正态总体参数估计

若取α=0.01，查t 分布表可得 t0.005(5)=4.0322，
因为
|t|=2.783<t0.005(5)=4.0322，
所以在显著性水平0.01下，接受H0，即可认 为该种测温枪没有系统误差.
***
#
***
例8.2.2 为研究正常成年男、女红细胞的平 均数之差别, 检查某地正常成年男子 156名, 正 常成年女子74名, 计算得男性红细胞平均数为 465.13万/mm3，样本标准差为54.976万/mm3； 女性红细胞平均数为422.16万/mm3，样本标准 差为49.536万/mm3.
X
Y，Z
1 10
10 i1
(Xi
Yi )
X
Y
,
S
2 Z
1 9
10
( Zi
i 1
Z
)2 ,
***
由样本值表可计算得
x 140.6, y 125.8,
sZ
1 9
10
(zi
i 1
z)2
7.0682
Z
140.6 125.8
t n 10
6.18
SZ
7.5785
查t 分布表得
t (n 1) t0.025(9) 2.262 2
X
Y ,
S
2 Z
1n n 1 i1 ( Zi Z
)2
因
Z1,
Z 2，
,
Z
相
n
互
独
立,
且
Zi～N(μ1－μ2, σ12+σ22)
***
根据抽样定理知，统计量
T
Z
(1
SZ
2 )
～t
(n－1)
n
原检验问题等价于检验：
H0: μ1 μ2 = 0 ， H1: μ1 μ2 ≠0；
若H0成立，则T n Z ~ t(n 1) SZ
***
2) 双样本u 检验法
X1,
X 2,
,
X
来
n1
自
正
态
总
体
N
(
1
,
2 1
)
Y1 ,Y2 ,
,
Yn2
来
自
正
态
总
体
N
(
2
,
2 2
)
已知σ12与σ22，检验假设
H0: μ1= μ2，（或μ1μ2=0） H1:μ1≠μ2
原假设H0成立时，
***
U ( X Y ) (1 2 )
2 1
2 2
n1 n2
两种稻种的平均值差异
***
二、方差σ2 的检验
1. 2 检验法
X1,…,Xn 是来自正态总体N(μ,σ2)的样本,检验
H0: σ2 = σ02； σ2 ≠ σ02
1)已知μ
原假设成立时，
2
n
(
Xi
)2
~
2(n)
i1 0
拒绝域为：
2
2
(n)
2
或
2
2 1
(n)
2
***
2(x;n)
12 2 (n)
#
***
例8.2.5 为研究正常成年男、女红细胞的平 均数之差别, 检查某地正常成年男子 156名, 正 常成年女子74名, 计算得男性红细胞平均数为 465.13万/mm3，样本标准差为54.976万/mm3； 女性红细胞平均数为422.16万/mm3，样本标准 差为49.536万/mm3.
试检验该地正常成年男子与女子的红细胞数 标准差是否相等(α=0.1).
Sw
n1
1 n2
2
[(n1
1) S12
(n2
1)
S
2 2
]
53.295,
***
x y
465.13 422.16
t
5.712,
sw
11 n1 n2
53.295 1 1 156 74
α=0.01时可得：tα/2=t0.005(228)=2.598,
(查标准正态分布表 u0.005=2.58)
x
2
2(n)
***
2) 未知μ X1,…,Xn 是从正态总体N(μ,σ2)中抽取的样
本，检验 H0: σ2 = σ02；H1： σ2 ≠ σ02
原假设成立Baidu Nhomakorabea，
2
(n
1)
S2
2 0
~ 2(n 1)
拒绝域为：
2
2
(n
1)
或
2
2
2 1
(n
1)
2
***
2( x;n 1)
12 2(n 1)
x
2
T X Y (1 2 )
Sw
11 n1 n2
***
H0成立，则
T
X Y
Sw
11 n1 n2
～t(n1+n2－2)
n1 156, x 465.13万 / mm 3 , s1 54.976万 / mm 3
n2 74, y 422.16万 / mm 3 , s2 49.536万 / mm 3
X Y
~ N (0,1)
2 1
2 2
n1 n2
拒绝域为： u u 2
***
u 检验法的要点 1.构造服从标准正态分布的统计量U 作 为检验统计量； 2. 为进行标准化，必须已知总体的方差.
