2015-2016学年高一第一学期数学期末考试试卷(含答案)
山东省烟台市高一数学上学期期末试题(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．32．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值X围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜16．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元 90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）．12．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．13．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值X围是．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的X围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，某某数a的取值X围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．2015-2016学年某某省某某市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据空间中的平行与垂直关系，得出命题A、B、C正确，命题D错误【解答】解：对于（1），空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，∴命题（1）错误；对于（2），若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的直线平行或异面，根据线面平行的性质得到命题（2）正确；对于（3），夹在两个平行平面间的平行线段相等；命题（3）正确；对于（4），垂直于同一条直线的两个直线平行、相交或异面，∴命题（4）错误．故正确的命题有2个；故选：C．【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题目．2．如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A．﹣1 B．2 C．2或﹣1 D．【分析】两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：∵两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，分别化为：y=﹣x﹣3，y=﹣，∴，﹣3≠﹣，解得a=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．函数f（x）=e x+2x﹣3的零点所在的一个区间是（）A．（）B．（）C．（）D．（）【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（）=＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（）上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据三视图知几何体为一直四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．【解答】解：由三视图知几何体为一直四棱锥，其直观图如图所示；∵正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱垂直于底面且侧棱长也为1，∴该四棱锥的体积为×12×1=．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是判断几何体的形状，是基础题．5．若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值X围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值X 围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2，∴R2=r2，∴S球=4πR2，截面圆M的面积为：πr2=πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：．故选A．【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口．7．在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】先求出线段AB的长度为10，等于5的2倍，故满足条件的直线有3条，其中有2条和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线．【解答】解：线段AB的长度为=10，故在坐标平面内，与点A（﹣2，﹣1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有3条，其中有2条在线段AB的两侧，且都和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线，故选 C．【点评】本题考查两点间的距离公式的应用，线段的中垂线的性质，体现了分类讨论的数学思想．8．若圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．B．C．D．【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面周长求出圆锥底面半径．【解答】解：圆锥的侧面积为，侧面展开图的弧长为=，设圆锥的底面半径为r′，则2πr′=，∴r′=．∴圆锥的全面积S=+=．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积计算，属于基础题．9．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】利用线面平行，面面平行的判定定理即可．【解答】解：点M，N分别为线段PB，BC的中点，o为AB的中点，∴MO∥PA，ON∥AC，OM∩ON=O，∴MO∥平面PAC；平面PAC∥平面MON，②③故正确；故选：C．【点评】考查了线面平行，面面平行的判断，属于基础题型，应熟练掌握．10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a 的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x ≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．【点评】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元 90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）②．【分析】随着时间x的增加，y的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论【解答】解：∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y=ax+k和y=alog m x 显然都是单调函数，不满足题意，∴y=ax2+bx+c．故答案为：②．【点评】本题考查函数模型的选择，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，确定函数模型是关键．12．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件AC⊥BD或四边形ABCD为菱形时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．【分析】由假设A1C⊥B1D1，结合直四棱柱的性质及线面垂直的判定和性质定理，我们易得到A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，又由菱形的几何特征可判断出四边形ABCD为菱形，又由本题为开放型题目上，故答案可以不唯一．【解答】解：若A1C⊥B1D1，由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，AA1⊥B1D1，易得B1D1⊥平面AA1BB1，则A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，则四边形ABCD为菱形，故答案为：AC⊥BD或四边形ABCD为菱形．【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，属于知识的考查，属于中档题．13．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于135°．【分析】由两平行线间的距离，得直线m和两平行线的夹角为90°．再根据两条平行线的倾斜角为45°，可得直线m的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为，可得直线m 和两平行线的夹角为90°．由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线m的倾斜角为135°，故答案为：135°．【点评】本题考查两平行线间的距离公式，两条直线的夹角公式，本题属于基础题．14．已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值X围是（4，+∞）．【分析】根据条件可判断函数为偶函数，则要使（x）有4个零点，只需当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，根据二次方程的根的判定求解．【解答】解：对任意的x∈R满足f（﹣x）=f（x），∴函数为偶函数，若f（x）有4个零点，∴当x≥0时，f（x）=x2﹣x+1=0有两不等正根，∴△=a﹣4＞0，∴a＞4．【点评】考查了偶函数的应用和二次方程根的性质．15．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为②③．【分析】①根据线面垂直性质可判断；②根据公式cosθ=cosθ1cosθ2求解即可；③找出二面角的平面角，利用余弦定理求解．【解答】解：①取AB中点M，易证AB垂直平面SMC，可得AB垂直SC，故错误；②易知BC在平面上的射影为∠ABC的角平分线，∴cos60°=cosθcos30°，∴cosθ=，故正确；③取BC中点N，∴二面角为∠ANC，不妨设棱长为1，∴cos∠ANC==，故正确，故答案为：②③．【点评】考查了线面垂直，线面角，二面角的求法．属于基础题型．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．【分析】（1）证明BC⊥平面AA1C，即可证明平面AA1C⊥平面BA1C；（2）求出AC，直接利用体积公式求解即可．【解答】（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，所以AC⊥BC．因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C．又BC⊂平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C．…（6分）（2）解：在Rt△ABC中，AB=2，则由AB2=AC2+BC2且AC=BC，得，所以．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查几何体A1﹣ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．【分析】（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，则A1C∥EO，由此能证明A1C∥平面BDE．（2）由BD⊥AC，BD⊥EO，得∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BD ﹣A的正切值．【解答】证明：（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，∵E是AA1的中点，O是BD的中点，∴A1C∥EO，又EO⊂面BDE，AA1⊄面BDE，所以A1C∥平面BDE．…（6分）解：（2）由（1）知，BD⊥AC，BD⊥EO，∴∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，在Rt△AOE中，tan∠AOE==．∴二面角E﹣BD﹣A的正切值为．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的X围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【分析】（1）由题意得G（x）=2.8+x．由，f（x）=R （x）﹣G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．（2）当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．由此能求出要使工厂有盈利，产量x的X围．（3）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．…（2分）∵，…（4分）∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…（6分）（2）∵f（x）=，∴当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；．…（7分）当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．∴要使工厂有盈利，求产量x的X围是（1，8.2）．．…（8分）（3）∵f（x）=，∴当x＞5时，函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．…（10分）当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．…（14分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（15分）【点评】本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．19．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．【分析】（1）设B（x0，y0），利用中点坐标公式可得：AB的中点M，代入直线CM．又点B在直线BT上，联立即可得出．（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，利用对称的性质即可得出．【解答】解：（1）设B（x0，y0），则AB的中点M在直线CM上，所以+1=0，即3x0+2y0+6=0 ①…（2分）又点B在直线BT上，所以x0﹣y0+2=0 ②…（4分）由①②得：x0=﹣2，y0=0，即顶点B（﹣2，0）．…（6分）（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，由题意知，，解得a=﹣3，b=4，即A′（﹣3，4）．…（9分）因为k BC===﹣4，…（11分）所以直线BC的方程为y=﹣4（x+2），即4x+y+8=0．…（12分）【点评】本题考查了角平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．【分析】（1）先证明OM∥AN，根据线面平行的判定定理即可证明OM∥面DAF；（2）由题意可先证明AF⊥CB，由AB为圆O的直径，可证明AF⊥BF，根据线面垂直的判定定理或面面垂直的性质定理即可证明AF⊥面CBF．【解答】解：（1）设DF的中点为N，连接MN，则MN∥CD，MN=CD，又∵AO∥CD，AO=CD，∴MN∥AO，MN=AO，∴MNAO为平行四边形，∴OM∥AN．又∵AN⊂面DAF，OM⊄面DAF，∴OM∥面DAF．（2）∵面ABCD⊥面ABEF，CB⊥AB，CB⊂面ABCD，面ABCD∩面ABEF=AB，∴CB⊥面ABEF．∵AF⊂面ABEF，∴AF⊥CB．又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，又∵CB∩BF=B，CB，BF⊂面CBF．∴AF⊥面CBF．【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．21．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，某某数a的取值X围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．【分析】（1）对a分类讨论，利用截距式即可得出；（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，由于l不经过第二象限，可得，解出即可得出．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得aX围；令y=0，解得x=＞0，解得aX围．求交集可得：a＜﹣1．利用S△AOB= [﹣（a﹣2）]×，变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）若2﹣a=0，解得a=2，化为3x+y=0．若a+1=0，解得a=﹣1，化为y+3=0，舍去．若a≠﹣1，2，化为： +=1，令=a﹣2，化为a+1=1，解得a=0，可得直线l的方程为：x+y+2=0．（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，∵l不经过第二象限，∴，解得：a≤﹣1．∴实数a的取值X围是（﹣∞，﹣1]．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a＜2；令y=0，解得x=＞0，解得a＞2或a＜﹣1．因此，解得a＜﹣1．∴S△AOB=|a﹣2|||==3+≥3+=6，当且仅当a=﹣4时取等号．∴△AOB（O为坐标原点）面积的最小值是6．【点评】本题考查了直线的方程、不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
2015-2016年四川省南充市高一上学期数学期末试卷和解析
