正态总体参数估计
正态分布的基本特性和参数估计
正态分布的基本特性和参数估计正态分布，也称为高斯分布，是统计学中最为重要的分布之一。
它具有许多独特的特性和应用，被广泛应用于各个领域的数据分析和建模中。
本文将介绍正态分布的基本特性，并探讨参数估计的方法。
一、正态分布的基本特性1. 对称性：正态分布是一种对称分布，其概率密度函数在均值处取得峰值，并向两侧逐渐减小。
这种对称性使得正态分布在实际应用中具有很大的优势，能够较好地描述许多自然现象和随机变量的分布。
2. 峰度和偏度：正态分布的峰度和偏度分别为3和0。
峰度反映了分布的尖锐程度，而偏度则反映了分布的对称性。
正态分布的峰度为3，表示其相对于均匀分布而言具有更为尖锐的峰值。
而偏度为0，表示其对称性较好，左右两侧的分布相似。
3. 68-95-99.7法则：正态分布具有一个重要的特性，即约68%的数据落在均值的一个标准差范围内，约95%的数据落在两个标准差范围内，约99.7%的数据落在三个标准差范围内。
这个法则在实际应用中非常有用，可以帮助我们对数据进行初步的分析和判断。
二、参数估计的方法在实际应用中，我们常常需要根据给定的样本数据来估计正态分布的参数，包括均值和标准差。
以下介绍两种常用的参数估计方法。
1. 极大似然估计：极大似然估计是一种常用的参数估计方法，其基本思想是找到最有可能使得观测到的样本数据出现的参数值。
对于正态分布，我们可以通过最大化似然函数来估计均值和标准差。
具体的计算方法可以使用数值优化算法，如梯度下降法等。
2. 方法 of moments：方法 of moments（矩估计）是另一种常用的参数估计方法，其基本思想是通过样本矩与理论矩的对应关系来估计参数。
对于正态分布，我们可以通过样本均值和样本方差来估计均值和标准差。
具体的计算方法比较简单，只需要求解一组方程即可。
三、正态分布的应用正态分布在实际应用中具有广泛的应用价值。
以下列举几个常见的应用场景。
1. 统计推断：正态分布是统计推断中的重要工具，它可以用来进行假设检验、置信区间估计等。
7.8 两个正态总体参数的区间估计
2 1
2 2
)
1
nm
因此，均值差1−2的置信水平1−α的置信区间为
(( X Y ) z 2
2 1
n
2 2
m
,(X
Y
)
z
2
2 1
2 2
)
nm
两个正态总体参数的区间估计
2.均值差1−2的置信区间 （方差12 =22 = 2，但 2 未知情形）
易知 ( X Y ) (1 2 ) ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1)
枢轴量 T X Y (1 2 ) ~ t(n m 2)
S 1 n 1 m
根据 t分布的性质，取分位数tα/2 (n+m−2) 有
P{|
X Y (1 2 )
S 1 n 1 m
|
t
2(n
m
2)}
1
因此，均值差1−2的置信水平1−α置信区间为
2
(2n)=
2 0.05
(18)=28.869,12
2 (2n)
2 0.95
(18)
9.39
计算得：2nX 1062 1/λ 的置信水平为0.90的置信区间为 ( 1062 , 1062) (36.787,113.099)
28.869 9.39
两个正态总体参数的区间估计
2
,
2 2
m
)
由正态分布的性质可得
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
正态总体参数区间估计的MATLAB实现
试求该课程平均成绩 的置信区间 ．置信度 １ ａ： ． ） （ 一 ０９ ５ 解 在 ＭＡ Ｌ Ｂ的编 辑窗 口建立 如下 的 Ｍ一文件 （ ＴＡ 并保 存 为
ａ ｈ ：００ ； ｌ ａ ．５ ｐ ｓｍ ：１．； ｉ ａ ３５ ｇ
正 态 总体 参 数 区间估 计 的 ＭＡ Ｌ Ｂ实现 ＴＡ
陈少云
（ 四川建筑职业技术学院 计算机 系， 四川 德阳 ６８０ ） １ ０ ０
摘 要 ： 本文介绍了Ｍ ＴＡ 软件的 ｎ ｍ ｔ 函数在求解正态总体参数的区间估计中的长处和短处， ＡＬ Ｂ ｏ ｆ） ｒｉ （ 结合实例
编写 了 Ｍ １ Ａ 程序求解标准差 ｄ已知时均 值 的置信 区间 和均 值 已知时 标准差 口的 置信 区间 ， ＡＬ Ｂ ｒ 弥补 了
分布的参数 和 的估计值 ， ｕｉ ｉｎｃ分别为它们的置信区间， ｍ ｃ，ｇ ａ ｓｒ ｉ 置信度为（ 一 ｌ ａ ×１ ％， ｐａ １ ａ ｈ） ０ ｐ ０ ａ ｈ 为 ｌ
显著性 水平 ． 例 １ 商 店用 机器包 装某种 商 品 ， 每包重量 服从 正态 分 布 ， 为检查 包 装 的质 量 ， 机器 包装 的商Leabharlann 品 对 抽测 ８ ， 包 其重量 为
ｕ ｎｎｉ （ 一 ｌ ａ２０ １； ％计算置信度为 ｌ ａ ｈ／ ＝ ｏｎ ｖ１ ａ ｈ／ ，，） ｎ ｐ — ｌ ａ２的正态分布临界值 ｐ ｍ ｃ＝［ ｕ ｕ ｓｒ ｓｍ ＇ ｎ ， ｕ ｕ ｓｒ ｓ ｍ ＇ ｎ ］ ｕｉ ｍ — ＊ ｑｔ ｉ ａ ／ ）ｍ ＋ ＊ ｑ （ ｇ ａ ／ ） （ｇ Ｃ ２ ｔｉ Ｃ ２ 运行 后 显示结 果为
ｎｎｔ（函数在该方面的不足 ． ｏ ｎｔ） ｌ
正态总体参数的区间估计实验结论
正态总体参数的区间估计实验结论正态总体参数的区间估计是统计学中一种常用的方法，可以帮助我们估计未知正态总体参数的取值范围。
通过构建置信区间，我们可以在一定的置信水平下对总体参数的取值范围进行估计。
以下是一个关于正态总体参数的区间估计实验结论。
在本实验中，我们以某个地区的成年人男性身高为研究对象，采集了一组样本数据。
通过对样本数据的分析和计算，得出了平均身高和标准差的估计值，并以此构建了置信区间。
首先，我们计算出了样本数据的均值为175cm，并且样本的标准差为5cm。
接下来，我们选择了一个置信水平为95%的置信区间进行计算。
根据正态分布的性质，我们可以使用标准正态分布表来确定置信区间的边界。
通过查表，我们找到了置信水平为95%对应的临界值，记为z。
在本实验中，z的取值为1.96。
然后，我们可以根据样本的均值、标准差和样本容量来计算置信区间的上限和下限。
置信区间的上限计算公式为：上限 = 均值 + z * (标准差/ √样本容量)；置信区间的下限计算公式为：下限 = 均值 - z * (标准差/ √样本容量)。
根据实验数据的计算，最终得出了置信区间为(172.04cm,177.96cm)。
这意味着在95%的置信水平下，我们可以合理地推断该地区成年男性的平均身高位于该区间内。
