近五年上海高考分类汇编——数列与数学归纳法
2020届上海(沪教版)高考考典——第6章-数列与数学归纳法(6.9-6.10)教师版
6.9数列通项公式的求法例题精讲【例1】例3设{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2，3，…），则它的通项公式是n a =________．【参考答案】已知等式可化为：[]0)1()(11=-++++n n n n na a n a aΘ0>n a (*N n ∈)∴(n+1)01=-+n n na a , 即11+=+n na a n n ∴2≥n 时，nn a a n n 11-=- ∴112211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=---Λ=121121⋅⋅--⋅-Λn n n n =n 1．【例2】已知数列}{n a 中，,2121,211+==+n n a a a 求通项n a ． 【参考答案】由,21211+=+n n a a 得)1(2111-=-+n n a a ,所以数列}1{-n a 构成以111=-a 为首项，以21为公比的等比数列所以1)21(1-=-n n a ,即 1)21(1+=-n n a ．【例3】已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ⋅=2，求数列{}n a 的通项公式． 【参考答案】Θ11=a ，n n a n S ⋅=2，∴当2≥n 时，121)1(--⋅-=n n a n S∴11)1(11221+-=⇒--=-=---n n a a a n a n S S a n n n n n n n ． ∴1122332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-----Λ.)1(21314213211+=⋅⋅⋅⋅--⋅-⋅+-=n n n n n n n n Λ【例4】已知数列{}n a 中，n n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式． 【参考答案】Θn n n a a 321+=+，∴nn n n n a a )23(2211+=-+，令n n n b a =-12则 n n n b b )23(1=-+，∴112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---Λ123)23()23()23()23(2321++++++=---Λn n n 2)23(2-⨯=n【例5】已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a 。
上海高中高考数学知识点总结
上海高中高考数学知识点总结高中数学是高考重点科目之一，对于上海高中生来说，掌握数学知识点是取得高分的关键。
以下是上海高中高考数学知识点的详细总结。
一、数与代数1.数的性质和运算：-自然数、整数、有理数、实数、复数的概念、性质和运算法则；-科学记数法、比例、百分数；-绝对值及其性质。
2.代数式与方程式：-代数式与方程式的概念、性质和基本运算法则；-一元一次方程及一元一次不等式；-一元二次方程与一元二次不等式；-二次根式、双曲线函数及其应用。
3.数列与数学归纳法：-等差数列、等比数列及其求和公式；-递推数列的概念与性质。
二、函数与方程1.函数的概念与性质：-函数的定义、定义域、值域、图像与性质；-函数间的运算、复合函数、反函数；-奇偶函数、周期函数、映射函数。
2.一元函数的应用：-函数的最值、函数和方程的应用；-一元函数的模型建立与求解。
3.二元函数与平面几何：-二元函数的概念与性质；-点、线、面的几何性质与解析方法；-平面直角坐标系与空间直角坐标系。
三、三角函数1.三角函数的概念：-正弦函数、余弦函数、正切函数和它们的图像、性质；-三角函数间的基本关系式与诱导公式。
2.三角函数的应用：-三角函数在平面几何和立体几何中的应用；-三角函数的和差化积、倍角公式与积化和差公式。
四、数理统计与概率1.数据的收集与整理：-数据的概念与类型、频数分布；-统计图表的制作与分析。
2.统计量的计算：-平均数、中位数、众数、四分位数、标准差、方差；-累计频率与累计相对频率。
3.概率与统计：-概率的基本概念、性质和运算；-事件与样本空间、频率与古典概型；-条件概率与贝叶斯公式。
五、解析几何与立体几何1.平面解析几何：-平面上的点、直线和圆的方程；-解析几何与平面几何的应用。
2.空间解析几何：-空间直角坐标系、空间点、直线的方程与性质；-空间几何体的相交关系与计算。
六、数学思维与数学方法1.探索与证明：-数学问题的探索、发现与解决方法；-数学思维的培养与运用。
沪教版(上海) 高三年级 新高考辅导与训练 第四章 数列与数学归纳法 一、等差数列与等比数列
沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第四章数列与数学归纳法一、等差数列与等比数列一、解答题(★★★) 1. 已知是等差数列，，前项和为是等比数列，公比满足，前项和为，求．(★★★) 2.等差数列的前项和为．（Ⅰ）求数列的通项与前项和；（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(★★★) 3.设数列的前项和为已知（I）设，证明数列是等比数列.（II）求数列的通项公式.(★★★) 4. 求和（1）；（2），求；（3），求．(★★★) 5. 求数列的前项和．(★★★) 6. 据下列关系求通项公式：（1），求；（2），求；（3），求．(★★★) 7. 在数列中，．（1）求；（2）求．(★★★★) 8. 设数列的前项和为，已知，且其中为常数．（1）求与的值；（2）证明数列为等差数列；（3）证明不等式对任何正整数都成立．(★★) 9. 在等差数列中，已知，求的值．(★★) 10. 已知数列的前项和为，求数列的前项和．(★★★) 11. 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足．（1）求数列的通项公式及前项和；（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项．(★★★) 12. 已知数列的前 n项和为，，且（ n为正整数）.（1）求数列的通项公式；（2）记…若对任意正整数 n，恒成立，求实数 k的最大值.(★★★) 13. 根据下列条件，求的通项公式：（1）已知，求；（2）已知，求．(★★★) 14. 已知前项和满足下列关系，求．（1）；（2），且，求；（3），求．(★★★) 15. 解答下列各题：（奇表示奇数项和，偶表示偶数项和）（1）是等比数列，，项数为偶数．奇＝85，偶＝170，求；（2）是等差数列，共项，为奇数，，偶，，求通项公式．(★★) 16. 求和：；(★★)17. 为公差为的等差数列，且，求的和（用、表示）.(★★) 18. 求和：．(★★★) 19. 已知数列，求：（1）前项和；（2）通项公式．(★★★) 20. 已知数列{ a n}的前 n项和为 S n，且 S n＝ n﹣5 a n﹣85，n∈N *（1）证明：{ a n﹣1}是等比数列；（2）求数列{ S n}的通项公式．请指出 n为何值时， S n取得最小值，并说明理由？（参考数据15＝﹣14.85）(★★★) 21. 将数列中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成下表：……记表中的第一列数、、、……构成的数列为，，为数列的前项和，且满足（I）证明数列成等差数列，并求数列的通项公式；（II）上表中，若从第三行起，每一行中的数从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当时，求上表中第行所有项的和(★★★★) 22. 在直角坐标平面上的一列点，简记为．若由构成的数列满足，其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称为点列．（1）判断，是否为点列，并说明理由；（2）若为点列，且点在点的右上方．任取其中连续三点，判断的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若为点列，正整数，满足，求证：．(★★★)23. (3’+7’+8’)已知以 a 1为首项的数列{ a n}满足： a n＋1＝.（1）当 a 1＝1， c＝1， d＝3时，求数列{ a n}的通项公式；（2）当0＜ a 1＜1， c＝1， d＝3时，试用 a 1表示数列{ a n}的前100项的和S 100；（3）当0＜ a 1＜（m是正整数）， c＝，d≥3m时，求证：数列 a 2－， a 3m+2－， a 6m+2－，a 9m+2－成等比数列当且仅当 d＝3m.(★★★★) 24.已知数列{ a n}和{ b n}满足： a 1= λ， a n+1= 其中λ为实数， n为正整数．（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{ a n}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{ b n}是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜ a＜ b， S n为数列{ b n}的前 n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数 n，都有 a＜ S n＜ b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．二、填空题(★) 25. 仔细观察数列给出部分的数字，寻找规律，在空白处填上合适的数字．（1）2，3，5，8，__________21；（2）8，_______14，17，20，23；（3）2，4，8，16，_______，64；（4），，，，，_________．(★) 26. 设f（n）＝2+2 4+2 7+2 10+⋅⋅⋅+2 3n+1（n∈N*），则f（n）＝_____．(★★★) 27. 已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是 ________ .(★★★) 28. ，则____________；(★★★) 29. __________；(★★★) 30. __________；(★★) 31. _____________ ．(★★) 32. 在等差数列中，若，则有：（，且）成立.类比上述性质，在等比数列中，若，则有______.(★★) 33. 数列中，且（是正整数），则数列的通项公式．(★★★) 34. 设数列{ }是首项为1的正项数列，且（n+1）,则它的通项公式 ______ .(★★★) 35. 一个有限数列、、、的部分和定义为，其中，称为该有限数列的“凯森和”．已知一个有项的数列、、、的“凯森和”为，则有项的数列、、、、的“凯森和”为_______．三、双空题(★★★) 36. 设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示这条直线交点的个数，则________；当时，______（用表示）；(★★★) 37. 已知次多项式．如果在一种算法中，计算的值共需要次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要______次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：．利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需要______次运算；四、单选题(★★)38. 在等比数列中, ,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（）A．B．C．D．(★★★) 39. 设是以为首项，为公差的等差数列，是为首项，为公比的等比数列，记，则中不超过的项的个数为（）A．8B．9C．10D．11(★★★) 40. 已知数列的前项和，其中、是非零常数，则存在数列、使得（）A．，其中为等差数列，为等比数列B．，其中和都为等差数列C．，其中为等差数列，为等比数列D．，其中和都为等比数列(★★★) 41. 等比数列的公比为，则与的大小关系是（）A．B．C．D．不能确定。
上海市2024年高考二模分类汇编：数列
数列汇编一、题型一：等差数列及其求和1．（23-24高三下·上海浦东新·期中）设()()101100,10Z m m m m m f x a x a x a x a a m m --=++++≠≥∈ ，，记()()1n n f x f x -'=(1,2,,1)n m =-L ，令有穷数列n b 为()n f x 零点的个数()1,2,,1n m =- ，则有以下两个结论：①存在()0f x ，使得n b 为常数列；②存在()0f x ，使得n b 为公差不为零的等差数列.那么（）A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①②都正确D ．①②都错误2．（2024·上海松江·二模）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若35a S =，则使得n n S a <成立的n 的最大值为.3．（2024·上海杨浦·二模）已知实数a 满足：①[0,2π)a ∈；②存在实数,(2π)b c a b c <<<，使得a ，b ，c 是等差数列，cos b ，cos a ，cos c 也是等差数列.则实数a 的取值范围是.4．（2024·上海杨浦·二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于32米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为.5．（2024·上海黄浦·二模）已知数列{}n a 是给定的等差数列，其前n 项和为n S ，若9100a a <，且当0m m =与0n n =时，m n S S -{}()*,|30,m n x x x ∈≤∈N 取得最大值，则00m n -的值为.6．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知等差数列{}n a 满足1612a a +=，47a =，则3a =.7．（2024·上海崇明·二模）若等差数列{}n a 的首项11a =，前5项和525S =，则5a =．8．（2024·上海虹口·二模）已知等差数列{}n a 满足25a =，9672a a +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 前n 项和为n S ，且221n n n b a a +=-，若432m S >，求正整数m 的最小值.二、题型二：等比数列及其求和9．（2024·上海松江·二模）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，有以下两个命题：①若{}n a 是公差不为零的等差数列且N k ∈，2k ≥，则12210k S S S -⋅= 是120k a a a ⋅= 的必要非充分条件；②若{}n a 是等比数列且N k ∈，2k ≥，则120k S S S ⋅= 的充要条件是10k k a a ++=.那么（）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，①是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题10．（2024·上海普陀·二模）设n S 是数列{}n a 的前n 项和(1,N)n n ≥∈，若数列{}n a 满足：对任意的2n ≥，存在大于1的整数m ，使得()()10m n m n S a S a +--<成立，则称数列{}n a 是“G 数列”.现给出如下两个结论：①存在等差数列{}n a 是“G 数列”；②任意等比数列{}n a 都不是“G 数列”.则（）A ．①成立②成立B ．①成立②不成立C ．①不成立②成立D ．①不成立②不成立11．（2024·上海青浦·二模）设n S 是首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和，且202320252024S S S <<，则（）．A ．10a >B ．0q >C ．1n S a ≤D ．n S q<12．（2024·上海长宁·二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在非零常数c ，使得对任意正整数n ，都有n a c =+，则称数列{}n a 具有性质p ：①存在等差数列{}n a 具有性质p ；②不存在等比数列{}n a 具有性质p ；对于以上两个命题，下列判断正确的是（）A ．①真②真B ．①真②假C ．①假②真D ．①假②假13．（2024·上海普陀·二模）设等比数列{}n a 的公比为(1,N)q n n ≥∈，则“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是.14．（2024·上海普陀·二模）设k ，m ，n 是正整数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，11n n S a +=+，若()11ki i i m t S ==-∑，且{0,1}i t ∈，记12()k f m t t t =+++ ，则(2024)f =.15．（2024·上海徐汇·二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3122n n S a =-（n 是正整数），则5a =.16．（2024·上海杨浦·二模）各项为正的等比数列{}n a 满足：12a =，2312a a +=，则通项公式为n a =.17．（2024·上海静安·二模）已知等比数列的前n 项和为12nn S a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则a 的值为．18．（2024·上海金山·二模）设公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若202420226S S -=，则2024a =．19．（2024·上海奉贤·二模）已知{}n a 是公差d =2的等差数列，其前5项和为15，{}n b 是公比q 为实数的等比数列，11b =，426b b -=．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设()221,na n n cb n n =+≥∈N ，计算1ni i c =∑．三、题型三：数列极限及新定义问题20．（2024·上海虹口·二模）已知等比数列{}n a 是严格减数列，其前n 项和为12,n S a =，若123,2,3a a a 成等差数列，则lim n n S →∞=.21．（2024·上海黄浦·二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“T 数列”.对于命题：①存在“T 数列”{}n a ，使得数列{}n S 为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数1a ，都存在实数d ，使得以1a 为首项、d 为公差的等差数列{}n a 为“T 数列”.下列判断正确的是（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①是真命题，②是假命题D ．①是假命题，②是真命题22．（2024·上海徐汇·二模）已知各项均不为0的数列{}n a 满足2211n n n n n a a a a a +++=+（n 是正整数），121a a ==，定义函数11()1(0)!nkn k y f x x x k ===+≥∑，e 是自然对数的底数.(1)求证：数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)记函数()n y g x =，其中()1e ()x n n g x f x -=-.（i ）证明：对任意0x ≥，3430()()()≤≤-g x f x f x ；（ii ）数列{}n b 满足12n n nb a -=，设n T 为数列{}n b 的前n 项和.数列{}n T 的极限的严格定义为：若存在一个常数T ，使得对任意给定的正实数u （不论它多么小），总存在正整数m 满足：当n m ≥时，恒有n T T u -<成立，则称T 为数列{}n T 的极限.试根据以上定义求出数列{}n T 的极限T .23．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列{}n a 满足：存在正整数T ，使得n T n a a +=对一切正整数n 成立，则称{}n a 是周期为T 的周期数列．(1)若ππsin 3n n a m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中正整数m 为常数，N,1n n ∈≥），判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(2)若1sin (N,1)n n n a a a n n +=+∈≥，判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(3)设{}n b 是无穷数列，已知1sin (N,1)n n n a b a n n +=+∈≥．求证：“存在1a ，使得{}n a 是周期数列”的充要条件是“{}n b 是周期数列”．24．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知函数()y f x =及其导函数()y f x '=的定义域均为D .设0x D ∈，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线交x 轴于点()1,0x .当1n ≥时，设曲线()y f x =在点()(),n n x f x 处的切线交x 轴于点()1,0n x +.依此类推，称得到的数列{}n x 为函数()y f x =关于0x 的“N 数列”.(1)若()ln f x x =，{}n x 是函数()y f x =关于01ex =的“N 数列”，求1x 的值；(2)若()24f x x =-，{}n x 是函数()y f x =关于03x =的“N 数列”，记32log 2n n n x a x +=-，证明：{}n a 是等比数列，并求出其公比；(3)若()2xf x a x =+，则对任意给定的非零实数a ，是否存在00x ≠，使得函数()y f x =关于0x 的“N 数列”{}n x 为周期数列？若存在，求出所有满足条件的0x ；若不存在，请说明理由.参考答案一、题型一：等差数列及其求和1．（23-24高三下·上海浦东新·期中）设()()101100,10Z m m m m m f x a x a x a x a a m m --=++++≠≥∈ ，，记()()1n n f x f x -'=(1,2,,1)n m =-L ，令有穷数列n b 为()n f x 零点的个数()1,2,,1n m =- ，则有以下两个结论：①存在()0f x ，使得n b 为常数列；②存在()0f x ，使得n b 为公差不为零的等差数列.那么（）A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①②都正确D ．①②都错误【答案】C【分析】对于①，列举()0mf x x =验证，对于②，列举()()()()012f x x x x m =--- 验证.【详解】当()0mf x x =时，()()110m f x f x mx '-==，此时11b =，()()()2211m f x f x m m x '-==-，此时21b =，⋯()()()()12122m m f x f x m m m x '--==--⨯⨯ ，此时11m b -=，故存在()0f x ，使n b 为常数列；①正确；设()()()()012f x x x x m =--- ，则()0f x 有m 个零点1,2,3,,m ，则()1f x 在()()()1,2,2,3,,1,m m - 的每个区间内各至少一个零点，故()1f x 至少有1m -个零点，因为是一个1m -次函数，故最多有1m -个零点，因此()1f x 有且仅有1m -个零点，同理，()2f x 有且仅有2m -个零点，L ，()k f x 有且仅有m k -个零点，故n b m n =-，所以{}n b 是公差为1-的等差数列，故②正确.故选：C.2．（2024·上海松江·二模）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若35a S =，则使得n n S a <成立的n 的最大值为.【答案】53．（2024·上海杨浦·二模）已知实数a 满足：①[0,2π)a ∈；②存在实数,(2π)b c a b c <<<，使得a ，b ，c 是等差数列，cos b ，cos a ，cos c 也是等差数列.则实数a 的取值范围是.4．（2024·上海杨浦·二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于32米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为.【答案】134【分析】由题设信息，第一层有m根，共有n层，利用等差数列前n项和公式列出关系式，再借助整除的思想分析计算得解.【详解】设第一层有m根，共有n层，则(1)20242nn nS nm-=+=，4(21)404821123n m n+-==⨯⨯，显然n和21m n+-中一个奇数一个偶数，则1121368nm n=⎧⎨+-=⎩或1621253nm n=⎧⎨+-=⎩或23176nm=⎧⎨=⎩，即11179nm=⎧⎨=⎩或16119nm=⎧⎨=⎩或2377nm=⎧⎨=⎩，显然每增加一层高度增加53厘米，当11179nm=⎧⎨=⎩时，10531096.6h=⨯+≈厘米150<厘米，此时最下层有189根；当16119nm=⎧⎨=⎩时，155310139.9h=⨯+≈厘米150<厘米，此时最下层有134根；当2377nm=⎧⎨=⎩时，225310200.52150h=⨯+≈>厘米，超过32米，所以堆放占用场地面积最小时，最下层圆钢根数为134根.故答案为：1345．（2024·上海黄浦·二模）已知数列{}n a是给定的等差数列，其前n项和为n S，若9100a a<，且当m m=与0n n=时，m nS S-{}()*,|30,m n x x x∈≤∈N取得最大值，则00m n-的值为.【答案】21【分析】不妨设数列{}n a的公差大于零，不妨取m n>，则1mm n ii nS S a=+-=∑，设3030910iik S S a==-=∑，再分9,30n m>=和9,30n m<=两种情况讨论，可得出n的值，再讨论30m<，即可求出0m，即可得解.【详解】不妨设数列{}n a的公差大于零，6．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知等差数列{}n a 满足1612a a +=，47a =，则3a =.【答案】5【分析】由等差数列的性质可得.【详解】因为{}n a 是等差数列，所以1634a a a a +=+，则有3127a =+，解得35a =.故答案为：5.7．（2024·上海崇明·二模）若等差数列{}n a 的首项11a =，前5项和525S =，则5a =．【答案】9【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式，列出方程，即可求解.【详解】因为等差数列{}n a 的首项11a =，前5项和525S =，由等差数列的求和公式，可得15555()5(1)2522a a a S ⨯+⨯+===，解得59a =.故答案为：9.8．（2024·上海虹口·二模）已知等差数列{}n a 满足25a =，9672a a +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 前n 项和为n S ，且221n n n b a a +=-，若432m S >，求正整数m 的最小值.【答案】(1)21n a n =+(2)10【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意根据等差数列通项公式得到关于1a 、d 的方程组，解得即可求出通项公式；（2）由（1）可得22188n n n b a a n +=-=+，利用等差数列求和公式求出n S ，再解不等式即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1115872(5)a d a d a d +=⎧⎨++=+⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，故1(1)21n a a n d n =+-=+；（2）由（1）可得123n a n +=+，则22221(23)(21)88n n n b a a n n n +=-=+-+=+，所以18(2)n n b b n --=≥，则数列{}n b 是以116b =为首项，8为公差的等差数列，故()216884122n n n S n n++==+，因为432m S >，所以2412432m m +>，所以4(12)(9)0m m +->，所以9m >或12m <-，因为N*m ∈，所以9m >，所以m 的最小值是10．