第二章线性不变系统解析
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信号与系统课件：第二章 LTI系统
第2章 线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2
第二章 线性系统分析
2-1
线性系统
一、定义 1）线性系统：若一个系统同时具有叠加性和均匀性，
S a1 f1 x1 , y1 a2 f 2 x1 , y1 a1S f1 x1,y1 a2 S f 2 x1,y1 a1 g1 x2 ,y2 a2 g 2 x2 ,y2
(二)光在自由空间的传播
f x1 , y1
输入,如图像
光学系统
S{ }
g x2 , y2
输出，如图像、频谱
（如成像、FT等）
g x2 , y2 S f x1 , y1
严格讲，光学系统是非线性的，但大多数光学系统,可 近似作为线性系统来处理，得到与实际相符的结果。 线性系统可用FT、卷积运算来描述。
则称该系统是线性系统。 2）叠加性： 若 g1 x2 , y2 S f1 x1 , y1 g2 x2 , y2 S f 2 x1 , y1
S f1 x1 , y1 f 2 x1 , y1 S f1 x1 , y1 S f 2 x1 , y1 g1 x2 , y2 g 2 x2 , y2
三、线性平移不变系统的传递函数
线性平移不变系统的空域描述：
g x, y f x, y hx, y
由FT的卷积定理：可得：线性平移不变系统的 频域描述为
Gu, v F u, v H u, v
其中：G(u,v)、F(u,v)和H(u,v)分别是g(x,y)、f(x,y) 和h(x,y)的频谱. 该式在频域中描述线性平移不变系统的性质、作用。
H(u,v) 称为线性平移不变系统的传递函数。一般是
H u, v Au, vexp j u, v
其模A(u,v)的作用是改变输入信号各频率基元成分的模 其辐角(u,v)的作用是改变这些频率基元成分的初相位
第二章 线性不变系统.
§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
常用傅里叶变换对
5. {d (x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}= d (fx-fa)
6.
1 {cos (2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2 1 {sin(2pf 0 x) [d ( f x f 0 ) d ( f x f 0 )] 2j
0
圆对称函数的F.T. 仍是圆对称函数, 称为F-B (傅-贝)变 换,记为
-1{G()}
G() =
{g(r)}, g(r) =
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 , 定义: circ(r ) 0, 其它 r x2 y 2
1
是圆对称函数
{circ(r )} 2p rJ 0 (2pr )dr
0
作变量替换, 令r’ =2pr, 并利用:
J
0
2p 0
x
0 ( )d
xJ1 ( x)
J1 (2p )
{circ(r )}
1 2p
2
r ' J 0 (r ' )dr'
§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
用算符表示系统
g(x, y) = ℒ{f(x, y)}
线性系统定义:
输入
f(x, y)
ℒ{
}
输出
g(x, y)
令 g1(x, y) = ℒ{f1(x, y)}， g2(x, y) = ℒ{f2(x, y)} 若对任意复常数a1， a2有： ℒ{a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } = ℒ{a1 f1 (x, y)} + ℒ{a2 f2 (x, y) } = a1 ℒ{f1 (x, y)} + a2 ℒ{f2 (x, y) } = a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y)
第二章 线性系统分析
b0 y x sx a0
也就是说，理想的线性时不变系统 , 其输出 是输入的单调、线性比例函数。在这种关系上所 确定的测试系统的传输特性称为静态特性。
定度曲线：表示静态特性方程的图形称为测试系统 的定度曲线（特性曲线、校准曲线、标定曲线、定 标曲线）。 定度曲线是以输入x作为自变量，对应输出y作为因 变量，在直角坐标系中绘出的图形。
第二章 线性系统分析
测试系统与线性系统 线性系统分析基础 测试系统的传输特性 系统的噪声干扰与抑制
一、测试系统与线性系统
测试系统是指由传感器、信号调理电路、 信号处理电路、记录显示设备组成并具有获取 某种信息之功能的整体。
对象 传感器 变换装置
记录 显示 装置 处理 装置
测试系统基本要求 测试系统的输出信号能够真实地反映被测物理量 (输入信号)的变化过程，不使信号发生畸变，即 实现不失真测试。
系统分析的三类问题： 1)当输入、输出是可测量的(已知)，则可推断系统的传输特性。 (系统辨识) 2)当系统特性已知，输出可测量，则可推断导致该输出的输 入量。(反求) 3)如果输入和系统特性已知，则可以推断和估计系统的输出 量。(预测)
2、系统特性的描述： 系统特性的描述通常可用下列微分方程表达：
测量系统的静态特性有灵敏度、非线性度和回程误差。
1、灵敏度
若系统的输入x有一增量△x，引起输出y发生相 应变化△y时，则定义灵敏度S为: S=△y/△x
当系统的输出和输入具 有同一量纲时，则灵敏 度是一个无量纲的数。 常用“增益”或“放大 倍数”来替代灵敏度。
线性系统的灵敏度为常数，特性曲线是一条直线。 非线性系统的特性曲线是一条曲线，其灵敏度随 输入量的变化而变化。通常用一条参考直线代替 实际特性曲线（拟合直线），拟合直线的斜率作 b0 y 为测试系统的平均灵敏度。 s a0 x 灵敏度反映了测试系统对输入量变化反应的能力， 灵敏度愈高，测量范围往往愈小，稳定性愈差。 （合理选取） 当测试系统由多个相互独立的环节构成时，其总 灵敏度等于各环节灵敏度的乘积。 S=S1×S2×S3
也就是说，理想的线性时不变系统 , 其输出 是输入的单调、线性比例函数。在这种关系上所 确定的测试系统的传输特性称为静态特性。
定度曲线：表示静态特性方程的图形称为测试系统 的定度曲线（特性曲线、校准曲线、标定曲线、定 标曲线）。 定度曲线是以输入x作为自变量，对应输出y作为因 变量，在直角坐标系中绘出的图形。
第二章 线性系统分析
测试系统与线性系统 线性系统分析基础 测试系统的传输特性 系统的噪声干扰与抑制
一、测试系统与线性系统
测试系统是指由传感器、信号调理电路、 信号处理电路、记录显示设备组成并具有获取 某种信息之功能的整体。
对象 传感器 变换装置
记录 显示 装置 处理 装置
测试系统基本要求 测试系统的输出信号能够真实地反映被测物理量 (输入信号)的变化过程，不使信号发生畸变，即 实现不失真测试。
系统分析的三类问题： 1)当输入、输出是可测量的(已知)，则可推断系统的传输特性。 (系统辨识) 2)当系统特性已知，输出可测量，则可推断导致该输出的输 入量。(反求) 3)如果输入和系统特性已知，则可以推断和估计系统的输出 量。(预测)
2、系统特性的描述： 系统特性的描述通常可用下列微分方程表达：
测量系统的静态特性有灵敏度、非线性度和回程误差。
1、灵敏度
若系统的输入x有一增量△x，引起输出y发生相 应变化△y时，则定义灵敏度S为: S=△y/△x
当系统的输出和输入具 有同一量纲时，则灵敏 度是一个无量纲的数。 常用“增益”或“放大 倍数”来替代灵敏度。
线性系统的灵敏度为常数，特性曲线是一条直线。 非线性系统的特性曲线是一条曲线，其灵敏度随 输入量的变化而变化。通常用一条参考直线代替 实际特性曲线（拟合直线），拟合直线的斜率作 b0 y 为测试系统的平均灵敏度。 s a0 x 灵敏度反映了测试系统对输入量变化反应的能力， 灵敏度愈高，测量范围往往愈小，稳定性愈差。 （合理选取） 当测试系统由多个相互独立的环节构成时，其总 灵敏度等于各环节灵敏度的乘积。 S=S1×S2×S3
