诱导公式课件
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诱导公式 课件
[活学活用] 化简：(1)csionsπα－－απ·sinα－π2cosπ2＋α；
(2)sin(－α－5π)cosα－π2－sin32π＋αcos(α－2π)． 解：(1)原式＝cos[－sinπα－α]·sin－π2－α(－sin α) ＝cossiπn－α α·－sinπ2－α(－sin α) ＝－sicnosαα·(－cos α)(－sin α) ＝－cos2α.
[活学活用] 已知cos(75°＋α)＝13，求cos(105°－α)－sin(15°－α)的值．
解：cos(105°－α)－sin(15°－α) ＝cos[180°－(75°＋α)]－sin[90°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－23.
利用诱导公式求值
[典例]
已
知
cosπ－θ cos θsin32π－θ－1
＝
5 8，Βιβλιοθήκη 求cosπ＋θscinosπ22＋π－θ－θsin32π＋θ的值．
[解]
∵ cos
θcsoins3π2π－－θθ －1＝cos
－cos θ θ－cos θ－1
＝1＋c1os θ＝58，
∴cos θ＝35.
∴cosπ＋θscinosπ22＋π－θ－θsin32π＋θ
[证明] 左边＝－2sin32π1－－θ2s·in－2θsin θ－1
＝2sinπ＋1－π2－2siθn2θsin θ－1＝－2sin1－π2－2sθins2iθn θ－1
＝co－s2θ2＋cossinθ2sθin－θ2－sin12θ＝ssiinn2θθ＋－ccooss2θθ2＝ssiinn
θ＋cos θ－cos
θ θ.
右边＝ttaann
θθ＋ －11＝ssiinn
5.3诱导公式(第一课时)-课件(人教版)
第5章 三角函数
5.3 诱导公式
诱导公式二~四
【导入】如图，设坐标系内任意角α的终边与单位圆交于点P
（1）做P关于原点的对称点Q，以OQ为终边的角β与角α
有什么关系？角β,α的三角函数值之间有什么关系？
（2）如果作P点关于两个横轴和纵轴的对称点R和T，又
会得到什么结论？
【分析】设P
，由对称关系有Q
＝ 23－－ 22×(－1)＝
3－ 2
2 .
答案：(1)A
(2)①－
3 4
②
3－ 2
2
负角化正角，大角化小角，直到化为锐角求值．
诱导公式的应用 【利用诱导公式一~四把任意角的三角函数转化成锐角的三角函数的步骤】
任意负角的 三角函数
用公式一 或公式三
任意正角的 三角函数
用公式一
锐角的 三角函数
用公式二 或公式四
题型一 给角求值问题[经典例题]
例 1 (1)sin43π·cos56π·tan－43π的值是(
)
A.－34 3
3 B.4 3
C．－
3 4
3 D. 4
(2)求下列三角函数式的值：
①sin(－330°)·cos 210°.
② 3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)．
解析：设 β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么 β＋γ＝90°，从而 γ＝90°
－β.于是 sin γ＝sin(90°－β)＝cos β.
因为－270°<α<－90°，所以 143°<β<323°.
由 sin β＝15>0，得 143°<β<180°.
所以 cos β＝－ 1－sin2β＝－ 1－152＝－25 6，
5.3 诱导公式
诱导公式二~四
【导入】如图，设坐标系内任意角α的终边与单位圆交于点P
（1）做P关于原点的对称点Q，以OQ为终边的角β与角α
有什么关系？角β,α的三角函数值之间有什么关系？
（2）如果作P点关于两个横轴和纵轴的对称点R和T，又
会得到什么结论？
【分析】设P
，由对称关系有Q
＝ 23－－ 22×(－1)＝
3－ 2
2 .
