第二章线性不变系统解析

利用d 函数的筛选性质
2
G( f )G * ( f )df G ( f ) df
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
设 g(x,y)
F.T.
5. 卷积定理
G(fx,fy),
h(x,y)
F.T.
H(fx,fy),
空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积.
§2.1 线性系统
线性系统的输出为脉冲响应函数的 线性组合
对于线性系统: g(x, y) = ℒ{f(x, y)}

-
f ( ,h ) ℒ {d ( x - , y - h)}ddh f ( ,h )h( x, y; ,h )ddh
(x-, y- h)的响应h(x, y; ,h)
G( , ) rg (r ) exp[- j 2pr cos( - )]d d r
0 0

{
2p

利用贝塞尔函数关系

2p
0
exp[- ja cos( - )]d 2pJ 0 (a)
0
G( ) 2p rg (r ) J 0 (2pr )dr g (r ) 2p G( ) J 0 (2pr )d
用算符表示系统
g(x, y) = ℒ{f(x, y)}
线性系统定义:
输入
f(x, y)
ℒ{
}
输出
g(x, y)
令 g1(x, y) = ℒ{f1(x, y)}， g2(x, y) = ℒ{f2(x, y)} 若对任意复常数a1， a2有： ℒ{a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } = ℒ{a1 f1 (x, y)} + ℒ{a2 f2 (x, y) } = a1 ℒ{f1 (x, y)} + a2 ℒ{f2 (x, y) } = a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y)
§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
常用傅里叶变换对
5. {d (x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}= d (fx-fa)
6.
1 {cos (2pf 0 x) [d ( f x - f 0 ) d ( f x f 0 )] 2 1 {sin(2pf 0 x) [d ( f x - f 0 ) - d ( f x f 0 )] 2j
{g(x,y)* h(x,y)}= G(fx,fy) . H(fx,fy)
空域中两个函数的乘积, 其F.T.是各自F.T.的卷积.
{g(x,y) . h(x,y)}= G(fx,fy) * H(fx,fy)
将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用. 亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积
常用傅里叶变换对
1. 2 2. {1}=d (fx,fy); {d (fx,fy)}=1 1 与d 函数互为F.T.
{comb( x) comb( f )
x 1 f ) comb( ) comb(
梳状函数的F.T.仍为梳状函数
3. 4.
{rect(x)}=sinc(f); {sinc(x)}= rect(f) rect与sinc 函数互为F.T. {Gaus(x)} = Gaus(f ) 高斯函数的F.T.仍为高斯函数
g ( ) H ( f ) exp(- j 2pf )d
-

应用位移定理
H ( f ) g ( ) exp(- j 2pf )d
-

H ( f ).G ( f )
应用F.T.定义
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
二、 极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换 特别适合于圆对称函数的F.T.
1
是圆对称函数
{circ(r )} 2p rJ 0 (2pr )dr
0
作变量替换, 令r’ =2pr, 并利用:
J
0
2p 0
x
0 ( )d
xJ1 ( x)
J1 (2p )
{circ(r )}
1 2p
2

r ' J 0 (r ' )dr'

§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
卷积定理的证明
左 exp(- j 2pfx)dx g ( )h( x - )d
- -


交换积分顺序:
g ( ) h( x - ) exp( - j 2pfx) dx d - -
2. 若已知线性系统的脉冲响应函数, 则系统 的输出为脉冲响应函数的线性组合.
§2.1 线性系统
任意复杂的输入函数可以分解为脉冲 函数的线性组合
根据d 函数的卷积性质或d 函数的筛选性质:
f ( x, y)