线性系统理论课件02-第二章状态空间描述-2.1系统的状态空间描述2.2系统的状态空间表达式的分类
上式即为图2-1所示电路的状态方程，并将其写成 向量-矩阵形式，即
du c (t ) dt 0 di(t ) 1 dt L 1 0 u ( t ) c C 1 u (t ) R i(t ) L L
(3)状态向量 设x1(t),x2(t),…,xn(t)是系统的一组状态变量，把这 些状态变量看作向量x(t)的分量，则x(t)就称为状态 向量，记为
x1 (t ) x (t ) x n (t )
(4)状态空间 以x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴构成的一个n维欧氏空 间，称为状态空间。
(5)状态方程 描述系统状态变量间或状态变量与系统输入变量 间关系的一个一阶微分方程组(连续系统)或一阶 差分方程组（离散系统），称为状态方程。
Ax Bu x
x(k 1) Gx(k ) Hu (k )
【例2-2】建立图2－1所示RLC电路的状态方程。 取电容上的电压uC (t)和电感中的电流i(t)作为状态 变量，根据电路原理有
不表征系统的内部结构和内部变量，只反映外部 变量间的因果关系，即输出和输入间的因果关系。
例：线性定常、单输入—单输出系统，外部描述为线 性常系数微分方程
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bn1u (n1) b1u (1) b0u
并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立 变量
假定电容器初始电压值均为0，有
c3 x2 x1 c 2 c3
因此，只有一个变量是独立的，状态变量只能选其 中一个，即用其中的任意一个变量作为状态变量便可以 确定该电路的行为。实际上，三个串并联的电容可以等 效为一个电容。
包装测试第二章 线性时不变系统
三. 卷积积分的计算 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、 解析法和数值解法。 解析法和数值解法。 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中， 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中， 一个不动， 移动。 一个不动，另一个反转后随参变量 t 移动。对每一 的值， 对应相乘， 个 t 的值，将 x(τ ) 和 h(t − τ ) 对应相乘，再计算相 乘后曲线所包围的面积。 乘后曲线所包围的面积。 通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有 用的。 用的。
三. 卷积和的计算 计算方法： 有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。 有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。 运算过程： 将一个信号 x( k ) 不动，另一个信号经反转后成 移位。 为h(− k ) ,再随参变量 n 移位。在每个n 值的情况 对应点相乘， 下，将 x( k ) 与 h(n − k ) 对应点相乘，再把乘积的 各点值累加，即得到 n 时刻的 y ( n) 。 例1： x(n) = α n u (n) 0 < α < 1 ：
α n − 4 − α n +1 = 1−α
④ 6 ≤ n ≤ 10 时， y (n) = ⑤ n > 10
k =n −6
∑
4
α n−k
α n−4 − α 7 = 1−α
时， y ( n ) = 0
通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示， 通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对 于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是 很有用的。 很有用的。 例3. 列表法 分析卷积和的过程，可以发现有如下特点： 分析卷积和的过程，可以发现有如下特点： 所有各点都要遍乘一次； ① x ( n) 与 h( n) 的所有各点都要遍乘一次； 在遍乘后，各点相加时， ② 在遍乘后，各点相加时，根据 的特点。 和为 n 的特点。 参与相加的各点都具有 x( k ) 与 h( n − k ) 的宗量之
第二章 线性时不变系统的时域分析
基本内容： 基本内容： （1） 系统的定义及表示 ） （2） ） 系统的基本性质 （3） ） 线性时不变系统的时域描述 （4） ） 零输入响应和零状态响应 （5） ） 单位冲激响应
重点难点： 重点难点： 零状态响应的求解方法 响应的求解方法； （1） ） 零状态响应的求解方法； 冲激响应的求解方法； （2） ） 冲激响应的求解方法；
4.稳定性 稳定性
有界输入产生有界输出，则这个系统就 是稳定系统。 所谓有界，即输入或输出的最大幅值是 一个有限值。 例系统 y[n]=nx[n] 就是一个不稳定系统， 因为，当输入 x[n] 是有界时，系统的输 出却有界，它将随着 n 值的增加而增加， 直至无穷。
三、线性时不变系统的时域描述
线性时不变系统也简称为LTI系统，其 系统， 线性时不变系统也简称为 系统 分析方法建立在信号分解的基础之上。 分析方法建立在信号分解的基础之上。 线性时不变系统具有的线性和时不变性， 线性时不变系统具有的线性和时不变性， 其响应必然是系统对这些基本信号响应 的组合。 的组合。 连续时间LTI系统用微分方程描述； 系统用微分方程描述； 连续时间 系统用微分方程描述 离散时间LTI系统用差分方程描述。 系统用差分方程描述。 离散时间 系统用差分方程描述
这个常系数线性微分方程， 这个常系数线性微分方程，其完全解由 齐次解和特解两部分组成 。 齐次解是微分方程在输入为0时的齐次 齐次解是微分方程在输入为 时的齐次 方程的解（ 方程的解（式2.111） ） 而特解则是在输入的作用下满足微分方 程式(2.109) 的解。 的解。 程式
对于式(2.109)的微分方程，相应的齐次 方程为
如果系统的起始状态y(0－)≠0，则系统的 输出 y(t) 和系统的输入 x(t) 之间就不满 足线性和时不变性。然而，只要 y(0－)=0， y(t) 和 x(t) 之间就能够满足 线性和时不变的关系。
第二章 线性不变系统.
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理 空间缩放
注意空域坐标(x,y)的扩展,导致频域中坐标(fx,fy)的 压缩及频谱幅度的变化. 反之亦然.
g(x) g(ax) a=2
1
x 1/2 0 1/2
空域压缩
1
x 1/4 0 1/4
F.T. 频域扩展 F.T.
2. 若已知线性系统的脉冲响应函数, 则系统 的输出为脉冲响应函数的线性组合.
§2.1 线性系统
任意复杂的输入函数可以分解为脉冲 函数的线性组合
根据d 函数的卷积性质或d 函数的筛选性质:
f ( x, y)
f ( ,h)d ( x , y h)ddh
此式的物理意义: 脉冲分解 函数 f(x, y)可以看成输入(x, y)平面上不同位置处 的许多d 函数的线性组合.每个位于( h)的d 函 数的权重因子是 f ( h).
利用d 函数的筛选性质
2
G( f )G * ( f )df G ( f ) df
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
设 g(x,y)
F.T.
5. 卷积定理
G(fx,fy),
h(x,y)
F.T.
H(fx,fy),
空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积.
{g(x,y)* h(x,y)}= G(fx,fy) . H(fx,fy)
空域中两个函数的乘积, 其F.T.是各自F.T.的卷积.