答案：(1)A
(2)①－
3 4
②
3－ 2
2
负角化正角，大角化小角，直到化为锐角求值．
诱导公式的应用 【利用诱导公式一~四把任意角的三角函数转化成锐角的三角函数的步骤】
任意负角的 三角函数
用公式一 或公式三
任意正角的 三角函数
用公式一
锐角的 三角函数
用公式二 或公式四
题型一 给角求值问题[经典例题]
例 1 (1)sin43π·cos56π·tan－43π的值是(
)
A.－34 3
3 B.4 3
C．－
3 4
3 D. 4
(2)求下列三角函数式的值：
①sin(－330°)·cos 210°.
② 3sin(－1 200°)·tan(－30°)－cos 585°·tan(－1 665°)．
解析：设 β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么 β＋γ＝90°，从而 γ＝90°
－β.于是 sin γ＝sin(90°－β)＝cos β.
因为－270°<α<－90°，所以 143°<β<323°.
由 sin β＝15>0，得 143°<β<180°.
所以 cos β＝－ 1－sin2β＝－ 1－152＝－25 6，
诱导公式PPT课件
③ P与P1的坐标有怎样的关系？
的诱导公式
① 角 与角 的终边互为反向延长线
它们关于原点对称。
② 角 与角 的终边与单位圆的交点P，P1
关于原点对称。 ③ P与P1的纵坐标
、横坐标都互为相反数。
sin(π + ) sin cos(π + ) cos tan(π + ) tan
的诱导公式
sin(π + ) sin cos(π + ) cos tan(π + ) tan
sin（π ） sin cos（π ） cos tan（π ） tan
你能用角 的诱导公式 证明角 - 的诱导公式吗？
公式一 (k z) sin(2k ) sin cos(2k ) cos
你能写出 公式
的角度制 的形式吗
诱导公式
终边相同角的同名三角函数值相同．
sin(2kπ ) sin cos(2kπ ) cos k Z tan(2kπ ) tan
利用公式，可以把任意角的三角函数转化为0°～ 360° 范围内的角的三角函数．
弧度制和 角度制
的角写成终边 重合的角 的方法？
3
sin(60 ) sin 60 3 2
cos(19) cos19 cos( 6) cos 1
3
3
3
32
tan(30 ) tan 30 3 3
运用知识 强化练习 练习5.5.2
求下列各三角函数值： （1） tan( ) ；
6 （2） sin(390 ) ； （3） cos( 8) ；
公式二
sin() sin cos( ) cos
tan() tan
tan(2k ) tan
sin( ) sin
的诱导公式
① 角 与角 的终边互为反向延长线
它们关于原点对称。
② 角 与角 的终边与单位圆的交点P，P1
关于原点对称。 ③ P与P1的纵坐标
、横坐标都互为相反数。
sin(π + ) sin cos(π + ) cos tan(π + ) tan
的诱导公式
sin(π + ) sin cos(π + ) cos tan(π + ) tan
sin（π ） sin cos（π ） cos tan（π ） tan
你能用角 的诱导公式 证明角 - 的诱导公式吗？
公式一 (k z) sin(2k ) sin cos(2k ) cos
你能写出 公式
的角度制 的形式吗
诱导公式
终边相同角的同名三角函数值相同．
sin(2kπ ) sin cos(2kπ ) cos k Z tan(2kπ ) tan
利用公式，可以把任意角的三角函数转化为0°～ 360° 范围内的角的三角函数．
弧度制和 角度制
的角写成终边 重合的角 的方法？
3
sin(60 ) sin 60 3 2
cos(19) cos19 cos( 6) cos 1
3
3
3
32
tan(30 ) tan 30 3 3
运用知识 强化练习 练习5.5.2
求下列各三角函数值： （1） tan( ) ；
6 （2） sin(390 ) ； （3） cos( 8) ；
公式二
sin() sin cos( ) cos
tan() tan
tan(2k ) tan
sin( ) sin
诱导公式ppt课件
课堂巩固
D 1.已知 cos
3 5
，0
2
，则 cos
2
的值为(
)
A. 4
B. 3
3 C.
4 D.
5
5
5
5
解析：因为 cos 3 ， 0 ，所以sin 4 ，
5
2
5
则 cos
2
sin
4 5
.故选：D.
2.若 为第二象限角,且 tan π 1 ,则
2
1 cos 1 sin( π
x2, tan(π )
y2 x2
.
