专题五 第1讲

第1讲函数的图象与性质热点一函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．2．奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内：①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； ②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数； ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (4)若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称． 3．周期性定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a ≠0)，则其一个周期T ＝|a |. 常见结论：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数f (x )的最小正周期为2|a |，a ≠0. (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则函数f (x )的最小正周期为2|a |，a ≠0. (3)若f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．例1 (1)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2的最大值为M ，最小值为N ，则(M ＋N －1)2 019的值为( )A ．1B ．2C ．22 019D ．32 019 答案 A解析 由已知x ∈R ，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－πx ＋(x ＋e )2x 2＋e 2＝sin πx ＋x 2＋e 2＋2e x x 2＋e 2＝sin πx ＋2e x x 2＋e 2＋1，令g (x )＝sin πx ＋2e xx 2＋e2，易知g (x )为奇函数， 由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值的和为0，M ＋N ＝f (x )max ＋f (x )min ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝2，所以(M ＋N －1)2 019＝1，故选A.(2)已知定义在R 上的函数f (x )满足：函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x －1，则f (－2 019)＋f (2 018)＝________. 答案 1－e解析 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，所以y ＝f (x )的图象关于原点对称， 又定义域为R ，所以函数y ＝f (x )是奇函数， 因为当x ≥0时恒有f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (－2 019)＋f (2 018)＝－f (2 019)＋f (0) ＝－f (1)＋f (0)＝－(e 1－1)＋(e 0－1)＝1－e.思维升华 可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．跟踪演练1 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|(x －a )2－1|＋a ，x ≥0，|x －a |＋2a －1，x ＜0的最小值为2a －1，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＝1 B ．0＜a ≤1 C ．a ＜0或a ＝1 D ．a ＜0或a ≥1答案 C解析 在平面直角坐标系内画出函数f (x )的图象(图略)，由图易得当a ≥0时，函数f (x )在[0，＋∞)上的最小值为a ，在(－∞，0)上单调递减，当x →0(x ＜0)时，f (x )→3a －1，要使函数f (x )的最小值为2a －1，则有a ＝2a －1≤3a －1，解得a ＝1；当－1≤a ＜0时，函数f (x )在[0，＋∞)上的最小值为a ，在(－∞，0)上的最小值为2a －1，要使函数f (x )的最小值为2a －1，则有2a －1≤a ，解得a ≤1，所以－1≤a ＜0；当a ＜－1时，函数f (x )在[0，＋∞)上的最小值为a 2＋a －1，在(－∞，0)上的最小值为2a －1，要使函数f (x )的最小值为2a －1，则有2a －1≤a 2＋a －1，解得a ≤0或a ≥1，所以a ＜－1.综上所述，实数a 的取值范围为a ＜0或a ＝1，故选C. (2)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( ) A ．－50 B ．0 C ．2 D ．50 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0， 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 故选C.热点二 函数图象及应用1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． 例2 (1)(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )答案 B解析 ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e ＞0，排除D 选项．又e ＞2，∴1e ＜12，∴e －1e ＞32，排除C 选项．故选B.(2)函数f (x )＝e x ＋a e －x 与g (x )＝x 2＋ax 在同一坐标系内的图象不可能是( )答案 C解析因为g(x)＝x2＋ax的图象过原点，所以图象中过原点的抛物线是函数g(x)的图象，在选项C中，上面的图象是函数f(x)的图象，下面的是函数g(x)的图象，所以－a2>0，所以a＜0，因为f′(x)＝e x－a e－x，所以f′(x)>0在R上恒成立，所以函数f(x)在定义域内单调递增，不是选项C中的图象，故选C.