离散数学复习题及答案

总复习题（一）
一．单选题
1 (C)。

一连通的平面图，5个顶点3个面，则边数为（）。

、4 、5 、6 、7
2、 (A)。

如果一个简单图
，则称为自补图，非同构的无向4阶自补图有（）个。

、1 、2 、3 、4
3、 (D)。

为无环有向图，
为的关联矩阵，则（）。

、是
的终点、与不关联、与关联、是的始点
4、 (B)。

一连通的平面图，8个顶点4个面，则边数为。

、9 、10 、11 、12
5、 (D)。

如果一个简单图
，则称为自补图，非同构的3阶有向完全图的子图中
自补图有个。

、1 、2 、3 、4
6、21条边，3个4度顶点，其余顶点为3度的无向图共有个顶点。

、13 、12 、11 、10
7、 (D)。

有向图的通路包括。

、简单通路、初级通路、复杂通路、简单通路、初级通路和复杂通路
8、 (D)。

一连通的平面图，9个顶点5个面，则边数为。

、9 、10 、11 、12
9、21条边，3个4度顶点，其余顶点为3度的无向图共有个顶点。

、13 、12 、11 、10
10、 (D)。

有向图的通路包括。

、简单通路、初级通路、复杂通路、简单通路、初级通路和复杂通路
11、 (D)。

一连通的平面图，9个顶点5个面，则边数为。

、9 、10 、11 、12
12、 (B)。

为有向图，为的邻接矩阵，则。

、邻接到的边的条数是５、接到的长度为４的通路数是５
A B C D G
G ≅G A B C D E ,V D =[]m n ij m ⨯D 1m ij =A i v j
e B i v j e C i v j e D i v j e A B C D G
G ≅G A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D E ,V D
=[]n n ij a ⨯D 5a )4(ij =A i v j v B i v j v
、长度为４的通路总数是５、长度为４的回路总数是５
13、 (C)。

在无向完全图中有个结点，则该图的边数为（）。

A 、
B 、
C 、
D 、
14、 (C)。

任意平面图最多是（）色的。

A 、3
B 、4
C 、5
D 、6
15、 (A)。

对与10个结点的完全图，对其着色时，需要的最少颜色数为（）。

A 、10 B 、9 C 、11 D 、12
16、(C)。

对于任意的连通的平面图，且每个面的次数至少为有，其中，分
别为的阶数、边数。

、
、 、
、
二．判断题
1、 (A)。

有向图的关联矩阵要求图是无环图。

（ ）
2、 (A)。

是某图的度数序列。

（ ）
3、 (A)。

无向连通图的点的连通关系是等价关系（ ）
4、 (B)。

是某图的度数序列。

（ ）
5、 (A)。

V 和E 分别为无向连通图G1的点割集和边割集. G1 -E 的连通分支个数为2。

( )
6、 (A)。

彼得森图不是哈密尔顿图。

（ ）
7、 (B)。

是平面图。

（ ）
8、 (B)。

设是平面图，若，则它们的对偶图。

（ ） 9、 (A)。

是平面图。

（ ）
10、 (A)。

一个简单图的闭包是汉密尔顿图时，这个简单图是汉密尔顿图。

（） 11、 (B)。

平面图中，任何两条边除端点外可以有其他交点。

（） 12、 (B)。

余树一定是树。

（ ）
13、 (A)。

为无向连通图，是的生成子图，并且是树，则是的生成树。

（ ）
C D n 12n 212n 1
(1)2n n -(1)n n -G 10
K 10
()x K
G )3l
(l ≥m ,n G A )2n (2l l m --≥
B )2n (l 2
-l m -≤C )2n (2l l m --≤
D )2n (l 2
-l m -≥)1,1,2,2,4()1,1,1,4(5K 2,1G G 21G G ≅**≅21G G 4K G T G T T G
14、 (A)。