{g(x,y) . h(x,y)}= G(fx,fy) * H(fx,fy)
将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用. 亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积
第二章 线性时不变系统
利用多项式算法求卷积和的逆运算 已知 y[n] h[n] x[n] 已知 y[n] x[n] h[n]
9
例5 y[n] 6,5,24,13,22,10,n 0,1,2,3,4,5 h[n] 3,1,4,2 n 0,1,2,3
y[n] x[n]h[n] 求 x[n]
2 t 5t2 x(t)
x[n] x[k] [n k] 离散的信号分解成脉冲
k
信号的 线性组合的形式
把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列 [n k]
的线性组合，而这个线性组合式中的权因子就是 x[k]
4
二. 离散时间线性时不变系统卷积和表示
[n] h[n]
[n k] h[n k]
时不变
x[k] [n k] x[k]h[n k] 齐次性
11
二. 连续时间线性时不变系统的卷积积分表示
(t) h (t)
(t k)
x(k) (t k)
x(k) (t k)
k
h (t k)
时不变
x(k
)h
(t
k
)
齐次性
x(k)h (t k) 可加性
k
xˆ(t)
yˆ (t )
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t)
12
卷积的计算
（1）由定义计算卷积积分
例：设某一线性时不变系统的输入为x(t)，其单位冲
激响应为h(t) x(t) eatu(t) , a 0 h(t) u(t)
试求 x(t) h(t)
x(t) h(t) ea u( )u(t )d
t ea d ,
0
t0
0,
t0
1 1 eat u(t) a
1
9
例5 y[n] 6,5,24,13,22,10,n 0,1,2,3,4,5 h[n] 3,1,4,2 n 0,1,2,3
y[n] x[n]h[n] 求 x[n]
2 t 5t2 x(t)
x[n] x[k] [n k] 离散的信号分解成脉冲
k
信号的 线性组合的形式
把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列 [n k]
的线性组合，而这个线性组合式中的权因子就是 x[k]
4
二. 离散时间线性时不变系统卷积和表示
[n] h[n]
[n k] h[n k]
时不变
x[k] [n k] x[k]h[n k] 齐次性
11
二. 连续时间线性时不变系统的卷积积分表示
(t) h (t)
(t k)
x(k) (t k)
x(k) (t k)
k
h (t k)
时不变
x(k
)h
(t
k
)
齐次性
x(k)h (t k) 可加性
k
xˆ(t)
yˆ (t )
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t)
12
卷积的计算
（1）由定义计算卷积积分
例：设某一线性时不变系统的输入为x(t)，其单位冲
激响应为h(t) x(t) eatu(t) , a 0 h(t) u(t)
试求 x(t) h(t)
x(t) h(t) ea u( )u(t )d
t ea d ,
0
t0
0,
t0
1 1 eat u(t) a
1
傅立叶光学
用算符表示系统
Linear Systems
1．线性系统 3）线性系统的定义 g(x, y) = {f(x, y)}
定义: 如果 g1(x, y) = 输入
f(x, y)
{
}
输出
g(x, y)
{f1(x, y)}， g2(x, y) =
{f2(x, y)}
若对任意复常数a1， a2有： {a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } =
2.2 线性不变系统
输入输出关系: 空域
Linear Shift-Invariant System
2．二维线性空不变系统 2-D Linear Space Invariant Systems
+∞
∵ f ( x, y ) = f ( x, y ) ∗ δ ( x, y ) = ∫
∴ g (x, y) =
逆傅立叶变换的物理意义：物函数f(x,y)可看作是无数振幅不同 ( F ( f x , f y )df x df y） 方向不同（ cosα＝λfx cosβ＝ λ fy ）的平面波线性叠加的结果。 这种方法通常称为傅立叶分解
1.线性系统
2.1 线性系统 Linear Systems
4)线性系统的分析与综合：
g(x, y) =
=
叠加积分
{f(x, y)}
+∞
∫∫ ∫∫
f (ξ ,η )
{ δ ( x − ξ , y − η ) }d ξ d η
−∞ +∞
=
f (ξ ,η ) h ( x , y ; ξ ,η ) d ξ dη
−∞
只要知道各个脉冲响应函数(点扩散函数), 系统 的输出即为脉冲响应函数的线性组合. 问题是如 何求对任意点的脉冲δ (x-ξ, y- η)的响应h(x, y;Linear Space Invariant Systems
Linear Systems
1．线性系统 3）线性系统的定义 g(x, y) = {f(x, y)}
定义: 如果 g1(x, y) = 输入
f(x, y)
{
}
输出
g(x, y)
{f1(x, y)}， g2(x, y) =
{f2(x, y)}
若对任意复常数a1， a2有： {a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } =
2.2 线性不变系统
输入输出关系: 空域
Linear Shift-Invariant System
2．二维线性空不变系统 2-D Linear Space Invariant Systems
+∞
∵ f ( x, y ) = f ( x, y ) ∗ δ ( x, y ) = ∫
∴ g (x, y) =
逆傅立叶变换的物理意义：物函数f(x,y)可看作是无数振幅不同 ( F ( f x , f y )df x df y） 方向不同（ cosα＝λfx cosβ＝ λ fy ）的平面波线性叠加的结果。 这种方法通常称为傅立叶分解
1.线性系统
2.1 线性系统 Linear Systems
4)线性系统的分析与综合：
g(x, y) =
=
叠加积分
{f(x, y)}
+∞
∫∫ ∫∫
f (ξ ,η )
{ δ ( x − ξ , y − η ) }d ξ d η
−∞ +∞
=
f (ξ ,η ) h ( x , y ; ξ ,η ) d ξ dη
−∞
只要知道各个脉冲响应函数(点扩散函数), 系统 的输出即为脉冲响应函数的线性组合. 问题是如 何求对任意点的脉冲δ (x-ξ, y- η)的响应h(x, y;Linear Space Invariant Systems
信号与系统王明泉第二章习题解答
（1）零输入响应 满足方程
其 值
方程特征根 ， ，故零输入响应
将初始值代入上式及其导数，得
由上式解得 ， ，所以
（2）零状态响应 是初始状态为零，且 时，原微分方程的解，即 满足方程
即
及初始状态 。先求 和 ，由于上式等号右端含有 ，令
积分(从 到 )得
将 、 和 代入微分方程可求得 。对以上三式等号两端从 到 积分，并考虑到 ， ，可求得
解：（1）求齐次解
特征方程为：
特征根为：
所以，
（2）求特解
（3）全响应
将 代入系统方程得
（1）
将初始条件代入
得：
所以全响应为：
2.5 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程为
，
当激励为 时，系统的完全响应为 ， 。试求其零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应。
解：由全响应得初始条件 ，
（1）求零输入响应
在时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。
因果系统的冲激响应为
（2）阶跃响应
一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用 表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数 时，系统的零状态响应
