波动习题课1
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TR＝Jb a＝Rb T R a
b = mgR / (mR2＋J)＝81.7 rad/s2
方向垂直纸面向外． (2) ∵ 当＝0 时，
02
2b
T
mg
0 . 612 rad
物体上升的高度:h = R = 6.12×10-2 m
(3)
10.0 rad/s
方向垂直纸面向外.
质量m1=16kg的实心圆柱体A,其半径为r=15cm,可以绕其固定水平轴 转动,阻力忽略不计.一条轻的柔绳绕在圆柱体上,其另一端系一个 质量为m2=8.0kg的物体B,求(1)物体B由静止开始下降1.0s后的距离 ;(2)绳的张力. N 解: A r (1)对A受力分析, 对圆柱体用转动定律：
y 3 10
2
cos 4 π[ t ( x / 20 ) 0 ]
2
x=5代入： y 3 10
y 3 10
2
cos 4 π[ t ( 5 / 20 ) 0 ]
2
3 10
cos 4 π t
x 20 ) ]
0
cos[ 4 ( t
P24:二.2计算题 解： (1) 波动方程
y 3 10
2
x=0代入： 3 10 2 cos 4 π t 0 0
波的表达式为： y 3 10
2
cos 4 π[ t ( x / 20 ) 0 ]
cos 4 [ t ( x / 20 )]
(2) 以B点为坐标原点，波动方程为：
0 ?
y
A
·· · x ··· · · · ···· p · 0 ···
x p φ x
质点的初相位:x=0 ,t=0。 处的质点t时刻的相位x=0 ! x
?
( t ) t 0 ?
2 x
( x , t ) t 0 2
0
0
x
u
x处质点t时刻的相位！ x处质点的初相位！t=0
反相, 极小
A1 A2 , I max 4 I 0 , I min 0
A A
2 2 1 A 2 2
2 A1 A2 cos p
p
I kA
2
波强
I p I 1 I 2 2 I 1 I 2 cos
8. 半波损失条件
1). 波疏向波密介质. 2). 波垂直入射或掠射时. 3). 反射波相对入射波在反射端处发生π的突变. 9.* 已知两波源的振动状态, 判断干涉点加强与减弱 求出两波源到达干涉点的相位差,根据干涉极大与极小条件判定. S2 2 k 2 r2 p ( 20 10 ) ( r2 r1 ) ( 20 ) p ( 2 k 1)
波 动 习 题 课
弹簧串联:
k m
1 k1 1 k2
1 k
弹簧并联:
k=k1+k2
波动的主要内容
1. 平面简谐波函数的描述方法 所建立的波函数能够描述波线上任何质元的振动.
y ( x , t ) A cos[ ( t x u ) 0 ]
A cos[ t 0
2 x
]
2.平面简谐波的特点: 1). 波线上所有质元都做简谐振动(振幅、频率相同)。
2). 波动过程是质元振动状态、能量和相位的传播. 3). 沿波线方向上的各质元的相位依次落后. 4). 各质元的动能和势能同步振动，即同时达到最大， 同时达到最小。
5). 波的能量密度和强度与该处的振幅的平方成正比。
y A cos( 2 t )
t = t＇x=0处的点，位于平衡位置向负方向运动！
2 t / 2
1 2
o y
2 t
1 2 π]
1 2 ]
y A cos[ 2 π ( t t )
(2) 该波的表达式为： y A cos[ 2 ( t t x / u )
y 0 .1 cos[ 500 t 13 / 12 ]m
t=0时该点的振动速度
v ( dy / dt ) t 0 50 sin( 13 / 12 ) 40 .6 ( m s
1
)
问题 机械波的波长,频率,周期和波速四个量中,当波从一种介质 进入另一种介质时,那些量是不变的? 进入另一种介质时, 频率不变,周期不变。 c 波速变为,波长= uT，波长变！ v n
x
( k = 0，1，2，…)
(2) 设合振幅最小处的合振幅为Amin，有
cos 1
时合振幅最小
4 x /
4 x / ( 2 k 1)
( k = 0，1，2，…)
合振幅最小的点
x ( 2 k 1) / 4