这个实验结论具有以下几个指导意义。
首先，通过正态总体参数的区间估计，我们可以更准确地估计未知总体参数的取值范围，有助于我们了解总体的特征。
其次，通过选择合适的置信水平，我们可以控制估计结果的可靠性和精确度。
在本实验中，我们选择了95%的置信水平，意味着我们有95%的把握让估计结果覆盖真实总体参数。
最后，置信区间的上下限提供了关于总体参数范围的重要信息，可以用来支持决策和制定策略。
总之，正态总体参数的区间估计是一种重要的统计方法，可以为我们提供对未知总体参数取值范围的估计。
通过该方法，我们可以在一定的置信水平下对总体参数进行准确的估计，从而为实际问题的分析和决策提供科学依据。
第五节正态总体参数的区间估计汇总
解: Q S 2 是 2 的无偏估计，且统计量：
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1)
是不依赖于任何未知参数的。
概率统计
故对于给定的置信水平，
按照 2分布的上 分
位点的定义有：
P
{|
(n
1)
2
s2
|
2
2(n
1)}
1
从中解得：
P{
求: 的 95% 的置信区间.
X
解: 由已知： Q 1 95% 5%,
n
~ N (0,1)
查正态分布表得： z z0.05 z0.025
((z0.025 ) 1 0.025 0.975)
2
2
u(1 0.025) 1.96
得：
0.029
n
z
2
1.96 0.014 16
概率统计
例4. 求 例3 中的 (1), (2)两种情况下， 2 的置信度为
0.9 的置信区间.
(1) 用金球测定观察值为: 6. 683, 6. 681, 6. 676,
取统计量：
解: 在(1)中
6. 678, 6. 679, 6. 672
(n 1) s2 (6从而 的 95%的置信区间为：
(2.705 0.014, 2.705 0.014) (2.691, 2.719)
即用 X 2.705 来估计 值的可靠程度达到 95%
的区间范围是 (2.691, 2.719)
(2). 方差 2 未知的情形
Q 2 未知，但考虑到样本方差是 2的无偏估计，
2
1
2(n
1)
(n 1)S 2
正态总体参数的区间估计实验结论
正态总体参数的区间估计实验结论在统计学中，正态分布是一种非常重要的分布，许多自然现象和实验数据都可以用正态分布来描述。
而在实际应用中，我们常常需要估计正态总体的参数，比如均值和标准差。
在这篇文章中，我将介绍如何利用区间估计的方法来估计正态总体的参数，并给出一个实验结论。
让我们来回顾一下区间估计的基本原理。
区间估计是通过样本数据来估计总体参数的一种方法，其核心思想是利用样本数据给出一个参数的估计区间，该区间包含真实参数的概率较高。
在正态总体参数的区间估计中，我们通常使用样本均值和样本标准差来进行估计。
接下来，我将介绍一个实际的例子来说明正态总体参数的区间估计方法。
假设我们有一批产品的重量数据，我们想要估计这批产品的平均重量。
我们随机抽取了一部分产品进行称重，得到了样本均值和样本标准差。
根据中心极限定理，我们知道样本均值的分布是正态分布的，可以利用这一性质来构建参数的置信区间。
假设我们得到的样本均值为100，样本标准差为5，样本量为30。
我们可以利用正态分布的性质来构建样本均值的置信区间，假设置信水平为95%，那么我们可以计算出置信区间为(98, 102)。
这意味着在95%的置信水平下，真实的总体平均重量落在98到102之间。
通过这个简单的例子，我们可以看到区间估计的重要性和实际应用。
在实际问题中，我们往往无法得知总体参数的真实值，只能通过样本数据来进行估计。
区间估计可以帮助我们对参数的估计进行更准确的评估，同时也可以给出参数估计的不确定性范围。
总的来说，正态总体参数的区间估计是统计学中一种常用的方法，通过构建置信区间来估计总体参数的真实值。
在实际应用中，我们可以根据样本数据来进行参数的估计，同时也可以评估参数估计的置信水平。
通过区间估计的方法，我们可以更准确地了解总体参数的情况，为决策提供更可靠的依据。
希望本文能帮助读者更好地理解正态总体参数的区间估计方法，并在实际问题中应用到实践中。
正态分布估计公式
正态分布估计公式正态分布估计公式是统计分析中一种最为基础的估计方法，用于针对样本数据推测总体的分布情况。
又称为最大似然估计法，适用于样本容量较大、近似正态分布的数据。
本文将详细介绍正态分布估计公式及其在实际应用中的优缺点。
一、正态分布正态分布是概率论中的一种常见分布形式，也被称为高斯分布。
它的密度函数具有如下形式：$$ \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) =\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$其中，$\mu$ 表示均值，$\sigma^2$ 表示方差。
正态分布是唯一一个在大量应用中被广泛应用的分布，它具有中心极限定理、最大似然估计等很多重要的数学性质。
二、最大似然估计最大似然估计的原理是在已知样本数据的情况下，估计它们是由什么概率分布所产生。
最大似然的目标是，从所有可能的分布中，选出一个具有最大概率的分布，使得生成当前样本的风险最小化。
在正态分布中，我们要找到一个均值 $\mu$ 和标准差$\sigma$，最大化样本数据的似然函数：$$ L = \prod_{i=1}^n \mathcal{N}(x_i |\mu,\sigma^2 ) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x_i-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$由于连乘十分复杂，我们可以对 $\log{L}$ 取极大值，使得求解最大似然估计可以转化为极大化对数似然。
$$ \log L = -\frac{n}{2}\log(2\pi) - n \log\sigma - \sum_{i=1}^n \frac{(x_i -\mu)^2}{2\sigma^2} $$此时，对 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 分别求导，令其等于$0$，就可以求解出最大似然估计值。
双正态总体参数的区间估计
双正态总体参数的区间估计双正态总体参数的区间估计是统计学中的一种方法，用于估计由两个正态分布组成的总体的参数。