是非平凡的无向树，则至少有两片树叶（ ）
15、 (B)。

无向树有3个3度、2个2度顶点，其余顶点都是树叶，共有4片树叶。

( ) 16、 (A)。

无向树有3个3度、2个2度顶点，其余顶点都是树叶，共有5片树叶。

( ) 17、 (B)。

已知n(n>=2)阶无向简单树具有n-1条边，他一定是树。

( )
18、 (A)。

一个连通无向图中，存在两个结点和，如果结点和的每一条路都通过结
点，则结点比为割点。

（）
19、 (A)。

一个有向图，如果中有一个回路，至少包含每个结点一次，则是强连通。

20、 (A)。

给定图，则关于树的定义是每一对结点之间有且仅有一条路。

（） 21、 (A)。

完全叉树是每一个结点的出度等于或0的根树。

（）
22、 (A)。

在正则叉树中，所有的树叶层次相同。

（）
23、 (B)。

树中分支点的通路长度为外部通路长度。

（）
24、 (B)。

树中树叶的通路长度为内部通路长度。

（）
25、 (A)。

任何一棵二叉树的树叶可对应一个前缀码。

（）
26、(A)。

任何一个前缀码都对应一棵二叉树。

（）
三．综合题
1.证明:若图是自对偶的，则.
2.T 是一棵树,有两个2度结点，一个3度结点，三个4度结点，T 有几片树叶？
解：设树T 有x 片树叶，则T 的结点数 n =2+1+3+x
T 的边数m =n -1=5+x
又由得 2 ·（5+x ）=2·2+3·1+4·3+x
所以x =9，即树T 有9片树叶。

3.图所示的赋权图G 表示七个城市a,b,c,d,e,f,g 及架起城市间直接通讯线路的预测造价。

试给出一个设计方案使得各城市间能够通讯且总造价最小,并计算出
T n T u v u v w w G G G T m m
m
最小造价。

解：最小生成树为
因此如图T
架线使各城市间能够通讯，且总造价最小，最小造价为：
G
Ｗ(Ｔ)＝１＋３＋４＋８＋９＋23＝48
4.求出下所示图的邻接矩阵和可达性矩阵，并找出。

0100
⎡⎤
解：邻接矩阵
答案错误
5.求下图的一棵最小生成树.
解：因为图中n ＝8，所以按算法要执行n －1＝7次，其过程见下图中(1)~(7)。

(2)
(3)
(4)
(1)(2)(3)(4)
01000100001000100
0101
10011001
1000
1101110111011101100011001101110111011101
11011101110111011101
110A A A P A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥
=∧=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
==⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦⎡⎢⎢=∨∨∨=⎢⎣⎤⎥
⎥
⎥
⎢⎥
⎦
6.v 1到v 4,v 4到v 1长为3的通路各有多少条?
求出下所示图的邻接矩阵和可达性矩阵
v 1到v 4长为3的通路0条，v 4到v 1长为3的通路3条。

⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=1004
0104100500010103
100301040001100201021003000101011001010200014
3
2
A A A A ⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1101
1101
11110001P
总复习题二
1、 (B)。

