专题三 柯西不等式的应用
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专题三 不等式的证明 （柯西不等式）
1．下列不等式的证明明过程：
①若a ，b ∈R ，则 ②若x ，y ∈R ，则
；
③若x ∈R ，则
；
④若a ，b ∈R ，ab ＜0，则．
其中正确的序号是 ． 2．设a ，b ∈R +
，a+b=1，则+的最小值为（ ）
A.2+
B.2
C.3
D.
3．已知a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则与
的大小关系为 ．
4．已知a ，b ，c ∈R ，且a+b+c=0，abc ＞0，则++的值（ ） A.小于0 B.大于0 C.可能是0 D.正负不能确定 5．若不等式（﹣1）n
a ＜2+
对任意n ∈N *
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A.[﹣2，）
B.（﹣2，）
C.[﹣3，）
D.（﹣3，） 6．设a ，b ，c ∈（﹣∞，0），则对于a+，b+，c+，下列正确的是
①都不大于﹣2 ②都不小于﹣2 ③至少有一个不小于﹣2 ④至少有一个不大于﹣2．
7．定义在R 上的函数f （x ）=mx 2
+2x+n 的值域是[0，+∞），又对满足前面要求的任意实数m ，n 都有不等式
恒成立，则实数a 的最大值为（ ）
A.2013
B.1
C.
D.
8．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，A=，B=，则（ ）
A.A ＞B
B.A ＜B
C.A≥B
D.A≤B
9．设正实数x y z 、、满足0432
2
=-+-z y xy x ，则当
取得最小值时，2x y z +-的最大值为（ ）
10．设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x , ）
A ．0
B ．1
C
D ．3
11．（2012•湖北）设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2
+b 2
+c 2
=10，x 2
+y 2
+z 2
=40，ax+by+cz=20，则=（ ）
A. B. C. D.
12．用柯西不等式求函数y=的最大值为（ ）
A. B.3 C.4 D.5
13．若23529x y z ++=，则函数 ）
14．对任意正数x ，y 不等式（k ﹣）x+ky≥
恒成立，则实数k 的最小值是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
15．已知x 2+4y 2+kz 2
=36，且x+y+z 的最大值为7，则正数k 等于（ ） A.1 B.4 C.8 D.9
16．设x 、y 、z 是正数，且x 2+4y 2+9z 2
=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z 等于（ ） A. B. C. D.
17．已知x ，y ，z 均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（ ） A.2 B.2 C.2 D. 3
18．实数a i （i=1，2，3，4，5，6）满足（a 2﹣a 1）2+（a 3﹣a 2）2+（a 4﹣a 3）2+（a 5﹣a 4）2+（a 6﹣a 5）2
=1则（a 5+a 6）﹣（a 1+a 4）的最大值为（ ）
A.3
B.2
C.
D.1
19．设a ，b ，c ，x ，y ，z 均为正数，且a 2
＋b 2
＋c 2
＝10，x 2
＋y 2
＋z 2
＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则
a b c
x y z
＋＋＋＋等于( )．
A.14
B.13
C. 12
D.34
参考答案
1．③、④．
【解析】
试题分析：依次分析4个命题：a＜0，b＞0时，＜0，故①不正确．当x=，y=时，检验②不正确，利用基本不等式可得③④正确，综合可得答案．
解：当a，b∈R且 a＜0，b＞0时，＜0，故①不正确．
当x=，y=时，lgx 和lgy 都等于﹣lg2，小于0，故②不正确．
∵||=|x|+||≥2=4，故③正确．
若a，b∈R，ab＜0，则，故④正确．
故答案为③、④．
点评：本题考查不等式性质的应用，基本不等式的应用，注意考虑特殊情况和基本不等式的使用条件，属于中档题．
2．D
【解析】
试题分析：利用二维形式的柯西不等式求得的最小值为10，可得
+的最小值．
解：∵a，b∈R+，a+b=1，∴a2+b2=1﹣2ab，
又∵=a2+b2+5+2≥6﹣2ab+2
=6﹣2ab+2（ab+2）=10，
∴+≥，当且仅当=时，等号成立，
故+的最小值为，
故选：D．
点评：本题主要考查利用二维形式的柯西不等式求函数的最小值，属于基础题．
3．＜．
【解析】
试题分析：将两个式子作差、变形、依据条件及不等式的性质判断符号，从而得到结论．解：﹣==．
因为 a＞b＞0，c＜d＜0，所以，a﹣c＞0，b﹣d＞0，b﹣a＜0，
又﹣c＞﹣d＞0，则有﹣ac＞﹣bd，即 ac＜bd，则 bd﹣ac＞0，
所以（b+a）（b﹣a）﹣（bd﹣ac）＜0，