浙教版七下 完全平方公式的综合应用(拔高)

乘法公式的综合应用

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一、知识点睛

1. 知二求二：

2()a b +，2()a b -，22a b +，ab 有如下关系：

因此，已知其中两个量的值，可根据他们之间的关系求解其余两个量的值． 2. 公式逆用：

（1）观察是否符合公式的结构．

（2）两边已知，中间未知，由两边定中间；两边未知，中间已知，由中间凑两边． 3. 最值问题：

若关于x 的二次多项式可以写成2()x m k ++的形式，则由2()0x m +≥，可知2()x m k k ++≥，因此此多项式有最小值____；

若关于x 的二次多项式可以写成2()x m k -++的形式，则由2()0x m -+≤，可知2()x m k k -++≤，因此此多项式有最大值____．

二、精讲精练

1. 若2()3a b -=，2()19a b +=，则ab =______，22a b +=______．

2. 若24x y +=，1xy =，则224x y +=______，2(2)x y -=______．

3. 若3a b +=，2230a b ab +=-，则22a b +的值是__________．

4. 已知3a b +=，1ab =，求22a b +，44a b +的值．

a 2+

b 2(a +b )2

+2ab

(a -b )

5. 已知常数a ，b 满足2()1a b +=，2()25a b -=，求22a b ab ++的值．

6. 若11a a -

=，则221a a +=________，441

a a

+=________．

7. 已知2410x x ++=，求221x x +

，4

4

1x x +的值．

8. 若2249x axy y -+是完全平方式，则a =________． 9. 若22464x kxy y -+是完全平方式，则k =_______．

10. 多项式2161x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的完全平方式，则可以加上的单项式共有

________个，分别是______________________________． 11. 若224250a a b b -+-+=，则a =______，b =________．

12. 若2264130a b a b ++-+=，则22a b +=_____，

a b

a b

+-=______．

13. 设225P a b =+，224Q ab a a =--，若P =Q ，则a =______，b =______．

14. 若把代数式222x x +-化为2()x m k ++的形式（其中m ，k 为常数），则m k +的值为__________． 15. 求2247a b ab -+的最小值．

16. 当x 为何值时，2615x x -+-有最值，等于多少？

17. 已知△ABC 的三边a,b,c 满足b+c=8,52122+-=a a bc ,求△ABC 的三边长。

18. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．如：

8=32﹣12 ， 16=52﹣32 ，

24=72﹣52 ， …

因此8，16，24这三个数都是奇特数． （1）56这个数是奇特数吗？为什么？

（2）设两个连续奇数的2n ﹣1和2n+1（其中n 取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？

19. 图①是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀把它均分成四个小长方形，然后按图

②的形状拼成一个正方形．

（1）图②中的阴影部分面积为________；

（2）观察图b ，请你写出三个代数式(m ＋n )2，(m －n )2，mn 之间的等量关系是________________； （3）若x+y =﹣6，xy =2.75，利用（2）提供的等量关系计算x ﹣y 的值．

乘法公式的综合应用测试题

1. 不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x ﹣4y+7的值（ ）

A. 总不小于2

B. 总不小于7

C. 可为任何实数

D. 可能为负数

2. 在2014，2015，2016，2017这4个数中，不能表示为两个整数的平方差的数是 。

3. 已知(2017-a )(2015-a )=2016，那么22)2015()2017(a a -+-= 。

4. 若2(2)5a b -=，1ab =，则224a b +=____，2(2)a b +=____．

5. （1）若229x mxy y ++是完全平方式，则m =________．

（2）若22916x kxy y -+是完全平方式，则k =_______．

6. 多项式244x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有____个，

分别是________________________________________．

7. 如图是四张形状、大小完全相同的长方形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表

示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式________________.

第5题 第6题

8. 下表为杨辉三角系数表的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如：

(a+b)n (n 为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a+b)4展开式中所缺的系数.

(a+b)=a+b

(a+b)2=a 2+2ab+b 2

(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3

(a+b)4=a 4+ a 3b+ a 2b 2+ ab 3+b 4.

9. 已知3x y +=，2xy =，求22x y +，44x y +的值．

10. 已知12x x -

=，求221x x +，441

x x

+的值．

11. 已知2310a a -+=，求221a a +

，4

4

1a a +的值.