南京师范大学数学分析考研复习模拟题一及答案
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……，用逐次二等分法继续做下去，构造得一区间套 [ a n , bn ] ，使得 a n , n 1, 2 , 恒 为 x n 的下界， 而 b n , n 1, 2 , 不是 x n 的下界． 由区间套定理， [ a n , bn ] ，
I 上为一一映射的假设相矛盾，所以 f 在 I 上必为严格单调函数．
注意 在函数 f 为连续的前提下，严格
□
y
y f ( x)
单调与一一映射才是等价的；而在一般情形下， 一一映射的 f 不一定是严格单调的．例如右 图所示的函数 y f ( x) ，它在 [ a , b ] 上是一 一映射，但却不是严格单调的．
专业课复习资料（最新版）
封
面
模拟题一
一、 实数完备性问题． （１５分） ( 1 ) 叙述单调有界定理与区间套定理； ( 2 ) 用区间套定理证明单调有界定理． ［答（１） ］单调有界定理：单调有界数列必定存在极限． 区间套定理：若 [ a n , bn ] 为一区间套，即满足： ① [ a n 1 , bn 1 ] [ a n , bn ] , n 1, 2 , ； ② lim ( bn a n ) 0 ，
□
二、 （１０分）
(1) (2) 写出 R 中点集 E 为开集的定义； 用定义证明：若 E 、 F R 都为开集，则并集 H E F 与交集 G E F
2 2
亦都为开集． ［答（１） ］所谓 E R 是开集，是指 E 中所有点都是 E 的内点．即 p E ，
2
0 ，满足 U ( p ; ) E ．
f ( xΒιβλιοθήκη Baidu ) f ( x1 ) . f ( x3 ) f ( x2 )
0，
不失一般性，设 f ( x 2 ) f ( x3 ) f ( x1 ) ．现任取 满足 f ( x 2 ) f ( x3 ) ，则由连 续函数的介值性， ( x1 , x 2 ) , ( x 2 , x3 ) ，使得 f ( ) f ( ) ．而这与 f 在
n 1, 2 , ．下面进一步证明 lim x n ．
n
根据区间套定理的推论， 0 , K Ν , 使 当 k K 时，
[ ak , b k ] U ( ; ) ．
由于 a k , k 1, 2 , 恒为 x n 的下界，而 b k , k 1, 2 , 不是 x n 的下界，故对上述
a
O
b
x
四、 （１０分） 设
x 3 u , u0 , y 4
试求 f ( u ) 与 f ( u 0 ) ．
f (u )
x2 y2 ln ( x y)
．
［解］根据向量函数的导数的定义，容易求得：
2 2 x x y f ( u ) x ln y x
并令
L x1 1 x 2 x n 0 , ............. L x n 1 x1 x n 1 0 ,
x1 x 2 x n L x1 x 2 x n a 0 ,
x1 x 2 x n a
之下，这 n 个正数的和 x1 x 2 x n 的最小值为 n n a ．并由此结果推出以下不等 式：
n
x1 x 2 x n
x1 x 2 x n ． n
［证］用 Lagrange 乘数法，设
L x1 x 2 x n ( x1 x 2 x n a ) ，
类似地可证 G E F 亦为开集， 请读者自行写出它的证明．
□
三、 （１０分）已知 f 在区间 I 上连续，且为一一映射．证明： f 在 I 上必为严格 单调函数． （提示：使用反证法，并借助连续函数的介值性． ） ［证］倘若 f 在 I 上不是严格单调函数，则 x1 , x 2 , x3 I ( x1 x 2 x3 ) ，使 得
x2 y2 y x ln y y f ( u 0 ) 3 5 1 3
x x y 1 x
2 2 2
y x y 1 y
2
，
4 5 ． 1 4
□
五、 （１５分） 证明：在 n 个正数的乘积为定值的条件
K ，必有 x K b K ；且因 x n 为递减数列，当 n K 时满足 a K x n x K bK ，于
是 x n U ( ; ) ，这就证得 lim x n ．
n
同理可证 x n 为递增而有上界的情形，请读者自行写出它的证明．
n
则存在惟一的 [ a n , bn ] ， n 1, 2 , ． ［证（２） ］设 x n 为递减且有下界 M 的数列，欲证 x n 收敛．为此构造区间套 如下：令 [ a1 , b 1 ] [ M , x1 ] ；记 c 1
a 1 b1 2
，再令
[ c 1 , b1 ] , 若 c 1 是 x n 的下界 , [ a2 , b 2 ] [ a 1 , c 1 ] , 若 c 1 不是 x n 的下界 ;
下面证明 H E F 为开集． 为此任取 p H ， ［证 （２） ］ 设 E 、F R 都为开集， 由 H E F ，则 p E 或 p F ．根据开集定义， 0 ，使得 U ( p ; ) E ，或
2
U ( p ; ) F ，从而 U ( p ; ) H ．这就证得 H E F 为 R 2 中的一个开集．