2015-2016学年四川省南充市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）已知集合A={1，2，3}，B={2，3，5}，则A∩B=（）A．{1，5}B．{1，2，5}C．{2，3}D．{1，2，3，5}2．（5.00分）计算：lg2+lg5=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．13．（5.00分）已知函数f（x）=+，则f（﹣3）=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．（5.00分）设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定5．（5.00分）已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），则sinα=（）A．﹣ B．﹣ C．D．6．（5.00分）已知向量=（2，1），=（﹣3，4），则+=（）A．（﹣1，5）B．（1，5） C．（﹣1，﹣3）D．（1，3）7．（5.00分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+18．（5.00分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位．A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移9．（5.00分）已知tanα=2，则=（）A．2 B．3 C．4 D．610．（5.00分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣ B．﹣ C．D．11．（5.00分）已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．912．（5.00分）如图，在四边形ABCD中，++=4，•=•=0，•+•=4，则（+）•的值为（）A．2 B．C．4 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，4），则这个函数的解析式是．14．（5.00分）已知cos（﹣α）=，则cos（+α）=．15．（5.00分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=﹣f（x），则f（9）=．16．（5.00分）有下列叙述：①若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=﹣3；②终边在y轴上的角的集合是{α|α=，k∈Z}；③已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，若a，b是任意的实数，都有f （a•b）=f（a）+f（b），则y=f（x）的偶函数；④函数y=sin（x﹣）在[0，π]上是减函数；⑤已知A和B是单位圆O上的两点，∠AOB=π，点C在劣弧上，若=x+y，其中，x，y∈R，则x+y的最大值是2；以上叙述正确的序号是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12.00分）（Ⅰ）计算：﹣（）0+25；（Ⅱ）已知函数f（x）=，g（x）=x2+2，求f（x）的定义域和f（g（2））的值．18．（12.00分）已知向量=3﹣3，=4+，其中=（1，0），=（0，1），求：（Ⅰ）•和|+|的值；（Ⅱ）与夹角的余弦值．19．（12.00分）函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）用单调性定义证明函数f（x）在（0，1）上是增函数．20．（12.00分）函数f（x）=Asin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求A，ω；（Ⅱ）设α∈（0，），f（）=2．求α的值．21．（12.00分）已知y=f（x）为二次函数，若y=f（x）在x=2处取得最小值﹣4，且y=f（x）的图象经过原点，（1）求f（x）的表达式；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．请在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答请写清题号.[选做题]22．（10.00分）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%．（Ⅰ）写出水中杂质含量y与过滤次数x之间的函数关系式；（Ⅱ）要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤几次？（参考数据lg2=0.3010）[选修题]23．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b．（1）求这一天的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．[选修题]24．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形的周长y 和腰长x之间的函数解析式，并求出它的定义域．2015-2016学年四川省南充市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）已知集合A={1，2，3}，B={2，3，5}，则A∩B=（）A．{1，5}B．{1，2，5}C．{2，3}D．{1，2，3，5}【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3，5}，∴A∩B={2，3}，故选：C．2．（5.00分）计算：lg2+lg5=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【解答】解：lg2+lg5=lg10=1．故选：D．3．（5.00分）已知函数f（x）=+，则f（﹣3）=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：∵f（x）=+，∴f（﹣3）==﹣1．故选：B．4．（5.00分）设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定【解答】解析：∵f（1.5）•f（1.25）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．故选：B．5．（5.00分）已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），则sinα=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），∴x=﹣3，y=﹣4，r==5，∴sinα==﹣．故选：A．6．（5.00分）已知向量=（2，1），=（﹣3，4），则+=（）A．（﹣1，5）B．（1，5） C．（﹣1，﹣3）D．（1，3）【解答】解：向量=（2，1），=（﹣3，4），则+=（﹣1，5）．故选：A．7．（5.00分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1【解答】解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；故选：A．8．（5.00分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位．A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．9．（5.00分）已知tanα=2，则=（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：∵tanα=2，∴===4．故选：C．10．（5.00分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．11．（5.00分）已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．9【解答】解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．故选：C．12．（5.00分）如图，在四边形ABCD中，++=4，•=•=0，•+•=4，则（+）•的值为（）A．2 B．C．4 D．【解答】解：∵++=4，•+•=4，∴+=2，，由已知•=•=0，知⊥⊥，∴∥，作如图辅助线∴=+=，即三角形AEC是等腰直角三角形，∠CAE=45°|，∴（+）•=||cos∠CAE=2×=4，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，4），则这个函数的解析式是y=x2．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，α∈R，其图象经过点（2，4），所以2α=4，解得α=2；所以这个函数的解析式是y=x2．故答案为：y=x2．14．（5.00分）已知cos（﹣α）=，则cos（+α）=﹣．【解答】解：∵cos（﹣α）=，∴cos（+α）=cos[π﹣（﹣α）]=﹣cos （﹣α）=﹣，故答案为：﹣．15．（5.00分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=﹣f（x），则f（9）=0．【解答】解：∵f（x+3）=﹣f（x），∴f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），则函数的周期是6，则f（9）=f（9﹣6）=f（3）=﹣f（0），∵函数f（x）为奇函数，∴f（0）=0，则f（9）=﹣f（0）=0，故答案为：0．16．（5.00分）有下列叙述：①若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=﹣3；②终边在y轴上的角的集合是{α|α=，k∈Z}；③已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，若a，b是任意的实数，都有f （a•b）=f（a）+f（b），则y=f（x）的偶函数；④函数y=sin（x﹣）在[0，π]上是减函数；⑤已知A和B是单位圆O上的两点，∠AOB=π，点C在劣弧上，若=x+y，其中，x，y∈R，则x+y的最大值是2；以上叙述正确的序号是①③⑤．【解答】解：①若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则﹣2k﹣6=0得k=﹣3，故①正确；②终边在y轴上的角的集合是{α|α=kπ+，k∈Z}，故②错误；③令a=2，b=1，则f（2）=f（2）+f（1），解得f（1）=0，令a=﹣1，b=﹣1，则f（1）=f（﹣1）+f（﹣1）=2f（﹣1）=0，则f（﹣1）=0，令b=﹣1，代入上式，∴f（﹣a）=f（﹣1）+f（a）=f（a），∴f（x）是偶函数．故③正确；④函数y=sin（x﹣）=﹣cosx在[0，π]上是增函数，故④错误；⑤由已知条件知：==x2﹣xy+y2=（x+y）2﹣3xy；∴（x+y）2﹣1=3xy，根据向量加法的平行四边形法则，容易判断出x，y＞0，∴，∴；∴，∴（x+y）2≤4，∴x+y≤2，即x+y的最大值为2．故⑤正确，故答案为：①③⑤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12.00分）（Ⅰ）计算：﹣（）0+25；（Ⅱ）已知函数f（x）=，g（x）=x2+2，求f（x）的定义域和f（g（2））的值．【解答】解：（Ⅰ）﹣（）0+25=﹣4﹣1+5=0；（Ⅱ）∵函数f（x）=，∴x+1≠0，解得x≠﹣1，∴函数f（x）的定义域为{x|x≠﹣1}；又g（x）=x2+2，∴g（2）=22+2=6，∴f（g（2））=f（6）==．18．（12.00分）已知向量=3﹣3，=4+，其中=（1，0），=（0，1），求：（Ⅰ）•和|+|的值；（Ⅱ）与夹角的余弦值．【解答】解：∵；∴；（Ⅰ）；；∴；（Ⅱ），；∴=．19．（12.00分）函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）用单调性定义证明函数f（x）在（0，1）上是增函数．【解答】解：（I）∵函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，f（﹣x）=﹣f （x）…（2分）故，所以b=0，…（4分）所以．…（5分）（II）设0＜x1＜x2＜1，△x=x2﹣x1＞0，…（6分）则△y=f（x2）﹣f（x1）==…（8分）∵0＜x1＜x2＜1，∴△x=x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＞0…（10分）∴而，∴△y=f（x2）﹣f（x1）＞0…（11分）∴f（x）在（0，1）上是增函数．…（12分）20．（12.00分）函数f（x）=Asin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求A，ω；（Ⅱ）设α∈（0，），f（）=2．求α的值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，∵函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则函数的周期为T=π，即=π，得ω=2，则A=2，ω=2．（Ⅱ）∵A=2，ω=2．∴f（x）=2sin（2x﹣）+1则f（）=2sin（α﹣）+1=2，即sin（α﹣）=，∵α∈（0，），∴﹣＜α﹣＜，∴α﹣=，即α=．21．（12.00分）已知y=f（x）为二次函数，若y=f（x）在x=2处取得最小值﹣4，且y=f（x）的图象经过原点，（1）求f（x）的表达式；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（1）设二次函数f（x）=a（x﹣2）2﹣4，∵函数图象过原点，∴f（0）=0，解得a=1，∴f（x）=（x﹣2）2﹣4．（2）∵x∈，∴log，设t=log，则t∈[﹣1，3]，则g（t）=（t﹣2）2﹣4．且t∈[﹣1，3]，∴当t=2即x=时，函数y有最小值﹣4，当t=﹣1，即x=2时，函数y有最大值5．请在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答请写清题号.[选做题]22．（10.00分）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%．（Ⅰ）写出水中杂质含量y与过滤次数x之间的函数关系式；（Ⅱ）要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤几次？（参考数据lg2=0.3010）【解答】解：（Ⅰ）设刚开始水中杂质含量为1，第1次过滤后，y=1﹣20%，第2次过滤后，y=（1﹣20%）（1﹣20%）=（1﹣20%）2，第3次过滤后，y=（1﹣20%）2（1﹣20%）=（1﹣20%）3，…第x次过滤后，y=（1﹣20%）x=0.8x，．∴水中杂质含量y与过滤次数x之间的函数关系式；y=（1﹣20%）x=0.8x，（x≥1且x∈N）．（Ⅱ）由题意列式0.8x＜5%，两边取对数得x＞log0.80.05===≈13.4．故x≥14．∴至少需要过滤14次．[选修题]23．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b．（1）求这一天的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．【解答】解：（1）由图示，这段时间的最大温差是30℃﹣10℃=20℃，（2）图中从6时到14时的图象是函数y=Asin（ωx+φ）+b的半个周期，∴=14﹣6，解得ω=，由图示，A=（30﹣10）=10，B=（10+30）=20，这时，y=10sin（x+φ）+20，将x=6，y=10代入上式，可取φ=，综上，所求的解析式为y=10sin（x+）+20，x∈[6，14]．[选修题]24．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形的周长y 和腰长x之间的函数解析式，并求出它的定义域．【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，连接BD．因为AB为直径，所以∠ADB=90°．在Rt△ADB与Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，所以Rt△ADB∽Rt△AED．所以，即．又AD=x，AB=4，所以．所以CD=AB﹣2AE=4﹣，于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4﹣+x=﹣+2x+8由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，，4﹣＞0，解得0＜x，故所求的函数为y=﹣+2x+8（0＜x）．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形； （3）求AE －CE 的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题及参考答案
2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1.下列图形中，表示⊆M N 的是 （ ▲ ）2.120cos ︒= （ ▲ ） A.12-B.12C.32-D.223.下列命题正确的是 （ ▲ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量；B ．若,a b 都是单位向量,则a b =；C ．若AB =DC ,则A B CD 、、、四点构成平行四边形； D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同. 4.45154515cos cos sin sin ︒︒-︒︒= （ ▲ ）A.22 B.32C.12D.12-5.如图，在ABC ∆中，D 是AC 的中点，向量AB a =，AC b =，那么向量BD 可表示为 （ ▲ ） A.b a 1122- B.a b 12-C.b a 12-D.a b 12-6.函数2212()()=+-+f x x a x 在区间(],4-∞上是递减的，则实数a 的取值范 （ ▲ ） A.3≤-a B.3≥-a C.5≤a D.5≥a 7.已知指数函数()xf x a =和函数2()g x ax =+，下列图象正确的是 （ ▲ ）A. B. C. D.8.已知平面向量,a b ，8a =||，4||=b ，且,a b 的夹角是150︒，则a 在b 方向上的射影是 （ ▲ ）A.4-B.43-C.4D.439.要得到函数2sin 2=y x 的图像，只需将2sin(2)6π=-y x 的图像 （ ▲ ）A.向右平移6π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位D.向左平移12π个单位10.若平面向量(3,4)b =与向量(4,3)a =，则向量,a b 夹角余弦值为 （ ▲ ）A.1225 B. 1225- C. 2425- D.2425 11.设()338x f x x =+-,用二分法求方程(),338012xx x +-=∈在内近似解的过程中得()()(),.,.,101501250f f f <><则方程的根落在区间 （ ▲ ）A ．(,.)1125B ．(.,.)12515C ．(.,)152D ．不能确定12.若函数tan ,0(2)lg(),0x x f x x x ≥⎧+=⎨-<⎩，则(2)(98)4f f π+⋅-= （ ▲ ）A.12B.12- C.2 D.2-二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13.函数212()log ()=-f x x 的定义域是 ▲ ．14.有一半径为4的扇形，其圆心角是3π弧度，则该扇形的面积是 ▲ ． 15.已知平面向量(4,3)a =-和单位向量b ，且b a ⊥，那么向量b 为 ▲ ． 16.关于函数sin (()42)3f x x ＝＋π，(R)x ∈有下列命题： ①()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；②()y f x =可改写为cos (6)42y x ＝-π； ③()y f x =的图象关于(0)6-，π对称； ④()y f x =的图象关于直线6x =-π对称； 其中正确的序号为 ▲ ．M N D.N M C. M N B. MN A. o 2 1 y x2 1 oy x2 1 oyx2 1 oy xD C AB 第5小题三、解答题（共6小题，共计70分） 17.化简或求值：(1)log lg lg 223212732548--⨯++ (2)已知3sin ,054x x =<<π,求cos 2cos()4xx +π. 18.已知全集U R =，集合{}A x x =<<17，集合{}B x a x a 125=+<<+，若满足A B B =，求 （1）集合U C A ；（2）实数a 的取值范围．19.若平面向量(1,2)a =，(3,2)b =-， k 为何值时: （1）()(3)ka b a b +⊥-；（2）//()(3)ka b a b +-？20.设函数()2sin(2)(0)f x x =+<<ϕϕπ，()y f x =图象的一个对称中心是(,0)3π.（1）求ϕ；（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在(0,)2x ∈π的图象；（3）求函数()1()f x x R ≥∈的解集21.已知函数2()3sin 22cos f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数()g x 的图象，求()g x 的解析式．22.已知定义域为R 的函数2()21x x af x -+=+是奇函数（1）求a 值；（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分）CAACC ADBDD BC二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13. 2{|>x x ,且3}≠x 或者填(2,3)(3,)+∞ ．14.83π. 15.34(,)55和 34(,)55--.16. ② ③ .三、解答题（共6小题，共计70分） 17.（本小题满分8分） 解：（1）原式=()lg lg 2193549-⨯-++=()lg 1931009-⨯-+=()19329-⨯-+=1113（2）3sin ,054x x π=<<2cos 1sin xx ∴=-=45227cos 2cos sin cos sin 72552222cos()cos sin 42222x x x x x x x x π-+∴====+-18.（本小题满分10分）解；（1）(,][,)U C A =-∞+∞17（2）A B B =B A ∴⊆（i ）当B φ=时，由a a 251+≤+得a 4≤-（ii ）当B φ≠时，由a a a a 11257125+≥⎧⎪+≤⎨⎪+<+⎩解得a 01≤≤a ∴的取值范围是(,][,]401-∞-.19.（本小题满分12分） 解：（1）a b (1,2),(3,2)==- ka b k k (3,22)∴+=-+ a b 3(10,4)-=-()(3)ka b a b +⊥-(k 3)10(2k 2)(4)0∴-⨯++⨯-=解得 k 19=（2）由（1）及//()(3)ka b a b +-得(k 3)(4)(2k 2)100-⨯--+⨯=解得 1k 3=-20.（本小题满分14分） 解： （1）(,)π03是函数()y f x = 的图像的对称中心sin()πϕ∴⨯+=2203()k k Z πϕπ∴+=∈23()k k Z πϕπ∴=-∈23(,)πϕπϕ∈∴=03()sin()f x x π∴=+223（2）列表：（3）()f x ≥1即sin()x π+≥2213sin()x π+≥1232解得,k x k k Z πππππ+≤+≤+∈5222636亦即,k x k k Z ππππ-+≤≤+∈124所以，()f x ≥1的解集是[,],k k k Z ππππ-++∈12421.（本小题满分12分）解：（1）依题意，得f x x x =++()3sin 2cos 21x x =++312(sin 2cos 2)122x π=++2sin(2)16将()y f x =的图像向右平移12π个单位长度，得到函数f x x x ππ=-++=+1()2sin[2()]12sin 21126的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为π2，则得g x x =+()2sin 1 （2）函数f x ()的最小正周期为T π=，（3）当,k x k k Z πππππ-≤+≤-∈222262时，函数单调递增，解得,k x k k Zππππ-≤≤+∈36∴函数的单调递增区间为 [,],k k k Z ππππ-+∈36. 22.（本小题满分14分） 解：（1）由题设，需(),,()xxa f a f x +-==∴=∴=+112001212经验证，()f x 为奇函数，a ∴=1xπ12π3 π712 π56πx π+23 π3π2 ππ32π2π73 ()f x32-23（2）减函数.证明：任意,,,x x R x x x x ∈<∴->1212210由（1）得()()()()()x x x x x x x x f x f x --⨯--=-=++++2112212121121222212121212 ,x x x x x x <∴<<∴-<121212022220，()()x x ++>2112120()()f x f x ∴-<210所以，该函数在定义域R 上是减函数（3）由22(2)(2)0f t t f t k -+-<得f t t f t k -<--22(2)(2)()f x 是奇函数∴f t t f k t -<-22(2)(2)，由（2），()f x 是减函数. ∴原问题转化为t t k t ->-2222，即t t k -->2320对任意t R ∈恒成立.∴k ∆=+<4120，解得k <-13即为所求.。
