近五年上海高考分类汇编——数列与数学归纳法

近五年上海高考汇编——数列与数学归纳

一、填空题

1.（2009年上海高考文13）已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭

⎫

⎝⎛-∈22ππ，n a ,且公差0≠d . 若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =_____时,0)(=k a f . 答案：14.

2.（ 2010年上海高考文12） 在n 行m 列矩阵12321

234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪

⎪⋅⋅⋅

⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭

中， 记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅，当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+= .

答案：45

3．（2010年上海高考文14）将直线1:10l x y +-=、2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-= （*

n N ∈，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则lim n n S →∞

=

答案：

1

2

4.（2010年上海高考理11）将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*

n N ∈，2n ≥）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则lim n n S →∞

=

答案：1

5.（2011年上海高考文2）3lim(1)3

n n

n →∞

-

=+ 答案：2-

6.（2011年上海高考理14）已知点(0,0)O 、0(0,1)Q 和0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10PR 中的一条，记其端点为1Q 、1R ，使之满足11(||2)(||2)0OQ OR --<；记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记

其端点为2Q 、2R ，使之满足22(||2)(||2)0OQ OR --<；依次下去，得到点12,,,,n P P P ，

则0l im||n n Q P →∞

= 答案：3

7.（2012年上海高考理6/文7）有一列正方体，棱长组成以1为首项、

2

1

为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，n V V V 21，则=+++∞

→)(lim 21n n V V V .

答案：

8

7

8.（2012年上海高考文14）已知1

()1f x x

=

+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012

a a =，则2011a a +的值是 .

答案：

3+13526

9. (2013年上海高考理1）计算：20

lim

313

n n n →∞+=+ ．

答案：

13

10.（2013年上海高考理10）设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ 等可能地取值

12319,,,,x x x x ，则方差D ξ= ．

答案：2

30d

11.（2013年上海高考文2）在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=，则23a a += ．

答案：15

二、选择题

12.（2011年上海高考理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i = ），则

{}n A 为等比数列的充要条件为 （ ）

A {}n a 是等比数列

B 1321,,,,n a a a - 或242,,,,n a a a 是等比数列

C 1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 均是等比数列

D 1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同

答案：D

13.（2012年上海高考文18）若2sin

sin

...sin 7

77

n n S π

ππ=+++（n N *

∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）

A ．16 B.72 C.86 D.100 答案：C

14.（2012年上海高考理18）设25

sin 1π

n n a n =

，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100

答案：D

15.（2013年上海高考理17）在数列{}n a 中，21n n a =-．若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素

,i j i j i j c a a a a =⋅++（1,2,,7i = ；1,2,,12j = ）

，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）． A ．18 B. 28 C. 48 D. 63

答案：A

16.（2013年上海高考文18）记椭圆

22

1441

x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2,)n n Ω= ，当点(,)x y 分别在12,,ΩΩ 上时，x y +的最大值分别是12,,M M ，则lim n n M →∞

=（ ）．

A. 0

B.

1

4

C. 2

D. 22 答案：D

三、解答题

17.（2009年上海高考文23）已知{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列

（1）若31n a n =+，是否存在*

m k N ∈、，有1?m m k a a a ++=请说明理由；

（2）若b n =aq n （a 、q 为常数，且aq ≠0），对任意m 存在k ，有b m ·b m+1=b k ，试求a 、q 满足的充要条件； （3）若a n =2n +1，b n =3n ，试确定所有的p ，使数列{b n }中存在某个连续p 项的和是{a n }中的一项，请证明. 解：（1）由1,m m k a a a ++=得6631m k +++，整理后，可得4

2,3

k m -=

m 、k N ∈，2k m ∴-为整数∴不存在n 、k N *∈，使等式成立。