思维升华(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，函数解析式发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．跟踪演练2(1)函数f(x)＝sin x·ln x－1x＋1的大致图象为()答案 D解析f(－x)＝－sin x·ln －x－1－x＋1＝－sin x·lnx＋1x－1＝sin x·lnx－1x＋1＝f(x)，则函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C，f(3)＝sin 3·ln 12＜0，排除B.(2)函数f(x)＝|x|＋ax(a∈R)的图象不可能是()答案 C解析 对于A ，当a ＝0时，f (x )＝|x |，且x ≠0，故可能；对于B ，当x >0且a >0时，f (x )＝x ＋a x ≥2a ，当且仅当x ＝a 时等号成立，当x ＜0且a >0时，f (x )＝－x ＋a x 在(－∞，0)上为减函数，故可能；对于D ，当x ＜0且a ＜0时，f (x )＝－x ＋a x ≥2－x ·ax＝2－a ，当且仅当x ＝－－a 时等号成立，当x >0且a ＜0时，f (x )＝x ＋ax在(0，＋∞)上为增函数，故可能，且C 不可能．故选C.热点三 基本初等函数的图象和性质1．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质，分0＜a＜1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的公共性质．2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例3 (1)(2017·全国Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜2x ＜3y C ．3y ＜5z ＜2x D ．3y ＜2x ＜5z答案 D解析 令t ＝2x ＝3y ＝5z ， ∵x ，y ，z 为正数，∴t >1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t lg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t (2lg 3－3lg 2)lg 2×lg 3＝lg t (lg 9－lg 8)lg 2×lg 3>0，∴2x >3y .又∵2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t (2lg 5－5lg 2)lg 2×lg 5＝lg t (lg 25－lg 32)lg 2×lg 5＜0，∴2x ＜5z ，∴3y ＜2x ＜5z .故选D.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＜0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，14 B ．(1,2] C ．(1,3) D.⎝⎛⎭⎫12，1 答案 A解析 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0，x 1≠x 2，得f (x )是减函数，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a －3＜0，4a ≤1，得a ∈⎝⎛⎦⎤0，14，故选A. 思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及运算能力． (2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．跟踪演练3 (1)已知a ＝13log 0.60.3，b ＝12log 14，c ＝13log 0.50.4，则实数a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＜a ＜b B ．b ＜a ＜c C ．a ＜c ＜b D ．c ＜b ＜a答案 C解析 由题意得b ＝12log 14＝2，因为0.60.3>0.60.4>0.50.4， 所以13log 0.60.3＜13log 0.50.4，13log 0.50.4＝0.413log 0.5＜0.413log 13＝0.4，所以a ＜c ＜b .(2)对任意实数a ，b 定义运算“Δ”：a Δb ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤2，b ，a －b >2，设f (x )＝3x ＋1Δ(1－x )，若函数f (x )与函数g (x )＝x 2－6x 在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．(0,3] C ．[0,2] D ．[1,3]答案 C解析 由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x >0，3x ＋1，x ≤0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，函数g (x )＝(x －3)2－9在(－∞，3]上单调递减，若函数f (x )与g (x )在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋1≤3，得0≤m ≤2，故选C.真题体验1．(2018·浙江，5)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是()答案 D解析 由y ＝2|x |sin 2x 知函数的定义域为R ， 令f (x )＝2|x |sin 2x ，则f (－x )＝2|－x |sin(－2x ) ＝－2|x |sin 2x .∵f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数， ∴f (x )的图象关于原点对称，故排除A ，B. 令f (x )＝2|x |sin 2x ＝0，解得x ＝k π2(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π2，故排除C.故选D.2．(2019·浙江，6)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析 若0＜a ＜1，则函数y ＝1a x 是增函数，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12是减函数且其图象过点⎝⎛⎭⎫12，0，结合选项可知，选项D 可能成立；若a ＞1，则y ＝1a x 是减函数，而y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12是增函数且其图象过点⎝⎛⎭⎫12，0，结合选项可知，没有符合的图象．