函数奇偶性的判断方法

函数奇偶性的判定方法

函数奇偶性的判定方法山东刘海函数奇偶性的判定方法较多，下面举例介绍常见的判定方法．1．定义域判定法例1 判定()(1)2f x x x =--的奇偶性．解：要使函数有意义，须20x -≥，解得2x ≥，定义域不关于原点对称，∴原函数是非奇非偶函数．评注：用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称，来否定一个函数具有奇偶性．2．定义判定法例2 判断()f x x a x a =++-的奇偶性．解：函数()f x x a x a =++-的定义域为R ，且 ()()()()f x x a x a x a x a x a x a f x -=-++--=--+-+=-++=， ∴函数()f x 是偶函数．评注：在定义域关于原点对称的前提下，可根据定义判定函数奇偶性．3．等价形式判定法例3 判定()f x =的奇偶性．解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，当0x =时，()0f x =，∴图象过原点．又0x ≠时，2222()(1)(1)1()(1)(1)f x x x f x x x -+-+==-+--，()()f x f x ∴-=-．又(0)0f =，()f x ∴为奇函数．评注：常用等价变形形式有：若()()0f x f x +-=或()1()f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()0f x f x --=或()1()f x f x -=，则()f x 为偶函数（其中()0f x ≠）． 4．性质判定法例4 若0a >，[]()()f x x a a ∈-，是奇函数，()()g x x ∈R 是偶函数，试判定()()()x f x g x ϕ=的奇偶性．解：在()()f x g x ，的公共定义域[]a a -，内，任取一个x ，则()()()x f x g x ϕ-=--， ()()f x g x ，分别是奇函数和偶函数，()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=．()()()()()()x f x g x f x g x x ϕϕ∴-=--=-=-．()x ϕ∴在[]a a -，上为奇函数．评注：在两个函数（常函数除外）的公共定义域关于原点对称的前提下：①两个偶函数的和、差、积都是偶函数；②两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．。

奇偶函数的判断口诀

奇偶函数的判断口诀
判断一个函数是奇函数还是偶函数可以使用以下口诀：
"奇函数积偶负，偶函数积偶正"。

这句口诀的意思是，如果一个函数是奇函数，那么它的奇次幂
的项的系数乘积是负数；如果一个函数是偶函数，那么它的奇次幂
的项的系数乘积是正数。

另外，还可以通过函数的定义来判断。

奇函数满足f(-x)=-
f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

通过这两个条件，可以判断一个函
数是奇函数还是偶函数。

此外，还可以通过函数图像的对称性来判断。

如果函数的图像
关于原点对称，则该函数是奇函数；如果函数的图像关于y轴对称，则该函数是偶函数。

综上所述，通过口诀、函数的定义和函数图像的对称性这几种
方法，可以较为全面地判断一个函数是奇函数还是偶函数。

函数奇偶性的判定口诀

函数奇偶性的判定口诀
函数奇偶性的判定口诀是：内偶则偶，内奇同外。

验证奇偶性的前提：请求函数的定义域必须关于原点对称。

扩展资料
函数奇偶性的概念
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上是减函数（增函数）。

但由单调性不能代表其奇偶性。

验证奇偶性的`前提请求函数的定义域必须关于原点对称。

判断函数奇偶性的方法

判断函数奇偶性的方法
⑴定义域法
求出函数的定义域，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；如果定义域关于原点对称，则要用下面方法继续判别。

⑵解析法
利用函数解析式，根据奇偶性的定义确定函数奇偶性的方法。

⑶图像法
利用图像的对称性确定函数奇偶性的方法。

⑷运算法
利用已知函数的奇偶性，确定它们的和、差、积、商型函数的奇偶性。

注意：一般来说，函数的奇偶性有四种情况，一个函数不可能有两种奇偶性。

但函数Y=0是特殊情况，它既是奇函数、又是偶函数，这点要特别考虑。

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函数奇偶性的判断方法

函数奇偶性的判断方法函数的奇偶性，指的是一个函数图象关于坐标系原点或y轴的对称性。

判断函数奇偶性的方法主要有图象法、定义法、奇偶函数的四则运算性质、奇偶函数的复合函数性质等。

1、图象法（1）若一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数。

（2）若一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数。

【注意事项】（1）若奇函数()y f x=在0x=处有定义，则其函数图象必定过原点，即必有()00f=。

（2）奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

2、定义法（1）若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()f x f x-=-，那么函数()y f x=为定义域上的奇函数。

【等价定义1】若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()0f x f x-+=，那么函数()y f x=为定义域上的奇函数。

【等价定义2】若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()1f xf x-=-（分母不为0），那么函数()y f x=为定义域上的奇函数。

（2）若函数()y g x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()f x f x-=，那么函数()y f x=为定义域上的偶函数。

【等价定义1】若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x都有()()0f x f x--=，那么函数()y f x=为定义域上的偶函数。

【等价定义2】若函数()y f x=的定义域关于原点对称，并且对定义域内的任意x 都有()()1f x f x -=（分母不为0），那么函数()y f x =为定义域上的偶函数。

3、奇偶函数的四则运算性质（1）两个奇函数的和或差仍为奇函数。

【例】sin y x x =+，3sin y x x =-等。

（2）两个偶函数的和或差仍为偶函数。

【例】1cos y x =+，2cos y x x =-等（3）两个奇函数的积或商（除数不为0）奇函数为偶函数。

函数奇偶性的判断方法

函数奇偶性的判断方法在学习函数的性质时，我们经常会遇到函数的奇偶性判断问题。

那么，什么是函数的奇偶性呢？如何准确地判断一个函数的奇偶性呢？本文将详细介绍函数奇偶性的判断方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来了解一下函数的奇偶性的概念。

一个函数的奇偶性是指该函数图象关于原点对称的性质。

具体来说，如果对于函数f(x)，对于任意实数x，有f(-x)=f(x)，那么我们称该函数为偶函数；如果对于函数f(x)，对于任意实数x，有f(-x)=-f(x)，那么我们称该函数为奇函数。

接下来，我们将介绍如何判断一个函数的奇偶性。

首先，我们可以利用函数的解析式来进行判断。

对于一个函数f(x)，如果它的解析式中只包含偶次幂的项（如x^2, x^4,等），那么该函数就是偶函数；如果它的解析式中只包含奇次幂的项（如x, x^3,等），那么该函数就是奇函数；如果它的解析式中即包含偶次幂的项，又包含奇次幂的项，那么该函数既不是偶函数，也不是奇函数。