二、题型二：等比数列及其求和9．（2024·上海松江·二模）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，有以下两个命题：①若{}n a 是公差不为零的等差数列且N k ∈，2k ≥，则12210k S S S -⋅= 是120k a a a ⋅= 的必要非充分条件；②若{}n a 是等比数列且N k ∈，2k ≥，则120k S S S ⋅= 的充要条件是10k k a a ++=.那么（）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，①是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题分析得解.10．（2024·上海普陀·二模）设n S 是数列{}n a 的前n 项和(1,N)n n ≥∈，若数列{}n a 满足：对任意的2n ≥，存在大于1的整数m ，使得()()10m n m n S a S a +--<成立，则称数列{}n a 是“G 数列”.现给出如下两个结论：①存在等差数列{}n a 是“G 数列”；②任意等比数列{}n a 都不是“G 数列”.则（）A ．①成立②成立B ．①成立②不成立C ．①不成立②成立D ．①不成立②不成立【答案】D【分析】由题意可得任意的n ≥2，存在大于1的整数m ，使得1n m n a S a +<<，对命题①，分公差0d >或0d <两种情况讨论可判断结论，对于②，举例如2n n a =，可判断结论.【详解】由“G 数列”的定义，对任意的n ≥2，存在大于1的整数m ，使得1()()0m n m n S a S a +--<，成立，则对任意的n ≥2，存在大于1的整数m ，使得1n m n a S a +<<，对于命题①不成立，理由如下：假设存在11n m n m a S a S ++<<<< ，当0d >时，总存在2k a d >，由于对任意正整数n ，有1n n a a d +-=，所以总存在正整数k ，使得1k S -与1S 2k k S d -->，所以不会存在112n k n k n a S a S a -++<<<<，当0d <时，总存在2k a d <，由于对任意正整数n ，有1n n a a d +-=，所以总存在正整数k ，使得1k S -与1S 2k k S d --<，所以不会存在112n k n k n a S a S a -++<<<<，对于命题②不成立，理由如下：举例说明：如2n n a =，有122n n S +=-，因为1n m n a S a +<<，所以112222n m n ++<-<，可以取m n =，就可以保证不等式成立，综上所述：①不成立，②不成立.故选：D.【点睛】考查新定义题型，考查转化思想与阅读理解能力，以及分类讨论思想的应用.11．（2024·上海青浦·二模）设n S 是首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和，且202320252024S S S <<，则（）．A ．10a >B ．0q >C ．1n S a ≤D ．n S q<12．（2024·上海长宁·二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在非零常数c ，使得对任意正整数n ，都有n a c =+，则称数列{}n a 具有性质p ：①存在等差数列{}n a 具有性质p ；②不存在等比数列{}n a 具有性质p ；对于以上两个命题，下列判断正确的是（）A ．①真②真B ．①真②假C ．①假②真D ．①假②假【答案】B【分析】直接构造21n a n =-和()11n n a -=-，说明存在等差数列{}n a 具有性质p ，且存在等比数列{}n a 具有性质p ，从而得到①真②假.【详解】一方面，对21n a n =-，知{}n a 是等差数列.而()211212n S n n n =⋅+-=，令1c =就有22211n n S n n a c ==-+=+，所以{}n a 具有性质p ，这表明存在等差数列{}n a 具有性质p ；另一方面，对()11n n a -=-，知{}n a 是等比数列.当n 为奇数时，1n a =；n 为偶数时，1n a =-.故当n 为奇数时，1n S =；n 为偶数时，0n S =.故当n 为奇数时，22111n n S a ==+=+；n 为偶数时，20111n n S a ==-+=+.这表明21n n S a =+恒成立，再令1c =就有2n n S a c =+，所以{}n a 具有性质p ，这表明存在等比数列{}n a 具有性质p .综上，①正确，②错误，故B 正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：构造21n a n =-和()11n n a -=-作为例子，直接判断命题的真假，是判断选项正确性的简单有效的方法.13．（2024·上海普陀·二模）设等比数列{}n a 的公比为(1,N)q n n ≥∈，则“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是.【答案】3q =（或2q =-,答案不唯一）【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解．【详解】212a ，4a ，32a 成等差数列，则4232122a a a =+，即26q q =+，解得3q =或2q =-，故“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是3q =（或2)q =-．故答案为：3q =（或2q =-,答案不唯一）14．（2024·上海普陀·二模）设k ，m ，n 是正整数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，11n n S a +=+，若()11ki i i m t S ==-∑，且{0,1}i t ∈，记12()k f m t t t =+++ ，则(2024)f =.【答案】7【分析】根据数列递推式求出{}n a 的通项，从而可得i S ，进而可得m ，根据12()k f m t t t =+++ ，即可求出(2024)f ．15．（2024·上海徐汇·二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22n n S a =-（n 是正整数），则5a =.16．（2024·上海杨浦·二模）各项为正的等比数列{}n a 满足：12a =，2312a a +=，则通项公式为n a =.【答案】2n【分析】利用给定条件，求出等比数列{}n a 的公比，再写出通项公式.【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为,0q q >，由12a =，2312a a +=，得21112a q a q +=，则260q q +-=，解得2q =，所以112n nn a a q -==.故答案为：2n17．（2024·上海静安·二模）已知等比数列的前n 项和为12nn S a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则a 的值为．【答案】1-【分析】根据题意，分别求得112a a =+，214a =-，318a =-，结合2213a a a =，列出方程，即可求解.【详解】由等比数列的前n 项和为12nn S a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得1112a S a ==+，22111()2414a S a S a ==+-=--+，33211()4818a S a S a ==+-=--+，所以2111()()()428a -=+⨯-，解得1a =-，经检验符合题意.故答案为：1-.18．（2024·上海金山·二模）设公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若202420226S S -=，则2024a =．【答案】4【分析】根据等比数列的通项公式及前n 项和的概念计算即可得解.【详解】因为20242022202420232023(1)6S S a a a q -=+=⋅+=，所以20232a =，故20242023224a a q =⋅=⨯=.故答案为：419．（2024·上海奉贤·二模）已知{}n a 是公差d =2的等差数列，其前5项和为15，{}n b 是公比q 为实数的等比数列，11b =，426b b -=．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设()221,na n n cb n n =+≥∈N ，计算ni c ∑．【答案】(1)23n a n =-，12n n b -=；(2)()5416n-．三、题型三：数列极限及新定义问题20．（2024·上海虹口·二模）已知等比数列{}na 是严格减数列，其前n 项和为12,n S a =，若123,2,3a a a 成等差数列，则lim n n S →∞=.21．（2024·上海黄浦·二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“T 数列”.对于命题：①存在“T 数列”{}n a ，使得数列{}n S 为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数1a ，都存在实数d ，使得以1a 为首项、d 为公差的等差数列{}n a 为“T 数列”.下列判断正确的是（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①是真命题，②是假命题D ．①是假命题，②是真命题【答案】A【分析】根据题意，结合“T 数列”的定义，举出实例说明①②，即可得出答案.【详解】对于命题①，对于数列{}n a ，令21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，则11,12,2n n n S n -=⎧=⎨≥⎩，数列{}n S 为公比不为1的等比数列，当1n =时，11S =是数列{}n a 中的项，当2n ≥时，12n n S -=是数列{}n a 中的项，所以对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，故命题①正确；对于命题②，等差数列{}n a ，令1a d =-，则()()112n a a n d n d =+-=-，则()()()123222n n n d n d n a a n n S d ⎡⎤-+-+-⎣⎦===，因为21n -≥-且2Z n -∈，()2313912228n n n -⎛⎫=--≥- ⎪⎝⎭，且()3N*,Z 2n n n -∈∈，所以对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，所以对于任意的实数1a ，都存在实数d ，使得以1a 为首项、d 为公差的等差数列{}n a 为“T 数列”，故命题②正确；故选：A.22．（2024·上海徐汇·二模）已知各项均不为0的数列{}n a 满足2211n n n n n a a a a a +++=+（n 是正整数），121a a ==，定义函数11()1(0)!nkn k y f x x x k ===+≥∑，e 是自然对数的底数.(1)求证：数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)记函数()n y g x =，其中()1e ()x n n g x f x -=-.（i ）证明：对任意0x ≥，3430()()()≤≤-g x f x f x ；（ii ）数列{}n b 满足12n n nb a -=，设n T 为数列{}n b 的前n 项和.数列{}n T 的极限的严格定义为：若存在一个常数T ，使得对任意给定的正实数u （不论它多么小），总存在正整数m 满足：当n m ≥时，恒有n T T u -<成立，则称T 为数列{}n T 的极限.试根据以上定义求出数列{}n T 的极限T .再证：343()()()≤-g x f x f x .又434()()4!-=f x f x x ，记334()()4!=-g x h x x ，则()()3333!''=-x h x g x ()3e 13!x x -=-，由0,e 10x x -≥-≤，故()30h x '≤且仅当0x =时等号成立，于是()3h x 在[)0,+∞上是严格减函数，故()()3300h x h ≤=，于是()4304!≤≤x g x ，证毕.（ii ）由题意知，()2112221(2)1!2!1!--=++++=- n n n f T n ，下面研究()n y f x =.将（i ）推广至一般情形.()111111e !1!n n k k k k xn g x x x k k -=-=⎡⎤⎛⎫'=-⎥⎛+⎢ ⎪⎝⎭⎭⎣ ⎝⎦⎫+⎪∑∑e !n x x n -=，由()*0,N ,e 0,!nxn x x n g x n -'≥∈=≥当且仅当0x =时等号成立，于是()n g x 在[)0,+∞上是严格增函数，故()()00n n g x g ≥=成立.①再证：1()()()n n n g x f x f x +≤-.()11()(1)!n n n f x f x x n ++-=+，记()1!()()1n n n h x g x x n ++=-，则()()!n n n x h x g x n ''=-()1!nx xe n -=-，由*0,N ,e 10x x n -≥∈-≤，故()0nh x '≤当且仅当0x =时等号成立，于是()n h x 在[)0,+∞上是严格减函数，故()()00n n h x h ≤=，于是()()101!n n x g x n +≤≤+，所以，()1101!11e (1)!n nxk k x x k n -+=≤-+≤+∑，即对任意0x ≥，10()()()n n n g x f x f x +≤≤-.于是对2n ≥，110()()()≤≤---n n n g x f x f x ，整理得1(0e e !)-≤-≤n n xxf x x n ，令2x =，得12(2)20e e !-≤-≤n x n n f ，即22e 20e !n n T n ⋅≤-≤，故22e 2e !n n T n ⋅-≤.（方法一）当6n ≥时，(1)(2)5416n n --≥⨯>故44222[1(2)(1)][23(3)](1)!n n n n n n -=⨯<⋅-⋅-⋅⨯⨯⨯-=-…即2(1)!n n <-，23．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列{}n a 满足：存在正整数T ，使得n T n a a +=对一切正整数n 成立，则称{}n a 是周期为T 的周期数列．(1)若ππsin 3n n a m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中正整数m 为常数，N,1n n ∈≥），判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(2)若1sin (N,1)n n n a a a n n +=+∈≥，判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(3)设{}n b 是无穷数列，已知1sin (N,1)n n n a b a n n +=+∈≥．求证：“存在1a ，使得{}n a 是周期数列”的充要条件是“{}n b 是周期数列”．【答案】(1){}n a 是周期为2m 的周期数列，理由见解析(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据题设定义，利用sin y x =的周期，即可得出结果；（2）分()1πZ a k k =∈与()1πa k k Z ≠∈两种情况讨论，当()1πZ a k k =∈，易得到{}n a 是周期为1的周期数列，当()1πZ a k k ≠∈时，构造()sin f x x x =+，则1()n n a f a +=，利用导数与函数单调性间的关系，可得出{}n a是严格增（或减）数列，从而可得出结果；（3）根据条件，利用充要条件的证明方法，即可证明结果.【详解】（1）因为2ππππππsin (2)sin 2πsin 333n m n n n a n m a mm m +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以{}n a 是周期为2m 的周期数列．（2）①当12a a =时，1sin 0a =，()1πZ a k k =∈，所以当()1πZ a k k =∈时，{}n a 是周期为1的周期数列，②当()1πZ a k k ≠∈时，记()sin f x x x =+，则1()n n a f a +=，()1cos 0f x x '=+≥，当且仅当()()1121πZ x k k =+∈时等号成立，即()1cos 0f x x =+>'，所以()f x 在R 上严格增，若12a a <，则12()()f a f a <，即23a a <，进而可得1234a a a a <<<< ，即{}n a 是严格增数列，不是周期数列；同理，若12a a >，可得{}n a 是严格减数列，不是周期数列．综上，当1π()a k k =∈Z 时，{}n a 是周期为1的周期数列；当1π()a k k ≠∈Z 时，{}n a 不是周期数列．（3）必要性：若存在1a ，使得{}n a 是周期数列，设{}n a 的周期为0T ，则00011sin sin n T n T n T n n n b a a a a b +++++=-=-=，所以{}n b 是周期为0T 的周期数列，充分性：若{}n b 是周期数列，设它的周期为T ，记1a x =，则10()a f x x==211()sin a f x b x ==+，是关于x 的连续函数；3221()sin ()a f x b f x ==+，是关于x 的连续函数；…1()T T a f x -=，是关于x 的连续函数；11sin ()T T T a b f x +-=+，令1()sin ()T T g x x b f x -=--，则()g x 是连续函数，且1(2)2sin ()0T T g b f x -+=->，1(2)2sin ()0T T g b f x --=--<，所以()g x 存在零点c ，于是1sin ()0T T c b f c ---=，取1a c =，则111sin ()T T T a b f c c a +-=+==，从而211112sin sin T T T a b a b a a +++=+=+=，322223sin sin T T T a b a b a a +++=+=+=，……一般地，n T n a a +=对任何正整数n 都成立，即{}n a 是周期为T 的周期数列．（说明：关于函数连续性的说明不作要求）【点睛】方法点晴：对于数列的新定义问题，解决问题的关键在于准确理解定义，并结合定义进行判断或转化条件.24．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知函数()y f x =及其导函数()y f x '=的定义域均为D .设0x D ∈，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线交x 轴于点()1,0x .当1n ≥时，设曲线()y f x =在点()(),n n x f x 处的切线交x 轴于点()1,0n x +.依此类推，称得到的数列{}n x 为函数()y f x =关于0x 的“N 数列”.(1)若()ln f x x =，{}n x 是函数()y f x =关于01ex =的“N 数列”，求1x 的值；(2)若()24f x x =-，{}n x 是函数()y f x =关于03x =的“N 数列”，记32log 2n n n x a x +=-，证明：{}n a 是等比数列，并求出其公比；(3)若()2x f x a x=+，则对任意给定的非零实数a ，是否存在00x ≠，使得函数()y f x =关于0x 的“N 数列”{}n x 为周期数列？若存在，求出所有满足条件的0x ；若不存在，请说明理由.求出函数的单调区间，进而可得出结论.【详解】（1）由()ln f x x =，得()1f x x'=，因为01ex =，则()()001,e f x f x -'==，所以曲线()y f x =在点()()00,x f x 的切线方程为()11e e y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，令0y =，则2ex =，所以12ex =；（2）由()24f x x =-，得()2f x x '=，于是曲线()y f x =在点()(),n n x f x 处的切线方程为()()242n n n y x x x x --=-，令0y =，则2142n n nx x x x ++==，由题意得到2113332142222log log 2log 242222n n n n n n n n n nx x x x a a x x x x +++++++====+---，所以12n n a a +=，又因为0113333102232log 2log 2log 2log 52232x x a x x +++====---，所以数列{}n a 是以32log 5为首项，2为公比的等比数列；（3）由()2x f x a x =+，得()()222a x f x a x -'=+，所以曲线()y f x =在点()(),n n x f x 处的切线方程为()()2222n n n n n x a x y x x a x a x --=-++，令0y =，则3122n n n x x x x a+==-，设特征函数为()322x g x x a =-，则()()()()224222222326x x a x ax g x x a x a -'-==--，情况1：当a<0时，则()(),,x a a ∞∞∈---⋃-+，此时()()()2222230x x a g x x a --'=≥，所以函数()g x 在定义域内为增函数，情况2：当0a >时，x 令()0g x '>，得3x >令()0g x '<，得3a -所以不可能为0，所以数列不可能为周期数列；若k 为奇数，()()121ki j j k k k i j x x x x x x +--==+++++∑ 中，每一个括号内的式子都与k x 是同号的，所以不可能为0，所以数列不可能为周期数列；当()(),,,,33n a a x a a a a ∞∞⎛⎫⎛⎫∈--⋃--⋃⋃+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，1n n x x +>，可得得到起初1,n n x x +是正负交替，但是以后会一直为正或负，所以不能成周期数列，故当0a >时，有13a x =±满足条件，使得数列成周期为2的周期数列，此时03a x =±，综上所述，存在03a x =±满足题意.【点睛】方法点睛：等比数列的两种判定方法：（1）定义法：1n na q a +=（常数）()N n *∈⇔数列{}n a 为等比数列；（2）等差中项法：()212N n n n a a a n *++=⋅∈⇔数列{}n a 为等比数列.。
上海高三数列知识点总结
上海高三数列知识点总结数列作为高中数学中的重要内容之一，一直以来都是考试中的热门考点。
上海高三的学生们需要对数列知识点进行全面的总结和掌握，以应对考试的挑战。
本文将对上海高三数列知识点进行详细总结，帮助学生们系统地学习和理解这一部分内容。
一、等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值保持不变。
其通项公式为An = A1 + (n-1)d，其中An为第n项，A1为首项，d为公差。
对于等差数列，我们需要掌握以下几个重要的知识点：1. 公差的计算：可以通过已知的两项来计算等差数列的公差，公式为d = A(n+1) - An。
2. 前n项和的计算：等差数列的前n项和可以通过公式S(n) = (n/2)(A1 + An)来计算，其中S(n)表示前n项和。
3. 判断数列是否为等差数列：对于给定的数列，可以通过计算相邻两项的差值是否相等来判断是否为等差数列。
二、等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之间的比值保持不变。
其通项公式为An = A1 * r^(n-1)，其中An为第n项，A1为首项，r为公比。
对于等比数列，我们需要掌握以下几个重要的知识点：1. 公比的计算：可以通过已知的两项来计算等比数列的公比，公式为r = An / A(n-1)。
2. 前n项和的计算：等比数列的前n项和可以通过公式S(n) = A1 * (1 - r^n) / (1 - r)来计算，其中S(n)表示前n项和。
3. 判断数列是否为等比数列：对于给定的数列，可以通过计算相邻两项的比值是否相等来判断是否为等比数列。
三、数列的性质除了掌握等差数列和等比数列的相关知识点外，还需要了解数列的一些重要性质，以深入理解数列的内涵。
以下是数列的常见性质：1. 单调性：数列可以是递增的（严格递增或非严格递增），也可以是递减的（严格递减或非严格递减）。
2. 有界性：数列可以是有上界的（存在上确界）或有下界的（存在下确界），也可以是无界的。
3. 奇偶性：数列中的项可以具有奇偶性，即可以是奇数项或偶数项。
上海高三数学知识点汇总
上海高三数学知识点汇总在上海的高三学生中，数学是一门重要的学科，占据着高中阶段学业的重要部分。
为了帮助广大高三学生更好地复习，下面将对上海高三数学的知识点进行汇总和总结，以便学生们更好地掌握和回顾。
1. 数列与数列的通项公式：- 等差数列：数列中的每个数与它的前一个数的差相等。
通项公式为：An = A1 + (n-1)d。
- 等比数列：数列中的每个数与它的前一个数的比相等。
通项公式为：An = A1 * r^(n-1)。
- 斐波那契数列：数列中的每个数都是前两个数之和。
通项公式为：An = An-1 + An-2。
2. 函数与方程：- 一次函数：y = kx + b，其中k和b分别代表斜率和截距。
- 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
- 指数函数：y = a^x，其中a为底数，x为指数。
- 对数函数：y = loga(x)，其中a为底数，x为真数。
- 一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，求解x的值。
3. 三角函数：- 正弦函数：sin(x) = 对边/斜边。
- 余弦函数：cos(x) = 临边/斜边。
- 正切函数：tan(x) = 对边/临边。
- 余切函数：cot(x) = 临边/对边。
- 正割函数：sec(x) = 斜边/临边。
- 余割函数：csc(x) = 斜边/对边。
4. 几何知识点：- 直线与平面的关系：直线可以与平面相交、平行或位于平面内部。
- 平行线与垂直线：两线平行的条件为斜率相等，两线垂直的条件为斜率的乘积为-1。
- 三角形分类：根据边长和角度大小，可以将三角形分类为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
- 同位角与内错角：同位角是指两条直线被一条直线相交所形成的一对内错角。
以上仅为上海高三数学知识点的汇总，仍然包含了大量的内容。
高三学生们可以结合自己的学习情况，有针对性地进行复习和巩固。
上海第期高三名校数学理试题分省分项汇编 专题 数列数学归纳法与极限解析含解析
