傅里叶级数通俗解析
傅里叶级数通俗解析
=
=
=0 (n,m=1,2,3,…,n ) 当 n=m 时
=
= 最后证明两个是不同名的三角函数的情况
设
，
,把
代入(1)得
=
=
=0
(n,m 为任意整数)
因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个
皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满
足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。至于三角函数集的完备
息就喷涌而出。根据所叠加的不同三角函数的 不同，我们可以以 为 x 轴，作
频率谱线，研究一个信号所叠加的不同频率。根据所叠加的不同三角函数的 不
同，我们还可以以 为 x 轴，作相位谱线，研究一个信号中的不同相位角。
7
本人才疏学浅，在学习和理解的时候借助了网络的一些图片以及文集，得 到了启发。我摘抄了网上的一张图片，希望能形象的阐明傅里叶级数在物理中 的意义。
傅里叶级数通俗解析
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
傅里叶级数
本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级 数代表的物理含义。
1.完备正交函数集
要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。如果 n 个函数
,… 构成一个函数集，若这些函数在区间
上满足
如果是复数集，那么正交条件是
杨煜基 2016 年 3 月
8
用
化简合并得到
(8) 对于(8)式。其中的参数有
和
另
(8)式可化成
(9) 6
(9)式就是傅里叶级数的复指数形式。 现在求 ，将上式两边同乘 ，并在一个周期内求积分得：
当 m=n 时
傅里叶变换最通俗的理解
傅里叶变换最通俗的理解傅里叶变换是一种数学工具，它可以将一个周期性信号分解成多个不同频率的正弦波，并且可以将非周期性信号转换成一个连续的频谱图。
在信号处理、图像处理、音频处理等领域中，傅里叶变换被广泛应用。
本文将从以下几个方面来解释傅里叶变换的原理和应用。
一、什么是傅里叶级数在介绍傅里叶变换之前，我们需要先了解傅里叶级数。
傅里叶级数是一种将周期性函数表示为无穷多个正弦和余弦函数之和的方法。
具体地说，给定一个周期为T的函数f(t)，可以表示为以下形式：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中ω=2π/T，a0、an和bn是常数系数。
这个式子意味着，任何一个周期函数都可以被分解成由不同频率的正弦波组成的和。
这就是傅里叶级数的基本思想。
二、什么是离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）是一种将离散时间序列（例如数字信号）转换为频域表示的方法。
它可以将一个长度为N的离散时间序列x(n)转换成一个长度为N的复数序列X(k)，其中k=0,1,...,N-1。
具体地说，DFT可以用以下公式表示：X(k) = Σ(x(n)*exp(-j2πnk/N))其中j是虚数单位，n和k分别是时间和频率的索引。
这个式子意味着，任何一个离散信号都可以被分解成由不同频率的正弦波组成的和。
DFT将原始信号转换成了一组复数表示，其中每个复数表示了对应频率上正弦波和余弦波的振幅和相位。
三、什么是傅里叶变换傅里叶变换（Fourier Transform, FT）是一种将连续时间信号转换为频域表示的方法。
它可以将一个连续时间函数f(t)转换成一个连续频谱函数F(ω)，其中ω是角频率。
具体地说，FT可以用以下公式表示：F(ω) = ∫f(t)*exp(-jωt)dt这个式子意味着，任何一个连续信号都可以被分解成由不同角频率的正弦波组成的积分。
数学分析15.1傅里叶级数
第十5章 傅里叶级数1傅里叶级数一、三角级数·正交函数系概念1：由正弦函数y=Asin(ωx+φ)表示的周期运动称为简谐振动，其中A 为振幅，φ为初相角，ω为角频率，其周期T=ω2π.常用几个简谐振动y k =A k sin(k ωx+φk ), k=1,2,…,n 的叠加来表示较复杂的周期运动，即：y=∑=n 1k k y =∑=n1k k k )φ+ x sin(k ωA ，其周期为T=ω2π.若由无穷多个简谐振动叠加得函数项级数A 0+∑∞=1n n n )φ+ x sin(n ωA 收敛，当ω=1时，sin(nx+φn )=sin φn cosnx+cos φn sinnx ，所以 A 0+∑∞=1n n n )φ+sin(nx A = A 0+∑∞=1n n n n n sinnx )cos φA +cosnx sin φ(A ，记A 0=2a 0，A n sin φn =a n ，A n cos φn =b n ，n=1,2,…，则该级数可以表示为： 2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a . 它是由三角函数列(或称为三角函数系) 1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…构成一般形式的三角级数.定理15.1：若级数2a 0+∑∞=+1n n n |)b ||a (|收敛，则三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.证：对任何实数x ，∵|a n cosnx+b n sinnx|≤|a n |+|b n |， 由魏尔斯特拉斯M 判别法得证.概念2：若两个函数φ与ψ在[a,b]上可积，且⎰ba φ(x )ψ(x )dx=0，则 称函数φ与ψ在[a,b]上是正交的, 或称它们在[a,b]上具有正交性，若有一系列函数两两具有正交性，则称其为正交函数系.注：三角函数列：1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…有以下性质： 1、所有函数具有共同的周期2π；2、任何两个不相同的函数在[-π, π]上具有正交性，即为在 [-π, π]上的正交函数系. 即有：⎰ππ-cosnx dx=⎰ππ-sinnx dx=0；⎰ππ-cosmx cosnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-sinmx sinnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-cosmx sinnx dx=0 (m ≠n).3、任何一个函数的平方在[-π, π]上的积分都不等于零，即⎰ππ-2nx cos dx=⎰ππ-2nx sin dx=π；⎰ππ-21dx=2π.二、以2π为周期的函数的傅里叶级数定理15.2：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则：a n =⎰ππ-f(x)cosnx π1dx, b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx, n=1,2,…. 证：由定理条件可知，f(x)在[-π, π]上连续且可积，∴⎰ππ-f(x )dx=2a⎰ππ-dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )sinnx dx b +dx cosnx (a =2a 0·2π=a 0π.即a 0=⎰ππ-f(x)π1dx. 对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以coskx(k 为正整数)，可得：f(x)coskx=2a 0coskx +∑∞=1n n n )sinnx coskx b +cosnx coskx (a ，则新级数收敛，有coskx f(x )ππ-⎰dx=2a 0⎰ππ-coskx dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )dx sinnx coskx b +coskx dx cosnx a (.由三解函数的正交性，等式右边除了以=a k 为系数的那一项积分kx cos a 2ππ-k ⎰dx= a k π外，其余各项积分都为0，∴coskx f(x )ππ-⎰dx= a k π，即a k =⎰ππ-f(x)coskx π1dx (k=1,2,…). 同理，对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以sinkx(k 为正整数)，可得：b k =⎰ππ-f(x)sinkx π1dx (k=1,2,…).概念3：若f 是以2π为周期且在[-π, π]上可积的函数，则按定理15.2中所求a n , b n 称为函数f(关于三角函数系)的傅里叶系数，以f 的傅里叶系数为系数的三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 称为f(关于三角函数系)的傅里叶级数，记作f(x)~2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .注：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则，f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .三、收敛定理概念4：若f 的导函数在[a,b]上连续，则称f 在[a,b]上光滑. 若定义在[a,b]上除了至多有限个第一类间断点的函数f 的导函数在[a,b]上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上导函数f ’的左右极限存在，则称f 在[a,b]上按段光滑.注：若函数f 在[a,b]上按段光滑，则有： 1、f 在[a,b]上可积；2、在[a,b]上每一点都存在f(x ±0)，且有t 0)f(x -t)f(x lim 0t +++→=f ’(x+0)，t-0)f(x -t)f(x lim 0t ---→=f ’(x-0)；3、补充定义f ’在[a,b]上那些至多有限个不存在点上的值后，f ’在[a,b]上可积.定理15.3：(傅里叶级数收敛定理)若周期为2π的函数f 在[-π, π]上按段光滑，则在每一点x ∈[-π, π]，f 的傅里叶级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 收敛于f 在点x 的左右极限的算术平均值，即20)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a ，其中a n , b n 为傅里叶系数.注：当f 在点x 连续时，则有20)-f(x 0)f(x ++=f(x)，即f 的傅里叶级数收敛于f(x).推论：若周期为2π的续连函数f 在[-π, π]上按段光滑，则f 的傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f.注：由f 周期为2π，可将系数公式的积分区间[-π, π]任意平移，即：a n =⎰+2πc c f(x)cosnx π1dx, b n =⎰+2πc c f(x)sinnx π1dx, n=1,2,….c 为任意实数. 