2018朝阳高三二模数学理含答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .已知集合A ={x Iog2 X A1} , B = {χX },则AU B =A. 10B. 13C. 40D. 121I :「COST：?sin v - 2与圆C^= 2cos^的位置关系为C. CoSc -')【2X Xz a6.已知函数f(x) / '则‘a_0 ”是函数f (X)在[0 ,::)上单调递增”的IX ,X Va,A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件2018. 5A . (1,2]B . (1,+ 二)C . (1,JD . [1,+ 二)2.在△ ABC 中，AB =1, AC =、2, /C：=π,则.B =6πA .-B.—或一 C .兰D.三或兰4 4 24 4 43.执行如图所示的程序框图，则输出的S值为5=5+J14.在极坐标系中，直线A .相交且过圆心B .相交但不过圆心C •相切D .相离5•如图，角：■ , L均以OX为始边，终边与单位圆O分别交于点B,贝U QA QB =A . Sin(：；∣,)B. Sin(用' L')站束C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.某校象棋社团组织中国象棋比赛.采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和 其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得O 分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为A . 4B . 5C . 6D . 71 1 2&若二个非零且互不相等的实数 X 1,X 2,X 3成等差数列且满足，则称X 1,X 2,X 3成X I X 2 X 3一个“ B 等差数列” •已知集合M ={χ∣x ∣ ≤100,χE z},则由M 中的三个元素组成的所有 数列中，“ 1等差数列”的个数为A . 25B . 50C . 51D . 100第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9 .计算10 .双曲线X 2 -y 2 =人仏≠0）的离心率是 _______ ；该双曲线的两条渐近线的夹角是 _________1 1 11 .若（X 3 -—）n 展开式的二项式系数之和为 8 ,则n= _____ ,其展开式中的含—项的系数 XX为 ______ .（用数字作答）12 .已知某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥底面和三个侧面中，直角三角形个数是 —y -0,< x ∣ + y 兰2, 在平面直角坐标系 j+1 兰 k(x+1)面区域为D , D 的面积为S ,则下面结论：①当k 0时，D 为三角形；②当k < 0时，D 为四边形；11③当k 时，S = 4 ；④当0 ：：： k ■时，S 为定值.33其中正确的序号是 _______ .14 .如图，已知四面体 ABCD 的棱AB //平面〉，且AB = ■■一 2 ,XOy 中所表示的平13 .已知不等式组正视图侧视图其余的棱长均为1 .四面体ABCD以AB所在的直线为轴旋转X成关于X 的函数，记为S(X),则函数S(X)的最小值为 _________ ； S(X)的最小正周期为 _____ 三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数 f(x)=2sin x(sin x ∙ cosx) _a 的图象经过点(一，1) , a R .2(I)求a 的值，并求函数f (x)的单调递增区间；(∏)若当x∙ [0, j]时，不等式f(x) _m 恒成立，求实数 m 的取值范围. 16. (本小题满分13分)某市旅游管理部门为提升该市 26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、 安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分.每项评分最低分0分，最高分100分.每个景点总分为这五项得分之和.