材料力学总复习

• 关于扭转 表中公式只实用于圆形截面的 直杆和空心圆轴。
[ ] 1、容许应力:
σ
σ
=
jx
n
2、极限应力: σ jx ={σ s ,σ 0.2 ,σ b}
3、安全系数：n
三个弹性常数
G
=
2
E (1+
μ
)
E =σ ε
G=τ γ
ν= ε′ ε
泊松比（或横向变形系数）
剪切与挤压的实用计算
（合力） P
n
√ A：轴力； B：正应力； C：伸长量； D：线应变；
静力平衡：对力P点取矩，得到1、3杆的受力相等N1＝N3。 由ΔL1＝N1L/EA ，ΔL3=3N3L/3EA 得ΔL3＝ΔL1
例题
方形销连接两块等厚度的板，上面的板中存在
拉应力σ、剪应力τ、挤压应力σbs， 比较其数值大小可得
A：拉应力σ最大； B：剪应力τ最大；
2
）2
+τ2 xy
y
主 单元体
σx
τxy σ1′
tg
2α
0
=− 2τ xy σ x −σ
y
Ox
τα0 =0∴极值正应力就是主应力 ！
σ1′=σ m′ ax ; σ 2′ =σ m′ in
σ1′在剪应力相对的象限内， 且偏向于σx 及σy大的一侧。
应力圆
σy
n
σα
α σx
τα n D( σα , τα)
第二部分
复杂变形部分
平面应力分析
σy
σx
y
τxy
Ox
σα
α
σx
y
σy
ττxαy
n
Ox
τ
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧τσαα==σσxx−2+2σσyys+inσ2xα−2+στyxcycoos2s2αα−τ xysin2α
平面内的主应力
σy
σ 2′
⎩⎨⎧σσmm´´ainx
σ
=x
+σ
σ
y ±（ x
2
−σ y
Mn > 0 x—杆轴
τρ
O
τ (ρ)=M n ρ
Ip
A
B
∫ ϕ AB =
M n dx
GI LAB
p
平面弯曲
AM Q M>0 x—平行于杆轴 Q > 0
σ
σ
x
=
My Iz
x
τ
y
τ
y
=QS
∗ z
bI z
θ
ν
x
f
ν= f
f ′′(x)=−M (x) θ= f´
EI
拉 （压）
强 σ max ≤ [σ ]
例题
由两种不同材料粘合而成的梁弯曲变形，若平面假设 成立，那么在不同材料的交接面处 。
A√：应力分布不连续，应变连续；
B：应力分布不连续，应变连续； C：应力、应变分布均连续； D：应力、应变分布均不连续；
两种材料在弯曲变形后中性层处有相同的曲率，而线应变 ε＝y/ρ，固线应变与点到中性轴的距离成正比，固应变连 续分布。而应力σ＝Eε，由于材料不同，固应力不连续。
gh
低碳钢σ−ε曲线线上特征点
选择
低碳钢的拉伸时的应力-应变曲线如图。如断裂点的横 坐标为ε，则ε 。
√A：大于延伸率； B：等于延伸率
C：小于延伸率； D：不能确定。
第一部分
基本变形部分
拉 （压）
内
AN
力
N>0
x—杆轴
x
应
σ
力
σ =N(x)
A
变
L
形
dL=∫L
N (x) dx EA( x)
扭转 A Mn
x
τα τxy
y
2α
C
A(σxσ,ατxy)
O
Ox
B(σy ,τyx)
三向应力分析
τα
y
σ1
σ3
z
σ2
σ3
x
τ max
σα
σ2
σ1
σ1 ≥σ2 ≥σ3
τ
max=σ
1−σ
2
3
y
σz
z
复杂应力状态下的应力 --- 应变关系
σy
————（广义虎克定律）
σx
τxy
x
[ ] ( ) ε
i
=
1 E
σ
i −μ
超静定问题的方法步骤： ①平衡方程 ②几何方程——变形协调方程 ③物理方程——变形与力的关系 ④补充方程 ⑤解由平衡方程和补充方程组
例题
多跨梁的两种受力如图，力F靠近铰链。正确的结论是 。
√ A：Q、M图完全相同
B：Q图相同、M图不同
C：Q图不同、M图相同； D：Q、M图均不同
A图中活动铰链支座的约束反力为零；B图中，取L2梁为研究
C
D
D
P
C
B
剪应力公式及其假设
矩形截面
假设1：横截面上剪应力τ与矩形截面边界平行，与剪应力Q的方向一致；
假设2：横截面上同一层高上的剪应力相等。
剪应力公式：
τ
(
y)
=
QS
* z
(
y)
Izb
S（Z* y）=
b2 （⎢⎣⎡
y ）2 2
−
y2
⎤ ⎥⎦
τ max
=
3⋅ Q 2 bh
=
3 2
τ
平均
变形的应用： 求位移和解决超静定问题
σ
j +σ
k
γ
ij
τ
=
ij
G
(i, j,k=x,y,z)
强度准则的统一形式
σ ∗≤[σ ] 其中，σ *—相当应力。 [σ ]={σ b ,σ 0.2 ,σ s }