在(-π, π]以外的部分，按函数在(-π, π]上的对应关系作周期延拓，如 f 通过周期延拓后的函数为：,2,1k ],1)π(2k , 1)π-(-(2k x ，) 2π-f(x ]π, (-πx ，f(x)(x)f ˆ⎩⎨⎧⋯±±=+∈∈= 函数f 的傅里叶级数就是指函数(x)fˆ的傅里叶级数.例1：设f(x) )0, (-πx ，0]π[0,x x ，⎩⎨⎧∈∈=，求f 的傅里叶级数展开式.解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰ππ-f(x)π1dx=⎰π0x π1dx=2π. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx=⎰π0xcosnx π1dx=⎰-π0π0sinnx n π1|xsinnx n π1dx=π2|cosnx πn 1 =πn 12(cosn π-1)=πn 1(-1)2n -；b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx=⎰π0xsinnx π1dx=-⎰+π0π0cosnx n π1|xcosnx n π1dx=n (-1)1n +.∴在(-π, π)上，f(x)=4π+∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1n n2n sinnx n (-1)cosnx πn 1-)1(.当x=±π时，该傅里叶级数收敛于20)πf(0)πf(+±+-±=20π+=2π.∴f 在[-π, π]上的傅里叶级数图象如下图：例2：把函数f(x)= π2x πx πx 0πx 0 x 22⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<，，，展开成傅里叶级数. 解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰2π0f(x)π1dx=⎰π02x π1dx-⎰2ππ2x π1dx =-2π2. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx =⎰π02cosnx x π1dx-⎰2ππ2cosnx x π1dx ； 又⎰π02cosnx x π1dx=⎰-π0π02xsinnx n π2|sinnx x n π1dx=21n n 2(-1)+-；⎰2ππ2cosnx x π1dx=⎰-2ππ2ππ2xsinnx n π2|sinnx x n π1=21n 2n 2(-1)n 4++； ∴a n =21n 221n n 2(-1)n 4n 2(-1)++---=2n4[(-1)n -1]. b n =⎰2π0f(x)sinnx π1dx=⎰π02sinnx x π1dx-⎰2ππ2sinnx x π1dx ；又⎰π02sinnx x π1dx=-⎰-π0π02xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --+；⎰2ππ2sinnx x π1dx=-⎰-2ππ2ππ2xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=-πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n +--+； ∴b n =πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --++πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n --++ =πn ](-1)-4[1n 2π)1(n 4π3n n ---=πn ](-1)-4[1n (-1)]-[1 2πn 2π3n n -+ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+πn 4n 2π](-1)-[1n 2π3n ；∴当x ∈(0, π)∪(π, 2π]时， f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4 .当x=π时，该傅里叶级数收敛于20)f(π0)f(π++-=2)π(π22-+=0；当x=0或2π时，该傅里叶级数收敛于20)f(00)f(0++-=204π-2+=-2π2.注：由当x=2π时，有f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4=-π2+∑∞=1n n 21]-[(-1)n4=-π2-8∑∞=+0n 21)(2n 1=-2π2. 可求得∑∞=+0n 21)(2n 1=8π2.例3：在电子技术中经常用到矩形波，用傅里叶级数展开后，就可以将巨形波看成一系列不同频率的简庇振动的叠加，在电工学中称为谐波分析。
傅里叶级数和函数公式
傅里叶级数和函数公式傅里叶级数是十九世纪初第二次工业革命时期最重要的数学发现之一，它也被称为“傅里叶级数理论”。
它是由法国数学家约瑟夫傅里叶于1822年首次提出的。
傅里叶级数可以用来描述一个函数的一般表示形式，或者更大的形式。
简单来说，傅里叶级数定义了一个易于表示和分析的函数公式，该公式用于将任意函数表示为无穷多的正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数的基本思想是将一个连续的、可积分的周期函数的值表示为一系列的正弦和余弦函数的加权和。
另外，傅里叶级数还可以用来表示非周期函数，即使这些函数没有看上去有任何规律。
傅里叶级数的主要思想是：把一个函数形式地分解成无穷多个正弦和余弦函数的加权和。
傅里叶级数在许多领域，如比较分析学、通讯学和信号处理学中都有应用。
比如，在数字图像处理中，可以使用傅里叶变换来处理图像信号。
在通讯学中，可以使用傅里叶级数来分解信号，以便进行更精确的处理。
傅里叶级数的函数公式可以表示为：f (x) = a_0 + sum_{n = 1}^{infty} left[ a_n cos left( frac{n pi x}{L} right) + b_n sin left( frac{n pi x}{L} right) right] 其中，a_0 为常数项，a_n b_n变量系数，L 为周期长度。
在特定的函数中，系数 a_n b_n值可以通过傅里叶级数定理进行计算。
比如，若 f (x) 为一个周期为 L函数，则其系数 a_n b_n值分别可以表示为：a_n = frac{2}{L} int_{0}^{L} f (x) cos left( frac{n pi x}{L} right) , dxb_n = frac{2}{L} int_{0}^{L} f (x) sin left( frac{n pi x}{L} right) , dx而 a_0可以表示为：a_0 = frac{1}{L} int_{0}^{L} f (x) , dx从上面的公式可以看出，傅里叶级数的系数 a_n b_n际上是函数 f (x)正弦和余弦函数上的加权和。
通俗浅谈傅里叶级数、傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换
通俗浅谈傅里叶级数、傅里叶变换、拉普拉斯变换、z变换中国航天科工集团二院706所宋晓秋一、傅里叶级数(1) 一个周期为2π的函数表示成不同周期的正弦函数、余弦函数之和。
f t=a02+a n cos nt+b n sin nt ∞n=1a n=1πf t cos nt dtπ−π,n=0,1,2,⋯b n=1πf t sin nt dtπ−π,n=1,2,3,⋯(2) 周期为T的函数怎么办？做下变换，令ω=2πTf t=a02+a n cos nωt+b n sin nωt ∞n=1a n=2Tf t cos nωt dtT2−T2,n=0,1,2,⋯b n=2Tf t sin nωt dtT2−T2,n=1,2,3,⋯(3) 时域、频域的概念f t是随时间t变化的函数，它转换成了不同频率(周期的倒数)三角函数的和，即对应成了反映频率特征的a n、b n。
直接分析f t那是时域分析，通过a n、b n分析那是频域分析。
(4) 傅里叶级数的复数表达形式基础知识：复数e ix=cos x+i sin x，可知cos nωt=12e inωt+e−inωtsin nωt=12ie inωt−e−inωt将其代入下式的傅里叶级数（这里ω=2πT）f t=a02+a n cos nωt+b n sin nωt ∞n=1a n=2Tf t cos nωt dtT2−T2,n=0,1,2,⋯b n=2Tf t sin nωt dtT2−T2,n=1,2,3,⋯得到傅里叶级数的复数表达形式f t=F n e inωt∞n=−∞F n=1Tf(t)e−inωt dtT2−T2,n=⋯,−2,−1,0,1,2,⋯同理，直接分析f t那是时域分析，通过F n分析那是频域分析。
记住周期函数的傅里叶级数复数表达形式，由此引出傅里叶变换。
二、傅里叶变换对于非周期函数怎么办？当然是让T→∞了,可以证明此时有f t=F n e inωt∞n=−∞→12πF(iΩ)e iΩt dΩ∞−∞F n T = f (t )e −inωt dt T 2−T 2→ f (t )e −iΩt dt ∞−∞=F (iΩ)直接分析 f t 那是时域分析，通过 F (iΩ)分析那是频域分析。
概述傅里叶变化的主要内容
概述傅里叶变化的主要内容傅里叶变换是一种在数学、物理和工程领域广泛应用的工具，主要用于分析周期性或非周期性信号的频谱特征。
其主要内容包括傅里叶级数、傅里叶积分、傅里叶变换及其逆变换，以及傅里叶变换的性质和应用。
1. 傅里叶级数傅里叶级数是一种将周期性函数表示为无穷级数的方法。
该级数由正弦函数和余弦函数之和组成，每个函数都以某个频率振动。
通过傅里叶级数，我们可以将任何周期性函数表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的线性组合。
2. 傅里叶积分傅里叶积分是用于将非周期函数展开为无穷积分的方法。
与傅里叶级数类似，它也是基于正弦和余弦函数的，但适用于非周期性函数。
通过傅里叶积分，我们可以将任何非周期性函数表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的积分组合。
3. 傅里叶变换及其逆变换傅里叶变换和逆变换是傅里叶理论的核心内容。
傅里叶变换可以将一个函数从时域转换到频域，而逆变换则可以将一个频域函数转换回时域。
通过傅里叶变换，我们可以分析信号的频谱特征，而通过逆变换，我们可以恢复原始信号。
4. 傅里叶变换的性质傅里叶变换具有一些重要性质，包括线性、可移位性、对称性和卷积定理等。
这些性质在信号处理中非常重要，例如在滤波、调制和解调等方面。
5. 傅里叶变换的应用傅里叶变换在许多领域都有广泛的应用，包括信号处理、图像处理、通信系统、控制系统等。
例如，在信号处理中，我们可以使用傅里叶变换来分析信号的频率成分，进行频谱分析和滤波等操作；在图像处理中，我们可以使用傅里叶变换来分析图像的频域特征，进行图像增强和去噪等操作。
此外，傅里叶变换在通信系统中也起着关键作用，如调制和解调等操作都离不开傅里叶变换的支持。
总之，傅里叶变换是一种强大的数学工具，可以用于分析信号和系统的频率特性，广泛应用于各种领域。
通过对傅里叶变换的学习和实践掌握其基本原理和方法，可以更好地解决实际问题并提高我们的专业素养。
傅里叶级数课件分解
与
在
上可积, 且
则称
与
在பைடு நூலகம்
上是正交的, 或在
上具有正
交性. 由此三角函数系(4)在
上具有正交性.
