高中数学—线性变换与二阶矩阵

2. 怎样根据条件求上述变换的变换公式?
2. 反射变换
一般地, 我们把平面上的任意一点 P 对应到它关 于直线 l 的对称点 P 的线性变换叫做关于直线 l 的反 射.
如点 P(x, y) 关于 x 轴的反射 P(x, y), 其反射变
换公式为 x=x,
y P(x, y)
y= -y.
与之对应的二阶矩阵是
3 2
,
O A(1, 0) x
y=
|OA|sin30=sin30=
1 2
.
因此点 A(1,
0) 在旋转变换下的像是 A(
3 2
,
12).
例1. 在直角坐标系 xOy 内, 将每个点绕原点 O
按逆时针方向旋转 30 的变换称为旋转角是 30 的旋
来自百度文库转变换.
(1) 求点 A(1, 0) 在这个旋转变换作用下的像 A;
旋转 a 角得 P(x, y) 的旋转变换 (通常记为Ra) 的坐
标变换公式是
x y
= =
xcosa xsina
+
ysina ycosa
, .
对应的二阶矩阵是
cosa sina
-sina cosa
.
y P(x, y) P(x, y)
q
O
x
(二) 变换、矩阵的相等
问题2. 请写出在直角坐标系 xOy 内, 每个点 P
y
旋转变换为 P(x, y).
P(x, y) P(x, y)
∴x= |OP|cos(q +30)
q
于是=得|O这P个|(c旋os转q c变os换30的 -表s达inq式s为in30) O
x
y= =
=||OO xPPy23||=s=(xsin1i2-n2(3xqq12+x+cy-o,32s031230yy) .,+cosq
在两端分别加上一个括号得到一个正方形数表
3 2 1 2
-
1 2
3
2
这个正方形数表由旋转角 30 唯一确定.
在平面直角坐标系 xOy 内, 很多几何变换都具有
下列形式:
x y
= =
ax + by, cx + dy.
③
其中 a, b, c, d 均为常数, 我们把形如 ③ 的几 何变换叫做线性变换, ③ 式叫做这个线性变换的坐 标变换公式. P(x, y) 是 P(x, y) 在这个线性变换作 用下的像.
例1. 在直角坐标系 xOy 内, 将每个点绕原点 O
按逆时针方向旋转 30 的变换称为旋转角是 30 的旋
转变换.
(1) 求点 A(1, 0) 在这个旋转变换作用下的像 A;
(2) 试写出这个旋转变换的表达式.
解: (1) 设点 A 的坐标为 (x, y). y
∵|OA| = |OA|=1,
A
∴x= |OA|cos30=cos30=
例3. 设 A= 1 y
x-1 , 0
B=
p-1 2
求 p, q, x, y.
解: ∵A=B, ∴对应元素相等, 即
1= p-1,
x -1= -2,
y
=
2,
0 = q.
解得 p =12,
x = -1,
y
=
2,
q = 0.
-2 q
,
且 A=B,
第 1、2、5 题.
1. 在直角坐标系 xOy 内, 如果把原点 O 按逆时
一 线性变换与二阶矩阵 二 二阶矩阵与平面向量的乘法 三 线性变换的基本性质
(第一课时)
第一课时 第二课时
1. 在平面直角坐标系内, 将一已知点绕 原点旋转一定角度, 所得点的坐标是多少?
2. 旋转变换的坐标变换公式是怎样的? 3. 什么叫线性变换? 它的公式是怎样的? 线性变换的像指的是什么?
P(x, y) 绕着原点 O 按逆时针方向旋转 180 后得到点
P(x, y), 点 P 与点 P 是怎样的对称? 两点的坐标有
什么关系? 点 P 与点 P 关于原点 O 成
y P(x, y)
中心对称. x= -x, y= -y. ①
O
x
P (x, y)
① 式称为旋转角为180的旋转变换表达式. 我们 称 P 是 P 在这个旋转变换作用下的像.
ysin(-90), ycos(-90).
01 -1 0
x y
= =
y, - x.
两个变换公式, 二阶矩阵都相同.
一般地, 设 s, r 是同一个直角坐标平面内的两个
线性变换. 如果对平面内任意一点 P, 都有s(P)=r(P),
则称这两个线性变换相等, 简记为 s=r.
设 s,
r 所对应的二阶矩阵分别为 A=
(2) 试写出这个旋转变换的表达式.
解: (2) 设平面内任一点 P(x, y),
y
旋转变换为 P(x, y).