设
是半群，其中为非空集合，如果是上满足交换律的二元运算，则
称
为。

、半群、可交换半群、可交换群、域
2、 (D)。

设是代数系统，其中为非空集合，如果,+是上的二元运算，则称
环
、为半群、为阿贝尔群、乘法对加法适合分配律、满足A 、B 、C 三
条
3、 (D)。

设是环，如果乘法适合交换律，则称环。

、整环、除环、域、交换环
4、 (B)。

设代数系统是个独异点，对任意，且均有逆元，则为（）。

A 、
B 、
C 、
D 、
5、 (D)。

设代数系统是个独异点，则还需满足（）条件，代数系统为群。

A 、运算封闭
B 、运算可结合
C 、运算可交换
D 、每个元素有逆元
6、 (B)。

代数系统中，如果存在为等幂元，则（）。

A 、
B 、
C 、
D 、
7、 (B)。

设是个群，是的平凡子群，则=（）。

A 、
B 、
C 、
D 、
8、 (D)。

在群中，对于，必存在，使得，则为（）。

A 、
B 、
C 、
D 、
9、 (C)。

设代数系统是群，则运算满足（）条件，是阿贝尔群。

A 、运算封闭
B 、运算可结合
C 、运算可交换
D 、每个元素有逆元
,A A A ,A A B C D +∙,,A A ∙A +∙,,A A ∙,A B +,A C D +∙,,A ∙A B C D ,*S <>,a b S ∈,a b 1
(*)a b -1
1
*a b --1
1
*b a --1
*a b -1
*b a -,*G <>,*G <>***,*G <>a *a a e =*a a a =1
*a a
a -=1*a a e -=,*G <>,*S <>,*G <>S {}φ{}e {}θ{}a ,*G <>,a
b G ∈x G ∈*a x b =x e *b e 1
*b a
-1
*a b -,*G <>*,*G <>***
判断题 1、(A)。

为独异点，且中任意元素都存在逆元，则为一个群。

（ ）
2、(A)。

为代数系统，为二元运算，如果是可结合的，且中任意元素都存在逆
元，则
为一个群。

（ ） 3、(B)。

为独异点，且中任意元素都存在逆元，则
为一个半群。

（ ）
三．综合题
1.设 ∘运算为Q 上的二元运算，
(1) 指出∘运算的性质.
(2) 求 ∘运算的单位元、零元和所有可逆元. 解：(1) ∘运算可交换，可结合. 任取 x , y ∈Q ,
x ∘y = x +y +2xy = y +x +2yx = y ∘x , 任取 x , y , z ∈Q ,
(x ∘y )∘z = (x +y +2xy )+z +2(x +y +2xy )z = x +y +z +2xy +2xz +2yz +4xyz
x ∘(y ∘z ) = x +(y +z +2yz )+2x (y +z +2yz = x +y +z +2xy +2xz +2yz +4xyz
(2) 设∘运算的单位元和零元分别为 e 和 θ，则对于任 意 x 有 x ∘e = x 成立，即
x +e +2xe = x ⇒e = 0 由于∘运算可交换，所以 0 是幺元. 对于任意 x 有x ∘θ= θ成立，即
x +θ+2x θ =θ⇒x +2x θ= 0 ⇒θ = -1/2
给定 x ，设 x 的逆元为 y , 则有 x ∘y = 0 成立，即
x +y +2xy = 0 ⇒ (x ≠ -1/2 ) 因此当x ≠-1/2时， 是x 的逆元.
2.S = P ({1, 2}), ⊕为对称差运算，写出 <s ,⊕>的运算表，并判断此代数系统是一个群。

,G G ,G ,G G ,
,G G
,G
3.证明关于gcd, lcm运算构成的布尔代数.
解(1) 不难验证S110关于gcd和lcm 运算构成格. (略)
(2) 验证分配律∀x, y, z∈S110有
gcd(x, lcm(y, z)) = lcm(gcd(x, y), gcd(x, z))
(3) 验证它是有补格, 1作为S110中的全下界, 110为全上界,
1和110互为补元, 2和55互为补元, 5和22互为补元, 10和
11互为补元, 从而证明了<S110, gcd, lcm>为布尔代数.
总复习题三
一．证明下列公式等值
二．（1）求(p→⌝q)∨⌝r公式的析取范式与合取范式以及成真赋值成假赋值。