或者说(5)是正交函数系.
现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4)
的和函数 f 与级数(4)的系数
之间的关系.
定理12.2 若在[-π,π]上
且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式:
光滑弧段所组成,它至
收敛定理指出, f 的傅里叶级数在点 x 处收敛于 在
该点的左、右极限的算术平均值
而当 f 在点 x 连续时,则有
即此时f的傅里叶级数收敛于
. 这样便有
上按段光滑, 则 f 的傅里叶级数在
上收敛
于 f .
推论 若 f 是以 为周期的连续函数, 且在
上每一点都存在
, 如果在不连续
点补充定义
, 或
, 则
还有
(iii) 在补充定义
在
上那些至多有限个不存在
导数的点上的值后 ( 仍记为
),
在[a, b]上可积.
从几何图形上讲, 在
区间[a, b]上按段光滑
光滑函数,是由有限个
多有有限个第一类间
断点 (图15-1).
时,
于是当
当 时, 级数收敛到 0( 实际上级数每一项都为 0 ).
为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函
数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所
定理 12.1 若级数
其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数
一元函数的傅里叶级数与傅里叶级数的性质
一元函数的傅里叶级数与傅里叶级数的性质一、引言傅里叶级数是数学中重要的工具之一，用来将周期函数分解成一系列基本频率的正弦和余弦函数。
在本文中，我们将讨论一元函数的傅里叶级数以及它的性质。
通过了解傅里叶级数的定义和性质，我们可以更好地理解周期函数的表示和傅里叶分析的应用。
二、一元函数的傅里叶级数定义傅里叶级数的定义是将任意周期函数表示为无穷级数的形式。
设函数f(x)在区间[-L, L]上有定义并且满足某些条件，那么f(x)的傅里叶级数可以写为：f(x) = a₀/2 + Σ(aₙcos(nπx/L) + bₙsin(nπx/L))其中a₀, aₙ和bₙ是系数，n是整数。
这个级数包含了所有的基本频率对应的正弦和余弦函数，并通过系数来决定它们在函数中所起的作用。
三、傅里叶级数的性质1. 周期性：傅里叶级数中出现的正弦和余弦函数都是周期函数，它们的周期与原函数的周期相同。
2. 奇偶性：如果原函数f(x)是一个偶函数，那么傅里叶级数中将只包含余弦函数；如果原函数f(x)是一个奇函数，那么傅里叶级数中将只包含正弦函数。
3. 收敛性：当原函数满足一定的条件时，其傅里叶级数能够收敛到原函数。
这个条件可以是函数的绝对可积性或者函数在某些点上的连续性。
4. 线性性：傅里叶级数是线性的，也就是说，如果两个函数f(x)和g(x)的傅里叶级数分别为Σaₙcos(nπx/L) + bₙsin(nπx/L)和Σcₙcos(nπx/L) + dₙsin(nπx/L)，那么这两个函数的线性组合的傅里叶级数为Σ(aₙ+cₙ)cos(nπx/L) + (bₙ+dₙ)sin(nπx/L)。
5. 傅里叶级数的收敛区间：如果原函数是连续的，那么其傅里叶级数在整个实数轴上均收敛。
如果原函数具有有限的间断点，那么傅里叶级数收敛到间断点的函数值的平均值。
四、傅里叶级数的应用傅里叶级数在数学和工程学科中具有广泛的应用。
其中一些应用包括：1. 信号处理：傅里叶级数可以将任意信号表示为基本频率的正弦和余弦函数的和，从而方便处理和分析信号。
sinwt傅里叶级数
sinwt傅里叶级数
（实用版）
目录
1.傅里叶级数的概念
2.sin(wt) 的傅里叶级数表示
3.傅里叶级数的性质
4.傅里叶级数的应用
正文
1.傅里叶级数的概念
傅里叶级数是一种将周期函数分解为基本正弦和余弦函数的数学方法。
它的提出者是法国数学家傅里叶，他在 19 世纪初期通过对热传导方程的研究，发现了这个重要的数学工具。
傅里叶级数可以将任何周期函数表示为一系列正弦和余弦函数之和，这在信号处理、系统分析等领域具有广泛的应用。
2.sin(wt) 的傅里叶级数表示
以 sin(wt) 为例，我们可以通过傅里叶级数将其表示为基本正弦和余弦函数之和。
具体表示如下：
sin(wt) = √2/2 * [1 + cos(2wt)]
其中，√2/2 是常数项，1 和 cos(2wt) 分别是基本正弦和余弦函数。
3.傅里叶级数的性质
傅里叶级数具有以下性质：
(1) 完备性：任何周期函数都可以唯一地表示为傅里叶级数。
(2) 唯一性：在一定条件下，傅里叶级数表示是唯一的。
(3) 有限性：如果一个函数在一周期内具有有限个极值点，那么它的傅里叶级数表示就是有限的。
(4) 可积性：傅里叶级数是可积的，这意味着它可以用一个有限长度的和来表示。
4.傅里叶级数的应用
傅里叶级数在许多领域都有广泛的应用，例如信号处理、系统分析、图像处理等。
通过将复杂的周期函数分解为基本正弦和余弦函数，我们可以更方便地研究其性质和特点。
此外，傅里叶级数还可以用于求解偏微分方程、分析线性时不变系统等。
如何理解傅里叶级数
如何理解傅里叶级数傅里叶级数是一种非常重要的数学工具，用于分析周期性信号。
它的概念由法国数学家傅里叶在18世纪末提出，经过两个世纪的发展和完善，已经成为了现代物理学、工程学、计算机科学等领域中不可或缺的数学方法之一。
傅里叶级数的核心思想是将一个周期性函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。
具体来说，对于一个周期为T的函数f(t)，可以将其表示为以下形式的级数：f(t) = a0 + Σ(an cos(nωt) + bn sin(nωt))其中，a0、an和bn是常数，ω是角频率，n是正整数。
这个级数中的每一项都是一个正弦或余弦函数，而这些函数的频率是ω/n。
傅里叶级数告诉我们，一个周期性函数可以由不同频率的正弦和余弦函数组成，而这些函数在一起又可以还原成原始函数。
为了求解傅里叶级数的系数a0、an和bn，我们可以利用傅里叶级数的正交性质。
具体来说，正弦和余弦函数在一个周期上的积分等于0，除非它们具有相同的频率。
这意味着，我们可以通过对原始函数进行积分和乘法操作，与正弦和余弦函数相乘后再在一个周期上积分，来计算出傅里叶级数的系数。
傅里叶级数在物理学中有着广泛的应用。
例如，在声音分析中，我们可以将一个复杂的声音信号分解成多个不同频率的正弦波，从而得到声音的频谱信息。
在图像处理中，傅里叶级数可以将一个图像分解成不同频率的正弦和余弦模式，从而实现图像的压缩和特征提取。
在通信领域，傅里叶级数可以用来分析和合成信号，帮助我们设计和优化通信系统。
除了傅里叶级数，还有傅里叶变换和傅里叶级数的离散形式——离散傅里叶级数和离散傅里叶变换。
傅里叶变换将一个非周期性的函数表示为频域上的连续谱，而离散傅里叶级数和离散傅里叶变换则适用于离散信号的频谱分析。
总结一下，傅里叶级数是一种将周期性函数表示为正弦和余弦函数的线性组合的数学工具。
它的应用广泛，可以用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
通过傅里叶级数，我们可以将复杂的信号分解成简单的频率成分，从而更好地理解和处理这些信号。
复变函数的傅里叶级数的几何解释
复变函数的傅里叶级数的几何解释复变函数的傅里叶级数是一种非常重要且有深度的数学概念，它在数学、物理和工程等领域都有着广泛的应用。
在本篇文章中，我将从深度和广度两个方面来全面评估并解释复变函数的傅里叶级数，并据此撰写一篇有价值的文章。
让我们简要回顾一下复变函数的傅里叶级数。
复变函数的傅里叶级数是指将一个周期为T的函数f(t)表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。
