热传导动方程

用 F ( x , y , z , t ) 表示热源强度，即单位时间内从单位 体积内放出的热量，则从 t 1 到 t 2 这段时间内 内热 源所提供的热量为 t2 Q2 [ F ( x, y, z, t )dV ]dt (1.3)
t1
Q2
第二章 热传导方程
由热量守恒定律得：
t2 u u u u c dV ]dt [ ( ( k ) ( k ) ( k ))dV ]dt t1 [ t1 t x x y y z z t2
u n u

特别地：g( x , y , z , t ) 0 时，表示物体绝热。
g( x, y, z , t ), ( x, y, z ) ,
t 0,
(1.10)
k1 k1 其中： 0, g u1 . k k
数学物理方程 注意第三边界条件的推导：
二、定解条件（初始条件和边界条件）
初始条件：
t 0 : u( x , t ) ( x , y , z ), ( x, y, z ) G , (1.7)
边界条件：( G )
1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）
u

g( x, y, z, t ),
( x, y, z ) ,
t 0,
(1.8)
特别地：g( x , y , z , t ) 0 时，物体表面保持恒温。
数学物理方程
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
u k n

第二章 热传导方程
g( x , y , z , t ),
( x , y , z ) ,
t 0,
(1.9)
注： u u 沿边界 上的单位外法线方向 n 的方 表示 n 向导数 3、第三边界条件 ( D-N 混合边界条件 )
数学物理方程
第二章 热传导方程
第二章 热传导动方程
第一节 热传导方程的导出和定解条件 一、热传导方程的导出：
给定一空间内物体 G ，设其上的点 ( x , y , z ) 模型： 在时刻 t 的温度为 u( x , y , z , t ) 。
问题： 研究温度 u( x , y , z , t ) 的运动规律。
数学物理方程
第二章 热传导方程
分析：（两个物理定律） 1、热量守恒定律: 温度变 化吸收 的热量

通过边 界流入 的热量

热源放 出的热 量
2、傅里叶（Fourier）热传导定律:
u dQ k ( x , y , z ) dS dt , n k ( x , y, z ) 为热传导系数。
2
F f , f 称为非齐次项（自由项）。 c
三维无热源热传导方程：
2 2 2 u u u u 2 a 2 2 2 0 . t y z x
(1.6)
通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6） 为齐次热传导方程。
数学物理方程
第二章 热传导方程

[ F ( x , y, z , t )dV ]dt
t1
t2
由 及 t1 , t 2 的任意性知 u u u u c (k ) (k ) (k ) F ( x, y, z, t ).(1.4) t x x y y z z

数学物理方程
c (

u dt )dV t

t2 t1
u [ c dV ]dt t
数学物理方程
（2）通过曲面 S 进入 内的热量 Q1
第二章 热传导方程
由傅里叶热传导定律，从 t 1 到 t 2 这段时间内通过 S 进入 内的热量为
Q1
由高斯公式
t2
t1
数学物理方程
第二章 热传导方程
热传导方程的推导： 任取物体 G 内一个由光滑闭曲面 S 所围成的区 域 ，研究物体在该区域 内热量变化规律。 热量 守恒 定律 区域 内各点的温度从时刻 t 1 的温度u( x , y , z , t1 ) 改变为时刻 t 2 的温度 u( x, y, z , t 2 ) 所吸收（或 放出）的热量，应等于从时刻 t 1 到时刻 t 2 这 S 流入（或流出） 段时间内通过曲面 内的 热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即
dQ c [u( x , y, z , t 2 ) u( x , y, z , t1 )]dV 整个 内温度变化所需要的能量 Q
Q
dQ c [u( x , y , z , t
t2 t1
2
) u( x , y , z , t1 )]dV (1.1)
第二章 热传导方程
三维有热源的热传导方程： （均匀且各向同性物 体，即 c , , k 都为常数的物体）
2 2 2 u u u u 2 a 2 2 2 f ( x , y , z , t ), t y z x
(1.5)
k , 其中 a c
内温度变化所需要的热量 Q =通过曲面 S 流入 内的热量 Q1 +热源提供的热量 Q2
下面分别计算这些热量
数学物理方程
第二章 热传导方程
（1） 内温度变化所需要的能量 Q 的比热（单位质量的物体温度改变 1 C 所需要的热量）为 c c( x , y , z ), 密度为 ( x , y , z ), 那么包含点 ( x , y , z ) 的体积微元 dV 的温度从u( x , y , z , t1 变为 u( x, y, z , t 2 )所需要的热量为 设物体 G
u k ( x, y, z ) dS dt , n S
x
divAdxdydz A ndS
S
知
u u u Q1 [ ( (k ) (k ) (k ))dV ]dt .(1.2) t1 x x y y z z
t2
数学物理方程 （3）热源提供的热量