其次，我们可以利用函数的图象来进行判断。

对于一个函数f(x)，如果它的图象关于y轴对称，那么该函数是偶函数；如果它的图象关于原点对称，那么该函数是奇函数；如果它的图象既不关于y轴对称，也不关于原点对称，那么该函数既不是偶函数，也不是奇函数。

除此之外，我们还可以利用函数的性质来进行判断。

对于一个函数f(x)，如果它满足函数的奇偶性质，那么我们可以利用函数的性质来进行判断。

例如，对于偶函数，我们有f(x)+f(-x)=0；对于奇函数，我们有f(x)-f(-x)=0。

总之，函数的奇偶性判断方法主要有三种，利用函数的解析式、利用函数的图象、利用函数的性质。

通过这些方法，我们可以准确地判断一个函数的奇偶性。

在实际问题中，我们经常需要根据函数的奇偶性来简化问题的求解过程，因此掌握这一知识点对于我们的学习和工作都是非常重要的。

希望本文能够帮助大家更好地理解和掌握函数奇偶性的判断方法，同时也希望大家能够在实际问题中灵活运用这一知识点，提高问题的解决效率。

函数的奇偶性口诀

函数的奇偶性口诀函数奇偶性的判断口诀：内偶则偶，内奇同外。

验证奇偶性的前提：要求函数的定义域必须关于原点对称。

判定奇偶性四法（1）定义法用定义来判断函数奇偶性，是主要方法。

首先求出函数的定义域，观察验证是否关于原点对称。

其次化简函数式，然后计算f(-x)，最后根据f(-x)与f(x)之间的关系，确定f(x)的奇偶性。

（2）用必要条件具有奇偶性函数的定义域必关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件。

例如，函数y=的定义域(-∞，1)∪(1，+∞)，定义域关于原点不对称，所以这个函数不具有奇偶性。

（3）用对称性若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数。

若f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数。

（4）用函数运算如果f(x)、g(x)是定义在D上的奇函数，那么在D上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)?g(x)是偶函数。

简单地，“奇+奇=奇，奇×奇=偶”。

类似地，“偶±偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇”。

函数奇偶性性质1、大部分偶函数没有反函数（因为大部分偶函数在整个定义域内非单调函数）。

2、偶函数在定义域内关于y轴对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。

3、奇±奇=奇（可能为既奇又偶函数），偶±偶=偶（可能为既奇又偶函数），奇X奇=偶，偶X偶=偶，奇X偶=奇（两函数定义域要关于原点对称）.4、对于F（x）=f[g(x)]：若g(x）是偶函数且f（x）是偶函数，则F[x]是偶函数。

若g(x）是偶函数且f（x）是奇函数，则F[x]是偶函数。

若g(x）是奇函数且f（x）是奇函数，则F[x]是奇函数。

若g(x）是奇函数且f（x）是偶函数，则F[x]是偶函数。

5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称。

判断奇偶性的步骤

判断奇偶性的步骤
1、用定义来判断函数奇偶性。

首先求出函数的定义域，观察验证是否关于原点对称。

其次化简函数式，然后计算f(-x)，最后根据f(-x)与f(x)之间的关系，确定f(x)的奇偶性。

奇函数：定义域关于原点对称的函数f（x），满足在定义内任意f（x）都有f（x）=-f（-x）。

偶函数：定义域关于原点对称的函数f（x），满足在定义内任意f（x）都有f（x）=f（-x）。

2、具有奇偶性函数的定义域必关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要条件。

例如，函数y=的定义域(-∞，1)∪(1，+∞)，定义域关于原点不对称，所以这个函数不具有奇偶性。

3、用对称性。

若f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数。

若f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)是偶函数。

4、用函数运算。

如果f(x)、g(x)是定义在D上的奇函数，那么在D上，f(x)+g(x)是奇函数，f(x)•g(x)是偶函数。

如：“奇+奇=奇，奇×奇=偶”。

函数的奇偶性

函数的奇偶性定义：设函数y=f(x)如果对于任意的x A ∈都有发y=f(x)f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数设函数y=f(x)如果对于任意的x A ∈都有发f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数注：1 函数y=f(x)是奇函数或偶函数，则称函数y=f(x)具有奇偶性2 定义域不关于原点对称或得不出y=f(x)和 f(-x)=-f(x)，则称f(x)不具有奇偶性一判断函数奇偶性的几种方法1.直接利用定义判定如果函数f(x)的定义域关于原点对称，则可验证是否满足f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)，从而判定f(x)是奇函数还是偶函数。

注：a:既是奇函数又是偶函数只能f(x)=0f(x)=0,但定义域的不同。

f(x)=0有无穷个b:若函数是奇函数则f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0例1．判断下列函数的奇偶性 (1) 11)(--+=x x x f ； (2) xx x x f -+-=11)1()( ; (3)221)(2---=x x x f ; (4) ⎪⎩⎪⎨⎧>+<-=)0()1()0()1()(x x x x x x x f ④33)(22-+-=x x x f 既是奇函数又是偶函数 ⑤2)(2+--=a x x x f a=0时偶函数，a ≠0时非奇非偶函数 ⑥22)(+--=x x x f5．(2008年高考上海卷)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________________.2.间接利用定义判定（定义的等价命题）f(x)+f(-x)=0⇔f(x)是奇函数，f(x)-f(-x)=0⇔f(x)是偶函数或当f(x)≠0时，1)()(-=-x f x f ⇔)(x f 是奇函数。

1)()(=-x f x f ⇔)(x f 是偶函数注：函数以对数形式或根式出现时，可考虑此方法。

判断函数奇偶性的方法

判断函数奇偶性的方法对于一个给定的函数，我们常常需要判断它的奇偶性。

判断一个函数的奇偶性可以帮助我们更好地理解函数的性质，从而更好地解决问题。

在数学中，奇函数和偶函数是两种特殊的函数类型，它们具有一些特定的性质和规律。

本文将介绍判断函数奇偶性的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

首先，我们来看一下奇函数和偶函数的定义。

一个函数f(x)是奇函数，当且仅当对任意x∈D，都有f(-x)=-f(x)成立；一个函数f(x)是偶函数，当且仅当对任意x∈D，都有f(-x)=f(x)成立。

其中，D表示函数的定义域。

接下来，我们将介绍几种常见的判断函数奇偶性的方法。

方法一，利用函数图像判断。

对于一个给定的函数，我们可以通过观察它的图像来判断它的奇偶性。

具体来说，如果函数的图像关于原点对称，那么这个函数就是偶函数；如果函数的图像关于坐标轴原点对称，那么这个函数就是奇函数。

例如，对于函数y=x^2，它的图像是一个关于y轴对称的抛物线，因此它是偶函数；而对于函数y=x^3，它的图像是关于原点对称的曲线，因此它是奇函数。

方法二，利用函数的性质判断。

除了通过观察函数的图像来判断奇偶性外，我们还可以利用函数的性质来进行判断。

具体来说，我们可以利用函数的定义和性质来进行推导和证明。

以多项式函数为例，我们知道，一个多项式函数可以表示为f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，其中a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0为常数，n为非负整数。