这种方法适用于当我们需要估计两个总体的平均值或比例时，且这两个总体可以被假定为来自两个不同的正态分布。
下面我们将详细介绍双正态总体参数的区间估计的原理和步骤。
双正态总体参数的区间估计可以分为两种情况：一种是当我们需要估计两个总体的平均值，另一种是当我们需要估计两个总体的比例。
首先，假设我们需要估计两个总体的平均值。
我们可以用样本平均值来估计总体平均值，并通过计算标准误差来构建置信区间。
如果我们假设两个总体的方差相等，则可以使用统计学中的配对t检验方法来进行推断。
具体步骤如下：1.收集样本数据。
从每个总体中随机抽取一定数量的样本，并记录下每个样本的观测值。
2.计算样本平均值。
对于每个总体，计算对应样本的平均值。
3.计算差值。
对于每个配对样本，计算它们的差值。
如果我们关注的是总体平均值的差异，则用两个总体对应样本的平均值之差来作为差值。
4.计算标准差。
计算差值样本的标准差，用来估计差值的标准误差。
5.确定置信水平。
选择一个置信水平，通常为95%。
这意味着我们希望有95%的置信度认为估计的区间包含真实的总体差异。
6.计算临界值。
确定配对t检验的自由度，并使用自由度和置信水平来查找相应的t临界值。
7.构建置信区间。
使用差值平均值±t临界值*标准误差来构建置信区间，这个区间将包含真实的总体差异。
另一种情况是当我们需要估计两个总体的比例。
在这种情况下，我们可以使用两个样本中的比例差异来估计总体的比例差异。
具体步骤如下：1.收集样本数据。
从每个总体中随机抽取一定数量的样本，并记录下每个样本中的成功次数和总次数。
2.计算样本比例。
对于每个总体，计算对应样本的比例，即成功次数除以总次数。
3.计算差异。
对于每个配对样本，计算它们的比例之差。
4.计算标准误差。
计算比例差异样本的标准误差，用来估计比例差异的标准误差。
2.2正态总体均值的区间估计
一、复习
（一）点估计量的常用评价准则： 无偏性：
估计量的数学期望与总体待估参数的 真值相等： E(ˆ)
有效性:
在两个无偏估计量中方差较小的估计量 较为有效。
则称区间 [ˆ1,ˆ2 ]是 的置信水平（置信度、
置信概率）为 1 的置信区间. ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
（二）、正态总体均值u的区间估计 p(z)
(1) 2 02已知
①选 的点估计为X
②取 Z X ~N(0, 1)
Z
1
n
2
Z
1
若我们能给出一个区间，在此区间 内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了.
也就是说，我们希望确定一个区间，使我
们能以比较高的可靠程度相信它包含真参
数值.
湖中鱼数的真值
[ ]
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作1 ，这里 是一个
（三）置信区间的求法
1.寻找未知参数θ的一个良好估计T. 2.寻找一个与待估参数和估计量有关的随 机变量 Z，要求其分布为已知.
3. 若置信水平是 1 ,
求出使P(a Z b) 1成立的a，b；
4. 把P(a Z b) 1变形为P(1 2) 1
n
Z1 , X 2
n
Z1 ] 2
(2)u的置信度为1 - 的置信区间为[ X
正态总体参数的区间估计
总体均值μ的区间估计是一种基于抽样 调查的方法，通过样本均值和标准差 来估计总体均值的范围，常用t分布或z 分布计算置信区间。
详细描述
在进行总体均值μ的区间估计时，首先 需要收集样本数据，计算样本均值和 标准差。然后，根据样本数据的大小 和置信水平，选择适当的分布（如t分 布或z分布）来计算置信区间。最后， 根据置信区间的大小和分布特性，可 以得出总体均值μ的可能取值范围。
正态分布的性质
集中性
正态分布的曲线关于均值μ对称。
均匀变动性
随着x的增大，f(x)逐渐减小，但速 度逐渐减慢。
随机变动性
在μ两侧对称的位置上，离μ越远， f(x)越小。
正态分布在生活中的应用
金融
正态分布在金融领域的应用十分 广泛，如股票价格、收益率等金 融变量的分布通常被假定为正态 分布。
生物医学
THANKS
感谢观看
实例二：总体方差的区间估计
总结词
在正态分布下，总体方差的区间估计可以通过样本方 差和样本大小来计算。
详细描述
当总体服从正态分布时，根据中心极限定理，样本方差 近似服从卡方分布。因此，总体方差σ²的置信区间可以 通过以下公式计算：$[s^2 cdot frac{n - 1}{n} cdot F^{-1}(1 - frac{alpha}{2}), s^2 cdot frac{n - 1}{n} cdot F^{-1}(1 - frac{alpha}{2})]$，其中$s^2$是样本 方差，$n$是样本容量，$F^{-1}$是自由度为1的卡方 分布的逆函数，$alpha$是显著性水平。
详细描述
当总体服从正态分布时，根据中心极限定理，样本均值 近似服从正态分布。因此，总体均值μ的置信区间可以通 过以下公式计算：$[bar{x} - frac{s}{sqrt{n}} cdot Phi^{-1}(1 - frac{alpha}{2}), bar{x} + frac{s}{sqrt{n}} cdot Phi^{-1}(1 - frac{alpha}{2})]$，其中$bar{x}$是样 本均值，$s$是样本标准差，$n$是样本容量，$Phi^{1}$是标准正态分布的逆函数，$alpha$是显著性水平。
7.9 单正态总体参数的区间估计(1)
概率论与数理统计
07
参数估计
问题
如何让与θ的误差体现在估计中？ˆθ•湖中鱼数的真值[ ]对给定的置信水平(置信度)1－α
办法称为未知参数θ的置信度为1－α的置信区间.12
ˆˆ(,)θθ置信下限(X 1, X 2, …, X n )和置信上限(X 1, X 2, …, X n )1ˆθ2
ˆθ12
ˆˆ()1P θθθα<<≥−使含义若1－α=0.95，抽样100次中约有95个包含θ.12
ˆˆ(,)θθ
单个正态总体均值的区间估计σ2已知μ的置信度为1－α的置信区间为2~(,)
X N n
σμ/2()1/X P u n
αμασ−<=−/2/2()1P X u X u n n αασσμα−<<+=−/2/2(,);X u X u n n αασσ−+/2()
X u n ασ±2~(0,1)n X N σμ−
➢置信区间长度注➢相同置信水平下，置信区间选取不唯一.