I 上为一一映射的假设相矛盾，所以 f 在 I 上必为严格单调函数．
注意 在函数 f 为连续的前提下，严格
□
y
y f ( x)
单调与一一映射才是等价的；而在一般情形下， 一一映射的 f 不一定是严格单调的．例如右 图所示的函数 y f ( x) ，它在 [ a , b ] 上是一 一映射，但却不是严格单调的．
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模拟题一
一、 实数完备性问题． （１５分） ( 1 ) 叙述单调有界定理与区间套定理； ( 2 ) 用区间套定理证明单调有界定理． ［答（１） ］单调有界定理：单调有界数列必定存在极限． 区间套定理：若 [ a n , bn ] 为一区间套，即满足： ① [ a n 1 , bn 1 ] [ a n , bn ] , n 1, 2 , ； ② lim ( bn a n ) 0 ，
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二、 （１０分）
(1) (2) 写出 R 中点集 E 为开集的定义； 用定义证明：若 E 、 F R 都为开集，则并集 H E F 与交集 G E F
2 2
亦都为开集． ［答（１） ］所谓 E R 是开集，是指 E 中所有点都是 E 的内点．即 p E ，
2
0 ，满足 U ( p ; ) E ．
f ( xΒιβλιοθήκη Baidu ) f ( x1 ) . f ( x3 ) f ( x2 )
0，
不失一般性，设 f ( x 2 ) f ( x3 ) f ( x1 ) ．现任取 满足 f ( x 2 ) f ( x3 ) ，则由连 续函数的介值性， ( x1 , x 2 ) , ( x 2 , x3 ) ，使得 f ( ) f ( ) ．而这与 f 在
n 1, 2 , ．下面进一步证明 lim x n ．
n
根据区间套定理的推论， 0 , K Ν , 使 当 k K 时，
[ ak , b k ] U ( ; ) ．
由于 a k , k 1, 2 , 恒为 x n 的下界，而 b k , k 1, 2 , 不是 x n 的下界，故对上述
a
O
b
x
四、 （１０分） 设
x 3 u , u0 , y 4
试求 f ( u ) 与 f ( u 0 ) ．
f (u )
x2 y2 ln ( x y)
．
［解］根据向量函数的导数的定义，容易求得：
2 2 x x y f ( u ) x ln y x
并令
L x1 1 x 2 x n 0 , ............. L x n 1 x1 x n 1 0 ,
x1 x 2 x n L x1 x 2 x n a 0 ,
x1 x 2 x n a
之下，这 n 个正数的和 x1 x 2 x n 的最小值为 n n a ．并由此结果推出以下不等 式：
n
x1 x 2 x n
x1 x 2 x n ． n
［证］用 Lagrange 乘数法，设
L x1 x 2 x n ( x1 x 2 x n a ) ，
类似地可证 G E F 亦为开集， 请读者自行写出它的证明．
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三、 （１０分）已知 f 在区间 I 上连续，且为一一映射．证明： f 在 I 上必为严格 单调函数． （提示：使用反证法，并借助连续函数的介值性． ） ［证］倘若 f 在 I 上不是严格单调函数，则 x1 , x 2 , x3 I ( x1 x 2 x3 ) ，使 得
x2 y2 y x ln y y f ( u 0 ) 3 5 1 3
x x y 1 x
2 2 2
y x y 1 y
2
，
4 5 ． 1 4
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五、 （１５分） 证明：在 n 个正数的乘积为定值的条件
K ，必有 x K b K ；且因 x n 为递减数列，当 n K 时满足 a K x n x K bK ，于
是 x n U ( ; ) ，这就证得 lim x n ．
n
同理可证 x n 为递增而有上界的情形，请读者自行写出它的证明．
n
则存在惟一的 [ a n , bn ] ， n 1, 2 , ． ［证（２） ］设 x n 为递减且有下界 M 的数列，欲证 x n 收敛．为此构造区间套 如下：令 [ a1 , b 1 ] [ M , x1 ] ；记 c 1
a 1 b1 2
，再令
[ c 1 , b1 ] , 若 c 1 是 x n 的下界 , [ a2 , b 2 ] [ a 1 , c 1 ] , 若 c 1 不是 x n 的下界 ;
下面证明 H E F 为开集． 为此任取 p H ， ［证 （２） ］ 设 E 、F R 都为开集， 由 H E F ，则 p E 或 p F ．根据开集定义， 0 ，使得 U ( p ; ) E ，或
2
U ( p ; ) F ，从而 U ( p ; ) H ．这就证得 H E F 为 R 2 中的一个开集．