对于一个多项式函数，如果它满足f(-x)=f(x)，那么它就是偶函数；如果它满足f(-x)=-f(x)，那么它就是奇函数。

方法三，利用导数判断。

另外，我们还可以利用函数的导数来判断函数的奇偶性。

具体来说，如果一个函数f(x)是偶函数，那么它的导数f'(x)是奇函数；如果一个函数f(x)是奇函数，那么它的导数f'(x)是偶函数。

判断函数奇偶性的方法

判断函数奇偶性的方法在数学中，我们经常会遇到需要判断一个函数的奇偶性的情况。

函数的奇偶性对于我们分析函数的性质和图像至关重要，因此掌握判断函数奇偶性的方法是很有必要的。

本文将介绍几种常见的判断函数奇偶性的方法，希望能够帮助大家更好地理解和应用这一知识点。

首先，我们来看一下奇函数和偶函数的定义。

一个函数f(x)被称为奇函数，如果对于任意x∈D，都有f(-x)=-f(x)成立；一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于任意x∈D，都有f(-x)=f(x)成立。

其中D为函数的定义域。

接下来，我们介绍判断函数奇偶性的方法。

方法一，利用函数图像的对称性。

对于一个函数f(x)，我们可以通过观察其图像来判断其奇偶性。

如果函数的图像关于y轴对称，即对于任意x∈D，都有f(-x)=f(x)成立，那么这个函数就是偶函数；如果函数的图像关于原点对称，即对于任意x∈D，都有f(-x)=-f(x)成立，那么这个函数就是奇函数。

方法二，利用导数的性质。

我们知道，奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。

因此，我们可以通过求函数的导数来判断函数的奇偶性。

具体来说，对于一个函数f(x)，如果它的导数f'(x)是偶函数，那么f(x)就是奇函数；如果它的导数f'(x)是奇函数，那么f(x)就是偶函数。

方法三，利用函数的性质。

有一些函数具有特定的性质，通过观察这些性质，我们也可以判断函数的奇偶性。

例如，对于多项式函数来说，如果它只包含偶次幂的项，那么它就是偶函数；如果它只包含奇次幂的项，那么它就是奇函数。

方法四，利用函数的表达式。

有些函数的表达式本身就能够直接反映出它的奇偶性。

例如，sin(x)是奇函数，cos(x)是偶函数，x^2是偶函数，x^3是奇函数，e^x是奇函数等等。

综上所述，判断函数奇偶性的方法有很多种，我们可以根据具体的函数形式和条件来灵活运用这些方法。

掌握了判断函数奇偶性的方法，我们就能更好地理解和分析函数，为数学问题的解决提供更多的思路和方法。

函数奇偶性总结

函数奇偶性总结一、函数的奇偶性概念在数学中，我们经常研究函数的性质，其中一个重要的性质就是奇偶性。

函数的奇偶性描述了函数的对称性质。

一个函数$f(x)$被称为奇函数，如果对于任意实数$x$，有$f(-x)=-f(x)$成立。

换句话说，奇函数在原点处对称，图像关于坐标原点对称。

一个函数$f(x)$被称为偶函数，如果对于任意实数$x$，有$f(-x)=f(x)$成立。

换句话说，偶函数在原点处对称，图像关于$y$轴对称。

二、判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性有以下几种方法：1. 使用函数表达式对于多项式函数或已知函数表达式，可以通过观察函数表达式中的各项系数来快速判断函数的奇偶性。

- 对于多项式函数，如果函数的各项次数都是偶数，则函数是偶函数；如果函数的各项次数都是奇数，则函数是奇函数。

- 对于已知函数表达式，如果函数表达式中只包含偶数次幂或只包含奇数次幂的项，则函数是奇函数或偶函数。

2. 使用图像对称性通过观察函数的图像可以判断函数的奇偶性。

- 如果函数图像关于$y$轴对称，则函数是偶函数。

- 如果函数图像关于原点对称，则函数是奇函数。

3. 使用微积分方法利用微积分的性质可以判断函数的奇偶性。

- 奇函数的导函数是偶函数。

- 偶函数的导函数是奇函数。

通过求导函数，可以判断函数的奇偶性。

三、函数奇偶性的应用函数的奇偶性在数学和物理中具有广泛的应用。

- 在函数的图像对称性的研究中，奇函数和偶函数是常见的对象。

- 在积分计算中，奇函数在对称区间上的积分为零，只需要计算一个半区间的积分即可。

- 在物理学中，奇函数和偶函数经常用于描述对称性问题，如电荷分布的对称性等。

四、总结函数的奇偶性是函数的重要性质，可以通过函数表达式、图像对称性和微积分方法等多种方法来判断函数的奇偶性。

了解函数的奇偶性对于解决数学问题和物理问题都具有重要的意义。

考点05 函数奇偶性的3种判断方法及2个应用方向(原卷版)