江苏省泰州市2015-2016学年上学期高一期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年江苏省泰州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中元素个数为．2．若幂函数y=x a的图象过点（2，），则a=．3．因式分解：x3﹣2x2+x﹣2=．4．将函数y=sinx的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式是．5．若函数f（x）=x3+2x﹣1的零点在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k=．6．化简：+=．7．||=1，||=2，，且，则与的夹角为．8．已知一次函数y=x+1与二次函数y=x2﹣x﹣1的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则+=．9．已知O为坐标原点，A（1，2），B（﹣2，1），若与共线，且⊥（+2），则点C的坐标为．10．若点P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）终边上，则函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间为．11．当x∈{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}时，函数y=4x﹣2x+3的最小值是．12．已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足：①当x∈（0，1]时，f（x）=（）x；②f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（﹣log224）=．13．已知函数f（x）=x2+bx，g（x）=|x﹣1|，若对任意x1，x2∈[0，2]，当x1＜x2时都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），则实数b的最小值为．14．已知函数f（x）=sin（πx﹣），若函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则实数a的取值范围是．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．已知集合A={x|2x＞8}，B={x|x2﹣3x﹣4＜0}．（1）求A，B；（2）设全集U=R，求（∁U A）∩B．16．直线y=1分别与函数f（x）=log2（x+2），g（x）=log a x的图象交于A，B两点，且AB=2．（1）求a的值；（2）解关于x的方程，f（x）+g（x）=3．17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点（0，1），且其相邻两对称轴之间的距离为π．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设若sinα+f（α）=，α∈（0，π），求的值．18．现代人对食品安全的要求越来越高，无污染，无化肥农药等残留的有机蔬菜更受市民喜爱，为了适应市场需求，我市决定对有机蔬菜实行政府补贴，规定每种植一亩有机蔬菜性补贴农民x元，经调查，种植亩数与补贴金额x之间的函数关系式为f（x）=8x+800（x≥0），每亩有机蔬菜的收益（元）与补贴金额x之间的函数关系式为g（x）=．（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为多少元？（2）求出政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W（元）与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使我市有机蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴金额x定为多少元？19．四边形ABCD中，E，F分别为BD，DC的中点，AE=DC=3，BC=2，BD=4．（1）试求，表示；（2）求2+2的值；（3）求的最大值．20．对于函数y=f（x），若x0满足f（x0）=x0，则称x0位函数f（x）的一阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，则称x0位函数f（x）的二阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为函数f （x）的二阶周期点．（1）设f（x）=kx+1．①当k=2时，求函数f（x）的二阶不动点，并判断它是否是函数f（x）的二阶周期点；②已知函数f（x）存在二阶周期点，求k的值；（2）若对任意实数b，函数g（x）=x2+bx+c都存在二阶周期点，求实数c的取值范围．2015-2016学年江苏省泰州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中元素个数为4．【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的并集，找出并集中元素个数即可．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={1，2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}，则集合A∪B中元素个数为4，故答案为：4．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．若幂函数y=x a的图象过点（2，），则a=﹣1．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，将点（2，）的坐标代入y=x a中，可得=2a，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，点（2，）在幂函数y=x a的图象上，则有=2a，解可得a=﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查幂函数解析式的计算，注意幂函数与指数函数的区别．3．因式分解：x3﹣2x2+x﹣2=（x﹣2）（x2+1）．【考点】因式分解定理．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】分组提取公因式即可得出．【解答】解：原式=x2（x﹣2）+（x﹣2）=（x﹣2）（x2+1）．故答案为：（x﹣2）（x2+1）．【点评】本题考查了分组提取公因式法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．将函数y=sinx的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式是y=sin（x﹣）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想．【分析】由函数图象的平移法则，“左加右减，上加下减”，我们可得函数f（x）的图象向右平移a个单位得到函数f（x﹣a）的图象，再根据原函数的解析式为y=sinx，向右平移量为个单位，易得平移后的图象对应的函数解析式．【解答】解：根据函数图象的平移变换的法则故函数y=sinx的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式是y=sin（x﹣）故答案为：y=sin（x﹣）【点评】本题考查的知识点函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中熟练掌握函数图象的平移法则，“左加右减，上加下减”，是解答本题的关键．5．若函数f（x）=x3+2x﹣1的零点在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k=0．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】利用根的存在性确定函数零点所在的区间，然后确定k的值．【解答】解；∵f（x）=x3+2x﹣1，∴f′（x）=3x2+2＞0，∴f（x）在R上单调递增，∵f（0）=﹣1＜0，f（1）=1+2﹣1＞0，∴f（0）f（1）＜0，∴函数零点所在的区间为（0，1），∴k=0．故答案为：0．【点评】本题考查函数零点的判定定理的应用，属基础知识、基本运算的考查．6．化简：+=2．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用根式与分数指数幂互化公式、性质、运算法则、平方差公式、立方差公式求解．【解答】解：+=+=2．故答案为：2．【点评】本题考查有理数指数幂化简求值，是基础题，解题时要注意根式与分数指数幂互化公式、性质、运算法则、平方差公式、立方差公式的合理运用．7．||=1，||=2，，且，则与的夹角为120°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】根据，且可得进而求出=﹣1然后再代入向量的夹角公式cos＜＞=再结合＜＞∈[0，π]即可求出＜＞．【解答】解：∵，且∴∵||=1∴=﹣1∵||=2∴cos＜＞==﹣∵＜＞∈[0，π]∴＜＞=120°故答案为120°【点评】本题主要考查了利用数量积求向量的夹角，属常考题，较易．解题的关键是熟记向量的夹角公式cos＜＞=同时要注意＜＞∈[0，π]这一隐含条件！8．已知一次函数y=x+1与二次函数y=x2﹣x﹣1的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则+=﹣1．【考点】函数的图象．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】联立方程组得，化简得到x2﹣2x﹣2=0，根据韦达定理得到x1+x2=2，x1x2=﹣2，即可求出答案．【解答】解：联立方程组得，∴x2﹣x﹣1=x+1，∴x2﹣2x﹣2=0，∴x1+x2=2，x1x2=﹣2，∴+===﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了函数图象的交点问题，以及韦达定理的应用，属于基础题．9．已知O为坐标原点，A（1，2），B（﹣2，1），若与共线，且⊥（+2），则点C的坐标为（﹣4，﹣3）．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】设C的坐标为（x，y），向量的坐标运算和向量共线垂直的条件得到关于x，y的方程组，解得即可．【解答】解：设C的坐标为（x，y），O为坐标原点，A（1，2），B（﹣2，1），∴=（x+2，y﹣1），=（x，y），=（1，2），=（﹣2，1），+2=（﹣3，4），∵与共线，且⊥（+2），解得x=﹣4，y=﹣3，∴点C的坐标为（﹣4，﹣3），故答案为：（﹣4，﹣3）【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量共线垂直的条件，属于基础题．10．若点P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）终边上，则函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间为[，π]．【考点】余弦函数的图象．【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用余弦函数的单调性，求得函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间．【解答】解：∵点P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）终边上，∴φ=﹣，函数y=3cos（x+φ）=3cos（x﹣），令2kπ≤x﹣≤2kπ+π，求得2kπ+≤x﹣≤2kπ+．可得函数的减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．再结合x∈[0，π]，可得函数y=3cos（x+φ）的单调减区间为[，π]，故答案为：[，π]．【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，属于基础题．11．当x∈{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}时，函数y=4x﹣2x+3的最小值是5﹣．【考点】指、对数不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】化简集合{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}，求出x的取值范围，再求函数y的最小值即可．【解答】解：因为{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}={x|（log2x+1）（log2x﹣2）≤0}={x|﹣1≤log2x≤2}={x|≤x≤4}，且函数y=4x﹣2x+3=22x﹣2x+3=+，所以，当x=时，函数y取得最小值是+=5﹣．故答案为：5﹣．【点评】本题考查了指数与对数不等式的解法与应用问题，解题的关键是转化为等价的不等式，是基础题目．12．已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足：①当x∈（0，1]时，f（x）=（）x；②f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（﹣log224）=．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由f（x）的图象关于x=1对称可以得出f（x）=f（x﹣4），从而可以得到f（﹣log224）=﹣f（log224﹣4）=﹣f（log23﹣1），可判断log23﹣1∈（0，1），从而可以求出，这样根据指数式和对数式的互化及指数的运算即可求得答案．【解答】解：f（x）的图象关于x=1对称；∴f（x）=f（2﹣x）=﹣f（x﹣2）=f（x﹣4）；即f（x）=f（x﹣4）；∴f（﹣log224）=﹣f（log224）=﹣f（log224﹣4）=﹣f（log23﹣1）；∵log23﹣1∈（0，1）；∴==；∴．故答案为：．【点评】考查奇函数的定义，f（x）关于x=a对称时有f（x）=f（2a﹣x），以及对数的运算，指数的运算，对数式和指数式的互化．13．已知函数f（x）=x2+bx，g（x）=|x﹣1|，若对任意x1，x2∈[0，2]，当x1＜x2时都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），则实数b的最小值为﹣1．【考点】函数的值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令h（x）=f（x）﹣g（x），问题转化为满足h（x）在[0，2]上是增函数即可，结合二次函数的性质通过讨论对称轴的位置，解出即可．【解答】解：当x1＜x2时都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），即x1＜x2时都有f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+bx﹣|x﹣1|，故需满足h（x）在[0，2]上是增函数即可，①当0≤x＜1时，h（x）=x2+（b+1）x﹣1，对称轴x=﹣≤0，解得：b≥﹣1，②当1≤x≤2时，h（x）=x2+（b﹣1）x+1，对称轴x=﹣≤1，解得：b≥﹣1，综上：b≥﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考察了二次函数的性质、考察转化思想，是一道中档题．14．已知函数f（x）=sin（πx﹣），若函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则实数a的取值范围是（﹣，）．【考点】正弦函数的图象；函数零点的判定定理．【专题】分类讨论；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由f（x）没有零点求得x的范围，再根据f（asinx+1）没有零点可得asinx+1的范围，根据正弦【解答】解：若函数f（x）=sin（πx﹣）=sinπ（x﹣）没有零点，故0＜（x﹣）π＜π，或﹣π＜（x﹣）π＜0，即0＜（x﹣）＜1，或﹣1＜（x﹣）＜0，即＜x＜或﹣＜x＜．由于函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则＜asinx+1＜，或﹣＜asinx+1＜，当a＞0时，∵1﹣a≤asinx+1≤1+a，或，解得0＜a＜．当a＜0时，1+a≤asinx+1≤1﹣a，∴或，求得﹣＜a＜0．当a=0时，函数y=f（asinx+1）=f（1）=sin=≠0，满足条件．综上可得，a的范围为（﹣，）．故答案为：（﹣，）．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的零点的定义，属于中档题．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．已知集合A={x|2x＞8}，B={x|x2﹣3x﹣4＜0}．（1）求A，B；（2）设全集U=R，求（∁U A）∩B．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的表示法．【专题】转化思想；定义法；集合．【分析】（1）根据指数函数的图象与性质，求出集合A，再解一元二次不等式求出集合B；（2）根据补集与交集的定义，求出（∁U A）∩B．