高等数学矩阵的运算

3221
2
21 21 31
22 22 32
2 2 3
4 4 6
.
解(2):
x1
x2
x
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
x1 x2
= ( a11x1+a21x2+a31x3
a31 a32 a
a12x1+a22x2+a32x3
33a13x1x+3a23x2+a33x3）
x1 x2
§2.2 矩阵的运算
一、矩阵的加法
定义: 设两个同型的 mn 矩阵A = ( aij )与B = ( bij ), 那末矩阵A与B的和定义为(aij+bij), 记作A+B, 即
A
B
a11 a21
b11 b21
am1
bm1
a12 b12
a22 b22
am2 bm2
a1n a2n
(3) (AB) = (A)B = A(B), 其中为数;
(4) AmnEn = EmAmn = A;
(5)若A是n 阶方阵, 则Ak为A的k次幂, 即
Ak AAA
k
并且满足幂运算律: AkAm=Ak+m, (Am)k=Amk,
其中k, m为正整数.
注意: 矩阵乘法不满足交换律, 即: AB AB,
因此,
(AB)k AkBk,
例如:
设
A
1 1
11 ,
B
1 1
11 , 则
6
故,
AB
AB BA.
0 0
00,
BA
2 2
22,
例4: 计算下列矩阵乘积:
(1)
2 2 3
1
2,
(2)
x1
x2
x
3
a11 a21
a31
a12 a22 a32
a13 a23
x1 x2
.
a33 x3
解(1):
a11 a21
am1
a12 a22
am1
a1n a2n
.
amn
数乘矩阵的运算规律
设A, B为同型的mn 矩阵, , 为数:
(1) ()A = (A).
(2) (+)A = A+A.
(3) (A+B) = A+B.
矩阵的加法与数乘运算, 统称为矩阵的线性运算. 3
三、矩阵与矩阵相乘
定义: 设A = ( aij )是一个 ms 矩阵, B = ( bij )是一个
0 0
1
0
0
1
3
0 0
32 3
0
3
32 3
8
由此归纳出
k kk1 kk 1k2
2
Ak 0 k
kk1 k 2
0
0
k
用数学归纳法证明. 当k=2时, 显然成立.
假设, 当k=n时结论成立, 对 k=n+1时,
n nn1 nn 1n2
2
1 0
An1 An A 0 n
x7 3
=(a11x1+a21x2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3
a11 x12
a22 x22
a33
x
2 3
(a12 a21 )x1 x2 (a13 a31 )x1 x3 (a23 a32 )x2 x3 .
(3)
A
a11 a21
am1
称为矩阵A的负矩阵.
a12
a22
am1
a1n a2n
amn
aij
.
(4) A+(–A) = O, A–B = A+(–B).
2
二、数与矩阵相乘
定义: 数与矩阵A=(aij)的乘积定义为(aij), 记作 A 或A, 简称为数乘. 即
A
A
6 2
7 6
.
17 10
注意: 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵
的行数时, 两个矩阵才能相乘.
例如:
1 3 5
2 2 8
193
1 6
6 0
18 不存在.
5
矩阵乘法的运算规律 (1) 结合律: (AB)C = A(BC);
(2) 分配律: A(B+C) = AB+AC, (B+C)A =BA+CA;
b1n b2n
amn
bmn
例如:
1321
3 9
6
805
1 6 3
8 5 2
9 4 1
12 1 3 8 5 9 13 11 4
16 33
95 62
0 8
41
7 6
4 8
4 9
.
1
说明: 只有当两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行加 法运算.
矩阵加法的运算规律
(1) 交换律: A+B = B+A. (2) 结合律: (A+B)+C = A+(B+C).
sn 矩阵, 定义矩阵A与矩阵B的乘积 C = ( cij )是一个
mn 矩阵, 其中
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj
k 1
( i=1,2,···, m; j=1,2,···, n ). 并把此乘积记作C=AB.
例1:
C
2 1
4 2
22
2 3
4 6
22
当矩阵为对称矩阵时, 结果为
a11 x12 a22 x22 a33 x32 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2a23 x2 x3
1 0
例5:
设A
0 0
0
1
,
求Ak .
解:
A2
百度文库
0 0
1
0
0
1
0 0
1
0
0
1
2
0 0
2 2
0
1
2 2
.
A3
A2 A
2
0 0
2 2
0
1
2 2
解法1: 因为
AB
2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
311 170
14 13
130,
所以
AB
T
0 14 3
111703.
解法2: (AB)T=BTAT
1 7 1
4 2 3
021
2 0 1
231
0 14 3
111703.
12
由矩阵转置和对称矩阵的定义可得:
例如:
A
1 4
2 5
82,
AT
1 2 2
854;
B 168,
BT 18 6.
转置矩阵的运算性质
(1) (AT)T = A;
(2) (A+B)T = AT + BT;
(3) (A)T = AT;
(4) (AB)T = BTAT;
11
例6:
已知
A
2 1
0 3
21,
B
1 4 2
7 2 0
311, 求(AB)T.
16 8
?
32 16
22
例2:
1 2 3
123
1 3 2 2 3 1 10.
4
例3: 求AB, 其中
A
1 1 0
0 1 5
1 3
1
402,
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4111.
C
AB
1 1 0
0 1 5
1 3
1
402
0 1 3 1
3 2 1 2
41 11
5 10 2
0
0
nn1 n
0 0
0
1
9
n1
0
0
n 1n
n1
0
n 1n n1
2
n 1n
n1
所以对于任意的 k 都有:
k
Ak 0
0
kk 1 k
0
kk 1k2
2
kk1 .
k
10
四、矩阵的其它运算
１、转置矩阵
定义: 把矩阵A 的行列互换, 所得到的新矩阵, 叫
做矩阵A 的转置矩阵, 记作AT.