补充：平面简谐波以波速u=0.50m.s-1沿x轴负向传 播,t=2s时刻的波形如图所示,求原点的运动方程. x 解 y ( x , t ) A cos[ ( t ) 0 ] u y/m 由图得: A 0 .5 m 2 .0 m 2 1 2 u / 0 . 5 ( s ) 0 . 5 t=2 T s 确定坐标原点的振动初相0 0 1 .0 根据t=2s原点处质点处于平衡位置 且向上运动。 x ( x , t ) (t ) 0 u ( 0 , 2 ) 3 / 2 0 / 2 o 原点的运动方程： y 0 . 5 cos[ 0 . 5 t 0 . 5 ]m t=2
Tr J
对物体B受力分析,用牛顿定律：
m 2 g T ` m 2 a
角量与线量的关系: 得物体下落的加速度:
解 由图得: A 0 .10 m
3
20 .0 m
0 . 10 0 . 05
u 5 . 0 10 m s 1 2 500 ( s )
1
P
10 m
0
0 .10
确定坐标原点的振动初相0 t=0时位于原点处的质点将沿oy轴的负方向运动. 0 / 3
u
x/m
2 .0
y
如图所示,两振动方向相同的平面简谐波波源分别位于A,B 点,设它们相位相同,且频率=30Hz,波速u=0.50m.s-1.求点P 处两列波的相位差. P 解 BP AP 2 AB 2 2 AP AB cos 30 0 点P处两列波的波程差: r AP BP
10. 已知 两波的波函数, 求干涉点的振动方程 同方向同频率的简谐振动的合成:
S1
( 10 )
r1
Ap
A1 A 2 2 A1 A 2 cos
2 2
p
tg
A1 sin 1 A 2 sin 2 A1 cos 1 A 2 cos 2
φ1 是第一列波到达p点时引起的初相, φ2是第二列波引起的初相. 2 r1 S2 1 10 r2 ( 20 ) 2 r2 p 2 20 S1 r1 ( )
判断下面几种说法,哪些是正确的,那些错的? (1)机械振动一定能产生机械波; 错 机械振动在弹性介质中传播形成的波,叫机械波
(2)质点振动的速度是和波的传播速度相等的; 错
(3)质点振动的周期和波的周期数值是相等的; 对
(4)波动方程式中的坐标原点是选取在波源位置上的. 错
P12：二、1：
mg－T＝ma
解
（1）R处两列波的相位差： P
QP 2 r / 3
A
3/2
Q
R
（2）：合振幅：
A A 2 A1 A2 cos 3 A1 A2
2 1 2 2
干涉加强还是减弱？
应用： 图是干涉型消声器结构的原理图,利用这一结构 可以消除噪声,当发动机排气噪声声波经管道到达点A时, 分成两路而在点B相遇,声波因干涉而相消,求图中弯道与 直管长度差,r=r2-r1至少应为多少?(设声速为340m.s-1) r2 2 k 1, k 0, 1 解 由相消条件: 两列波的相位差: 2 r /
21 20 10 2 ( r2 r1 )
2 . 94 m
30
0
相位差: BA
2 r /
A (
S2
2
A 0.07m B r2
)
p
S1
( 1 )
2 r / u 7 .2
B
r1
练习：如图所示,两相干波源分别在P,Q两点,它们发出频率 为,波长为,初相相同的两列相干波,设PQ=3/2,R为PQ连 线上的一点.求（1）自P,Q发出的两列波在R处的相位差； （2）两波在R处干涉时的合振幅.
O
X
b、给出o点的振动情况：确定振幅，频 率和初相。
y ( x , t ) A cos[ t 0 2 x
]
2). *已知其它点的振动情况，建立波函数： Φ0=? 2 x 1 0 o
x p
x
已知φ1 4.* 已知波函数, 确定波线上一质元的振动方程的方法 已知波函数, 将考察点的坐标代入得到该点的振动方程.
y ( x , t ) A cos[ ( t x u ) 0]
φ0 o
y ( x 1 , t ) A cos[ ( t
x1 u
x1
) 0 ]
x
如果给出波形曲线,可以首先判断考 察点的振动方向,用旋转矢量法确定 该点的初相或相位。 5. 波的干涉条件与波线上质元的相位 1). 干涉条件: 振动方向相同, 频率相同, 相位恒定 o 2). 波传播到x处质元的相位: φo
w 1 2
A
2
2
I
1 2
A 2 2 u
6). 动能和势能的振动周期为波动周期的一半.
