如何解三元一次方程组

如何解三元一次方程组

金华外国语学校804班阙远

《九章算术》是中国古代数学专著，《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。《九章算术》分为九章，并因此得名，而其中第八章为“方程”，里面就有这么一道题目（用现代汉语表述）：

上等稻谷三束，中等稻谷一束，下等稻谷两束，共有稻谷35斗，上等稻谷两束，中等稻谷三束，下等稻谷两束，共有稻谷34斗；上等稻谷四束，中、下等稻谷各-束，共有谷42斗，问上、中、下三等稻谷每束各有多少斗？

这道题可以用三元一次方程解。

如果方程中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程叫做三元一次方程。而含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是一次，并且一共有三个方程（有时会有特例，但是所有的三元一次方程组都有3个未知数），叫做三元一次方程组。他们主要的解法就是加减消元法和代入消元法，通常采用加减消元法，若方程难解就用代入消元法，因题而异。

所以可以这么做：

解：设上、中、下三等稻谷每束各有x斗、y斗、z斗，则

①

②

③

在《九章算术》中，这个方程组用算筹布成，按《九章算术》的解法，“以右行上禾遍乘中行而以直除，又乘其次，亦以直除。”这种解法就相当于现在方程组的加减消元法。下面我们用加减消元法来解。

①—②，得x—2y=1 ④

②—③×2，得 -6x+y=-50 ⑤

这样，消去未知数Z，就把“三元”变成了“二元”。解由④⑤两式组成的二元一次方程组，就可以求出X=9，Y=4。把X=9、Y=4代入③，解得Z=2.

∴该三元一次方程组的解为

答：上、中、下三等稻谷每束各有9斗、4斗、2斗．

以上就是加减消元法，当然也会再一些特别的题目中使用代入消元法。总之，随机应变。

也许现在，我们对解三元一次方程还有些陌生。但是，在一定的练习后，相信我们一定可以熟练地解三元一次方程组的。