P(x, y) P(x, y)
∴x= |OP|cos(q +30)
q
= |OP|(cosq cos30 - sinq sin30) O
x
=
3 2
x
-
1 2
y,
y= |OP|sin(q +30)
=
|OP|(sinq
cos30+cosq
sin30)
=
1 2
x
+
3 2
y.
例1. 在直角坐标系 xOy 内, 将每个点绕原点 O
按逆时针方向旋转 30 的变换称为旋转角是 30 的旋
转变换.
(1) 求点 A(1, 0) 在这个旋转变换作用下的像 A;
(2) 试写出这个旋转变换的表达式.
解: (2) 设平面内任一点 P(x, y),
-1 0
0 1
.
O
x
练习(补充). 请写出在直角坐标系 xOy 内, 任一 点 P(x, y) 关于直线 x+y=0 的反射变换公式及对应的
2 = 2,
9 = - y,
x
=
3,
0 = z.
即
x y
= =
3, 2,
z = 0.
【课时小结】
1. 旋转变换
将点 P(x, y) 绕原点 O 按逆时针方向旋转
a 角得点 P(x, y), 这样的变换叫旋转变换,
记为 Ra , 其坐标变换公式是
x y
= =
xcosa xsina +
ysina ycosa
1 0
0 -1
.
O
x
P(x, y)
2. 反射变换
一般地, 我们把平面上的任意一点 P 对应到它关 于直线 l 的对称点 P 的线性变换叫做关于直线 l 的反 射.
如点 P(x, y) 关于 y 轴的反射 P(x, y), 其反射变 换公式为
x= -x, y= y.
y P(x, y)
P(x, y)
与之对应的二阶矩阵是
解: 此反射变换是绕原点O旋转180的旋转变换.
其变换公式为
x y
= =
x cos180 x sin180 +
ysin180, ycos180.
xy
= =
-
x, y.
对应的矩阵为
-1 0
0 -1
.
5. 设 X= 2 x
9, 0
Y=
2 3
-y z
,
且 X=Y,
求 x, y, z.
解: ∵X=Y,
则对应元素相等, 即
针方向旋转 a 角的旋转变换记为 Ra , 试给出下列旋
转变换的坐标变换公式以及对应的矩阵:
(1) R45;
(2) R90;
(3) R360.
解: xy
(1) 坐标变换公式为
= xcos45- ysin45, = xsin45+ ycos45.
x y
= =
2 2
x
-
2 2
x
+
2 2
y,
2 2
如: 点 P(x, y) 与点 P (x , y ) 关于 x 轴
对称, 两点存在一个什么样的变换关系? 怎样 用矩阵来表示这个关系? 如果这两点关于原点 成中心对称, 它们又是怎样的关系? 用矩阵的 工具又怎样表示它们?
(一) 几类特殊线性变换及其二阶矩阵
1. 旋转变换
问题 1. 如图, 在平面直角坐标系 xOy 内任一点
ysin90, ycos90.
xy
= =
- y, x.
对应的矩阵为
0 1
-1 0
.
1. 在直角坐标系 xOy 内, 如果把原点 O 按逆时
针方向旋转 a 角的旋转变换记为 Ra , 试给出下列旋
转变换的坐标变换公式以及对应的矩阵:
(1) R45;
(2) R90;
(3) R360.
解: (3) 坐标变换公式为
称为二阶矩阵, 数 a, b, c, d 称为矩阵的元素.
在矩阵中, 横的叫行, 竖的叫列. 矩阵通常用大写的英文字母表示.
【课时小结】
4. 零矩阵、单位矩阵、相等矩阵
元素为 0 的矩阵
0 0
0 0
称为零矩阵,
简记为 0.
矩阵
1 0
0 1
称为二阶单位矩阵,
记为 E2.
对于两个二阶矩阵 A 与 B, 如果它们的对 应元素都分别相等, 则称矩阵 A 与矩阵 B 相等, 记作 A=B.
4. 什么叫矩阵? 旋转变换对应的矩阵是 怎样的?
5. 二阶矩阵零矩阵和单位矩阵是怎样的? 6. 相等矩阵的充要条件是什么?
引言: 数学中经常通过引入新的工具, 建 立不同对象之间的联系来研究问题. 如, 引入 平面直角坐标系后, 通过方程来研究平面曲线; 建立空间坐标系后, 通过向量来研究立体图形 等. 本讲就是通过引入新的工具—矩阵, 用它 来研究一些几何变换.