专题二函数考点5 函数奇偶性的3种判断方法及2个应用方向【方法点拨】一、处理函数奇偶性的判断及应用问题的方法 1. 函数奇偶性的判断方法 (1) 定义法：利用定义或定义的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)与f(x)-f(-x)=0(偶函数)； (2) 性质法：在公共定义域内，有“奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇x 奇=偶，偶x 偶=偶，奇x 偶=奇”. (3) 图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性. 2. 函数奇偶性的应用主要有两个方向（1）求函数值或函数解析式：利用奇偶性将所求值或解析式对应的自变量转化到已知解析式的区间，构造方程(组).(2)求参数：由定义或定义的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)与f(x)-f(-x)=0(偶函数)得到恒等式，再利用系数相等构造方程(组). 【高考模拟】1．已知()f x 、()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数，若()()22xf xg x --=，则()1g -=（）A ．5B ．5-C ．3D ．3-2．设()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在(),0-∞上是减函数，又()40f -=，则不等式()()440f x f x x+--->的解集是（）A ．()0,4B ．()8,4--C ．()()4,00,4- D ．()()8,40,4--⋃3．函数2()x xe ef x x-+=的图像大致为（） A ． B ．C ．D ．4．已知定义域为R 的函数()f x 满足：①图象关于原点对称；②3()2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2()log (1)f x x m =++.若2(2020)log 3f =，则m =（） A ．1-B ．1C ．2-D ．25．已知(21)2()21x xa f x +-=+是奇函数，那么实数a =（） A ．0B ．-1C ．2D ．16．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+,(0)2f =，则(10)f =（） A ．4-B ．2-C ．2D ．47．下列函数在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（） A ．1()2x f x =B ．()sin f x x =C ．()cos f x x =D ．()||f x x x =-8．已知3()1f x ax bx =++，且f (5)=7，则f (－5)的值是（） A ．－5B ．－7C ．5D ．79．若()x φ，()g x 都是奇函数，()()()2f x a x bg x ϕ=++在（0，＋∞）上有最大值5，则()f x 在（－∞，0）上有（） A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－310．偶函数()y f x =在1[,)2+∞内是增函数，下列不等式一定成立的是（） A ．(1)(2)0f f +-> B ．(1)(2)0f f +-< C ．(1)(2)0f f -->D ．(1)(2)0f f --<11．若奇函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，且最小值是1，则f (x )在[-b ，-a ]上是（） A ．增函数且最小值是-1 B ．增函数且最大值是-1 C ．减函数且最小值是-1D ．减函数且最大值是-112．已知函数2()f x x ax b =++，且(2)f x +是偶函数，则57(1),(),()22f f f 的大小关系是（）A ．57()(1)()22f f f <<B ．75(1)()()22f f f <<)C ．75()(1)()22f f f <<D ．75()()(1)22f f f <<13．已知函数()22,x xf x -=-则不等式()()280x f f +-<的解集为（）A ．(-3，0)B ．(),3-∞C ．(0，3)D ．()3,+∞14．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()21f x x =+，则(3)f 等于（） A ．7-B ．7C ．5-D ．515．已知()()22xxf x a a =-≠为奇函数，则“12m <-”是“()0f m >”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件16．已知y =f (x )的图象关于坐标原点对称，且对任意的x ∈R ，f (x +2)=f (-x )恒成立，当10x -≤<时，f (x )=2x ，则f (2021)=_____________.17．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()f x g x x x a -=++，则(2)g =__________．18．已知()f x 为奇函数，且当0x >时单调递增，(3)0f =，则不等式()0xf x <的解集__________． 19．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=，又当(0,1)x ∈时，()21x f x =-，则12(log 7)f 的值等于__________．20．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在[)0,+∞上为增函数，若112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式1(21)0f x -≤+≤的解集为___________21．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x +2)=-f (x ).当x ∈[0，2]时，()22.f x x x =- （1）求证：f (x )是周期函数；（2）当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式；（3）计算()()()012)20(17f f f f +++⋯+. 22．函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若(1)5=-f ，求((5))f f . 23．已知函数11(),11f x ax a R x x =++∈+-．（I ）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（Ⅱ）当2a <时，证明：函数()f x 在(0,1)上单调递减．24．（1）()f x 是R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，()()31f x x x =-，求x ∈R 时()f x 的解析式；（2）设()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+，求()f x 和()g x 的解析式．25．设函数()f x 的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的12x x ≠，有f (12x x -)=12211()()()()f x f x f x f x +- . 求证：()f x 是奇函数.26．()f x x a a=-+为奇函数，则a 的取值范围27．已知函数()()f x g x 、的定义域都是R ，而()f x 是奇函数，()g x 是偶函数. ①判断[]2()()3()F x f x g x =-的奇偶性；②如果22()3()623f x g x x x +=-+，求函数()()f x g x 、的表达式.28．2()2x x af x a-=+为奇函数，则a 的值29．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且当[)2,0x ∈-时，()2f x x x =-.（1）求函数()f x 在[2,2]-上的解析式.（2）若()229m x m f a --≥对所有[2,2]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.30．已知函数()()()21,311x x xf xg x f x x x x --=++=--+. （1）判断并证明函数()g x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()g x 在(1)+∞，上的单调性；（3）若()()2227244f m m f m m -+≥-+成立，求实数m 的取值范围.。

函数奇偶性怎么判断

函数奇偶性怎么判断在数学中，函数的奇偶性是指函数在自变量的取值范围内对应的因变量的取值情况。

奇函数和偶函数是函数的一种特殊类型，它们具有特定的对称性质。

在函数图像的观察和推导过程中，判断函数的奇偶性是一项重要的工作。

本文将介绍如何判断函数的奇偶性以及相关的数学定理和方法。

一、定义与分类首先，我们来定义奇函数和偶函数。

奇函数：如果对于函数中的任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则称函数f(x)为奇函数。

也就是说，对于奇函数来说，函数值在自变量相反的两个点上取相反的值。

偶函数：如果对于函数中的任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，则称函数f(x)为偶函数。

换句话说，对于偶函数来说，函数值在自变量相反的两个点上取相同的值。

需要注意的是，奇函数和偶函数并不是互斥的关系，一个函数既可以是奇函数又可以是偶函数。

二、判断函数奇偶性的方法接下来，我们将介绍几种常见的方法来判断函数的奇偶性。

1. 利用函数的定义进行证明根据奇函数和偶函数的定义，我们可以通过直接代入来进行证明。

如果将一个函数的自变量x替换为-x，然后将替换后得到的表达式与原来的函数表达式进行比较。

如果两者相等，则说明函数是偶函数；如果两者相反，则说明函数是奇函数。

例如，对于函数f(x) = x^3，我们将x替换为-x，得到f(-x) = (-x)^3 = -x^3。

发现f(-x)和-f(x)不相等，因此函数f(x) = x^3是一个奇函数。

对于函数f(x) = x^2，我们将x替换为-x，得到f(-x) = (-x)^2 = x^2。

发现f(-x)和f(x)相等，因此函数f(x) = x^2是一个偶函数。

2. 利用函数的图像进行观察函数的图像也可以提供一些关于函数奇偶性的线索。

对于奇函数来说，它的图像具有关于原点对称的特点；而对于偶函数，它的图像具有关于y轴对称的特点。

通过观察函数的图像，我们可以判断函数的奇偶性。

如果函数的图像具有关于原点对称或者关于y轴对称的特点，那么函数就是奇函数或者偶函数。

考点05 函数奇偶性的3种判断方法及2个应用方向(解析版)

