函数奇偶性的判断方法

函数奇偶性的判断方法

（周口卫生学校 马爱华 466000）

摘要：本文由两个高考题来验证判断函数奇偶性的三种常见方法：1、利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法）；2、用求和（差）法判断；3、用求商法判断。

关键词：奇函数 偶函数 定义域 求和（差）法 求商法

函数的奇偶性是函数的一个重要的性质，其重要性质体现在它与函数的各种性质的联系之中，那么，怎样来判断函数的奇偶性呢？

函数的奇偶性的判断应从两方面来进行，一是看函数的定义域是否关于原点对称（这是判断奇偶性的必要性）二是看)(x f 与)(x f -的关系。判断方法有以下三种：

1、利用奇偶函数的定义来判断（这是最基本，最常用的方法） 定义：如果对于函数y=f （x ）的定义域A 内的任意一个值x ， 都有f （-x ）=-f （x ）则这个涵数叫做奇函数

f （-x ）=f （x ） 则这个函数叫做偶函数

2、用求和（差）法判断

若0)()(=-+x f x f (()()2())f x f x f x --=则)(x f 为奇函数

若())(2)()(0)()(x f x f x f x f x f =-+=-- 则)(x f 为偶函数

3、用求商法判断

若

()0)(1)()(≠-=-x f x f x f 则)(x f 为奇函数 若()0)(1)

()(≠=-x f x f x f 则)(x f 为偶函数

例1、判断函数()x x x f ++=21lg )(的奇偶性（对口升学07年高考题） 解法一（定义法）

函数的定义域为R ，关于原点对称

()

x x x f -+=-21lg )(

==()1221lg 11lg -++=++x x x x

= )x - ()f x =-

)(x f ∴为奇函数

解法二（求和（差）法）

()()x x x x x f x f -++++=-+221lg 1lg )()(

()()

x x x x -+++=2211lg

=01lg =

)(x f ∴为奇函数 解法三（求商法） ()()()()

()x x x x x x x x x x x x x f x f ++++-=+++=++-+=-2222221lg 1lg 1lg 11

lg 1lg 1lg )()( )0(1≠-=x

)(x f ∴为奇函数

例2判断函数⎪⎭

⎫

⎝⎛+-=21121)(x x x f 的奇偶性（对口升学08年高考题） 解法一（定义法） 函数的定义域为0≠x 的全体实数，关于原点对称

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=--212

1221121)(x x x x x x f

为偶函数而)()

()(2(221)12(212221121)()12(212)21(212)21(22122x f x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x ∴=-∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+•-=

解法二（求和（差）法）

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=--21121)()(x x x f x f 为偶函数

)(01

2)21(1221222

12212x f x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x ∴=+-=+--=+-⋅-+-=+-⋅++-=

解法二（求商法）

211212122211212112221121212122112121121)()(1+--=+---=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=---x x x x x x x x x x x x x x f x f 11

2121

2(2122)12(21

222=++=--+-+-⋅=x x x x x x x 为偶数函数)(x f ∴

例3已知0)(=x f 是定义在R 上的函数，试判断)(x f 的奇偶性

解：)(x f 的定义域为R ，关于原点对称

为偶函数)()

(0)(x f x f x f ∴==-

又)(00)(x f x f -=-==-

为既奇偶函数为奇函数

)()(x f x f ∴∴

由例3可知，确实存在既是奇函数又是偶函数的函数，这种函数的值恒为零。

因此，函数可分为四类：

1、奇函数（非偶函数）

2、偶函数（非奇函数）

3、既是奇函数又是偶函数（既奇又偶函数）

4、既不是奇函数又不是偶函数（非奇非偶函数）

另外，我们还可以利用函数的图象来判断函数的奇偶性。

偶函数 ⇔ 其图象关于y 轴对称

奇函数 ⇔ 其图象关于原点对称

从上面两个等价命题可以得出：奇函数在原点两侧的单调性相同（即同增同减）；偶函数在原点两侧的单调性相反（即左增右减或左减右增）

因此，我们也可以从函数的图象来判断函数的奇偶性，进而解决有关奇偶性的问题。

参考文献：

[1]《数学》（基础模块）上册 中等职业教育课程改革国家规划教材 2012年

[2]《数学》河南省职业技术教育教学研究室 编

2013年河南省中等职业学校对口升学考试复习指导