n
⎧
σ
* 1
=σ
1
⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪
σ
∗ 2
=σ
1
−
μ
(σ
2
+σ
3
)
σ 3∗=σ1−σ 3
[ ] ⎪
⎪⎩
σ
∗ 4
=
1 2
(σ
1 −σ
2
)2
Wz
≥
M max
[σ ]
M max≤Wz[σ ]
f max ≤ [ f ]
θ max ≤[θ ]
I
z
=
π D4
64
补充与说明
• “拉伸与压缩” 指简单拉伸与简单压 缩，即拉力或压力与杆的轴线重合；若 外荷载作用线不与轴线重合，就成为拉 （压）与弯曲的组合变形问题；杆的压 缩问题，要注意它的长细比（柔度）。
B：E2＝E3； D：E1＝E2＝E3；
使节点A沿铅垂方向向下移动的条件是：2杆不变形，1、 3杆的变形量相等。由2杆的变形量为零，推算2杆的轴力 为0，在此情况下，1、3杆的受力相等。固在1、3杆的弹 性模量相等的情况下，才能使1、3杆的变形量相等，节点 A才能只产生铅垂方向的位移。
例题 图中三根杆的材料相同，1、2杆的横截面面积为A，3杆的横截面 面积为3A，1杆长为L，2杆长为2L，3杆长为3L。横梁为刚性。力 P作用在横梁的中点，三杆具有相同的 。
总复习
基本概念 第一部分 基本变形部分 第二部分 复杂变形部分 压杆稳定 平面图形几何性质
基本概念
• 强度，刚度，稳定性 • 连续性，均匀性，各向同性 • 基本变形形式：拉压，剪，扭、弯 • 塑性，脆性材料的区别 • 截面法
σ(MPa)
材料试验
b
a
s e p
σp σe σs
εp εt
f
σb
ε
εe
例题
下列四种截面梁均是边长为ａ的正方形截面，若载荷均
作用在纵向对称面内，计算四种截面梁的抗弯截面系数
WZ＝
。（b、c两种截面未经粘合）
例题
正方形截面分别按图示中的两种情形放置，则两者间
的抗弯刚度之间的关系为 。
A：(a)>(b)
B：(a)<(b)
√C：(a)=(b)
D：不一定
正方形截面对于过形心的任何轴的惯性矩相等，固两种放 置方式中的抗弯刚度相同。
压
∑ ∑ N A = Pi (←) − Pj (→)
扭 转
∑ ∑ M An = mi ( ) − m j ( )
平
QA =(∑Pi ↑)−(∑Pj ↓)
面
弯 曲
(∑ MA = mA (Pi ) )−(∑mA (Pj ) )
剪力、弯矩与外力间的关系
外 无外力段 力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
P C
选择
图示中的各点的应力状态中，属于单向应力状态的是
。
√
填空
选择 两个材料相同的单元体，正应力与剪应力的值均相等，由 第四强度理论比较两者的强度， 则 。 A：图b的强度比a好；
矩相同，则必须满足的条件是
。
轴与套筒的扭转角相同φ1=φ2 而φ1=M1L/G1IP1、 φ2=M2L/G2IP2, 所以有：M1L/G1IP1 ＝M2L/G2IP2。
固保证承担的扭矩相同必须有相同的抗扭刚度 即 G1IP1= G2IP2
内力计算
以A点左侧部分为对象，A点的内力由下式计算：
(其中“Pi、Pj”均为A 点左侧部分的所有外力) 拉
例题 图示中的悬臂梁采用两种截面形式，一种为相同的矩形截 面叠放而成，无胶接；另一种为完整的正方形截面。在小 变形的情况下迭放的梁内最大弯曲正应力是完整截面形式 的梁的最大正应力的 倍。
√ A：2； B：4； C：8； D：16；
完整的正方形截面梁的最大应力为σ＝M/W=6PL/a3，迭放 的梁内的最大正应力为σ＝M/W=PL/2/a(a/2)2/6=12PL/a3。 固迭放的梁内的最大正应力是完整截面的2倍。
度 条
Amin
≥
N max
[σ ]
件 Nmax≤A[σ ]
刚 度 条 件
应用条件：外力的合 注 力作用线与杆件的轴 意 线重合；
适用范围：在整个拉 伸破坏之前均适用
扭转
τ max≤[τ ]
Wt
≥|M |n max
[τ ]
M |n max ≤Wt [τ ]
θ max≤[θ ]
I
p
=
π
32
D4
平面弯曲
σ max≤[σ ] τ max≤[τ ]
Q
Leabharlann Baidu
n
n
n
Pc
P （合力）
τ = Q ≤[τ ]
A
σ
c
=
Pc Ac
≤[σ
c
]
Abs = b.l
Abs = d.δ
例题
A1＝A2＝A3＝A，弹性模量为：E1、E2、E3。1、2杆之
间的夹角与2、3杆之间的夹角相等。如果在力P作用下节