一．基础题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，若6a 是7a 和8a 的等比中项，则n a =________.2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．3. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】若nn r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→12lim 存在，则实数r 的取值范围是_____________．4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】在n n n C B A ∆中，记角n A 、n B 、n C 所对的边分别为n a 、n b 、n c ，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边1+=n a n ，则=∞→n n C lim （ ）．.A 2π .B 3π .C 4π .D 6π5. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】221lim 2n n n n→∞+=-___________.6. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d lim .【答案】1 【解析】试题分析：圆心为(0,1)，21nd n =+，22limlim1111n n n n→∞→∞==++． 考点：点到直线距离公式，极限．7.【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】计算：2(1)(13)lim(2)(1)n n n n n n →∞+-=-++________．8. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知数列{}n a 中，11a =，*13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___________.9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】设正项数列}{n a 的前n 项和是n S ,若}{n a 和}{n S 都是等差数列,且公差相等,则1a =_______________. 【答案】14【解析】试题分析：等差数列}{n a 的公差为d ，则21()22n d dS n a n =+-，21()22n d dS n a n =+-，数列}{n S 是等差数列，则n S 是关于n 的一次函数（或者是常函数），则102da -=，2n d S n =，从而数列}{n S 的公差是2d ，那么有2d d =，0d =（舍去）或12d =，114a =． 考点：等差数列的通项公式．10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】计算：2211lim[()]12n n n n n →+∞--++=_________．11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】设正数数列{}n a 的前n 项和是n S ,若{}n a 和{n S }都是等差数列,且公差相等,则=+d a 1__ _.12. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】计算：210lim323xnn→∞++=.【答案】23【解析】试题分析：这属于“∞∞”型极限问题，求极限的方法是分子分母同时除以n（n的最高次幂），化为一般可求极限型，即210lim323xnn→∞++1022lim2333nnn→∞+==+．考点：“∞∞”型极限13.【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】如果()1111112312nf nn n=++++++++L L(*n N∈)那么()()1f k f k+-共有项.14.【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】计算：=+∞→133limnnn．15.【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】已知数列{}{}n n b a ,都是公差为1的等差数列,其首项分别为11,b a ,且,511=+b a,,11N b a ∈设),(N n a c n b n ∈=则数列{}n c 的前10项和等于______.【答案】85 【解析】试题分析：数列{}n c 到底是什么暂时不知，因此我们试着把其前10项的和10S 表示出来，1210b b S a a =++L10b a +11121[(1)][(1)][(1)]n a b a b a b =+-++-+++-L 1121010()10a b b b =++++-L =111091010102a b ⨯++-1110()451085a b =++-=. 考点：等差数列的通项公式与前n 和公式.二．能力题组1. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列{}na 满足()()*+∈=-+N n n a a n nn ,11，则数列{}na 的前2016项的和2016S 的值是___________．可行，由此我们可得2016S =12344342414()()k k k k a a a a a a a a ---+++++++++L L 20132014(a a ++2015a + 2016)a +(222)(226)(22(42))(222014)k =+⨯++⨯+++⨯-+++⨯L L 25044(13=⨯+⨯++5+L 1007)+=1017072．考点：分组求和．2. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n 级分形图．则n 级分形图的周长为__________．3. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知函数2sin)(2πn n n f =，且)1()(++=n f n f a n ，则=++++2014321a a a a Λ ． 【答案】4032- 【解析】试题分析：考虑到sin2n π是呈周期性的数列，依次取值1,0,1,0,-L ，故在122014a a a +++L 时要分组求和，又由n a 的定义，知1352013a a a a ++++L (1)(2)(3)(4)(2013)(2014)f f f f f f =++++++L2222221357200920112013=-+-++-+L 1(53)(53)(97)(97)=+-++-++L (20132011)+-⋅(20132011)+12(357920112013)=+++++++L 110062016=+⨯，242014a a a +++L(2)(3)(4)f f f =+++(5)(2014)(2015)f f f +++L 22223520132015=-+++-L 22(352013)2015=+++-L 2100620062015=⨯-，从而122014a a a +++L 1210062016=+⨯⨯图（1）图（2）图（3）……22015-4032=-．考点：周期数列，分组求和．4. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1a 与5a 的等比中项为2，则42a a +的最小值等于 ．5. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】数列{}n a 满足*,5221...2121221N n n a a a n n ∈+=+++，则=n a .6. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知函数,1)(22+=x x x f 则 ()()()111112(2013)20142320132014f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭K L （ ）(A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 2013217. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a Λ .8. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2cos 1πn n a n +=（*N n ∈），则=2014S . 【答案】1006 【解析】试题分析：组成本题数列的通项公式中，有式子cos2n π，它是呈周期性的，周期为4，因此在求和2014S 时，想象应该分组，依次4个为一组，12341(12)1(14)a a a a +++=+-+++6=，56781(16)1(18)6a a a a +++=+-+++=，43424141[1(42)]1(14)k k k k a a a a k k ---+++=+--+++6=，最后还剩下20131a =，2014120142013a =-=-，所以20146503120131006S =⨯+-=．考点：分组求和．9. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则前6项的和6S= .（用数字作答）10. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】等差数列{}n a 中，1102,15a S ==，记2482n n B a a a a =++++L ，则当n =____时，n B 取得最大值.11. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知函数()(2318,3133,3x tx x f x t x x ⎧-+≤⎪=⎨-->⎪⎩，记()()*n a f n n N =∈，若{}n a 是递减数列，则实数t 的取值范围是______________.12. 【上海市十三校2013年高三调研考数学试卷（理科）】已知无穷数列{}n a 具有如下性质:①1a 为正整数；②对于任意的正整数n ,当n a 为偶数时,12nn a a +=;当n a 为奇数时,112n n a a ++=.在数列{}n a 中，若当n k ≥时，1n a =，当1n k ≤<时，1n a >（2k ≥，*k N ∈），则首项1a 可取数值的个数为 （用k 表示）三．拔高题组1. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】数列{}n a 是递增的等差数列，且661-=+a a ，843=⋅a a ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值； （3）求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】(1) 210n a n =-；（2）20-；（3）229,15,*,940,6,*,n n n n n N T n n n n N ⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩．【解析】2.【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】已知数列{}a中，n13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2n n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1r s <<且r ，*s N ∈，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.（2）假设在数列{}n a 中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为1k a -，k a ，1k a +（2k ≥，*k N ∈），由题意得，112+-+=k k k a a a ，将1)1(2--+=k k k a ，211)1(2----+=k k k a ，kk k a )1(211-+=++代入上式得……7分])1(2[])1(2[])1(2[21211k k k k k k -++-+=-++---………………8分化简得，21)1(42---⋅=-k k ，即11)1(42---⋅=k k ，得4)2(1=--k ，解得3=k所以，存在满足条件的连续三项为2a ，3a ，4a 成等比数列。
上海高二数列与数学归纳
第7章 数列与数学归纳法练习四 数列求通项公式及求和的几种方法 ※ 等差、等比基本概念及性质（补充）：1、公差：111n n mn n a a a a d a a n n m---===--- 公比：11,n n m n nma a qq a a --==； 2、若{},{}n n a b 为等差数列,前n 项和分别为n n S T 、,若()n n S f n T =，则(21)n naf n b =-； 第一部分：求数列通项公式：类型1：等差求通项思想：叠加求通项，用于11()()nn n n a a f n a a f n ---=⇔=+型；1123111)2()1()()()()(a f n f n f a a a a a a a a n n n n n +++-+=+-++-+-=--- 例1：设数列{}a n 中，12a =，11n n a a n +=++，则通项a n = .类型2：等比求通项思想：叠乘求通项，用于11()()nn n n a f n a a f n a --=⇔=⋅型； 1122332211a a aa a a a a a a a a n n n n n n n ••••••=----- = 1)2()1()(a f n f n f •••-• 例2：在数列{}n a 中，111,(2),1n n a na n a n -==≥-则?n a = 类型3： 已知 n S 求通项n a ：⎩⎨⎧=≥-=-1,2,11n S n S S a n n n例3：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，142n n S a +=+．①设12n n n b a a +=-，例3：已知数列{}a n 的前n 项和,22n n S a =-① 求34a a 、；②证明：数列12a a n n +-是一个等比数列.③求{}a n 的通项公式.2，，．:求{n a 11lg n b r+=+1. 错位相减法：设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则求数列{}n n b a 的前n 项和时，常常将{}n n b a 的各项乘以{}n b 的公比，并向后错一项；2. 裂项相消法：把通项公式是分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式拆成两个分式差的形式之后再求和； 裂项求和的几种常见类型：① 111)1(1+-=+=n n n n a n ② )121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n③])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n④ nn n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 ⑤()n k n kkn n -+=++11⑥⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-12112121)12)(12(1n n n n⑦ 若{}n a 为公差d 的等差数列，则111111()n n n n a a d a a ++=-；221111()2n n n n a a d a a ++=-⑧()b a ba ba --=+11 ⑨mn m n m n C C C -=+-113. 倒序相加法：若某数列中，与首末两项等距离的两相和等于首末两项和，可采用把正着写的和倒着写的两个式子相加，就得到一个与常数数列求和相关的式子；4. 分组求和：若数列{}n a 的通项公式为n n n b a c +=，其中{}{}n n b a ,中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法；5. 公式法：（1）直接用等差、等比求和公式求和； （2）一些常见的数列的前n 项和： ① 2)1(321+=++++n n n ②2222(1)(21)1236n n n n ++++++=③2462(1)n n n ++++=+ ④213521n n ++++-=⑤2233332(1)(1)123[]24n n n n n ++++++==※数列求和及通项的练习见 练习三、等差数列与等比数列的综合运用(数列求和、递推公式)。
上海市高中数学知识点总结
上海市高中数学知识点总结一、集合与函数概念1. 集合的含义、表示方法以及集合与集合之间的关系；2. 集合的运算，包括交集、并集、补集；3. 函数的概念、函数的性质、函数的运算；4. 函数的图像、函数的变换、反函数的概念；5. 常见函数类型，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
二、数列与数学归纳法1. 数列的概念、数列的通项公式；2. 等差数列与等比数列的性质、求和公式；3. 数列的极限概念及其计算；4. 数学归纳法的原理与应用。
三、排列组合与概率1. 排列组合的基本概念、公式及计算方法；2. 二项式定理及其应用；3. 事件的概率、条件概率、独立事件的概率；4. 随机事件的概率计算、期望值与方差。
四、三角函数与三角恒等变换1. 三角函数的定义、性质和图像；2. 三角函数的基本关系式、三角函数的和差公式；3. 三角函数的倍角公式、半角公式；4. 三角函数的积化和差公式、和差化积公式。
五、平面向量与解析几何1. 向量的基本概念、线性运算、数量积；2. 向量的几何意义、向量的坐标表示；3. 直线的方程、圆的方程；4. 圆锥曲线的方程及其性质。
六、立体几何1. 空间几何体的基本概念、性质；2. 空间直线与平面的位置关系；3. 立体图形的表面积与体积计算；4. 空间向量及其在立体几何中的应用。
七、微积分1. 导数的定义、性质、运算法则；2. 函数的极值与最值问题、导数的应用；3. 不定积分的概念、积分法则；4. 定积分的概念、性质、计算方法；5. 微积分在实际问题中的应用。
八、概率论与数理统计1. 随机变量的概念、分布律、期望与方差；2. 离散型随机变量与连续型随机变量；3. 多维随机变量及其分布；4. 大数定律与中心极限定理；5. 样本及其分布、参数估计、假设检验。
九、数学思维与方法1. 逻辑推理、数学归纳与演绎；2. 数学建模与问题解决策略；3. 创新思维在数学学习中的应用；4. 数学思想方法的历史发展与现代教育意义。
专题09 数列-五年(2017-2021)高考数学真题分项详解(新高考地区专用)(解析版)
专题09 数列【2021年】一、【2021·浙江高考】已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A.100332S << B. 10034S << C. 100942S <<D.100952S << 【答案】A 【解析】【分析】显然可知，10012S >，利用倒数法得到21111124n n a a +⎛⎫==+-⎪⎪⎭，再放缩可得12<，由累加法可得24(1)n a n ≥+，进而由1n a +=113n n a n a n ++≤+，然后利用累乘法求得6(1)(2)n a n n ≤++，最后根据裂项相消法即可得到1003S <，从而得解．【详解】因为)111,N n a a n *+==∈，所以0n a >，10012S >．由211111124n n n a a a ++⎛⎫=⇒==+-⎪⎪⎭2111122n a +⎛⎫∴<+⇒<+⎪⎪⎭12<11122n n -+≤+=，当且仅当1n =时取等号，12412(1)311n n n n a n a a a n n n ++∴≥∴=≤=++++ 113n n a n a n ++∴≤+， 由累乘法可得6(1)(2)n a n n ≤++，当且仅当1n =时取等号，由裂项求和法得： 所以10011111111116632334451011022102S ⎛⎫⎛⎫≤-+-+-++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100321S <<． 故选：A ．24(1)n a n ≥+，由题目条件可知要证100S 小于某数，从而通过局部放缩得到1,n n a a +的不等关系，改变不等式的方向得到6(1)(2)n a n n ≤++，最后由裂项相消法求得1003S <．【2021·浙江高考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-. （1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）33()4nn a =-⋅；（2）31λ-≤≤. 【解析】【分析】（1）由1439n n S S +=-，结合n S 与n a 的关系，分1,2n n =≥讨论，得到数列{}n a 为等比数列，即可得出结论；（2）由3(4)0n n b n a +-=结合(1)的结论，利用错位相减法求出n T ，n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，分类讨论分离参数λ，转化为λ与关于n 的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-， 当2n ≥时，由1439n n S S +=-①， 得1439n n S S -=-②，①-②得143n n a a +=122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=， 又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列， 1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)()34n n n n b a n -=-=-， 所以234333333210(4)44444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝+⎭⎭，2413333333321(5)(4)444444nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得234113333333(4)4444444n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-111993334(4)44444n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以134()4n nT n +=-⋅， 由n n T b λ≤得1334()(4)()44n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤； 4n >时，312344n n n λ≥-=----，得3λ≥-； 所以31λ-≤≤.【点睛】易错点点睛：（1）已知n S 求n a 不要忽略1n =情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中(4)30n n λ-+≥恒成立，要对40,40,40n n n -=->-<讨论，还要注意40n -<时，分离参数不等式要变号.二、【2021·江苏高考】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm ×12dm 的长方形纸，对折1次共可以得到10dm ×12dm ，20dm ×6dm 两种规格的图形，它们的面积之和S 1=240dm 2，对折2次共可以得到5dm ×12dm ，10dm ×6dm ，20dm ×3dm 三种规格的图形，它们的面积之和S 2=180dm 2，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______ ；如果对折n 次，那么∑S k n k=1= ______ dm 2．【答案】5 240(3−n+32n)【知识点】数列求和方法【解析】解：易知有20dm ×34dm,10dm ×32dm,5dm ×3dm,52dm ×6dm ，54dm ×12dm ，共5种规格； 由题可知，对折k 次共有k +1种规格，且面积为2402k ，故S k =240(k+1)2k，则∑S k n k=1=240∑k+12kn k=1，记T n =∑k+12kn k=1，则12T n =∑k+12k+1n k=1， ∴12T n =∑k+12k n k=1−∑k+12k+1n k=1=1+(∑k+22k+1n−1k=1−∑k+22k+1n k=1)−n+12n+1=1+14(1−12n−1)1−12−n+12n+1=32−n+32n+1，∴T n =3−n+32n，∴∑S k n k=1=240(3−n+32n)． 故答案为：5；240(3−n+32n)．依题意，对折k 次共有k +1种规格，且面积为2402k ，则S k =240(k+1)2k，∑S k n k=1=240∑k+12knk=1，然后再转化求解即可．本题考查数列的求和，考查数学知识在生活中的具体运用，考查运算求解能力及应用意识，属于中档题．【2021·江苏高考】已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1={a n +1,n 为奇数,a n +2,n 为偶数.(1)记b n =a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式； (2)求{a n }的前20项和．【答案】解：(1)因为a 1=1，a n+1={a n +1,n 为奇数a n +2,n 为偶数，所以a2=a1+1=2，a3=a2+2=4，a4=a3+1=5，所以b1=a2=2，b2=a4=5，b n−b n−1=a2n−a2n−2=a2n−a2n−1+a2n−1−a2n−2=1+2=3，所以数列{b n}是以b1=2为首项，以3为公差的等差数列，所以b n=2+3(n−1)=3n−1．(2)由(1)可得a2n=3n−1，n∈N∗，则a2n−1=a2n−2+2=3(n−1)−1+2=3n−2，n≥2，当n=1时，a1=1也适合上式，所以a2n−1=3n−2，n∈N∗，所以数列{a n}的奇数项和偶数项分别为等差数列，×3+则{a n}的前20项和为a1+a2+...+a20=(a1+a3+⋯+a19)+(a2+a4+⋯+a20)=10+10×92×3=300．10×2+10×92【知识点】数列的递推关系、数列求和方法【解析】(1)由数列{a n}的通项公式可求得a2，a4，从而可得求得b1，b2，由b n−b n−1=3可得数列{b n}是等差数列，从而可求得数列{b n}的通项公式；(2)由数列{a n}的通项公式可得数列{a n}的奇数项和偶数项分别为等差数列，求解即可．本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．【2020年】一、【2020·北京高考】在等差数列{a n}中，a1=−9，a5=−1.记T n=a1a2…a n(n=1,2，…)，则数列{T n}()A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项【答案】B【知识点】等差数列的通项公式、等差数列的性质、数列的函数特征【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的函数特性，考查分析问题与解决问题的能力，是中档题．由已知求出等差数列的通项公式，分析可知数列{a n}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值，进一步分析得答案． 【解答】解：设等差数列{a n }的首项为d ，由a 1=−9，a 5=−1，得d =a 5−a 15−1=−1−(−9)4=2，∴a n =−9+2(n −1)=2n −11． 由a n =2n −11=0，得n =112，而n ∈N ∗，可知数列{a n }是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值． 可知T 1=−9<0，T 2=63>0，T 3=−315<0，T 4=945>0为最大项， 自T 5起均小于0，且逐渐减小． ∴数列{T n }有最大项，无最小项． 故选：B ．【2020·北京高考】已知{a n }是无穷数列．给出两个性质：①对于{a n }中任意两项a i ，a j (i >j)，在{a n }中都存在一项a m ，使得 a i2a j =a m ；②对于{a n }中任意一项a n (n ≥3)，在{a n }中都存在两项a k ，a l (k >l)，使得a n =a k2a l．(Ⅰ)若a n =n(n =1,2，…)，判断数列{a n }是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若a n =2n−1(n =1,2，…)，判断数列{a n }是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (Ⅲ)若{a n }是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{a n }为等比数列． 【答案】解：(Ⅰ)不满足，理由：a 32a 2=92∉N ∗，不存在一项a m 使得a 32a 2=a m ．(Ⅱ)数列{a n }同时满足性质①和性质②，理由：对于任意的i 和j ，满足a i 2a j=22i−j−1，因为i ∈N ∗，j ∈N ∗且i >j ，所以2i −j ∈N ∗，则必存在m =2i −j ，此时，2m−1∈{a i }且满足a i 2a j=22i−j−1=a m ，性质①成立，对于任意的n ，欲满足a n =2n−1=a k2a l=22k−l−1，满足n =2k −l 即可，因为k ∈N ∗，l ∈N ∗，且k >l ，所以2k −l 可表示所有正整数，所以必有一组k ，l 使n =2k −l ，即满足a n =a k2a l，性质②成立．