)(lim 0注：常见需要讨论左右极限的函数①xx xx ee 10lim ,lim →∞→②xarc x x arc x x x x x 1cot lim ,1arctanlim ,cot lim ,arctan lim 00→→∞→∞→③)1(lim 2x x x x −+∞→④][x ⑤函数的分段点2.数列与函数的极限关系（1）xn →（2）若A x f x x x =∞→→)(lim 0，则对任意数列n x ，只要Ax f x x n n n n =⇒∞=∞→∞→)(lim )(lim 0【例】①n n n ∞→lim ,②xx x 1sin1lim 0→3.极限的性质（1）唯一性定理：若[]lim ()x f x →存在，则其极限值唯一。

610高等数学农教材

610高等数学农教材高等数学是农学专业中一门非常重要的基础课程，它为农学专业的学生提供了数学分析和解决实际问题的方法。

因此，开发一本适用于农学专业的高等数学教材是至关重要的。

本文将介绍610高等数学农教材的编写内容和格式。

【引言】610高等数学农教材旨在针对农学专业的学生，深入浅出地介绍高等数学的理论和应用。

通过具体的农业案例和问题，帮助学生理解数学在农学中的重要性，培养他们解决实际问题的能力。

【第一章：函数与极限】本章主要介绍函数与极限的相关概念和性质。

首先，对数学函数的定义进行了详细解释，包括定义域、值域和图像等。

随后，重点讨论了函数的极限，引入了极限的定义和判定方法。

此外，还通过农业领域中的实例，展示了函数与极限的应用。

【第二章：导数与微分】第二章主要讲述导数与微分的概念和计算方法。

从导数的定义出发，介绍了一阶导数和高阶导数的概念，并通过实例演示了导数在农学中的应用。

接着，详细介绍了微分的概念和性质，包括微分的几何意义和微分中值定理等。

最后，通过农业实际问题，展示了导数与微分的重要性。

【第三章：积分与不定积分】第三章介绍了积分与不定积分的概念及其计算方法。

首先，对不定积分的定义和性质进行了详细解释，并通过具体的农业案例，展示了不定积分在农学领域中的应用。

随后，讲述了定积分的概念和意义，并介绍了定积分的计算方法和几何意义。

最后，通过实例分析，强调了积分与不定积分在农学中的重要性。

【第四章：微分方程】第四章介绍了微分方程的相关知识。

首先，对常微分方程和偏微分方程的定义进行了详细解释，重点讨论了常微分方程的一阶和高阶形式。

随后，介绍了微分方程的解法和数值解法，并通过农业案例，展示了微分方程在农学中的应用。

【第五章：级数与幂级数】本章主要讲述级数与幂级数的概念和性质。

首先，对数列与级数的定义进行了详细解释，并介绍了收敛与发散的判定方法。

接下来，讨论了幂级数的性质和收敛半径的计算方法，并通过农业问题，展示了级数与幂级数在农学中的应用。

考研610高等数学教材

考研610高等数学教材高等数学是考研数学科目中的一门重要课程，对于考生来说是必修内容。

由于考生在高等数学的学习中通常都会使用教材来进行系统的学习，本文将对考研610高等数学教材进行评析，并提供一些学习上的建议。

首先，我们来对考研610高等数学教材的结构进行分析和讨论。

该教材一般分为数学分析、线性代数和概率论三个部分。

数学分析部分主要包括极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学和多重积分学等内容。

这些章节全面而系统地介绍了数学分析的基本概念、定理和方法，对于考生掌握高等数学的基础知识和分析方法具有重要意义。

线性代数部分涵盖了矩阵代数、线性方程组、向量空间和线性变换等内容。

这些章节介绍了线性代数的基本理论和应用，对于考生理解矩阵和向量空间的概念、熟悉线性代数的基本运算和性质非常有帮助。

概率论部分则主要介绍了概率的基本概念、随机变量与概率分布、数理统计等内容。

这些章节帮助考生了解概率论的基本原理和统计学的基本方法，为进一步学习概率与统计学习科目打下坚实的基础。

在学习考研610高等数学教材过程中，考生需要重视以下几个方面。

首先，理解概念的内涵和外延。

高等数学作为一门理论性较强的学科，概念的理解至关重要。

考生需要通过思考、归纳概括和举例说明等方式来加深对概念的理解。

其次，掌握基本原理和定理的证明。

高等数学教材中存在大量的基本原理和定理，考生需要仔细研读教材中的证明过程，理解推理思路和技巧，并尝试自行进行证明。

通过证明的过程，考生可以加深对数学知识的理解，提高数学分析和证明能力。

此外，进行练习和习题的解答也是学习过程中的重要环节。

教材中通常配有大量的练习和习题，考生应当结合教材内容，按照难易程度和知识点进行有针对性的练习。

在解答习题时，考生要注重思路的整理和方法的选择，培养解决问题的能力。

最后，与同学和老师进行交流和讨论。

数学学习是一个积极互动的过程，考生应当积极与同学和老师进行交流和讨论，分享思考和解题方法，互相促进进步。

2019考研网校高数强化讲义6-7章精品文档51页

第六章多元函数微积分（上）本章将复习多元函数微积分学中数学一、二、三、四共同要求的内容，有利于大家的复习和把握。

同时分散了数学一的难点，复习条理更加清晰。

第一节多元函数微分学多元函数微分学是一元函数微分学的推广与发展。

复习这部分内容时，要对二者加以比较，既要注意一元函数与多元函数在基本概念、理论和方法上的共同点，更要注意它们之间的区别。

【大纲内容】多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限和连续的概念；有界闭区域上多元连续函数的性质；多元函数偏导数和全微分；全微分存在的必要条件和充分条件；多元复合函数、隐函数的求导法；二阶偏导数；多元函数极值和条件的概念；多元函数极值的必要条件；二元函数极值的充分条件；极值的求法；拉格朗日乘数法；多元函数的最大值、最小值及其简单应用。

数学一要求了解二元函数的二阶泰勒公式，而数学二、三、四不要求。

【大纲要求】要理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义；了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念。

在方法上，要掌握复合函数偏导数的求法；会求全微分；会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；了解二元函数的二阶泰勒公式（数学二、三、四不要求）。