3．(2017·天津，理，6)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )林老师网络编辑整理A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<a答案 C解析依题意a＝g(－log25.1)＝(－log25.1)·f(－log25.1)＝log25.1f(log25.1)＝g(log25.1)．因为f(x)在R上是增函数，可设0＜x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)．从而x1f(x1)＜x2f(x2)，即g(x1)＜g(x2)．所以g(x)在(0，＋∞)上亦为增函数．又log25.1＞0,20.8＞0,3＞0，且log25.1＜log28＝3,20.8＜21＜3，而20.8＜21＝log24＜log25.1，所以3＞log25.1＞20.8＞0，所以c＞a＞b.故选C.押题预测1．函数f(x)＝e x·ln |x|的大致图象为()答案 A解析函数f(x)＝e x·ln |x|，f(－x)＝e－x·ln |－x|，f(x)≠f(－x)，－f(x)≠f(－x)，则函数f(x)为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D，当x→＋∞，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞，排除B.2．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax和g(x)＝log a(x＋2)(a>0且a≠1)的大致图象可能为()答案 A解析由题意知，当a>0时，函数f(x)＝2－ax为减函数．若0＜a＜1，则函数f(x)＝2－ax的零点x0＝2a∈(2，＋∞)，且函数g(x)＝log a(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数；若a >1，则函数f (x )＝2－ax 的零点x 0＝2a ∈(0,2)，且函数g (x )＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为增函数．3．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0＜x ≤4，4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实数t 的取值范围为________． 答案 (－2,0)∪(0,2)解析 因为当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0＜x ≤4，4－2x ，x >4.所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且h (t )>h (2)， 所以h (|t |)>h (2)，所以0＜|t |＜2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ t ≠0，|t |＜2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－2＜t ＜2，解得－2＜t ＜0或0＜t ＜2.综上，所求实数t 的取值范围为(－2,0)∪(0,2)．A 组 专题通关1．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝tan xB ．y ＝x －3C ．y ＝cos xD ．y ＝⎝⎛⎭⎫13|x |答案 B解析 选项A ，y ＝tan x 在(0,1)上是增函数，故排除；选项B ，y ＝x －3的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且满足f (－x )＝－f (x )，为奇函数，同时y ＝x －3是幂函数，在(0,1)上是减函数，所以符合题意，选项B 正确； 选项C ，根据奇偶性定义，可得到y ＝cos x 是定义域上的偶函数，故排除； 选项D ，根据奇偶性定义，可得到y ＝⎝⎛⎭⎫13|x |是定义域上的偶函数，故排除． 2．函数f (x )＝x ·2cos x 的图象可能是( )答案 B解析 因为f (－x )＝(－x )·2cos(－x )＝－x ·2cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，其图象关于坐标原点O 对称，故排除A ，C.当x >0时，f (x )>0，故排除D ，故选B.3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋2＋a ，x ≤1，12log (x ＋1)，x >1有最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．(－5，＋∞)B ．[－5，＋∞)C ．(－∞，－5)D ．(－∞，－5]答案 B解析 由题意知f (x )＝2x ＋2＋a ，x ≤1时单调递增， 故f (x )≤f (1)＝4＋a ，f (x )＝12log (x ＋1)，x >1时单调递减，故f (x )＜－1，因为函数存在最大值，所以4＋a ≥－1，解得a ≥－5.4．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，若a ＝f 15(log 3)，b ＝f (log 35)，c ＝f (0.20.5)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜b ＜a答案 C解析 ∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴a ＝f 15(log 3)＝f ()－log 53＝f ()log 53，∵12＝log 55＜log 53＜1,1＝log 33＜log 35， 0＜0.20.5＝55＜12， ∴0.20.5＜log 53＜log 35， ∵f (x )在(－∞，0]上是增函数， 且f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上为减函数， 则f ()0.20.5>f ()log 53>f ()log 35，即b ＜a ＜c ，故选C.5．