(Ⅲ)首先，先证明数列恒正或恒负， 反证法：假设这个递增数列先负后正，那么必有一项a l 绝对值最小或者有a l 与a l+1同时取得绝对值最小， 如仅有一项a l 绝对值最小，此时必有一项a m =a l2a j，此时|a m |<|a l |与前提矛盾，如有两项a l 与a l+1 同时取得绝对值最小值，那么必有a m =a i 2a i+1，此时|a m |<|a l |，与前提条件矛盾， 所以数列必然恒正或恒负，在数列恒正的情况下，由②知，存在k ，l 使得a k 2a l=a 3，因为是递增数列，a 3>a k >a l ，即3>k >l ，所以a 22a 1=a 3，此时a 1，a 2，a 3成等比数列，数学归纳法：(1)已证n =3时，满足{a n }是等比数列，公比q =a2a 1，(2)假设n =k 时，也满足{a k }是等比数列，公比q =a2a 1，那么由①知a k 2a k−1=qa k 等于数列的某一项a m ，证明这一项为a k+1即可，反证法：假设这一项不是a k+1，因为是递增数列，所以该项a m =a l2a l−1=qa k >a k+1，那么a k <a k+1<qa k ，由等比数列{a k }得a 1q k−1<a k+1<a 1q k ， 由性质②得a 1q k−1<a m2a l<a 1q k ，同时a k+1=a m2a l>a m >a l ，所以k +1>m >l ，所以a m ，a l 分别是等比数列{a k }中两项，即a m =a 1q m−1，a l =a 1q l−1， 原式变为a 1q k−1<a 1q 2m−l−1<a 1q k ，所以k −1<2m −l −1<k ，又因为k ∈N ∗，m ∈N ∗，l ∈N ∗，不存在这组解，所以矛盾， 所以知a k 2ak−1=qa k =a k+1，前{a k+1}为等比数列，由数学归纳法知，{a n }是等比数列得证， 同理，数列恒负，{a n }也是等比数列． 【知识点】等比数列的性质、数列的函数特征 【解析】(Ⅰ)由a 32a 2=92∉N ∗，即可知道不满足性质．(Ⅱ)对于任意的i 和j ，满足a i2a j=22i−j−1，⇒2i −j ∈N ∗，必存在m =2i −j ，可得满足性质①；对于任意的n ，欲满足a n =2n−1=a k2a l=22k−l−1，⇒n =2k −l 即可，必存在有一组k ，l 使使得它成立，故满足性质②．(Ⅲ)先用反证法证明数列必然恒正或恒负，再用数学归纳法证明{a n}也是等比数列，即可．本题属于新定义题，考查等比数列的性质，数学归纳法等，考查逻辑思维能力，属于难题．二、【2020·浙江高考】已知等差数列{a n}的前n项和S n，公差d≠0，a1d⩽1.记b1=S2，b n+1=S n+2−S2n，n∈N∗，下列等式不可能成立的是()A. 2a4=a2+a6B. 2b4=b2+b6C. a42=a2a8D. b42=b2b8【答案】B【知识点】等差数列的通项公式、数列的递推关系、等差数列的求和【解析】【分析】本题考查数列递推式，等差数列的通项公式与前n项和，考查转化思想和计算能力，是中档题．由已知利用等差数列的通项公式判断A与C；由数列递推式分别求得b2,b4,b6,b8，分析B，D成立时是否满足公差d≠0，a1d⩽1判断B与D．【解答】解：在等差数列{a n}中，a n=a1+(n−1)d，S n+2=(n+2)a1+(n+2)(n+1)2d，S2n=2na1+2n(2n−1)2d，b1=S2=2a1+d，b n+1=S n+2−S2n=(2−n)a1−3n2−5n−22d．∴b2=a1+2d，b4=−a1−5d，b6=−3a1−24d，b8=−5a1−55d．A.2a4=2(a1+3d)=2a1+6d，a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d，故A正确；B.2b4=−2a1−10d，b2+b6=a1+2d−3a1−24d=−2a1−22d，若2b4=b2+b6，则−2a1−10d=−2a1−22d，即d=0不合题意，故B错误；C.若a42=a2a8，则(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d)，即a12+6a1d+9d2=a12+8a1d+7d2，得a1d=d2，∵d≠0，∴a1=d，符合a1d⩽1，故C正确；D.若b42=b2b8，则(−a1−5d)2=(a1+2d)(−5a1−55d)，即2(a1d )2+25a1d+45=0，则a1d有两不等负根，满足a1d⩽1，故D正确．∴等式不可能成立的是B．故选：B．【2020·浙江高考】我国古代数学家杨辉、宋世杰等研究过高阶等差数列求和问题，如数列{n(n+1)2}就是二阶等差数列，数列{n(n+1)2}，(n∈N∗)的前3项和______．【答案】10【知识点】数列的通项公式、数列的函数特征【解析】【分析】本题考查数列求和，数列通项公式的应用，是基本知识的考查．求出数列的前3项，然后求解即可．【解答】解：数列{a n}满足a n=n(n+1)2，可得a1=1，a2=3，a3=6，所以S3=1+3+6=10．故答案为：10．【2020·浙江高考】已知数列{a n}，{b n}，{c n}满足a1=b1=c1=1，c n+1=a n+1−a n，c n+1=b nb n+2⋅c n(n∈N∗)．(1)若{b n}为等比数列，公比q>0，且b1+b2=6b3，求q的值及数列{a n}的通项公式；(2)若{b n}为等差数列，公差d>0，证明：c1+c2+c3+⋯+c n<1+1d，n∈N∗．【答案】(1)解：由题意，b2=q，b3=q2，∵b1+b2=6b3，∴1+q=6q2，整理，得6q2−q−1=0，解得q=−13(舍去)，或q=12，∴c n+1=b nb n+2⋅c n=1b n+2b n⋅c n=1q2⋅c n=1(12)2⋅c n=4⋅c n，∴数列{c n}是以1为首项，4为公比的等比数列，∴c n=1⋅4n−1=4n−1，n∈N∗．∴a n+1−a n=c n+1=4n，则a1=1，a2−a1=41，a3−a2=42，……a n−a n−1=4n−1，各项相加，可得a n=1+41+42+⋯+4n−1=1−4n1−4=4n−13．(2)证明：依题意，由c n+1=b nb n+2⋅c n(n∈N∗)，可得b n+2⋅c n+1=b n⋅c n，两边同时乘以b n+1，可得b n+1b n+2c n+1=b n b n+1c n，∵b1b2c1=b2=1+d，∴数列{b n b n+1c n}是一个常数列，且此常数为1+d，b n b n+1c n=1+d，∴c n=1+db n b n+1=1+dd⋅db n b n+1=(1+1d)⋅b n+1−b nb n b n+1=(1+1d)(1b n−1b n+1)，∴c1+c2+⋯+c n=(1+1d)(1b1−1b2)+(1+1d)(1b2−1b3)+⋯+(1+1d)(1b n−1b n+1) =(1+1d)(1b1−1b2+1b2−1b3+⋯+1b n−1b n+1)=(1+1d)(1b1−1b n+1)=(1+1d)(1−1b n+1)<1+1d，∴c1+c2+⋯+c n<1+1d，故得证．【知识点】数列的递推关系、数列求和方法、裂项相消法、等比数列的通项公式【解析】本题主要考查数列求通项公式，等差数列和等比数列的基本量的运算，以及和式不等式的证明问题．考查了转化与化归思想，整体思想，方程思想，累加法求通项公式，裂项相消法求和，放缩法证明不等式，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属于综合题．(1)先根据等比数列的通项公式将b 2=q ，b 3=q 2代入b 1+b 2=6b 3，计算出公比q 的值，然后根据等比数列的定义化简c n+1=b nbn+2⋅c n 可得c n+1=4c n ，则可发现数列{c n }是以1为首项，4为公比的等比数列，从而可得数列{c n }的通项公式，然后将通项公式代入c n+1=a n+1−a n ，可得a n+1−a n =c n+1=4n ，再根据此递推公式的特点运用累加法可计算出数列{a n }的通项公式； (2)通过将已知关系式c n+1=b nbn+2⋅c n 不断进行转化可构造出数列{b n b n+1c n }，且可得到数列{b n b n+1c n }是一个常数列，且此常数为1+d ，从而可得b n b n+1c n =1+d ，再计算得到c n =1+db n b n+1，根据等差数列的特点进行转化进行裂项，在求和时相消，最后运用放缩法即可证明不等式成立．三、【2020·天津高考】已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，b 5=4(b 4−b 3). (Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗)；(Ⅲ)对任意的正整数n ，设c n ={(3a n −2)b na n a n+2,n 为奇数,a n−1bn+1,n 为偶数．求数列{c n }的前2n 项和．【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 由a 1=1，a 5=5(a 4−a 3)，则1+4d =5d ，可得d =1， ∴a n =1+n −1=n ， ∵b 1=1，b 5=4(b 4−b 3)， ∴q 4=4(q 3−q 2)， 解得q =2， ∴b n =2n−1； 证明(Ⅱ)由(Ⅰ)可得S n =n(n+1)2，∴S n S n+2=14n(n +1)(n +2)(n +3)，(S n+1)2=14(n +1)2(n +2)2，∴S n S n+2−S n+12=−12(n +1)(n +2)<0， ∴S n S n+2<S n+12(n ∈N ∗)；解：(Ⅲ)，当n 为奇数时，c n =(3a n −2)b n a n a n+2=(3n−2)2n−1n(n+2)=2n+1n+2−2n−1n，当n 为偶数时，c n = a n−1b n+1=n−12n，对任意的正整数n ，有∑c 2k−1n k=1=∑(n k=122k 2k+1−22k−22k−1)=22n 2n+1−1，和∑c 2k n k=1=∑2k−14knk=1=14+342+543+⋯+2n−14n，①， 由①×14可得14∑c 2k n k=1=14+34+⋯+2n−34+2n−14，②，①−②得34∑c 2k n k=1=14+242+243+⋯+24 n −14--2n−14n+1， ∴∑c 2k n k=1=59−6n+59×4n ，因此∑c 2k 2n k=1=∑c 2k−1n k=1+∑c 2k n k=1=4n 2n+1−6n+59×4−49．数列{c n }的前2n 项和4n2n+1−6n+59×4n−49．【知识点】错位相减法、等差数列的通项公式、数列求和方法、等比数列的通项公式【解析】本题考查了等差数列等比数列的通项公式和求和公式，考查了不等式的大小比较，考查了数列求和的方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于难题． (Ⅰ)分别根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式即可求出； (Ⅱ)根据等差数列的求和公式和作差法即可比较大小，则可证明； (Ⅲ)分类讨论，再根据错位相减法即可求出前2n 项和．四、【2020·上海高考】计算：lim n→∞ n+13n−1=【答案】13【知识点】极限思想 【解析】 【分析】本题考查数列的极限的求法，注意运用极限的运算性质，考查运算能力，是一道基础题． 由极限的运算法则和重要数列的极限公式，可得所求值． 【解答】解：，故答案为：13．【2020·上海高考】已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，且a1+a10=a9，则a1+a2+⋯+a9a10=．【答案】278【知识点】等差数列的通项公式、等差数列的求和【解析】【分析】本题考查等差数列的前n项和与等差数列通项公式的应用，注意分析a1与d的关系，属于基础题．根据等差数列的通项公式可由a1+a10=a9，得a1=−d，在利用等差数列前n项和公式化简a1+a2+⋯+a9a10即可得出结论．【解答】解：根据题意，等差数列{a n}满足a1+a10=a9，即a1+a1+9d=a1+8d，变形可得a1=−d，所以a1+a2+⋯+a9a10=9a1+9×8d2a1+9d=9a1+36da1+9d=−9d+36d−d+9d=278．故答案为：278．【2020·上海高考】已知数列{a n}为有限数列，满足|a1−a2|≤|a1−a3|≤⋯≤|a1−a m|，则称{a n}满足性质P．(1)判断数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P，请说明理由；(2)若a1=1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围；(3)若{a n}是1，2，3，…，m的一个排列(m≥4)，{b n}符合b k=a k+1(k=1,2，…，m−1)，{a n}、{b n}都具有性质P，求所有满足条件的数列{a n}．【答案】解：(1)对于数列3，2，5，1，有|2−3|=1，|5−3|=2，|1−3|=2，满足题意，该数列满足性质P；对于第二个数列4、3、2、5、1，|3−4|=1，|2−4|=2，|5−4|=1.不满足题意，该数列不满足性质P．(2)由题意：|a1−a1q n|≥|a1−a1q n−1|，可得：|q n−1|≥|q n−1−1|，n∈{2,3，…，9}，两边平方可得：q2n−2q n+1≥q2n−2−2q n−1+1，整理可得：(q−1)q n−1[q n−1(q+1)−2]≥0，当q≥1时，得q n−1(q+1)−2≥0此时关于n恒成立，所以等价于n=2时，q(q+1)−2≥0，所以，(q+2)(q−1)≥0，所以q≤−2，或q≥1，所以取q≥1，当0<q≤1时，得q n−1(q+1)−2≤0，此时关于n恒成立，所以等价于n=2时，q(q+1)−2≤0，所以(q+2)(q−1)≤0，所以−2≤q≤1，所以取0<q≤1．当−1≤q<0时：q n−1[q n−1(q+1)−2]≤0，当n为奇数时，得q n−1(q+1)−2≤0，恒成立，当n为偶数时，q n−1(q+1)−2≥0，不恒成立；故当−1≤q<0时，矛盾，舍去．当q<−1时，得q n−1[q n−1(q+1)−2]≤0，当n为奇数时，得q n−1(q+1)−2≤0，恒成立，当n为偶数时，q n−1(q+1)−2≥0，恒成立；故等价于n=2时，q(q+1)−2≥0，所以(q+2)(q−1)≥0，所以q≤−2或q≥1，所以取q≤−2，综上．(3)设a1=p，p∈{3,4，…，m−3，m−2}，因为a1=p，a2可以取p−1，或p+1，a3可以取p−2，或p+2，如果a2或a3取了p−3或p+3，将使{a n}不满足性质P；所以{a n}的前5项有以下组合：①a1=p，a2=p−1；a3=p+1；a4=p−2；a5=p+2；②a1=p，a2=p−1；a3=p+1；a4=p+2；a5=p−2；③a1=p，a2=p+1；a3=p−1；a4=p−2；a5=p+2；④a1=p，a2=p+1；a3=p−1；a4=p+2；a5=p−2；对于①，b1=p−1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=1，与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于②，b1=p−1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=3，|b4−b1|=2与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于③，b1=p+1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=3，|b4−b1|=1与{b n}满足性质P矛盾，舍去；对于④b1=p+1，|b2−b1|=2，|b3−b1|=1，与{b n}满足性质P矛盾，舍去；所以P∈{3,4，…，m−3，m−2}，均不能同时使{a n}、{b n}都具有性质P．当p=1时，有数列{a n}:1，2，3，…，m−1，m满足题意．当p=m时，有数列{a n}:m，m−1，…，3，2，1满足题意．当p=2时，有数列{a n}:2，1，3，…，m−1，m满足题意．当p=m−1时，有数列{a n}:m−1，m，m−2，m−3，…，3，2，1满足题意．所以满足题意的数列{a n}只有以上四种．【知识点】等差数列与等比数列的综合应用、等比数列的通项公式【解析】本题考查数列的综合应用，不等式以及不等关系，二次函数的性质以及函数的相关性质的综合应用，考查分析问题解决问题的能力是难度大的题目，必须由高的数学思维逻辑修养才能解答．(1)根据定义，验证两个数列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性质P即可；(2)假设公比q的等比数列满足性质P，可得：|a1−a1q n|≥|a1−a1q n−1|，推出(q−1)q n−1[q n−1(q+1)−2]≥0，通过q≥1，0<q≤1时，−1≤q<0时：q<−1时，四种情况讨论求解即可．(3)设a1=p，分p=1时，当p=m时，当p=2时，当p=m−1时，以及P∈{3,4，…，m−3，m−2}，五种情况讨论，判断数列{a n}的可能情况，分别推出{b n}判断是否满足性质P即可．【2019年】一、【2019·北京高考（理）】设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2=−3，S5=−10，则a5=(1)，S n的最小值为(2)．【答案】0 −10【知识点】等差数列的通项公式、数列的函数特征、等差数列的求和【解析】【分析】本题考查等差数列的性质，考查等差数列的前n项和的最小值的求法，属于基础题．利用等差数列{a n}的前n项和公式、通项公式列出方程组，能求出a1=−4，d=1，由此能求出a5的S n的最小值．【解答】解：设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=−3，S5=−10，∴{a1+d=−35a1+5×42d=−10,解得a1=−4，d=1，∴a5=a1+4d=−4+4×1=0，S n=na1+n(n−1)2d=−4n+n(n−1)2=12(n−92)2−818，∴n=4或n=5时，S n取最小值为S4=S5=−10．故答案为0，−10．【2019·北京高考（理）】已知数列{a n}，从中选取第i1项、第i2项、…、第i m项(i1<i2<⋯<i m)，若a i1<a i2<⋯<a im，则称新数列a i1，a i2，…，a im为{a n}的长度为m的递增子列．规定：数列{a n}的任意一项都是{a n}的长度为1的递增子列．(Ⅰ)写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；(Ⅱ)已知数列{a n}的长度为p的递增子列的末项的最小值为a m0，长度为q的递增子列的末项的最小值为a n.若p<q，求证：a m0<a n；(Ⅲ)设无穷数列{a n}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s−1，且长度为s末项为2s−1的递增子列恰有2s−1个(s=1,2，…)，求数列{a n}的通项公式．【答案】解：(I)1，3，5，6．(II)证明：考虑长度为q的递增子列的前p项可以组成长度为p的一个递增子列，∴a n0>该数列的第p项≥a m，∴a m0<a n．(III)解：考虑2s−1与2s这一组数在数列中的位置．若{a n}中有2s，2s在2s−1之后，则必然存在长度为s+1，且末项为2s的递增子列，这与长度为s的递增子列末项的最小值为2s−1矛盾，∴2s必在2s−1之前．继续考虑末项为2s+1的长度为s+1的递增子列．∵对于数列2n−1，2n，由于2n在2n−1之前，∴研究递增子列时，不可同时取2n与2n−1，∵对于1至2s的所有整数，研究长度为s+1的递增子列时，第1项是1与2二选1，第2项是3与4二选1，……，第s项是2s−1与2s二选1，故递增子列最多有2s个．由题意，这s组数列对全部存在于原数列中，并且全在2s+1之前．∴2，1，4，3，6，5，……，是唯一构造．即a2k=2k−1，a2k−1=2k，k∈N∗．【知识点】数列的递推关系【解析】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力，属于难题．(I)1，3，5，6.答案不唯一．(II)考虑长度为q的递增子列的前p项可以组成长度为p的一个递增子列，可得a n0>该数列的第p项≥a m，即可证明结论．(III)考虑2s−1与2s这一组数在数列中的位置，可得2s必在2s−1之前．继续考虑末项为2s+1的长度为s+1的递增子列，即可得出：递增子列最多有2s个．由题意，这s组数列对全部存在于原数列中，并且全在2s+1之前．可得2，1，4，3，6，5，……，是唯一构造．【2019·北京高考（文）】设{a n}是等差数列，a1=−10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．【答案】解：(Ⅰ)∵{a n}是等差数列，a1=−10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．∴(a3+8)2=(a2+10)(a4+6)，∴(−2+2d)2=d(−4+3d)，解得d=2，∴a n=a1+(n−1)d=−10+2n−2=2n−12．(Ⅱ)由a1=−10，d=2，得：S n=−10n+n(n−1)2×2=n2−11n=(n−112)2−1214，∴n=5或n=6时，S n取最小值−30．【知识点】等差数列的通项公式、等比数列的性质、等差数列的概念、等差数列的求和【解析】本题考查数列的通项公式、前n项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．(Ⅰ)利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出d=2，由此能求出{a n}的通项公式；(Ⅱ)由a1=−10，d=2，得S n=−10n+n(n−1)2×2=n2−11n=(n−112)2−1214，由此能求出S n的最小值．二、【2019·浙江高考】设a，b∈R，数列{a n}满足a1=a，a n+1=a n2+b，n∈N∗，则()A. 当b=12时，a10>10 B. 当b=14时，a10>10C. 当时，a10>10D. 当时，a10>10【答案】A【知识点】数列的递推关系、数列的函数特征【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查数列的性质等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论证能力，属于难题．逐项检验，可得结果．【解答】解：对于B，令λ2−λ+14=0，得λ=12，取a1=12，∴a2=12,…,a n=12<10，∴当b =14时，a 10<10，故B 错误；对于C ，令λ2−λ−2=0，得λ=2或λ=−1， 取a 1=2，∴a 2=2，…，a n =2<10， ∴当b =−2时，a 10<10，故C 错误； 对于D ，令λ2−λ−4=0，得λ=1±√172， 取a 1=1+√172，∴a 2=1+√172，…，a n =1+√172<10，∴当b =−4时，a 10<10，故D 错误；对于A ，a 2=a 2+12≥12，a 3=(a 2+12)2+12≥34， a 4=(a 4+a 2+34)2+12≥916+12=1716>1， a n+1−a n >0，{a n }递增， 当n ≥4时，a n+1a n=a n +12a n>1+12=32，∴{ a 5a 4>32a 6a 5>32⋅⋅⋅a 10a 9>32,∴a 10a 4>(32)6,∴a 10>72964>10.故A 正确． 故选：A ．【2019·浙江高考】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=4，a 4=S 3.数列{b n }满足：对每个n ∈N ∗，S n +b n ，S n+1+b n ，S n+2+b n 成等比数列． (Ⅰ)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(Ⅱ)记c n =√an2b n，n ∈N ∗，证明：c 1+c 2+⋯+c n <2√n ，n ∈N ∗．【答案】解：(Ⅰ)设数列{a n }的公差为d ， 由题意得{a 1+2d =4a 1+3d =3a 1+3d ，解得a 1=0，d =2， ∴a n =2n −2，n ∈N ∗． ∴S n =n 2−n ，n ∈N ∗，∵数列{b n }满足：对每个n ∈N ∗，S n +b n ，S n+1+b n ，S n+2+b n 成等比数列．∴(S n+1+b n )2=(S n +b n )(S n+2+b n )，解得b n =1d (S n+12−S n S n+2)， 解得b n =n 2+n ，n ∈N ∗．证明：(Ⅱ)c n =√a n2b n=√2n−22n(n+1)=√n−1n(n+1)，n ∈N ∗， 用数学归纳法证明：①当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；②假设n =k ，(k ∈N ∗)时不等式成立，即c 1+c 2+⋯+c k <2√k ， 则当n =k +1时，c 1+c 2+⋯+c k +c k+1<2√k +√k (k +1)(k +2)<2√k +√1k +1<2√k +√k+1+√k=2√k +2(√k +1−√k)=2√k +1，即n =k +1时，不等式也成立．由①②得c 1+c 2+⋯+c n <2√n ，n ∈N ∗．【知识点】等差数列的通项公式、运用数学归纳法证明、数列的综合应用【解析】(Ⅰ)利用等差数列通项公式和前n 项和公式列出方程组，求出a 1=0，d =2，从而a n =2n −2，n ∈N ∗.S n =n 2−n ，n ∈N ∗，利用(S n+1+b n )2=(S n +b n )(S n+2+b n )，能求出b n ．(Ⅱ)c n =√a n2b n=√2n−22n(n+1)=√n−1n(n+1)，n ∈N ∗，用数学归纳法证明，得到c 1+c 2+⋯+c n <2√n ，n ∈N ∗．本题考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力和综合应用能力．三、 【2019·天津高考（理）】设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．已知a 1=4，b 1=6，b 2=2a 2−2，b 3=2a 3+4．(Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)设数列{c n }满足c 1=1，c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k,其中k ∈N ∗． (i)求数列{a2n(c2n−1)}的通项公式；(ii)求∑a i 2ni=1c i (n ∈N ∗).【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 依题意有：{6q =6+2d 6q 2=12+4d，解得{d =3q =2， ∴a n =4+(n −1)×3=3n +1，b n =6×2n−1=3×2n ．(Ⅱ)(i)∵数列{c n }满足c 1=1，c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k ,其中k ∈N ∗． ∴a 2n (c 2n−1)=a 2n (b n −1)=(3×2n +1)(3×2n −1)=9×4n −1， ∴数列{a 2n (c 2n −1)}的通项公式为：a2n (c 2n −1)=9×4n −1． (ii)∑a i 2n i=1c i =∑[2n i=1a i +a i (c i −1)]=∑a i 2n i=1+∑a 2i ni=1(c 2i −1)=(2n ×4+2n (2n −1)2×3)+∑(n i=19×4i −1) =(3×22n−1+5×2n−1)+9×4(1−4n )1−4−n =27×22n−1+5×2n−1−n −12.(n ∈N ∗).【知识点】等差数列的通项公式、分组转化求和法、等比数列的求和、等比数列的通项公式、等差数列的求和【解析】本题考查等差数列、等比数列通项公式及前n 项和等基础知识，考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，利用等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，能求出{a n }和{b n }的通项公式．(Ⅱ)(i)由a2n (c 2n −1)=a 2n (b n −1)，能求出数列{a 2n (c 2n −1))}的通项公式． (ii)∑a i 2n i=1c i =∑[2n i=1a i +a i (c i −1)]=∑a i 2n i=1+∑a 2i n i=1(c 2i −1)=(2n ×4+2n (2n −1)2×3)+∑(n i=19×4i −1)，由此能求出结果．【2019·天津高考（文）】设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1=b 1=3，b 2=a 3，b 3=4a 2+3．(Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)设数列{c n }满足c n ={1,n 为奇数,b n 2,n 为偶数．求a 1c 1+a 2c 2+⋯+a 2n c 2n (n ∈N ∗).【答案】解：(Ⅰ){a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0，设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，q>0，由题意可得：3q=3+2d①，3q2=15+4d②，解得：d=3，q=3，故a n=3+3(n−1)=3n，b=3×3n−1=3n，(Ⅱ)数列{c n}满足a1c1+a2c2+⋯+a2n c2n(n∈N∗)=(a1+a3+a5+⋯+a2n−1)+(a2b1+a4b2+a6b3+⋯+a2n b n)=[3n+n(n−1)2×6]+(6×3+12×32+18×33+⋯+6n×3n)=3n2+6(1×3+2×32+⋯+n×3n)令T n=(1×3+2×32+⋯+n×3n)①，则3T n=1×32+2×33+⋯+n3n+1②，②−①得：2T n=−3−32−33…−3n+n3n+1=−3×1−3n1−3+n3n+1=(2n−1)3n+1+32，故a1c1+a2c2+⋯+a2n c2n=3n2+6T n=(2n−1)3n+2+6n2+92(n∈N∗).