专题二函数考点5 函数奇偶性的3种判断方法及2个应用方向【方法点拨】一、处理函数奇偶性的判断及应用问题的方法 1. 函数奇偶性的判断方法 (1) 定义法：利用定义或定义的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)与f(x)-f(-x)=0(偶函数)； (2) 性质法：在公共定义域内，有“奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇x 奇=偶，偶x 偶=偶，奇x 偶=奇”. (3) 图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性. 2. 函数奇偶性的应用主要有两个方向（1）求函数值或函数解析式：利用奇偶性将所求值或解析式对应的自变量转化到已知解析式的区间，构造方程(组).(2)求参数：由定义或定义的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)与f(x)-f(-x)=0(偶函数)得到恒等式，再利用系数相等构造方程(组). 【高考模拟】1．已知()f x 、()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数，若()()22xf xg x --=，则()1g -=（）A ．5B ．5-C ．3D ．3-【答案】D 【分析】根据题意可得出关于()1f -、()1g -的方程组，进而可解得()1g -的值. 【解析】()()22x f x g x --=，所以，()()31128f g ---==，①，()()112f g -=，②，因为()f x 、()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数，由②可得()()112f g -+-=，则有()()()()118112f g f g ⎧---=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得()13g -=-.故选：D.2．设()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在(),0-∞上是减函数，又()40f -=，则不等式()()440f x f x x+--->的解集是（）A ．()0,4B ．()8,4--C ．()()4,00,4- D ．()()8,40,4--⋃【答案】B 【分析】分析出函数()f x 在(),0-∞、()0,∞+上的单调性，以及()()440f f =-=，化简得出()40f x x+>，结合图象可得出关于实数x 的不等式组，由此得出原不等式的解集. 【解析】因为()f x 是R 上的奇函数，则()00f =，由于函数()f x 在(),0-∞上是减函数，则该函数在()0,∞+上也为减函数，()40f -=，则()()440f f =--=，作出函数()f x 的大致图象如下图所示：由()()440f x f x x +--->，可得()240f x x+>，由()400f x x ⎧+>⎨>⎩，可得440x x +<-⎧⎨>⎩或0440x x <+<⎧⎨>⎩，此时x ∈∅；由()400f x x ⎧+<⎨<⎩，可得4400x x -<+<⎧⎨<⎩或44x x +>⎧⎨<⎩，解得84x -<<-.因此，不等式()()440f x f x x+--->的解集是()8,4--.故选：B. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.3．函数2()x x e e f x x -+=的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性和特殊点确定正确选项. 【解析】()f x 的定义域为{}|0x x ≠，()()2x xe ef x f x x-+-==，所以()f x 为偶函数，由此排除CD 选项. ()211101e e f e e+==+>，由此排除B 选项.故选：A4．已知定义域为R 的函数()f x 满足：①图象关于原点对称；②3()2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2()log (1)f x x m =++.若2(2020)log 3f =，则m =（） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】B 【分析】由①可知函数()f x 为奇函数，由②可知图象关于34x =对称，则函数()f x 为周期函数，周期为3，然后利用周期性可知()21(2020)1log 32f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭解出m 的值. 【解析】由①可知函数()f x 为奇函数，又33()22f x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3(3)()2f x f x f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，即函数()f x 的周期为3，∴2213(2020)(1)log log 322f f f m ⎛⎫===+= ⎪⎝⎭，解得1m =. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的性质的综合，常见的与函数的对称性、周期性有关的结论有： ①若()()2f x f a x =-，则函数()f x 图象关于x a =对称；②若函数()()22f x f a x b +-=，则函数()f x 图象关于点(),a b 中心对称；③若函数()f x 的图象关于点(),a c 中心对称，且关于直线()x b a b =≠对称，则函数()f x 为周期函数，周期4T a b =-.5．已知(21)2()21x xa f x +-=+是奇函数，那么实数a =（） A ．0 B ．-1C ．2D ．1【答案】D 【分析】由奇函数的性质(0)0f =求解即可；【解析】解：因为(21)2()21x x a f x +-=+定义域为R ，又(21)2()21x xa f x +-=+是奇函数所以(0)0f =，即()0(21)20021a f +-==+，解得1a =.所以21()21x xf x ， ()()21221112x xx x f x f x ----===-++-，即21()21x x f x 是奇函数；故选：D6．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+,(0)2f =，则(10)f =（） A ．4- B ．2-C ．2D ．4【答案】C 【分析】由已知偶函数及(1)(1)f x f x -=+，得出函数是周期函数，周期为2，由此可得结论．【解析】解：根据题意，函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，则()()2f x f x -=+，又由()f x 为偶函数，则有()()f x f x -=，则(2)()f x f x +=，函数()f x 是周期为2的周期函数，故(10)(0)2f f ==，故选：C.7．下列函数在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．1()2x f x = B ．()sin f x x = C ．()cos f x x = D ．()||f x x x =-【答案】D 【分析】根据基本初等函数的基本性质判断各选项中函数的单调性与奇偶性，即可得出合乎题意的选项. 【解析】对于A 选项，函数1()2xf x =是非奇非偶函数；故A 不正确. 对于B 选项，函数()sin f x x =在定义域内不是减函数，故B 不正确. 对于C 选项，函数()cos f x x =在定义域内不是减函数，故C 不正确.对于D 选项，()||f x x x =-,则()||()f x x x f x -=-=-，所以()f x 为奇函数.又220()0x x f x x x x x≥⎧-=-=⎨<⎩,当0x ≥时，2()f x x =-为减函数.又()f x 为奇函数，则()f x 在(]0-∞，上单调递减，且()00f = 所以()f x 在R 上单调递减，满足条件，故D 正确. 故选：D8．已知3()1f x ax bx =++，且f (5)=7，则f (－5)的值是（） A ．－5 B ．－7C ．5D ．7【答案】A 【分析】令3()g x ax bx =+利用函数的奇偶性计算可得；【解析】解：因为3()1f x ax bx =++，令3()g x ax bx =+，()()1f x g x =+则()()()()33()g x a x b x ax bx g x -=-+⋅-=-+=-，即3()g x ax bx =+为奇函数，又()57f =，所以()()5517f g =+=，所以()56g =，所以()()556g g -=-=-，所以()()551615f g -=-+=-+=-故选：A9．若()x φ，()g x 都是奇函数，()()()2f x a x bg x ϕ=++在（0，＋∞）上有最大值5，则()f x 在（－∞，0）上有（） A ．最小值－5 B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3【答案】C 【分析】由于()x φ、()g x 为奇函数，得()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数，则()2f x -在（0，＋∞）上有最大值3，即可得()f x 的最值. 【解析】因为()x φ、()g x 为奇函数，∴()2()()f x a x bg x φ-=+为奇函数．又()f x 有最大值5， ∴()2f x -在（0，＋∞）上有最大值3，∴()f x －2在(,0)-∞上有最小值－3，∴()f x 在(,0)-∞上有最小值－1．故选：C10．偶函数()y f x =在1[,)2+∞内是增函数，下列不等式一定成立的是（） A ．(1)(2)0f f +-> B ．(1)(2)0f f +-< C ．(1)(2)0f f --> D ．(1)(2)0f f --<【答案】D 【分析】利用函数的单调性可得(1)(2)0f f -<，再利用奇偶性可得答案. 【解析】因为函数()y f x =在1[,)2+∞内是增函数，且1212>>，所以(2)(1)(1)(2)0f f f f >⇒-<，又因为函数()y f x =是偶函数，所以(2)(2)f f =-，所以(1)(2)0f f --<，故选：D.11．若奇函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，且最小值是1，则f (x )在[-b ，-a ]上是（） A ．增函数且最小值是-1 B ．增函数且最大值是-1 C ．减函数且最小值是-1 D ．减函数且最大值是-1【答案】B 【分析】根据奇函数在对称区间上的单调性相同，结合选项判断即可．【解析】因为函数f （x ）是奇函数，且在[a ，b]上是增函数，故函数在对称区间上单调性相同，即函数在[-b ，-a]上是增函数，在-1处取得最大值，由奇函数的性质得到(1)(1) 1.f f -=-=- 故选：B12．已知函数2()f x x ax b =++，且(2)f x +是偶函数，则57(1),(),()22f f f 的大小关系是（）A ．