点A沿铅垂方向向下移动，那么一定有：
A：E1＝E2；
√C：E1＝E3；
按叠加原理求梁的挠度与转角 载荷叠加
2.位移边界条件
P
P
A
C
B
D
n支点位移条件：
fA = 0
o连续条件：
fB = 0
fC− = fC+
p光滑条件： θ C − = θ C +
fD = 0 θ D = 0
或写成 f C 左 = f C 右
或写成 θ C 左 = θ C 右
M
A
C
BA
P
A
C
B
A
K
P
B
集中力偶
m
C
水平直线
斜直线
自左向右突变
Q
图Q
Q
Q
Q
Q Q1
特 征
x
x
x
C
x
Q2
x
Q>0 Q<0 增函数 降函数 Q1–Q2=P
无变化
Q
C x
M
斜直线
图
x
x
特
曲线
x
自左向右折角 自左向右突变
x
x
M2
x
征M
M
M
M
M
增函数 降函数
M
M1
M1 − M2 = m
弯曲剪力、弯矩与外力间的关系
dQ(x)
dx
=
q(x)
+(σ
2
−σ
3
)2
+(σ
3 −σ
1
)2
组合变形的研究方法 —— 叠加原理
①外力分析：外力向形心(后弯心)简化并分解 ②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确
定危险面。 ③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强
度条件。
x Py
z My
拉（压）弯组合： P
σ
xP
=
P A
σ
x
=
)2
+(σ
3 −σ
1
)2
= σ 2 +3τ 2
σ xB1
τ B1
σ
* 4
=
M
2 y
+M
2 z
+0.75
M
2 n
W
选择
下图中： α+β=90，则
√ A：σα>0 σβ>0 ； B：σα<0 σβ<0
C：σα=σβ
D:σα=-σβ
在此二向应力状态中σx＋σy＝0。根据在二向应力状态中 任意两个相互垂直方向上的正应力的代数和为常量，固有 σα＋σβ＝σx＋σy＝0。
dM (x) dx
=
Q(x)
dM 2(x) dx2
=
q(x)
对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称
结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。
积分法求挠曲线方程（弹性曲线） 微分方程的积分
EI f ′′( x)=− M ( x)
EI f ′( x )= ∫( − M ( x )) d x+C1 EIf ( x)=∫(∫(− M ( x))dx)dx+C1x+C 2
P A
+
M yz Iy
My
σ
xM
y
=
M I
y y
z
弯扭组合 经内力分析，确定杆发生弯扭组合变形后，直接建立强度条件。
Mz
M
B1
x
Mn B2My
σ xB1
τ B1
σ
∗ 3
=σ
1
−σ
3
=
σ 2 +4τ 2
σ
* 3
=
M
2 y
+M
2 z
+M
2 n
W
[ ] σ
∗ 4
=
1 2
(σ
1 −σ
2
)2
+(σ
2
−σ
3
例题
图示中静定梁的抗弯刚度为EI。D点的挠度为fD=-Pa3/(3EI)， B截面的转角为θB=5Pa2/(6EI)， 则D截面的转角为θD= ；C点的挠度为fC= 。
例题
图示中静定梁的抗弯刚度为EI。D点的挠度为fD=-Pa3/(3EI)， B截面的转角为θB=5Pa2/(6EI)， 则D截面的转角为θD= ；C点的挠度为fC= 。
√ C：挤压应力σbs最大； D：σ=τ=σbs；
例题 钢板、铆钉的连接接头中，有 种可能的破坏形式。
此接头可能有5种破坏形式 接头的破坏形式分别为： 钢板的拉伸、钢板的剪切、 钢板的挤压；铆钉的剪切、铆钉的挤压。
例题
图示中的轴1与套筒2牢固第结合在一起，两者的剪变模量为
G1、G2，两端承受扭转力偶矩M，为使轴与套筒承受的扭
对象，对中间铰取矩，得到活动铰的约束反力也为零。固对于 固定端一侧的梁相当于自由端受集中力F作用的悬臂梁，二者 的内力图相同。
例题 一外伸梁AC受载如图，梁的总长度为L。力P可在梁上自由 移动，欲使力P在移动全过程中梁内的最大弯矩为最小，问 支座B到梁端C的距离BC= L/5
当载荷移到AB的中间截面时，梁上产生最大正弯矩，大小为 P×AB/4=P(L-BC)/4；当载荷移到端截面C时，梁内产生最大负 弯矩，大小为-P×BC。欲使力P在移动全过程中梁内的最大弯 矩为最小，必须满足∣-Mmax∣=∣+Mmax∣, 因而有：∣P(L-BC)/4∣=∣－P×BC∣求解得到：BC＝L/5 。