【知识点】错位相减法、分组转化求和法、数列的递推关系【解析】本题主要考查等差等比数列通项公式和前n项和的求解，考查数列求和的基本方法分组和错位相减法的运算求解能力，属中档题．(Ⅰ)由等差等比数列通项公式和前n项和的求解{a n}和{b n}的通项公式即可．(Ⅱ)利用分组求和和错位相减法得答案．四、【2019·上海高考】已知数列{a n}，a1=3，前n项和为S n．(1)若{a n}为等差数列，且a4=15，求S n；(2)若{a n}为等比数列，且limn→+∞S n<12，求公比q的取值范围．【答案】解：(1)设公差为d∵a4=a1+3d=3+3d=15，∴d=4，∴S n =3n +n(n−1)2×4=2n 2+n ；(2)设公比为q ，当q =1时，S n =3n ，显然不满足lim n→∞S n <12，故q ≠1， ∴S n =3(1−q n )1−q ，∵lim n→+∞S n 存在，∴−1<q <1，且q ≠0， ∴lim n→+∞S n =lim n→+∞3(1−q n )1−q=31−q ， ∴31−q <12，∴q <34，∴−1<q <0或0<q <34， ∴公比q 的取值范围为(−1,0)∪(0,34).【知识点】等比数列的求和、极限思想、等差数列的求和【解析】本题考查了等差数列和等比数列的前n 项和及等差数列的通项公式，考查了极限的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)求出公差即可求S n ；(2)当q =1时，显然不合题意，由lim n→+∞S n 存在得−1<q <1且q ≠0，由lim n→+∞S n <12得q <34，取交集可得公比q 的取值范围．【2019·上海高考】已知等差数列{a n }的公差d ∈(0,π]，数列{b n }满足b n =sin(a n )，集合S ={x|x =b n ,n ∈N ∗}．(1)若a 1=0,d =2π3，求集合S ； (2)若a 1=π2，求d 使得集合S 恰好有两个元素；(3)若集合S 恰好有三个元素：b n+T =b n ，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．【答案】解：(1)∵等差数列{a n }的公差d ∈(0,π]，数列{b n }满足b n =sin(a n )，集合S ={x|x =b n ,n ∈N ∗}． ∴当a 1=0,d =2π3， 集合S ={−√32,0，√32}. (2)∵a 1=π2，数列{b n }满足b n =sin(a n )，集合S ={x|x =b n ,n ∈N ∗}恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{a n }的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d =π， ②a 1终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使a 2，a 3的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时d =2π3， 综上，d =23π或者d =π．(3)①当T =1时，b n+1=b n ，数列{b n }为常数列，S 仅有1个元素，显然不符合条件；②当T =2时，b n+2=b n ，，数列{b n }的周期为2，S 中有2个元素，显然不符合条件；③当T =3时，b n+3=b n ，集合S ={b 1,b 2,b 3}，(1)情况满足，符合题意．④当T =4时，b n+4=b n ，sin(a n +4d)=sina n ，a n +4d =a n +2kπ，k ∈Z ，或者a n +4d =π+2kπ−a n ，k ∈Z ，当时，集合S ={−1,0，1}，符合条件．⑤当T =5时，b n+5=b n ，sin(a n +5d)=sina n ，a n +5d =a n +2kπ，k ∈Z ，或者a n +5d =π+2kπ−a n ，k ∈Z ，因为d ∈(0,π]，取，，集合S ={sin π10,1，−sin 3π10}满足题意．⑥当T =6时，b n+6=b n ，sin(a n +6d)=sina n ，所以a n+6d=a n+2kπ，k∈Z，或者a n+6d=π+2kπ−a n，k∈Z，d∈(0,π]，取a1=0，，S={−√32,0,√32}，满足题意．⑦当T=7时，b n+7=b n，sin(a n+7d)=sina n，所以a n+7d=a n+2kπ，k∈Z，或者a n+7d=π+2kπ−a n，k∈Z，d∈(0,π]，故取，k=1，2，3，当k=1时，如果b1～b7对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然存在1≤n<m≤7，有a m−a n=2π，，d=2πm−n =2π7，m−n=7，m>7，不符合条件．当k=2时，如果b1～b7对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然存在1≤n<m≤7，有a m−a n=2π，d=2πm−n =4π7，m−n不是整数，不符合条件．当k=3时，如果b1～b7对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然存在1≤n<m≤7，有a m−a n=2π或者4π，d=2πm−n =6π7，或者d=4πm−n=6π7，此时，m−n均不是整数，不符合题意．综上，T=3，4，5，6．【知识点】数列综合、集合中元素的性质、正弦、余弦函数的图象与性质【解析】本题考查等差数列的相关知识、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．(1)根据等差数列及三角函数周期性求解；(2)由集合S的元素个数，结合题意进而可求得答案；(3)分别令T=1，2，3，4，5，6，7进行验证，判断T的可能取值．【2018年】一、【2018·北京高考（理）】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A. √23fB. √223fC. √2512fD. √2712f【答案】D 【知识点】等比数列的应用【解析】【分析】本题考查等比数列的应用，考查计算能力，属于基础题．根据题意，进行求解即可．【解答】解：由题意，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为：(√212)7⋅f =√2712f ．故选：D ．【2018·北京高考（理）】设{a n }是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{a n }的通项公式为______．【答案】a n =6n −3【知识点】等差数列的通项公式【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，属于基础题．列出方程组，求出d ，由此能求出{a n }的通项公式．【解答】解：设数列{a n }的公差为d ，∵{a n }是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，∴{a 1=3a 1+d +a 1+4d =36, 解得a 1=3，d =6，∴a n =a 1+(n −1)d =3+(n −1)×6=6n −3．∴{a n }的通项公式为a n =6n −3．故答案为a n =6n −3．【2018·北京高考（文）】设{a n}是等差数列，且a1=ln2，a2+a3=5ln2．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求e a1+e a2+⋯+e a n．【答案】解：(Ⅰ){a n}是等差数列，且a1=ln2，a2+a3=5ln2．可得：2a1+3d=5ln2，可得d=ln2，{a n}的通项公式；a n=a1+(n−1)d=nln2，(Ⅱ)e a n=e ln2n=2n，∴e a1+e a2+⋯+e a n=21+22+23+⋯+2n=2(1−2n)=2n+1−2．1−2【知识点】等差数列的通项公式、等比数列的求和【解析】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列的通项公式以及数列求和，考查计算能力．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)化简数列的通项公式，利用等比数列求和公式求解即可．二、【2018·浙江高考】已知a1,a2,a3,a4成等比数列，且若a1>1，则()A. a1<a3，a2<a4B. a1>a3，a2<a4C. a1<a3，a2>a4D. a1>a3，a2>a4【答案】B【知识点】等比数列的性质、对数与对数运算、对数函数及其性质、分类讨论思想【解析】【分析】本题考查等比数列的性质的应用，函数的值的判断，对数函数的性质，考查分类讨论思想，难度比较大．利用等比数列的性质以及对数函数的单调性，通过数列的公比的讨论分析判断即可．【解答】解：a1，a2，a3，a4成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，a1>1，设公比为q，当q>0时，有a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3，所以a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立；当q=−1时，a1+a2+a3+a4=0，ln(a1+a2+a3)=ln(a1)>0，等式不成立，所以q≠−1；当q<−1时，a1+a2+a3+a4<0，ln(a1+a2+a3)>0，a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)不成立；所以q ∈(−1,0)，此时有a 1>a 3>0，a 2<a 4<0，并且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3)，能够成立， 故选B ．【2018·浙江高考】已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项 .数列{b n }满足b 1=1，数列{(b n+1−b n )a n }的前n 项和为2n 2+n ．(Ⅰ)求q 的值；(Ⅱ)求数列{b n }的通项公式．【答案】解：(1)等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项，可得2a 4+4=a 3+a 5=28−a 4，解得a 4=8，由8q +8+8q =28，可得q =2或q =12(舍去)，则q 的值为2；(2)由q =2及a 3+a 4+a 5=28可得a 1(q 2+q 3+q 4)=28，解得a 1=1，故a n =1×2n−1=2n−1，设c n =(b n+1−b n )a n =(b n+1−b n )2n−1，可得n =1时，c 1=2+1=3，n ≥2时，可得c n =2n 2+n −2(n −1)2−(n −1)=4n −1，上式对n =1也成立，则(b n+1−b n )a n =4n −1，即有b n+1−b n =(4n −1)⋅(12)n−1，可得b n =b 1+(b 2−b 1)+(b 3−b 2)+⋯+(b n −b n−1)=1+3×(12)0+7×12+⋯+(4n −5)⋅(12)n−2，12b n=12+3×12+7×(12)2+⋯+(4n −5)⋅(12)n−1， 相减可得12b n =72+4[12+(12)2+⋯+(12)n−2]−(4n −5)⋅(12)n−1=72+4⋅12(1−12n−2)1−12−(4n −5)⋅(12)n−1，化简可得b n =15−(4n +3)⋅(12)n−2．【知识点】等差数列与等比数列的综合应用【解析】本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式及等差数列的性质、错位相减法的运用，考查运算能力，属于中档题．(1)运用等比数列的通项公式和等差数列中项性质，解方程可得公比q ；(2)设c n =(b n+1−b n )a n =(b n+1−b n )2n−1，运用数列的递推式可得c n =4n −1，再由数列的恒等式求得b n =b 1+(b 2−b 1)+(b 3−b 2)+⋯+(b n −b n−1)，运用错位相减法，可得所求数列的通项公式．三、【2018·天津高考（理）】设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6．(Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N ∗)，(i)求T n ；(ii)证明∑(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)n k=1=2n+2n+2−2(n ∈N ∗).【答案】(Ⅰ)解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=1，a 3=a 2+2，可得q 2−q −2=0．∵q >0，可得q =2．故a n =2n−1．设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4=b 3+b 5，得b 1+3d =4，由a 5=b 4+2b 6，得3b 1+13d =16，∴b 1=d =1．故b n =n ；(Ⅱ)(i)解：由(Ⅰ)，可得S n =1−2n 1−2=2n −1，故T n =∑(n k=12k −1)=∑2k n k=1−n =2×(1−2n )1−2−n =2n+1−n −2；(ii)证明：∵(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)=(2k+1−k−2+k+2)k (k+1)(k+2) =k⋅2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2−2k+1k+1． ∴∑(T k +b k+2)b k (k +1)(k +2)n k=1=(233−222)+(244−233)+⋯+(2n+2n +2−2n+1n +1) =2n+2n+2−2．【知识点】等差数列与等比数列的综合应用、裂项相消法。
上海市闵行区高三数学复习专题——数列部分1
数列1. 观察法例1. 写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1）9910,638,356,154,32，…； （2）9933,6317,359,31,1---，…；（3）0,71,0,51,0,31,0,1--，…；（4）7，77，777，7777，…；（5）1，3，6，10，15，…； （6）a ，b ，a ，b ，…。
2. 累差法例2. 已知数列{}n a 的前几项依次是：6，9，14，21，30，…，求其通项公式。
3. 待定系数法例3. 已知{a n }为等差数列，23a ,3a 62==，求a n 。
4. 公式法例4. 如果数列{}n a 的前n 项和为3a 23S n n -=，求这个数列的通项公式n a 。
5. 叠代法 例5. 已知1a ,a 1n na 1n 1n =⋅+=+，求数列{}n a 的通项公式n a 。
解递推关系式常见方法1. 公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。
常用的公式有)2n (S S a 1n n n ≥-=-，等差数列和等比数列的通项公式。
2. 归纳法：由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。
这种方法叫做归纳法。
3. 累加法：利用恒等式)a a ()a a (a a 1n n 121n --+⋯+-+=求通项公式的方法称为累加法。
累加法是求型如)n (f a a n 1n +=+的递推数列通项公式的基本方法（其中数列{f(n)}可求前n 项和）。
4. 累乘法：利用恒等式)0a (a aa a a a a a n 1n n 23121n ≠⋯⋅⋅=-求通项公式的方法称为累乘法。
累乘法是求型如n 1n a )n (g a =+的递推数列通项公式的基本方法（数列g{n}可求前n 项积）。
例1. 设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与1的等差中项等于S n 与1的等比中项，求数列{}n a 的通项公式。
上海高中高考数学知识点总结(大全)解答
上海高中高考数学知识点总结(大全)一、集合与常用逻辑1 •集合概念元素：互异性、无序性2 .集合运算全集U:如U=R交集：A" B={xx€ A且x w B}并集：Au B ={xx E A或x w B}补集：C u A ={xx 乏U且x 芒A}3 .集合关系空集A子集A B:任意A= X，BA B = A^注：数形结合---4.四种命题A B文氏图、数轴A B = B = A B原命题：若p则q逆命题: 若q则p否命题：若_p贝y _q逆否命题：若_q 贝y _ p原命题：二逆否命题否命题:二逆命题5 .充分必要条件p是q的充分条件: P= qp是q的必要条件: P 二qp是q的充要条件: :p? q6 .复合命题的真值①q真(假)？“ —q ”假(真)②p、q同真？“ p A q”真③p、q都假? “p V q”假7.全称命题、存在性命题的否定- M, p(x )否定为：l：-M, 一p(X)l-M, p(x )否定为：- M, _p(X)、不等式1•一元二次不等式解法若a 0 , ax2• bx • c = 0 有两实根 C ：：：-)，则ax2 bx c ::: 0 解集C ,)ax2 bx c 0解集(-：：,-：" (：, ：：)注：若a ：：：0，转化为a .0情况2 •其它不等式解法一转化2 2 xcau —acx<a二x <ax>au x>a 或xc—a 二x2>a2器 g f(x)g(x)0a f (x). a g(x)：= f (x) g(x) ( a 1)j f(x)>0log a f (x) log a g(x) ( 0 a :: 1)[f(x) <g(x)3 .基本不等式①a2 b2 _ 2ab_a + 人s②若a, b R ，贝U --------- ab2注：用均值不等式a • b _ 2、. ab、ab乞(？b)22求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质1.奇偶性f(x)偶函数=f(_x) = f(x)= f(x)图象关于y轴对称f(x)奇函数=f (-x)二-f (x) ：= f(x)图象关于原点对称注：①f(x)有奇偶性=定义域关于原点对称②f(x)奇函数，在x=0有定义=f(0)=0③“奇+奇=奇”(公共定义域内)2 .单调性f(x)增函数：X i V X 2— f(X i ) V f(X 2) 或 X l > X 2= f(x 1) > f(x 2)或 f(X l )- f(X 2)X r _X 2f(X )减函数：？注：①判断单调性必须考虑定义域② f(X )单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增”③ 奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反3 •周期性T 是f(x)周期二f(X T^f(X )恒成立(常数T = 0)b4 ac - b当 X, f(x) min :2a4a2奇偶性：f(x)=ax +bx+c 是偶函数二b=0 闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法--- 注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数f(x)=ax+b 奇函数=b=0四、基本初等函数2.对数式log a N =b =a b =N (a>0,a 工 1)log a MN = log a M log a N解析式：f(x)=ax 2+bx+c, f(x)=a(x-h)2+kf(x)=a(x-x1)(x-x 2)对称轴：X 二 b顶点:(-―4 ac - b 2、, )2a2a 4 a 单调性： a>0, ( —oO一b]、、 r b 递减，［,2a2 a4 .二次函数)递增1.指数式a 0(a = 0) -namlOgar log a M -log a Nlog a M n二n log a Mlog a blog m blog m alg blg alog a Slog a n b n1log b a注：性质log a 1 = o log a a = 1 a loga N=N常用对数lgN=log10N , Ig2 Ig5=1自然对数ln N = log e N , lne=1定义域、值域、过定点、单调性？注：y=a x与y=log a x图象关于y=x对称（互为反函数）14.幕函数y 二x2, y 二x3, y 二x2, y 二x」y =x '在第一象限图象如下：五、函数图像与方程1.描点法函数化简T定义域T讨论性质（奇偶、单调）取2 .图平负”«>10 £ o V 1 a <0n二特殊点如零点、最值点等象变换移：“左加右减，上正下y = f (x)r y = f (x h)对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”y = f (X )一浬t y =—f(x) y = f (x)一甥T y = f(—x) y = f (x) — 原^ y = _f(-x)3 .零点定理若 f (a) f (b) :: 0，则 y = f (x)在(a,b)内有零点 (条件：f (x)在［a,b ］上图象连续不间断)注：①f(x)零点：f(x)=O 的实根②在［a, b ］上连续的单调函数 f(x)， f (a)f (b)则f (x)在(a,b)上有且仅有一个零点 ③二分法判断函数零点---f(a)f (b) < 0 ？六、三角函数1•概念第二象限角(2k 二• 3,2也川％) ( Z )直线x —a注：y = f(x) t y = f (2a - x):y = f (x) t y =| f (x) |保留x 轴上方部分，并将下方部分沿x 轴翻折到上方y ./ y=f(x) \ / \ /y\ r\ i ■ 1y=|f(x)| \r""ai j~^aob c "y = f (x) t y = f (| x |)保留y 轴右边部分，并将右边部分沿y 轴翻折到左边打y=f(x)\ /y\ / \ /y=f(|x|)\"^a 0―b —，xx翻折 伸缩：y = f (x)每一点的横坐标变为原来的倍…1 f(-x):::012•弧长 I = a ・r扇形面积Su^lr23•定乂 sin 〉= — cos 〉= — tan -=—r r x其中P （x, y ）是〉终边上一点，PO = r4 .符号“一正全、二正弦、三正切、四余弦”5 •诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如 Sin （2理一；工）=-sin ： , cos （「： /2 心）=-si n :6 .7 .基本公式22sin a同角 sin •篇川 cos ： = 1tan ：COSa和差 si n - I’ sin t cos # 二 cos t s in :cos ： : = cos -：：cos ： "sin -：：sin :tan ： 一，tan： 一曲sin 二，cos ： - ■- 2sin(： —)■- 3sin ： —cos ：二 2sin( )6asin 二'bcos ； - . a 2 b 2 sin(U) (tan 二旦) b倍角sin2 - 2sin : cos ：2 2 2 2co2 =cos ： -sin ： -2cos ： -1 =1-tan2 週厂1 - tan :降幕21 cos2：cos a = ----------------2sin 2a =匸吨_叠加si nx cosx tanx 值域卜1,1][-1,1]无奇偶奇函数偶函数奇函数周期2n2n n对称轴x = k兀+兀/ 2x = k兀无中心(k n ,0 ) 5 / 2 + k兀,0 )(“ /2,0)注：k Z9 •解三角形• AB Csin cos —2 2sin A sin B/ A > -2七、数列基本关系 : sin( A+B)=sinCcos(A+B)=-cosC正弦定理：余弦定理：面积公式：asin A si nB si nCa = 2Rsi nA a :b :c 二s i rA:s i rB : s i rCa2=b2+ c2- 2bccosA (求边)2 2 2八b +c —a /缶岛、cosA= (求角)2bcg 1S^= abs inC2tan (A+B)=-ta nC注：ABC 中，A+B+C=a2> b2+c2?&三角函数的图象性质1、等差数列定义：an 1 -a n =d通项：a n=a1(n _1)d求和：n(a1 a n)1 ,…S n n— n(n 一1)d中项：a +cb ( a,b,c成等差)2性质：若m n = p q，贝廿a m - a n = a p - a q 2、等比数列定义：巧1二q(q =0) a n通项：n A.a n pq(q = 1)求和：Sn = a11 -qA) (q/)1 _q中项：b2= ac ( a, b,c成等比)性质：若m n = P q 贝廿a m a n = a p a q3、数列通项与前n项和的关系rS[ =a〔（n =1）a n = & Sn —Sn4（n Z2）4、数列求和常用方法公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法八、平面向量1 •向量加减三角形法则，平行四边形法则AB BC = AC首尾相接，OB -OC =CB共始点中点公式：AB AC =2 AD二D是BC中点—* —eif a ■ b cos 日.2 •向量数量积 a b= =X l X2 y1 y2注：① a, b 夹角：0°< 9 w 1800②a,b同向：a・b = a b3•基本定理a = ' 1e1 ' '2e2（ei,e2不共线--基底）平行: a // b = a = &b u X”2=x2 y1( b 鼻0 )垂直: ―►—#■―►—F-a丄b 吕a b = 0 二乂必2+ yiy2 = 02a=J x2 +y2a十b— -2 =(a 十b)=夹角:cose _ a，b.|a||b|注：①0 // a ②a b a b c （结合律）不成立③a b = a・c = b = c （消去律）不成立九、复数与推理证明1 .复数概念复数：z = a • bi（a,b • R），实部a、虚部b分类：实数（b=0），虚数（b^0）,复数集C注：z是纯虚数二a = 0, b式0相等：实、虚部分别相等共轭:z = a - bi模：z = Ja2 +b2 z ・z = z?复平面：复数z对应的点（a,b）2 •复数运算加减：(a+bi ) ± (c+di)= ?乘法: (a+bi ) (c+di ) =?除法: a bi=(a bi)(c-di)除法：c di(c di)(c-di)乘方：i2 = -1・n ・4 k r,1=1・r 二i3 .合情推理类比：特殊推出特殊归纳：特殊推出一般演绎：一般导出特殊（大前题f小前题f结论）4 .直接与间接证明综合法：由因导果比较法：作差一变形一判断一结论反证法：反设一推理一矛盾一结论分析法：执果索因分析法书写格式：要证A为真，只要证B为真，即证……, 这只要证C为真，而已知C为真，故A必为真注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程5 .数学归纳法：(1) 验证当n=1时命题成立,(2) 假设当n=k(k ■ N* , k_1)时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立由(1)(2)知这命题对所有正整数n都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用十、直线与圆1、倾斜角范围0,二注：直线向上方向与x轴正方向所成的最小正角倾斜角为90时，斜率不存在2、直线方程点斜式y - y°=k(x -X o)，斜截式y = kx by -y i _ x -捲y2 ■ y i x2 - x-i 截距式--1a b般式Ax By C = 0注意适用范围：①不含直线x = x0②不含垂直x轴的直线③不含垂直坐标轴和过原点的直线3、位置关系(注意条件)平行=k^ k2且d = b2垂直u k*? = _1 垂直 u A1A2 B1B2 = 0 4、距离公式两点间距离：|AB|= - (x^x2)2(y^ y2)2点到直线距离：d = 应「By。
上海高三数列知识点归纳
上海高三数列知识点归纳数列作为数学的重要概念之一，是高中数学中常见的内容之一。
在上海的高三数学教学中，数列常常作为考点出现。
为了帮助同学们更好地复习数列知识，下面将对上海高三数学数列知识点进行归纳总结，以便同学们有一个清晰的复习框架。
一、等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之差保持固定的数列。
可以用公式表示为：an = a1 + (n - 1)d其中，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