阶跃响应 与冲激响应 之间的关系为
或
2.2.6卷积积分
（1）卷积积分的概念
一般情况下，如有两个信号 和 做运算
此运算定义为 和 的卷积(Convolution)，简记为
或
（2）卷积积分的图解法
用图解法能直观地说明卷积积分的计算过程，而且便于理解卷积的概念。两个信号 和 的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：
第一步，画出 和 波形，将波形图中的 轴改换成 轴，分别得到 和 的波形。
其 值
方程特征根 ， ，故零输入响应
将初始值代入上式及其导数，得
由上式解得 ， ，所以
（2）零状态响应 是初始状态为零，且 时，原微分方程的解，即 满足方程
即
及初始状态 。先求 和 ，由于上式等号右端含有 ，令
积分(从 到 )得
将 、 和 代入微分方程可求得 。对以上三式等号两端从 到 积分，并考虑到 ， ，可求得
解：（1）求齐次解
特征方程为：
特征根为：
所以，
（2）求特解
（3）全响应
将 代入系统方程得
（1）
将初始条件代入
得：
所以全响应为：
2.5 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程为
，
当激励为 时，系统的完全响应为 ， 。试求其零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应。
解：由全响应得初始条件 ，
（1）求零输入响应
在时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。
因果系统的冲激响应为
（2）阶跃响应
一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用 表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数 时，系统的零状态响应
阶跃响应 与冲激响应 之间的关系为
或
2.2.6卷积积分
（1）卷积积分的概念
一般情况下，如有两个信号 和 做运算
此运算定义为 和 的卷积(Convolution)，简记为
或
（2）卷积积分的图解法
用图解法能直观地说明卷积积分的计算过程，而且便于理解卷积的概念。两个信号 和 的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：
第一步，画出 和 波形，将波形图中的 轴改换成 轴，分别得到 和 的波形。
线性时不变系统--习题
dt
dt
dt
et t et t
t t t
t
方法二没有注意利用冲激函数的性质，求解过
程较繁。另外，对冲激偶信号的性质
f t t f 0 t f 0 t
往往被错误写成
f t t f 0 t
从而得出错误结论。
(2) f t t e3 δτ d τ
1 O t 3 1
t
t 3 1
t
3
1
即2 t 4
g(t) 1 1(t )d t 2 t 2
t3 2
42
T4
1 f1
f2 t
t
1 O
1 t3
t-31
即t 4
gt 0
卷积结果
f1t
1
1 O 1 t
f2 t
3
2
O
3t
t2 t 1
g(t
)
4 t
t
2
2
4
x(t t0 ) h(t) x(t) h(t t0 ) y(t t0 )
例1 粗略绘出下列各函数式的波形图
(1) f1t u t2 1
(2)
f2 t
d dt
et cos tut
描绘信号波形是本课程的一项基本训练，在绘 图时应注意信号的基本特征，对所绘出的波形，应标 出信号的初值、终值及一些关键的值，如极大值和极 小值等，同时应注意阶跃、冲激信号的特点。
设x3(t) ax1 t bx2 t x3 t y3 t x32 t ax1 t bx2 t 2 a2 x12 t b2 x22 t 2abx1 t x2 t
a2 y1 t b2 y2 t 2abx1 t x2 t ay1 t by2 t
信号与系统概论PPT第二章线性时不变系统的时域分析2
卷积重要性质： 1) 信号与延迟冲激信号的卷积等于延迟信号
f t* t t0 f t t0
2) 信号与阶跃信号的卷积等于信号积分
f t*ut t0 f t* 1t t0 f t* t t0 1 f 1 t t0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
卷积重要性质： 3) 信号与冲激偶的卷积等于信号微分
t
2
t
2
*
r
t
2
r
t
2
r t r t r t r t
r t 2r t r t
f(t)
f(t)
1
1
=
0 t 22
(a)
0 t 22
(b)
f΄(t)
f (-1)(t)
1
2 0 2
τ
t
0
22
=
t
(c)
(d)
f(t)f(t) τ
-τ 0 τ t 22
m
f1 m f2 n m mMaxn,0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
重要结论：信号与冲激信号（脉冲信号） 的卷积（卷积和），其结果就是对该信号 进行移位，位移量取决于冲激（脉冲）信 号出现的位置。该结论也可视作信号通过 移位系统得到的零状态响应。
f
t*δt
t0
f
t
δ
t0 d
f
t
注意此处的 处理方式
ut 1 t1e d ut 1 t1e d
0
0
1
1
e t 1
u t Hale Waihona Puke 1 et1u t 1
例2-8：计算 cost* t 1 t 1
解：
M
M
f t* wi t ti wi f t ti
f t* t t0 f t t0
2) 信号与阶跃信号的卷积等于信号积分
f t*ut t0 f t* 1t t0 f t* t t0 1 f 1 t t0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
卷积重要性质： 3) 信号与冲激偶的卷积等于信号微分
t
2
t
2
*
r
t
2
r
t
2
r t r t r t r t
r t 2r t r t
f(t)
f(t)
1
1
=
0 t 22
(a)
0 t 22
(b)
f΄(t)
f (-1)(t)
1
2 0 2
τ
t
0
22
=
t
(c)
(d)
f(t)f(t) τ
-τ 0 τ t 22
m
f1 m f2 n m mMaxn,0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
重要结论：信号与冲激信号（脉冲信号） 的卷积（卷积和），其结果就是对该信号 进行移位，位移量取决于冲激（脉冲）信 号出现的位置。该结论也可视作信号通过 移位系统得到的零状态响应。
f
t*δt
t0
f
t
δ
t0 d
f
t
注意此处的 处理方式
ut 1 t1e d ut 1 t1e d
0
0
1
1
e t 1
u t Hale Waihona Puke 1 et1u t 1
例2-8：计算 cost* t 1 t 1
解：
M
M
f t* wi t ti wi f t ti
第二章线性时不变系统(LTI)(1)
，其中 H ( z ) =
∞
z
n
称为特征函数
k = −∞
h[k ]z − k ∑
37
∞
2011-3-28
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
x(n ) = ∑ ak zk
k
n
n y (n ) = ∑ ak H (z k )z k
离散时间LTI 离散时间
k
H (zk ) =
k = −∞
∑ h[k ]zk
y[n]
x(t )
2011-3-28
h(t)
LTI
y (t )
x(t )
x(t)
LTI
y (t )
22
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
2011-3-28
23
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
2011-3-28
24
非线性系统
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
注意： 注意： 对非LTI系统输出与级联次序有关 对非 系统输出与级联次序有关
方程改写为： 方程改写为：
1 1 1 1 + a1 + a2 2 y[n] = b0 + b1 x[n] E E E
2011-3-28
45
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