57()(1)()22f f f <<B ．75(1)()()22f f f <<)C ．75()(1)()22f f f <<D ．75()()(1)22f f f <<【答案】A 【分析】根据二次函数的对称性及单调性即可比较大小. 【解析】由(2)f x +是偶函数可知函数2()f x x ax b =++关于直线2x =对称，所以(1)(3)f f =，又该函数图象开口向上，当2x >时单调递增，故57()(1)()22f f f <<，故选：A.13．已知函数()22,x xf x -=-则不等式()()280x f f +-<的解集为（）A ．(-3，0)B ．(),3-∞C ．(0，3)D ．()3,+∞【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性转化为解()2(8)xf f <.【解析】因为(2,)2x x R f x x -=-∈，()()22xx f x f x --=-=-，所以()22xxf x -=-为奇函数，2x y =是增函数，2x y -=是减函数()22x x f x -=-为R 上的增函数，所以()2(8)0x f f +-<等价于()2(8)xf f <，因此28x <，即：3x <. 故选：B.14．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()21f x x =+，则(3)f 等于（） A ．7- B ．7C ．5-D ．5【答案】D 【分析】由奇函数定义可求解【解析】()33215f -=-⨯+=- ()(3)35f f =--=故选：D15．已知()()22xxf x a a =-≠为奇函数，则“12m <-”是“()0f m >”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】根据奇函数的定义及充要条件的定义判断. 【解析】因为()()22xx f x a a =-≠为奇函数，所以()()0f x f x +-=，220x x x x a a ---+-=，()()12102xxx a a ⎡⎤--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦恒成立，()21xa =，12a =， ()22x x f x -=-为R 上的减函数，且()00f =，所以()0f m >，0m <，因此，“12m <-”是“()0f m >”的充分不必要条件. 故选:B ．16．已知y =f (x )的图象关于坐标原点对称，且对任意的x ∈R ，f (x +2)=f (-x )恒成立，当10x -≤<时，f (x )=2x ，则f (2021)=_____________. 【答案】12- 【分析】由已知条件推出函数()f x 的周期，利用函数的周期和奇偶性求值即可．【解析】y =f (x )的图象关于坐标原点对称，则()()f x f x =--又()()2f x f x +=-，可得()()()22f x f x f x +=-=-，即()f x 的周期为4()()()()1202145051112f f f f =⨯+==--=-故答案为：12-17．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()f x g x x x a -=++，则(2)g =__________．【答案】8 【分析】由已知求得()()f x g x ---，建立方程组，可求得()3g x x =-，代入可求得答案．【解析】因为()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以3232()()()()f x g x x x a x x a ---=-+-+=-++，即32()()f x g x x x a +=-++，又32()()f x g x x x a -=++，所以()3g x x =-，所以()3228g ==-，故答案为：-8．18．已知()f x 为奇函数，且当0x >时单调递增，(3)0f =，则不等式()0xf x <的解集__________．【答案】(3,0)(0,3)-⋃ 【分析】把()0xf x <转化为0()0x f x >⎧⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩，利用()f x 的单调性、奇偶性及(3)0f =可解.【解析】由题意(3)(3)0f f -=-=，当0x >时，由()0f x <得03x <<，根据函数为奇函数，当0x <时，函数单调递增，由()0f x >得30x -<<，所以0()0()0x xf x f x >⎧<⇔⎨<⎩或0()0x f x <⎧⎨>⎩，解得03x <<或30x -<<．所以不等式的解集为(3,0)(0,3)-⋃．故答案为：(3,0)(0,3)-⋃ 【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式；(2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式.19．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=，又当(0,1)x ∈时，()21x f x =-，则12(log 7)f 的值等于__________．【答案】34- 【分析】由(2)()f x f x +=，得()f x 的周期为2，再判断12log 72+的范围为(1,0)-，再利用奇函数的性质可得1111222277(log 7)(log 72)(log )(log )44f f f f =+==--，然后代入()21x f x =-中可得结果【解析】(2)()f x f x +=，()f x 是周期为2的函数，123log 72-<<-，121log 720∴-<+<，()y f x =是定义在R 上的奇函数，1111222277(log 7)(log 72)(log )(log )44f f f f =+==--27log 473(21)(1)44=--=--=-．故答案为：34-． 20．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在[)0,+∞上为增函数，若112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式1(21)0f x -≤+≤的解集为___________ 【答案】3142⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，【分析】根据()f x 是定义在R 上的奇函数，且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭，将不等式1(21)0f x -≤+≤，转化为()1(21)02f f x f ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，利用函数在R 上是增函数求解. 【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()11,002f f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以不等式1(21)0f x -≤+≤，即为()1(21)02f f x f ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，因为函数在[)0,+∞上为增函数，则在R 上是增函数，所以12102x -≤+≤，解得3142x -≤≤-，所以不等式的解集为3142⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，，故答案为：3142⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，21．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x +2)=-f (x ).当x ∈[0，2]时，()22.f x x x =- （1）求证：f (x )是周期函数；（2）当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式；（3）计算()()()012)20(17f f f f +++⋯+. 【答案】（1）证明见解析；（2）f(x)=x2-6x+8；（3）1. 【分析】（1）把2x +看成一个整体证明()()4f x f x +=即可；（2）先求x ∈[-2，0]的解析式，再利用周期性即可；（3）利用周期性即可获解. 【解析】（1）∵f(x+2)=-f(x)，∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. （2）当x ∈[-2，0]时，-x ∈[0，2]，由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.又f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2，∴f(x)=x2+2x. 又当x ∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期为4的周期函数 ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得x ∈[2，4]时，f(x)=x2-6x+8.（3）f （0）=0，f （2）=0，f （1）=1，f （3）=-1. 又f(x)是周期为4的周期函数，∴f （0）+f （1）+f （2）+f （3）=f （4）+f （5）+f （6）+f （7）=… =f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0， ∴f （0）+f （1）+f （2）+…+f(2017)= f （0）+f （1）=0+1=1. 22．函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=，若(1)5=-f ，求((5))f f .【答案】15- 【分析】先通过1(2)()f x f x +=可推断函数()f x 是以4为周期的函数，进而可求得(5)(1)f f =，(5)(1)f f -=-；根据1(2)()f x f x +=可求得1(1)(1)f f -=，进而可求得((5))f f .【解析】 1(2)()f x f x +=， 1(22)(1)5(2)f x f f x ∴++===-+，((5))(5)(1)f f f f =-=-，又111(1)(12)(1)5f f f -===--+，1((5))5f f ∴=-.23．已知函数11(),11f x ax a R x x =++∈+-．（I ）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（Ⅱ）当2a <时，证明：函数()f x 在(0,1)上单调递减．