从而得到公式二
sin(π ) sin
cos(π ) cos
tan(π ) tan
Hale Waihona Puke (2)如果作P关于x轴(或y轴)的对称点P3(或P4)，那么又可以得到什么
结论?
如图，作 P1 关于 x 轴的对称点 P3 ，则以OP3 为终边 的角为 ，并且有
公式三
)
解：
tan( 180) tan[(180 )] tan(180 ) tan ，
cos(180 ) cos[(180 )] cos(180 ) cos ，
所以原式
cos sin ( tan )(cos )
cos
.
作 P1 关于直线
y=x
的对称点
P5，以
OP5 为终边的角
与角 π 2
根据三角形的定义，得
x5 y1 ， y5 x1
从而得
sin
π 2
y5
，
cos
π 2
x5
公式五
sin
π 2
cos
cos
π 2
人教A版必修第一册5.3诱导公式课件
90
解：因为 sin 37 sin(90 (53 )) cos(53 ),
因为-270 90 , 所以143 53 323 ,
1
由sin(53 )= 0， 得143 53 180 ，
5
1
2
所以cos(53 )= 1-sin 2 (53 ) 1 ( )2 6,
同名三角函数间的相互转化.
k （k Z , R）的三角函数求值.
2
口诀：奇变偶不变 ，符号看象限.
公 sin π α sin α,
式 cos π α cos α,
四 tan π α tan α.
三
公式剖析
口诀：奇变偶不变，符号看象限
问题1：作关于直线y=x的对称点5 (x5, y5)，以为终边的角与以
5 为终边的角有什么关系？角，的三角函数值之间有什么关系？
2k (k Z ), 易证 x y5 , y x5 ,
2
sin y,cos x,
略解：
A
P5 ( x5 , y5 )
一 tan( 2k ) tan
二 tan π α tan α. 三
同名三角函数间的相互转化和化简.
sin α sin α,
cos α cos α,
tan α tan α.
公 sin π α sin α,
2
=
解：原式
cos sin sin sin
2
解：因为 sin 37 sin(90 (53 )) cos(53 ),
因为-270 90 , 所以143 53 323 ,
1
由sin(53 )= 0， 得143 53 180 ，
5
1
2
所以cos(53 )= 1-sin 2 (53 ) 1 ( )2 6,
同名三角函数间的相互转化.
k （k Z , R）的三角函数求值.
2
口诀：奇变偶不变 ，符号看象限.
公 sin π α sin α,
式 cos π α cos α,
四 tan π α tan α.
三
公式剖析
口诀：奇变偶不变，符号看象限
问题1：作关于直线y=x的对称点5 (x5, y5)，以为终边的角与以
5 为终边的角有什么关系？角，的三角函数值之间有什么关系？
2k (k Z ), 易证 x y5 , y x5 ,
2
sin y,cos x,
略解：
A
P5 ( x5 , y5 )
一 tan( 2k ) tan
二 tan π α tan α. 三
同名三角函数间的相互转化和化简.
sin α sin α,
cos α cos α,
tan α tan α.
公 sin π α sin α,
2
=
解：原式
cos sin sin sin
2
三角函数的诱导公式 课件
诱导公式五、六
自学导引
1．诱导公式五、六
公式五：sin π2－α＝ cos α ，cos π2－α＝ sin α ； 公式六：sin π2＋α＝ cos α ，cos π2＋α＝－sin α . 公式五和公式六可以概括如下：
π 2±α
的正弦(余弦)函数值，分别等于
α
的余弦(正弦)函数值，前
面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
由 cos α≤0 可知，角 α 的终边也可以在坐标轴上．
[正解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限或 x 轴的非正半轴上或 y 轴上．
角的概念推广后，按角的终边的位置，可以将角分为 象限角与坐标轴上的角．同学们在学习过程中，不能只记住了 象限角，而把终边在坐标轴上的角遗忘了．
2．利用诱导公式可得到如下结论： sin 32π－α＝－cos α，cos 32π－α＝－sin α； sin 32π＋α＝－cos α，cos 32π＋α＝sin α.