【解答】解：（1）∵2x＞8=23，且函数y=2x在R上是单调递增，∴x＞3，∴A=（3，+∞）；又x2﹣3x﹣4＜0可化为（x﹣4）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜4，∴B=（﹣1，4）；（2）∵全集U=R，A=（3，+∞），A=∞3∴（∁U A）∩B=（﹣1，3]．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．16．直线y=1分别与函数f（x）=log2（x+2），g（x）=log a x的图象交于A，B两点，且AB=2．（1）求a的值；（2）解关于x的方程，f（x）+g（x）=3．【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）令f（x）=1解出A点坐标，利用AB=2得出B点坐标，把B点坐标代入g（x）解出a；（2）利用对数的运算性质去掉对数符号列出方程解出x，结合函数的定义域得出x的值．【解答】解：（1）解log2（x+2）=1得x=0，∴A（0，1），∵AB=2，∴B（2，1）．把B（2，1）代入g（x）得log a2=1，∴a=2．（2）∵f（x）+g（x）=3，∴log2（x+2）+log2x=log2[x（x+2）]=3，∴x（x+2）=8，解得x=﹣4或x=2．由函数有意义得，解得x＞0．∴方程f（x）+g（x）=3的解为x=2．【点评】本题考查了对数函数的图象与性质，对数方程的解法，属于基础题．17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点（0，1），且其相邻两对称轴之间的距离为π．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设若sinα+f（α）=，α∈（0，π），求的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）根据函数的图象经过点（0，1），求得φ的值，再根据周期性求得ω，可得函数f（x）的解析式．（2）由条件求得sinα+cosα=，平方可得sinαcosα的值，从而求得sinα﹣cosα的值，再利用诱导公式化简要求的式子，可得结果．【解答】解：（1）根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点（0，1），可得sinφ=1，∴φ=，．∵其相邻两对称轴之间的距离为π，∴=π，求得ω=1，∴f（x）=sin（x+）=cosx．（2）∵sinα+f（α）=，α∈（0，π），即sinα+cosα=，平方可得sinαcosα═﹣，∴α为钝角，sinα﹣cosα==，∴====﹣．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，三角函数的化简求值，属于基础题．18．现代人对食品安全的要求越来越高，无污染，无化肥农药等残留的有机蔬菜更受市民喜爱，为了适应市场需求，我市决定对有机蔬菜实行政府补贴，规定每种植一亩有机蔬菜性补贴农民x元，经调查，种植亩数与补贴金额x之间的函数关系式为f（x）=8x+800（x≥0），每亩有机蔬菜的收益（元）与补贴金额x之间的函数关系式为g（x）=．（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为多少元？（2）求出政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W（元）与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使我市有机蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴金额x定为多少元？【考点】分段函数的应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为800×2850=2280000元；（2）政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W=f（x）g（x）；（3）分段求最大值，即可得出结论．【解答】解：（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为800×2850=2280000元；（2）政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W=f（x）g（x）=；（3）x＞50，W=﹣24（x+100）（x﹣1050）=﹣24（x﹣475）2+7935000，∴x=475时，W max=7935000；0≤x≤50，W═24（x+100）（x+950）单调递增，∴x=50时，W max=3600000；综上所述，要使我市有机蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴金额x定为475元．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．19．四边形ABCD中，E，F分别为BD，DC的中点，AE=DC=3，BC=2，BD=4．（1）试求，表示；（2）求2+2的值；（3）求的最大值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）由已知结合共线向量基本定理得答案；（2）由已知结合向量加法、减法的运算法则求解；（3）由向量加法、减法及向量的数量积运算得答案．【解答】解：（1）∵E，F分别为BD，DC的中点，∴，则；（2）=；（3）=，∵=10﹣6cos∠AEF．∴当∠AEF=π时，取得最大值16．∴的最大值为．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法与减法的三角形法则，是中档题．20．对于函数y=f（x），若x0满足f（x0）=x0，则称x0位函数f（x）的一阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，则称x0位函数f（x）的二阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为函数f （x）的二阶周期点．（1）设f（x）=kx+1．①当k=2时，求函数f（x）的二阶不动点，并判断它是否是函数f（x）的二阶周期点；②已知函数f（x）存在二阶周期点，求k的值；（2）若对任意实数b，函数g（x）=x2+bx+c都存在二阶周期点，求实数c的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值．【专题】新定义；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）①当k=2时，f（x）=2x+1，结合二阶不动点和二阶周期点的定义，可得答案；②由二阶周期点的定义，结合f（x）=kx+1，可求出满足条件的k值；（2）若对任意实数b，函数g（x）=x2+bx+c都存在二阶周期点，则函数g（x）=x2+bx+c=x恒有两个不等的实数根，解得答案．【解答】解：（1）①当k=2时，f（x）=2x+1，f（f（x））=2（2x+1）+1=4x+3，解4x+3=x得：x=﹣1，即﹣1为函数f（x）的二阶不动点，时f（﹣1）=﹣1，即﹣1不是函数f（x）的二阶周期点；②∵f（x）=kx+1，∴f（f（x））=k2x+k+1，令f（f（x））=x，则x==，（k≠±1），或x=0，k=﹣1，令f（x）=x，则x=，若函数f（x）存在二阶周期点，则k=﹣1，（2）若x0为函数f（x）的二阶周期点．则f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，若x1为函数f（x）的二阶不动点，则f（f（x1））=x1，且f（x1）=x1，则f（x0）=f（x1），则x0≠x1，且f（x0）+f（x1）=﹣b，即函数g（x）=x2+bx+c=x恒有两个不等的实数根，故△=（b﹣1）2﹣4c＞0恒成立，解得：c＜0．【点评】本题以二阶不动点和二阶周期点为载体，考查了二次函数的基本性质，正确理解二阶不动点和二阶周期点的概念是解答的关键．。
2015-2016年福建南平市高一(上)数学期末试卷及答案
2015-2016学年福建省南平市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5.00分）已知直线x﹣ay=4在y轴上的截距是2，则a等于（）A．﹣ B．C．﹣2 D．22．（5.00分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x＜2}，则A∩B等于（）A．{1}B．{1，2}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}3．（5.00分）函数f（x）=3x+x﹣5，则函数f（x）的零点一定在区间（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）4．（5.00分）以（﹣2，1）为圆心且与直线x+y=3相切的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=2 B．（x+2）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣2）2+（y+1）2=8 D．（x+2）2+（y﹣1）2=85．（5.00分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题正确的是（）A．若α⊥β，则l∥m B．若l⊥m，则α∥βC．若l∥β，则m⊥αD．若α∥β，则l⊥m6．（5.00分）已知a=ln，b=5lg3，c=3，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．（5.00分）两平行线3x﹣4y﹣2=0与3x﹣4y+8=0之间的距离为（）A．2 B．C．1 D．28．（5.00分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．1 D．29．（5.00分）已知a＞0且a≠1，下列函数中，在区间（0，a）上一定是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2﹣3ax+1 C．f（x）=a x D．f（x）=log a x 10．（5.00分）已知直线l与直线2x﹣3y+4=0关于直线x=1对称，则直线l的方程为（）A．2x+3y﹣8=0 B．3x﹣2y+1=0 C．x+2y﹣5=0 D．3x+2y﹣7=011．（5.00分）设全集U=R，集合A={x|﹣4＜x＜1}，B={x|4＞}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．（﹣2，1]B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣4]D．（﹣∞，﹣4]∪（﹣2，1）12．（5.00分）函数y=（x2﹣1）e|x|的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5.00分）已知点（1，﹣1，2）关于x轴对称点为A，则点A的坐标为．14．（5.00分）已知球O的表面积是其半径的6π倍，则该球的体积为．15．（5.00分）已知定义在（，+∞）的函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=log3（x﹣），若f（1）=2，则f（2）=．16．（5.00分）已知圆C：x2+y2﹣4x+m=0与圆（x﹣3）2+（y+2）2=4外切，点P是圆C上一动点，则点P到直线mx﹣4y+4=0的距离的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10.00分）已知集合A={x|1≤x＜4}，B={x|x﹣a＜0}．（1）当a=3时，求A∩B，A∪B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．18．（12.00分）已知直线l：x﹣2y﹣1=0，直线l1过点（﹣1，2）．（1）若l1⊥l，求直线l1的方程；（2）若l1∥l，求直线l1的方程．19．（12.00分）已知函数f（x）满足f（）=x+．（1）求函数的解析式；（2）判断函数f（x）在区间（，+∞）上的单调性，并用定义法加以证明．20．（12.00分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形．PB=PD，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDE．21．（12.00分）已知函数f（x）=（）x+a的图象经过第二、三、四象限．（1）求实数a的取值范围；（2）设g（a）=f（a）﹣f（a+1），求g（a）的取值范围．22．（12.00分）已知圆C关于直线x+y+2=0对称，且过点P（﹣2，2）和原点O．（1）求圆C的方程；（2）相互垂直的两条直线l1，l2都过点A（﹣1，0），若l1，l2被圆C所截得弦长相等，求此时直线l1的方程．2015-2016学年福建省南平市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5.00分）已知直线x﹣ay=4在y轴上的截距是2，则a等于（）A．﹣ B．C．﹣2 D．2【解答】解：已知直线x﹣ay=4在y轴上的截距是2，即直线过（0，2），代入得：﹣2a=4，则a=﹣2，故选：C．2．（5.00分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x＜2}，则A∩B等于（）A．{1}B．{1，2}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}【解答】解：∵A={1，2，3，4，5}，B={x|x＜2}，∴A∩B={1}，故选：A．3．（5.00分）函数f（x）=3x+x﹣5，则函数f（x）的零点一定在区间（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：当x=1时，f（1）=31+1﹣5=﹣1＜0当x=2时，f（2）=32+2﹣5=6＞0即f（1）•f（2）＜0又∵函数f（x）=3x+x﹣5为连续函数故函数f（x）=3x+x﹣5的零点一定位于区间（1，2）故选：B．4．（5.00分）以（﹣2，1）为圆心且与直线x+y=3相切的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=2 B．（x+2）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣2）2+（y+1）2=8 D．（x+2）2+（y﹣1）2=8【解答】解：由所求的圆与直线x+y﹣3=0相切，得到圆心（﹣2，1）到直线x+y﹣3=0的距离d==2，则所求圆的方程为：（x+2）2+（y﹣1）2=8．故选：D．5．（5.00分）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题正确的是（）A．若α⊥β，则l∥m B．若l⊥m，则α∥βC．若l∥β，则m⊥αD．若α∥β，则l⊥m【解答】解：对于A、B，∵如图，由图可知A，B不正确；∵直线l⊥平面α，l∥β，∴α⊥β，对于C，∵m⊂平面β，∴m与α不一定垂直，C不正确．对于D，∵l⊥平面α，直线m⊂平面β．若α∥β，则l⊥平面β，有l⊥m，D正确；故选：D．6．（5.00分）已知a=ln，b=5lg3，c=3，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：a=ln＜ln1=0，b=5lg3＞50=1，0＜3=＜30=1，∴a＜c＜b，故选：B．7．（5.00分）两平行线3x﹣4y﹣2=0与3x﹣4y+8=0之间的距离为（）A．2 B．C．1 D．2【解答】解：两平行线3x﹣4y﹣2=0与3x﹣4y+8=0之间的距离==2．8．（5.00分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．1 D．2【解答】解：由题意可知几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，直角边分别为：1，，棱柱的高为，所以几何体的体积为：=1．故选：C．9．（5.00分）已知a＞0且a≠1，下列函数中，在区间（0，a）上一定是减函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2﹣3ax+1 C．f（x）=a x D．f（x）=log a x 【解答】解：对于A，a＞0时，函数f（x）==2﹣在区间（0，a）上是增函数，不满足条件；对于B，函数f（x）=x2﹣3ax+1在区间（﹣∞，a）上是减函数，∴在区间（0，a）上是减函数；对于C、D，函数f（x）=a x和f（x）=log a ax=1+log a x在区间（0，a）上可能是增函数，也可能是减函数．综上，满足条件的是B．故选：B．10．（5.00分）已知直线l与直线2x﹣3y+4=0关于直线x=1对称，则直线l的方程为（）A．2x+3y﹣8=0 B．3x﹣2y+1=0 C．x+2y﹣5=0 D．3x+2y﹣7=0【解答】解：设P（x，y）为直线l上的任意一点，则点P关于直线x=1的对称点为P′（2﹣x，y），代入直线2x﹣3y+4=0可得：2（2﹣x）﹣3y+4=0，化为2x+3y﹣8=0，故选：A．11．（5.00分）设全集U=R，集合A={x|﹣4＜x＜1}，B={x|4＞}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．（﹣2，1]B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣4]D．（﹣∞，﹣4]∪（﹣2，1）【解答】解：由图象可知阴影部分对应的集合为∁U（A∪B），由4＞得2•4x＞．即4x＞=4﹣2，则x＞﹣2，即B=（﹣2，+∞），∵A={x|﹣4＜x＜1}，∴A∪B=（﹣4，+∞），则∁U（A∪B）=（﹣∞，﹣4]，故选：C．12．（5.00分）函数y=（x2﹣1）e|x|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：因为f（﹣x）=（x2﹣1）e|x|=f（x），所以f（x）为偶函数，所以图象关于y轴对称，故排除B，当x→+∞时，y→+∞，故排除A当﹣1＜x＜1时，y＜0，故排除D故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5.00分）已知点（1，﹣1，2）关于x轴对称点为A，则点A的坐标为（1，1，﹣2）．【解答】解：∵点（1，﹣1，2）关于x轴对称点为A，一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变符号，∴点（1，﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标为（1，1，﹣2），∴A（1，1，﹣2）．故答案为：（1，1，﹣2）．14．（5.00分）已知球O的表面积是其半径的6π倍，则该球的体积为π．【解答】解：设球O的半径为r，则4πr2=6πr，解得r=，则球的体积为V=πr3=π×=π．故答案为：π．15．（5.00分）已知定义在（，+∞）的函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=log3（x﹣），若f（1）=2，则f（2）=1．【解答】解：∵定义在（，+∞）的函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=log3（x ﹣），且f（1）=2，∴当x=1时，f（2）﹣f（1）=log3（1﹣）=log3=﹣1，即f（2）=﹣1+f（1）=﹣1+2=1，则f（2）=1，故答案为：1．16．（5.00分）已知圆C：x2+y2﹣4x+m=0与圆（x﹣3）2+（y+2）2=4外切，点P是圆C上一动点，则点P到直线mx﹣4y+4=0的距离的最大值为3．【解答】解：圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2=4﹣m，∵两圆相外切，∴，解得m=3，∵圆心C（2，0）到3x﹣4y+4=0的距离d=，∴点P到直线3x﹣4y+4=0的距离的最大值为2+1=3，故答案为：3三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10.00分）已知集合A={x|1≤x＜4}，B={x|x﹣a＜0}．（1）当a=3时，求A∩B，A∪B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=3时，B={x|x＜3}．∴A∩B={x|1≤x＜3}，A∪B={x|x＜4}；（2）∵A⊆B，B={x|x＜a}，∴a≥4，故实数a的取值范围为[4，+∞）．18．（12.00分）已知直线l：x﹣2y﹣1=0，直线l1过点（﹣1，2）．（1）若l1⊥l，求直线l1的方程；（2）若l1∥l，求直线l1的方程．【解答】解：（1））∵l1⊥l，∴可设直线l1的方程为2x+y+m=0，把点（﹣1，2）代入可得﹣2+2+m=0，解得m=0．∴直线l1的方程为2x+y=0．（2）∵l1∥l，∴直线l1的方程为x﹣2y+n=0，把点（﹣1，2）代入可得﹣1﹣4+n=0，解得n=5．∴直线l1的方程为x﹣2y+5=0．19．（12.00分）已知函数f（x）满足f（）=x+．（1）求函数的解析式；（2）判断函数f（x）在区间（，+∞）上的单调性，并用定义法加以证明．【解答】解：（1）设t=，则x=2t，即f（t）=2t+，即f（x）=2x+，x≠0．（2）函数在（，+∞）为增函数，对任意的＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=2x1+﹣2x2﹣）=2（x1﹣x2）+﹣=2（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（2﹣）=（x1﹣x2）•，∵＜x1＜x2，∴4x1x2＞1，则4x1x2﹣1＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴函数在区间（，+∞）上是单调递增函数．20．（12.00分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形．PB=PD，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDE．【解答】解：（Ⅰ）设O为AC、BD的交点，连接EO∵E，O分别为PA，AC的中点，∴EO∥PC．∵EO⊂平面BDE，PC⊄平面BDE∴PC∥平面BDE．…（6分）（Ⅱ）证明：连接OP∵PB=PD，O为BD的中点∴OP⊥BD．又∵在菱形ABCD中，BD⊥AC且OP∩AC=O∴BD⊥平面PAC∵BD⊂平面BDE∴平面PAC⊥平面BDE．…（13分）21．（12.00分）已知函数f（x）=（）x+a的图象经过第二、三、四象限．（1）求实数a的取值范围；（2）设g（a）=f（a）﹣f（a+1），求g（a）的取值范围．【解答】解：（1）如图，∵函数f（x）=（）x+a的图象经过第二、三、四象限，∴a＜﹣1；（2）g（a）=f（a）﹣f（a+1）==．∵a＜﹣1，∴，则．故g（a）的取值范围是（2，+∞）．22．（12.00分）已知圆C关于直线x+y+2=0对称，且过点P（﹣2，2）和原点O．（1）求圆C的方程；（2）相互垂直的两条直线l1，l2都过点A（﹣1，0），若l1，l2被圆C所截得弦长相等，求此时直线l1的方程．【解答】解：（1）设圆心坐标为（a，﹣a﹣2），则r2=（a+2）2+（﹣a﹣2﹣2）2=a2+（﹣a﹣2）2，∴a=﹣2，r2=52，∴圆C的方程为（x+2）2+y2=4；（2）设圆C的圆心为C，l1、l2 被圆C所截得弦长相等，由圆的对称性可知，直线l1的斜率k=±1，∴直线l1的方程为：x﹣y+1=0或x+y+1=0．。