对于等差数列，我们需要掌握以下几个重要的知识点：1. 公差的计算：公差d可以通过任意两项之差计算得到，也可以通过已知数列的通项公式计算得到。
2. 通项公式的运用：通过等差数列的通项公式，我们可以快速计算数列中的任意一项。
3. 求和公式的应用：等差数列的前n项和可以通过求和公式进行计算，公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2其中Sn表示前n项和。
二、等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之比保持固定的数列。
可以用公式表示为：an = a1 * r^(n-1)其中，a1表示首项，r表示公比，n表示项数。
在学习等比数列的过程中，我们需要掌握以下几个重要的知识点：1. 公比的计算：公比r可以通过任意两项之比计算得到，也可以通过已知数列的通项公式计算得到。
2. 通项公式的运用：通过等比数列的通项公式，我们可以快速计算数列中的任意一项。
3. 求和公式的应用：等比数列的前n项和可以通过求和公式进行计算，公式为：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中Sn表示前n项和。
三、数列的性质除了等差数列和等比数列之外，我们还需要了解数列的一些重要性质：1. 有界性：有界数列是指存在有限的上界或下界的数列，也可以同时存在上界和下界。
2. 单调性：单调数列是指数列中的数项随着项数的增加而递增或递减。
3. 极限性：极限数列是指数列中的数项随着项数的增加趋向于无穷大或无穷小。
4. 递推关系：递推数列是指数列中的后一项与前一项之间存在某种递推关系。
十年高考试题分类汇编--第六章 数列、极限与数学归纳法
第六章 数列、极限与数学归纳法考试内容：数列。
等差数列及其通项公式、前n 项和的公式。
等比数列及其通项公式、前n 项和的公式。
数列的极限及其四则运算。
数学归纳法及其应用。
考试要求：(1)理解数列的有关概念。
了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
(2)掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n 项和的公式，并能够运用这些知识解决一些问题。
(3)了解数列极限的意义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项和的极限。
(4)了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单问题。
一、选择题1. 给出20个数:87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88.它们的和是( )(86年(5)3分) (A)1789 (B)1799 (C)1879 (D)18992. 设命题甲:△ABC 的一个内角为60o ，命题乙:△ABC 的三个内角的度数成等差数列.那么( )(88年(11)3分)(A)甲是乙的充分不必要条件 (B)甲是乙的必要不充分条件 (C)甲是乙的充要条件 (D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3. 已知{a n }是等比数列,如果a 1＋a 2＋a 3＝18,a 2＋a 3＋a 4＝－9,S n ＝a 1＋a 2＋……＋a n ,那么n n S ∞→lim 的值等于( )(89年(5)3分)(A)8 (B)16 (C)32 (D)484. 已知{a n }是等比数列,且a n ＞0,a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25,那么a 3＋a 5＝( )(91年(7)3分)(A)5 (B)10 (C)15 (D)205. )]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 的值等于( )(91年(12)3分) (A)0 (B)1 (C)2 (D)36. 在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 5a 6＝9,则log 3a 1＋log 3a 2＋……＋log 3a 10＝( )(93年(7)3分) (A)12 (B)10 (C)8 (D)2＋log 357. 某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个),经过3个小时,这种细菌由一个可繁殖成( )(94年(5)4分) (A)511个 (B)512个 (C)1023个 (D)1024个8. 等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若nn n n n b a lim 则,13n 2n T S ∞→+=＝( )(95年(12)5分) (A)1(B)36 (C)32 (D)94 9. 等比数列a n 的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，已知n n 510S lim 则,3331S S ∞→=等于( )(96年(10)4分)(A)32 (B)－32(C)2 (D)－2 10. 等差数列{a n }的前m 项和是30，前2m 项和是100，则它的前3m 项和是( )(96年(12)5分) (A)130 (B)170 (C)210 (D)26011. 在等比数列{a n }中,a 1＞1,且前n 项和S n 满足nn n a 1S lim =∞→,那么a 1的取值范围是( )(98年(15)5分) (A)(1,＋∞)(B)(1,4)(C)(1,2)(D)(1,2)二、填空题1. 11)2(3)2(3lim+-∞→-+-+n n n n n ＝____________.(86年(14)4分)2. )1n 2n1n 31n 21n 1(lim 2222n ++++++++∞→ ＝____________.(87年(12)4分)3. 已知等比数列{a n }的公比q ＞1，a 1＝b(b ≠0)，则n876n321n a a a a a a a a lim ++++++++∞→ ＝_______.(88年(24)4分)4. 已知{a n }是公差不为0的等差数列，如果S n 是{a n }的前n 项和，那么nnn S na lim ∞→等于_______.(90年(18)3分)5. 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值是_________.(92年(23)3分)6. 已知等差数列{a n }的公差d ＞0，首项a 1＞0，S n n n1i 1i i n S lim 则,a a 1∞→=+∑=＝______.(93年(24)3分) 三、解答题1. 设a 1)n(n 3221n +++⋅+⋅= (n ＝1,2,3……),Ⅰ.证明不等式21)(n ＜＜a 21)n(n 2n ++对所有的正整数n 都成立; Ⅱ.设b 1)n(n a n n += (n ＝1,2,3……),用极限定义证明21lim =∞→n n b .(85年(16)10分)2. 已知x 1＞0,x 1≠1,且x 1)(3x 3)(x x 2n 2n n 1n ++=+ (n ＝1,2,3……).试证:数列{x n }或者对任意的自然数n都满足x n ＜x n ＋1,或者对任意的自然数n 都满足x n ＋1＜x n .(86年(22)12分) 3. 设数列a 1,a 2,……a n ,……的前项和S n 与a n 的关系是S n ＝－ba n ＋1－nb)(11+,其中b 是与n无关的常数,且b ≠－1, Ⅰ.求a n 和a n ＋1的关系式;Ⅱ.写出用n 和b 表示a n 的表达式;Ⅲ.当0＜b ＜1时,求极限lim n →∞S n .(87年(20)12分)4. 是否存在常数a,b,c,使得等式1·22＋2·32＋……＋n(n ＋1)2＝12)1(+n n (an 2＋bn ＋c)对一切自然数n 成立？并证明你的结论.(89年(23)10分)5. 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.(90年(21)10分) 6. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3＝12,S 12＞0,S 13＜0,Ⅰ.求公差d 的取值范围;Ⅱ.指出S 1,S 2,……S 12中哪一个值最大,并说明理由.(92年(27)10分)7. 设{a n }是正数组成的数列,其前n 项的和为S n ,并且对所有的自然数n,a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项,Ⅰ.写出数列{a n }的前3项;Ⅱ.求数列{a n }的通项公式(写出推导过程);Ⅲ.令b )a a a a (21n 1n 1n nn +++=,(n ∈N),求lim n →∞(b 1＋b 2＋……＋b n －n).(94年(25)14分) 8. 设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 是其前n 项和, Ⅰ.证明:21(lgS n ＋lgS n ＋2)＜lgS n ＋1;Ⅱ.是否存在常数c ＞0,使得21[lg(S n －c)＋lg(S n ＋2－c)]＜lg(S n ＋1－c)成立?并证明你的结论.(95年(25)12分)9. 已知数列{a n },{b n }都是由正数组成的等比数列,公比分别为p,q,其中p ＞q,且p ≠1,q ≠1.设c n ＝a n ＋b n ,S n 为数列{c n }的前项和,求1n nn S S lim-∞→.(97年(21)11分)10. 已知数列{b n }是等差数列,b 1＝1,b 1＋b 2＋……＋b 10＝145.①求数列{b n }的通项b n ;②设数列{a n }的通项a n ＝log a (1＋nb 1)(其中a>0且a ≠1),记S n 是数列{a n }的前n 项和.试比较S n 与3b log 1n a +的大小,并证明你的结论.(98年(25)12分) 11. 右图为一台冷轧机的示意图,冷轧机由若干对轧辊组成,带钢从一段输入,经过各队轧辊逐步减薄后输出(1)输入带钢的厚度为α,输出带钢的厚度为β,若每对轧辊的减薄率不超过r 0,问冷轧机至少需要安装多少对轧辊?(一对轧辊减薄率＝输入该对的带钢的厚度从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢的厚度-)(2)已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊,所有轧辊周长均为1600mm,若第k 对轧辊有缺陷,每滚动一周在带钢上压出一个疵点,在冷轧机输出的带钢上,疵点的间距为L k ,为了便于检修,请计算L',L2,L3并填入下表(轧钢过程中,带钢宽度不变,且不考虑损耗)(99年是斜率为bn 的线段(其中正常数b≠1),设数列{xn}有f(xn)＝n(n＝1,2,…)定义(1)求x1,x2和xn的表达式;(2)求f(x)的表达式,并写出其定义域(3)证明y＝f(x)的图象与y＝x的图象没有横坐标大于1的交点(99年(23)14分)。
上海高考数学复习专题-数列
【例 7】已知数列
是递增的等比数列， + 1 = 9,
则数列
的前 n 项和为（ 2 − 1 ）。
= 8,
【解析】 ∵
是递增的等比数列，∴必有 q > 1。求前 n 项和，必须先求出 ，q。
【解】根据题意有 <
+ , =9 , =8
解得：< ,
=1 =2
或
-,
= =
8
∵
是递增的等比数列，∴q > 1
∴
【解】（1）设数列
的公差为 d，∵ EK = 28 ∴ 7 + × 7 7 − 1 = 28 解得： d=1
∴ = + −1 = 5 = Mlg P = 0 5 = Mlg P = Mlg 11P = 1
0, （2）∵ 5 = Mlg P = U21,,
3,
1 ≤ < 10 10 ≤ < 100 100 ≤ < 1000
为等差数列, 则 + ∙ 也为等差数列，公差为 pd 其中：p ∈ R, 为常数& ， 5 均为等差数列，公差分别为 , 6 则 + ∙ + , ∙ 5 也为等差数列，公差为 p ∙ + , ∙ 6 其中：p, q ∈ R, 为常数&
1.4 求等差数列前 n 项和 sn 最值的方法
（1）求和公式法： = +
第四章 数列与数学归纳法
1、等差数列
第一节 等差数列与等比数列
1.1 等差数列的基本公式 等差数列的通项公式： = + − 1 ，( 其中：d——公差)
等差数列前 n 项的和： = +
−1 =
(其中： 为前 n 项的算术平均数)
沪教版(上海)高三年级新高考辅导与训练第四章数列与数学归纳法三、数学归纳法
沪教版（上海）高三年级新高考辅导与训练第四章数列与数学归纳法三、数学归纳法学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．求证：()()()()122213521n n n n n ++=⋅⋅⋅⋅-.2．证明(31)71+-n n 能被9整除()*n ∈N . 3．数列{}n a 满足112a =，()*123n n n a a n N a +=∈+. （1）求1a ，2a ，3a ，4a .（2）根据（1）猜想数列的通项公式n a ，并用数学归纳法证明你的结论.4．是否存在常数a ，b ，c ，使等式2222(1)1223(1)()12n n n n an bn c n +⋅+⋅+++=++∈对N +都成立，并证明你的结论. 5．试证明对任何自然数6n ，每一个正方形都可分成n 个正方形. 6．若01a <<，且()*1111,n n x a x a n N x +=+=+∈.求证：对于任意*,1n n N x ∈>恒成立.7．用数学归纳法证明：（1）22221123(1)(21)6n n n n ++++=++； （2）2222121(1)1234(1)(1)2--+-+-++-=-⋅n n n n n ； （3）设*n ∈N ，证明：1sin 12cos cos 2cos 122sin 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭++++=n x x x nx x ； （4）3131139++++n n 是13的倍数()*n ∈N； （5）a ∈R ，证明()221*(1)++++∈N n n a a n 能被21a a ++整除.8．已知数列{}{},n n x y 满足11115,5,237,613++==-+=+=n n n n x y x y x y .求证：()*32,123=+=-⋅∈N n n n n x y n .9．根据下列关系式，算出数列的前4项，然后猜想它的通项，并用数学归纳法证明你的猜想.（1）111,21+==+n n n a a a a ； （2）211,==n n a S n a ；（3）()1102⎛⎫=+> ⎪⎝⎭n n n n S a a a . 10．用数学归纳法证明：1111123421++++⋯+≤-n n . 11．n 个半圆的圆心在同一直线上，这n 个半圆每两个都相交，且都在l 的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？二、单选题12．某个命题与自然数n 有关，若*()n k k N =∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时该命题也成立，现已知5n =时，该命题不成立，那么可以推得A ．6n =时该命题不成立B ．6n =时该命题成立C ．4n =时该命题不成立D ．4n =时该命题成立13．欲用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有32n n >”，则所取的第一个n 值，最小应当是（ ）.A ．1B ．6C ．10D ．14 14．如果f(n)1111(n n 1n 2n 32n=+++⋯++++∈N +),那么f(n+1)-f(n)等于( ) A ．12n 1+ B ．1 2n 2+ C ．11 2n 12n 2+++ D ．11 2n 12n 2-++ 15．利用数学归纳法证明()*111112,23421n n n n N ++++⋅⋅⋅+<≥∈-的过程中，由n k =变到1n k =+时，左边增加了（ ）A ．1项B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项 16．用数学归纳法证明等式()()()22222222211211213n n n n n +++-++-+++=，当1n k =+时，等式左端应在n k =的基础上加上（ ）A ．()2212k k ++B ．()221k k ++C ．()21k +D ．()()2112113k k ⎡⎤+++⎣⎦ 17．用数学归纳法证明对n 为正偶数时某命题成立，若已假设(2n k k =≥为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ）A ．1n k =+时等式成立B ．2n k =+时等式成立C ．22n k =+时等式成立D ．2(2)n k =+时等式成立三、填空题182cos4π=2cos 8π=2cos 16π=，…请从中归纳出第n 22n +⋯++个______.19．用数学归纳法证明“()*1111,12321n n n N n ++++<∈>-”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，则不等式左边增加的项数共__项20．已知[][][]()*121131211(),()(),()(),,()(),21-====∈+N n n x f x f x f f x f x f f x f x f f x n n x ，运用归纳推理猜想()n f x =____________.21．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明11111111122341242n n n n n ⎛⎫-+-++-=+++ ⎪-++⎝⎭……时，若已假设n k =（2,k k 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证n =____________时等式成立.四、双空题22．观察不等式：111223++<，11113237++++<，111142315++++<，111152331++++<，由此归纳第n 个不等式为____________；要用数学归纳法证明该不等式，由(1)n k k =时不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数为____________.参考答案1．证明见解析；【分析】首先验证1n =时，等式成立，再假设n k =时等式成立，最后再验证1n k =+时等式成立即可.【详解】当1n =时，左边2=，右边2=，等式成立.假设n k =时等式成立，即()()()()12221321k k k k k ++=⋅⋅⋅⋅-. 那么当1n k =+时，左边()()()111221k k k =+++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()2322122k k k k k =+++⋅+ ()()()()122212k k k k =++⋅+⋅()()213521212k k k =⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅()()1213521211k k k +=⋅⋅⋅⋅⋅-⋅+-=⎡⎤⎣⎦右边.这就是说，当1n k =+时等式仍成立.综上可知，对一切*n ∈N ，等式成立.【点睛】本题主要考查数学归纳法，熟练掌握数学归纳法的步骤为解题的关键，属于中档题. 2．证明见解析；【分析】用数学归纳法证明，先验证1n =时，命题成立；再假设n k =时，命题成立，再由假设推导出1n k =+时命题也成立，使得问题得以证明.【详解】证明（1）当1n =时，(31)71(31)7127+-=+⨯-=n n 是9的倍数.命题成立.（2）假设当n k =时，命题成立，即(31)71+-k k 能被9整除.那么当1n k =+时，1[3(1)1]71(2128)71+++-=+⋅-k k k k(31)71(1827)7=+⋅-++⋅k k k k由假设(31)71k k +⋅-能被9整除，(1827)7(23)79k kk k =+⋅+⋅⋅能被9整除. 所以(31)71(1827)7k k k k +⋅-++⋅能被9整除.即1n k =+是命题也成立.（3）根据（1），（2）可知()3171n n +-能被9整除. 【点睛】本题考查用数学归纳法证明整除问题，注意用数学归纳法证明的步骤和使用的范围，属于中档题.3．（1）112a =，218a =，3126a =，4180a =；（2）131n n a =-，证明见解析 【分析】（1）直接代入计算得到答案.（2）猜测131n n a =-，利用数学归纳法证明得到答案. 【详解】（1）112a =，()*123n n na a n N a +=∈+，则1211238a a a ==+，23212326a a a ==+，34312380a a a ==+. （2）猜想131n n a =-. 当1n =时，验证成立；假设当n k =时成立，即131k k a =-； 当1n k =+时，1111123233131231313k k k k k k k a a a +++--====++--+，故1n k =+时成立. 综上所述：131n n a =-对所有n 成立. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，数学归纳法，意在考查学生对于数学归纳法的应用能力. 4．见解析【详解】令n=1得24a b c ++=①， 令n=2得4244a b c ++=②，令n=3得9370a b c ++=③， 解①、②、③得a =3，b=11，c=10，记原式的左边为S n ，用数学归纳法证明猜想()()213111012n n n S n n +=++下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n ，（*）式都成立．（1）当n ＝1时，由上述知，（*）成立．（2）假设n ＝k （k ≥1）时，（*）成立，即1•22+2•32+…+k （k +1）2 ()112k k +=（3k 2+11k +10），那么当n ＝k +1时，1•22+2•32+…+k （k +1）2+（k +1）（k +2）2()112k k +=（3k 2+11k +10）+（k +1）（k +2）2()()1212k k ++=（3k 2+5k +12k +24） ()()1212k k ++=[3（k +1）2+11（k +1）+10]， 由此可知，当n ＝k +1时，（*）式也成立．综上所述，当a ＝3，b ＝11，c ＝10时题设的等式对于一切正整数n 都成立．5．证明见解析；【分析】由图可得当6,7,8n =时结论成立，然后用数学归纳法证明即可.【详解】当6,7,8n =时，由图知结论成立.假设对于(6)=n k k 时结论成立，那么对于3=+n k ，我们可以先将正方形分成k 个正方形，再将这k 个正方形中的一个分成4个小正方形，从而得到3k +个正方形，即3=+n k 时结论也成立.从而结论对任何自然数6n 均成立.【点睛】本题考查的是数学归纳法的应用，考查了学生的分析问题、处理问题的能力，属于中档题. 6．证明见解析；【分析】 利用数学归纳法证明“对于任意1*,11n n N x a ∈<<-恒成立”，得到答案. 【详解】 改证“对于任意1*,11n n N x a∈<<-恒成立”. （1）1n =时，由于101111<<⇒<+<-a a a ，即1111<<-x a； （2）假设n k =时结论成立，即111<<-k x a， 则当1n k =+时，1111+=+>-+=k kx a a a x ，且11111k k x a a x a +=+<+<-， 即1n k =+时结论仍成立.综合（1），（2），对于任意1*,11n n N x a∈<<-恒成立，故1n x >恒成立. 【点睛】 本题考查了数学归纳法，意在考查学生的推断能力和计算能力，改证“对于任意1*,11n n N x a∈<<-恒成立”是解题的关键. 7．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）证明见解析；（5）证明见解析；【分析】根据数学归纳法的方法步骤证明即可.【详解】证明：（1）①当1n =时，左边=右边=1；原等式成立②假设当n k =时，等式成立，即22221123(1)(21)6k k k k ++++=++， 当1n k =+时，有 2222221123(1)(1)(21)(1)6k k k k k k ++++++=++++ ()()1121(1)6k k k k ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦21(1)(276)6k k k ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦1(1)(2)(23)6k k k =+++ [][]1(1)(1)12(1)16k k k =+++++. 所以，当1n k =+时，等式成立.由①②可知，对任意正整数22221123(1)(21)6n n n n ++++=++都成立. （2）①当1n =时，左边=右边=1，原等式成立；②假设当n k =时，等式成立，即2222121(1)1234(1)(1)2k k k k k --+-+-++-=-⋅, 当1n k =+时，有()()222222121(1)1234(1)(1)1(1)(1)12k k k k k k k k k --+-+-++--+=-⋅++-+()()()111(1)12k k k k -⎡⎤=-++-+⎢⎥⎣⎦()()12112k k k -+⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()()2112k k k +=-+ ()()()(1)111112k k k +-+++⎡⎤⎣⎦=-⋅. 所以，当1n k =+时，等式也成立.由①②可知，对任意的正整数， 有2222121(1)1234(1)(1)2--+-+-++-=-⋅n n n n n 都成立. （3）①当1n =时，左边1cos 2x =+， 右边21111sin 12sin cos cos sin 2222112sin 2sin 22x x x x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭== 2111cos 11cos cos cos cos 22222x x x x x +=+=+=+ 左边=右边，所以等式成立.②假设当n k =时，等式成立， 即1sin 12cos cos 2cos 122sin 2k x x x kx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭++++=. 当1n k =+时，有1cos cos 2cos cos(+1)2x x kx k x +++++1sin 2cos(+1)12sin 2k x k x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+11sin 2sin cos(+1)2212sin 2k x x k xx⎛⎫++ ⎪⎝⎭=131sin sin sin 22212sin 2k x k x k x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=31sin sin (1)22112sin 2sin 22k x k xx x⎛⎫⎡⎤+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦==. 所以，当1n k =+等式成立. 由①②可知，对任意的正整数，有1sin 12cos cos 2cos 122sin 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭++++=n xx x nx x成立. （4）①当1n =时，()()2442139132619261926212613++=++++=⨯+⨯+， 被13整除，所以结论成立.②假设当n k =时，结论成立，即3131139k k ++++是13的倍数， 当1n k =+时，()()311311139k k ++++++3+13311273+99k k +=+⨯⨯()313+13+12713926+7029k k k +=++-⨯ ()()313+13+127139132549k k k +=+++-+⨯.所以当1n k =+时，()()311311139k k ++++++是13的倍数，结论成立. 由①②可知，3131139++++n n 是13的倍数()*n ∈N .（5）①当1n =时，原式()331a a =++[]22(1)(1)(1)a a a a a a ⎡⎤=++-+++⎣⎦()22+1(1)a a a =++所以，当1n =时()221*(1)++++∈N n n aa n 能被2(1)a a ++整除.②假设当n k =时，结论成立，即221(1)k k a a ++++能被2(1)a a ++整除. 