根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、 交通得分与景点总分散点图如下：请根据图中所提供的信息，完成下列问题：(I)若从交通得分前 5名的景点中任取1个，求其安全得分大于 90分的概率；(∏)若从景点总分排名前 6名的景点中任取3个，记安全得分不大于 90分的景点个数为',求随机变量 的分布列和数学期望;(川)记该市26个景点的交通平均得分为 X 1 ,安全平均得分为 x ,写出&和x 的大小关系？(只写出结果)17. (本小题满分14分)如图，在四棱锥 P - ABCD 中，平面 PBC _平面ABCD . △ PBC 是等腰三角形，且PB=PC =3 ；在梯形 ABCD 中，AB 二 DC , AD _ DC , AB= 5, AD = 4,DC =3 .(I)求证： AB// 面 PDC;忆通得⅛⅛⅞全得⅛⅛⅞Λ图(∏)求二面角 A _ PB _C的余弦值；(川)在线段AP上是否存在点H ,使得BH _平面ADP ? 请说明理由.18. (本小题满分13分)已知函数f(χ) =χe x■ aχ2 2ax(a ∙R).(I )若曲线y = f (X)在点(O, f (0))处的切线方程为3x ^0 ,求a的值;1(∏ )当- < a < 0时，讨论函数f (X)的零点个数.219. (本小题满分14分)已知抛物线C: y2=2x .(I)写出抛物线C的准线方程，并求抛物线C的焦点到准线的距离;(∏)过点(2,0)且斜率存在的直线l与抛物线C交于不同两点A, B ,且点B关于X轴的对称点为D ,直线AD与X轴交于点M .(i)求点M的坐标；(ii)求.OAM 与OAB面积之和的最小值.20. (本小题满分13分)若无穷数列｛a*｝满足：存在a p =a q(p,q∙ N , P q),并且只要a p=a q,就有a p L=ta q N =1,2,3,川；t为常数)，则称&｝具有性质T .(I)右｛a n｝具有性质T ,且t - 3 , a1 = 4,a2=5,q =1,爲=5 , a? 'a g a9- 36，求a3 ；(∏)若无穷数列｛a n｝的前n项和为S n ,且S rl=2n+b ( R ),证明存在无穷多个b的不同取值，使得数列｛a n｝具有性质T ；(川)设｛b n｝是一个无穷数列，数列｛a n｝中存在a p =aq(p,qu N ,p>q),且a n1 =b n cosa n( n∙ N *) •求证：“ ｛b n｝为常数列”是“对任意正整数a1,｛a n｝都具有性质T ”的充分不必要条件.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（理工类）2018. 515.（本小题满分13分）解：(I)根据题意得2sin ■ (Sin ■ cos-) - a =1 . 2 2 2即2 (1 0)—a =1 ,解得a =1 .又f(x) =2sin X(Sin X CoSX)T2=2sin X 2sin xcosx -1=Sin 2x-cos2x = , 2sin(2x )431 Jt Jt由2k 二乞2x 2k 二k Z由2 4 2 ，TI 3 兀π 3 兀ZQ得2k 二乞2x 2k 二，所以■k二，4 4 8 8所以函数f(x)的单调递增区间是[-…飞二3…∙k二1 k∙ Z .8 8(∏ )由(I )可知f(x) = '2sin(2X ).4_ rλπ, π_ π3∏当X [0, —]时，2x ——[——,],2 4 4 4~ √2 兀所以- —_sin( 2x-[)所以一仁f （X）乞■. 2 .当2X ，即X=O时，f（X）取得最小值-1 .4 4因为不等式f （X） _m恒成立等价于m冬f （X）最小值,所以m乞一1 .故实数m的取值范围是（-：：，-1]. ……13分16. （本小题满分13分）解：（I）由图可知，交通得分前5名的景点中安全得分大于90分的景点有3个.3故从交通得分前5名的景点中任取1个，其安全得分大于90分的概率为三.……3分5 （∏）由图可知，景点总分前6名的景点中安全得分不大于90分的景点有2个. 设从景点总分前6名的景点中任取3个，安全得分不大于90分的个数为•，则•的取值为0,1,2.故的分布列为13 1所以E =0 1 2 1 . ……10分5 5 5（川）X1 X2 . .. 