绕原点 O 按逆时针旋转 270 和按顺时针旋转 90 的
坐标变换公式以及对应的二阶矩阵. 看看它们有什么
关系?
旋转角为 270 时,
坐标变换公式:
二阶矩阵:
x y
= =
x cos 270 x sin 270 +
ysin ycos
270, 270.
01 -1 0
x y
= =
y, - x.
(二) 变换、矩阵的相等
【课时小结】
5. 线性变换对应的矩阵
线性变换
x y
= =
ax + by, cx + dy.
对应的矩阵为二阶矩阵
ab c d.
旋转变换
x y
= =
xcosa xsina +
ysina ycosa
, .
对应的矩阵为
cosa sina
-sina cosa
.
(第二课时)
第一课时 第二课时
1. 反射变换、伸缩变换、投影变换、切 变变换分别是怎样的变换?
线性变换 ③ 可由正方形数表 a b 唯一确定, cd
反之,
a c
b d
也可由线性变换 ③ 唯一确定.
像这样, 由 4 个数 a, b, c, d 排成的正方形数表
a c
b d
称为二阶矩阵,
数 a, b, c, d 称为矩阵的元素.
在二阶矩阵中, 横的叫行, 从上到下依次称为矩阵的
第一行、第二行; 竖的叫列, 从左到右依次称为矩阵
, .
【课时小结】
2. 线性变换
在平面直角坐标系中, 用 x, y 的线性函数
表示的几何变换叫线性变换.
x y
= =
ax + by, cx + dy.
叫线性变换公式.
P(x, y) 是 P(x, y) 在这个线性变换作用下 的像.
【课时小结】
3. 矩阵 按一定顺序排列的正方形数表叫矩阵. 由 4 个数 a, b, c, d 排成的正方形数表 ab cd
问题2. 请写出在直角坐标系 xOy 内, 每个点 P
绕原点 O 按逆时针旋转 270 和按顺时针旋转 90 的
坐标变换公式以及对应的二阶矩阵. 看看它们有什么
关系?
旋转角为 270 时,
坐标变换公式:
二阶矩阵:
x y
= =
y, - x.
旋转角为 -90 时,
01 -1 0
xy
= =
xcos(-90)xsin(-90)+
a1 c1
b1 d1
,
B= a2 b2 . 如果 s =r, 那么它们对应的系数分别相
c2 d2 等, 即 a1=a2, b1=b2, c1=c2, d1=d2. 这时我们也称二阶
矩阵 A 与二阶矩阵 B 相等, 即
对于两个二阶矩阵 A 与 B, 如果它们的对应元素 都分别相等, 则称矩阵 A 与矩阵 B 相等, 记作 A=B.
的第一列、第二列. 矩阵通常用大写的英文字母 A,
B, C, … 表示.
元素为 0 的二阶矩阵
0 0
0 0
称为零矩阵,
简记为 0.
矩阵 1 0
0 1
称为二阶单位矩阵,
记为 E2.
像例 1(2) 样, 设 |OP| = r, 以 x 轴正半轴为始边,
OP 为终边的角为 q, 点 P(x, y) 绕点 O 按逆时针方向
sin30)
=
1 2
x
+
3 2
y.
在例 1(2) 中, P 是坐标平面内的任意点, P 是 P
的 30 角的旋转变换. 即坐标平面内 30 角的旋转变
换的表达式为
x y
= =
3
2
1 2
x
x +
-
1 2
3
2
y, y.
变换关系由 x, y 的系数确定, 即我们所要研究的
只是系数. 我们把这些系数按原来的顺序写出来, 并
y.
对应的矩阵为
2 2
-
2 2
.
22
22
1. 在直角坐标系 xOy 内, 如果把原点 O 按逆时
针方向旋转 a 角的旋转变换记为 Ra , 试给出下列旋
转变换的坐标变换公式以及对应的矩阵:
(1) R45;
(2) R90;
(3) R360.
解: (2) 坐标变换公式为
xy
= =
x cos 90 x sin 90 +
x y
= =
x cos 360 x sin 360 +
y sin 360, ycos360.
xy
= =
x, y.
对应的矩阵为
1 0
0 1
.
2. 如果一个几何变换把直角坐标系 xOy 内任意 一点变成这一点关于坐标原点 O 的对称点, 那么称这
个几何变换为关于坐标原点 O 的反射变换, 试求出这 个反射变换的变换公式及其矩阵.