3.* 已知某一质元的振动状态, 建立波函数的基本方法
1). 以坐标原点为0点,建立的波函数 a、给出原点的振动方程，2、波沿坐 标轴正向或反向传播。
y o A cos( t o )
?
6. 干涉极大与极小的条件
=φ20-φ10 -2 π(x2-x1)/λ = 2k , ( k =0,1,2,…)，
A A1 A2
同
相,极大
( 2 k 1) , ( k 0 ,1, 2 , )
20 10
A A1 A2
2 ( r2 r1 )
10
1、由曲线确定特征量! 2、相位的超前和落后!（x的正向和反向传播） 3、振动方程和波动方程！
P23.:解：(1) x = 0点
0
1 2
1 2
1
3
o y
x = 2点 x =3点
y
2
3
2
x 2 3 4
O
1
t= T /4 时 的 波 形 曲 线
P24:二.1计算题 解： (1) 设x = 0 处质点的振动方程为:
声波从点A分开到点B相遇,
两列波的波程差:
A
r1
B
r r2 r1 r ( 2 k 1) / 2
令k=0得r至少应为:
r / 2 u / 2 0 .57 m
练习：图示为平面间谐波在t=0时的波形图,设此简谐波的频率为 250Hz,且此时图中点P的运动方向向上.求(1)该波的波动方程;(2)在 距原点7.5m处质点的运动方程与t=0时该点的振动速度. y/m u
P26:二计算题 解：(1) 设振幅最大的合振幅为Amax ，
A ( 2 A ) A 2 A 2 A cos
2 2 2
4 x /
cos cos 4 x / 1
4 x / 2 பைடு நூலகம்
1 2 k
时，合振幅最大，故 合振幅最大的点
y ( x , t ) A cos[ ( t x u ) 0 ]
x/m
o
A/2
0 .1 cos[ 500 ( t x / 5000 ) / 3]m
y
(2)在距原点7.5m处质点的运动方程.
y 0 .1 cos[ 500 ( t x / 5000 ) / 3]m
b = mgR / (mR2＋J)＝81.7 rad/s2
方向垂直纸面向外． (2) ∵ 当＝0 时，
02
2b
T
mg
0 . 612 rad
物体上升的高度:h = R = 6.12×10-2 m
(3)
10.0 rad/s
方向垂直纸面向外.
质量m1=16kg的实心圆柱体A,其半径为r=15cm,可以绕其固定水平轴 转动,阻力忽略不计.一条轻的柔绳绕在圆柱体上,其另一端系一个 质量为m2=8.0kg的物体B,求(1)物体B由静止开始下降1.0s后的距离 ;(2)绳的张力. N 解: A r (1)对A受力分析, 对圆柱体用转动定律：
y 3 10
2
cos 4 π[ t ( x / 20 ) 0 ]
2
x=5代入： y 3 10
y 3 10
2
cos 4 π[ t ( 5 / 20 ) 0 ]
2
3 10
cos 4 π t
x 20 ) ]
0
cos[ 4 ( t
P24:二.2计算题 解： (1) 波动方程
y 3 10
2
x=0代入： 3 10 2 cos 4 π t 0 0
波的表达式为： y 3 10
2
cos 4 π[ t ( x / 20 ) 0 ]
cos 4 [ t ( x / 20 )]
(2) 以B点为坐标原点，波动方程为：
0 ?
y
A
·· · x ··· · · · ···· p · 0 ···
x p φ x
质点的初相位:x=0 ,t=0。 处的质点t时刻的相位x=0 ! x
?
( t ) t 0 ?