高一数学上学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。
湖北省宜昌一中高一数学上学期期末试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省某某一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A=，则A∩B=（）A．（e，4）B．[e，4）C．[1，+∞）D．[1，4）2．函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π3．下列函数是幂函数的是（）A．y=x4+x2B．y=10x C．y=D．y=x+14．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．平行四边形5．如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f{f[f（2）]}=（）A．0 B．2 C．4 D．66．已知，则sinα的值为（）A．B． C．D．7．已知a＞1，函数y=a x与y=log a（﹣x）的图象只可能是（）A．B． C．D．8．对整数n≥3，记f（n）=log23•log34…log n﹣1n，则f（22）+f（23）+…+fA．55 B．1024 C．54 D．10009．f（x）是奇函数，对任意的实数x，y，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0，则f（x）在区间[a，b]上（）A．有最小值f（a）B．有最大值f（a）C．有最大值D．有最小值10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=m（0＜m＜A）的三个相邻交点的横坐标分别为3，5，11，则f（x）的单调递减区间是（）A．[8k，8k+4]，k∈Z B．[8kπ，8kπ+4]，k∈ZC．[8k﹣4，8k]，k∈Z D．[8kπ﹣4，8kπ]，k∈Z11．已知α＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意实数x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）成立，则a的取值X围是（）A．B．（0，1）C．（1，+∞）D．12．在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴非负半轴为始边，若终边经过点P（x0，y0）且|OP|=r（r＞0），定义sicosθ=，称“sicosθ”为“正余弦函数”．对于正余弦函数y=sicosx，有同学得到如下结论：①该函数的图象与直线y=有公共点；②该函数的一个对称中心是；③该函数是偶函数；④该函数的单调递增区间是．以上结论中，所有正确的序号是（）A．①②③④ B．③④ C．①② D．②④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在区间[2，+∞）上具有单调性，则实数k的取值X围是．14．=．15．工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式．某班级想用布料制作一面如图所示的扇面．已知扇面展开的中心角为120°，外圆半径为60cm，内圆半径为30cm．则制作这样一面扇面需要的布料为cm2（用数字作答，π取3.14）．16．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数{x}=x﹣[x]，则方程2016x+=0的实数解的个数是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．计算：（1）sin（2）已知=3，求的值．18．已知函数f（x）=sin2x+2x，x∈R．（1）求函数f（x）的值域；（2）y=f（x）的图象可由y=sin2x的图象经过怎样的变换得到？写出你的变换过程．19．已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B （3，24）．（1）求f（x）的表达式；（2）设函数g（x）=f（x）﹣2×3x，求g（x+1）＞g（x）时x的取值X围．20．已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作：y=f（t），下表是某日各时的浪高数据：t（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24y（米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5经长期观测，y=f（t）的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b（A＞0，ω＞0）（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式（2）依据规定，当海浪高度高于1.25米时才对冲浪爱好者开放，则一天内的上午8：00至晚上24：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？21．已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求证；（3）若，，求f（a）的值．22．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|）（Ⅰ）某某数a，b的值；（Ⅱ）若不等式f（log2k）＞f（2）成立，某某数k的取值X围；（Ⅲ）定义在[p，q]上的一个函数m（x），用分法T：p=x0＜x1＜…＜x i＜…＜x n=q将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得和式恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数，试判断函数f（x）是否为在[1，3]上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．（参考公式：…+f（x n））2015-2016学年某某省某某一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A=，则A∩B=（）A．（e，4）B．[e，4）C．[1，+∞）D．[1，4）【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中lnx≥1=lne，得到x≥e，即A=[e，+∞），由＜2，得到0＜x＜4，即B=（0，4），则A∩B=[e，4），故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是π，故选B．【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．3．下列函数是幂函数的是（）A．y=x4+x2B．y=10x C．y=D．y=x+1【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的定义判断即可．【解答】解：由函数的定义知：A是四次函数，B是指数函数，C是幂函数，幂函数x前面的系数必须为1，D是一次函数，故选：C．【点评】本题考查函数的定义，解题时要认真审题，仔细解题．4．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．平行四边形【考点】向量的加法及其几何意义．【专题】作图题．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，即可得解【解答】解：∵在四边形ABCD中，若，且共起点∴由向量加法加法的平行四边形法则知，线段AC是以AB、AD为邻边的平行四边形的对角线∴四边形ABCD是平行四边形故选D【点评】本题考查向量的加法．共起点的两个向量相加时满足平行四边形法则；首尾相接的两个向量相加时满足三角形法则；多个向量相加时满足多边形法则．属简单题5．如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f{f[f（2）]}=（）A．0 B．2 C．4 D．6【考点】函数的值．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】结合函数的性质和图象求解．【解答】解：∵函数f（x）的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），∴f（2）=0，f[f（2）]=f（0）=4，f{f[f（2）]}=f（4）=2．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．6．已知，则sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意和诱导公式，结合二倍角公式可得．【解答】解：∵，∴sin（﹣）=，∴sinα=cos（α﹣）=1﹣2sin2（﹣）=，故选：D．【点评】本题考查三角函数公式的应用，涉及整体思想和二倍角公式，属基础题．7．已知a＞1，函数y=a x与y=log a（﹣x）的图象只可能是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据y=a x是增函数，函数y=log a（﹣x）的定义域为（﹣∞，0），且在定义域内为减函数，从而得出结论．【解答】解：已知a＞1，故函数y=a x是增函数．而函数y=log a（﹣x）的定义域为（﹣∞，0），且在定义域内为减函数，故选B．【点评】本题主要考查函数的定义域、单调性，函数的图象，属于基础题．8．对整数n≥3，记f（n）=log23•log34…log n﹣1n，则f（22）+f（23）+…+fA．55 B．1024 C．54 D．1000【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】化简已知条件，代入所求的表达式化简求解即可．【解答】解：对整数n≥3，记f（n）=log23•log34…log n﹣1n=log2n，f（22）+f（23）+…+ff （x）是奇函数，对任意的实数x，y，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0，则f（x）在区间[a，b]上（）A．有最小值f（a）B．有最大值f（a）C．有最大值D．有最小值【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质判断函数的单调性即可．【解答】解：设x1＜x2，则设x1﹣x2＜0，此时f（x1﹣x2）＞0，∵f（x）是奇函数，则即f（x1﹣x2）=f（x1）+f（﹣x2）＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0，则f（x2）＜f（x1），即f（x）单调递减；则函数f（x）在区间[a，b]上为减函数，则最大值为f（a），故选：B．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键．10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=m（0＜m＜A）的三个相邻交点的横坐标分别为3，5，11，则f（x）的单调递减区间是（）A．[8k，8k+4]，k∈Z B．[8kπ，8kπ+4]，k∈ZC．[8k﹣4，8k]，k∈Z D．[8kπ﹣4，8kπ]，k∈Z【考点】正弦函数的图象．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三个点的横坐标判断f（x）的周期和对称轴，求出ω，φ，得到f（x）的解析式，结合正弦函数的单调性列出不等式解出．【解答】解：∵f（x）=Asin（ωx+φ）与y=m的三个相邻交点横坐标分别为3，5，11，∴f（x）的周期T=11﹣3=8，且f（4）=A，f（8）=﹣A，∴ω=，φ=﹣．∴f（x）=Asin （），令+2kπ≤≤+2kπ，解得4+8k≤x≤8+8k，k∈Z．故选：C．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，属于中档题．11．已知α＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意实数x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）成立，则a的取值X围是（）A．B．（0，1）C．（1，+∞）D．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0，可得f（x）在R上为增函数，运用单调性的定义可得a﹣1＞0，（a﹣1）•0+3a﹣4≤a0，解不等式即可得到所求X围．【解答】解：x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），可得（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＞0，由题意可得f（x）在R上为增函数，当x≤0时，f（x）递增，即有a﹣1＞0，解得a＞1；当x＞0时，f（x）递增，可得a＞1；又f（x）为R上的增函数，可得（a﹣1）•0+3a﹣4≤a0，解得a≤．综上可得，a的X围是1＜a≤．故选：A．【点评】本题考查函数的单调性的判断和运用，注意运用一次函数和指数函数的单调性，以及分界点的情况，考查运算能力，属于中档题和易错题．12．在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴非负半轴为始边，若终边经过点P（x0，y0）且|OP|=r（r＞0），定义sicosθ=，称“sicosθ”为“正余弦函数”．对于正余弦函数y=sicosx，有同学得到如下结论：①该函数的图象与直线y=有公共点；②该函数的一个对称中心是；③该函数是偶函数；④该函数的单调递增区间是．以上结论中，所有正确的序号是（）A．①②③④ B．③④ C．①② D．②④【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【专题】新定义；转化思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】根据题意，求出函数y=f（x）=sicosθ=sin（x+），再利用三角函数的图象与性质，对题目中的命题进行分析判定即可．【解答】解：对于①，根据三角函数的定义可知x0=rcosx，y0=rsinx，所以sicosθ===sinx+cosx=sin（x+），因为﹣1≤sin（x+）≤1，所以﹣≤sin（x+）≤，即该函数的最大值为＜，其图象与直线y=无公共点，①错误；对于②，因为y=sicosθ=f（）=sin（+）=0，所以该函数的图象关于点（，0）对称，②正确；对于③，函数y=sicosθ=f（x）=sin（x+）的图象不关于y轴对称，不是偶函数，③错误；对于④，因为y=f（x）=sicosθ=sin（x+），所以由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z即该函数的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，④正确．综上可得，正确的命题有2个，是②④．故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用问题，解题的关键是求出函数y=sicosθ的表达式，是综合性题目．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在区间[2，+∞）上具有单调性，则实数k的取值X围是（﹣∞，16]．【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8，求出其对称轴x，根据二次函数的性质得到关于k 的不等式，解出即可，从而求出k的X围．【解答】解：∵函数f（x）=4x2﹣kx﹣8的对称轴为：x=，∵函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[2，+∞）上具有单调性，根据二次函数的性质可知对称轴x=≤2，解得：k≤16；故答案为：（﹣∞，16]．【点评】此题主要考查二次函数的图象及其性质，利用对称轴在区间上移动得出，此题是一道基础题．14．=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】原式中的“1”化为tan45°，利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简即可求出值．【解答】解：原式==tan（45°+15°）=tan60°=．故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．15．工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式．某班级想用布料制作一面如图所示的扇面．已知扇面展开的中心角为120°，外圆半径为60cm，内圆半径为30cm．则制作这样一面扇面需要的布料为2826cm2（用数字作答，π取3.14）．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料．【解答】解：由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料为×60×60﹣×30×30≈2826．故答案为：2826．【点评】本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，比较基础．16．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数{x}=x﹣[x]，则方程2016x+=0的实数解的个数是2．【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】方程2016x+=0的实数解的个数即函数y=﹣﹣2016x的图象与函数y={x}的图象的交点个数．