未知方差时,如何检验关于正态总体均值 的有关假设？
2. t 检验法 1) 单样本 t 检验法
***
X1,…,Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的样本， μ,σ2 未知，检验
H0: μ= μ0，H1： μ≠μ0
原假设成立时， T X 0 ~ t(n 1)
Sn
拒绝域为： t t (n 1)
2
铁水温度的测量
***
采用不同的显著性水平α,常得到不同的 结论.即检验的结果取决于显著性水平α的
选择.
2) 双样本 t 检验法
X1,
X 2,
,
X
来
n1
自
正
态
总
体
N
(
1
,
2 1
甲 140 137 136 140 145 148 140 135 144 141 乙 135 118 115 140 128 131 130 115 121 125
***
解一 设X~N(1 , 2), Y~N(2 , 2),
需作检验： H0: μ1= μ2; H1: μ1≠μ2.
因
n1
n2
10，
***
§8.2 正态总体的参数检验
一、均值μ的检验 1. u 检验法 1) 单样本u 检验法：
X1,…,Xn是从正态总体N(μ,σ02)中抽取的 简单随机样本
已知σ02 ，检验 H0: μ= μ0，H1：μ≠μ0
***
原假设成立时，U X 0 ~ N (0,1) 0 n
拒绝域为：
u u
2
见例8.1.1 “包装机工作正常与否的判断”
有
|t|=4.9457>2.1009，
所以拒绝假设H0，即显著性水平0.05下 认为两种稻种的平均产量有明显差异.
***
解二 设X~N(1, 2), Y~N(2, 2),
H0: μ1 μ2 = 0 ， H1: μ1 μ2 ≠0；
若H0 成立，则
T
Z
(1
SZ
2)
Z n
SZ
～t(n－1)，
n
其 中 Z
***
解 设X表示正常成年男性的红细胞数，
Y表示正常成年女性的红细胞数，
X~N(μ1,σ12)，Y~N(μ2,σ22) 需作检验： H0: σ12 = σ22； H1: σ12 ≠σ22
由于μ1 和μ2未知, 采用 F 检验法，若H0真
则统计量
F
S12
S
2 2
2 1
2 2
S12 S 22
~ F (n1 1, n2 1),
~ F (n1, n2 )
n1 (Y j 2 )2
j 1
拒绝域为：
f F (n1 , n2 ) 或
f
F
1
(n1
,
n2
)
2
2
***
F ( x;n1 , n2 )
x
F1 2 (n1, n2 )
F 2 (n1, n2 )
2) 未知μ1 和μ2
原假设成立时，
F
S12
S
2 2
2 1
2 2
S12
S
2 2
***
3) 配对试验 t 检验法 设总体X~N(μ1, σ12), Y~N(μ2, σ22), X与Y相
互独立，当成对抽样时(n1=n2 )，如何检验：
H0: μ1 = μ2 ， H1: μ1 ≠ μ2 ；
分析 记 Z i X i Yi , i 1,2, , n;
则有
Z
1 n
n
Zi
i 1
2
(
n
1)
车床加工精度
***
2. F 检验法
X1,
X 2,
,
X
n1
来
自
正
态
总
体N
(
1
,
2 1
)
Y1 ,Y2 ,
,
Yn2
来
自
正
态
总
体N
(
2
,
2 2
)
检验
H0: σ12 = σ22; H1: σ12 ≠σ22
1) 已知μ1 和 μ2 原假设成立时，
***
n1
n2 ( X i 1 )2
F i1
n2
于是
F0. 95(155,73)<f< F0. 05(155,73)
***
有
|t|=6.18>2.262
所以拒绝假设H0，即显著性水平0.05下 认为两种稻种的平均产量有明显差异.
***
例8.2.4 一自动车床加工的零件长度X～
N(μ,σ2),原加工精度σ0=0.424，经过一段时间后
要检验此车床是否保持原加工精度，测得31个
零件的长度数据如下：
(取α=0.05)
3816.42 3808.418 8.002,
2
(n 1)s2
2 0
8.002 0.4242
44.51,
查表得
***
2 1
α 2
(
n
1)
2 0 .9 7
5
(3
0)
16.8,
2
α
(
n
1)
2 0 .0
25
(3
0)
47.0,
2
因
2 0 .9 7
5
(30)
2
2 0.0
25
(
30
),
故不能拒绝原假设H0，即可认为车床保持 了原加工精度.
