立体几何复习-空间角的求法PPT课件
合集下载
空间角的计算课件
H A E1B 1 7
E1
B1
.G
A
B
1 5
可得直线AH与BE1所成角的余弦值
1 7
1
2
3
5
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
1
4
D1F1= D1C 1,
角的余弦值。
1
B1E1= 4
A1B1，求直线DF1与BE1所成
D1 F1
A1
H
C1
E1 B1
D
A
C
B
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
综合法：作——证——求。
G
解析：延长AH,BE1 交于点G, 所以∠AGGH= 1 7
在三角形HE1G中，由余弦定理得
A1
H
E1
B1
GE12 GH 2 HE12
cos =
2GE1 • GH
17 17 4 15
2 17 17 17
1
点, 且D1E1= 4 D1C1求直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值.
D1(0,0,4)
(0,4,4) C1
E1
(4,2,4) B1 (4,4,4)
(4,0,4)
A1
(0,4,0)
C
D
(4,0,0)
A
B
F
(4,4,0)
解：以
{DA,DC,DD}
正交基底，建立如图所示的
1 为
空间直角坐标系D-xyz，则各点的坐标为
D1 A 2, CE 1 (t 2)2 t 2 4t 5
D1 A • CE=1
D1 A • CE
1
所以cos60 =
空间角的计算PPT课件
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 z
系 C,如xy图z 所示，设 则C：C1 1
C1
F1
D1
B1
A(1,0,0), B(0,1,0),
1
11
F1( 2 , 0,1), D1( 2 , 2 ,1)
A1
C
所以：AF1
(
1 2
,
0,1),
BD1
(1 2
,
1 2
,1)
A
By
cos AF1, BD1
AF1
6.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的
中点, 则二面角E-BC-A的大小是__4__5_0___
第17页/共59页
7.正三棱柱 ABC A1B1C1中，D是AC的中点，当 AB1 BC1时，求二面角D BC1 C的余弦值。
8.已知正方体 ABCD A1B1C1D1的边长为2， O为AC和BD的交点，M为DD1 的中点
B
化为向量问题 根据向量的加法法则有
C D
AB AC CD DB
A
d
2
2
AB
( AC
CD
DB )2
2
2
2
AC CD BD 2( AC CD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2AC DB a2 c2 b2 2CA DB
于是，得 2CA DB a2 b2 c2 d 2
法向量的夹
角；
同进同出，
二面角等于
n1
l
法向量夹角 的补角。
n2
l
n1
cos cos n1, n2
cos cos n1, n2
第14页/共59页
1、已知 AB =(2,2,1),AC =(4,5,3),则平面
系 C,如xy图z 所示，设 则C：C1 1
C1
F1
D1
B1
A(1,0,0), B(0,1,0),
1
11
F1( 2 , 0,1), D1( 2 , 2 ,1)
A1
C
所以：AF1
(
1 2
,
0,1),
BD1
(1 2
,
1 2
,1)
A
By
cos AF1, BD1
AF1
6.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的
中点, 则二面角E-BC-A的大小是__4__5_0___
第17页/共59页
7.正三棱柱 ABC A1B1C1中，D是AC的中点，当 AB1 BC1时，求二面角D BC1 C的余弦值。
8.已知正方体 ABCD A1B1C1D1的边长为2， O为AC和BD的交点，M为DD1 的中点
B
化为向量问题 根据向量的加法法则有
C D
AB AC CD DB
A
d
2
2
AB
( AC
CD
DB )2
2
2
2
AC CD BD 2( AC CD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2AC DB a2 c2 b2 2CA DB
于是，得 2CA DB a2 b2 c2 d 2
法向量的夹
角；
同进同出，
二面角等于
n1
l
法向量夹角 的补角。
n2
l
n1
cos cos n1, n2
cos cos n1, n2
第14页/共59页
1、已知 AB =(2,2,1),AC =(4,5,3),则平面
高中数学《空间角的求法》课件1 北师大版必修2
则有 D(0, 3, 0) , E(3, 0, 0) C1(4, 3, 2) , C(4, 3, 0) ,
∴ DE (3, 3, 0) , EC1 (1, 3, 2)
设平面 C1DE 的一个法向量 n ( x, y, z) ，
则
n n
DE EC1
3x 3y 0 x 3y 2z
0
设直线 CE 与平面 C1DE 所成的角为 ,
则 sin cos n, EC1 = n EC =
n EC
4 2 15 6 10 15
∴直线 CE 与平面 C1DE
所成 的角的正弦值为
2 15 15
.