2 x
( x , t ) t 0 2
0
0
x
u
x处质点t时刻的相位！ x处质点的初相位！t=0
反相, 极小
A1 A2 , I max 4 I 0 , I min 0
A A
2 2 1 A 2 2
2 A1 A2 cos p
p
I kA
2
波强
I p I 1 I 2 2 I 1 I 2 cos
8. 半波损失条件
1). 波疏向波密介质. 2). 波垂直入射或掠射时. 3). 反射波相对入射波在反射端处发生π的突变. 9.* 已知两波源的振动状态, 判断干涉点加强与减弱 求出两波源到达干涉点的相位差,根据干涉极大与极小条件判定. S2 2 k 2 r2 p ( 20 10 ) ( r2 r1 ) ( 20 ) p ( 2 k 1)
波 动 习 题 课
弹簧串联:
k m
1 k1 1 k2
1 k
弹簧并联:
k=k1+k2
波动的主要内容
1. 平面简谐波函数的描述方法 所建立的波函数能够描述波线上任何质元的振动.
y ( x , t ) A cos[ ( t x u ) 0 ]
A cos[ t 0
2 x
]
2.平面简谐波的特点: 1). 波线上所有质元都做简谐振动(振幅、频率相同)。
2). 波动过程是质元振动状态、能量和相位的传播. 3). 沿波线方向上的各质元的相位依次落后. 4). 各质元的动能和势能同步振动，即同时达到最大， 同时达到最小。
5). 波的能量密度和强度与该处的振幅的平方成正比。
y A cos( 2 t )
t = t＇x=0处的点，位于平衡位置向负方向运动！
2 t / 2
1 2
o y
2 t
1 2 π]
1 2 ]
y A cos[ 2 π ( t t )
(2) 该波的表达式为： y A cos[ 2 ( t t x / u )
y 0 .1 cos[ 500 t 13 / 12 ]m
t=0时该点的振动速度
v ( dy / dt ) t 0 50 sin( 13 / 12 ) 40 .6 ( m s
1
)
问题 机械波的波长,频率,周期和波速四个量中,当波从一种介质 进入另一种介质时,那些量是不变的? 进入另一种介质时, 频率不变,周期不变。 c 波速变为,波长= uT，波长变！ v n
x
( k = 0，1，2，…)
(2) 设合振幅最小处的合振幅为Amin，有
cos 1
时合振幅最小
4 x /
4 x / ( 2 k 1)
( k = 0，1，2，…)
合振幅最小的点
x ( 2 k 1) / 4
补充：平面简谐波以波速u=0.50m.s-1沿x轴负向传 播,t=2s时刻的波形如图所示,求原点的运动方程. x 解 y ( x , t ) A cos[ ( t ) 0 ] u y/m 由图得: A 0 .5 m 2 .0 m 2 1 2 u / 0 . 5 ( s ) 0 . 5 t=2 T s 确定坐标原点的振动初相0 0 1 .0 根据t=2s原点处质点处于平衡位置 且向上运动。 x ( x , t ) (t ) 0 u ( 0 , 2 ) 3 / 2 0 / 2 o 原点的运动方程： y 0 . 5 cos[ 0 . 5 t 0 . 5 ]m t=2
Tr J
对物体B受力分析,用牛顿定律：
m 2 g T ` m 2 a
角量与线量的关系: 得物体下落的加速度:
解 由图得: A 0 .10 m
3
20 .0 m
0 . 10 0 . 05
u 5 . 0 10 m s 1 2 500 ( s )
1
P
10 m
0
0 .10
确定坐标原点的振动初相0 t=0时位于原点处的质点将沿oy轴的负方向运动. 0 / 3
u
x/m
2 .0
y
如图所示,两振动方向相同的平面简谐波波源分别位于A,B 点,设它们相位相同,且频率=30Hz,波速u=0.50m.s-1.求点P 处两列波的相位差. P 解 BP AP 2 AB 2 2 AP AB cos 30 0 点P处两列波的波程差: r AP BP
10. 已知 两波的波函数, 求干涉点的振动方程 同方向同频率的简谐振动的合成:
S1
( 10 )
r1
Ap
A1 A 2 2 A1 A 2 cos
2 2
p
tg
A1 sin 1 A 2 sin 2 A1 cos 1 A 2 cos 2
φ1 是第一列波到达p点时引起的初相, φ2是第二列波引起的初相. 2 r1 S2 1 10 r2 ( 20 ) 2 r2 p 2 20 S1 r1 ( )
判断下面几种说法,哪些是正确的,那些错的? (1)机械振动一定能产生机械波; 错 机械振动在弹性介质中传播形成的波,叫机械波
(2)质点振动的速度是和波的传播速度相等的; 错
(3)质点振动的周期和波的周期数值是相等的; 对
(4)波动方程式中的坐标原点是选取在波源位置上的. 错
P12：二、1：
mg－T＝ma
解
（1）R处两列波的相位差： P
QP 2 r / 3
A
3/2
Q
R
（2）：合振幅：
A A 2 A1 A2 cos 3 A1 A2
2 1 2 2
干涉加强还是减弱？
应用： 图是干涉型消声器结构的原理图,利用这一结构 可以消除噪声,当发动机排气噪声声波经管道到达点A时, 分成两路而在点B相遇,声波因干涉而相消,求图中弯道与 直管长度差,r=r2-r1至少应为多少?(设声速为340m.s-1) r2 2 k 1, k 0, 1 解 由相消条件: 两列波的相位差: 2 r /
21 20 10 2 ( r2 r1 )
2 . 94 m
30
0
相位差: BA
2 r /
A (
S2
2
A 0.07m B r2
)
p
S1
( 1 )
2 r / u 7 .2
B
r1
练习：如图所示,两相干波源分别在P,Q两点,它们发出频率 为,波长为,初相相同的两列相干波,设PQ=3/2,R为PQ连 线上的一点.求（1）自P,Q发出的两列波在R处的相位差； （2）两波在R处干涉时的合振幅.