想一想：你能结合诱导公式三、五推导出诱导公式六吗？ 提示 诱导公式六的推导： ∵π2＋α＝π2－(－α)，由诱导公式五得： sin π2＋α＝sin π2－－α＝cos (－α)＝cos α， cos 2π＋α＝cos 2π－－α＝sin (－α)＝－sin α. 即 sin π2＋α＝cos α，cos 2π＋α＝－sin α.
－cos 3π＝－12.
(12 分)
【题后反思】 这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时， 可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角 三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．
误区警示 对角的终边位置考虑不全面而出错 【示例】 若|cos α|＝sin 32π－α，请指出角 α 的终边的位置． [错解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限．
自学导引
1．诱导公式五、六
公式五：sin π2－α＝ cos α ，cos π2－α＝ sin α ； 公式六：sin π2＋α＝ cos α ，cos π2＋α＝－sin α . 公式五和公式六可以概括如下：
π 2±α
的正弦(余弦)函数值，分别等于
α
的余弦(正弦)函数值，前
面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
由 cos α≤0 可知，角 α 的终边也可以在坐标轴上．
[正解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限或 x 轴的非正半轴上或 y 轴上．
角的概念推广后，按角的终边的位置，可以将角分为 象限角与坐标轴上的角．同学们在学习过程中，不能只记住了 象限角，而把终边在坐标轴上的角遗忘了．
2．利用诱导公式可得到如下结论： sin 32π－α＝－cos α，cos 32π－α＝－sin α； sin 32π＋α＝－cos α，cos 32π＋α＝sin α.
想一想：你能结合诱导公式三、五推导出诱导公式六吗？ 提示 诱导公式六的推导： ∵π2＋α＝π2－(－α)，由诱导公式五得： sin π2＋α＝sin π2－－α＝cos (－α)＝cos α， cos 2π＋α＝cos 2π－－α＝sin (－α)＝－sin α. 即 sin π2＋α＝cos α，cos 2π＋α＝－sin α.
－cos 3π＝－12.
(12 分)
【题后反思】 这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时， 可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角 三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．
误区警示 对角的终边位置考虑不全面而出错 【示例】 若|cos α|＝sin 32π－α，请指出角 α 的终边的位置． [错解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限．
5.3.1诱导公式(第一课时)课件(人教版)
(
2
+ ) = 6 ,
(
2
=
+
+ ) = 6
= 1 , = 1 ，
公式六
( + ) = ，
2
( + ) = − .
2
sin( ) sin[ ( )] sin( ) cos
cos( ) cos
cos( ) cos
tan( ) tan 负化正
tan( ) tan
与的终边关于x轴对称
与的终边关于y轴对称
大化小
(锐角)
典例精析
例1.利用公式求下列三角函数值：
8
16
(1) 225°；(2) ；(3) (−
3
从而得： ( − ) = ，
公式四 ( − ) = − ，
( − ) = − .
−
( , )
归纳总结
y
α的终边
P1 ( x, y )
r=1
α
O
x
A(1,0)
归纳总结
α
sin
cos α
3
2
2
2
1
根据三角函数的定义，得：
1
= 1 , = 1 ， = ；
1
2
( + ) = 2 , ( + ) = 2 ，( + ) = .