解(p→⌝q)→r
⇔ (p∧q)∨r（析取范式）①
(p∧q)
⇔ (p∧q)∧(⌝r∨r)
⇔ (p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)
⇔m6∨m7 ②
r
⇔ (⌝p∨p)∧(⌝q∨q)∧r
⇔ (⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧r)
⇔m1∨m3∨m5∨m7 ③
②, ③代入①并排序，得
(p→⌝q)→r⇔m1∨m3∨m5∨m6∨m7（主析取范式）
(p→⌝q)→r
⇔ (p∨r)∧(q∨r) （合取范式）④
p∨r
⇔p∨(q∧⌝q)∨r
⇔ (p∨q∨r)∧(p∨⌝q∨r)
⇔M0∧M2 ⑤
q∨r
⇔ (p∧⌝p)∨q∨r
⇔ (p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨r)
⇔M0∧M4⑥
⑤, ⑥代入④并排序，得
(p→⌝q)→r⇔M0∧M2∧M4（主合取范式）
成真赋值为 001, 011, 101, 110, 111，
成假赋值为 000, 010, 100.
（2）已知命题公式A中含3个命题变项p, q, r，并知道它的成真
赋值为001, 010, 111, 求A的主析取范式和主合取范式，及A对应的真值函数.
解：A的主析取范式为m1 ∨m2∨m7
A的主合取范式为M0∧M3∧M4 ∧M5∧M6
pq r F pq r F
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 1 0
0 1 0 1 1 1 0 0
0 1 1 0 1 1 1 1
三．构造下面推理的证明：
（1）若明天是星期一或星期三，我明天就有课. 若我明天有课，今天必备课. 我今天没备课. 所以，明天不是星期一、
也不是星期三.
解(1) 设命题并符号化
设p：明天是星期一，q：明天是星期三，
r：我明天有课，s：我今天备课
(2) 写出证明的形式结构
前提：(p∨q)→r, r→s, ⌝s
结论：⌝p∧⌝q
(3) 证明
①r→s前提引入
② ⌝s前提引入
③ ⌝r①②拒取式
④ (p∨q)→r前提引入
⑤ ⌝(p∨q) ③④拒取式
⑥ ⌝p∧⌝q⑤置换
（2）2是素数或合数. 若2是素数，则是无理数. 若是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数.
解用附加前提证明法构造证明
(1) 设p：2是素数，q：2是合数，
r：是无理数，s：4是素数
(2) 推理的形式结构
前提：p∨q, p→r, r→⌝s
结论：s→q
(3) 证明
① s附加前提引入
② p→r前提引入
③ r→⌝s前提引入
④ p→⌝s②③假言三段论
⑤ ⌝p①④拒取式
⑥ p∨q前提引入
⑦ q⑤⑥析取三段论
（3）前提：⌝(p∧q)∨r, r→s, ⌝s, p
结论：⌝q
证明用归缪法
① q结论否定引入
② r→s前提引入
③ ⌝s前提引入
④ ⌝r②③拒取式
⑤ ⌝(p∧q)∨r前提引入
⑥ ⌝(p∧q) ④⑤析取三段论
⑦ ⌝p∨⌝q⑥置换
⑧ ⌝p①⑦析取三段论
⑨ p 前提引入
⌝p ∧p ⑧⑨合取
（4） (P →（Q∨R))∧(┐S →┐Q)∧(P∧┐S)⇒R.
证：（1） P∧┐S P
（2） P T （1） I 1
（3） ┐S T （1） I 1
（4） P →（Q∨R) P
（5） Q∨R T (2)，(4) I 11
（6） ┐S →┐Q P
（7） ┐Q T(3)，(6) I 11
（8） R T(5)，(7) I 11
四．求下列公式的前束范式。

解：
五．将下列命题符号化。

(1) 所有的人都长着黑头发；(2)有的人登上过月球；
(3) 没有人登上过木星； (4)在美国留学的学生未必都是亚洲人。

(2) 令G(x)：x 登上过月球。

则∃x (M(x)∧G(x))。

(3) 令H(x)：x 登上过木星。

则
┐∃x (M(x)∧H(x))。

)量词分配))(()()(()量词转换律)(()()()()()()()()1(x G x F x x G x x F x x G x x F x ⌝∧∀⇔⌝∀∧∀⇔∃⌝∧∀)辖域扩张))(()()()(()辖域扩张))(()()()(()
换名)(()()()()
量词转换律)(()()()()()()()()
2(y G x F y x y G y x F x y G y x F x x G x x F x x G x x F x ⌝∨∀∀⇔⌝∀∨∀⇔⌝∀∨∀⇔⌝∀∨∀⇔∃⌝∨∀解：令M(x)：x 为人。