O
X
b、给出o点的振动情况：确定振幅，频 率和初相。
y ( x , t ) A cos[ t 0 2 x
]
2). *已知其它点的振动情况，建立波函数： Φ0=? 2 x 1 0 o
x p
x
已知φ1 4.* 已知波函数, 确定波线上一质元的振动方程的方法 已知波函数, 将考察点的坐标代入得到该点的振动方程.
y ( x , t ) A cos[ ( t x u ) 0]
φ0 o
y ( x 1 , t ) A cos[ ( t
x1 u
x1
) 0 ]
x
如果给出波形曲线,可以首先判断考 察点的振动方向,用旋转矢量法确定 该点的初相或相位。 5. 波的干涉条件与波线上质元的相位 1). 干涉条件: 振动方向相同, 频率相同, 相位恒定 o 2). 波传播到x处质元的相位: φo
w 1 2
A
2
2
I
1 2
A 2 2 u
6). 动能和势能的振动周期为波动周期的一半.
3.* 已知某一质元的振动状态, 建立波函数的基本方法
1). 以坐标原点为0点,建立的波函数 a、给出原点的振动方程，2、波沿坐 标轴正向或反向传播。
y o A cos( t o )
?
6. 干涉极大与极小的条件
=φ20-φ10 -2 π(x2-x1)/λ = 2k , ( k =0,1,2,…)，
A A1 A2
同
相,极大
( 2 k 1) , ( k 0 ,1, 2 , )
20 10
A A1 A2
2 ( r2 r1 )
10
1、由曲线确定特征量! 2、相位的超前和落后!（x的正向和反向传播） 3、振动方程和波动方程！
P23.:解：(1) x = 0点
0
1 2
1 2
1
3
o y
x = 2点 x =3点
y
2
3
2
x 2 3 4
O
1
t= T /4 时 的 波 形 曲 线
P24:二.1计算题 解： (1) 设x = 0 处质点的振动方程为:
声波从点A分开到点B相遇,
两列波的波程差:
A
r1
B
r r2 r1 r ( 2 k 1) / 2
令k=0得r至少应为:
r / 2 u / 2 0 .57 m
练习：图示为平面间谐波在t=0时的波形图,设此简谐波的频率为 250Hz,且此时图中点P的运动方向向上.求(1)该波的波动方程;(2)在 距原点7.5m处质点的运动方程与t=0时该点的振动速度. y/m u
P26:二计算题 解：(1) 设振幅最大的合振幅为Amax ，
A ( 2 A ) A 2 A 2 A cos
2 2 2
4 x /
cos cos 4 x / 1
4 x / 2 பைடு நூலகம்
1 2 k
时，合振幅最大，故 合振幅最大的点
y ( x , t ) A cos[ ( t x u ) 0 ]
x/m
o
A/2
0 .1 cos[ 500 ( t x / 5000 ) / 3]m
y
(2)在距原点7.5m处质点的运动方程.
y 0 .1 cos[ 500 ( t x / 5000 ) / 3]m