-
f ( ,h)d ( x - , y -h)ddh
此式的物理意义: 脉冲分解 函数 f(x, y)可以看成输入(x, y)平面上不同位置处 的许多d 函数的线性组合.每个位于(, h)的d 函 数的权重因子是 f (, h).
若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压, 则∫| g(x) |2dx 代表信号的总能量(或总功率) Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给 出.或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒 | G(f) |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔 的能量或功率)
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
g(x) g(ax) a=2
1
x -1/2 0 1/2
空域压缩
1
x -1/4 0 1/4
F.T. 频域扩展 F.T.
G(f) 1 1/2
f 1 G( x ) a a
-1
0
1
f
-2
0
2
f
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
3. 位移定理 Shifting
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
f 2 f 2 x y f x cos 频域 -1 f y tan ( f ) f y sin x
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
极坐标下的二维傅里叶变换
则在极坐标中:
F ( cos , sin ) d f (r cos , r sin ) exp[- j 2pr cos( - )]rdr
空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数 振幅分布不变,但位相随频率线性改变.
{g(x-a, y-b)}= G(fx, fy) exp[-j2p(fxa+fyb)]
频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.
{g(x,y) exp[j2p(fax+fby)]}= G(fx- fa, fy- fb) 推论: 由 {1}= d (fx,fy) {exp[j2p(fax+fby)]}= d (fx- fa, fy- fb)
系统对某个输入的响应不会因为其它输入的存 在而改变
系统的响应性质不会因为输入幅度的增大而改变
利用线性系统的叠加性质，可以把复杂的 输入函数分解为简单的 “基元”函数的 线性组合，则输出就是这些“基元”函 数响应的线性组合。
光学系统可看成二维线性系统
常用 “基元”函数有d 函数、复指数函数等等。
§2.1 线性系统
F.T.是线性变换
2. 空间缩放 Scaling (相似性定理）
1 fx f y {g (ax, by) G , ab a b
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理 空间缩放
注意空域坐标(x,y)的扩展,导致频域中坐标(fx,fy)的 压缩及频谱幅度的变化. 反之亦然.
依F.T.定义:
F ( f x , f y ) f ( x, y) exp[- j 2p ( f x x f y y)dxdy
-

极 坐 标 变 换
2 2 r x y x r cos 空域 -1 y tan ( x ) y r sin
叠 加 积 分
0
圆对称函数的F.T. 仍是圆对称函数, 称为F-B (傅-贝)变 换,记为
-1{G()}
G() =
{g(r)}, g(r) =
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 , 定义: circ(r ) 0, 其它 r x2 y 2
{tri(x)} = sinc2(f )
利用欧拉 公式和 5 的结果
7. 8.
{circ(r )}
1 2p
2

2p
0
r ' J 0 (r ' )dr'
J1 (2p )

第2章 二维线性系统
Analysis of 2-Dimensional Linear Systems §2.1 线性系统 1、线性系统的定义
g (r , ) d G( , ) exp[ j 2pr cos( - )]d
0 0
2p

§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
当 f 具有圆对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)= g(r,) = g (r). 依F.T.定义:
复习
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
四、 F.T.定理 -- F.T.的基本性质
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy), h(x,y)
1. 线性定理 Linearity
F.T.
H(fx,fy),
{ag(x,y)+b h(x,y)}=a G(fx,fy) + b H(fx,fy)
复指函数的F.T.是移位的d 函数
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
-
4. 帕色伐(Parseval)定理
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
g ( x, y )
2
dxdy
-
G( f x , f y )
2
df x df y
四、 F.T.定理 -- Parseval定理的证明


-
g ( x) dx g ( x) g * ( x)dx
2 -

G ( f ) exp( j 2pfx)df G * ( f ' ) exp(- j 2pf ' x)df ' dx - - -
0 0 2p
令:
G( , ) F ( cos , sin ) g (r , ) f (r cos , r sin )
G( , ) d rg (r , ) exp[- j 2pr cos( - )]dr
0 0 2p
则极坐标下的的二维傅里叶变换定义为：
则称该系统为线性系统。
§2.1
输入
线性系统
}
输出
线性系统具有叠加性质
f1(x, y)
输入
ℒ{ ℒ{
g1(x, y)
输出
f2(x, y)
}
g2(x, y)
输入
ℒ{
}
输出
线性系统对几个激励的线性组合的整体响应等于 单个激励所产生的响应的线性组合。
§2.1 线性系统
线性系统具有叠加性质 线性系统对各个输入的响应是互相独立的。
2、脉冲响应和叠加积分
系统对输入脉冲函数的输出称为脉冲响应
系统对处于原点的脉冲函数的响应：
h(x, y) = ℒ {d(x, y)}
系统对输入平面上坐标为(,h)处的脉冲函数的响应：
h(x, y; ,h) = ℒ {d (x-, y- h)}
在线性系统中引入脉冲响应的意义: 1. 任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函 数的线性组合;
交换积分顺序,先对x求积分:


wk.baidu.com

- -

G( f )G * ( f ' )dfdf ' exp[ j 2p ( f - f ' ) x]dx
-

利用复指函数的F.T.
G( f )G * ( f ' )d ( f '- f )dfdf ' - -
- -