l = 2σn u α/2 /2/2(,)
X u X u n n αασσ−+单个正态总体均值的区间估计
例滚珠直径X ~N (μ, 0.0006)，从某天生产的滚珠中随机抽取6个，测得直径为(单位：mm) 1.46 1.51 1.49 1.48 1.52 1.51
求μ 的置信度为95%的置信区间.解/2/2(,)
X u X u n n αασσ−+单个正态总体均值的区间估计
1.495x =，0.05α=，
0.05/20.025 1.96u u ==0.0006(1.495 1.96)6±⨯(1.4754,1.5146)=。
正态总体参数区间估计的MATLAB实现
2010年2月吉林师范大学学报(自然科学版)№.1第1期Journal of Jilin N ormal University (Natural Science Edition )Feb.2010收稿日期:2010201205作者简介:陈少云(19692),男,重庆合川人,现为四川建筑职业技术学院副教授.研究方向:高等数学教学.正态总体参数区间估计的MAT LAB 实现陈少云(四川建筑职业技术学院计算机系,四川德阳618000)摘 要:本文介绍了M AT LAB 软件的norm fit ()函数在求解正态总体参数的区间估计中的长处和短处,结合实例编写了M AT LAB 程序求解标准差σ已知时均值μ的置信区间和均值μ已知时标准差σ的置信区间,弥补了norm fit ()函数在该方面的不足.关键词:正态总体;均值;标准差;置信区间中图分类号:O212.2 文献标识码:A 文章编号:1674238732(2010)01200762030 引言总体参数的点估计作为待估参数的近似值给出了明确的数量描述,在统计分析中有多方面的应用.但点估计没有给出这种近似的精确程度和可信程度,使其在实际应用中受到很大的限制,区间估计却可以弥补这一不足.在工程技术中广泛使用的数学软件MAT LAB 提供了现成的函数norm fit ()可以很方便地求出正态总体标准差σ未知时均值μ的置信区间和均值μ未知时标准差σ的置信区间,与数理统计公式和查相关的临界值表计算的结果完全吻合.其函数调用格式为:[muhat ,sigmahat ,muci ,sigmaci ]=norm fit (x ,alpha ).其中muhat ,sigmahat 分别为正态分布的参数μ和σ的估计值,muci ,sigmaci 分别为它们的置信区间,置信度为(1-alpha )×100%,alpha 为显著性水平.例1 商店用机器包装某种商品,每包重量X 服从正态分布,为检查包装的质量,对机器包装的商品抽测8包,其重量为5.08 4.97 5.12 5.05 4.95 4.90 5.00 5.01试估计机器包装的商品重量的均值μ和标准差σ的置信度为0.95的置信区间解 在MAT LAB 的命令窗口输入如下语句>>x =[5.08 4.97 5.12 5.05 4.95 4.90 5.00 5.01];>>[muhat ,sigmahat ,muci ,sigmaci ]=norm fit (x ,0.05)结果显示为muhat =5.0100sigmahat =0.0717muci =4.9500 5.0700sigmaci =0.0474 0.1460结果表明均值μ的估计值为5.0100,其置信度为95%的置信区间为(4.9500,5.0700),这与标准差σ未知时运用数理统计公式和查T 分布临界值表计算的结果一致;标准差σ的估计值为0.0717,其置信度为95%的置信区间为(0.0474,0.1460),这与均值μ未知时运用数理统计公式和查卡方分布临界值表计算的结果一致.但在计算标准差σ已知时均值μ的置信区间和均值μ已知时标准差σ的置信区间方面有较大的误・67・差.下面是结合数理统计知识设计的MAT LAB 程序求解标准差σ已知时均值μ的置信区间和均值μ已知时标准差σ的置信区间的两个例子.1 标准差σ已知时正态总体均值μ的区间估计由数理统计知识,标准差σ已知时正态总体均值的区间估计应采用U 统计量,置信度为1-α的μ置信区间为( x -u α/2σ2/n , x +u α/2σ2/n ).其中u α/2=u (1-α/2).例2 某课程命题初衷,其成绩ζ～N (μ,13152),考毕抽查其中10份试卷的成绩为:74 95 81 43 62 52 86 78 74 67试求该课程平均成绩μ的置信区间.(置信度1-α=0195)解 在MAT LAB 的编辑窗口建立如下的M -文件(并保存为my fun1.m ),以便以后套用. alpha =0.05; %给定的显著性水平sigma =13.5;%已知的标准差x =[74 95 81 43 62 52 86 78 74 67];n =length (x );%计算样本容量mu =mean (x )%计算并显示样本均值u =norminv (1-alpha/2,0,1);%计算置信度为1-alpha/2的正态分布临界值muci =[mu -u 3sqrt (sigma^2/n ),mu +u 3sqrt (sigma^2/n )] %输出置信区间运行后显示结果为mu =71.2000muci =62.8328 79.5672即置信度为0.95时均值μ的置信区间为(62.8328,79.5672).这与运用数理统计公式和查标准正态分布函数数值表计算的结果完全一致.运用norm fit ()函数计算该问题的结果为muhat =71.2000muci =59.9912 82.4088在相同置信度0.95时均值μ的置信区间为(59.9912,82.4088),误差较大.2 均值μ已知时正态总体标准差σ的区间估计根据数理统计知识,均值μ已知时正态总体标准差σ的区间估计采用自由度为n 的卡方统计量,置信度为1-α的σ置信区间为∑n i =1(ζi -μ)2λ1,∑n i =1(ζi -μ)2λ2其中λ1=χ2(1-α/2;n ),λ2=χ2(α/2;n ).例3 设总体ζ～N (μ,σ2),σ为待估参数.样本的一组观察值为(14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1),置信度为95%,求μ=14.5时σ的置信区间.解 建立如下M 2文件(并保存为my fun2.m ) alpha =0.05; %给定的显著性水平x =[14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1];%样本数据n =length (x );%计算样本容量mu =14.5;%给定的样本均值chi2=sum ((x -mu ).^2);%计算离差的平方和lambda1=chi2inv (1-alpha/2,n );%计算卡方分布的临界值lambda2=chi2inv (alpha/2,n );sigma =[sqrt (chi2/lambda1),sqrt (chi2/lambda2)] %计算方差的置信区间运行后结果显示为sigma =0.3190 1.0900・77・即置信度为95%时所求的置信区间为(0.3190,1.0900),这与运用数理统计公式和查卡方分布临界值表计算的结果完全一致.