1 1 y[n] = x[n] 1 + a1 + a2 2 1 E E b0 + b1 E
2011-3-28 2
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
2.1 连续时间 系统 卷积积分 连续时间LTI系统 系统:卷积积分
2011-3-28
∞
z
n
称为特征函数
k = −∞
h[k ]z − k ∑
37
∞
2011-3-28
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
x(n ) = ∑ ak zk
k
n
n y (n ) = ∑ ak H (z k )z k
离散时间LTI 离散时间
k
H (zk ) =
k = −∞
∑ h[k ]zk
y[n]
x(t )
2011-3-28
h(t)
LTI
y (t )
x(t )
x(t)
LTI
y (t )
22
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
2011-3-28
23
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
2011-3-28
24
非线性系统
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
注意： 注意： 对非LTI系统输出与级联次序有关 对非 系统输出与级联次序有关
方程改写为： 方程改写为：
1 1 1 1 + a1 + a2 2 y[n] = b0 + b1 x[n] E E E
2011-3-28
45
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
1 1 y[n] = x[n] 1 + a1 + a2 2 1 E E b0 + b1 E
2011-3-28 2
信号与系统－第二章 线性时不变系统LTI）
2.1 连续时间 系统 卷积积分 连续时间LTI系统 系统:卷积积分
2011-3-28
第二章线性时不变系统
引 言
2.0
分析LTI系统时，问题的实质是什么？
1）研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任意 信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线性组合来 构成任意信号； 引 言 2.0 3 2）研究如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。
基本单元的信号应满足以下要求是什么？
1）尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示尽可能 广泛的其他信号； 2）LTI系统对这种信号的响应易于求的。
h( )
2T
1 x(t )
0
2T
t T
0
t
① 当
t0
时，
y (t ) 0
② 当 0 t T 时，
③ 当 T t 2T时，
连 续 时 间 系 统 ： 卷 积 积 分 19 LTI
④ 当 2T t 3T时，
⑤ 当 t 3T 时，
1 2 y(t ) d t 0 2 t 1 2 y(t ) d Tt T t T 2 2T 1 2 y(t ) d 2T (t T ) 2 t T 2 y (t ) 0
对应点相乘，再把乘积的各点值累加，得到 n 时刻的 y n
x n nu n 例1 已知 h n u n
0 1 ，求LTI系统对输
入信号的响应 y n 。
解：采用图解法
y n
k
x k h n k
上式表明： LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应 h(t )来表征。这种求得系统响 应的运算关系称为卷积积分（The convolution integral）。
三．卷积积分的计算（分5步移动法） 卷积积分与卷积和类似，求解的方法有图解法、解析法 和数值解法。
第2章__线性时不变系统
dg (t ) h(t ) dt
g (t ) u(t ) h(t ) h()d
求系统零状态响应举例：如图所示系统， hD (t ) (t 1 ) hG (t ) u(t ) u(t 3) ， ，输入 x(t ) u(t ) u (t 1)，求零状态响应y（t）
k
h[k ]x[n k ]
2、分配律
x[n] (h1[n] h2 [n]) x[n] h1[n] x[n] h2 [n]
x(t ) (h1 (t ) h2 (t )) x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t )
物理意义： （1）LTI系统对两个输入的和的响应等于对 单个输入响应的和
y[n]
k
x[k ]h [n]
k
• 若该线性系统又是时不变的 ，则有
hk [n] h[n k ]
其中h[n]是系统输入为δ[n]时的零状态响应, 称为单位脉冲(样本)(序列)响应 y[n] x[k ]h[n k ] 所以对LTI系统,有 ： k 对照卷积的定义，有： y[n] x[n] h[n] 称为卷积和
通信中的编码器都是可逆的 例： y(t ) 2 x(t ) w(t ) 1 y(t )
2
y[n]
k
x[k ]
n
w[n] y[n] y[n 1]
不可逆：
y[n] c
y(t ) x (t )
2
2.2.3 因果性
因果系统 ：系统在任何时刻的输出只决定于现在 的输入以及过去的输入
y (t )
因此当 h(t ) dt 时，输出为有界-充分性 亦可证必要性 h(t ) dt 连续时间LTI系统的稳定性 离散时间LTI系统的稳定性 h[n]
g (t ) u(t ) h(t ) h()d
求系统零状态响应举例：如图所示系统， hD (t ) (t 1 ) hG (t ) u(t ) u(t 3) ， ，输入 x(t ) u(t ) u (t 1)，求零状态响应y（t）
k
h[k ]x[n k ]
2、分配律
x[n] (h1[n] h2 [n]) x[n] h1[n] x[n] h2 [n]
x(t ) (h1 (t ) h2 (t )) x(t ) h1 (t ) x(t ) h2 (t )
物理意义： （1）LTI系统对两个输入的和的响应等于对 单个输入响应的和
y[n]
k
x[k ]h [n]
k
• 若该线性系统又是时不变的 ，则有
hk [n] h[n k ]
其中h[n]是系统输入为δ[n]时的零状态响应, 称为单位脉冲(样本)(序列)响应 y[n] x[k ]h[n k ] 所以对LTI系统,有 ： k 对照卷积的定义，有： y[n] x[n] h[n] 称为卷积和
通信中的编码器都是可逆的 例： y(t ) 2 x(t ) w(t ) 1 y(t )
2
y[n]
k
x[k ]
n
w[n] y[n] y[n 1]
不可逆：
y[n] c
y(t ) x (t )
2
2.2.3 因果性
因果系统 ：系统在任何时刻的输出只决定于现在 的输入以及过去的输入
y (t )
因此当 h(t ) dt 时，输出为有界-充分性 亦可证必要性 h(t ) dt 连续时间LTI系统的稳定性 离散时间LTI系统的稳定性 h[n]
信号与系统-第二章线性时不变系统
n
1
k
f1 (k )
f2 (0
k)
3,
k
f1 (k )
f2 (1 k)
3,
n0 n 1
k
f1 (k )
f2(2 k)
1,
0,
n2 n14 3
三. 卷积和的计算：(3)列表法
分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：
① x(n与) 的h(所n)有各点都要遍乘一次；
② 在遍乘后，各点相加时，根据 x(k)h(n k)， k
x (t) x(t)
20
x(t) x (t)
x(k)
t
0
k (k 1)
引用 (t，) 即：
(t)
1
/ 0
0t otherwise
则有：
(t
)
1 0
0t otherwise
21
第 个k 矩形可表示为： x(k) (t k)
这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号 x，(t)
即： x (t) x(k) (t k) k 当 时0 ， k d
un 4 ak
an3
1un 4
k 0
a 1
9
例4： x(n) nu(n) 0 1 h(n) u(n)
x(k) ku(k)
1
0
k ...