【解答】解：∵x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，∴由题意，函数{x}=x﹣[x]，表示x的小数部分，方程2016x+=0的实数解的个数即函数y=﹣﹣2016x的图象与函数y={x}的图象的交点个数，根据函数y=y=﹣﹣2016x的单调性，可得函数y=﹣﹣2016x的图象与函数y={x}图象的交点个数为2．∴方程2016x+=0的实数解的个数是2．故答案为：2．【点评】本题考查方程的实数解的个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．计算：（1）sin（2）已知=3，求的值．【考点】有理数指数幂的化简求值；运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的求值．【分析】（1）利用三角函数诱导公式求解．（2）由=3，推导出x2+x﹣2=47，3﹣x=（）﹣x=1，由此能求出．【解答】解：（1）sin=sin+cos﹣tan=﹣1==﹣1．（2）∵=3，∴x+=7，∴x2+x﹣2=47，3﹣x=（）﹣x=1，∴==．【点评】本题考查三角函数求值、有理数指数幂化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意诱导公式、有理数指数幂性质、运算法则的合理运用．18．已知函数f（x）=sin2x+2x，x∈R．（1）求函数f（x）的值域；（2）y=f（x）的图象可由y=sin2x的图象经过怎样的变换得到？写出你的变换过程．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；数形结合；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）先根据同角三角函数的基本关系、根据二倍角公式和两角和与差的正弦公式化简为y=Asin（ωx+Φ）+b的形式，即可得到答案．（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=sin2x+cos2x+2=2sin（2x+）+2，∴由sin（2x+）∈[﹣1，1]，可得：f（x）=2sin（2x+）+2∈[0，4]．（2）由y=sin2x的图象向左平移个单位可得函数y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，再把所得图象上点的纵坐标变为原来的2倍，可得函数f（x）=2sin（2x+）的图象．再把所得图象沿着y轴向上平移2个单位，可得函数f（x）=2sin（2x+）+2的图象．【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．19．已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B （3，24）．（1）求f（x）的表达式；（2）设函数g（x）=f（x）﹣2×3x，求g（x+1）＞g（x）时x的取值X围．【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A （1，6），B（3，24），把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a x，解此方程组即可求得a，b，的值，从而求得f（x）；（2）求出g（x+1），g（x），问题转化为3•2x﹣4•2x＞0，解出即可．【解答】解：（1）把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a x，得，结合a＞0且a≠1，解得：，∴f（x）=3•2x．（2）由（1）得：g（x）=3•2x﹣2×3x，g（x+1）=3•2x+1﹣2×3x+1，由g（x+1）＞g（x）得：3•2x+1﹣2•3x+1﹣3•2x+2•3x＞0，∴3•2x﹣4•2x＞0，∴＞，解得：x＜．【点评】此题是个中档题．考查待定系数法求函数的解析式，和利用指数函数的单调性求函数的最值，体现了转化的思想，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．20．已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作：y=f（t），下表是某日各时的浪高数据：t（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24y（米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5经长期观测，y=f（t）的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b（A＞0，ω＞0）（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式（2）依据规定，当海浪高度高于1.25米时才对冲浪爱好者开放，则一天内的上午8：00至晚上24：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动？【考点】在实际问题中建立三角函数模型；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）设函数f（t）=Asin（ωt+φ）+k（A＞0，ω＞0），由已知先求出函数的周期T，从而求出ω，进而能求出φ，得到函数近似表达式．（2）由题意cos t＞，从而12k﹣4＜t＜12k+4（k∈z），由此能求出一天内的上午8：00至晚上24：00之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行运动．【解答】解：（1）设函数f（t）=Asin（ωt+φ）+k（A＞0，ω＞0）∵同一周期内，当t=12时y max=1.5，当t=6时y min=0.5，∴函数的周期T=2（12﹣6）=12，得ω==，A=（1.5﹣0.5）=，且k=（1.5+0.5）=1∴f（t）=sin（t+φ）+1，再将（6，0.5）代入，得0.5=sin（×6+φ）+1，解之得φ=，∴函数近似表达式为f（t）=sin（t+）+1，即y=cos t+1．（2）由题意，可得+1＞0.75，即cos t＞，解之得，k∈Z．即12k﹣4＜t＜12k+4（k∈z），∴在同一天内取k=0、1、2得0＜t＜4，8＜t＜16，20＜t≤24∴在规定时间上午8：00时至晚上20：00时之间，从8点到16点共8小时的时间可供冲浪者进行运动．【点评】本题考查三角函数及其在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．21．已知函数．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求证；（3）若，，求f（a）的值．【考点】函数奇偶性的性质；对数的运算性质；对数函数图象与性质的综合应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）先看函数定义域是否关于原点对称，再看f（x）与f（﹣x）的关系．（2）应用对数的运算法则计算f（x1）+f（x2）的值．（3）由（2）的结论知，先求f（b），进而求f（a）的值．【解答】解：（1）由得函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}，又，所以函数f（x）为奇函数．（2）证明：∵=，又∵f（）==，∴．（3）解：由（2）的结论知，又由（1）知，∴．【点评】本题考查函数的奇偶性、对数运算性质，注意函数特征，属于基础题．22．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|）（Ⅰ）某某数a，b的值；（Ⅱ）若不等式f（log2k）＞f（2）成立，某某数k的取值X围；（Ⅲ）定义在[p，q]上的一个函数m（x），用分法T：p=x0＜x1＜…＜x i＜…＜x n=q将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得和式恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数，试判断函数f（x）是否为在[1，3]上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．（参考公式：…+f（x n））【考点】函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（I）由已知中g（x）在区间[2，3]的最大值为4，最小值为1，结合函数的单调性及最值，我们易构造出关于a，b的方程组，解得a，b的值；（Ⅱ）由（1）参数a，b的值，代入可得函数解析式，根据二次函数的图象和性质，可将问题转化为距离Y轴距离远的问题，进而构造关于k的方程求出K值．（III）根据有界变差函数的定义，我们先将区间[1，3]进行划分，进而判断是否恒成立，进而得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b，因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，又∵函数g（x）故在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，，解得；…（Ⅱ）由已知可得f（x）=g（|x|）=x2﹣2|x|+1为偶函数，所以不等式f（log2k）＞f（2）可化为|log2k|＞2，…解得k＞4或0＜k＜；…（Ⅲ）函数f（x）为[1，3]上的有界变差函数．因为函数f（x）为[1，3]上的单调递增函数，且对任意划分T：1=x0＜x1＜…＜x i＜…＜x n=3有f（1）=f（x0）＜f（x1）＜…＜f（x I）＜…＜f（x n）=f（3）所以=f（x1）﹣f（x0）+f（x2）﹣f（x1）＜…＜f（x n）﹣f（x n﹣1）=f（x n）﹣f（x0）=f（3）﹣f（1）=4恒成立，所以存在常数M，使得恒成立．M的最小值为4…【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数在闭区间上的最值，新定义，其中（1）的关键是分析出函数的单调性，（2）要用转化思想将其转化为绝对值比较大小（3）的关键是真正理解新定义的含义．。
2015~2016学年第一学期期末高一数学试题与答案
（D）12
C
A
B
( ) ( ) （12）定义在 R 上的奇函数 f (x)满足 f (x)＝f (x＋3)，当 x∈ 0，23
时，f (x)＝sin πx，且 f
3 2
＝0，则
函数 f (x)在区间[－6，6]上的零点个数是
（A）18
（B）17
（C）9
（D）8
高一数学试卷 A 卷 第 1 页（共 4 页）
（A） 2
（B）
3
（C）
6
（D）1π2
( ) （10）已知函数
f
(x)＝Asin(ωx＋φ)（A＞0，ω＞0，|φ|＜
2
）的部分图象如图所示，且
f
(0)＝f
3
，
则 （A）f (x)的最小正周期为 2π （B）f (x)的图象关于直线 x＝56π对称
y 2
5
[ ] （C）f (x)在区间 0，4 上是增函数
（A）{3，4} （B）{2，4} （C）{0，3，4} （D）{0，2，4}
（2）sin 660＝
（A）
1 2
（B）－
1 2
（C）
3 2
（3）下列函数中与函数 y＝x 为同一函数的是
（A）y＝ x2
（B）y＝lg 10x （C）y＝xx2
（4）函数
f
(x)＝
2 x
－log3
x
的零点所在的一个区间是
（Ⅰ）若 λ＝3，试用→ CA ，→ CB 表示→ CP ； （Ⅱ）若|→ CA |＝4，|→ CB |＝2，且→ CP ·→ AB ＝－6，求 λ 的值．
B P
C
A
得分 评卷人
（20）（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x)＝l－og(2xx＋，1)2＋4p，xx≥＜11，，且 f [f ( 2)]＝47．
2015-2016学年湖南省张家界市高一(上)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年湖南省张家界市高一（上）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置．1．已知集合A={0，1，2}，集合B={0，2，4}，则A∩B=（）A．{0，1，2} B．{0，2} C．{0，4} D．{0，2，4}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】利用交集定义求解．【解答】解：∵集合集合A={0，1，2}，集合B={0，2，4}，∴A∩B={0，2}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，解题时要认真审题，是基础题．2．对数型函数y=log a x+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（）A．（0，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，1）【考点】对数函数的图象与性质．【专题】转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】根据对数函数必要（1，0）点，结合函数图象的平移变换法则，可得答案．【解答】解：对数函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），函数y=log a x+1（a＞0，且a≠1）的图象由对数函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象向上平移一个单位得到，故函数y=log a x+1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，1），故选：D．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．3．设函数f（x）满足f（x+2π）=f（x），f（0）=0，则f（4π）=（）A．0 B．πC．2πD．4π【考点】函数的值．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】由已知可得函数的周期为2π，进而可得f（4π）=f（2π）=f（0）．【解答】解：∵函数f（x）满足f（x+2π）=f（x），∴f（4π）=f（2π）=f（0）=0，故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数的周期性，函数求值，难度不大，属于基础题．4．用二分法求方程x3﹣2x﹣5=0在区间[2，3]上的实根，取区间中点x0=2.5，则下一个有根区间是（）A．[2，2.5]B．[2.5，3]C．D．以上都不对【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题．【分析】方程的实根就是对应函数f（x）的零点，由f（2）＜0，f（2.5）＞0 知，f（x）零点所在的区间为[2，2.5]．【解答】解：设f（x）=x3﹣2x﹣5，f（2）=﹣1＜0，f（3）=16＞0，f（2.5）=﹣10=＞0，f（x）零点所在的区间为[2，2.5]，方程x3﹣2x﹣5=0有根的区间是[2，2.5]，故选A．【点评】本题考查用二分法求方程的根所在的区间的方法，方程的实根就是对应函数f（x）的零点，函数在区间上存在零点的条件是函数在区间的端点处的函数值异号．）A．y=12x B．y=6x2﹣6x+12 C．y=6•2x D．y=12log2x+12【考点】线性回归方程．【专题】函数思想；分析法；概率与统计．【分析】根据表格中y的增长速度进行判断．【解答】解：由表格可知，每一天的计算机被感染台数大约都是前一天的2倍，故增长速度符合指数型函数增长．故选：C．【点评】本题考查了不同函数模型的增长速度问题，属于基础题．6．的值是（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1【考点】二倍角的正弦．【专题】计算题．【分析】原式先利用对数的运算法则计算，再利用二倍角的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可求出值．【解答】解：原式=log2sinπcosπ=log2sinπ=log22﹣2=﹣2．故选C【点评】此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及对数的运算性质，熟练掌握公式是解本题的关键．7．已知=（1，2），=（﹣2，0），且k+与垂直，则k=（）A．﹣1 B． C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由已知向量的坐标求出k+的坐标，再由数量积的坐标表示列式求得k值．【解答】解：∵=（1，2），=（﹣2，0），∴k+=k（1，2）+（﹣2，0）=（k﹣2，2k），由k+与垂直，得，即1×（k﹣2）+2×2k=0，解得：k=．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标表示，是基础题．8．将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象左移，再将图象上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为（）A．y=sinx B．y=sin（4x+）C．y=sin（4x﹣） D．y=sin（x+）【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先由“左加右减”的平移法则和再将图象上各点横坐标压缩到原来的，即可求出．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x﹣）的图象左移可得y=sin2[（x+）﹣）]=sin （2x+），再将图象上各点横坐标压缩到原来的，可得y=sin（4x+），故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的平移及周期变换．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．周期变换的原则是y=sinx的图象伸长（0＜ω＜1）或缩短（ω＞1）到原理的可得y=sinωx的图象．9．已知幂函数y=f（x）的图象经过点，且f（a+1）＜f（10﹣2a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，5）B．（﹣∞，3）C．（3，+∞）D．（3，5）【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】转化思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】利用待定系数法求出y=f（x）的解析式，再利用函数的单调性把不等式f（a+1）＜f（10﹣2a）化为等价的不等式组，求出解集即可．【解答】解：幂函数y=f（x）=xα的图象经过点，∴4α=，解得α=﹣；∴f（x）=，x＞0；又f（a+1）＜f（10﹣2a），∴，解得3＜a＜5，∴实数a的取值范围是（3，5）．故选：D．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式以及利用函数的单调性求不等式的应用问题，是基础题目．10．设函数f（x）定义在R上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x﹣1，则有（）A．B．C．D．【考点】指数函数单调性的应用；函数单调性的性质．【专题】证明题．【分析】先利用函数的对称性，得函数的单调性，再利用函数的对称性，将自变量的值化到同一单调区间上，利用单调性比较大小即可【解答】解：∵函数f（x）定义在R上，它的图象关于直线x=1对称，且x≥1时函数f（x）=3x﹣1为单调递增函数，∴x＜1时函数f（x）为单调递减函数，且f（）=f（）∵＜＜＜1∴，即故选B【点评】本题考查了函数的对称性及其应用，利用函数的单调性比较大小的方法11．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3）•f（x）=﹣1，f（1）=﹣2，则f（2015）=（）A．0 B．0.5 C．﹣2 D．2【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据已知可得函数f（x）是周期为6的周期函数，结合函数奇偶性，可得答案．【解答】解：∵f（x+3）•f（x）=﹣1，∴f（x+3）•f（x+6）=﹣1，∴f（x+6）=f（x），即函数f（x）是周期为6的周期函数，又f（1）=﹣2，故f（2015）=f（﹣1）=﹣f（1）=2，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，函数的周期性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．