运用norm fit()函数计算该问题的结果为sigmaci=0.1410 0.5539在相同置信度95%下的置信区间为(0.1410,0.5539),误差极大.综上所述,在计算标准差σ已知时均值μ的置信区间和均值μ已知时标准差σ的置信区间不能再套用MAT LAB所提供的现成函数norm fit(),而必须重新编写程序.笔者在本文中写出的程序较好地解决了这两个问题的MAT LAB实现并且有较强的实用性,有兴趣的读者只需调整显著性水平和更改样本数据便可求出实际问题在给定置信度下的相应置信区间.参 考 文 献[1]金炳陶.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2002.[2]薛定宇,陈阳泉.高等应用数学问题的M AT LAB求解[M].北京:清华大学出版社,2004.I nterval Estimation of N ormal Population P arameter by MAT LABCHEN Shao2yun(C om puter Science Department,S ichuan C ollege of Architectural T echnology,Deyang618000,China)Abstract:This article introduces the advantages and disadvantages of N orm fit()function s olution to interval estimation of normal population parameter in s oftware MAT LAB.With exam ples,the author has written a MAT LAB program to s olve the con fidence interval of:1)the expectationμwhen the standard deviationσis known;and2)the standard deviationσwhen the expectationμis known,which makes up the deficiency of N orm fit()function.K ey w ords:normal population;expectation;standard deviation;con fidence interval(上接第75页)R eferences[1]G.Q.Chen and D.H.W ang,The Cauchy Problem for Euler Equations for com pressible Fluids.Hanbook of M athematical Fluid Dynam oics[J].V ol.I,4212543,N orth2H olland,Amserdam,2002.[2]M.W.Y uen,Analytical Blowup s olutions to the22dimension.is othermal Euler2P ossion equations of gaseous stars II.arX iv:0906.0176v1[3]M.W.Y uen,Analytical Blowup s olutions to the is othermal Euler2P ossion equations of gaseous stars in arX iv:0906.0178v1[4]T.C.S ideris,F ormation of singularitier in Three2dimensional C om pressible Fluids,C omm.M ath.Phys.101(1985),N o.4,4752485[5]P.L.Lions,M athematical T opics in Fluid M echanics.V olume1,2,1998,Ox ford:Clarendon Press,1998.[6]M.W.Y uen,Analytical s olutions to the Navier2stokes equations.arX iv:0811.0377v1[M ath2Ph]3N ov.2008.[7]T.H.Li,S ome special s olutions of the multidimensional Euler equations in,C omm.Pure Appl.Anal.4(4)(2005)7572762.不可压纳维2斯托克斯方程的解析解阎小丽,邓慧琳(河南理工大学数学与信息科学学院,河南焦作454000)摘 要:本文主要构造不可压纳维2斯托克斯方程的解析解.关键词:欧拉方程;纳维2斯托克斯方程;不可压・・87。
正态总体参数的区间估计
, 0
2
2 ( 1 , ) 2
已知
≥0
2
2
2
2
2
( n 1)
( n 1)
]
正态总体均值和方差的假设检验 检 验 法
H H
0
1
检验统计量
自 由 度
拒绝域
| |
2
条件
0
≠ 0
> 0 < 0
=
x 0
μ
检 验
≤ 0
≥ 0
0
n
0
, 0
2
已知
0
| t | t
六大分布的期望和方差 分布 参数为 p 的 0~1 分布 离 散 型 分布率或概率密度 P{X=0}=q, P{X=1}=p; 0<p<1,q=1-p P{X=k}=C n p q k=0,1,…,n;0<p<1,q=1-p 泊松分布 X~P(λ ) P{X=k}=
e
k
期望
方差
p np λ
设 x 1 , x 2 , , x n 为来自正态总体 N ( , ) 的一个样本，则样本函数
2
t 分布
def
t
x s/ n
~ t ( n 1 ),
其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。
2
设 x 1 , x 2 , , x n 为来自正态总体 N ( , ) 的一个样本，则样本函数
n
μ = t=
(x )
(x ) s ( n 1) s
2
[x u [x t [
2
正态总体参数的区间估计实验结论
正态总体参数的区间估计实验结论引言：在统计学中，参数估计是一项重要的工作，通过样本数据来对总体参数进行估计。
而对于正态总体参数的估计，我们通常使用区间估计的方法来得出结果。
本文将介绍正态总体参数的区间估计实验的结论，并对其意义进行探讨。
实验方法：为了进行正态总体参数的区间估计实验，我们首先需要收集一定数量的样本数据。
然后，根据这些数据的特征，我们可以计算出样本均值和样本标准差。
接下来，我们可以使用统计学中的方法，如t 分布或z分布，来计算出参数的置信区间。
实验结果：经过实验计算，我们得出了正态总体参数的区间估计结果。