2
从而得：( + ) = −1 , ( + ) = 1 ，( + ) =
诱导公式的应用教学课件
在积分运算中的应用
积分运算
诱导公式在积分运 算中有着广泛的应 用，通过诱导公式 可以将复杂的积分 问题化简为简单的 计算。
三角函数积 分
利用诱导公式，可 以快速求解三角函 数的积分，提高解 题效率。
拓展应用
诱导公式不仅在积 分运算中有应用， 还可以拓展到其他 数学领域，如求解 微分方程等。
04
诱导公式的应用 实例
诱导公式的应用教 学课件
目录
01 诱导公式的基本概念 02 诱导公式的基本应用 03 诱导公式的拓展应用 04 诱导公式的应用实例 05 诱导公式的注意事项
01
诱导公式的基本 概念
诱导公式定义
基本概念
诱导公式是三角函数中一些具有 特殊性质的恒等式。
应用领域
诱导公式在三角函数的化简、求 值、证明等方面有广泛应用。
导公式来解决一些复杂的数学问题。
解决实际问题
三角函数的图像变换
诱导公式可以应用于三角函数的图像变换中， 例如平移、伸缩和对称变换等，以帮助我们更
好地理解和分析函数的性质。
03
诱导公式的拓展 应用
在解三角形中的应用
解决角度问题
诱导公式可以用于解决解三角形 中的角度问题，通过将角度转换 到已知的坐标系中，简化计算过 程。
角度的化简
利用诱导公式，将角度化简到0到 360度之间，便于后续的三角函数 计算。
特殊角的三角函数值
利用诱导公式，求出特殊角的三 角函数值，为解决实际问题提供 基础数据。
三角函数的求值
在解决三角函数的求值问题时，需 要将角度与弧度制进行转换，利用 诱导公式简化计算。
利用诱导公式，可以快速求出特殊 角的三角函数值，如30°、45°、 60°等。
高中数学《诱导公式》课件
sin
α＝y，cos
α＝x，当x≠0时，tan
α＝
y x
.
(1)如图5.2-8(1)，作点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，－y)，则∠xOP1=－α.
由三角函数的定义可得
sin(－α)＝－y＝－sin α，
cos(－α)＝x＝cos α，
当x≠0时，tan(－α)＝
y x
y x
tan.
(1) 图5.2-8
2 诱导公式．
诱导公式揭示了终边具 有某种对称关系的两个角三 角函数之间的关系.
一 诱导公式
例
12
化简：
(1)
sin
3
2
；
(2)
cos
3
2
.
解
(1)
sin
3
2
sin
2
sin
2
cos
；
(2)
cos
3
2
cos
2
cos
2
sin
.
一 诱导公式
例
13
化简：cos cos
探究α与π －α之间的函数 关系，我们还可以从这两个角 的终边关于y轴对称来推导，试 试看.
一 诱导公式
为了使用方便，我们将上述探究得到的公式总结如下：
公式二 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α.
公式三 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.
利用公式五，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
一 诱导公式
当角α的终边不在坐标轴上时，还可以得出以下公式：
公式六
5.3诱导公式-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
Ox
α的终边先关于直线y=x对称，再关于 P7(x7,y7)
原点对称就得到3π/2-α的终边
x7=-x5=-y1 , y7=- y5= -x1
sinα=y1
s i n
3π 2
α
y7
公式七
sin 3π α -cosα 2
cosα=x1
cos
3π 2
α
x7
cos 3π α -sinα 2
负化正，大化小，化到用锐公角式一再查表
锐角的三角 用公式 0~2π的角的 随堂练习：
函数
二或四 三角函数 P191 1 2
课堂探究——利用诱导公式化简
例2 化简：cos(180 α)sin(α 360) tan(α 180)cos(180 α)
随堂练习： P191 3
课堂探究——诱导公式（五~八）
2.在应用平方关系时，一定要先 确定α的终边位置是否确定，若不 确定，应分类讨论. 3.应用正切公式时，还应看tanα是 否有意义.
随堂练习： P184 1 2
方法小结——利用同角三角函数的基本关系化简与证明
(1)从左到右推导或从右到左推导，一般由繁到简；
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；
sinα=y1 sin(-α)=y3 sin(-α)=-sinα
cosα=x1 cos(-α)=x3
tanα y1 x1
tan- α y3
x3
cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα
y P1(x1,y1)
α O -α x
P3(x3,y3)
课堂探究——诱导公式探究
以OP4为终边的角β=2kπ+(π-α)(k∈Z) P4(x4,y4) π-α y P1(x1,y1)
α的终边先关于直线y=x对称，再关于 P7(x7,y7)
原点对称就得到3π/2-α的终边
x7=-x5=-y1 , y7=- y5= -x1
sinα=y1
s i n
3π 2
α
y7
公式七
sin 3π α -cosα 2
cosα=x1
cos
3π 2
α
x7
cos 3π α -sinα 2
负化正，大化小，化到用锐公角式一再查表
锐角的三角 用公式 0~2π的角的 随堂练习：
函数
二或四 三角函数 P191 1 2
课堂探究——利用诱导公式化简
例2 化简：cos(180 α)sin(α 360) tan(α 180)cos(180 α)
随堂练习： P191 3
课堂探究——诱导公式（五~八）
2.在应用平方关系时，一定要先 确定α的终边位置是否确定，若不 确定，应分类讨论. 3.应用正切公式时，还应看tanα是 否有意义.