12．△ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程x2﹣xcosAcosB﹣cos2=0有一根为1，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【考点】解三角形．【专题】计算题．【分析】先把1代入方程，然后利用余弦的二倍角化简整理，最后利用两角和公式求得cos （A﹣B）=1推断出A=B，则可知三角形的形状．【解答】解：依题意可知1﹣cosAcosB﹣cos2=0，∵cos2===∴1﹣cosAcosB﹣=0，整理得cos（A﹣B）=1∴A=B∴三角形为等腰三角形．故选B【点评】本题主要考查了解三角形和三角形的形状判断．解三角形常与三角函数的性质综合考查，应注意积累三角函数的基本公式．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中对应题号后的横线上．13．sin420°=．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】由诱导公式化简后根据特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：sin420°=sin（360°+60°）=sin60°=．故答案为：．【点评】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．14．函数的单调递增区间是[2，+∞）．【考点】函数的单调性及单调区间．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】可求导数，根据导数符号即可判断f（x）在定义域上为增函数，从而便可得出f（x）的单调递增区间．【解答】解：；∴f（x）在定义域[2，+∞）上单调递增；即f（x）的单调递增区间是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】考查根据导数符号判断函数单调性以及求函数单调区间的方法，清楚增函数的定义，注意正确求导．15．设向量，定义两个向量之间的运算“⊗”为，若向量，则向量=（﹣3，﹣2）．【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题；对应思想；定义法；平面向量及应用．【分析】直接利用新定义即可求出．【解答】解：向量，则向量=（x，y），∴（x，2y）=（﹣3，﹣4），∴x=﹣3，y=﹣2，∴向量=（﹣3，﹣2），故答案为：（﹣3，﹣2）．【点评】本题考新定义的应用，以及向量的坐标运算，属于基础题．16．设函数f（x）=2cos（ωx+φ）对任意的x都有，若设函数g （x）=3sin（ωx+φ）﹣1，则的值是﹣1．【考点】余弦函数的图象．【专题】转化思想；待定系数法；函数的性质及应用．【分析】根据，得出x=是函数f（x）的一条对称轴，从而求出φ的表达式，再函数g（x）的解析式以及的值．【解答】解：∵函数f（x）=2cos（ωx+φ）对任意的x都有，∴x=是函数f（x）的一条对称轴，∴cos（ω+φ）=±1，即ω+φ=kπ，k∈Z，∴φ=kπ﹣ω，k∈Z；∴函数g（x）=3sin（ωx+φ）﹣1=3sin（ωx+kπ﹣ω）﹣1，k∈Z；∴=3sin（ω+kπ﹣ω）=3sinkπ﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查三角函数的对称轴的问题．注意正余弦函数在其对称轴上取最值，是基础题目．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知全集为实数集，集合A={x|1＜x＜4}，B={x|3x﹣1＜x+5}．（1）求集合B及∁R A；（2）若C={x|x≤a}，（∁R A）∩C=C，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】（1）化简集合B，求出集合A在R中的补集即可；（2）根据交集的定义，计算得出C⊆∁R A，再求出a的取值范围即可．【解答】解：（1）∵B={x|3x﹣1＜x+5}，∴B={x|x＜3}，（2分）又∵A={x|1＜x＜4}，∴∁R A={x|x≤1或x≥4}；（5分）（2）∵（∁R A）∩C=C，∴C⊆∁R A={x|x≤1或x≥4}，（7分）又C={x|x≤a}，∴a≤1．（10分）【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．18．已知，．（1）求tanα的值；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】（1）由角的范围及同角三角函数基本关系式的应用可求cosα的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值．（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求，利用（1）的结论即可计算求值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵，∴，…（3分）∴；…（6分）（2）原式==，…（9分）=…（12分）【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19．已知函数f（x）=．（1）求f（1），f[f（﹣2）]的值；（2）若f（a）=10，求实数a的值．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用．【分析】（1）由已知中函数f（x）=，将x=1，x=﹣2代入计算，可得答案；（2）根据函数f（x）=，分类讨论满足f（a）=10的a值，综合讨论结果，可得答案；【解答】解：（1）∵函数f（x）=∴（2分）f[f（﹣2）]=f（4）=10；（6分）（2）．，（8分），不合题意，舍去；（10分）当a≥2时，10log4a=10，a=4合题意；．（11分）∴．（12分）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，分类讨论思想，难度中档．20．已知向量与的夹角为30°，且=，=1．（1）求；（2）求的值；（3）如图，设向量，求向量在方向上的投影．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）直接由已知结合数量积公式求解；（2）利用，等式右边展开后代入数量积得答案；（3）由，代入投影公式化简即可．【解答】解：向量与的夹角为30°，且=，=1．（1）；（2）；（3）∵，∴．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，对于（3）的求解，需要掌握向量在向量方向上的投影的概念，是中档题．21．已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当，，若g（x）=1+2cos2x，求g（x 0）的值；（3）若h（x）=1+2cos2x+a，且方程f（x）﹣h（x）=0在上有解，求实数a的取值范围．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【专题】计算题；转化思想；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由图求出A，ω，φ的值，可得函数f（x）的解析式；（2）根据，，求出x 0，代入g（x）=1+2cos2x，可求g（x0）的值；（3）（3），，进而得到答案．【解答】解：（1）由图知A=2，（解法只要合理，均可给分）（1分），（2分）∴f（x）=2sin（2x+φ），∴，∴，，（3分）∴；（4分）（2），（6分）；（8分）（3），，（9分）=，（10分）∵，（11分）∴a∈[﹣2，1]．（12分）【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的图象和性质，是解答的关键．22．已知函数．（1）写出该函数的单调递减区间；（2）若函数g（x）=f（x）﹣m恰有1个零点，求实数m的取值范围；（3）若不等式f（x）≤n2﹣2bn+1对所有x∈[﹣1，1]，b∈[﹣1，1]恒成立，求实数n的取值范围．【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．【专题】综合题；数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）根据分段函数的表达式结合函数的单调性进行求解．（2）利用函数与方程之间的关系转化为函数f（x）与y=m的交点问题进行求解，（3）根据不等式恒成立，转化为为以B为变量的参数问题，结合一元一次函数的性质进行求解即可．【解答】解：（1）当x≤0时，函数f（x）为增函数，当x＞0时，函数的对称轴为x=1，则函数的单调递减区间是（0，1）；（2分）（2）函数g（x）=f（x）﹣m恰有1个零点等价于直线y=m与函数y=f（x）的图象恰有1个交点，，（4分）∴；（7分）（3）若要使f（x）≤n2﹣2bn+1对所有x∈[﹣1，1]恒成立，则需，而[f（x）]max=f（0）=1，（9分）即n2﹣2kn+1≥1，∴﹣2nb+n2≥0在b∈[﹣1，1]恒成立，，（10分）∴，（11分）∴n≤﹣2或n=0或n≥2．（12分）【点评】本题主要考查分段函数的应用以及不等式恒成立问题，利用数形结合是解决本题的关键．。
浙江省温州中学2015-2016学年高一数学上学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年浙江省温州中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知平面向量，且，则可能是（）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（4，﹣2）D．（﹣1，﹣2）2．已知函数，若f（x0）=2，则x0=（）A．2或﹣1 B．2 C．﹣1 D．2或13．已知函数f（x）=sin（2x+），为了得到函数g（x）=sin2x的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度4．已知，且，则tanα的值为（）A．B．C．D．﹣5．已知点P在正△ABC所确定的平面上，且满足，则△ABP的面积与△BCP的面积之比为（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：46．已知函数，对任意的x1，x2∈ D．C．是奇函数或是偶函数D．以上都不对8．已知函数f（x）=为偶函数，方程f（x）=m有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，0）D．（1，2）9．已知函数，则=（）A ．B ．C ．D ．10．设k ∈R ，对任意的向量，和实数x ∈，如果满足，则有成立，那么实数λ的最小值为（ ）A ．1B ．kC ．D ．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．求值：cos75°cos15°﹣sin75°sin15°= ．12．定义在R 上的函数f （x ）满足f （2+x ）=f （2﹣x ），若当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x，则f （3）= ．13．已知ω为正整数，若函数f （x ）=sin （ωx ）在区间上不单调，则最小的正整数ω= ．14．设α为锐角，若，则的值为 ．15．已知集合M={（a ，b ）|a≤﹣1，且 0＜b≤m}，其中m ∈R ．若任意（a ，b ）∈M ，均有alog 2b ﹣b ﹣3a≥0，求实数m 的最大值 ．三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．设函数f （x ）=lg （x 2﹣3x ）的定义域为集合A ，函数的定义域为集合B （其中a ∈R ，且a ＞0）． （1）当a=1时，求集合B ；（2）若A∩B≠∅，求实数a 的取值范围．17．在等腰直角△ABC 中，，M 是斜边BC 上的点，满足（1）试用向量来表示向量；（2）若点P 满足，求的取值范围．18．已知函数，（a 为常数且a ＞0）．（1）若函数的定义域为，值域为，求a 的值；（2）在（1）的条件下，定义区间（m，n），，（m，n]，的解集构成的各区间的长度和超过，求b的取值范围．19．设函数f（x）=x2+ax+b，a，b∈R．（1）若a+b=3，当x∈时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数对（a，b），使得不等式|f（x）|＞2在区间上无解，若存在，试求出所有满足条件的实数对（a，b）；若不存在，请说明理由．2015-2016学年浙江省温州中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知平面向量，且，则可能是（）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（4，﹣2）D．（﹣1，﹣2）【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理的坐标运算性质即可得出．【解答】解：设=（x，y），∵，∴2x﹣y=0，经过验证只有D满足上式．∴可能为（﹣1，﹣2）．故选：D．2．已知函数，若f（x0）=2，则x0=（）A．2或﹣1 B．2 C．﹣1 D．2或1【考点】函数的值．【分析】利用分段函数性质求解．【解答】解：∵函数，f （x0）=2，∴x0≤0时，，解得x0=﹣1；x0＞0时，f（x0）=log2（x0+2）=2，解得x0=2．∴x0的值为2或﹣1．3．已知函数f（x）=sin（2x+），为了得到函数g（x）=sin2x的图象，只需将函数y=f （x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把函数f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）的图象向右平移个单位长度，可得函数g（x）=sin2（x﹣+）=sin2x的图象，故选：A．4．已知，且，则tanα的值为（）A．B．C．D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】已知等式左边利用诱导公式化简，求出cosα的值，再由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，即可求出tanα的值．【解答】解：∵cos（π+α）=﹣cosα=﹣，∴cosα=，∵α∈（﹣，0），∴sinα=﹣=﹣，则tanα===﹣，5．已知点P在正△ABC所确定的平面上，且满足，则△ABP 的面积与△BCP的面积之比为（）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】由，可得=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，即可得出．【解答】解：∵，∴==，∴=2，即点P为线段AC的靠近点A的三等分点，∴△ABP的面积与△BCP的面积之比==，故选：B．6．已知函数，对任意的x1，x2∈D．C．是奇函数或是偶函数D．以上都不对【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】因为f（x）=sinx，或f（x）=cosx，所以他不是周期函数，也不是奇函数或偶函数，故排除A、C；通过举反例可得B不对，从而得出结论．【解答】解：由（f（x）﹣sinx）（f（x）﹣cosx）=0恒成立，可得f（x）=sinx，或f（x）=cosx，故函数f（x）不是周期函数，也不是奇函数或偶函数，故排除A、C．假设当x=kπ，k∈z时，f（x）=sinx；当x=kπ+π，k∈z时，f（x）=cosx，那么f（x）的值域就不是，因为它永远不能取到±1，故选项B不对，故选：D．8．已知函数f （x ）=为偶函数，方程f （x ）=m 有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣3，﹣1） B ．（﹣2，﹣1） C ．（﹣1，0） D ．（1，2）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】本题可以先根据函数的奇偶性求出参数a 、b 、c 的值，再通过函数图象特征的研究得到m 的取值范围，得到本题结论．【解答】解：∵函数f （x ）=为偶函数，∴当x ＜0时，﹣x ＞0，f （x ）=f （﹣x ）=a （﹣x ）2+2x ﹣1=ax 2+2x ﹣1． ∵当x ＜0时， f （x ）=x 2+bx+c ， ∴a=1，b=2，c=﹣1．∴f（x ）=，当x=0时，f （x ）=﹣1， 当x=1时，f （1）=﹣2，∵方程f （x ）=m 有四个不同的实数解， ∴﹣2＜m ＜﹣1． 故选B ． 9．已知函数，则=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由题意得到tan （x+）=，展开后求得tanx ，代入万能公式得答案．【解答】解：由tan （x+）=，得，解得tanx=．∴=sin2x=．故选：C ．10．设k ∈R ，对任意的向量，和实数x ∈，如果满足，则有成立，那么实数λ的最小值为（ ）A ．1B ．kC ．D ．【考点】向量的三角形法则．【分析】当向量=时，可得向量，均为零向量，不等式成立；由k=0，可得x||≤λ||，即有λ≥x 恒成立，由x≤1，可得λ≥1；再由绝对值和向量的模的性质，可得≤1，则有≥1，即λ≥k．即可得到结论．【解答】解：当向量=时，可得向量，均为零向量，不等式成立；当k=0时，即有=，则有，即为x||≤λ||，即有λ≥x 恒成立，由x≤1，可得λ≥1；当k≠0时，≠，由题意可得有=||，当k ＞1时，＞|﹣|，由|﹣x|≤|﹣|＜||，可得：≤1，则有≥1，即λ≥k．即有λ的最小值为．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．求值：cos75°cos15°﹣sin75°sin15°=0 ．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】根据题意，利用余弦的和差公式可得cos75°cos15°﹣sin75°sin15°=cos90°，利用特殊角的三角函数值可得答案．【解答】解：根据题意，原式=cos75°cos15°﹣sin75°sin15°=cos90°=0，故答案为：0．12．定义在R上的函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x），若当x∈（0，2）时，f（x）=2x，则f（3）= 2 ．【考点】函数的值．【分析】化简f（3）=f（2+1）=f（1），从而解得．【解答】解：f（3）=f（2+1）=f（2﹣1）=f（1）=21=2，故答案为：2．13．已知ω为正整数，若函数f（x）=sin（ωx）在区间上不单调，则最小的正整数ω= 2 ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得ω•＜，且ω•＞，由此求得最小正整数ω的值．【解答】解：∵ω为正整数，函数f（x）=sin（ωx）在区间上不单调，∴ω•＜，ω•＞，∴＜ω＜3，则最小的正整数ω=2，故答案为：2．14．设α为锐角，若，则的值为．【考点】二倍角的余弦．【分析】先设β=α+，根据sinβ求出cosβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到cos（2α+）的值．【解答】解：设β=α+，α为锐角，β=α+∈（，），∵sinβ=＜=sin，可得β为锐角，可求cosβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=1﹣2sin2β=，∴cos（2α+）=cos（2α+﹣）=cos（2β﹣）=cos2βcos+sin2βsin=．故答案为：．15．已知集合M={（a，b）|a≤﹣1，且 0＜b≤m}，其中m∈R．若任意（a，b）∈M，均有alog2b ﹣b﹣3a≥0，求实数m的最大值 2 ．【考点】对数的运算性质．【分析】如图所示，由alog2b﹣b﹣3a≥0，化为：．由于≥﹣m，b≤m时，可得log2m≤3﹣m．结合图形即可得出．【解答】解：如图所示，由alog2b﹣b﹣3a≥0，化为：．∵≥﹣m，b≤m时，∴log2m≤3﹣m．当m=2时取等号，∴实数m的最大值为2．三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．设函数f（x）=lg（x2﹣3x）的定义域为集合A，函数的定义域为集合B（其中a∈R，且a＞0）．（1）当a=1时，求集合B；（2）若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算；函数的定义域及其求法．