以均值为例，我们可以得到一个置信区间，表示在给定置信水平下，总体均值可能位于该区间内。
例如，我们得出了一个95%的置信区间为(μ1, μ2)。
解释和讨论：正态总体参数的区间估计结果是基于样本数据得出的，因此其准确性和可靠性需要进行评估。
在本实验中，我们选择了95%的置信水平，这意味着在重复进行实验的情况下，我们可以有95%的信心认为总体参数位于所得的置信区间内。
区间估计的结果对于统计推断和决策具有重要意义。
在实际应用中，我们可以根据置信区间的上下限来进行决策或评估。
如果待估计的参数值落在置信区间内，我们可以认为该参数是可接受的。
反之，如果参数值超出置信区间，我们可能需要进一步调查或采取相应的行动。
除了均值，我们还可以对正态总体的其他参数进行区间估计，如标准差或方差。
这些参数的区间估计结果也可以为我们提供有关总体特征的重要信息。
总结：正态总体参数的区间估计是统计学中常用的方法之一，可以帮助我们对总体特征进行推断和决策。
本文介绍了正态总体参数区间估计实验的结论，并讨论了其意义和应用。
通过区间估计，我们可以对总体参数进行准确且可靠的估计，为实际问题的解决提供重要依据。
参考文献：[1] 赵建华, 刘曙光. 结果的区间估计[J]. 数学的实践与认识, 2006(06):44-47.[2] 李凯锋. 正态总体参数的区间估计[J]. 统计与决策, 2009, (17):96-97.[3] 陈杰, 窦令媛. 正态总体参数的区间估计及应用[J]. 现代商贸工业,2019(03):93-94.。
双正态总体参数的区间估计
双正态总体参数的区间估计双正态总体是指一个总体服从正态分布，且这两个分布的均值和方差都相等。
在双正态总体中，我们常常需要估计总体参数的区间估计，即估计参数的真实值落在哪个区间内。
对于双正态总体的均值μ，我们可以使用Z分数进行区间估计。
假设我们想要在95%的置信水平下估计μ的区间为(a,b)，则有：P(μ-a < X < μ+b) = 0.95其中，X是从双正态总体中抽取的样本，a和b是未知的参数。
为了解决这个问题，我们可以利用双正态总体的对称性质，即在均值μ两侧的概率相等。
因此，我们可以使用Z分数的对称性质，得到：P(μ-a < X < μ+b) = 0.975这意味着，在95%的置信水平下，μ的区间为(a,b)的概率为0.975，也就是说，μ的真实值落在这个区间内的概率为0.975。
对于双正态总体的方差σ^2，同样可以使用Z分数进行区间估计。
假设我们想要在95%的置信水平下估计σ^2的区间为(d,e)，则有：P(σ2-d < X2 <σ2+e) = 0.95其中，X2是从双正态总体中抽取的样本的方差，d和e 是未知的参数。
同样，我们可以利用双正态总体的对称性质，得到：P(σ2-d < X2 < σ2+e) = 0.975因此，在95%的置信水平下，σ2的区间为(d,e)的概率为0.975，也就是说，σ2的真实值落在这个区间内的概率为0.975。
需要注意的是，对于双正态总体的均值和方差的区间估计，我们需要先确定置信水平和区间长度。
一般来说，置信水平为95%是比较常见的选择，区间长度一般为2倍标准误差。
具体的参数和区间长度需要根据实际情况进行调整。
第7章 参数估计7.5 正态总体均值与方差的区间估计
续例) 续例 求补充1中总体标准差 例2 (续例 求补充 中总体标准差σ 的置信度为 0.95的置信区间 的置信区间. 的置信区间 解
α
2
975,
n − 1 = 15,
附表2-2 附表
查 χ 2 ( n − 1) 分布表可知 :
= 1 − α,
即
S12 σ12 S12 1 1 P 2 < 2< 2 S2 F1−α / 2 (n1 − 1, n2 − 1) S2 Fα / 2 (n1 − 1, n2 − 1) σ 2
2 S12 S1 1 1 2 . , 2 S F (n − 1, n − 1) S F (n1 − 1, n2 − 1) 2 1−α / 2 2 α/2 1 2
注意: 在密度函数不对称时,如χ 2 分布和 F分布, 注意: 在密度函数不对称时, 习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图). 习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).
二、两个总体 N ( µ1 ,σ ), N ( µ 2 ,σ )的情况
2 1 2 2
设给定置信度为1 − α , 并设 X 1 , X 2 ,L, X n 为
σ 于是得 的一个置信度为1 − α 的置信区间 σ
2 1 2 2
= 1 − α,
例5
2
生产的钢管内径, 研究由机器 A 和机器 B 生产的钢管内径
随机抽取机器 A 生产的管子 18 只, 测得样本方差
为s1 = 0.34(mm 2 ); 抽取机器 生产的管子 13 只, 抽取机器B生产的管子
2 测得样本方差 s 2 = 0.29(mm 2 ). 设两样本相互独
其中
正态总体参数的bayes估计
正态总体参数的bayes估计贝叶斯估计是指从一个随机变量的概率分布或者概率分布中，根据数据样本，假设具有某种先验分布，以求得有关未知参数的极大似然估计，其中固定数据x 与求解估计分布P(θ|x)有关，称作贝叶斯估计。
可以用正态分布的方差的贝叶斯估计，求解正态总体参数的估计。
假设随机变量Xi服从正态N（μ，σ2）分布，Xi的似然函数为：L(μ,σ2)=1/(2πσ2)^n/2 * e^(-1/2σ2(∑i=1...n (Xi-μ)^2))取对数似然函数：lnL(μ,σ2)=ln(1/(2πσ2)^n/2)-1/2σ2(∑i=1...n (Xi-μ)^2)其中μ,σ2是想要求的未知参数，假设在求解时用先验概率，即首先假设μ,σ2遵从,某个先验分布：P(μ,σ2)=P(μ)P(σ2)其中μ,σ2分别遵从均匀分布U(μ0,μ1)，Chi-Square分布Χ2(n-1)。
根据贝叶斯定理，有P((μ,σ2)|x)=P(x|(μ,σ2))P(μ,σ2)/P(x)P(x)=∫P(x|(μ,σ2))P(μ)P(σ2 )dμdσ2取log得：lgP((μ,σ2)|x)=lgP(x|(μ,σ2))+lgP(μ)+lgP(σ2)即想要得到最大概率，就需要找出lgP((μ,σ2)|x)的极大值。
利用极大概率估计，可得到优化问题：极大化lgP((μ,σ2)|x)=lgP(x|(μ,σ2))+lgP(μ)+lgP(σ2)即得到最大概率：MLE((μ,σ2))=argmax lgP((μ,σ2)|x)根据极大似然估计的思想，可以推导出MLE((μ,σ2))的估计值：μMLE=∑i=1...nXi/nσMLE=1/n*∑i=1...n(Xi-μMLE)^2即最大似然估计法求得正态总体参数估计值μMLE，σMLE。
正态总体参数的区间估计
第19讲 正态总体参数的区间估计教学目的：理解区间估计的概念，掌握各种条件下对一个正态总体的均值和方差进行区间估计的方法。
教学重点：置信区间的确定。
教学难点：对置信区间的理解。
教学时数： 2学时。
