2-1 连续时间信号的取样和抽样定理 - 数字信号处理

1 T
m
X a ( j
j
2m )
T
X (e j ) ~ X a ( j)
2 F
2 f 2 FT
2 F / Fs
（5）
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§2-1 连续时间信号的取样和抽样定理
令
s
△
2
T
2 Fs
取样角频率
取样频率
Fo
Fs 2
§2-1 连续时间信号的取样和抽样定理
X (e j ) X (e jT )
X a ( j)
x(n)
xa (t)
xa
(t)
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1
2
T T X (e jT )e jt d
T
将（2）式代入，
（8）
7 / 30
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§2-1 连续时间信号的取样和抽样定理
xa
(t )
1
2
T
T
T
[
xa (nT )e jnT ]e jt d
n
1
2
T xa (nT )
n
T e j(t nT )d
T
T
2
xa (nT )
n
T
1
e j(t nT )
j(t nT )
T
xa
n
( nT
)
Sin[ (t
T
(t
nT nT )
)]
T
n
xa
( nT
第二章 离散时间信号与系统分析基础
§2-1 连续时间信号的取样和抽样定理
一、信号的取样
T=?
2 / 30
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§2-1 连续时间信号的取样和抽样定理
二、取样定理/采样定理
设 xa (t) F T X a ( j)
x(n) DTFT X (e j )
X (e j )
X (e jT
)
1 T
Xa(
m
j
jms )
设 h为信号最高频率，显然只要 s 2h
则
X
(e j
)
1 T
Xa(
j
T
)
,
或
X
(e jT
)
1 T
Xa(
j)
,
T
△
x(n) xa (nT ) xa (t)
折叠频率
（6）
Shannon取样定理
（7）
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)S
a
[
T
(t
nT )]
式中：
△ Sin(t) Sa (t) t
Sinc函数
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即
X a ( j)
xa
(t
)e
jt
dt
xa
(t)
1
2
X
a
(
j)e
jt
d
X (e j ) x(n)e jn
△
T
n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
（1） （2） 3 / 30
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§2-1 连续时间信号的取样和抽样定理
由（1）式，
1
xa (nT ) 2
X
a
(
j)e
jnT
d
1
2
m
(2m1) T (2m1) T
Xa(
j)e jnT d
（3）
令 2 m T , d d, e j2mn 1
（3）
有
△
x(n) xa (nT )
1
2
m
T
T X a ( j
j 2m )e jmT d
T
令 ,
T ,
1
2
1 T m X a (
j
T
j2m )e jmd
T
（4）
d d
4 / 30
T
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§2-1 连续时间信号的取样和抽样定理
比较（2）、（4）式，有
X (e j ) 1
T
Xa(
m
j
T
j 2m )
T
代入 T ，有
X (e jT )