人教版初中数学八年级下册第18章《课题研究3：四边形中中点问题的探究与应用》教案

人教版初中数学八年级下册第18章《课题研究3：四边形中中点问题的探究与应用》教案

一、核心素养

根据课程标准的要求和教学内容的特点，针对学生的学习水平，确定本节课的教学目标如下：

1.学会利用已经掌握的数学知识猜想、探索未知的数学知识，在探索的过程中学会将数学问题进行转化。

2.体验从问题出发，观察──猜想──证明──问题解决的科学探索过程，体会探索的过程实际上就是一个问题的转化过程。

3.学会自主探究、多视角的分析问题，感受在探索过程中发现三角形中位线定理的快乐，学会与人合作交流。

教学重点:在探索过程中如何实现问题与问题间的转化.

教学难点是找出研究问题的本质，在四边形中分离出三角形。

二、教学过程

（一）情境引入：

问题：现要将一块对角线垂直的四边形场地ABCD规划成一块矩形绿地．小明同学采用了如下方法：先在各边中点处栽了四

棵树，再以这四棵树为顶点顺次连结出一个四边形．你认为

这样做是否符合要求？

（二）回顾与知新：

1.各类特殊平行四边形之间的关系图

2．三角形的中位线

定义:连接三角形两边 中点 的线段

三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

如图，若D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AB 的中点。则DE ∥BC ，DE=1/2BC 。

图1 图2

(三)探究：

1.本节课我们要探讨四边形的中点构图的一些特性。

顺次连接任意四边形各边的中点，所构成的四边形我们称为“中点四边形”

A

B

C

D E

如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA

的中点。顺次连结EF、FG、GH、HE又得四边形EFGH。我们把四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形。

（说明：中位线定理是学生刚学不久的知识，是本次探究性学习的理论基础，而“中点四边形”对学生来说是一个崭新的概念，是本次探究性学习的常用名词。这是课堂引入过程，为的是在学生探究问题前作好知识准备。）

2. 观察、猜想与证明

如图2，任意四边形ABCD的中点四边形EFGH是什么形状呢？

猜想：任意四边形的中点四边形是平行四边形。

已知：如图2，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是其边AB、BC、CD、DA的中点。

求证：四边形EFGH是平行四边形。

证法一：画一条对角线，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”进行证明。

证明;连接AC

∵E、F分别为AB、BC的中点

∴EF∥AC，EF=1/2AC

同理HG∥AC，HG=1/2AC

∴EF∥HG 且EF=HG

∴四边形EFGH为平行四边形

B C

F

证法二：画两条对角线，利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行证明。

证明：连接AC、BD

∵E、F分别为AB、BC的中点

∴EF∥AC

同理HG∥AC

∴EF∥HG

同理FG∥HE

∴四边形EFGH为平行四边形

（让学生初步体认中点四边形与原四边形两条对角线的关系）

归纳：

1.两边中点连线→构造（找）三角形→利用中位线定理（把四边形问题转化为三角形问题解决）

2. 任意四边形的中点四边形是平行四边形（中点四边形与原四边形的对角线有关）

探究一：

问题：已知四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直, E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点。试判断中点四边形EFGH的形状.

大胆猜想：四边形EFGH是矩形

如何证明？

引导：四边形EFGH是平行四边形+（一个直角）=矩形

证明：连接AC、BD

∵E、F分别为AB、BC的中点

∴EF∥AC

同理HG∥AC

∴EF∥HG

同理FG∥HE

∴四边形EFGH为平行四边形

∵HG∥AC

∴ OMH=900

∵FG∥BD

∴∠FGH=900

∴平行四边形EFGH是矩形

归纳：若四边形满足____对角线互相垂直_________，则它的中点四边形是矩形

猜想：1.菱形的中点四边形是矩形

2.矩形的中点四边形是菱形

问：中点四边形是菱形，原四边形一定是矩形吗？

探究二：问题: 若中点四边形是菱形，则原四边形需要满足什么条件呢？

引导：四边形EFGH是平行四边形+（一组邻边相等）=菱形

学生类比上题自我解决

归纳：若四边形满足__对角线相等_________，则它的中点四边形是菱形

探究三：问题: 若中点四边形是正方形，则原四边形需要满足什么条件呢？

引导：（矩形）+（菱形）=正方形

归纳：若四边形满足__对角线垂直且相等_____________，则它的中点四边形是正方形

（四）巩固练习：

1. 任意四边形的中点四边形是__平行四边形___________

2. 平行四边形的中点四边形是_平行四边形_________

3. 矩形的中点四边形是_菱形_________

4. 菱形的中点四边形是_____矩形_________

5. 正方形的中点四边形是__正方形___________

6. 若四边形满足_____对角线垂直且相等_____________, 它的中点四边形是正方形

7. 对角线互相垂直平分的四边形的中点四边形是__矩形____________

（五）课堂小结

（六）基础过关

1、已知一个四边形的中点四边形是菱形，则原四边形是（）

A. 矩形

B. 平行四边形

C. 正方形

D. 对角线相等的四边形

2、四边形四边中点依次连接能得到的图形是矩形，则原四边形是（）

A、矩形

B、菱形

C、正方形

D、对角线垂直的四边形

3.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由。

解：添加的条件

如果要使四边形EFGH为矩形，又需要添加什么条件呢？

A

4.一个四边形两条对角线的长分别是8和12，它的中点四边形的周