教学过程：第六章 参数估计§6.3正态总体参数的区间估计1. 区间估计的概念我们已经讨论了参数的点估计，但是对于一个估计量，人们在测量或计算时，常不以得到近似值为满足，还需估计误差，即要求知道近似值的精确程度。
因此，对于未知参数θ，除了求出它的点估计ˆθ外，我们还希望估计出一个范围，并希望知道这个范围包含参数θ真值的可信程度。
设ˆθ为未知参数θ的估计量，其误差小于某个正数ε的概率为1(01)αα-<<，即ˆ{||}1P θθεα-<=-或αεθθεθ-=+<<-1)ˆˆ(P这表明，随机区间)ˆ,ˆ(εθεθ+-包含参数θ真值的概率（可信程度）为1α-，则这个区间)ˆ,ˆ(εθεθ+-就称为置信区间，1α-称为置信水平。
定义 设总体X 的分布中含有一个未知参数θ。
若对于给定的概率1(01)αα-<<，存在两个统计量1112(,,,)n X X X θθ= 与2212(,,,)n X X X θθ= ，使得12{}1P θθθα<<=-则随机区间12(,)θθ称为参数θ的置信水平为1α-的置信区间，1θ称为置信下限，2θ称为置信上限，1α-称为置信水平。
注（1）置信区间的含义：若反复抽样多次（各次的样本容量相等，均为n ），每一组样本值确定一个区间12(,)θθ，每个这样的区间要么包含θ的真值，要么不包含θ的真值。
按伯努利大数定理，在这么多的区间中，包含θ真值的约占100(1)%α-，不包含θ真值的约仅占100%α。
例如：若0.01α=，反复抽样1000次，则得到的1000个区间中，不包含θ真值的约为10个。
（2）置信区间的长度表示估计结果的精确性，而置信水平表示估计结果的可靠性。
概率统计中的正态分布的参数估计
概率统计中的正态分布的参数估计正态分布（Normal Distribution）是概率统计中最常见的一种分布，也被广泛应用于各个领域。
正态分布由两个参数来描述，即均值μ和标准差σ。
在实际应用中，我们常常需要通过样本数据来估计正态分布的参数，从而对总体进行推断。
本文将介绍概率统计中的正态分布的参数估计方法。
一、最大似然估计法最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，通过寻找最大化样本观测出现的概率来确定参数的值。
在正态分布中，最大似然估计法可以用来估计均值μ和标准差σ。
对于给定的样本数据X1, X2, ..., Xn，我们假设这些数据是从一个正态分布N(μ, σ^2)中独立地随机抽取得到的。
那么样本的似然函数可以表示为：L(μ, σ^2) = Π(1/√(2πσ^2)) * exp(-(xi-μ)^2/(2σ^2))其中，Π表示连乘符号，xi表示第i个观测值。
为了简化计算，我们通常对似然函数的对数取负值，得到对数似然函数：l(μ, σ^2) = -n/2 * log(2πσ^2) - Σ(xi-μ)^2/(2σ^2)最大似然估计法的目标是找到使对数似然函数取得最大值的参数值。
对于均值μ，我们可以通过求导等于0的方式得到：∂l/∂μ = Σ(xi-μ)/σ^2 = 0解得：Σ(xi-μ) = 0即样本观测值与均值的偏差之和为0。
这意味着最大似然估计下的均值估计值等于样本的平均值。
对于标准差σ，我们可以通过求导等于0的方式得到：∂l/∂σ^2 = -n/(2σ^2) + Σ(xi-μ)^2/(2σ^4) = 0解得：σ^2 = Σ(xi-μ)^2/n即最大似然估计下的标准差估计值等于样本偏差平方和的均值。
二、置信区间估计法在实际应用中，我们通常还需要给出参数估计的不确定性范围。
置信区间估计法可以用来估计参数的置信区间，即参数真值落在某个区间内的概率。
对于均值μ的置信区间估计，假设样本数据X1, X2, ..., Xn满足正态分布N(μ, σ^2)，我们可以使用样本均值的抽样分布来构建置信区间。
第4节正态总体参数的区间估计
3
, 给定 ,0 1 ， 定义 设是总体的一个未知参数
确定两个统计量
ˆ , ˆ 分别称为置信下限和置信上限. 区间. 1 2
ˆ , ˆ ]为 的 置信水平为 1 的 置信 则称区间 [ 1 2
1.75 1.96 1.96 0.49, n 50
所以 的置信区间为
（4.10 0.49, 4.10 0.49 ） （3.61, 4.59 ） .
10
例3 在上例中 , 为使 的置信水平是 0.95 的置信区间
的长度 L 1.5, 求样本容量 .
， u0.025 1.96, 1.75, 解 0.05
u / 2
x
X | | u / 2 X u / 2 X u / 2 / n n n
于是所求 的置信区间为 ( X u 有时简记为 ( X u / 2
2
n
, X u 2 )， n n
7
).
2 某厂生产滚珠，直径 X 服从正态分布 N ( , ). 例1 为了估计 ， 抽检 6 个滚珠， 测得直径为 ( mm) ： 14.70， 15.21，14.90，14.91，15.32，15.32，
对给定的置信水平 1 ,
按标准正态分布的 水平双侧分位数的定义,
查正态分布表得 u 2 ,
6
1.
已知时 的置信区间
2
/2
( x)
X U ~ N (0,1) ， / n
1
O
/2
X P{ | | u 2 } 1 ， n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有
|t|=5.712>2.598，
所以拒绝假设H0，即认为正常成年男、女性 红细胞数有显著差异.
#
***
例8.2.3 甲、乙两种稻种分别种在10块试验田 中, 每块田中甲、乙稻种各种一半. 假设两种稻 种产量X、Y 服从正态分布, 且方差相等. 10块田 中的产量如下表 (单位: 公斤) ，两种稻种的产 量平均值是否有明显差异？ (α=0.05).
#
***
例8.2.5 为研究正常成年男、女红细胞的平 均数之差别, 检查某地正常成年男子 156名, 正 常成年女子74名, 计算得男性红细胞平均数为 465.13万/mm3，样本标准差为54.976万/mm3； 女性红细胞平均数为422.16万/mm3，样本标准 差为49.536万/mm3.
试检验该地正常成年男子与女子的红细胞数 标准差是否相等(α=0.1).
***
解 设X表示正常成年男性的红细胞数，
Y表示正常成年女性的红细胞数，
X~N(μ1,σ12)，Y~N(μ2,σ22) 需作检验： H0: σ12 = σ22； H1: σ12 ≠σ22
由于μ1 和μ2未知, 采用 F 检验法，若H0真
则统计量
F
S12
S
2 2
2 1
2 2
S12 S 22
~ F (n1 1, n2 1),
Sn
x
1 6
6
xi
i1
1314 ,
s
n
1
1
6
i1
xi
x 2
3.521,
t x 1314 1310 2.783, s n 1 3.521 6
***
若取α=0.05，查t 分布表可得 t0.025(5)=2.5706，
因为
|t|=2.783> t0.025(5)=2.5706，
所以在显著性水平0.05下，拒绝H0，即可 认为该种测温枪有系统误差.