(1) 令F(x)：x 长着黑头发。

则∀x (M(x)→ F(x))。

(4) 令F(x)：x 是在美国留学的学生; G(x)：x 是亚洲人。

则
┐∀x (F(x)→ G(x))。

六．给定解释I 如下：
（a ） 个体域D= {2,3}; （b ） D 中特定元素，a =2;
（c ） D 上特定函数f (x) 为：f (2)=3, f (3)=2。

（d ） D 上特定谓词：
G(x,y): G(2,2)=G(2,3)=G(3,2)=1, G(3,3)=0;
L(x,y): L(2,2)= L(3,3)=1, L(2,3)= L(3,2) =0;
F(x)：F(2)=0, F(3)=1
在I 下求下列各式的真值。

(1) ∀x(F(x)∧G(x,a));
(2) ∃x(F(f(x)∧G(x,f(x)));
(3) ∀x ∃y L(x,y);
(4) ∃y ∀x L(x,y)
解：设公式（1）为A, 则
⇔(0∧1)∧(1∧1) ⇔0
(2) B ⇔(F(f(2))∧G(2,f(2)))∨(F(f(3))∧G(3,f(3)))
⇔(F(3)∧G(2,3))∨(F(2)∧G(3,2))
⇔ (1∧1)∨(0∧1)
⇔ 1
(3) C ⇔ (L(2, 2) ∨L(2,3))∧(L(3,2)∨L(3,3))
⇔ (1∨0)∧(0∨1) ⇔ 1
(4) D ⇔ (L(2,2) ∧ L(2,3))∨(L(3,2)∧L(3,3))
⇔ (1∧0)∨(0∧1) ⇔ 0
七．求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5和6整除，也不能被8整除的数有多少个？
解：
A ⇔(F(2)∧G(2,2))∧(F(3)∧G(3,2)) S = { x | x ∈Z ∧1≤x ≤1000 } A = { x | x ∈S ∧x 可被5整除}
B = { x | x ∈S ∧x 可被6整除}
C = { x | x ∈S ∧x 可被8整除} |A| = int(1000/5) = 200 |B| = int(1000/6) = 166 |C| = int(1000/8) = 125 |A∩B| = int(1000/lcm(5,6)) = 33
|A∩C| = int(1000/lcm(5,8)) = 25
八．A={1,2,3,4}, R ={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>},求关系的定义域、值域与域并求 R 的关系矩阵M R 和关系图G R
解：
关系图为
dom R ={1, 2, 4} ran R ={1，2, 3, 4} fld R ={1, 2, 3, 4}
九．设A ={a ,b ,c ,d }, R ={<a ,b >,<b ,a >,<b ,c >,<c ,d >,<d ,b >},求
R 和r (R ), s (R ), t (R )的关系图
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0010000011000011R M
十．给出A＝{1,2,3}上所有的等价关系
解：先求出A的所有划分：
π1={{1, 2, 3}}; π2={{1}, {2, 3}}；
π3={{2}, {1, 3}}; π4={{3}, {1, 2}};
π5={ {1}, {2}, {3}}。

与这些划分一一对应的等价关系是：
π1: → 全域关系E A
π2: → R2={<2, 3>, <3, 2>}∪I A
π3: → R3={<1, 3>, <3, 1>}∪I A
π4: → R4={<1, 2>, <2, 1>}∪I A
π5: → 恒等关系I A
十一．设偏序集<A,≼>，用集合表示偏序关系，求A及它的极小元、最小元、极大元、最大元，设B＝{ b,c,d}, 求B的下界、上界、下确界、上确界.
解A={ a, b, c, d, e, f, g, h }
R={<b,d>,<b,e>,<b,f>,<c,d>,<c,e>,<c,f>,<d,f>,<e,f>,<g,h>}∪I
A
极小元：a, b, c, g；
极大元：a, f, h；
没有最小元与最大元.
B的下界和最大下界都不存在；
上界有d 和f,
最小上界为d.。