在实数域上，傅里叶级数可以表示为：f(t) = a0 + ∑(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0是函数f(t)的直流分量，an和bn是函数f(t)的交流分量，ω是基本角频率。
接下来，让我们深入探讨复变函数的傅里叶级数的几何解释。
在复变函数中，我们将傅里叶级数表示为：f(z) = Σ(c_n * e^(i * n * ω * t))其中，c_n是傅里叶系数，e^(i * n * ω * t)是复指数函数。
这个表示方式通过复平面上的周期函数的正弦和余弦波和相关的傅里叶级数之间的对应关系，将周期函数f(t)表示为关于复变量z的函数f(z)。
从几何角度来看，复变函数的傅里叶级数可以被解释为复平面上的旋转。
对于一个周期函数f(t)，它可以被看作是在复平面上沿着单位圆上运动的指针。
当我们用傅里叶级数表示这个周期函数时，实际上是在找到一组合适的旋转频率，使得这个指针能够沿着复平面上的预定轨迹进行旋转，从而实现对原始周期函数的完美重现。
从这个角度来看，复变函数的傅里叶级数是一种神奇的表示方式，它将周期函数的性质与复平面上的几何运动联系了起来。
这种几何解释不仅有助于我们更深入地理解傅里叶级数的意义，还为我们提供了一种全新的视角来思考和应用傅里叶级数。
总结来说，复变函数的傅里叶级数通过复平面上的旋转和周期函数的关联，为我们提供了一种十分深刻的几何解释。
它不仅丰富了我们对傅里叶级数的理解，还为我们在数学、物理和工程等领域中的应用提供了全新的思路和工具。
傅里叶级数的理解
傅里叶级数的理解
一、傅里叶级数的定义
傅里叶级数是一种将周期函数表示为无穷级数的方法，它是由法国数学家约瑟夫·傅里叶在19世纪初提出的。
傅里叶级数是将一个周期函数表示为无穷个正弦函数和余弦函数的线性组合，其中每个正弦函数和余弦函数都具有一定的幅度和相位。
二、傅里叶级数的展开
傅里叶级数的展开是将一个周期函数表示为无穷个正弦函数和余弦函数的线性组合的过程。
三、傅里叶级数的三角形式
傅里叶级数的另一种表示形式是三角形式，它将每个正弦和余弦函数合并为一个三角函数形式。
这种形式更加简洁，并且可以更容易地看出函数的对称性和周期性。
四、傅里叶系数的计算
傅里叶系数的计算是傅里叶级数展开的关键步骤，它可以通过对函数的积分来得出。
五、傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数是一个无穷级数，因此需要满足一定的条件才能收敛到原函数。
傅里叶级数理解
傅里叶级数理解傅里叶级数是一种数学工具，用于描述周期性函数的性质和特征。
它是由法国数学家傅里叶于19世纪初提出的，经过多年的研究和发展，已经成为数学和物理学中不可或缺的重要理论。
傅里叶级数的应用范围广泛，涵盖了信号处理、图像处理、波动理论、量子力学等领域。
傅里叶级数的核心思想是将一个周期性函数分解成多个正弦和余弦函数的线性组合。
这种分解可以使我们更好地理解函数的周期性特征和频域特征。
在傅里叶级数中，每个正弦和余弦函数都有自己的振幅和频率，通过调整这些参数，我们可以得到不同形状的周期性函数。
傅里叶级数的计算方法是通过将函数与一组正交基函数进行内积运算得到的。
这组正交基函数通常选取为正弦和余弦函数，因为它们在周期性函数的分解中具有良好的性质。
通过计算每个基函数与函数的内积，并除以基函数的模长，就可以得到傅里叶级数的系数。
这些系数表示了不同频率分量对函数的贡献程度。
傅里叶级数的应用非常广泛。
在信号处理中，傅里叶级数可以将信号从时域转换到频域，从而更好地分析和处理信号。
在图像处理中，傅里叶级数可以将图像分解成一系列频率分量，从而实现图像的压缩和增强。
在波动理论中，傅里叶级数可以描述波动的传播和干涉现象。
在量子力学中，傅里叶级数则是描述波函数的基本工具。
傅里叶级数的理论基础是复数和复指数函数。
复数可以表示振幅和相位，而复指数函数则是描述周期性函数的最基本形式。
通过将周期性函数表示为复指数函数的和，我们可以更好地理解函数的周期性特征和频域特征。
复数和复指数函数的性质在傅里叶级数的推导和计算中起到了重要的作用。
傅里叶级数的应用不仅仅局限于数学和物理学领域，在工程和科学研究中也有着广泛的应用。
通过傅里叶级数的分析和处理，我们可以更好地理解和处理周期性现象，提取有用的信息，甚至设计出更优化的系统和算法。
傅里叶级数是一种重要的数学工具，用于描述周期性函数的性质和特征。
它的应用范围广泛，涵盖了信号处理、图像处理、波动理论、量子力学等领域。
傅里叶变换 傅里叶级数
傅里叶级数针对的是周期函数，傅里叶变换针对的是非周期函数，本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，都有相似的特性，因为四种傅里叶表示都利用了复正选信号，这些特性提供了一种透彻了解时域和频域信号表示的特征的方法1、傅里叶级数在高等数学中就已经知道，在满足一定的条件下，任何一个周期信号都可以分解为正弦信号的叠加。
在高等数学中，这种分解就叫傅里叶级数。
在信号处理学习的最初阶段，也是从这个概念出发，开始输入到信号处理的傅里叶世界。
在信号处理中，周期连续信号的傅里叶分析称为傅里叶级数。
此时，在傅里叶分析之前，信号是周期，连续的，在之后，结果是离散的。
2、傅里叶变换对于连续信号，如果信号不是周期的，其傅里叶分析结果又是如何呢？非周期信号可以等效为周期为无穷大的周期信号。
于是，由傅里叶级数出发，利用极限的有关概念，可以推导出非周期信号的傅里叶分析结果，这就是傅里叶变换。
再啰嗦一句，非周期连续信号的傅里叶分析称为傅里叶变换。
在傅里叶分析之前，信号是非周期的，连续的，在之后，结果也是连续的。
3、离散时间傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换都是针对连续信号而言的，那么对于数字信号而言，是否有对应的傅里叶分析呢？答案是肯定的，这就是离散时间傅里叶变换（DTFT）和离散傅里叶变换（DFT）。
对非周期离散信号的傅里叶分析称为离散时间傅里叶变换。
在傅里叶分析之前，信号是非周期的，离散的，在之后，结果是连续的。
4、离散傅里叶变换对周期离散信号的傅里叶分析称为离散傅里叶变换。
在傅里叶分析之前，信号是周期的，离散的，在之后，结果是离散的。
如果按照前面三种分析的命名，离散傅里叶变换叫离散傅里叶级数似乎更为妥当。
但由于历史的原因，大家习惯把这种傅里叶分析称为离散傅里叶变换。
当然，关于DFT是否隐含着信号周期性的问题，也有一些争论。
有的认为进行DFT分析就意味着默认离散信号是周期的，有的则认为离散信号不一定要看成是周期的。
此处采取默认离散信号周期性的说法，主要是基于如下理由：如果把DFT看做是对DTFT结果在频域的采样的话，那么根据信号系统的有关理论可知，频域的采样等效于时域的周期延拓，这样，离散信号自然变成周期的了。
什么是傅里叶级数
我们的提纲如下：1. 为什么我们要分解一个函数2. 傅里叶级数就是三角级数2.1 傅里叶级数就是把周期函数展开成基频和倍频分量2.2 每个分量的大小我们用投影的方法来求。
————————————————————————你是大学生吗？你学理工科吗？你还不知道傅里叶级数吗？你以为傅里叶和泰勒有什么亲戚关系吗？你一定听说过傅里叶展开和泰勒展开吧？展开的结果就是傅里叶级数和泰勒级数。
他们是对一个函数的不同的【展开】方法。
【相信我，傅里叶分解其实巨简单！】#【但是最开始的问题一定是：我们为什么要展开一个函数一个函数：y=1他的泰勒展开是神马？还是y=1。
那么y=x的展开呢？是y=x。
我们知道，泰勒展开是把函数分解成1, x, x^2, x^3, …等等幂级数的【和】。
就是【把一个函数变成几个函数的和】啊这个展开的式子就是泰勒级数啊对函数的展开和5 = 2+3 一样一样一样的啊要多简单有多简单有木有啊但是你要注意啊：【展开的很多时候是有无限项不能穷尽的呀！】你还记得sinx 的泰勒展开是什么吗？sinx = 0+ x – 1/3!x^3 + 1/5!x^5 -…（如果系数错了可千万不要吐槽啊啊啊，lz是学渣记系数记不住啊）【那么现在提问：】你知道为什么要展开成幂级数的和吗？请看这里：因为我们把y展开成泰勒级数y = 1+x+x^2+x^3+x^4+…的时候我们可以无限细分得到函数在每个点的【【变化】】呀呀呀！这和你把3234.352拆成3000+200+30+4+0.3+0.05+0.002一样一样一样的啊所谓对函数的无限细分，就是不断求导，得到123456789阶变化率，从而得到这个函数到底在各个点【精细】【变化】的有多剧烈啊！还记得神马叫变化吗？位移的变化是速度，速度的变化是加速度，加速度的变化是加加速度的。