试检验该地正常成年人的红细胞平均数是否 与性别有关(α=0.01). （假设方差相等）
***
解 设X表示正常成年男性的红细胞数, Y表示正常成年女性的红细胞数， 假定X~N(μ1,σ2), Y~N(μ2,σ2)
需作检验： H0: μ1= μ2; H1: μ1≠μ2. 由于未知σ2, 故采用 t 检验法, 取检验统计量
有
|t|=4.9457>2.1009，
所以拒绝假设H0，即显著性水平0.05下 认为两种稻种的平均产量有明显差异.
***
解二 设X~N(1, 2), Y~N(2, 2),
H0: μ1 μ2 = 0 ， H1: μ1 μ2 ≠0；
若H0 成立，则
T
Z
(1
SZ
2)
Z n
SZ
～t(n－1)，
n
其 中 Z
1 n2
2 [(n1
1)S12
(n2
1)S22 ]
n1
1 n2
2
n1 (Xi i 1
X )2
n2
(Y j
j1
Y
)2
拒绝域为： t t (n1 n2 2)
2
***
特别 n1 n2 n时
T n X Y ~ t(2n 2)
S12
S
2 2
成年人红细胞数 与性别的关系
两种稻种的平均值差异
***
3) 配对试验 t 检验法 设总体X~N(μ1, σ12), Y~N(μ2, σ22), X与Y相
互独立，当成对抽样时(n1=n2 )，如何检验：
H0: μ1 = μ2 ， H1: μ1 ≠ μ2 ；
分析 记 Z i X i Yi , i 1,2, , n;
则有
Z
1 n
n
Zi
i 1
1318 1315 1308 1316 1315 1312
若用更精确的方法测的铁水温度为1310oC (可视为铁水真正温度)，问这种测温枪有无系 统误差？ 解 根据题意要求，需检验
H0: μ=1310，H1： μ≠1310
***
由于σ2 未知，故采用 t 检验法.
H0 成立时，检验统计量
T X 0 ~ t(n 1)
x
2
2(n)
***
2) 未知μ X1,…,Xn 是从正态总体N(μ,σ2)中抽取的样
本，检验 H0: σ2 = σ02；H1： σ2 ≠ σ02
原假设成立时，
2
(n
1)
S2
2 0
~ 2(n 1)
拒绝域为：
2
2
(n
1)
或
2
2
2 1
(n
1)
2
***
2( x;n 1)
12 2(n 1)
x
2
若取α=0.01，查t 分布表可得 t0.005(5)=4.0322，
因为
|t|=2.783<t0.005(5)=4.0322，
所以在显著性水平0.01下，接受H0，即可认 为该种测温枪没有系统误差.
***
#
***
例8.2.2 为研究正常成年男、女红细胞的平 均数之差别, 检查某地正常成年男子 156名, 正 常成年女子74名, 计算得男性红细胞平均数为 465.13万/mm3，样本标准差为54.976万/mm3； 女性红细胞平均数为422.16万/mm3，样本标准 差为49.536万/mm3.
2
(
n
1)
车床加工精度
***
2. F 检验法
X1,
X 2,
,
X
n1
来
自
正
态
总
体N
(
1
,
2 1
)
Y1 ,Y2 ,
,
Yn2
来
自
正
态
总
体N
(
2
,
2 2
)
检验
H0: σ12 = σ22; H1: σ12 ≠σ22
1) 已知μ1 和 μ2 原假设成立时，
***
n1
n2 ( X i 1 )2
F i1
n2
长度xi : 10.1 10.3 10.6 11.2 11.5 11.8 12
频数yi : 1
3 7 10 6 3 1
解 检验假设 H0：σ=σ0=0.424， H1：σ≠σ0
若原假设H0成立，则有
计算得
***
2
(n
1)S 2
2 0
～
2(n 1)
x
1 n
7
ni xi
i 1
11.084,
7
(n 1)s2 ni xi2 nx 2 i 1
T X Y (1 2 )
Sw
11 n1 n2
***
H0成立，则
T
X Y
Sw
11 n1 n2
～t(n1+n2－2)
n1 156, x 465.13万 / mm 3 , s1 54.976万 / mm 3
n2 74, y 422.16万 / mm 3 , s2 49.536万 / mm 3
)
Y1 ,Y2 ,
,
Yn2
来
自
正
态
总
体
N
(
2
,
2 2
)
未
知
2，
1
2，
2
但
有
2 1
2 2
2
检验 H0: μ1= μ2 ，H1:μ1≠μ2
***
原假设成立时，检验统计量
T (X Y ) (1 2) X Y
Sw
11 n1 n2
Sw
11 n1 n2
~ t(n1 n2 2)
其 中 ，S w2
n1
X Y
~ N (0,1)
2 1
2 2
n1 n2
拒绝域为： u u 2
***
u 检验法的要点 1.构造服从标准正态分布的统计量U 作 为检验统计量； 2. 为进行标准化，必须已知总体的方差.
未知方差时,如何检验关于正态总体均值 的有关假设？
2. t 检验法 1) 单样本 t 检验法
***
X1,…,Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的样本， μ,σ2 未知，检验
H0: μ= μ0，H1： μ≠μ0
原假设成立时， T X 0 ~ t(n 1)
Sn
拒绝域为： t t (n 1)
2
铁水温度的测量
***
采用不同的显著性水平α,常得到不同的 结论.即检验的结果取决于显著性水平α的
选择.
2) 双样本 t 检验法
X1,
X 2,
,
X
来
n1
自
正
态
总
体
N
(
1
,
2 1
***
2) 双样本u 检验法
X1,
X 2,
,
X
来
n1
自
正
态
总
体
N
(
1
,
2 1
)
Y1 ,Y2 ,
,
Yn2
来
自
正
态
总
体
N
(
2
,
2 2
)
已知σ12与σ22，检验假设
H0: μ1= μ2，（或μ1μ2=0） H1:μ1≠μ2
原假设H0成立时，
***
U ( X Y ) (1 2 )
2 1
2 2
n1 n2
甲 140 137 136 140 145 148 140 135 144 141 乙 135 118 115 140 128 131 130 115 121 125