专题五 第1讲

第1讲函数的图象与性质

热点一函数的性质及应用

1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．

2．奇偶性

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

(2)在公共定义域内：

①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； ②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数； ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (4)若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．

(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称． 3．周期性

定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a ≠0)，则其一个周期T ＝|a |. 常见结论：

(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数f (x )的最小正周期为2|a |，a ≠0. (2)若f (x ＋a )＝

1

f (x )

，则函数f (x )的最小正周期为2|a |，a ≠0. (3)若f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b

2

对称．

例1 (1)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭

⎫π

2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2

的最大值为M ，最小值为N ，则(M ＋N －1)2 019的值为( )

A ．1

B ．2

C ．22 019

D ．32 019 答案 A

解析 由已知x ∈R ，f (x )＝cos ⎝⎛⎭

⎫π

2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2

＝sin πx ＋x 2＋e 2＋2e x x 2＋e 2＝sin πx ＋2e x x 2＋e 2＋1，

令g (x )＝sin πx ＋2e x

x 2＋e

2

，易知g (x )为奇函数， 由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0，

M ＋N ＝f (x )max ＋f (x )min ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝2，所以(M ＋N －1)2 019＝1，故选A.

(2)已知定义在R 上的函数f (x )满足：函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x －1，则f (－2 019)＋f (2 018)＝________. 答案 1－e

解析 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，所以y ＝f (x )的图象关于原点对称， 又定义域为R ，所以函数y ＝f (x )是奇函数， 因为当x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (－2 019)＋f (2 018)＝－f (2 019)＋f (0) ＝－f (1)＋f (0)＝－(e 1－1)＋(e 0－1)＝1－e.

思维升华 可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．

跟踪演练1 (1)已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

|(x －a )2－1|＋a ，x ≥0，

|x －a |＋2a －1，x ＜0的最小值为2a －1，则实数a 的取

值范围是( ) A ．a ＝1 B ．0＜a ≤1 C ．a ＜0或a ＝1 D ．a ＜0或a ≥1

答案 C

解析 在平面直角坐标系内画出函数f (x )的图象(图略)，由图易得当a ≥0时，函数f (x )在[0，＋∞)上的最小值为a ，在(－∞，0)上单调递减，当x →0(x ＜0)时，f (x )→3a －1，要使函数f (x )的最小值为2a －1，则有a ＝2a －1≤3a －1，解得a ＝1；当－1≤a ＜0时，函数f (x )在[0，＋∞)上的最小值为a ，在(－∞，0)上的最小值为2a －1，要使函数f (x )的最小值为2a －1，则有2a －1≤a ，解得a ≤1，所以－1≤a ＜0；当a ＜－1时，函数f (x )在[0，＋∞)上的最小值为a 2＋a －1，在(－∞，0)上的最小值为2a －1，要使函数f (x )的最小值为2a －1，则有2a －1≤a 2＋a －1，解得a ≤0或a ≥1，所以a ＜－1.综上所述，实数a 的取值范围为a ＜0或a ＝1，故选C. (2)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( ) A ．－50 B ．0 C ．2 D ．50 答案 C

解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )，

∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0， 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，

∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，

∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 故选C.

热点二 函数图象及应用

1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．

2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． 例2 (1)(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －

x

x 2

的图象大致为( )