第五页，共9页。
练习 2(全品 P95例3) 如图,直三棱柱 ABC ─A1B1C1 中,
a
lb
(1) cos cos n1 , n2
关键是求法向量,
另外还要注意角 的范围.
(2) a, b
其中 a, b 如图所示.
第二页，共9页。
练习 1(全品 P94 例 3)如图,在长方体 ABCD─A1B1C1D1 中,
已知 AB 4, AD 3, AA1 2, E 分别是线段 AB 、BC 上的
高中数学《空间角的求法》课件1 北师大 版必修2
2023/5/16
生产计划部
第一页，共9页。
第 46 讲空间角的求法(下)
空间角的计算:
三、二面角 ─ l ─ :0,
n 2 几何法: (利用垂线)作→证→求(三角形的计算)
P
n 1 利用垂线来作二面角,通常是“作一证一”的思路.
A
lO
向量法:
CC1 CB CA 2 , AC CB ,
A1
D 、E 分别是棱 C1C 、B1C1 的中点.
∴ DE (3, 3, 0) , EC1 (1, 3, 2)
设平面 C1DE 的一个法向量 n ( x, y, z) ，
则
n n
DE EC1
3x 3y 0 x 3y 2z
0
设直线 CE 与平面 C1DE 所成的角为 ,
则 sin cos n, EC1 = n EC =
n EC
4 2 15 6 10 15
∴直线 CE 与平面 C1DE
所成 的角的正弦值为
2 15 15
.
第五页，共9页。
练习 2(全品 P95例3) 如图,直三棱柱 ABC ─A1B1C1 中,
a
lb
(1) cos cos n1 , n2
关键是求法向量,
另外还要注意角 的范围.
(2) a, b
其中 a, b 如图所示.
第二页，共9页。
练习 1(全品 P94 例 3)如图,在长方体 ABCD─A1B1C1D1 中,
已知 AB 4, AD 3, AA1 2, E 分别是线段 AB 、BC 上的
高中数学《空间角的求法》课件1 北师大 版必修2
2023/5/16
生产计划部
第一页，共9页。
第 46 讲空间角的求法(下)
空间角的计算:
三、二面角 ─ l ─ :0,
n 2 几何法: (利用垂线)作→证→求(三角形的计算)
P
n 1 利用垂线来作二面角,通常是“作一证一”的思路.
A
lO
向量法:
CC1 CB CA 2 , AC CB ,
A1
D 、E 分别是棱 C1C 、B1C1 的中点.
立体几何中的向量方法空间角ppt
,1)
A
By
cos AF1, BD1
AF1 BD1
x
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
所以 BD与1 A所F1成角得余弦值为
42 30
10
2、直线与平面得夹角:
设直线 l 的方向向量分别为 a ，平面 的 法向量分别为 u ，
直线 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),sin a u ；
立体几何中的向量方法空间角
1、两条直线得夹角:
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),cos a b ；
2
ab
l
a
m
l
a
b m
例: 在直三棱柱ABC A1B1C1中，BC AC,
BC CA CC1, 取A1B1、A1C1的中点D1、F1，
CD为a,b得公垂线,
n是直线CD的方向向量，
A,B分别在直线a,b上
b
n
C A
DB a
n AB d CD
n
例.已知：直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1 4, 底面ABC中, AC BC 2, BCA 900, E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
解：如图建立坐标系C xyz,则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1(0,2,4).