随堂练习： P184 1 2
方法小结——利用同角三角函数的基本关系化简与证明
(1)从左到右推导或从右到左推导，一般由繁到简；
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；
sinα=y1 sin(-α)=y3 sin(-α)=-sinα
cosα=x1 cos(-α)=x3
tanα y1 x1
tan- α y3
x3
cos(-α)= cosα tan(-α)= -tanα
y P1(x1,y1)
α O -α x
P3(x3,y3)
课堂探究——诱导公式探究
以OP4为终边的角β=2kπ+(π-α)(k∈Z) P4(x4,y4) π-α y P1(x1,y1)
诱导公式ppt课件
利用诱导公式进行化简、求值
例 1 计算： (1)sin2120°＋cos180°＋tan45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)；
1＋cos100°sin170° (2)cos370°＋ 1－sin2170°. • [分析] 利用诱导公式，先化简再求值．
[解析] (1)原式＝sin260°－cos0°＋tan45°－cos230°＋sin30°＝34－1＋
sin
π 3
3； 2
（3）
sin
16π 3
sin 16π 3
sin
5π
π 3
sin
π 3
3； 2
（4） tan(2040) tan 2040 tan((180 60) tan 60 3 .
利用公式一~公式四，可以把任意角的三角函数转化为 锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
cos
.
• 诱导公式五
思考 1：(1)角π2－α 与角 α 的终边有什么样的位置关系？ (2)点 P1(a，b)关于 y＝x 对称的对称点坐标是什么？ 提示：(1)如图，角π2－α 与角 α 的终边关于 y＝x 对称．
(2)点 P1(a，b)关于 y＝x 对称的对称点坐标是 P2(b，a)．
• 诱导公式六
• 口诀是：“负化正，大化小，化到锐角再查表”．
【对点练习】❶
sin－α－32π·sin32π－α·tan22π－α cosπ2－α·cosπ2＋α·cos2π－α .
[解析] 原式
＝sinc－osα＋ 2π－π2α·[·－cossinπ2＋π2＋αα·c]o·sta2nπ2－2πα－ α
＝csoinsαα··－－scionsαα··ctoasn22αα＝tsainn22αα＝co1s2α.
5.3诱导公式(第一课时)高一数学课件(人教A版必修第一册)
锐求值
得到锐角的三角函数后求值
跟 踪 训 练 1
利用诱导公式，求三角函数值
(1)cos 210°；
11
(2)sin
4
(3)sin
43
−
6
；
；
(4)cos(－1920°).
典 型 例 题 2
例2 化简
化简求值问题
(180°+)(+360°)
(−−180°)(−180°+)
所以π+α可以看成第三象限角，-α可以看成第
四象限角，π-α可以看成第二象限角
自我检测
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式中角α是任意角．(
)
(2)点P(x，y)关于x轴的对称点是P′(－x，y).(
)
(3)诱导公式中的符号是由角α的象限决定的．(
(4)诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变．(
已知 tan
，则 tan
6
3
6
课堂小结
诱导公式一
诱导公式二
sin (π＋α)＝-sinα
cos (π＋α)＝-cosα
tan (π＋α)＝tanα
诱导公式三
诱导公式四
sin (-α)＝sinα
sin (π - α)＝sinα
cos (-α)＝-cosα
tan (-α)＝-tanα
值之间有什么关系？
β
3
角-α与角α的终边关于 x轴 对称
诱导公式三
(x,y)
sin (-α)＝
3
(x,-y)
，
cos (-α)＝
，
tan (-α)＝________
5.3诱导公式(第一课时)课件(人教版)
cosπ－αsinπ－α
(3)sin2kπ＋23πcoskπ＋43π(k∈Z)．
－sinα－sinα
＝ －cosαsinα
＝－csoinsαα
＝－tanα.