一句话，【变化就是导数啊】【泰勒级数的每一阶的系数（主值）就是各阶导数啊！！】所以泰勒级数就是在描述一个函数的各个点的变化啊啊啊——————————————————————————喂不要再跑题啦啦！！我们是要说傅里叶级数的好不好！你不认识傅里叶？没有任何关系，但是你见过三角形吗？知道三角函数吗？傅里叶级数又叫三角级数啊。
傅里叶级数定理
傅里叶级数定理傅里叶级数定理是数学中的一项重要定理，它是法国数学家傅里叶在18世纪提出的。
傅里叶级数定理的中心思想是任意一个周期函数都可以表示成一系列三角函数的和，这些三角函数的频率是原周期函数的基本频率的整数倍。
这个定理在数学、物理和工程等学科中都有非常广泛的应用。
傅里叶级数定理的表述可以用以下方式来说明：设f(x)是一个周期为T的函数，那么f(x)可以展开成各个频率的三角函数幅度和相位逐渐递减的级数表达式。
这个级数中的三角函数是正弦函数和余弦函数，其频率为基频的整数倍。
傅里叶级数表达式如下：f(x) = A0 + Σ[An*cos(nωt) + Bn*sin(nωt)]在这个公式中，A0是基频分量的直流分量，An和Bn分别是基频分量的余弦和正弦分量。
ω是基频角频率，n是频率的整数倍。
这个定理是非常重要的，因为它告诉我们任意周期函数都可以用无穷多个正弦和余弦函数来逼近。
这个逼近的程度可以通过级数中各个分量的幅度来控制。
如果级数中的幅度越大，那么逼近的程度就越高，而如果幅度趋近于零，那么函数的表示也就趋近于原函数。
傅里叶级数定理的应用非常广泛。
在数学领域，它可以用于解决各种泛函方程，比如热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程等。
通过傅里叶级数的展开，我们可以将这些复杂的方程转化为简单的三角函数的运算。
在物理学中，傅里叶级数定理是研究振动和波动现象的重要工具。
通过将物理量表示为傅里叶级数，我们可以更好地理解光、声音等波动的性质。
在工程学中，傅里叶级数定理被广泛应用于信号处理和通信系统。
通过将信号进行频域变换，我们可以分析信号的频率成分，进而提取有用的信息。
傅里叶级数定理还有一项重要的推广，即傅里叶变换。
傅里叶变换是将一个非周期函数表示成一系列连续频谱的方法。
通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，进而分析信号的频率特性。
傅里叶变换在数字信号处理、图像处理和音频处理等领域有着广泛的应用。
总结起来，傅里叶级数定理是数学中的一个重要定理，它告诉我们任意周期函数都可以表示成一系列三角函数的和。
傅里叶级数通俗解析
傅里叶级数本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数代表的物理含义。
1.完备正交函数集要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。
如果n个函数,…构成一个函数集，若这些函数在区间上满足如果是复数集，那么正交条件是为函数的共轭复函数。
有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。
比如三角函数集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。
先证明三角函数集：设，,把代入(1)得当n时===0 (n,m=1,2,3,…,n)当n=m时==再证两个都是正弦的情况设，,把代入(1)得当n时===0 (n,m=1,2,3,…,n)当n=m时==最后证明两个是不同名的三角函数的情况设，,把代入(1)得===0 (n,m为任意整数)因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。
至于三角函数集的完备性可以从n，m的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。
证毕。
由于三角函数集是完备正交函数集，而根据欧拉公式，我们容易联想到复指数函数集是否也是完备正交函数集呢。
接着是复指数函数集的证明设，,则把代入(2)得当n时，根据欧拉公式==0 (n,m=1,2,3,…,n)当n=m时，=1 (n,m=1,2,3,…,n)所以，复指数函数集也是正交函数集。
因为n，m的取值范围是所有整数，所以复指数函数集是完备的正交函数集。
明明是讨论傅里叶级数，为什么第一部分在阐述完备正交函数集呢。
因为，在自然界中，没有规则的信号，比如说找一个正弦信号，是完全不可能找到的。
有的是一堆杂乱的信号，无规律的波形。
我们要研究它，基本的思想是把它拆分，分解成一个一个有规律的可研究的波形，这些波形能用数学表达式准确表达出来。
把一个复杂的信号分解的过程，可以理解成用已知的可以准确表达的函数表示他，比如一个复杂的信号把它分解，就是其中，…是我们所熟悉的函数，比如二次函数，一次函数，三角函数，指数函数等等。
傅里叶级数正弦分量
傅里叶级数正弦分量详解一、傅里叶级数简介傅里叶级数是一种将周期函数表示为无穷级数的方法。
通过傅里叶级数，我们可以将复杂的周期信号分解为简单的正弦和余弦函数的组合。
这一理论在信号处理、通信、振动分析等领域有着广泛的应用。
二、正弦函数基础正弦函数是三角函数的一种，通常表示为sin(x)，其波形为一个周期性变化的曲线。
在一个完整的周期内，正弦函数从0增加到最大值，然后又减小到0。
三、傅里叶级数中的正弦分量在傅里叶级数中，任何一个周期信号都可以表示为如下形式：F(t) = a0 + Σ[an*cos(n*ω0*t) + bn*sin(n*ω0*t)]其中，F(t)是原信号，a0是直流分量，an和bn是正弦和余弦分量的系数，ω0是信号的基本角频率。
四、正弦分量的求解方法要找出正弦分量的系数bn，我们需要对原信号进行傅里叶变换。
具体来说，对于每一个频率分量，我们计算信号在该频率下的投影，从而得到正弦分量的系数。
五、正弦分量在傅里叶级数中的意义正弦分量在傅里叶级数中表示原信号中包含的特定频率的波动。
每一个正弦分量都对应于原信号中的一个频率分量。
通过分析正弦分量的系数，我们可以了解原信号中各个频率分量的贡献程度。
六、正弦分量在信号处理中的应用正弦分量在信号处理中有广泛的应用。
例如，在频谱分析中，我们可以通过计算正弦分量的系数来了解信号的频率组成。
在滤波器设计中，我们可以通过调整正弦分量的系数来对信号进行滤波处理。
此外，正弦分量还在通信、音频处理等领域有重要的应用。
七、总结傅里叶级数是一种强大的数学工具，可以将复杂的周期信号分解为简单的正弦和余弦函数的组合。
其中，正弦分量表示原信号中特定频率的波动，其在信号处理、通信、振动分析等领域有着广泛的应用。
通过对正弦分量的分析，我们可以深入了解原信号的频率组成，从而实现更加精确的信号处理和通信。
6.第二章 傅里叶级数