E C
y B
x
G
D
A
(1)证明:设正方形边长为1,则PD=DC=DAz=1、连AC、BD交于G点
以DA，DC，DP为正交基底建立空间 P
直角坐标系。如图所示。则
E
y
《空间角的复习》课件
空间角在几何图形中有着广泛的应用，如多面体、球体、旋 转体等，通过空间角的分析可以深入理解图形的结构和性质 。
几何图形的度量
空间角是度量几何图形的重要工具，如平面角、二面角、线 面角等，通过空间角的度量可以确定图形的形状、大小和位 置关系。
在解决实际问题中的应用
建筑结构分析
在建筑领域中，空间角的应用十分广 泛，如梁、柱、墙等结构的空间角度 分析，有助于确保建筑结构的稳定性 和安全性。
注意事项
在计算过程中，需要注意向量 的方向和夹角的范围，以避免
出现错误的结果。
利用几何意义计算空间角
总结词
详细描述
几何法是通过空间几何图形的性质和定理 来计算空间角的方法，适用于解决与几何 图形相关的问题。
利用空间几何图形的性质和定理，如平行 线性质、等腰三角形性质等，可以计算出 空间中的线线角、线面角和二面角。
《空间角的复习》ppt 课件
目录
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用 • 空间角的综合题解析 • 空间角的易错点解析
CHAPTER 01
空间角的基本概念
定义与分类
总结词
详细描述空间角的定义，以及按照不 同标准分类的种类。
详细描述
空间角是指两个非平行直线或平面在 三维空间中形成的角。根据不同的分 类标准，空间角可以分为不同的类型 ，如平面角和立体角等。
CHAPTER 04
空间角的综合题解析
综合题一：求异面直线所成的角
总结词
掌握异面直线所成角的定义和性质，利用平移法或向量法求解。
详细描述
异面直线所成的角是指两条异面直线所夹的锐角或直角，其取值范围为$0^{circ}$到$90^{circ}$。求解时，可以 通过平移将两条异面直线变为相交直线，再利用平面几何知识求解；或者利用向量法，通过向量的夹角来求解。
几何图形的度量
空间角是度量几何图形的重要工具，如平面角、二面角、线 面角等，通过空间角的度量可以确定图形的形状、大小和位 置关系。
在解决实际问题中的应用
建筑结构分析
在建筑领域中，空间角的应用十分广 泛，如梁、柱、墙等结构的空间角度 分析，有助于确保建筑结构的稳定性 和安全性。
注意事项
在计算过程中，需要注意向量 的方向和夹角的范围，以避免
出现错误的结果。
利用几何意义计算空间角
总结词
详细描述
几何法是通过空间几何图形的性质和定理 来计算空间角的方法，适用于解决与几何 图形相关的问题。
利用空间几何图形的性质和定理，如平行 线性质、等腰三角形性质等，可以计算出 空间中的线线角、线面角和二面角。
《空间角的复习》ppt 课件
目录
• 空间角的基本概念 • 空间角的计算方法 • 空间角的应用 • 空间角的综合题解析 • 空间角的易错点解析
CHAPTER 01
空间角的基本概念
定义与分类
总结词
详细描述空间角的定义，以及按照不 同标准分类的种类。
详细描述
空间角是指两个非平行直线或平面在 三维空间中形成的角。根据不同的分 类标准，空间角可以分为不同的类型 ，如平面角和立体角等。
CHAPTER 04
空间角的综合题解析
综合题一：求异面直线所成的角
总结词
掌握异面直线所成角的定义和性质，利用平移法或向量法求解。
详细描述
异面直线所成的角是指两条异面直线所夹的锐角或直角，其取值范围为$0^{circ}$到$90^{circ}$。求解时，可以 通过平移将两条异面直线变为相交直线，再利用平面几何知识求解；或者利用向量法，通过向量的夹角来求解。
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
1
M
2 x 0 z 0 即 取z =2得x=1，y = - 2 2 x 2 y z 0 A
D O B
C
y
所以平面B1MA的一个法向量为 n (1， 2， 2) 1 2 4 6 cos B1O， n 6 6 9
x
由图可知二面角为锐角
6 所以二面角B1 MA C的余弦值为 。 6
即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向
量夹角的补角．
直线和直线在平面内的射影所成的角， 二、线面角： 叫做这条直线和这个平面所成的角.