例 3 化简下列各式：
(2) 1s＋in225s0in°2＋90co°cso7s9403°0°；
1＋2sin360°－70°cos360°＋70°
4－tanα
＝－sin(α－55°)＝2
2 3.
－2＋3×3
＝
＝7.
4－3
例 3 化简下列各式：
题型三 三角函数式的化简
(1)tan2π－coαssαin－－π2siπn－5απ－coαs6π－α；
sin2π－α
(2) 1s＋ in225s0in°2＋90co°cso7s9403°0°；
·sin－αcos－α cos2π－α [解] (1)原式＝
解 (1)原式＝sin(120°－4×360°)cos(30°＋3×360°)＋cos(60°－3×360°)sin(30° ＋2×360°)＋tan(135°＋360°)
＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°
＝ 23× 23＋12×12－1＝0.
答案
[跟踪训练1] 求下列各式的值： (1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°； (2)sin83πcos316π＋tan－243π.
终边与单位圆的交点坐标如何？
α的终 y 边
o
x π+α的终边
α的终边
P(x ， y)
y
o x Q(-x，-y) π+α的终边
形如 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系
(3)sin2kπ＋23πcoskπ＋43π(k∈Z)．
－sinα－sinα
＝ －cosαsinα
＝－csoinsαα
＝－tanα.
例 3 化简下列各式：
(2) 1s＋in225s0in°2＋90co°cso7s9403°0°；
1＋2sin360°－70°cos360°＋70°
4－tanα
＝－sin(α－55°)＝2
2 3.
－2＋3×3
＝
＝7.
4－3
例 3 化简下列各式：
题型三 三角函数式的化简
(1)tan2π－coαssαin－－π2siπn－5απ－coαs6π－α；
sin2π－α
(2) 1s＋ in225s0in°2＋90co°cso7s9403°0°；
·sin－αcos－α cos2π－α [解] (1)原式＝
解 (1)原式＝sin(120°－4×360°)cos(30°＋3×360°)＋cos(60°－3×360°)sin(30° ＋2×360°)＋tan(135°＋360°)
＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°
＝ 23× 23＋12×12－1＝0.
答案
[跟踪训练1] 求下列各式的值： (1)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°； (2)sin83πcos316π＋tan－243π.
终边与单位圆的交点坐标如何？
α的终 y 边
o
x π+α的终边
α的终边
P(x ， y)
y
o x Q(-x，-y) π+α的终边
形如 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系
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2 2 3 4
2
4
小结：
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐 角的三角函数一般可按下面步骤进行:
任意负角的三角函数 用公式一 或公式四 任意正角的三角函数
用公式一
0~2π角的三角函数
用公式二、 锐角三角函数 或三
课后作业: 1.完成课本第21页练习 2.习题1.2组 13、14
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式四：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
函数名不变，符号看象限
例2.化简求值
（1） sin
因为函数的定义域是R，且 g ( x )
所以 g ( x ) 是奇函数。
公式一：
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan (k Z )
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
ta n
y x
P
1
sin ( ) y
1
o
1
x
P ( x, y )
co s( ) x
ta n ( ) y x y x
sin ( ) sin
公式二
co s( ) co s ta n ( ) ta n
例1判断下列函数的奇偶性：
（1） f ( x ) 1 co s x
解：因为函数的定义域是R，且 所以
f (x)
f ( x ) 1 cos( x ) 1 cos x f ( x )
是偶函数。
（2）
g ( x ) x sin x
x sin ( x ) x ( sin x ) ( x sin x ) g (x)
x r
x 1
x
新授
诱导公式一： s in ( 2 k ) s in
c o s ( 2 k ) c o s ta n ( 2 k ) ta n
公式的作用 :
(k∈z)
可以把任意角的正弦、余弦函数值, 分别化为0 到２的角的同一三角函数值.