h(n k) u(n k)
1
k
0
n
y(n) x(n) h(n)
x(k)h(n k) ku(k)u(n k)
k
k
u(n) n k 1 n1 u(n)
例2 :
1 x(t) 0
h( )
2T
0t T otherwise
第二章 线性时不变系统的时域分析
几种常见的激励信号，特解的形式见表 2.1所示。
特解的求解过程一般是将表2.1中和激励
信号相对应、并具有待定系数 B 的特解 代入微分方程后求出待定系数 B，这样
也就求出了特解。
微分方程的齐次解和特解求出以后，其完全解的 形式也就确定下来了。但是，完全解中的待定系 数则需要由方程给定的初值来确定。
方程为
n
k 0
ak
d k y(t) dtk
0
n
特征方程为
a nk k
0
k 0
解此特征方程就可求得特征根。
根据特征根是单根、重根、共轭复根， 齐次解的形式也有所不同，一般有三种 情况。
⑴ 如果特征根 a1 、a2 、···an 都是单根，则 齐次解的形式为
n
Ck ekt
k 1
⑵ 如果在特征根中， 是 k 重特征根 am ， 则与 am 相对应的齐次解为:
微分方程的完全解、齐次解和特解是数 学上的名词；
在信号与系统的术语中，微分方程的解 就是系统的响应。
微分方程的完全解称为完全响应
齐次解称为自由响应（与激励信号无关）
特解称为强迫响应（和激励信号有关） 完全响应＝自由响应＋强迫响应
3.离散时间LTI系统的差分方程求解
（1）差分方程 离散系统的基本部件有移位器（也叫做延时器
线性时不变系统具有的线性和时不变性， 其响应必然是系统对这些基本信号响应 的组合。
连续时间LTI系统用微分方程描述； 离散时间LTI系统用差分方程描述。
1.连续时间LTI系统的微分方程及其求解
对连续时间LTI系统，如果 x(t) 为输入， y(t) 为输出，则描述输入和输出之间的
微分方程为：
为求得这些初值，我们将系统在激励信号加入前 瞬间的状态定义为系统的起始状态，记为 y(k)(0-)； 而将系统在激励信号加入后瞬间的状态定义为系 统的初始状态，记为y(k)(0+) ，确定系统完全响应 所需要的初值是初始状态 y(k)(0+)，（系统的初始 状态就是系统在 t=0+ 时刻的响应）。
特解的求解过程一般是将表2.1中和激励
信号相对应、并具有待定系数 B 的特解 代入微分方程后求出待定系数 B，这样
也就求出了特解。
微分方程的齐次解和特解求出以后，其完全解的 形式也就确定下来了。但是，完全解中的待定系 数则需要由方程给定的初值来确定。
方程为
n
k 0
ak
d k y(t) dtk
0
n
特征方程为
a nk k
0
k 0
解此特征方程就可求得特征根。
根据特征根是单根、重根、共轭复根， 齐次解的形式也有所不同，一般有三种 情况。
⑴ 如果特征根 a1 、a2 、···an 都是单根，则 齐次解的形式为
n
Ck ekt
k 1
⑵ 如果在特征根中， 是 k 重特征根 am ， 则与 am 相对应的齐次解为:
微分方程的完全解、齐次解和特解是数 学上的名词；
在信号与系统的术语中，微分方程的解 就是系统的响应。
微分方程的完全解称为完全响应
齐次解称为自由响应（与激励信号无关）
特解称为强迫响应（和激励信号有关） 完全响应＝自由响应＋强迫响应
3.离散时间LTI系统的差分方程求解
（1）差分方程 离散系统的基本部件有移位器（也叫做延时器
线性时不变系统具有的线性和时不变性， 其响应必然是系统对这些基本信号响应 的组合。
连续时间LTI系统用微分方程描述； 离散时间LTI系统用差分方程描述。
1.连续时间LTI系统的微分方程及其求解
对连续时间LTI系统，如果 x(t) 为输入， y(t) 为输出，则描述输入和输出之间的
微分方程为：
为求得这些初值，我们将系统在激励信号加入前 瞬间的状态定义为系统的起始状态，记为 y(k)(0-)； 而将系统在激励信号加入后瞬间的状态定义为系 统的初始状态，记为y(k)(0+) ，确定系统完全响应 所需要的初值是初始状态 y(k)(0+)，（系统的初始 状态就是系统在 t=0+ 时刻的响应）。
第二章 线性时不变系统
1
hh[nn − k ) = α ( −k]
n−k
k
0
k
n−6
0
4
n
13
x[n]
h[n]
h[n-k]0 1 2 3 4
1.
0 123456
n<0
0≤n≤4
y[n] = 0
y[n] = ∑ a n − k
k =0 n
n-6 n n-6 n
0
2.
3. n > 4
n−6 < 0 y[n] = ∑ a n − k
( ] h[n)
( ] 因此，只要得到了LTI LTI系统对 因此，只要得到了LTI系统对 δ [n)
的响应
单位脉冲响应(impulse response)， 单位脉冲响应(impulse response)，
就可以得到LTI系统对任何输入信号 就可以得到LTI系统对任何输入信号 LTI 响应： 响应：
−∞ 0
宽度的区段， 对一般信号 x (t ) ，可以分成很多 ∆ 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x ∆ (t ) 近似表示 x (t ) .当 ∆ → 0 时，
x∆ (t ) → x(t )
17
于是： 于是：
x(t) = ∫ x(τ )δ (t −τ )dτ
−∞
∞
表明： 任何连续时间信号 x(t ) 都可以被分解为移位 表明： 加权的单位冲激信号的线性组合。 加权的单位冲激信号的线性组合。
y[n] =
若系统具有时不变性， 若系统具有时不变性，即：
k = −∞
∑ x[k ] h [n]
k
∞
[]
∞
[ ] h[ ] 则 若 δ (n) → h( n) ， :
hh[nn − k ) = α ( −k]
n−k
k
0
k
n−6
0
4
n
13
x[n]
h[n]
h[n-k]0 1 2 3 4
1.
0 123456
n<0
0≤n≤4
y[n] = 0
y[n] = ∑ a n − k
k =0 n
n-6 n n-6 n
0
2.
3. n > 4
n−6 < 0 y[n] = ∑ a n − k
( ] h[n)
( ] 因此，只要得到了LTI LTI系统对 因此，只要得到了LTI系统对 δ [n)
的响应
单位脉冲响应(impulse response)， 单位脉冲响应(impulse response)，
就可以得到LTI系统对任何输入信号 就可以得到LTI系统对任何输入信号 LTI 响应： 响应：
−∞ 0
宽度的区段， 对一般信号 x (t ) ，可以分成很多 ∆ 宽度的区段， 用一个阶梯信号 x ∆ (t ) 近似表示 x (t ) .当 ∆ → 0 时，
x∆ (t ) → x(t )
17
于是： 于是：
x(t) = ∫ x(τ )δ (t −τ )dτ
−∞
∞
表明： 任何连续时间信号 x(t ) 都可以被分解为移位 表明： 加权的单位冲激信号的线性组合。 加权的单位冲激信号的线性组合。
y[n] =
若系统具有时不变性， 若系统具有时不变性，即：
k = −∞
∑ x[k ] h [n]
k
∞
[]
∞
[ ] h[ ] 则 若 δ (n) → h( n) ， :
信号与系统 第二章 线性时不变系统的时域分析
r
外加信号 常数A
特解 常数B
r 1i k t i r 1 i 1
tr
sin t或cos t
eλt
k1 cost k2 sin t keλt， λ不是方程的特征根 kteλt， λ是方程的特征根
k t
i 1 i
r 1
r 1i t
e ， λ是方程的r阶特征重根
一、微差分方程的建立以及经典解法
'' 1
di1 (t ) 1 t L i2 ( )d R2i2 (t ) f (t ) dt C
一、微差分方程的建立以及经典解法
1 (2) Li (t ) i2 (t ) R2i2 ' (t ) f ' (t ) C 1 ( R2i2 i2 ( )d ) 1 U C i2 (t ) y (t ) (3) i1 i2 i2 (4) R2 R1 R1
(1)
t
i ( )d
1 (2) Li (t ) i2 (t ) R2i2 ' (t ) f ' (t ) C 1 ( R2i2 i2 ( )d ) 1 U C i2 (t ) y (t ) (3) i1 i2 i2 (4) R2 R1 R1
例题，已知线性时不变系统方程如下： y˝(t)+6y΄(t)+8y(t)= f(t), t>0. 初始条件y(0)=1， y΄(0)=2，输入信号f(t)=e-tu(t) , Q求系统的完全响应y(t)。
解：1）求方程的齐次解 特征方程为：m2+6m+8=0 显然特征根为：m1=-2，m2=-4
故原方程的齐次解为：yn(t)= Ae-2t+Be-4t
外加信号 常数A
特解 常数B
r 1i k t i r 1 i 1
tr
sin t或cos t
eλt
k1 cost k2 sin t keλt， λ不是方程的特征根 kteλt， λ是方程的特征根
k t
i 1 i
r 1
r 1i t
e ， λ是方程的r阶特征重根
一、微差分方程的建立以及经典解法
'' 1
di1 (t ) 1 t L i2 ( )d R2i2 (t ) f (t ) dt C
一、微差分方程的建立以及经典解法
1 (2) Li (t ) i2 (t ) R2i2 ' (t ) f ' (t ) C 1 ( R2i2 i2 ( )d ) 1 U C i2 (t ) y (t ) (3) i1 i2 i2 (4) R2 R1 R1
(1)
t
i ( )d
1 (2) Li (t ) i2 (t ) R2i2 ' (t ) f ' (t ) C 1 ( R2i2 i2 ( )d ) 1 U C i2 (t ) y (t ) (3) i1 i2 i2 (4) R2 R1 R1
例题，已知线性时不变系统方程如下： y˝(t)+6y΄(t)+8y(t)= f(t), t>0. 初始条件y(0)=1， y΄(0)=2，输入信号f(t)=e-tu(t) , Q求系统的完全响应y(t)。
解：1）求方程的齐次解 特征方程为：m2+6m+8=0 显然特征根为：m1=-2，m2=-4
故原方程的齐次解为：yn(t)= Ae-2t+Be-4t
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F.T.是线性变换
2. 空间缩放 Scaling (相似性定理）
1 fx f y {g (ax, by) G , ab a b
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理 空间缩放
注意空域坐标(x,y)的扩展,导致频域中坐标(fx,fy)的 压缩及频谱幅度的变化. 反之亦然.