[0, ] 直线与平面所成角的范围：
A
2
n
思考：如何用空间向量的夹角 表示线面角呢？
B
O
结论： sin
| cos n, AB |
立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量:两点 • 平面的法向量：三点两线一方程 • 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 则(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的 法向量分别为n1、n2.
10 5
所以直线SA与OB所成角余弦值为
课堂小结：
1.异面直线所成角：
C
D
cos sin
|cos CD, AB | | cos n, AB |
A
B
D1
A
O
2.直线与平面所成角： 3.二面角：
n
B
n2
《空间角的计算》课件
计算示例
通过具体的示例来理解空间角的计算方法。例如，在已知两个向量的情况下， 我们可以求解它们之间的夹角；又或者在已知三个点的坐标时，我们可以计 算它们围成的空间角。
总结
通过比较不同的计算方法，我们可以了解空间角的重要性和不同计算方法的优缺点。学习空间角对于提高相关 领域的数学能力具有重要意义。
《空间角的计算》PPT课 件
这是一份关于《空间角的计算》的PPT课件，旨在通过生动的图片和清晰的解 释，向大家介绍空间角的定义、计算方式、关系以及其在物理和工程中的应 用。
什么是空间角
空间角是三维空间中两个向量之间的夹角称为空间角。它可以通过向量的内积或两度和空间角之间存在着密切的关系。角度通常使用度数或弧度来表示，并且可以与空间角进行转换。此外， 定向角度和不定向角度也有着不同的概念和用途。
空间角的应用
空间角在物理学和工程中有着广泛的应用。在物理学中，它可以描述物体的 运动和力的方向。在工程中，它可以用于测量和设计三维结构。
空间角的计算方法
空间角的计算可以使用空间直角坐标系的方法、三点坐标法或两向量夹角法。每种方法都有其适用的场景和计 算方式。
求空间角的常用方法PPT课件
故选B．
点评 这里将点O到面 ABC1D1 的距离转化为点 A1 到面 ABC1D1 的距离，比直接求O
到平面ABC1D1 的距离要简单得多 。
第17页/共27页
【例8】 如图1-15，CD，AB是两条异面直线，它们夹在两平行平面 和 间的 部分AB，CD在平面 内的射影分别是12cm和2cm，它们与平面 的交角之差 的绝对值是45o ，求AC与BD之间的距离．
2
2
第10页/共27页
2
PE
PD2 DE2
a2
3 2
a
7a 2
EF
FD2 ED2
a 2
2
3 2
a
2
a
PE 2 EF 2 PF 2
cos PEF 2PF·EF
7 2
2
a
a2
a 2
2
2 7 aa
＝
7 4
＋1－
1 4
＝
5
7
2
7
14
∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值为 5 7 14
∵O为底面中心，
∴O为BD中点，从而FO为△DAB的中位线．
∴FO ∴MO
1 AB 2
D1F
D1M ∴四边形 D1FOM 为平行四边形． 故∠MOE(或其补角)即为异面直线 D1F 和OE所成的角．
在△MOE中，OM D1F 22 1 5 ME 2
OE EC2 OC2 1 ( 2)2 3
则
FG
＝(－1，1，＋1)，A1 E
＝(－1，0，－1)，
第12页/共27页
∴ FG A1E 1 0 1 0 FG A1E 选D．
点评 连B1G，B1F 运用平移法及勾股定理的逆定理当然也很简单，这里主要是强调 空间向量法的运用．
高三数学复习课件：7.6空间角(共20张PPT)
VS
题组一 判断正误⇔概念辨析
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．( ) (4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二面角 的范围是[0，π]．( )
考点三 利用向量求二面角
师生 共研
(2017·山东卷)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD(及其内 部)以 AB 边所在直线为旋转轴旋转 120°得到的，G 是D︵F 的中点．
(1)设 P 是C︵E 上的一点，且 AP⊥BE，求∠CBP 的大小； (2)当 AB＝3，AD＝2 时，求二面角 E-AG-C 的大小．
(1)证明：平面 PEF⊥平面 ABFD； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．
利用向量求线面角的方法 (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量 的夹角(或其补角)． (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐 角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
[训练] (2017·全国卷Ⅰ，节选)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP ＝∠CDP＝90°.