13 分C3所以P（ =0）= ―320 5PC "）竽C61220PC -2）=C；c4c6320 517. （本小题满分14分） 证明：（I ）因为ABLDC ,又因为 AB 二平面PDC , DC 平面PDC , 所以AB//平面PDC .……3分（∏）取BC 中点F ,在△ PBC 中，因为PB =PC ,所以PF _ BC .又易知AC=AB= 5,所以AF _ BC •又因为平面 PBC _平面ABCD ,且平面 PBCn 平面ABCD=BC , 所以PF _平面ABCD •所以PF _ AF . 以F 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系F -xyz .在梯形 ABCD 中，因为 AB 二 DC , AD _ DC , AD =4,DC =3 , AB =5 , 所以 BC =2 .5 , AF =2 一 5 .又因为 PB =3 ,所以 PF =2 .于是有 P(0,0,2), A(2 5,0,0), B(0,5,0), C(0,-• 5,0). 所以 FA=(2 5,0,0) , "AB =(—2.5, .5,0) , PB = (0, 5,-2).因为AF _平面PBC ,所以FA =(2-.5,0,0)是平面PBC 的一个法向量.设平面PBA 的一个法向量为 m =(x, y,z),则I m AB =0, 无 2 .5x ：5y=0,H y =2x,即所以m PB =0, .5y-2z = 0..5y=2乙令 y =2 ,则 m = (1,2,•一5).所以 cos 点m= (2 5,0,O) (1,2, 52√5%'1+4+510由图可知，二面角 A-PB-C 为锐角, 所以二面角 A - PB -C 的余弦值』.10因为 AB =5,DC =3 ,且 AB =(-2.5, .5,0),所以 C^- -3AB . 5f 「 2^所以 AD=AB BC CD AB BC 52(-2 .5, .5,0) (0,-2 5,0)=(-空，-出,0).(出)CDCDBy-5 5 5设平面ADP 的一个法向量为n= (X 1,y 1,Z 1),则10令 & =2 ,则 n = (2,-1,2、.5).假设线段 AP 上存在点H ,使得BH _平面ADP ,且设"AH = APC [0,1]).所以 AH =^A P =?;_.( -2.5,0,2) =(-2 •. 5, ,0,2 ■).所以 BH -BA AH =(2 ∙.5, 一 .5,0) (一2、5‘ ,0,2 •) =(2 .5(1 一 )^,5,2 ■).因为BH _平面ADP ,所以BH∕∕n .所以2 5(1- ’).显然■不存在.2-12√5所以假设不成立，故线段 AP 上不存在点H ,使得BH _平面ADP .……14分18. (本小题满分13分)解：由题意可知 f (x) = (X 1)(e x ■ 2a).(I )因为曲线、二f (x)在点(0, f (0))处的切线方程为3x ^0 ,所以f (O)=0, f (0) = -3.由 e 0 2a = -3得 a - -2 ...... 4 分1(∏)当 a：：0 时，令 f (X^(X 1)(e x2a^0 得 x - -1 或 x = ∣ n(-2a)._ 1①当 In( -2ap -1 ,即 a • (,0)时，2e当X所以函数f(x)在(ln (-2a), -1)上单调递减，在(-：：，l n(-2a))和(-1,，：：)上单调递增.rn AD =0, n AP =0,即手辛2I 2、、5x 12z 1= 0.i X ^- -2 y ι, 所以]∙j 5x 1=Z 1.又因为f(ln(-2a))=aln2(-2a) ：：0, f (O) = O , 所以函数f (X)有一个零点.1②当In(―2a) = 一1，即a 时2e ,当X变化时，f (X)所以函数f (X)在(」：,+ ：：)上单调递增.f (O) =0 ,所以函数f(x)有一个零点.又因为1 1③当-1：：：l n( -2a) ：：： 0，即a ■-(, )时，2 2e当X变化时，所以函数f (X)在(-1,l n( -2a))上单调递减，在(-二，-1)和(In (-2a), •：：)上单调递增.1 又因为f(—2) =-2e^+4a-4a =—2e‘ ：：0, f(-1)--a-- ef(ln(_2a)) =aln2(-2a) ：：0, f(0) =0,_ 1 1 1所以当a (, )时，此时f(T)=-a 0 ,函数f (X)有一个零点;e 2e e1当a 时，此时f(T) = 0 ,函数f(X)有两个零点；e_ 1 1 1当a∙(-―，-―)时，此时f(-1) = -a-—0 ,函数f (X)有三个零点.2 e e1④当In(_2a) =O ,即a时，显然函数f(x)有两个零点.21综上所述，(1)当a∙ ( ,0)时，函数f (X)有一个零点；e _ 1 1(2) 当a{ ,}时，函数f (X)有两个零点；e 21 1 (3) 当a∙(-一，--)时，函数f (X)有三个零点.