在应用方面，理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，解决一些简单的最大最小值应用问题。

【考点分析】应用链锁规则求多元复合函数的偏导数问题，是考试的一个重点。

另一个考试重点是求多元函数的条件极值和无条件极值。

一、多元函数微分学的基本概念及其关系定义1 设二元函数的某心邻域内有定义，如果动点f（x,y）以任何方式无限趋于点总是无限趋于一个常数A，则称当时，。

定义2 如果连续。

如果f（x,y）在区域D上每一点都连续，则称f（x,y）在区域D上连续。

定理1 最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。

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第一讲极限、无穷小与连续性一、知识网络图二、重点考核点这部分的重点是：①掌握求极限的各种方法．1()) n nx f x+=②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法．③判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限）． ④复合函数、分段函数及函数记号的运算．§1 极限的重要性质1．不等式性质设B y A x n n n n ==∞→∞→lim lim ，，且A ＞B ，则存在自然数N ，使得当n ＞N 时有x n ＞y n ．设B y A x n n n n ==∞→∞→lim lim ，，且存在自然数N ，当n ＞N 时有x n ≥y n ，则A ≥B ．作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设A x n n =∞→lim ，且A ＞0，则存在自然数N ，使得当n ＞N 时有x n ＞0．设A x n n =∞→lim ，且存在自然数N ，当n ＞N 时有x n ≥0，则A ≥0．对各种函数极限有类似的性质．例如：设B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0，，且A ＞B ，则存在δ＞0，使得当00 <x x -＜δ有f （x ）＞g （x ）．设B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0，，且存在δ＞0，使得当0＜｜x －x 0｜＜δ时f （x ）≥g （x ），则A ≥B ． 2．有界或局部有界性性质设A x n n =∞→lim ，则数列｛x n ｝有界，即存在M ＞0，使得｜x n ｜≤M （n = 1，2，3，…）．设，A x f x x =→)(lim 0则函数f （x ）在x = x 0的某空心邻域中有界，即存在δ＞0和M ＞0，使得当0＜｜x －x 0｜＜δ时有｜f （x ）｜≤M ．对其他类型的函数极限也有类似的结论．§2 求极限的方法1．极限的四则运算法则及其推广设B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0，，则；B A x g x f xx ±=±→)]()([lim 0；AB x g x f x x =→)()(lim 0．)0()()(lim 0≠=→B BA x g x f x x 只要设)(g lim )(lim 0x x f x x x x →→，存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“0”，“∞∞”，“0·∞”，“∞－∞”四种未定式以外的各种情形．即： 1°设B x x f x x x x =∞=→→)(g lim )(lim 00，，则∞=±→)]()([lim 0x g x f x x .∞=→)()(lim 0x g x f x x （()0g x ≠）又B ≠0，则∞=→)]()([lim 0x g x f x x ．2°设∞=→)(lim 0x f x x ，当x →x 0时()g x 局部有界，（即0,0M δ∃>>，使得00x x δ<-<时()g x M <），则 ∞=+→)]()([lim 0x g x f x x ．设∞=→)(lim 0x f x x ，当x →x 0时｜g （x ）｜局部有正下界，（即∃δ＞0，b ＞0使得0＜｜x － x 0｜＜δ时｜g （x ）｜≥b ＞0），则 ∞=→)]()([lim 0x g x f x x ．3°设∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x g x x ，则()∞=→)()(lim 0x g x f x x ，又∃δ＞0使得0＜｜x －x 0｜＜δ时f （x ）g （x ）＞0，则 ∞=+→)]()([lim 0x g x f x x ．