- 3 -第二章 傅里叶级数傅里叶级数是一类由三角函数列产生的三角级数，在数学与工程技术中有着广泛的应用．三角级数是分析学中一个重要的分支．在数学发展史上，法国数学家傅里叶在著作《热的解析理论》中，第一次系统地运用三角级数和三角积分来处理热传导问题．此后，众多数学家，如狄利克雷、黎曼、利普希茨等都曾从事于这一领域的研究，弥补了傅里叶工作的不足，极大地发展了傅里叶级数理论，扩大了其应用范围．使这一理论成为研究周期现象不可缺少的工具．2.1 傅里叶级数（三角函数)函数列1co s sin co s 2sin 2co s sin x x x x n x n x ，，，，，，，称为三角函数系．由于欧拉公式c o s sin ixe x i x=+，所以我们也称函数列{}(01)ikx e k=± ，，为三角函数系．三角函数系1co s sinco s 2sin 2co s sin x x x x n x n x ，，，，，，，具有以下特性：（1）周期性：三角函数系中所有函数具有共同的周期2π． （2） 正交性：三角函数系中各函数在长度为2π的任意区间[,2]I a a π=+上组成正交函数系，即222s in s in 0()c o s c o s 0()c o s s in 0a a a a a am x n xd x m n m x n xd x m n m x n xd x πππ+++=≠=≠=⎰⎰⎰，，．（3）三角函数系中任何一个函数的平方在[,2]a a π+上的积分都不等于零，即222222c o s s in 12a a aaa an xd x n xd x d x πππππ+++===⎰⎰⎰，．- 4 -（4）完全性：若存在定义在[,2]a a π+以2π为周期的可积函数()f x ,它在[,2]a a π+上与三角函数系的每一个函数正交，则()0..f x a e =，对三角函数系{}(0,1,)ikx e k=± 同样具有上述特性：（1）周期性：三角函数系中所有函数具有共同的周期2π． （2） 正交性：三角函数系中各函数在长度为2π的任意区间[,2]I a a π=+上组成正交函数系，即20()a im xin xaeed x m n π+=≠⎰，．（3）三角函数系中任何一个函数的平方在[,2]a a π+上的积分都不等于零，即20a im xim xaeed x π+=⎰．（4）完全性：若存在定义在[,2]a a π+以2π为周期的可积函数()f x ,它在[,2]a a π+上与三角函数系的每一个函数正交，则()0..f x a e =，我们称级数01(c o s s i n )2k k k a a k x b x ∞=++∑为实型傅里叶（三角）级数，其中0a ，k a ，k b ，(12)k = ，，是实数列，称为实型傅里叶（三角）级数的系数．我们称级数ik xk k c e∞=-∞∑为复型傅里叶（三角）级数，其中(01)k c k=± ，，，是复数列，称为复型傅里叶（三角）级数的系数．应用三角函数系的正交性，我们讨论傅里叶级数的和函数()f x 与级数的系数0n na ab ，，之间的关系．在整个数轴上01()(c o s s in )2k k k a f x a k x b x ∞==++∑，且等式右边级数一致收敛，得- 5 -1()c o s 0121()s in 12n n a f x n xd x n b f x n xd x n ππππππ--====⎰⎰，，，，，，，，．下面讨论周期为2l 的函数()f x 的傅里叶级数的和函数()f x 与级数的系数0n na ab ，，之间的关系.在整个数轴上01()(c o s s in )2k k k a f x a k x b x ∞==++∑，且等式右边级数一致收敛，得1()c o s0121()s in12ln l ln ln x a f x d x n l l n x b f x d x n llππ--====⎰⎰，，，，，，，，．2.2 傅里叶级数的收敛性2.2.1 Dirichlet 积分Dirichlet 积分，是研究傅里叶级数散敛性的重要工具． Dirichlet 积分:当0θ≠时，由三角函数的积化和差公式，有121s in12c o s 22s in2mn m n θθθ=++=∑，且1()c o s 0121()s in 12n n a f x n xd x n b f x n xd x n ππππππ--====⎰⎰，，，，，，，，．可得傅里叶级数的部分和为：- 6 -()()01111()(c o s s in )211()()c o s c o s ()s in s in 211()(c o s c o s s in s in )221s in (1112()c o s ()()2mm n n n mn mn mn a S x a n x b n x f t d t f t n td t n x f t n td t n xf t n t n x n t n x m t f t n t x f t πππππππππππππππ=---=-=-==++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦+⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰⎰∑⎰∑⎰)2s in22121s ins in1122()()()2s in2s in22xxx d tt x m m u u u t x f x u d u f x u d u u u ππππππππ-------++=-=+=+⎰⎰⎰设．通过上述方法就可以把部分和转化成积分形式，这个积分为Dirichlet 积分．一般的，将积分区间[,]ππ-分为[0,]π-和[,0]π-两部分，稍作变化，就可得到Dirichlet 积分的惯用形式[]21s in12()()()2s in2m m uS x f x u f x u d u u ππ+=++-⎰．如何使用Dirichlet 积分判断傅里叶级数的收敛性？一般的，已知下列等式121sin2212c o s 122sin2mn m u d u n u d u u ππππ=+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑⎰⎰，则对于任意给定的函数()x ρ，有[]21s in12()()()()2()2s in2m m uS x x f x u f x u x d u u πρρπ+-=++--⎰．可以记 (,)()()2(u x f x u f x u xρψρ=++--，- 7 -则()f x 的傅里叶级数是否收敛于某个()x ρ就等价于极限21s in2lim(,)2s in2m m u u x d uu πρψ→∞+⎰是否存在且等于零．因此，Dirichlet 积分，是研究傅里叶级数散敛性的重要工具．2.2.2 局部性原理局部性原理：可积或绝对可积函数()f x 的傅里叶级数在x 点是否收敛只与()f x 在(),x x δδ-+的性质有关，这里δ是任意小的正常数．由黎曼—勒贝格定理，可推得以下定理： 设函数()u ψ在[]0,δ可积且绝对可积，则成立2121s ins in22lim()lim()2s in2m m m m uuu d u u d u u uδδψψ→∞→∞++=⎰⎰．证明：令1102s in()200u u ug u u ⎧->⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， 易验证()g u 是[]0,δ上的连续函数，由黎曼引理，当m→∞时，有()()01111s in ()s in 0222s in 2u m u d u u g u mu d u u u δδψψ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎛⎫-+=+→⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰．显然这里的δ可以取大于0的任意常数．2.2.3 傅里叶级数收敛性的证明以上推论进一步告诉我们，如果能找到适当的()x ρ，使得对于充分小的定数0δ>，有- 8 -(,)21lims in02m u x m u d u uδρψ→∞+⋅=⎰，则()f x 的傅里叶级数必定收敛于这个()x ρ，显然，对[],x ππ∈-，只要存在个δ>，使得()()()(,)2u x fx u fx u x uuρψρ++--=在(0,)δ可积且绝对可积，就可以由黎曼引理导出上面的结果．现假设()f x 在[],x ππ∈-至多只有第一类不连续点，而上述积分存在与否涉及(,)u x uρψ当0u→时的性质，要满足上述条件首先必有()()()0lim 20u f x u fx u x ρ→++--=⎡⎤⎣⎦或者()()()002fx fx x ρ++-=．