交换积分顺序,先对x求积分:
- -
G( f )G * ( f ' )dfdf ' exp[ j 2p ( f - f ' ) x]dx
-
利用复指函数的F.T.
G( f )G * ( f ' )d ( f '- f )dfdf ' - -
- -
常用傅里叶变换对
1. 2 2. {1}=d (fx,fy); {d (fx,fy)}=1 1 与d 函数互为F.T.
{comb( x) comb( f )
x 1 f ) comb( ) comb(
梳状函数的F.T.仍为梳状函数
3. 4.
{rect(x)}=sinc(f); {sinc(x)}= rect(f) rect与sinc 函数互为F.T. {Gaus(x)} = Gaus(f ) 高斯函数的F.T.仍为高斯函数
§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
常用傅里叶变换对
5. {d (x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}= d (fx-fa)
6.
1 {cos (2pf 0 x) [d ( f x - f 0 ) d ( f x f 0 )] 2 1 {sin(2pf 0 x) [d ( f x - f 0 ) - d ( f x f 0 )] 2j
{tri(x)} = sinc2(f )
利用欧拉 公式和 5 的结果
7. 8.
{circ(r )}
1 2p
2
2p
0
r ' J 0 (r ' )dr'
J1 (2p )
第2章 二维线性系统
Analysis of 2-Dimensional Linear Systems §2.1 线性系统 1、线性系统的定义
g (r , ) d G( , ) exp[ j 2pr cos( - )]d
0 0
2p
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
当 f 具有圆对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)= g(r,) = g (r). 依F.T.定义:
叠 加 积 分
g ( ) H ( f ) exp(- j 2pf )d
-
应用位移定理
H ( f ) g ( ) exp(- j 2pf )d
-
H ( f ).G ( f )
应用F.T.定义
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
二、 极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换 特别适合于圆对称函数的F.T.
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
卷积定理的证明
左 exp(- j 2pfx)dx g ( )h( x - )d
- -
交换积分顺序:
g ( ) h( x - ) exp( - j 2pfx) dx d - -
§2.1 线性系统
线性系统的输出为脉冲响应函数的 线性组合
对于线性系统: g(x, y) = ℒ{f(x, y)}
-
f ( ,h ) ℒ {d ( x - , y - h)}ddh f ( ,h )h( x, y; ,h )ddh
(x-, y- h)的响应h(x, y; ,h)
依F.T.定义:
F ( f x , f y ) f ( x, y) exp[- j 2p ( f x x f y y)dxdy
-
极 坐 标 变 换
2 2 r x y x r cos 空域 -1 y tan ( x ) y r sin
0
圆对称函数的F.T. 仍是圆对称函数, 称为F-B (傅-贝)变 换,记为
-1{G()}
G() =
{g(r)}, g(r) =
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 , 定义: circ(r ) 0, 其它 r x2 y 2
复指函数的F.T.是移位的d 函数
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
-
4. 帕色伐(Parseval)定理
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
g ( x, y )
2
dxdy
-
G( f x , f y )
2
df x df y
2、脉冲响应和叠加积分
系统对输入脉冲函数的输出称为脉冲响应
系统对处于原点的脉冲函数的响应：
h(x, y) = ℒ {d(x, y)}
系统对输入平面上坐标为(,h)处的脉冲函数的响应：
h(x, y; ,h) = ℒ {d (x-, y- h)}
在线性系统中引入脉冲响应的意义: 1. 任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函 数的线性组合;
四、 F.T.定理 -- Parseval定理的证明
-
g ( x) dx g ( x) g * ( x)dx
2 -
G ( f ) exp( j 2pfx)df G * ( f ' ) exp(- j 2pf ' x)df ' dx - - -
{g(x,y)* h(x,y)}= G(fx,fy) . H(fx,fy)
空域中两个函数的乘积, 其F.T.是各自F.T.的卷积.
{g(x,y) . h(x,y)}= G(fx,fy) * H(fx,fy)
将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用. 亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积
2. 若已知线性系统的脉冲响应函数, 则系统 的输出为脉冲响应函数的线性组合.
§2.1 线性系统
任意复杂的输入函数可以分解为脉冲 函数的线性组合
根据d 函数的卷积性质或d 函数的筛选性质:
f ( x, y)
-
f ( ,h)d ( x - , y -h)ddh
此式的物理意义: 脉冲分解 函数 f(x, y)可以看成输入(x, y)平面上不同位置处 的许多d 函数的线性组合.每个位于(, h)的d 函 数的权重因子是 f (, h).
空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数 振幅分布不变,但位相随频率线性改变.
{g(x-a, y-b)}= G(fx, fy) exp[-j2p(fxa+fyb)]
频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.
{g(x,y) exp[j2p(fax+fby)]}= G(fx- fa, fy- fb) 推论: 由 {1}= d (fx,fy) {exp[j2p(fax+fby)]}= d (fx- fa, fy- fb)
复习
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
四、 F.T.定理 -- F.T.的基本性质
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy), h(x,y)
1. 线性定理 Linearity
F.T.
H(fx,fy),
{ag(x,y)+b h(x,y)}=a G(fx,fy) + b H(fx,fy)
若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压, 则∫| g(x) |2dx 代表信号的总能量(或总功率) Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给 出.或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒 | G(f) |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔 的能量或功率)
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
利用d 函数的筛选性质
2
G( f )G * ( f )df G ( f ) df
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
设 g(x,y)
F.T.