当+1n k =时，()()+122+11(1)k k a a ++++2212321=(+1)(+1)(+1)k k k k a a a a a a ++++⎡⎤++-⎣⎦ 221221=(+1)(+1)k k k a a a a a a +++⎡⎤+++⎣⎦所以，当+1n k =时，()()+122+11(1)k k a a ++++能被2(1)a a ++整除.由①②可知，()221*(1)++++∈N n n a a n 能被2(1)a a ++整除.【点睛】本题重点考查数学归纳法的应用，解答本题的关键是熟练掌握数学归纳法的一般步骤，属于中档题.8．证明见解析； 【分析】利用数学归纳法证明，验证当1n =时，命题成立； 假设n k =时，命题成立，用此时的假设结论去证明1n k =+时命题也成立. 【详解】当1n =时，111153+2,1235x y ===-⋅=-，满足条件，命题成立. 假设n k =时，命题成立，即32,123k kk k x y =+=-⋅成立.当1n k =+时，由1237k k x y ++=，有()()1117312314237323222k k kk k x y +++--⋅+⋅=-===+ 由1613n n x y ++=，有()11136********k n n k y x ++=-⨯+=--⋅=所以1n k =+时命题也成立.综上可知，对一切*n ∈N ，命题()*32,123=+=-⋅∈N nnn n x y n 成立.【点睛】本题考查用数学归纳法证明数列的通项公式，本题的关键是知道用数学归纳法解决证明问题，注意证明中的步骤，属于基础题. 9．（1）11n a n =+，n N +∈，证明见解析； （2）2(1)n a n n =+，n N +∈，证明见解析；（3）=n a n N +∈，证明见解析. 【分析】分别求出数列的前几项，猜测数列的通项公式，利用数学归纳法，作出证明即可. 【详解】（1）由111,21+==+n n n a a a a ， 令1n =，则121113a a a ==+；令2n =，则232114a a a ==+；令3n =，则343115a a a ==+， 由此可猜测数列的通项公式为：11n a n =+， 证明如下： ①当1n =时，12n a =，显然成立； ②假设(1)n k k =≥时，结论成立，即11k a k =+， 则当1n k =+时，11111112(1)111k k k a k a a k k k ++====++++++，即当1n k =+时也成立， 由①②可得11n a n =+对n N +∈都成，即11n a n =+，n N +∈. （2）由211,==n n a S n a ，当2n =时，2222S a =，即1224a a a +=，即12133a a ==； 当3n =时，2333S a =，即12339a a a a ++=，即123186a a a +==；当4n =时，2444S a =，即1234316a a a a a +++=，即123411510a a a a ++==；猜测数列的通项公式为：2(1)n a n n =+，证明如下： ①当1n =时，2112n a ==⨯，显然成立； ②假设(1)n k k =≥时，结论成立，即2(1)k a k k =+，则当1n k =+时，211(1)k k S k a ++=+，且2k k S k a =，两式相减可得2211(1)k k k k S S k a k a ++-=+-，即2211(1)k k k a k a k a ++=+-，整理得22122(222(1)())1)(2k k k k k a a k k k k k k k +==++=++⨯+，即当1n k =+时也成立， 由①②可得2(1)n a n n =+对n N +∈都成，即2(1)n a n n =+，n N +∈. （3）由()1102⎛⎫=+> ⎪⎝⎭n n n n S a a a ， 令1n =，可得111112S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即111112a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为0n a >，则11a =；令2n =，可得222112S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即1222112a a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，解得21a ； 令3n =，可得333112S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即12333112a a a a a ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，解得3a =；令4n =，可得444112S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即123444112a a a a a a ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，解得42a =猜测数列的通项公式为：=n a 证明如下：①当1n =时，1n a ==，命题成立；②假设(1)n k k =≥时，结论成立，即k a = 则当1n k =+时，11111111()()22k k k k k k ka S S a a a a ++++=-=+-+111111111()()222k k k k a a a a ++++=+-=+-，所以21110k k a +++-=，解得1k a + 即当1n k =+时也成立，由①②可得=n a n N +∈都成，即=n a n N +∈. 【点睛】本题主要考查了归纳、猜想、数学归纳法证明，其中解答中熟记应用数学归纳法的证明方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 10．证明见解析； 【分析】直接利用数学归纳法证明问题的步骤证明. 【详解】（1）当1n =时，左边1=，右边1=，不等式成立.（2）假设当n k =，*k N ∈时，不等式成立，即有1111123421k k ++++⋯+≤-， 则当1n k =+时，左边=1111123421k ++++⋯+-112111221k k k ++⋯+++-+k ≤+111122121k k k +++⋯++-， 又111122121k kk +++⋯++-1212k k <⋅= 即1111123421k ++++⋯+-112111221k k k ++⋯+++-+1k ≤+，即当1n k =+时，不等式也成立. 综上可得，对于任意*n N ∈，1111123421++++⋯+≤-n n 成立. 【点睛】本题考查了用数学归纳法证明不等式，还考查了放缩法，弄清从n k =到1n k =+不等式左右增加的式子是解决问题的关键，属于中档题.11．最多分成2n 段圆弧 【分析】先设这些半圆最多互相分成()f n 段圆弧，求出(1),(2),(3)f f f ，然后归纳猜想出()f n ，再用数学归纳法证明. 【详解】设这些半圆最多互相分成()f n 段圆弧，由图则(1)1,(2)4,(3)9===f f f .猜想：2()f n n =.证明：（1）当1n =时，结论显然成立；（2）假设n k =时，猜想正确，即2()f k k =，则当1n k =+时，我们作出第1k +圆，它与前k '个半圆均相交，最多新增k 个交点. 第1k +个半圆自身被分成了1k +段弧，同时前k 个半圆又各多分出1段弧， 故有22(1)()121(1)+=+++=++=+f k f k k k k k k ， 即1n k =+时，结论也正确.综合（1）（2）知对一切正整数2,()=n f n n .故这些半圆被所有的交点最多分成2n 段圆弧. 【点睛】本题考查了由特殊到一般的思想方法，先归纳猜想，再用数学归纳法证明，考查了学生分析观察能力，逻辑推理能力，属于中档题. 12．C 【分析】根据数学归纳法的有关概念，利用5n =时命题不成立，得出4n =时命题不成立，而6n =无法判断.由此得出正确选项. 【详解】假设4n =时该命题成立，由题意可得5n =时，该命题成立，而5n =时，该命题不成立，所以4n =时，该命题不成立.而5n =时，该命题不成立，不能推得6n =该命题是否成立．故【点睛】本小题主要考查数学归纳法的有关知识，考查归纳猜想的知识，属于基础题. 13．C 【分析】设32n n n a =，利用作差法判断数列{}n a 的单调性，找出使得()11n a n <>成立的最小正整数n 的值，即为所求. 【详解】设32n n n a =，则()()33332311111123312222n n n n n n n n n n n n n a a ++++++-++--=-==， 设23331n b n n n =++-，则()()()()232321313111331353n n b b n n n n n n n n +⎡⎤-=++++-+-++-=+-⎣⎦. 当1n =时，210b b ；当2n ≥时，10nnb b ，即1n n b b +>，此时数列{}n b 单调递减.所以，数列{}n b 的最大项为211b =，又16b =，310b =，430b =-<，则当4n ≥时，40n b b ≤<.所以，当3n ≤时，1n n a a +>，此时数列{}n a 单调递增； 当4n ≥时，1n n a a +<，此时数列{}n a 单调递减.1112a =<，221a =>，32718a =>，，399972912512a ==>，31010101000121024a ==<.所以，当10n ≥时，101n a a ≤<.因此，验证不等式32n n >成立所取的第一个n 值，最小应当是10. 故选：C 【点睛】本题考查数学归纳法的应用，考查数列单调性的应用，属于中等题.【解析】分析：直接计算 f(n+1)-f(n). 详解：f (n+1)-f (n )()11111(1)1(1)22212(1)f n n n n n n =++⋯+++-++++++11111111 (23)22122122n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++++-+++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭11111.212212122n n n n n =+-=-+++++ 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查函数求值，意在考查学生对该知识的掌握水平.（2）不能等于112122n n +++，因为前面还有项11n +没有减掉. 15．D 【分析】依题意，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边为11111111232122121k k k k ++++⋯++++⋯+-+-，与n k =时不等式的左边比较即可得到答案. 【详解】解：用数学归纳法证明等式()*111112,23421n n n n N ++++⋅⋅⋅+<≥∈-的过程中， 假设n k =时不等式成立，左边11112321k =++++-…，则当1n k =+时，左边11111111232122121k k k k +=+++⋯++++⋯+-+-，∴由n k =递推到1n k =+时不等式左边增加了：111122121k kk +++⋯++-， 共()121212k k k +--+=项，故选：D. 【点睛】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题. 16．B 【分析】写出n k =和1n k =+时的两式，然后比较可得． 【详解】n k =时等式为()()()22222222211211213k k k k k +++-++-+++=，1n k =+时等式为22222222(1)[2(1)1]12(1)213k k k k k +++++++++++=， 当1n k =+时，等式左端应在n k =的基础上加上22(1)k k ++， 故选：B ． 【点睛】本题考查数学归纳法，数学归纳法的关键、难点就在于用n k =的假设结论证明1n k =+的的结论，因此观察出1n k =+与n k =之间式子的关系至关重要． 17．B 【分析】直接利用数学归纳法的证明方法，判断选项即可． 【详解】由数学归纳法的证明步骤可知，假设(2n k k =≥为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证2n k =+，而不是1n k =+，因为n 为偶数1k +是奇数． 【点睛】本题考查数学归纳法的证明方法的应用，是对基础知识的考查． 18．12cos 2n π+【分析】通过已知的三个等式，找出规律，归纳出第n 个等式即可． 【详解】2cos4π=2cos8π2cos16π=，等式的右边系数是2，且角是等比数列，公比为12，则角满足：第n 个等式中的角12n π+，1222cos 2n n π++⋯++=个； 故答案为：12cos 2n π+．【点睛】本题主要考查归纳推理，注意已知表达式的特征是解题的关键，属于中档题． 19．2k 【分析】由题意有：由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，则不等式左边增加的项数共12121k k +--+项，得解.【详解】解：当(1)n k k =>时，不等式左边为11112321k++++-， 当1(1)n k k =+>时，不等式左边为11111112321221kk k ++++++++--，则由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，则不等式左边增加的项数共121212k k k +--+=项，故答案为：2k . 【点睛】本题考查了数学归纳法，重点考查了运算能力，属基础题. 20．1+xnx【分析】根据递推式，求得2()f x ，3()f x ，4()f x 归纳出()n f x 【详解】由[]1211(),()()1x f x f x f f x x ==+，则211()11211xx x x f x f xx x x⎛⎫+=== ⎪++⎝⎭++，31()()12x f x f x =+1213112xx x x x x+==+++， 41()()13x f x f x =+1314113xx x x x x+==+++，归纳推理猜想得()n f x =1+x nx. 故答案为：1+x nx【点睛】 本题考查了函数的代入法，求出前几项，观察分析总结归纳，属于容易题.21．2k +【分析】由数学归纳法的证明过程可得答案，注意在n 为正偶数即可.【详解】假设当n k =（2k ≥且k 为偶数）时，命题成立， 即11111111122341242k k k k k ……⎛⎫-+-++-=+++ ⎪-++⎝⎭成立 由于是对所有正偶数命题成立，则归纳推广时，应该是再证明取下一个偶数时，命题也成立. 所以应证明当2n k =+时，等式也成立故答案为：2k +【点睛】本题考查数学归纳法的证明过程，属于基础题.22．()*1111112321n n n +++++<+∈-N 12k +【分析】依次观察每个不等式的左边的项数、最后一项的的分母以及不等式右边的值与不等式序号的关系，即可归纳出结论；1n k =+时不等式左边的项数减去n k =时不等式左边的项数即可.【详解】解：第一个不等式111223++<的左边有221-项，最后一项的分母为221-，右边为11+， 第二个不等式11113237++++<的左边有321-项，最后一项的分母为321-，右边为21+，第三个不等式111142315++++<的左边有421-项，最后一项的分母为421-，右边为31+， 第四个不等式111152331++++<的左边有521-项，最后一项的分母为521-，右边为41+，由此归纳第n 个不等式为：()*1111112321++++⋯+<+∈-N n n n ， 第n 个不等式()*1111112321++++⋯+<+∈-N n n n 左边有121n +-，第1n +个不等式左边有221n +-，推证1n k =+时，左边应增加的项数为()21121212k k k +++---=； 故答案为：()*1111112321n n n +++++<+∈-N ；12k +.【点睛】 根据已知不等式归纳猜想第n 个不等式，解答的关键是观察已知不等式的特点，特别是不等式的项数；基础题.。
上海高中数学沪教版数列知识年度考点汇总
标题：上海高中数学沪教版数列知识年度考点汇总在上海市高中数学沪教版教材的学习中，数列知识是学生必须掌握的重要内容。
为了帮助学生更好地备战年度考试，本文将汇总上海高中数学沪教版数列知识的年度考点，并提供相应的备考策略。
一、数列的基本概念数列是数学中的基本概念之一，它是由一系列按照特定规律排列的数组成的。
学生需要掌握数列的基本概念，如数列的项、数列的性质、数列的分类等。
这些基本概念是理解和解决数列问题的基础。
二、数列的性质和公式数列具有许多独特的性质和公式，如数列的通项公式、数列的前n项和公式、数列的极限等。
学生需要熟练掌握这些性质和公式，并能够灵活运用它们来解决问题。
这些公式是解决数列问题的关键工具。
三、数列的分类数列可以根据其性质和规律分为多种类型，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
学生需要了解这些数列的特点和规律，并能够区分它们。
不同类型的数列有不同的解题方法，学生需要根据数列的类型选择合适的解题策略。
四、数列的应用数列在数学和其他领域有许多应用，如数列的求和、数列的极限、数列的序列等。
学生需要了解数列的应用领域，并能够将数列知识应用到实际问题中。
这有助于提高学生的实际问题解决能力。
五、数列的求和和方法数列的求和是数列知识中的重要部分。
学生需要掌握数列的求和方法，如等差数列的求和、等比数列的求和、斐波那契数列的求和等。
这些求和方法是解决数列求和问题的关键。
六、数列的极限数列的极限是数学中的重要概念，它描述了数列随着项数增加时的趋势。
学生需要理解数列的极限概念，并能够计算数列的极限。
数列的极限在数学分析和实际应用中具有重要意义。
七、数列与函数的关系数列与函数有着密切的关系。
学生需要了解数列可以看作是函数的特殊情况，并能够将函数的知识应用到数列中。
这有助于提高学生对数列知识的理解和应用能力。
八、经典案例分析在备考过程中，学生可以通过分析经典案例来提高自己的数列知识。
例如，研究等差数列、等比数列、斐波那契数列等经典数列的性质和规律，从而加深对数列知识的理解。
上海高考数学真题专题- 数列专题
第四部 数列专题【考点1】等差数列与等比数列1. 等差数列等差数列{}n a 的通项公式：1(1)n a a n d *()n N . 等差数列{}n a 的递推公式：1n n a a d (2)n . 等差数列{}n a 的前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d na 中. 等差数列{}n a 的性质： ① ()n m a a n m d .② 若m n p q ，则m n p q a a a a .③ k a 、k m a 、2k m a 、 成等差数列，公差为md .④ n S 、2n n S S 、32n n S S 、43n n S S 、 成等差数列，公差为2n d .⑤ 数列{}n a 成等差数列n a pn q ，112n n n a a a ，2n S An Bn .⑥ 若数列{}n a 是等差数列，则{}n ac 为等比数列，0c .⑦ n S 是前n 项和，S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，则n S S S 奇偶. 当n 为偶数时，2n S S d偶奇. 当n 为奇数时，S S a 奇偶中，11S n S n 奇偶，S S n S S 奇偶奇偶. ⑧ 设n S 和n T 分别表示等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和，则2121n n n n a S b T. ⑨ 若p a q ，q a p ，p q ，则0p q a ，1d . 若p S q ，q S p ，p q ，则()p q S p q . 若p q S S ，p q ，则0p q S .1.（2018年6）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a ，6714a a ，则7S2.（2014春7）已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，则该数列的前n 项和n S3.（2013春11）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和n S4.（2018春5）已知{}n a 是等差数列，若2810a a ，则357a a a5.（2017春6）若等差数列{}n a 的前5项的和为25，则15a a6.（2013文2）在等差数列{}n a 中，若123430a a a a ，则23a a7.（2012春13）已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令n b （*n N ，2012n ），当k b 是数列{}n b 的最大项时，k8.（2017年15）已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c ，*n N ， 则“存在*k N ，使得100k x 、200k x 、300k x 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A. 0a B. 0b C. 0c D. 20a b c9.（2015春附3）已知数列{}n a 满足413n n n n a a a a ()n *N ，那么（ ）A. {}n a 是等差数列B. 21{}n a 是等差数列C. 2{}n a 是等差数列D. 3{}n a 是等差数列10.（2015春21）若无穷等差数列{}n a 的首项10a ，公差0d ，{}n a 的前n 项和为n S ， 则（ ）A. n S 单调递减B. n S 单调递增C. n S 有最大值D. n S 有最小值 2. 等比数列等比数列{}n a 的通项公式：11n n a a q*()n N .等比数列{}n a 的递推公式：1n n a a q (2)n .等比数列{}n a 的前n 项和公式：11(1)11n n n a a qa q S qq (1)q ，1n S na (1)q .等比数列{}n a 的性质： ① n mn m a a q.② 若m n p q ，则m n p q a a a a .③ k a 、k m a 、2k m a 、 成等比数列，公比为mq .④ n S 、2n n S S 、32n n S S 、43n n S S 、 成等比数列，公比为nq . ⑤ 数列{}n a 成等比数列211n n n a a a ，n n a p q ，(1)n n S A q .⑥ 若数列{}n a 是等比数列，则{log }c n a 为等差数列，0n a .⑦ n S 是前n 项和，S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，则n S S S 奇偶. 当n 为偶数时，S q S 偶奇. 当n 为奇数时，1S a q S 奇偶. ⑧ 设n T 是前n 项积，T 奇表示奇数项的积，T 偶表示偶数项的积，则n T T T 奇偶. 当n 为偶数时，2n T q T 偶奇. 当n 为奇数时，T a T 奇中偶. 11.（2011春8）若n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a ，则63S S12.（2014春22）已知数列{}n a 是以q 为公比的等比数列，若2n n b a ，则数列{}n b 是 （ ）A. 以q 为公比的等比数列B. 以q 为公比的等比数列C. 以2q 为公比的等比数列D. 以2q 为公比的等比数列13.（2011理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为i a 、1i a 的矩形面积 （1,2,i ），则{}n A 为等比数列的充要条件是（ ） A. {}n a 是等比数列B. 1321,,,,n a a a 或242,,,n a a a 是等比数列C. 1321,,,,n a a a 和242,,,n a a a 均是等比数列D. 1321,,,,n a a a 和242,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同14.（2015理17）记方程①：2110x a x ；方程②：2210x a x ；方程③： 2310x a x ；其中1a 、2a 、3a 是正实数，当1a 、2a 、3a 成等比数列时，下列选项中， 能推出方程③无实数根的是（ ）A. 方程①有实根，且②有实根B. 方程①有实根，且②无实根C. 方程①无实根，且②有实根D. 方程①无实根，且②无实根15.（2014文23）已知数列{}n a 满足1133n n n a a a ，*n N ，11a .（1）若22a ，3a x ，49a ，求x 的取值范围；（2）设{}n a 是等比数列，且11000m a ，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相 应{}n a 的公比；（3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围.16.（2014理23）已知数列{}n a 满足1133n n n a a a ，*n N ，11a .（1）若22a ，3a x ，49a ，求x 的取值范围；（2）设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a ，若1133n n n S S S ，*n N ，求q 的取值范围；（3）若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a ，求正整数k 的最大值， 以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.17.（2013文22）已知函数()2||f x x ，无穷数列{}n a 满足1()n n a f a ，*n N . （1）若10a ，求2a 、3a 、4a ；（2）若10a ，且1a 、2a 、3a 成等比数列，求1a 的值；（3）是否存在1a ，使得12,,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ； 若不存在，说明理由.【考点2】数列通项与数列求和1. 求数列通项方法（1）公式法：等差数列通项1(1)n a a n d ，等比数列通项11n n a a q .（2）累加法（累乘法）：1()n n a a f n ，1()nn a f n a ，2n . （3）作差法（作商法）：若123n n S a a a a ，则1n n n a S S ，2n . 若123n n T a a a a ，则1nn n T a T，2n . （4）构造法：1n n a Aa B ，1n n a Aa Bn C ，1nn n a Aa B .1q n n a pa ，11n n n a a ka b，11n n n a pa qa ，其他类型.（5）数学归纳法：对数列通项进行归纳猜想，然后按数学归纳法步骤进行证明. 2. 数列求和方法（1）求和公式法：等差数列前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d na中. 等比数列前n 项和公式：11(1)11n n n a a qa q S qq (1)q .22221123(1)(21)6n n n n (3333221)123(1)4n n n ….（2）倒序相加法：首尾距离相等的两项有共性或数列的通项与组合数相关联. （3）错位相减法：数列通项由等差数列与等比数列相乘构成.（4）裂项相消法：将数列中的每项进行分解，然后重新组合，达到消项的目的.111(1)1n n n n ，1111()()n n k k n n k， 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ，1k，11(1)!!(1)!n n n n ，sin1tan(1)tan cos cos(1)n n n n.（5）分组求和法：将通项中有共同规律的部分进行分组，分别求和.（6）数学归纳法：对数列前n 项和进行归纳猜想，然后按数学归纳法步骤进行证明. 18.（2019年8）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a ，则5S 19.（2017年10）已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n ，*n N ，{}n b 的项是互不相等的正 整数，若对于任意*n N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b20.（2016理11）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*N ，{2,3}n S ，则k 的最大值为21.（2013春12）36的所有正约数之和可按如下方法得到：∵223623 ，∴36所有正约 数之和22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91 （， 参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为 22.