……13分2 e另外的解法提示：f(x)= x(5e ax 2 a)易知 f(0>0 即可考虑g(x) = e ax 2的零点.19. (本小题满分14分)解：(I)由题意可知，抛物线的准线方程为抛物线C 的焦点到准线的距离为1 .(∏)由已知设直线 I : y = k(x -2)，显然 k = 0 ； A(χ1, y 1) , B(x 2, y 2), x 1 X 2.y=2x,得 ky 2_2y_4k=0. y =k(x-2),2 所以 y 1y ^，y 1 y 2 k(i)因为点B,D 关于X 轴对称，所以D(x 2,-y 2).所以直线AD 的方程为Y-Y I = y —y ^ (X-X I ).X 1-X 22 2y y 2 讨2 %2( y 1 y 2)所以 M (-2,0).(ii)记-OAM 与 OAB 面积分别为 S-OAM , S O A B ,设 P(2,0)11则 S^PAM +S /AB = 2 OMx ：y1 +?OP x ：(y1 * y 2)=2比 + y 2∣K2√2^FUΠ = 2j r 2^ = 4√5 .当且仅当y ? =2 y 1 ,即f =±J 2,屮=+2^2时，-4 .人(力 丫2)- ％(X 1 —X 2)X 』2 X 2% y 1 y 210分OAM 与 OAB 面积之和的最小值是 4.2 .14分1320. (本小题满分13分)解：(I)因为｛a n ｝具有性质T ,且t =3 , a^ a 2 = 5,所以 a § = 3a 3, a ? = 3&4 = 3, a 8 = 3a § -15, a^ = 3a § = 9a 3, 由a 7 a 8 ∙ a 9 = 36 ,得3 15 9a 3 = 36,所以a 3 = 2 ,经检验符合题意. .. 3分(∏)证明：因为无穷数列｛a 1｝的前n 和为S n ,且S n = 2n ∙ b ,所以 a^2 b ,当 n 一 2 时，a n = 2n - 2心=2n '.若存在 a^a q P q ,则 q =1. 取 b=2p '-2(p∙N ,且 p_2 , P 为常数),则 a p =2pj =a 1 ,对 t =^J,有 a p 1 = 2p i j = 2p ^l a 1tα』(i = 1,2,3JlD ,所以｛a n ｝具有性质T ,且b 的不同取值有无穷多个.……8分(川)证明：当｛b n ｝为常数列时，有b rl =m (常数)，a . 1 = mcosa n (n∙ N *),对任意的正整数 a 1 ,因为存在a p =a q ,则由mcosa p = mcosa q ,必有a p 1 = a q 1 ,进而 有 a p+=a q+(i —1,2,3J 11),这时 t = 1, a p+ =ta q+(i =1,2,3J I I ), 所以｛a n ｝都具有性质T .所以，｛b n ｝为常数列”是对任意正整数a 1,｛a n ｝都具有性质T ”的充分条件.5—n =2k -1取b n =三2 ' ( k N ),对任意正整数 a 1 ,由a n = b n 」COSa n 」(n - 2,n∙ N )0, n =2k ,π得, a 2"1cosa17cosa 1,因为a1为正整数，所以补°，且a1=a2∙a 3 =b 2 cosa 2 =O , a 4 =b 3cosa 3对任意p,q ,贝U p,q 同为奇数或同为偶数 ① 若p, q 冋为偶数，则a p I - a q i (i - 1,2,3J 11)成立; ② 若p, q同为奇数，则a pI -a q i (i - 1,2,3J 11)成立.所以对于任意p, q 满足a p = aq ,则取t =1 , a p 1∙ ^1 a q i . 故｛a n ｝具有性质T ,但｛b n ｝不为常数列，即，当n _3时, a n0,n =2k 1,?n =2k 2,(k∙ N )所以“{ b n} 为常数列”是“对任意正整数a1,{ a n }都具有性质T ”的不必要条件．13 分证毕。