于是问题最终转化为研究使得()()()()000s in lim22p fx fx p u f x u fx u d u uδ→+∞++-⎡⎤++--=⎢⎥⎣⎦⎰成立的条件，这是探索傅里叶级数收敛性的一把钥匙．所以，我们可以得到傅里叶级数收敛的条件： 设函数()f x 在[],ππ-可积且绝对可积，且满足下列两个条件之一，则()f x 的傅里叶级数在x 收敛于(0)(0)2f x f x +++．（1）（Dirichlet-Jordan 判别法）()fx 在某个区间[],(0)x x δδδ-+>上是分段单调函数或若干个分段单调函数之和．- 9 -（2）（Dini-Lipschitz 判别法）()f x 在点x 处满足下述的指数为(0,1]α∈的H o ld er 条件． H o ld er条件：设函数()f x 在x 点连续或第一类间断，若对于充分小的正数δ，存在常数0L >和(0,1]α∈，使得成立()(0)(0)f x u f x L uu αδ±-±<<<，． 则称()f x 在x 点满足H o ld er 条件（当1α=称为Lipschitz 条件）．以上判断函数的傅里叶级数收敛的充分条件分别由德国数学家Dirichlet 和Lipschitz 得到，他们的结果经后人改善总结，表示成以上定理．2.3 傅里叶级数的性质2.3.1 傅里叶级数的逐项积分定理设()f x 在[],ππ-上可积或绝对可积，01()(c o s s in )2n n n a f x a n x b n x ∞=++∑，则()f x 的傅里叶级数可以逐项积分，即对于任意c ,[],x ππ∈-，01()(c o s s in )2xxx n n c ccn a f t d t d t a n x b n x d t ∞==++∑⎰⎰⎰．2.3.2 傅里叶级数的逐项微分定理()f x 在[],ππ-上连续，01()(c o s s in )2n n n a f x a n x b n x ∞=++∑，()()f f ππ-=，且除了有限个点外()f x 可导．假设'()f x 在[],ππ-上可积或绝对可积（'()f x 在有限个点可能无定义，并不影响可积性），则'()f x 的傅里叶级数可由()f x 的傅里叶级数逐项微分得到，即- 10 -'011()()(c o s s in )2(s in c o s )n n n n n n a d d f x a n x b n x d xd xa n n xb n n x ∞=∞=++=-+∑∑．2.3.3 傅里叶级数的平方逼近性质最佳平方逼近元素：设S 是一个定义了内积运算(),的线性空间，取S 中的范数为=T是S 的一个n 维子空间，记T 的一组正交基为12,,,n ϕϕϕ ，即{}12sp an ,,,n T ϕϕϕ= ．若对于x S∈，有1122Tn n x c c c Tϕϕϕ=+++∈ ，使得m in Ty Tx x x y∈-=-，则称T x 是x 在T 中的最佳平方逼近元素．傅里叶级数的平方逼近性质为： 设T 为n 阶三角多项式01(c o s s in )2nk k k A A k x B k x =++∑的全体，()f x 在[],ππ-上可积或平方可积，则()f x 在T 中的最佳平方逼近元素恰为()f x 的傅里叶级数的部分和函数01(c o s s in )2nn k k k a S a k x b k x ==++∑，逼近的余项为2222211()()2nnk k k a f S f x d x a b πππ-=⎡⎤-=-++⎢⎥⎣⎦∑⎰． 2.3.4 傅里叶级数的平方收敛性质平方收敛：若函数序列{}()n x ψ满足- 11 -2lim()()0n n f x x ψ→∞-=．这里()f x 是某固定的函数，则称{}()n x ψ按范数平方收敛于()f x ，简称()nx ψ平方收敛于()f x ．傅里叶级数的平方收敛性质为： 设()f x 在[],ππ-上可积或平方可积，则()f x 的傅里叶级数的部分和函数序列平方收敛于()f x ．2.4 傅里叶级数的应用2.4.1 贝塞耳（Bessel ）不等式若函数()f x 在[],ππ-上可积，则2222011()()2n n n a fx d x a b πππ∞-=≥++∑⎰．其中0(12)n n a a b n = ，，，，，为()f x 的傅里叶系数．2.4.2 帕塞瓦尔（Parseval ）等式若函数()f x 在[],ππ-上可积，且()f x 的傅里叶级数在[],ππ-上一致收敛于()f x ，则2222011()()2n n n a fx d x a b πππ∞-==++∑⎰．其中0(12)n n a a b n = ，，，，，为()f x 的傅里叶系数．2.4.3 帕塞瓦尔（Parseval ）等式的推广若函数()f x ，()g x 在[],ππ-上可积，且()f x ，()g x 的傅里叶级数在[],ππ-上一致收敛于()f x ，则0011()()()2n n n n n a f x g x d x a b ππααβπ∞-==++∑⎰．其中0(12)n n a a b n = ，，，，，为()f x 的傅里叶系数；- 12 -0(12)n n n ααβ= ，，，，，为()g x 的傅里叶系数．2.4.4 黎曼—勒贝格定理若为()f x 可积函数，则lim()c o s 0lim ()sin 0ba pb ap x p xd x x p xd x ψψ→∞→∞⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰．2.4.5 Wirtinger 不等式对任意有界区域[],a b ，若函数[]1,f Ca b ∈，且满足()()0f a f b ==，则有Wirtinger 不等式()222'2bbaab a fd x fd xπ-≤⎰⎰成立，式中的常数()22b a π-不能改进．。
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傅里叶级数本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数 代表的物理含义。
1. 完备正交函数集要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。
如果 n 个函数卿（1），化（1）1，b Kl ） 构成一个函数集，若这些函数在区间（th 12）上满足j £卩心)仞MM = {监°如果是复数集，那么正交条件是j tpi(l)(p j ⑴山—{K ]"甲；⑴为函数舸（I ）的共轭复函数。
有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。
比如三角函数 集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。
先证明三角函数集：设恤（I ）COS mM ，5i （L ）- cos m （ol ，把忸⑴，畅⑴代入⑴得ft +HI COS ticoleos iiiwl dt J L,当n 工討时=J ：綁卜恥(口 十十 COS tn - m)wt| di]ITsL (n+ ni}<ot siii (ti - injcfit 1'^ *+ (I1-T11>O J=0 (n,m=1,2,3,…；n 壬 ml )当n=m 时再证两个都是正弦的情况 设加（0 = sin阮（0 ’in mst ,把曲1）.帥⑴|代入⑴得/ t"Ttc~2[ fn + Tr>n)=J ： * *cos2no>t dt _T最后证明两个是不同名的三角函数的情况设加⑴=eos 1131,加(0 u sin msl ,扌旳八⑴，加0)代入⑴得Sr 『S + Tq>i(t](pj(Odt = I COS nct)lsiii uicot 41Ltip=^丿；："1甫115 + m)fot - sin(n -ni)o>tl dt1 r co?-(II + niKot cos5 "zl " (n + + (n - III )(D . =0 (n,m 为任意整数)因为两个三角函数相乘只有以上三种情况： 两个皆为余弦函数相乘；两个皆 为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正 交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。