三角函数的诱导公式
引入
当 任 意 角 终 边 上 一 点 P ( x , y )满 足 单 位 圆 时 , 正 弦 函 数 值,余 弦 函 数 值,会 有 什 么 样 的 结 果 ?
y
B P
P
y
ByBFra bibliotekyB
M
O M A
x
M
O
A
x
P
O
A
x
O
M
A
x
P
sin
y r
y 1
y; cos
7 6
（2） co s
11 4
（3） tan ( 1 5 6 0
)
解： s in 7 s in ( ) s in 1 (1)
6
( 2 ) co s 11 4 co s(
6
co s( 2
4 ) co s 3 4
6
) co s
s in ( ) s in
公式三
co s( ) co s ta n ( ) ta n
sin( ) sin cos( ) cos tan ( ) tan
公式四
注 : 无论 是锐角还是任意角, 公式均成立； 公式四它的用途 : 可将求负角的三角函数值 转化为求正角的三角函数值.
y
P ( x, y )
sin（1800+600）=y
600
x
sin600 = -y
∴ sin（1800+600）= -sin600 同理： cos（1800+600）= -cos600
2400 =1800+600
一般地：
y
( x, y)
和
1
sin y
co s x
2
4
小结：
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐 角的三角函数一般可按下面步骤进行:
任意负角的三角函数 用公式一 或公式四 任意正角的三角函数
用公式一
0~2π角的三角函数
用公式二、 锐角三角函数 或三
课后作业: 1.完成课本第21页练习 2.习题1.2组 13、14
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式四：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
函数名不变，符号看象限
例2.化简求值
（1） sin
因为函数的定义域是R，且 g ( x )
所以 g ( x ) 是奇函数。
公式一：
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan (k Z )
公式二：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
ta n
y x
P
1
sin ( ) y
1
o
1
x
P ( x, y )
co s( ) x
ta n ( ) y x y x
sin ( ) sin
公式二
co s( ) co s ta n ( ) ta n
例1判断下列函数的奇偶性：
（1） f ( x ) 1 co s x
解：因为函数的定义域是R，且 所以
f (x)
f ( x ) 1 cos( x ) 1 cos x f ( x )
是偶函数。
（2）
g ( x ) x sin x
x sin ( x ) x ( sin x ) ( x sin x ) g (x)
x r
x 1
x
新授
诱导公式一： s in ( 2 k ) s in
c o s ( 2 k ) c o s ta n ( 2 k ) ta n
公式的作用 :
(k∈z)
可以把任意角的正弦、余弦函数值, 分别化为0 到２的角的同一三角函数值.
三角函数的诱导公式
引入
当 任 意 角 终 边 上 一 点 P ( x , y )满 足 单 位 圆 时 , 正 弦 函 数 值,余 弦 函 数 值,会 有 什 么 样 的 结 果 ?
y
B P
P
y
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M
O M A
x
M
O
A
x
P
O
A
x
O
M
A
x
P
sin
y r
y 1
y; cos
7 6
（2） co s
11 4
（3） tan ( 1 5 6 0
)
解： s in 7 s in ( ) s in 1 (1)
6
( 2 ) co s 11 4 co s(
6
co s( 2
4 ) co s 3 4
6
) co s
s in ( ) s in
公式三
co s( ) co s ta n ( ) ta n
sin( ) sin cos( ) cos tan ( ) tan
公式四
注 : 无论 是锐角还是任意角, 公式均成立； 公式四它的用途 : 可将求负角的三角函数值 转化为求正角的三角函数值.
y
P ( x, y )
sin（1800+600）=y
600
x
sin600 = -y
∴ sin（1800+600）= -sin600 同理： cos（1800+600）= -cos600
2400 =1800+600
一般地：
y
( x, y)
和
1
sin y
co s x