若 PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角 A-PB-C 的余弦值．
核心素养系列 (四十)逻辑推理——利用向量求解空间角中的核心素养 利用直线的方向向量和平面的法向量求解空间角问题，特别是解决存在型 问题，更凸显了向量法的独特魅力. 这类问题的解决一般是先假设存在，通过 建立空间直角坐标系，将问题转化为向量问题来解决.
《空间的角的计算》示范课教学PPT课件【高中数学人教】
学生活动
问题1 二面角的大小是如何度量的？
问题2 二面角的平面角θ是如何定义的？你能在图示中作出二面角的平 面角吗？
问题3 什么叫平面的法向量？你能在图示中作出平面α，β的法向量吗？
学生活动
问题4 观察图示，请研究二面角的平面角θ与这两个平面的法向量的夹 角的关系．
（图1）
（图2）
探索新知
在定义了平面的法向量之后，我们就可以用平面的法向量来求两个平面 所成的角．由于平面的法向量垂直于平面，这样，两个平面所成的二面 角就可以转化为这两个平面的法向量所成的角．
空间的角的计算
第二课时
问题情境
上节课我们学习用直线的方向向量和平面的法向量计算两条异面直线所 成的角、直线与平面所成的角．两条异面直线所成的角可以转化为求两 条异面直线的方向向量的夹角；斜线与平面所成的角可以转化为直线的 方向向量与平面的法向量（平面的“方向”）的夹角，那么类比可知二 面角的平面角是否也可以转化为两个平面的“方向”即两个平面的法向 量的夹角呢？
课堂小结
（1）求二面角的两种方法：
1．利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方 向向量，然后求出这两个方向向量的夹角．
2．转化为求这两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．
课堂小结
（2） 二面角的平面角与法向量夹角的关系：
两个平面的法向量“方向相反”，则二面角的平面角与法向量夹角相等； 若两个平面的法向量“方向相同”，则二面角的平面角与法向量夹角互 补．
（图1）
（图2）
Hale Waihona Puke 总结：二面角的取值范围是[0，π]，所以二面角的平面角θ与这两个平面
的法向量的夹角φ相等或互补．图1中，θ＝φ；图2中，θ＝180°－φ．
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
立体几何复习
空间角
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形 中计算
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
（一）异面直线所成的角：范围是（0，π/2].
平移直线成相交直线:
(1)利用中位线,平行四边形;
(2)补形法.
作(找)---证---指出---算---结论
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
(三)二面角：范围是[0，π].
①棱上一点定义法：常取等腰三角形底边(棱)中点.
②面上一点垂线法：自二面角的一个面上一点向另一 面引垂线，再由垂足向棱作垂线
③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面， 截二面角得两条射线，这两条射线所成的角.
1,
结论
AO
2
2
, tanAOA1
AA1 AO
2
[典题](2013年高考天津卷)如图，三棱柱ABC－ AD，1B1EC，1中F分，别侧为棱棱A1AA⊥B，底B面C，ABAC1， C1的且中各点棱．长均相等，
(1)证明：EF∥平面A1CD； (2)证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1； (3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．
在AOC中,OA OC 1, AC AOC 90 0
2 (算)A
二面角A BD C的大小为900.
（结论）B
O
D
作(找)---证(指出)---算---结
论
C
练:正方体ABCD—A1B1C1D1中,求: D1 (1) 二面角A-BD-A1的正切值; A1 (2) 二面角A1-AD-B的大小.
关键
在三角形中计算
例1.正四面体S-ABC中,
s
如果E、F分别是SC、AB的
中点,那么异面直线EF和 E
SA所成的角=_______.