【答案】（Ⅰ）()f x 为奇函数，证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域，然后直接利用奇偶性的定义判断；（Ⅱ）直接利用单调性的定义证明；【解析】（Ⅰ）解：()f x 为奇函数；证明：因为11(),11f x ax a R x x =++∈+- 所以()f x 的定义域为{|1x R x ∈≠-且1}x ≠， 1111()()()1111f x ax ax f x x x x x -=-++=-++=--+--+-， ∴函数()f x 为奇函数；（Ⅱ）证明：任取1x ，2(0,1)x ∈，设12x x <，则 212112121212()()()(1)(1)(1)(1)x x x x f x f x a x x x x x x ---=-++--++12121211()[](1)(1)(1)(1)x x a x x x x =-----++121222122(1)()[](1)(1)x x x x a x x +=----．1201x x <<<，122(1)2x x ∴+>，22120(1)(1)1x x <--<，∴1222122(1)2(1)(1)x x a x x +>>--， 1222122(1)0(1)(1)x x a x x +∴-<--．又120x x -<，12()()f x f x ∴>．∴函数()f x 在(0,1)上单调递减；24．（1）()f x 是R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，()()31f x x x =-，求x ∈R 时()f x 的解析式；（2）设()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+，求()f x 和()g x 的解析式．【答案】（1）()()()331,00,01,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩；（2）()()()()10,1,111f x x x x x =-≠-+-；()()()()10,1,111g x x x x =-≠-+-.【分析】（1）利用函数的奇偶性求得函数()f x 的解析式.（2）利用函数的奇偶性列方程组，解方程组求得()f x 和()g x . 【解析】（1）由于()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x >时，0x -<，所以()()()()3311f x f x x x x x ⎡⎤=--=--=+⎣⎦.所以()()()331,00,01,0x x x f x x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩. （2）由于()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+，所以()()21f x g x x x ---=-，即()()21f xg x x x--=-，由()()()()2211f x g x x x f x g x x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-⎩，解得()()()()10,1,111f x x x x x =-≠-+-；()()()()10,1,111g x x x x =-≠-+-.25．设函数()f x 的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的12x x ≠，有f (12x x -)=12211()()()()f x f x f x f x +- . 求证：()f x 是奇函数.【答案】证明见解析【分析】对定义域内任意x 存在1x 和2x ，使12x x x =-，同样存在1x 和2x ，使21x x x -=-，根据条件可得12()f x x -与21()f x x -的关系，即()f x 与()f x -间的关系，根据奇偶函数定义即可判断．【解析】解：函数()f x 在定义域内是奇函数．因为在定义域内，对任意x 存在1x 和2x ，使12x x x =-，且满足1212211()()()()()f x f x f x x f x f x +-=-，由于函数()f x 的定义域关于原点对称，x -必与x 同时在定义域内，同样存在1x 和2x ，使21x x x -=-，且满足：2121121()()()()()()f x f x f x f x x f x f x +-=-=-，即()()f x f x =--，()()f x f x ∴-=-，∴函数()f x 在定义域内是奇函数．26．()f x =为奇函数，则a 的取值范围【答案】1a ≤- 【分析】先求函数得定义域，再根据奇函数得出恒等式，进而可得结果. 【解析】()f x 定义域为11x -≤≤且0x ≠，()f x 为奇函数，所以()()-==-=f x f x 所以对11x -≤≤且0x ≠，++=---x a a x a a 恒成立所以+=2+--x a x a a 恒成立()+2221min x a x a x a x a x +-≥⇒-≥⇒≤-=-所以1a ≤- 【点睛】关键点点睛：函数的定义域容易被忽略，本题考查了计算化简能力和逻辑推理能力，属于中档题目. 27．已知函数()()f x g x 、的定义域都是R ，而()f x 是奇函数，()g x 是偶函数. ①判断[]2()()3()F x f x g x =-的奇偶性；②如果22()3()623f x g x x x +=-+，求函数()()f x g x 、的表达式. 【答案】①偶函数；②2(),()21f x x g x x =-=+ 【分析】（1）按照定义判断即可；（2）由条件解得22()3()2()3()623f x g x f x g x x x -+-=-+=++，然后解出即可. 【解析】（1）因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数所以[][][]()222()()3()()3()()3()F x f x g x f x g x f x g x F x -=---=--=-= 所以[]2()()3()F x f x g x =-是偶函数（2）因为22()3()623f x g x x x +=-+，()f x 是奇函数，()g x 是偶函数所以22()3()2()3()623f x g x f x g x x x -+-=-+=++ 所以可解得2(),()21f x x g x x =-=+28．2()2x x af x a-=+为奇函数，则a 的值【答案】±1 【分析】利用奇函数的定义可得()()f x f x -=-列式，化简可求出a 的值【解析】解：因为2()2x x af x a-=+为奇函数，所以()()f x f x -=-，即2222x x x xa aa a----=-++， (2)(2)(2)(2)x x x x a a a a ---+=+-化简得21a =，得1a =±，当1a =时，21()21x x f x （x ∈R ），此时211221()()211221x x x x xx f x f x ------===-=-+++， ()f x 为奇函数，当1a =-时，21()21x x f x +=-（0x ≠），此时211221()()211221x x x x xx f x f x --+++-===-=----，()f x 为奇函数，所以1a =±29．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且当[)2,0x ∈-时，()2f x x x =-.（1）求函数()f x 在[2,2]-上的解析式.（2）若()229m x m f a --≥对所有[2,2]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()[)()()(]()222,0,00,0,2.x x x f x x x x x ⎧-∈-⎪⎪==⎨⎪--∈⎪⎩；（2）[]1,1-.【分析】（1）利用奇函数的定义可得函数的解析式；（2）由二次函数的性质可得函数()f x 的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列不等式组，可得实数m 的取值范围．【解析】（1）函数()f x 为定义域上的奇函数，所以()00f =，当(]0,2x ∈时，()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦，所以()[)()()(]()222,0,00,0,2.x x x f x x x x x ⎧-∈-⎪⎪==⎨⎪--∈⎪⎩（2）根据题意得，函数()f x 为减函数，所以()f x 的最小值为()26f =-，要使()229m x m f a --≥对所有[]2,2x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，即2629m am -≥--对所有[]1,1a ∈-恒成立，则()()221230,1230,g m m g m m ⎧-=+-≤⎪⎨=--≤⎪⎩即31,13,m m -≤≤⎧⎨-≤≤⎩ ∴11m -≤≤，∴实数m 的取值范围是[]1,1-. 30．已知函数()()()21,311x x xf xg x f x x x x --=++=--+. （1）判断并证明函数()g x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()g x 在(1)+∞，上的单调性；（3）若()()2227244f m m f m m -+≥-+成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）递增，证明见解析；（3）[]1,3-. 【分析】（1）函数()g x 为奇函数，计算得到()()g x g x -=-得到证明；（2）函数()g x 在()1,+∞上单调递增，设121x x <<，计算()()120g x g x -<得到证明；（3）根据函数的单调性得到不等式2227244m m m m --+≥+，计算得到答案. 【解析】（1）根据题意，()g x 为奇函数，()()21111331111x x x g x f x x x x x x x --⎛⎫=-=++-=-++ ⎪-+-+⎝⎭，其定义域为{|1x x ≠-且0x ≠且1}x ≠，关于原点对称，则有()()11111g x g x x x x ⎛⎫-=-++=-⎪-+⎝⎭，则函数()g x 为奇函数；（2）根据题意，函数()g x 在()1,+∞上的单调递增，设121x x <<，()()121112221111111111g x g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+++++ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()()()()()121212121111111x x x x x x x x ⎡⎤=-++⎢⎥--++⎢⎥⎣⎦，又由121x x <<，则()()120g x g x -<，则函数()g x 在()1,+∞上的单调递增，（3）根据题意，()g x 在()1,+∞上的单调递增，()()3f x g x =+在()1,+∞上的单调递增；又由()()2222271612442121m m m m m m +=-+>+=--+->，， ()()2227244f m m f m m -+≥-+，∴2227244m m m m --+≥+，解可得：13m -≤≤；即m 的取值范围为[]1,3-. 【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x -==.。

