第七章 统计热力学习题及解答

第七章 习题及解答

1. 设有一个体系，由三个定位的一维简谐振子所组成，体系能量为νh 2

11，这三个振子在三个固定的位置上振动，

试求体系全部的微观状态数。

解 对振动 ν

υεν

h )2

1

(+=，在总能量 νεν

h 2

11=

时，三个一维简谐振子可能有以下四种分布方式：

（1）

N 0=2, N 4=1, ν

εν

h 2

1

20⨯=, νεν

h 2

94

=, 3!

2!1!

31==t （2）

N 0=1, N 2=2, νεν

h 2

1

10

⨯=, ν

εν

h 2

5

22⨯=, 3!

2!1!

32==

t （3）

N 0=1, N 1=1, N 3=1, ν

εν

h 2

1

0=, νεν

h 2

31

=, νεν

h 2

7

3=

, 6!1!1!1!33==t （4）

N 1=2, N 2=1, νεν

h 2

3

21

⨯=, νεν

h 2

52=, 3!

2!1!

34==t Ω= t 1+t 2+t 3+t 4=3+3+6+3=15

2. 当热力学体系的熵函数S 增加0.418J ·K -1时，体系的微观状态数增加多少？用1/∆ΩΩ表示。

解 S 1=kln Ω1， S 2=kln Ω2, S 2-S 1=kln(Ω2/Ω1)

ln(Ω2/Ω1)=(S 2-S 1)/k

=(0.418J·K -1)/(1.38×10-23J ·K -1)=3.03×1022

1/Ω∆Ω=(Ω2

-Ω1

)/Ω1

=(Ω2

/Ω1

)-1≈Ω2

/Ω1

= exp(3.03×1022)

3. 在海平面上大气的组成用体积百分数可表示为：N 2(g)为0.78，O 2(g)为0.21，其他气体为0.01。设大气中各种气体都符合Bolzenmann 分布，假设大气柱在整个高度内的平均温度为220K 。试求：这三类气体分别在海拔10km ，60km 和500km 处的分压。已知重力加速度为9.8m·s -2。 解 所用公式为p=p 0e -Mgh/RT ，其中M(空气) =29g·mol -1， M(N 2)=28g·mol -1， M(O 2)=32g·mol -1， M(其它)=[M(空气)-0.78M(N 2)-0.21M(O 2)]/0.01

=44 g·mol -1，

海拔10km 处

233N 0028109.810100.78exp 0.17408.314220p p p -⎛⎫⨯⨯⨯⨯=-= ⎪⨯⎝⎭

2

33O 0032109.810100.21exp 0.03788.314220p p p -⎛⎫

⨯⨯⨯⨯=-= ⎪⨯⎝⎭

330044109.810100.01exp 0.00098.314220p p p -⎛⎫

⨯⨯⨯⨯=-= ⎪⨯⎝⎭

其它

22N O 00.2127p p p p p =++=总其它

2N x =0.8181，2O x =0.1777，x =其它0.0042；

海拔60km 处

2335

N 0028109.860100.78exp 9.61108.314220p p p --⎛⎫⨯⨯⨯⨯=-=⨯ ⎪

⨯⎝⎭ 2

33-6

O 0032109.860100.21exp 7.15108.314220p p p -⎛⎫⨯⨯⨯⨯=-=⨯ ⎪

⨯⎝⎭ 33-9

0044109.860100.01exp 7.19108.314220p p p -⎛⎫⨯⨯⨯⨯=-=⨯ ⎪

⨯⎝⎭

其它

224N O 01.032610p p p p p -=++=⨯总其它

2N x =0.9307，2O x =0.0692，x =其它0.0001；

在海拔500km 处

233N 02.066710p p -=⨯，2N 0.999994x =

238

O 01.235410

p p -=⨯，2

O 0.000006x =

5406.429910p p -=⨯其它，x 其它的数值太小，可忽略不计。

6. 设有一极大数目的三维平动子组成的粒子体系，运动与边长为a 的立方容器内，体系的体积、粒子质量和温度有

如下关系：

2

2

8ma h =0.10kT ，求处于能级22

149ma h =

ε和2

2

2827ma h =

ε上粒子数目的比值N 1/N 2。

解 由玻尔兹曼分布得

kT

kT

e g e g N N /2/12121εε--=

， kT ma

h 8.18182

2

1==ε

g 1=3 (182

22

=++z

y x

n n n ) ⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛114141411

kT ma

h 7.28272

2

2==ε

g 2=4 (27222

=++z

y x

n n n ) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛5

11151115

333

84.14

3439

.07.28.121===--e e e N N 7.将N 2气在电弧中加热，从光谱中观察到处于第一激发振动态的相对分子数

26.00

1

===υυN N ，式中υ为振动量子数，0=υN 为基态占有的分子数，1=υN 为第一激发态占有的分子数，已知N 2气的振动频率⨯=99.6ν11310-s 。

(1) 计算气体温度。

(2)

计算振动能量在总能量(包括平动、转动和振动)中所占的百分数。

解 （1）根据波尔兹曼分布