C
B
G
F
A
空间角(线线角,线面角,二面角)
作(找)---证(指出)---算---结论
在正方体AC1中，求(1)直线A1B和B1C所成的角;
(2)直线D1B和B1C所成的角 D1
C1 B1
D
解由:正连方结体A的C,性交质BD可于知O,,连BD结⊥OOAA1 ,BD⊥AAA1
O
C B
OA和AA1是平面AOA1内两条相交直线 ∴BD⊥平面AOA1 ∴BD⊥OA1 ∴∠AOA1是二面角A-BD-A1的平面角.
设正方体的棱长为1, 作(找)---证(指出)---算---
在RtA1 AO中, AA1
2
(1)证明：DE∥平面 BCF； (2)证明：CF⊥平面 ABF； (3)当 AD＝23时，求三棱锥 F－DEG 的体积 V . F－DEG
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/30
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/30
▲当二面角的平面角不易作出时，可用面积法 直接求平面角的余弦值.
S 斜面面积和射影面积的关系公式： S cos
( S 为原斜面面积,S 为射影面积, 为斜面与射影所
成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多 边形都成立.
C1
A1
B1
D
C
A
B
空间角(线线角,线面角,二面角)
作(找)---证(指出)---算---结论
在正方体AC1中，求(1)直线A1B和B1C所成的角;
(2)直线D1B和B1C所成的角 D1
C1
A1
B1
O
E
D
C
F
A
B
空间角(线线角,线面角,二面角)
作(找)---证(指出)---算---结论
在正方体AC1中，求(1)直线A1B和B1C所成的角;
高考大题冲关(四)
• [例1] (2013年高考新课标全国卷Ⅱ)如
图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是 AB，BB1的中点．
(1)证明：BC1∥平面 A1CD； (2)设 AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2 2，求三棱锥 C－A1DE 的体积．
题型二 立体几何中的折叠问题
[例 3] (2013 年高考广东卷)如图(1)，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 边上的 点，AD＝AE，F 是 BC 的中点，AF 与 DE 交于点 G， 将△ABF 沿 AF 折起，得到如图(2)所示的三棱锥 A－ BCF，其中 BC＝ 2.
A
B
O
D
α
C
例1.如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各
棱的长均是 2 , 求二面角A-BD-C的大小。
解 : 取BD的中点O, 连结AO, BO. （作）
AB AD, BC CD
AO BD,CO BD AOC是二面角A BD
(证) C的平面角（. 指出）
(2)直线D1B和B1C所成的角 D1
C1
A1
E
B1
D
C
A
B
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
(二)直线与平面所成的角：范围是[0，π/2]. 确定射影的方法(找斜足和垂足):
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
正三棱柱ABC A1B1C1,的底面边长为a, 侧棱 长为 2a,求直线AC1与平面AA1B1B所成的角.
C1
A1
D
B1
C
A
B
(2014 江苏无锡市模拟)如图所示，四棱锥 P－ABCD 的 底面是正方形，PD⊥底面 ABCD，AC 与 BD 交于 O，点 E 在 PB 上，连接 OE.
(1)求证：平面 AEC⊥平面 PDB； (2)当 PD＝ 2AB，且 E 为 PB 中点时， 求 AE 与平面 PDB 所成角的大小．
空间角
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形 中计算
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
（一）异面直线所成的角：范围是（0，π/2].
平移直线成相交直线:
(1)利用中位线,平行四边形;
(2)补形法.
作(找)---证---指出---算---结论
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
(三)二面角：范围是[0，π].
①棱上一点定义法：常取等腰三角形底边(棱)中点.
②面上一点垂线法：自二面角的一个面上一点向另一 面引垂线，再由垂足向棱作垂线
③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面， 截二面角得两条射线，这两条射线所成的角.
1,
结论
AO
2
2
, tanAOA1
AA1 AO
2
[典题](2013年高考天津卷)如图，三棱柱ABC－ AD，1B1EC，1中F分，别侧为棱棱A1AA⊥B，底B面C，ABAC1， C1的且中各点棱．长均相等，
(1)证明：EF∥平面A1CD； (2)证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1； (3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．
在AOC中,OA OC 1, AC AOC 90 0
2 (算)A
二面角A BD C的大小为900.