4°设0)(lim 0=→x f x x ，x →x 0时g （x ）局部有界，则()0)()(lim 0=→x g x f x x （无穷小量与有界变量之积为无穷小．）2．幂指函数的极限及其推广设．A x f B x g A x f B x g x x x x x x ===→→→)()(lim )(lim ＞0)(lim 0则，lim ()ln ()()()ln ()ln (lim ()lim )x x g x f x g x g x f x B A B x x x x f x eee A →→→====只要设0lim ()lim ()x x x x f x g x →→，存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1∞”，“00”及“∞0”三种未定式以外的各种情形．这是因为仅在这三个情况下)(ln )(lim 0x f x g x x →是“0·∞”型未定式．1°设)(lim 0x f x x → = 0（0＜｜x －0x ｜＜δ时f （x ）＞0），0)(lim 0≠=→B x g x x ，则()0(0)lim ()(0)g x x xB f x B →>⎧=⎨+∞<⎩2°设)(lim 0x f x x → = A ＞0，A ≠1，)(lim 0x g x x → = + ∞，则 0()0(0<1)lim ()(1)g x x x A f x A →<⎧=⎨+∞>⎩3°设)(lim 0x f x x → = + ∞，0)(lim 0≠=→B x g x x ，则 ⎩⎨⎧∞+=→＞0)()＜0(0)(lim )(0B B x f x g xx【例1】设．，则，又________)(lim 0)(g lim )()(lim000===→→→x f x A x g x f x x x x x x【分析】．＝00))()()((lim )(lim 0=⨯=⋅→→A x g x g x f x f x x x x【例2】设｛a n ｝，｛b n ｝，｛c n ｝均为非负数列，且，，，∞===+∞→∞→∞→n n n n n n c b a lim 1lim 0lim 则必有（A ）a n ＜b n 对任意n 成立．（B ）b n ＜c n 对任意n 成立．（C ）极限n n n c a ∞→lim 不存在．（D ）n n n c b ∞→lim 不存在．用相消法求00或∞∞型极限【例1】求)cos 1(sin 1tan 1limx x xx I x -+-+=→【解】作恒等变形，分子、分母同乘得x x sin 1tan 1+++x I →= xx x x x x x x sin 1tan 11lim )cos 1()cos 1(tan lim 00+++--=→→21211==⋅．【例2】求limx I →-=【解】作恒等变形，分子、分母同除)0＜(2x x x -=得1x I →===利用洛必达法则求极限【例1】设f （x ）在x = 0有连续导数，又 2)(sin lim 20=⎪⎭⎫⎝⎛+=→x x f xx I x 求(0)(0)f f '与．【例2】求)1ln()cos 1(1cossin 2lim20x x x x x x +++→．【例3】求xx I xx e)1(lim 10-+=→．【例4】求xx I xx x sin e e lim sin 0--=→．【例5】若306sin ()lim 0x x xf x x →+=，则__________)(6lim 20=+→xx f x ．【例6】求)1ln(0)(tan lim x x x I -+→=．【例7】设α＞0，β≠0为常数且122lim [()]aa ax I xx x β→+∞=+-=，则（α，β） = __________．【分析】∞－∞型极限．210121)1(lim 1t ]1)[(1lim tt x x x I a a t aax -+=-+=+→-+∞→ tt a t a a aa t 2)1(1lim 1110--+→⋅+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞+==+=--+→⋅)2＜＜0()2(21)＞2(0)1(21lim 2110a a a tt a a a t 因此（α，β） = )212(，．分别求左、右极限的情形，分别求n n n n x x 212lim lim +∞→-+∞→与的情形【例1】设||sin e1e 2)(41x xx f xx +++，求0lim ()x f x →．