已知函数f (x )＝ln(ax 2＋bx ＋c )的部分图象如图所示，则a －b ＋c 等于( )A ．－1B ．1C ．－5D ．5 答案 D解析 由题图知，直线x ＝2，x ＝4是函数f (x )的渐近线，即有x 1＝2，x 2＝4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，x 3＝1，x 4＝5是方程ax 2＋bx ＋c ＝1的两根，∴由根与系数的关系，得2＋4＝1＋5＝－b a ，2×4＝ca ，1×5＝c －1a，∴⎩⎨⎧a ＝13，b ＝－2，c ＝83，∴a －b ＋c ＝5，故选D.6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)等于( ) A ．2 019 B ．0 C ．1 D ．－1 答案 B解析 由f ()x ＋4＝－f ()x ＋2＝f (x )得，f (x )的周期为4， 又f (x )为奇函数，∴f (1)＝1，f (2)＝－f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，f (4)＝f (0)＝0， 即f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝505×[]f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)－f (4)＝0. 7．已知log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜0，则2x ，3y ，5z 的大小排序为( )A.2x ＜3y ＜5zB.3y ＜2x ＜5z C.5z ＜2x ＜3y D.5z ＜3y ＜2x答案 A解析 x ，y ，z 为正实数，且log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜0， 令log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝k (k ＜0)， ∴x 2＝2k －1，y 3＝3k －1，z5＝5k －1， 可得2x ＝21－k ，3y ＝31－k ，5z ＝51－k ，又1－k >0，∴函数f (x )＝x 1－k 在(0，＋∞)上单调递增， ∴2x ＜3y ＜5z.故选A. 8．已知f (x )＝log a (a －x ＋1)＋bx (a >0，且a ≠1)是偶函数，则一定有( ) A ．b ＝12且f (a )>f ⎝⎛⎭⎫1a B ．b ＝－12且f (a )＜f ⎝⎛⎭⎫1a C ．b ＝12且f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a >f ⎝⎛⎭⎫1b D ．b ＝－12且f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＜f ⎝⎛⎭⎫1b 答案 A解析 ∵f (x )＝log a (a －x ＋1)＋bx (a >0，且a ≠1)是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即log a (a －x ＋1)＋bx ＝log a (a x ＋1)－bx ， ∴log a (a x ＋1)－bx ＝log a (a x ＋1)＋(b －1)x ， ∴－b ＝b －1，b ＝12，∴a ＋1a >2＝1b，∴f (x )＝log a (a －x ＋1)＋12x ，f ′(x )＝－a －x ·ln a(a －x ＋1)ln a ＋12＝a x －12(a x ＋1)，若0＜a ＜1，则a ＜1a，当x >0时，f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)上是减函数， ∴f (a )>f ⎝⎛⎭⎫1a ，f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＜f ⎝⎛⎭⎫1b ， 若a >1，则a >1a，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴f (a )>f ⎝⎛⎭⎫1a ，f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a >f ⎝⎛⎭⎫1b . 综上，一定有b ＝12且f (a )>f ⎝⎛⎭⎫1a . 9．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①函数f (x )的图象的对称中心为(1,0)，且对称轴为x ＝－1；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ∈(0，1]，1－x 2，x ∈[－1，0]，则f ⎝⎛⎭⎫72＝________. 答案 －32解析 由题意作出f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫72＝－1－⎝⎛⎭⎫－122＝－32.10．(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________. 答案 －2解析 ∵f (x )＋f (－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴f (a )＋f (－a )＝2，∴f (－a )＝－2.11．已知函数f (x )是奇函数，当x ＜0时，f (x )＝－x 2＋x .若不等式f (x )－x ≤2log a x (a >0且a ≠1)对任意的x ∈⎝⎛⎦⎤0，22恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫14，1解析 由已知得当x >0时，f (x )＝x 2＋x ， 故x 2≤2log a x 对任意的x ∈⎝⎛⎦⎤0，22恒成立， 即当x ∈⎝⎛⎦⎤0，22时， 函数y ＝x 2的图象不在y ＝2log a x 图象的上方， 由图(图略)知，0＜a ＜1且2log a 22≥12， 解得14≤a ＜1.B 组 能力提高12．如果存在正实数a ，使得f (x ＋a )为奇函数，f (x －a )为偶函数，我们称函数f (x )为“Θ函数”．