5. 卷积定理
G(fx,fy),
h(x,y)
F.T.
H(fx,fy),
空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积.
G( , ) rg (r ) exp[- j 2pr cos( - )]d d r
0 0
{
2p
利用贝塞尔函数关系
2p
0
exp[- ja cos( - )]d 2pJ 0 (a)
0
G( ) 2p rg (r ) J 0 (2pr )dr g (r ) 2p G( ) J 0 (2pr )d
1
是圆对称函数
{circ(r )} 2p rJ 0 (2pr )dr
0
作变量替换, 令r’ =2pr, 并利用:
J
0
2p 0
x
0 ( )d
xJ1 ( x)
J1 (2p )
{circ(r )}
1 2p
2
2. 空间缩放 Scaling (相似性定理）
1 fx f y {g (ax, by) G , ab a b
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理 空间缩放
注意空域坐标(x,y)的扩展,导致频域中坐标(fx,fy)的 压缩及频谱幅度的变化. 反之亦然.
交换积分顺序,先对x求积分:
- -
G( f )G * ( f ' )dfdf ' exp[ j 2p ( f - f ' ) x]dx
-
利用复指函数的F.T.
G( f )G * ( f ' )d ( f '- f )dfdf ' - -
- -
常用傅里叶变换对
1. 2 2. {1}=d (fx,fy); {d (fx,fy)}=1 1 与d 函数互为F.T.
{comb( x) comb( f )
x 1 f ) comb( ) comb(
梳状函数的F.T.仍为梳状函数
3. 4.
{rect(x)}=sinc(f); {sinc(x)}= rect(f) rect与sinc 函数互为F.T. {Gaus(x)} = Gaus(f ) 高斯函数的F.T.仍为高斯函数
§1.7 傅里叶变换 Fourier Transform
常用傅里叶变换对
5. {d (x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}= d (fx-fa)
6.
1 {cos (2pf 0 x) [d ( f x - f 0 ) d ( f x f 0 )] 2 1 {sin(2pf 0 x) [d ( f x - f 0 ) - d ( f x f 0 )] 2j
{tri(x)} = sinc2(f )
利用欧拉 公式和 5 的结果
7. 8.
{circ(r )}
1 2p
2
2p
0
r ' J 0 (r ' )dr'
J1 (2p )
第2章 二维线性系统
Analysis of 2-Dimensional Linear Systems §2.1 线性系统 1、线性系统的定义
g (r , ) d G( , ) exp[ j 2pr cos( - )]d
0 0
2p
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
当 f 具有圆对称性，即仅是半径r的函数:f(x,y)= g(r,) = g (r). 依F.T.定义:
叠 加 积 分
g ( ) H ( f ) exp(- j 2pf )d
-
应用位移定理
H ( f ) g ( ) exp(- j 2pf )d
-
H ( f ).G ( f )
应用F.T.定义
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
二、 极坐标下的二维傅里叶变换和傅里叶-贝塞尔变换 特别适合于圆对称函数的F.T.
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
卷积定理的证明
左 exp(- j 2pfx)dx g ( )h( x - )d
- -
交换积分顺序:
g ( ) h( x - ) exp( - j 2pfx) dx d - -
§2.1 线性系统
线性系统的输出为脉冲响应函数的 线性组合
对于线性系统: g(x, y) = ℒ{f(x, y)}
-
f ( ,h ) ℒ {d ( x - , y - h)}ddh f ( ,h )h( x, y; ,h )ddh
(x-, y- h)的响应h(x, y; ,h)
依F.T.定义:
F ( f x , f y ) f ( x, y) exp[- j 2p ( f x x f y y)dxdy
-
极 坐 标 变 换
2 2 r x y x r cos 空域 -1 y tan ( x ) y r sin
0
圆对称函数的F.T. 仍是圆对称函数, 称为F-B (傅-贝)变 换,记为
-1{G()}
G() =
{g(r)}, g(r) =
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 , 定义: circ(r ) 0, 其它 r x2 y 2
复指函数的F.T.是移位的d 函数
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
-
4. 帕色伐(Parseval)定理
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
g ( x, y )
2
dxdy
-
G( f x , f y )
2
df x df y
2、脉冲响应和叠加积分
系统对输入脉冲函数的输出称为脉冲响应
系统对处于原点的脉冲函数的响应：
h(x, y) = ℒ {d(x, y)}
系统对输入平面上坐标为(,h)处的脉冲函数的响应：
h(x, y; ,h) = ℒ {d (x-, y- h)}
在线性系统中引入脉冲响应的意义: 1. 任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函 数的线性组合;
四、 F.T.定理 -- Parseval定理的证明
-
g ( x) dx g ( x) g * ( x)dx
2 -
G ( f ) exp( j 2pfx)df G * ( f ' ) exp(- j 2pf ' x)df ' dx - - -
{g(x,y)* h(x,y)}= G(fx,fy) . H(fx,fy)
空域中两个函数的乘积, 其F.T.是各自F.T.的卷积.
{g(x,y) . h(x,y)}= G(fx,fy) * H(fx,fy)
将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用. 亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积
2. 若已知线性系统的脉冲响应函数, 则系统 的输出为脉冲响应函数的线性组合.
§2.1 线性系统
任意复杂的输入函数可以分解为脉冲 函数的线性组合
根据d 函数的卷积性质或d 函数的筛选性质:
f ( x, y)
-
f ( ,h)d ( x - , y -h)ddh
此式的物理意义: 脉冲分解 函数 f(x, y)可以看成输入(x, y)平面上不同位置处 的许多d 函数的线性组合.每个位于(, h)的d 函 数的权重因子是 f (, h).
空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数 振幅分布不变,但位相随频率线性改变.
{g(x-a, y-b)}= G(fx, fy) exp[-j2p(fxa+fyb)]
频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移.
{g(x,y) exp[j2p(fax+fby)]}= G(fx- fa, fy- fb) 推论: 由 {1}= d (fx,fy) {exp[j2p(fax+fby)]}= d (fx- fa, fy- fb)
复习
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
四、 F.T.定理 -- F.T.的基本性质
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy), h(x,y)
1. 线性定理 Linearity
F.T.
H(fx,fy),
{ag(x,y)+b h(x,y)}=a G(fx,fy) + b H(fx,fy)
若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压, 则∫| g(x) |2dx 代表信号的总能量(或总功率) Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给 出.或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒 | G(f) |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔 的能量或功率)
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
利用d 函数的筛选性质
2
G( f )G * ( f )df G ( f ) df
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
四、 F.T.定理
设 g(x,y)
F.T.
5. 卷积定理
G(fx,fy),
h(x,y)
F.T.
H(fx,fy),
空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积.
G( , ) rg (r ) exp[- j 2pr cos( - )]d d r
0 0
{
2p
利用贝塞尔函数关系
2p
0
exp[- ja cos( - )]d 2pJ 0 (a)
0
G( ) 2p rg (r ) J 0 (2pr )dr g (r ) 2p G( ) J 0 (2pr )d
1
是圆对称函数
{circ(r )} 2p rJ 0 (2pr )dr
0
作变量替换, 令r’ =2pr, 并利用:
J
0
2p 0
x
0 ( )d
xJ1 ( x)
J1 (2p )
{circ(r )}
1 2p
2