【例2】求nn n I n )1(1lim -+∞→⎪⎭⎫⎝⎛+=利用函数极限求数列极限【例1】求)1＞(lima an I nn +∞→=．【例2】求21lim (tan )n n I n n→+∞=．【解1】)11tan (11tan 12)11tan(1lim --+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n n nn n n n I转化为求2230021tan11tan 11tan lim (tan1)limlim lim 1n n x x n xx x nx n n nx xn +→+∞→+∞→+→----=== 123201cos 1lim e 33x x I x +→-==⇒= 【解2】用求指数型极限的一般方法．n nn n I 11tan ln2elim +∞→=转化为求2021tan tan 1lnlim lnlim1n x nx x nxn →+∞→= 201tan lim xx xx -=→（等价无穷小因子替换），余下同前．§3 无穷小和它的阶1．无穷小、极限、无穷大及其联系（1）无穷小与无穷大的定义（2）极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系 0lim ()()()x x f x A f x A x α→=⇔=+其中0lim ()0(()(1)).x x x f x A o x x α→==+→，o （1）表示无穷小量．在同一个极限过程中，u 是无穷小量（u ≠0）⇒u 1是无穷大量．反之若u 是无穷大量，则u1是无穷小量．2．无穷小阶的概念（1）定义同一极限过程中，α（x ），β（x ）为无穷小，设 0()()1()()()lim ()~()()()0()()()(())()l x x l x x x l x x x l x x x o x αβαβααββαβαβ≠⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩为有限数，称与为同阶无穷小时，称与为等价无穷小，记为极限过程时，是比高阶的无穷小，记为极限过程定义设在同一极限过程中α（x ），β（x ）均为无穷小，α（x ）为基本无穷小，若存在正数k 与常数l 使得0)()(lim≠=l x x k αβ 称β（x ）是α（x ）的k 阶无穷小，特别有0)()(lim 0≠=-→l x x x k x x β，称x →x 0时β（x ）是（x －x 0）的k 阶无穷小．（2）重要的等价无穷小x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，㏑（1 + x ） ~ x ，e x －1 ~ x ； a x －1 ~ x ln a ，arcsi nx ~ x ，arctan x ~ x ；（1 + x ）a ―1 ~ ax ，1―cos x ~ 221x ．（3）等价无穷小的重要性质在同一个极限过程中 1°若α ~ β，β ~ γ⇒α ~ γ． 2° α ~ β⇔α = β + o （β） 3°在求“”型与“0·∞”型极限过程中等价无穷小因子可以替换【例1】求⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+=→13cos 21lim 30x x x xI ．【例2】设__________)(lim 513]2sin )(1ln[lim200==-+→→x x f x x f x x x ，则．【分析】由已知条件及02sin )(lim 0)2sin )(1ln(lim 0)13(lim 000=⇒=+⇒=-→→→xx f x x f x x xx ．又在x = 0某空心邻域f （x ）≠0⇒()()()ln(1)~~(0)sin 2sin 22f x f x f x x x x x+→，又3x －1 ~x ln 3．于是22000()/2()()lim lim 5lim 10ln 3ln 32ln 3x x x f x x f x f x x x x →→→==⇒=．【例3】设x → a 时α（x ），β（x ）分别是x － a 的n 阶与m 阶无穷小，又0)(lim ≠=→A x h ax ，则x → a 时（1）α（x ）h （x ）是x － a 的__________阶无穷小．（2）α（x ）β（x ）是x － a 的__________阶无穷小．（3）n ＜m 时，α（x ）±β（x ）是x － a 的__________阶无穷小．（4）n ＞m 时)()(x x βα是x － a 的__________阶无穷小．（5）k 是正整数时，αk 是x － a 的__________阶无穷小．以上结论容易按定义证明。