（2012文14）已知函数1()1f x x，各项均为正数的数列{}n a 满足11a ， 2()n n a f a ，若20102012a a ，则2011a a 的值是23.（2013理17）在数列{}n a 中，21n n a ．若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列 的元素,i j c i j i j a a a a （1,2,,7i ；1,2,,12j ），则该矩阵元素能取到的不同 数值的个数为（ ）A. 18B. 28C. 48D. 6324.（2016春19）用数学归纳法证明等式2123...22n n n ()n *N 的第（ii ）步中，假设n k 时原等式成立，那么在1n k 时，需要证明的等式为（ ） A. 22123...22(1)22(1)(1)k k k k k k B. 2123...22(1)2(1)(1)k k k kC. 22123...2(21)2(1)22(1)(1)k k k k k k kD. 2123...2(21)2(1)2(1)(1)k k k k k 25.（2016春28）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列. （1）若1a 、3a 、4a 成等比数列，求1a 的值；（2）设119a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足11b ，11(2n n n b b ，记12n n n n c S b ()n *N ，求数列{}n c 的最小值0n c .（即0n n c c 对任意n *N 成立）26.（2012春22）已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足11()()n n n n n a a b b c （*n N ）. （1）设36n c n ，{}n a 是公差为3的等差数列，当11b 时，求2b 、3b 的值； （2）设3n c n ，28n a n n ，求正整数k ，使得一切*n N 均有n k b b ；（3）设2nn c n ，1(1)2nn a，当11b 时，求数列{}n b 的通项公式.27.（2011文23）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n ，27n b n （*n N ），将集合**{|,}{|,}n n x x a n x x b n N N 中的元素从小到大依次排列， 构成数列1c ，2c ，3c ， ，n c ， .（1）求三个最小的数，使它们既是数列{}n a 中的项，又是数列{}n b 中的项； （2）数列1c ，2c ，3c ， ，40c 中有多少项不是数列{}n b 中的项？请说明理由； （3）求数列{}n c 的前4n 项和4n S （*n N ）.28.（2011理22）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n ，27n b n （*n N ），将集合**{|,}{|,}n n x x a n x x b n N N 中的元素从小到大依次排列， 构成数列1c ，2c ，3c ， ，n c ， . （1）求1c ，2c ，3c ，4c ；（2）求证：在数列{}n c 中，但不在数列{}n b 中的项恰为2a ，4a ， ，2n a ， ； （3）求数列{}n c 的通项公式.【考点3】数列单调性常结合函数性质分析数列单调性，或根据1n n a a 的大小分析数列单调性29.（2018春15）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列” 的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【考点4】数列极限三个常用极限：① lim n C C（C 为常数）. ② 1lim0n n. ③ 当||1q ，lim 0n n q .我们把||1q 的无穷等比数列的前n 项和n S 当n 时的极限叫做无穷等比数列各项的 和，并用符号S 表示，即11a S q(||1)q . 30.（2019春2）计算：22231lim 41n n n n n31.（2015春4）计算：223lim 2n n n n32.（2018春2）计算：31lim 2n n n33.（2013理1）计算：20lim313n n n34.（2011文2）计算3lim(13n nn35.（2017春8）已知数列{}n a 的通项公式为3nn a ，则123lim nn na a a a a36.（2016春9）无穷等比数列{}n a 的首项为2，公比为13，则{}n a 的各项和为 37.（2012理6）有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,,,n V V V ，则12lim()n n V V V38.（2014理8）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若134lim()n n a a a a，则q39.（2018年10）设等比数列{}n a 的通项公式为1n n a q （n *N ），前n 项和为n S ， 若11lim 2n n n S a ，则q40.（2011理14）已知点(0,0)O 、0(0,1)Q 和点0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10PR 中的一条，记其端点为1Q 、1R ，使之满足11(||2)(||2)0OQ OR ，记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记其端点为2Q 、2R ，使之满足22(||2)(||2)0OQ OR 依次下去，得到12,,,,n P P P ，则0lim ||n n Q P41.（2017年14）在数列{}n a 中，1()2n n a ，*n N ，则lim n n a（ ）A. 等于12B. 等于0C. 等于12D. 不存在42.（2015年18）设(,)n n n P x y 是直线21nx y n ()n *N 与圆222x y 在第一象限 的交点，则极限1lim1n n n y x（ ） A. 1 B. 12C. 1D. 243.（2013文18）记椭圆221441x ny n围成的区域（含边界）为(1,2,)n n ，当点 (,)x y 分别在1 、2 、 上时，x y 的最大值分别是1M 、2M 、 ，则lim n n M（ ）A. 0B. 14C. 2D.44.（2016理17）已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S，下列条件中，使得2n S S （n *N ）恒成立的是（ ）A. 10a ，0.60.7qB. 10a ，0.70.6qC. 10a ，0.70.8qD. 10a ，0.80.7q45.（2013春27）已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n ，数列{}n b 满足2n an b ，求12limn n b b b（）.46.（2019春18）已知数列{}n a 中，13a ，前n 项和为n S . （1）若{}n a 为等差数列，且415a ，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S，求公比q 的取值范围.【考点5】数列应用题47.（2016春附6）小明用数列{}n a 记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨， 方法为：当第k 天下过雨时，记1k a ，当第k 天没下过雨时，记1k a (131)k ； 他用数列{}n b 记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时， 记1k b ，当预报第k 天没有雨时，记1k b (131)k ；记录完毕后，小明计算出1122333131...a b a b a b a b 25 ，那么该月气象台预报准确的总天数为48.（2017年19）根据预测，某地第n *()n N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ，5n b n ，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n （单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【考点6】数列新定义题型49.（2019年21）数列{}n a ()n *N 有100项，1a a ，对任意[2,100]n ，存在n i a a d ，[1,1]i n ()n *N ，若k a 与前n 项中某一项相等，则称k a 具有性质P .（1）若11a ，2d ，求4a 所有可能的值；（2）若{}n a 不是等差数列，求证：数列{}n a 中存在某些项具有性质P ；（3）若{}n a 中恰有三项具有性质P ，这三项和为c ，请用a 、d 、c 表示12100a a a .50.（2018春21）若{}n c 是递增数列，数列{}n a 满足：对任意n *N ，存在m *N ，使 得10m nm n a c a c ，则称{}n a 是{}n c 的“分隔数列”.（1）设2n c n ，1n a n ，证明：数列{}n a 是{}n c 的分隔数列；（2）设4n c n ，n S 是{}n c 的前n 项和，32n n d c ，判断数列{}n S 是否是数列{}n d 的分隔数列，并说明理由；（3）设1n n c aq ，n T 是{}n c 的前n 项和，若数列{}n T 是{}n c 的分隔数列，求实数a 、q 的取值范围.51.（2018年21）给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意n *N ，都有||1n n b a ，则称{}n b 与{}n a “接近”.（1）设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a ，n *N ，判断数列{}n b 是 否与{}n a 接近，并说明理由；（2）设数列{}n a 的前四项为：11a ，22a ，34a ，48a ，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合{|,1,2,3,4}i M x x b i ，求M 中元素的个数m ；（3）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在21b b ，32b b ， ，201200b b 中至少有100个为正数，求d 的取值范围.52.（2016理23）无穷数列{}n a 满足：只要p q a a （,p q *N ），必有11p q a a ， 则称{}n a 具有性质P .（1）若{}n a 具有性质P ，且11a ，22a ，43a ，52a ，67821a a a ，求3a ； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ，5181b c ，n n n a b c ，判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{}n b 是无穷数列，已知1sin n n n a b a （n *N ），求证：“对任意1a ，{}n a 都具 有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.53.（2016文22）对于无穷数列{}n a 与{}n b ，记{|,}n A x x a n *N ，{|,}n B x x b n *N ，若同时满足条件：① {}n a ，{}n b 均单调递增；②A B 且A B *N ，则称{}n a 与{}n b 是无穷互补数列.（1）若21n a n ，42n b n ，判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若2nn a 且{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和；（3）若{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列，且1636a ，求{}n a 与{}n b 的通 项公式.54.（2016春附7）对于数列{}n a 与{}n b ，若对数列{}n c 的每一项k c ，均有k k c a 或k k c b ，则称数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”.（1）设数列{}n a 与{}n b 的前三项分别为11a ，23a ，35a ，11b ，22b ，33b ， 若数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”，求所有可能的有序数组123(,,)c c c ； （2）已知数列{}n a 、{}n c 均为等差数列，{}n a 的公差为1，首项为正整数t ，{}n c 的前 10项和为30 ，前20项和为260 ，若存在唯一的数列{}n b ，使得{}n c 是{}n a 与{}n b 的 一个“并数列”，求t 的值所构成的集合.55.（2015理23）对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 、为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期；已知()f x 是以T 为余 弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0f ，()4f T . （1）验证()sin3xh x x 是以6 为余弦周期的余弦周期函数； （2）设a b ，证明对任意[(),()]c f a f b ，存在0[,]x a b ，使得0()f x c ； （3）证明：“0u 为方程cos ()1f x 在[0,]T 上的解”的充要条件是“0u T 为方程cos ()1f x 在[,2]T T 上的解”，并证明对任意[0,]x T 都有()()()f x T f x f T .56.（2012文23）对于项数为m 的有穷数列{}n a ，记12max{,,...,}k k b a a a（1,2,...,k m ），即k b 为12,,...,k a a a 中的最大值，并称数列{}n b 是{}n a 的控制数列， 如1、3、2、5、5的控制数列是1、3、3、5、5.（1）若各项均为正整数的数列{}n a 的控制数列为2、3、4、5、5，写出所有的{}n a ； （2）设{}n b 是{}n a 的控制数列，满足1k m k a b C （C 为常数，1,2,...,k m ）， 求证：k k b a （1,2,...,k m ）； （3）设100m ，常数1(,1)2a ，若(1)22(1)n n n a an n ，{}n b 是{}n a 的控制数列，求1122100100()()()b a b a b a .57.（2012理23）对于数集12{1,,,,}n X x x x ，其中120n x x x ，2n ，定义向量集{|(,),,}Y a a s t s X t X，若对任意1a Y ，存在2a Y ，使得120a a ，则称X 具有性质P ，例如{1,1,2} 具有性质P .（1）若2x ，且{1,1,2,}x 具有性质P ，求x 的值；（2）若X 具有性质P ，求证：1X ，且当1n x 时，11x ；（3）若X 具有性质P ，且11x 、2x q （q 为常数），求有穷数列12,,,n x x x 的 通项公式.【考点7】数列综合题型58.（2015春29）已知函数2()|22|x f x ()x R . （1）解不等式()2f x ；（2）数列{}n a 满足()n a f n ()n *N ，n S 为{}n a 的前n 项和，对任意的4n ，不等式12n n S ka恒成立，求实数k 的取值范围.59.（2019春21）若{}n a 是等差数列，公差(0,]d ，数列{}n b 满足：sin()n n b a ，n *N ，记{|,}n S x x b n *N .（1）设10a ，23d ，求集合S ； （2）设12a，试求d 的值，使得集合S 恰有两个元素；（3）若集合S 恰有三个元素，且n T n b b ，其中T 为不超过7的正整数，求T 所有可能值.60.（2017春21）已知函数21()log 1xf x x. （1）解方程()1f x ；（2）设(1,1)x ，(1,)a ，证明：1(1,1)ax a x ，且11(()()ax f f x f a xa ； （3）设数列{}n x 中，1(1,1)x ，1131(1)3n nn nx x x ，n *N ，求1x 的取值范围， 使得3n x x 对任意n *N 成立.61.（2011春23）对于给定首项0x 0a ），由递推式11(2n n x x （*n N ）得到数列{}n x ，且对于任意的*n N，都有n x，用数列{}n x的近似值.（1）取05x ，100a ，计算1x 、2x 、3x 的值（精确到0.01）， 并且归纳出n x 、1n x 的大小关系； （2）当1n 时，证明：111()2n n n n x x x x； （3）当0[5,10]x 时，用数列{}n x41||10n n x x ， 请你估计n ，并说明理由.62.（2013理23）给定常数0c ，定义函数()2|4|||f x x c x c ，数列123,,,a a a ，满足1()n n a f a ，*n N .（1）若12a c ，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*n N ，1n n a a c ；（3）是否存在1a ，使得12,,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ； 若不存在，说明理由.63.（2015年22）已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ，n *N .（1）若35n b n ，且11a ，求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a ()n *N ，求证{}n b 的第0n 项是最大项；（3）（文）设130a ，n n b ()n *N ，求 的取值范围，使得对任意m 、n *N ，0n a ，且1(,6)6m na a . （3）（理）设10a ，nn b ()n *N ，求 的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且(2,2)Mm.。
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近五年上海高考汇编——数列与数学归纳一、填空题1.（2009年上海高考文13）已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ,且公差0≠d . 若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =_____时,0)(=k a f . 答案：14.2.（ 2010年上海高考文12） 在n 行m 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中， 记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅，当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+= .答案：453．（2010年上海高考文14）将直线1:10l x y +-=、2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-= （*n N ∈，2n ≥）围成的三角形面积记为n S ，则lim n n S →∞=答案：124.（2010年上海高考理11）将直线2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*n N ∈，2n ≥）x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为n S ，则lim n n S →∞=答案：15.（2011年上海高考文2）3lim(1)3n nn →∞-=+ 答案：2-6.（2011年上海高考理14）已知点(0,0)O 、0(0,1)Q 和0(3,1)R ，记00Q R 的中点为1P ，取01Q P 和10PR 中的一条，记其端点为1Q 、1R ，使之满足11(||2)(||2)0OQ OR --<；记11Q R 的中点为2P ，取12Q P 和21P R 中的一条，记其端点为2Q 、2R ，使之满足22(||2)(||2)0OQ OR --<；依次下去，得到点12,,,,n P P P ，则0l im||n n Q P →∞= 答案：37.（2012年上海高考理6/文7）有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .答案：878.（2012年上海高考文14）已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是 .答案：3+135269. (2013年上海高考理1）计算：20lim313n n n →∞+=+ ．答案：1310.（2013年上海高考理10）设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ 等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差D ξ= ．答案：230d11.（2013年上海高考文2）在等差数列{}n a 中，若123430a a a a +++=，则23a a += ．答案：15二、选择题12.（2011年上海高考理18）设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i = ），则{}n A 为等比数列的充要条件为 （ ）A {}n a 是等比数列B 1321,,,,n a a a - 或242,,,,n a a a 是等比数列C 1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 均是等比数列D 1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同答案：D13.（2012年上海高考文18）若2sinsin...sin 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A ．16 B.72 C.86 D.100 答案：C14.（2012年上海高考理18）设25sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100答案：D15.（2013年上海高考理17）在数列{}n a 中，21n n a =-．若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j c a a a a =⋅++（1,2,,7i = ；1,2,,12j = ），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）． A ．18 B. 28 C. 48 D. 63答案：A16.（2013年上海高考文18）记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为(1,2,)n n Ω= ，当点(,)x y 分别在12,,ΩΩ 上时，x y +的最大值分别是12,,M M ，则lim n n M →∞=（ ）．A. 0B.14C. 2D. 22 答案：D三、解答题17.（2009年上海高考文23）已知{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列（1）若31n a n =+，是否存在*m k N ∈、，有1?m m k a a a ++=请说明理由；（2）若b n =aq n （a 、q 为常数，且aq ≠0），对任意m 存在k ，有b m ·b m+1=b k ，试求a 、q 满足的充要条件； （3）若a n =2n +1，b n =3n ，试确定所有的p ，使数列{b n }中存在某个连续p 项的和是{a n }中的一项，请证明. 解：（1）由1,m m k a a a ++=得6631m k +++，整理后，可得42,3k m -=m 、k N ∈，2k m ∴-为整数∴不存在n 、k N *∈，使等式成立。
（2）当1m =时，则2312,k k b b b a q aq ⋅=∴⋅=3,k a q -∴=即c a q =，其中c 是大于等于2-的整数反之当c a q =时，其中c 是大于等于2-的整数，则n c n b q +=， 显然12121m c m c m c m m k b b q q q b ++++++⋅=⋅==，其中21k m c =++∴a 、q 满足的充要条件是c a q =，其中c 是大于等于2-的整数（3）设12m m m p k b b b a ++++++=当p 为偶数时，(*)式左边为偶数，右边为奇数， 当p 为偶数时，(*)式不成立。
由(*)式得13(13)2113m p k +-=+-，整理得13(31)42m p k +-=+ 当1p =时，符合题意。
当3p ≥，p 为奇数时，31(12)1p p -=+-()()011221122121222222212222222222p p p p p p p p p p p p p p p pp p p p p C C C C C C C C C C C C C p --=+⋅+⋅++⋅-=⋅+⋅++⋅=+⋅++⋅⎡⎤=+⋅++⋅+⎣⎦∴ 由13(31)42m p k +-=+，得()12222322221m p p p p p C C C p k +-⎡⎤+⋅++⋅+=+⎣⎦∴当p 为奇数时，此时，一定有m 和k 使上式一定成立。
∴当p 为奇数时，命题都成立。
18.（2009年上海高考理23）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列 （1）若31n a n =+，是否存在*m k N ∈、，有1?m m k a a a ++=说明理由； （2）找出所有数列{}n a 和{}n b ，使对一切*n N ∈,1n n na b a +=,并说明理由； （3）若115,4,3,a d b q ====试确定所有的p ，使数列{}n a 中存在某个连续p 项的和是数列{}n b 中的一项，请证明解（1）1,6531m m k a a a m k ++=+=+得， ……2分整理后，可得423k m =+*m k N ∈、，∴2k m -为整数， ∴不存在*m k N ∈、，使等式成立。
……5分（2）解法一 若1,n n na b a +=即，（*）（i ）若110,1n n d b q b -===则，当{}n a 为非零常数列，{}n b 为恒等于1的常数列，满足要求。
……7分 （ii ）若0d ≠，（*）式等号左边取极限得（*）式等号右只边只有当1q =时，才可能等于1，此时等号左边是常数，0d =，矛盾。
综上所述，只有当{}n a 为非零常数列，{}n b 为恒等于1的常数列，满足要求。
……10分 解法二 设n a nd c =+，若1n n n a b a +=，对n *∈N 都成立，且{}n b 为等比数列，则211/n n n na a q a a +++=，对n *∈N 都成立，即221n n n a a qa ++=，∴2()(2)()d n c d n d c q d n d c +++=++，对n *∈N 都成立，∴22d qd =……7分（i ）若0,0n d a c ==≠则，∴1,n b =n *∈N . （ii ）若0d ≠，则1,(,0,n dn d cq b m m d dn c++=∴===+常数），即则矛盾.综上所述，01n n a c b =≠=有，，使对一切n *∈N ，1n n na b a +=. ……10分 （3）*41,3,n n n a n b n N =+=∈，设*123,,k m m m p k a a a b p k N m ++++++==∈∈N. 、4(1)14()132k m m p p +++++=，∴3423km p p+++， *p k N ∈、，∴3,s p s N =∈ ……13分取22s 2s 32,43234-1230s k s m +=+=-⨯3-=-⨯(4-1)-≥s+2（），……15分由二项展开式可得整数12M M 、，使得2s+214-1=4M +1（），11lim1,(1)n a nda n d →∝+=+-1111(1)n a ndb q a n d -+=+-s224-18(1)2S M ⨯=+-（）∴1244(2)((1)1)2,S m M M =---+∴存在整数m 满足要求。
故当且仅当3,s p s N =∈，命题成立。
……18分 说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）若p 为偶数，则12m m m p a a a ++++++ 为偶数，但3k为奇数。
故此等式不成立，∴p 一定为奇数。