至于三角函数集的完备性可以 从n, m 的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。
证毕。
由于三角函数集是完备正交函数集， 而根据欧拉公式，我们容易联想到复指 数函数集是否也是完备正交函数集呢。
接着是复指数函数集的证明设讹恥⑴™^,则0；⑴-恤伽◎ 0； W 代入⑵得加；⑴山=叫伽恤当时，根据欧拉公式// S+Ttc当n 盖血时=丿："|凶£ (n 十 in)«t -心(11 - tti)曲 I 山* to]|sui (n+ ni)cot siiitn - tc =0(n,m=1,2,3，…；n 士 n 』)当n=m 时(n ■+ m)co=丿:“心朋（n - m ）血+ j 如用做n -S131 (n - mj&r * we 就n - m>artl h T T -(n - n 讹 'J (11 - «1)帅 1当n=m 时,（n ；m=1；2；3；…,n = m ）所以，复指数函数集也是正交函数集。
因为 n, m 的取值范围是所有整数,所以复指数函数集是完备的正交函数集。
明明是讨论傅里叶级数，为什么第一部分在阐述完备正交函数集呢。
因为， 在自然界中，没有规则的信号，比如说找一个正弦信号，是完全不可能找到的。
有的是一堆杂乱的信号，无规律的波形。
我们要研究它，基本的思想是把它拆分, 分解成一个一个有规律的可研究的波形，这些波形能用数学表达式准确表达出 来。
把一个复杂的信号分解的过程，可以理解成用已知的可以准确表达的函数表 示他，比如一个复杂的信号f （X ）o|把它分解，就是f （x ） -in （piO ） + 112>P2（C +…+】WnW 其中0（t ），徑⑴，…是我们所熟悉的函数，比 如二次函数，一次函数，三角函数，指数函数等等。
我们的任务就是求出所分解 出来的函数，以及前方的系数n,然后对其研究。
那么怎么求呢。
完备正交函数 集给了我们提供了一种方法。
完备正交函数集就像是空间直角坐标系，集合里面的每一个元素相当于坐标系的一条轴，我们知道空间直角坐标系只有 3条轴，3 条轴，足够表示空间上所有点的位置，不需要再多一条，但是如果只有两条轴， 又不能准确地表达立体空间上所有的点， 所以3条就是完备的。
对于一个函数集的完备性也可以这么理解，表达任意一个周期信号只需要用不多于函数集里面元 素的函数就可以表达清楚。
再说其正交性，所谓正交，就是函数集里两个不同函 数之乘积的积分为0,正交性可以理解成函数集内任意两函数不相关。
既然三角函数集和复指数函数集是完备的正交函数集， 那么用其中的一种函 数集都可以表达周期信号。
用复指数函数集来表示一个复杂信号fd ）：f(l) =ni(pi(l) + I12(p2(t) + …工二小恤(t)其中，QnW =严t (n=1,2,3，…;n)。
用三角函数集表示一个复杂信号KO ：f(t) = no + + a ：cos2(ix)t + …+ bjsiiiwol + bzsmtoot + …”=ao + £二 jbiLCg (uft^cit) + biisinCnrt>ot)l=0(n,m=1,2,3,…,n 盘 m )=1这就是三角形式的傅里叶展开式。
2. 傅里叶级数上面说到，三角函数集和复指数函数集都是正交完备函数集， 那么对信号的 分解任务简化成求三角函数或者复指数函数前面的系数问题了。
下面首先研究三 角形式的傅里叶级数我们知道满足狄里赫利关系的周期信号f(t),可以展开成 1X0 吕 U0 + aicmooL + a3cos2ex)( + …+ hjsiiKDot +bjsiiKOol + …=ao + £：= I hncx (ru 闻l) + bjiStn (nw^)]这种形式，现在我们来求各基函数前面的系数。
先求闻。
把三角形式的傅里叶展开式写成如下形式:f(T)= y + S ：=]hf]Ccs (1 ⑹ot) + br$in(n<i>nt)l 对上式在［■九兀1内积分，得e fe aof 算 口旳二J —dt + J y lancc$ (n ①oi) + bnsin(iioot) Idt-IT "・3I 2』-■K J%-1=llO?l■ ■ do = =f f(l)dt 兀J 7推广到一般周期的情况:求血和bji 。
用u 成恋k 讪乘( 3)，再对其两边在［-兀引内积分，得j fCOcos (knoOdt - = J" uo 込汨jlldl + E dn J-n-■*n=l■*因为三角函数集是完备正交函数集，上式右边第一第三项均为 0;第二项只有当k=n 这一项积分不为0。
所以JC 0$ (kflii ) cos (not) ciL+ bbl I cos (竝ktuOsii 直攵iwaQtiLao =-J f(t)ccs (k(wt)flt = dj CCS (k(nOcos{ntnt)dt=鬲P C TKJJ O COS(8)同理，用 sin ：A ；＜k«l)|推广到一般周期的情况:bn以上就是三角形式傅里叶级数的参数推导。
复指数形式傅里叶级数接着研究复指数形式傅里叶级数。
e - i 血t _ (iiol) - ji>iii(iKot)[(4)+(5)]/2 得cos(1104)=推睑t + e j 曲)[(4)-(5)]/2 得sin (iifot)=岂严t -亡 如)可以得出复指数形式的傅里叶级数公式卄严+占用L 优替孑化简合并得到憊)=帥+葺1(罟靭加仃筈忖购+ees[^'i2nc nl)d1an =推广到一般周期的情况：从而有: 根据欧拉公式:严"-COS (ncoO +jsin(nwi)乘(3)可以求得 hn = GimtM把⑹,(7)代人(3)。
对于(8)式。
其中的参数有丁和丁另F n = 二也严,Fo = ao(8)式可化成(9)(8)(9)式就是傅里叶级数的复指数形式。
现在求1订，将上式两边同乘［e'H ，并在一个周期内求积分得:当m=n 时三F1, • 231当n 时,=…闷dt-CD-fl=,cos (Ti - in)ciH dt J ： ^\n (ii - nOou cu]三角函数在其周期内积分为壮各复指数项的系数推广到一般周期的情况3. 傅里叶级数的物理意义傅里叶级数的重要性不仅仅在于它能把复杂的周期信号分解成一个个简单 的函数的线性叠加，更重要的是，它提供一种分析信号的新思路一一换一个角度 来研究。
当我们在作图的时候，把x 轴作为时间轴时候，我们硬性思维地把信号 作为时间的函数，研究随着时间的不同，信号的变化情况。
尽管我们把一个信号 再变化，也再难深入研究了，因为只在时间这个角度，难以挖掘更多关于这个信 号的信息了。
但当我们把信号变成三角函数的叠加的时候，信号的信息就喷涌而 出。
根据所叠加的不同三角函数的W 不同，我们可以以M 为x 轴，作频率谱线, 研究一个信号所叠加的不同频率。
根据所叠加的不同三角函数的 b 不同，我们还 可以以d 为x 轴，作相位谱线，研究一个信号中的不同相位角。
本人才疏学浅，在学习和理解的时候借助了网络的一些图片以及文集，得到了启发。
我摘抄了网上的一张图片，希望能形象的阐明傅里叶级数在物理中的意 义。
f Rt)e -加 al宙=-?r-co欧拉展开2、图二在没有傅里叶级数之前，我们研究信号，看到的是图二的时域图像， 把时域的图像信息挖掘殆尽之后，这个信号就被研究透彻了。
然而并不是这样的。
用傅里叶级数，我们从图一的红色箭头方向看图。
得出频域图像，这能让我们分 清晰一个信号里面所包含的各种不同的频率。
时域和频域对于研究一个信号来说，同等的重要。
傅里叶级数为我们研究信 号提供了一种新的思想，我们能更全面地去认识一个信号。
杨煜基 2016年3月10当我们 0图一■2-22015■%6。