有
|t|=5.712>2.598，
所以拒绝假设H0，即认为正常成年男、女性 红细胞数有显著差异.
#
***
例8.2.3 甲、乙两种稻种分别种在10块试验田 中, 每块田中甲、乙稻种各种一半. 假设两种稻 种产量X、Y 服从正态分布, 且方差相等. 10块田 中的产量如下表 (单位: 公斤) ，两种稻种的产 量平均值是否有明显差异？ (α=0.05).
长度xi : 10.1 10.3 10.6 11.2 11.5 11.8 12
频数yi : 1
3 7 10 6 3 1
解 检验假设 H0：σ=σ0=0.424， H1：σ≠σ0
若原假设H0成立，则有
计算得
***
2
(n
1)S 2
2 0
～
2(n 1)
x
1 n
7
ni xi
i 1
11.084,
7
(n 1)s2 ni xi2 nx 2 i 1
1318 1315 1308 1316 1315 1312
若用更精确的方法测的铁水温度为1310oC (可视为铁水真正温度)，问这种测温枪有无系 统误差？ 解 根据题意要求，需检验
H0: μ=1310，H1： μ≠1310
***
由于σ2 未知，故采用 t 检验法.
H0 成立时，检验统计量
T X 0 ~ t(n 1)
~
F (n1 1, n2 1)
***
F ( x;n1 1, n2 1)
F1 2 (n11, n2 1)
拒绝域为：
f F (n1 1, n2 1) 或
2
x
F 2(n11,n2 1)
f
F
1
(n1
1, n2
1)
2
***
成年人红细胞数与性别 的关系(F 检验法)
思考练习题
***
例8.2.1 炼钢厂为测定混铁炉铁水温度，用测 温枪(主要装置为一种热电偶)测温6次，记录 如下(单位：oC)：
Sn
x
1 6
6
xi
i1
1314 ,
s
n
1
1
6
i1
xi
x 2
3.521,
t x 1314 1310 2.783, s n 1 3.521 6
***
若取α=0.05，查t 分布表可得 t0.025(5)=2.5706，
因为
|t|=2.783> t0.025(5)=2.5706，
所以在显著性水平0.05下，拒绝H0，即可 认为该种测温枪有系统误差.
n1 156, s1 54.976 万 / mm 3 , n2 74, s2 49.536 万 / mm 3 ,
***
s2 54.9762
f 1
1.232,
s2 2
49.5362
α=0.1 时可得 Fα/2=F0. 05(155,73)=0.726 F1α/2=F0. 95(155,73)=1.41
1 n2
2 [(n1
1)S12
(n2
1)S22 ]
n1
1 n2
2
n1 (Xi i 1
X )2
n2
(Y j
j1
Y
)2
拒绝域为： t t (n1 n2 2)
2
***
特别 n1 n2 n时
T n X Y ~ t(2n 2)
S12
S
2 2
成年人红细胞数 与性别的关系
两种稻种的平均值差异
试检验该地正常成年人的红细胞平均数是否 与性别有关(α=0.01). （假设方差相等）
***
解 设X表示正常成年男性的红细胞数, Y表示正常成年女性的红细胞数， 假定X~N(μ1,σ2), Y~N(μ2,σ2)
需作检验： H0: μ1= μ2; H1: μ1≠μ2. 由于未知σ2, 故采用 t 检验法, 取检验统计量
)
Y1 ,Y2 ,
,
Yn2
来
自
正
态
总
体
N
(
2
,
2 2
)
未
知
2，
1
2，
2
但
有
2 1
2 2
2
检验 H0: μ1= μ2 ，H1:μ1≠μ2
***
原假设成立时，检验统计量
T (X Y ) (1 2) X Y
Sw
11 n1 n2
Sw
11 n1 n2
~ t(n1 n2 2)
其 中 ，S w2
n1
当H
成
0
立
时
T n
X Y
10（X
Y） ~
t(2n
2)
S12
S
2 2
S12
S
2 2
由样本值表可计算得
x 140.6, y 125.8,
s12 16.93, s22 72.62,
***
n（x y） 10 （140.6 125.8）
t
4.9457
s12 s22
16.93 72.62
查t 分布表得： t0.025(18)= ***