如何判断一个函数的奇偶性

如何判断一个函数的奇偶性函数的奇偶性是数学中一个重要的概念，它能够帮助我们研究函数的性质和特点。

判断一个函数的奇偶性可以从不同的角度出发，下面将介绍几种常见的方法。

一、利用函数的定义进行判断对于定义在整个实数集上的函数f(x)，我们可以通过以下方式来判断它的奇偶性：1. 如果f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；2. 如果f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；3. 如果既不满足条件1，也不满足条件2，则函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数。

例如，对于函数f(x) = x²，我们有f(-x) = (-x)² = x²，因此函数f(x)是偶函数。

二、利用函数图像进行判断通过观察函数的图像，我们也可以判断函数的奇偶性。

对于定义在整个实数集上的函数f(x)，如果函数的图像关于y轴对称，则函数是偶函数；如果函数的图像关于原点对称，则函数是奇函数。

例如，对于函数f(x) = sin(x)，我们知道正弦函数的图像关于原点对称，因此函数f(x)是奇函数。

三、利用导数进行判断对于可导函数f(x)，我们还可以通过判断函数的导数来确定其奇偶性。

如果函数的导数f'(x)满足以下条件：1. 如果f'(-x) = f'(x)，则函数f(x)是偶函数；2. 如果f'(-x) = -f'(x)，则函数f(x)是奇函数；3. 如果既不满足条件1，也不满足条件2，则函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数。

例如，对于函数f(x) = x³，我们有f'(-x) = (-x)³ = -x³，而f'(x) = 3x²，因此函数f(x)是奇函数。

四、利用级数展开进行判断对于周期为2π的函数f(x)，我们还可以通过将函数展开成傅里叶级数来判断函数的奇偶性。

根据傅里叶级数的性质，如果函数f(x)满足以下条件：1. 如果f(x) = f(-x)，则函数f(x)是偶函数；2. 如果f(x) = -f(-x)，则函数f(x)是奇函数；3. 如果既不满足条件1，也不满足条件2，则函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数。