给出下列四个函数： ①f (x )＝sin x ； ②f (x )＝cos x ； ③f (x )＝sin x －cos x ；④f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8. 其中“Θ函数”的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 对于函数f (x )＝sin x ，f (x ＋k 1π)(k 1∈Z )为奇函数，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋k 2π(k 2∈Z )为偶函数，所以不存在正实数a ，使得f (x ＋a )为奇函数，f (x －a )为偶函数，所以f (x )＝sin x 不是“Θ函数”；对于函数f (x )＝cos x ，f (x ＋k 3π)(k 3∈Z )为偶函数，f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋k 4π(k 4∈Z )为奇函数，所以不存在正实数a ，使得f (x ＋a )为奇函数，f (x －a )为偶函数，所以f (x )＝cos x 不是“Θ函数”；对于函数f (x )＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，则存在a ＝π4使得f (x ＋a )为奇函数，f (x －a )为偶函数，所以f (x )＝sin x －cos x 是“Θ函数”；对于函数f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则存在a ＝3π8使得f (x ＋a )为奇函数，f (x －a )为偶函数，所以f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8是“Θ函数”．综上所述，“Θ函数”的个数为2，故选B.13．设f (x )＝e x 1＋e x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数g (x )＝⎣⎡⎦⎤f (x )－12＋⎣⎡⎦⎤f (－x )－12的值域是( ) A ．{－1,0,1} B ．{－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{0,1}答案 B解析 设h (x )＝f (x )－12，则g (x )＝[h (x )]＋[h (－x )]，又因为h (－x )＝f (－x )－12＝e －x 1＋e －x －12＝11＋e x －12＝－e x 1＋e x ＋12＝－h (x )，所以函数h (x )＝f (x )－12为奇函数，易知h (x )在R 上单调递增，且h (x )∈⎝⎛⎭⎫－12，12.当x ＜0时，g (x )＝－1＋0＝－1；当x ＝0时，g (x )＝0＋0＝0；当x >0时，g (x )＝0－1＝－1.综上所述，函数g (x )＝⎣⎡⎦⎤f (x )－12＋⎣⎡⎦⎤f (－x )－12的值域为{－1,0}，故选B. 14．已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f ()y ＝f ()x ＋y 成立，若数列{a n }满足f ()a n ＋1f ⎝⎛⎭⎫11＋a n ＝1()n ∈N *，且a 1＝f (0)，则下列结论成立的是( )A ．f ()a 2 016>f ()a 2 018B ．f ()a 2 017>f ()a 2 020C ．f ()a 2 018>f ()a 2 019D ．f ()a 2 016>f ()a 2 019答案 A解析 由f (x )f ()y ＝f ()x ＋y ，令x ＝0，y ＝－1， 则f (0)f (－1)＝f (－1)，∵当x <0时，f (x )>1，∴f (－1)>1，∴f (0)＝1，∴a 1＝1，当x >0时，令y ＝－x ，则f (x )f ()－x ＝f (0)＝1，即f (x )＝1f()－x .又f ()－x >1，∴当x >0时，0<f (x )<1， 令x 2>x 1，则x 2－x 1>0，∴f ()x 1f ()x 2－x 1＝f ()x 2， 即f ()x 2f ()x 1＝f ()x 2－x 1∈()0，1， ∴f (x )在R 上单调递减，又f ()a n ＋1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1＋11＋a n ＝1＝f (0)， ∴a n ＋1＝－11＋a n，令n ＝1，a 2＝－12；令n ＝2，a 3＝－2；令n ＝3，a 4＝1，∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，∴a 2 016＝a 3＝－2，a 2 017＝a 1＝1，a 2 018＝a 2＝－12，a 2 019＝a 3＝－2，a 2 020＝a 1＝1，∵f (x )在R 上单调递减， ∴f ()－2>f ⎝⎛⎭⎫－12>f (1)， ∴f ()a 2 016>f ()a 2 018，f ()a 2 017＝f ()a 2 020， f ()a 2 018<f ()a 2 019，f ()a 2 016＝f ()a 2 019.15．定义：若函数f (x )的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x ∈R ，f (x ＋T )＝f (x )＋T 恒成立，则称f (x )为线周期函数，T 为f (x )的线周期．若φ(x )＝sin x ＋kx 为线周期函数，则k 的值为________． 答案 1解析 若φ(x )＝sin x ＋kx 为线周期函数， 则满足对任意x ∈R ，φ(x ＋T )＝φ(x )＋T 恒成立， 即sin(x ＋T )＋k (x ＋T )＝sin x ＋kx ＋T ， 即sin(x ＋T )＋kT ＝sin x ＋T则⎩⎪⎨⎪⎧sin (x ＋T )＝sin x ，kT ＝T ，所以k ＝1.16．(2019·绍兴质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3，x ＜0，x 2，x ≥0，若a ＞0，b ＜0，且f (a )＝f (b )，则f (a＋b )的取值范围是____________． 答案 [－1，＋∞)解析 作图，则a ＞0，b ＜－32，且－2b －3＝a 2，得b ＝－a 2－32，则a ＞0时，t ＝a ＋b ＝a ＋－a 2－32＝－12(a －1)2－1∈(－∞，－1]，故f (a ＋b )＝－2t －3∈[－1，＋∞)．。