（结论）B
O
D
作(找)---证(指出)---算---结
论
C
练:正方体ABCD—A1B1C1D1中,求: D1 (1) 二面角A-BD-A1的正切值; A1 (2) 二面角A1-AD-B的大小.
关键
在三角形中计算
例1.正四面体S-ABC中,
s
如果E、F分别是SC、AB的
中点,那么异面直线EF和 E
SA所成的角=_______.
C
B
G
F
A
空间角(线线角,线面角,二面角)
作(找)---证(指出)---算---结论
在正方体AC1中，求(1)直线A1B和B1C所成的角;
(2)直线D1B和B1C所成的角 D1
C1 B1
D
解由:正连方结体A的C,性交质BD可于知O,,连BD结⊥OOAA1 ,BD⊥AAA1
O
C B
OA和AA1是平面AOA1内两条相交直线 ∴BD⊥平面AOA1 ∴BD⊥OA1 ∴∠AOA1是二面角A-BD-A1的平面角.
设正方体的棱长为1, 作(找)---证(指出)---算---
在RtA1 AO中, AA1
2
(1)证明：DE∥平面 BCF； (2)证明：CF⊥平面 ABF； (3)当 AD＝23时，求三棱锥 F－DEG 的体积 V . F－DEG
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/30
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/30
▲当二面角的平面角不易作出时，可用面积法 直接求平面角的余弦值.
S 斜面面积和射影面积的关系公式： S cos
( S 为原斜面面积,S 为射影面积, 为斜面与射影所
成二面角的平面角)这个公式对于斜面为三角形,任意多 边形都成立.
C1
A1
B1
D
C
A
B
空间角(线线角,线面角,二面角)
作(找)---证(指出)---算---结论
在正方体AC1中，求(1)直线A1B和B1C所成的角;
(2)直线D1B和B1C所成的角 D1
C1
A1
B1
O
E
D
C
F
A
B
空间角(线线角,线面角,二面角)
作(找)---证(指出)---算---结论
在正方体AC1中，求(1)直线A1B和B1C所成的角;
高考大题冲关(四)
• [例1] (2013年高考新课标全国卷Ⅱ)如
图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是 AB，BB1的中点．
(1)证明：BC1∥平面 A1CD； (2)设 AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2 2，求三棱锥 C－A1DE 的体积．
题型二 立体几何中的折叠问题
[例 3] (2013 年高考广东卷)如图(1)，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 边上的 点，AD＝AE，F 是 BC 的中点，AF 与 DE 交于点 G， 将△ABF 沿 AF 折起，得到如图(2)所示的三棱锥 A－ BCF，其中 BC＝ 2.
A
B
O
D
α
C
例1.如图，四面体ABCD的棱BD长为2，其余各
棱的长均是 2 , 求二面角A-BD-C的大小。
解 : 取BD的中点O, 连结AO, BO. （作）
AB AD, BC CD
AO BD,CO BD AOC是二面角A BD
(证) C的平面角（. 指出）
(2)直线D1B和B1C所成的角 D1
C1
A1
E
B1
D
C
A
B
作(找)---证---指出---算---结论
关键
在三角形中计算
(二)直线与平面所成的角：范围是[0，π/2]. 确定射影的方法(找斜足和垂足):
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
正三棱柱ABC A1B1C1,的底面边长为a, 侧棱 长为 2a,求直线AC1与平面AA1B1B所成的角.
C1
A1
D
B1
C
A
B
(2014 江苏无锡市模拟)如图所示，四棱锥 P－ABCD 的 底面是正方形，PD⊥底面 ABCD，AC 与 BD 交于 O，点 E 在 PB 上，连接 OE.
(1)求证：平面 AEC⊥平面 PDB； (2)当 PD＝ 2AB，且 E 为 PB 中点时， 求 AE 与平面 PDB 所成角的大小．