2019届高考数学提分必备30个黄金考点专题02命题及其关系充分条件与必要条件学案理

专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件

【考点剖析】

1.命题方向预测：

（1）四种命题的概念及其相互关系、四种命题真假的判断、充分要条件的判定及其应用是高考的热点. (2)题型主要以选择题、填空题的形式出现．

（3）本节知识常与集合、函数、不等式、数列、立体几何中的直线、平面间的位置关系、复数、平面解析几何等知识结合，复习中在理解命题及其关系、充分条件与必要条件等基础知识的同时，重在掌握其它相关数学知识. 2.课本结论总结： （1）命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判定真假的陈述句叫做命题.其中，判定为真的命题叫真命题，判定为假的命题叫假命题. （2）四种命题及其关系 ①四种命题及其关系

②四种命题的真假关系

逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假，互逆或互否的两个命题，它们的真假没有关系.

(3)充分条件与必要条件

①若p q ⇒，则p 是q 充分条件，q 是p 的必要条件. ②若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件 3.名师二级结论： (1) 常见结论的否定形式

(2)充要条件判定方法 ①定义法：若

p q ⇒，则p 是q 充分条件；若q p ⇒，则p 是q 必要条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.

②集合法：若满足条件p 的集合为A ，满足条件q 的集合为B ，若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若

B

A ，则p 是q 必要不充分条件；若A=

B 则，p 是 q 充要条件。

对充要条件判定问题，一定要分清谁是条件，谁是结论，若条件、结论满足的条件易求，常用集合法. ③利用原命题与逆命题的真假判断 若原命题为“若p 则q ”，则有如下结论：

（1）若原命题为真逆命题为假，则p 是q 的充分不必要条件； （2）若原命题为假逆命题为真，则p 是q 的必要不充分条件； （3）若原命题与逆命题都为真，则p 是q 的充要条件；

（4）若原命题与逆命题都为假，则p 是q 的既不充分也不必要条件 4.考点交汇展示： (1)与集合交汇

例1设A ，B 是两个集合，则“A

B A =”是“A B ⊆”的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 【答案】C.

【解析】由题意得，A B A A B =⇒⊆，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件，选C.

(2)与不等式交汇

例2【2018年理数天津卷】设

，则“

”是“

”的

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不重复条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 结论

是 都

是 大

于 小

于 至少

一个

至多一个

至少n 个 至多有n

个

对所有

x ，成

立

p

或

q p

且

q

对任何x ，不

成立 否定 不是 不都是 不大

于 不小

于 一个也没

有

至少两个 至多有（1n -）个

至少有（1n +）

个

存在某

x ，不

成立

p ⌝且

q ⌝ p

⌝或

q ⌝ 存在某

x ，成

立

绝对值不等式

，由

.据此可知

是

的

充分而不必要条件.本题选择A 选项. （3）与函数交汇

例3【2017天津，理4】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-

<”是“1

sin 2

θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A

（4）与平面向量结合

例4【2018年理北京卷】设a ，b 均为单位向量，则“”是“a ⊥b ”的

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】

，因为a ，b 均为单位向量，所以 a ⊥b ，即“

”是“a ⊥b ”的充分必要条件.

选C.

（5）与复数交汇

例5已知i 是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==”是“2

()2a bi i +=”的( )

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

【答案】A.

【解析】(a +bi )2

＝a 2

－b 2

＋2abi ＝2i ，于是a 2

－b 2

＝0，2ab ＝2解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1 ,故选A . （6）与立体几何交汇

例6【2018年浙江卷】已知平面α，直线m ，n 满足m α，n α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】

(7)与数列交汇

例7【2016高考天津卷】设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，

a 2n −1+a 2n <0”的（ ）

（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C

【解析】由题意得，22

212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q

q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C. (8)与平面解析几何交汇

例8【2018届北京市人大附中5月三模】设

,则“

”是直线“

与直线

垂直”的

A ． 充要条件

B ． 充分而不必要条件

C ． 必要而不充分条件

D ． 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 若

，则两条直线分别为

、

， 两直线斜率的乘积为，故两条直线相互垂直；

若两条直线相互垂直，则，故

或

，

故“

”是两条直线相互垂直的充分不必要条件，选B.

【考点分类】

考向一 命题及其关系

1.【河北省衡水中学2018届第十六次模拟理】下列有关命题的说法正确的是（ ） A. 命题“若，则

”的否命题为“若

，则

”