【分析】（1）函数=，令﹣x2+4x﹣3≥0，解出其定义域为集合B=．（2）当a＞0时，由﹣x2+4ax﹣3a2≥0，化为x2﹣4ax+3a2≤0，解得B=．函数f（x）=lg（x2﹣3x），由x2﹣3x＞0，解得定义域为集合A=（﹣∞，0）∪（3，+∞），利用A∩B≠∅，即可得出．【解答】解：（1）函数=，令﹣x2+4x﹣3≥0，化为x2﹣4x+3≤0，解得1≤x≤3，其定义域为集合B=．（2）当a＞0时，由﹣x2+4ax﹣3a2≥0，化为x2﹣4ax+3a2≤0，解得a≤x≤3a．∴B=．函数f（x）=lg（x2﹣3x），由x2﹣3x＞0，解得x＜0，或x＞3，可得定义域为集合A=（﹣∞，0）∪（3，+∞），∵A∩B≠∅，所以3a＞3，解得a＞1．17．在等腰直角△ABC中，，M是斜边BC上的点，满足（1）试用向量来表示向量；（2）若点P满足，求的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）由题意画出图形，直接利用向量加法的三角形法则得答案；（2）设，由题意求得，然后直接展开向量数量积求得的取值范围．【解答】解：（1）如图，∵，∴==；（2）设，∵，∴，则．18．已知函数，（a为常数且a＞0）．（1）若函数的定义域为，值域为，求a的值；（2）在（1）的条件下，定义区间（m，n），，（m，n]，的解集构成的各区间的长度和超过，求b的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=a[+sin（2x+）]，由已知函数的值域可得a值．（2）由题意可得要使解集构成的各区间的长度和超过，需，解不等式可得．【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得：f（x）=a（sinxcosx++cos2x）=a（sin2x++cos2x）=a[+sin（2x+）]，∵x∈，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈，∴+sin（2x+）∈，∵由已知可得函数值域为，∴a=1；（2）由题意可得，即要使解集构成的各区间的长度和超过，需，解得19．设函数f（x）=x2+ax+b，a，b∈R．（1）若a+b=3，当x∈时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数对（a，b），使得不等式|f（x）|＞2在区间上无解，若存在，试求出所有满足条件的实数对（a，b）；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）分离参数得到，结合基本不等式的性质得到a的范围即可；（2）根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）由f（x）≥0，即a（x﹣1）≥﹣（x2+3）．当x=1时，恒成立；当x∈（1，2]时，得，令t=x﹣1∈（0，1]，≤﹣7 综上：有a≥﹣7．（2）要使|f（x）|＞2在区间上无解，必须满足，即由，相加得：﹣4≤8+2a≤4⇒﹣6≤a≤2再由，相加得：﹣4≤16+2a≤4⇒﹣10≤a≤﹣6可以解得：a=﹣6，代入不等式组，得到b=7．检验a=﹣6，时，|f（x）|≤2在区间上恒成立所以满足题意的是实数对（a，b）只有一对：（﹣6，7）．。
安徽省淮北市高一数学上学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年安徽省淮北市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁U M）等于（）A．{1，3} B．{1，5} C．{3.5} D．{4，5}2．若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（0，m）三点共线，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．53．下列方程可表示圆的是（）A．x2+y2+2x+3y+5=0 B．x2+y2+2x+3y+6=0C．x2+y2+2x+3y+3=0 D．x2+y2+2x+3y+4=04．如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（）A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．三棱台5．若函数f（x）满足f（3x+2）=9x+8，则f（x）是（）A．f（x）=9x+8 B．f（x）=3x+2C．f（x）=﹣3﹣4 D．f（x）=3x+2或f（x）=﹣3x﹣46．已知直线l1：2x+my﹣7=0与直线l2：mx+8y﹣14=0，若l1∥l2，则m（）A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．以上都不对7．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β8．下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7B．log0.60.4＞log0.60.5C．log0.750.34＞logπ3.14 D．0.75﹣0.3＜0.750.19．已知f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，若f（4）=0，则满足xf（x）≤0的x取值范围是（）A．[﹣4，4] B．（﹣4，4）C．[﹣4，0）∪（0，4] D．（﹣∞，4）∪（4，+∞）10．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1∥平面CNB1，其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．311．（2015秋淮北期末）（B类题）如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=AB，则下列结论正确的是（）A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAE D．△PFB为等边三角形二、填空题：本大题共4个小题，每小题6分，共24分.12．（6分）（2015秋淮北期末）过点（2，1）且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程为．13．（6分）（2015秋淮北期末）函数f（x）=|x2﹣1|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为．14．（6分）（2007天津）已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是．15．（6分）（2015秋淮北期末）（A类题）如图，在棱长为1的正方形ABCD﹣A1B1C1D1中选取四个点A1，C1，B，D，若A1，C1，B，D四个点都在同一球面上，则该球的表面积为．16．（6分）（2015秋淮北期末）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=4，且PA、PB、PC两两垂直，若此三棱锥的四个顶点都在球面上，则这个球的体积为cm3．三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（10分）（2015秋淮北期末）已知函数f（x）=﹣的定义域为集合A．且B={x∈Z|2 17．＜x＜10}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}．（Ⅰ）求A和（∁U A）∩B；（Ⅱ）若A∪C=R，求实数a的取值范围．18．（12分）（2015秋淮北期末）已知点P（2，﹣1）．（1）直线m经过点P，且在两坐标轴上的截距相等．求直线m的方程：（2）直线n经过点P．且坐标原点到该直线的距离为2．求直线n的方程．19．（12分）（2015秋淮北期末）已知圆的圆心为坐标原点，且经过点（﹣1，）．（1）求圆的方程；（2）若直线l1：x﹣y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值；（3）求直线l2：x﹣=0被此圆截得的弦长．20．（12分）（2015秋淮北期末）如图，AB=AD，∠BAD=90°，M，N，G分别是BD，BC，AB的中点，将等边△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置，使得AD⊥C′B．（Ⅰ）求证：平面GNM∥平面ADC′；（Ⅱ）求证：C′A⊥平面ABD．21．（12分）（2015秋淮北期末）（A类题）设f（x）=，其中e为自然底数．（Ⅰ）若f（m）=2，求实数m的值；（Ⅱ）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（Ⅲ）判断f（x）的反函数f﹣1（x）的奇偶性．22．（2015秋淮北期末）（B类题）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f{f（f（﹣1））}的值；（Ⅱ）画出函数f（x）的图象；（Ⅲ）指出函数f（x）的单调区间．23．（12分）（2015秋淮北期末）设函数f（x）=，g（x）=x+1﹣a（1）求f（x）的值域；（2）若点（3，2）到函数g（x）图象所表示的直线的距离为3，求a值；（3）若有f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年安徽省淮北市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁U M）等于（）A．{1，3} B．{1，5} C．{3.5} D．{4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】根据补集与交集的定义，求出∁U M与N∩（∁U M）即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，∴∁U M={2，3，5}，∴则N∩（∁U M）={3，5}．故选：C．【点评】本题考查了求集合的补集与交集的运算问题，是基础题目．2．若A（﹣2，3），B（3，﹣2），C（0，m）三点共线，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．5【考点】三点共线．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】根据经过两点的直线斜率的公式，分别计算出直线AB与直线AC的斜率，而A、B、C 三点共线，故直线AB与直线AC的斜率相等，由此建立关于m的方程，解之即可得到实数m 的值【解答】解：∵A（﹣2，3），B（3，﹣2），∴直线AB的斜率k1==﹣1同理可得：直线AC的斜率k2=，∵A、B、C三点共线，∴直线AB与直线AC的斜率相等，即k1=k2，得=﹣1，解之得m=1，故选：A．【点评】本题给出三点共线，求参数m的值，着重考查了利用直线斜率公式解决三点共线的知识，属于基础题．3．下列方程可表示圆的是（）A．x2+y2+2x+3y+5=0 B．x2+y2+2x+3y+6=0C．x2+y2+2x+3y+3=0 D．x2+y2+2x+3y+4=0【考点】二元二次方程表示圆的条件．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】只需计算D2+E2﹣4F的正负即可．【解答】解：对于A：4+9﹣20＜0，不表示任何图象，对于B：4+9﹣24＜0，不表示任何图象，对于C：4+9﹣12＞0，表示圆，对于D：4+9﹣16＜0，不表示任何图象，故选：C．【点评】本题考查了圆的一般方程问题，掌握圆的一般方程，计算D2+E2﹣4F的正负是解题的关键，本题是一道基础题．4．如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（）A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．三棱台【考点】由三视图还原实物图．【专题】图表型．【分析】如图：该几何体的正视图与俯视图均为矩形，侧视图为三角形，易得出该几何体的形状．【解答】解：该几何体的正视图为矩形，俯视图亦为矩形，侧视图是一个三角形，则可得出该几何体为三棱柱（横放着的）如图．故选C．【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查视图能力，是基础题．5．若函数f（x）满足f（3x+2）=9x+8，则f（x）是（）A．f（x）=9x+8 B．f（x）=3x+2C．f（x）=﹣3﹣4 D．f（x）=3x+2或f（x）=﹣3x﹣4【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用换元法，令t=3x+2，则x=代入f（x）中，即可求得f（t），然后将t换为x即可得f（x）的解析式．【解答】解：令t=3x+2，则x=，所以f（t）=9×+8=3t+2．所以f（x）=3x+2．故选B．【点评】本题主要考查复合函数解析式的求法，采取的方法一般是利用配凑法或者换元法来解决．属于基础题．6．已知直线l1：2x+my﹣7=0与直线l2：mx+8y﹣14=0，若l1∥l2，则m（）A．4 B．﹣4 C．4或﹣4 D．以上都不对【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】利用直线平行的性质求解．【解答】解：∵直线l1：2x+my﹣7=0与直线l2：mx+8y﹣14=0，l1∥l2，∴当m=0时，l1⊥l2，不成立；当m≠0时，解得m=﹣4．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的合理运用．7．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．【解答】解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．8．下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7B．log0.60.4＞log0.60.5C．log0.750.34＞logπ3.14 D．0.75﹣0.3＜0.750.1【考点】对数值大小的比较；指数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】直接利用指数函数与对数函数的性质比较四个选项中两个值的大小得答案．【解答】解：由指数函数的单调性可得30.8＞30.7，A正确；由对数函数的单调性可得log0.60.4＞log0.60.5，B正确；∵log0.750.34＞log0.750.75=1，logπ3.14＜logππ=1，∴log0.750.34＞logπ3.14，C正确；由指数函数的单调性可得0.75﹣0.3＞0.750.1，D错误．故选：D．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数与对数函数的单调性，是基础题．9．已知f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，若f（4）=0，则满足xf（x）≤0的x取值范围是（）A．[﹣4，4] B．（﹣4，4）C．[﹣4，0）∪（0，4] D．（﹣∞，4）∪（4，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先由奇函数的图象关于原点对称及在（0，+∞）上是增函数，从而转化为不等式组，进而可解出x的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，f（0）=0∴或，∴x的取值范围是（0，4]∪[﹣4，0）∪{0}=[﹣4，4]，故选：A．【点评】本题主要考查不等式的解法，考查函数单调性与奇偶性的结合，应注意奇函数在其对称区间上单调性相同，偶函数在其对称区间上单调性相反．10．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1∥平面CNB1，其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】棱柱的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】在①中，由已知推导出C1M⊥AA1，C1M⊥A1B1，从而得到C1M⊥平面A1ABB1；在②中，由已知推导出A1B⊥平面AC1M，从而A1B⊥AM，由AN B1M，得AM∥B1N，进而得到A1B⊥NB1；在③中，由AM∥B1N，C1M∥CN，得到平面AMC1∥平面CNB1．【解答】解：在①中：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1，∴C1M⊥AA1，∵B1C1=A1C1，M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1，AA1∩A1B1=A1，∴C1M⊥平面A1ABB1，故①正确；在②中：∵C1M⊥平面A1ABB1，∴CN⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴A1B⊥CN，A1B⊥C1M，∵AC1⊥A1B，AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AC1M，AM⊂面AC1M，∴A1B⊥AM，∵AN B1M，∴AM∥B1N，∴A1B⊥NB1，故②正确；在③中：∵AM∥B1N，C1M∥CN，AM∩C1M=M，B1N∩CN=N，∴平面AMC1∥平面CNB1，故③正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．11．（2015秋淮北期末）（B类题）如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=AB，则下列结论正确的是（）A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAE D．△PFB为等边三角形【考点】棱锥的结构特征．【专题】计算题；对应思想；分析法；空间位置关系与距离．【分析】利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案．【解答】解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，∴A不成立，又平面PAB⊥平面PAE，∴平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．∵PA=AB，PA⊥平面ABC∴PF=PB，BF=AB∴△PFB为等边三角形，故选：D．【点评】本题考查直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质，属于基础题．二、填空题：本大题共4个小题，每小题6分，共24分.12．（6分）（2015秋淮北期末）过点（2，1）且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程为3x﹣y ﹣5=0 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由题意和垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式可得．【解答】解：∵直线x+3y+4=0的斜率为﹣，∴与直线x+3y+4=0垂直的直线斜率为3，故点斜式方程为y﹣1=3（x﹣2），化为一般式可得3x﹣y﹣5=0，故答案为：3x﹣y﹣5=0．【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．13．（6分）（2015秋淮北期末）函数f（x）=|x2﹣1|﹣a恰有两个零点，则实数a的取值范围为a=0或a＞1 ．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用．【分析】作出函数g（x）=|x2﹣1|的图象，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：函数g（x）=|x2﹣1|的图象如图所示，∵函数f（x）=|x2﹣1|﹣a恰有两个零点，∴a=0或a＞1．故答案为：a=0或a＞1．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键．14．（6分）（2007天津）已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是x+3y=0 ．【考点】相交弦所在直线的方程．【专题】计算题．【分析】当判断出两圆相交时，直接将两个圆方程作差，即得两圆的公共弦所在的直线方程．【解答】解：因为两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标坐标既满足第一个圆的方程，又满足第二个圆的方程将两个圆方程作差，得直线AB的方程是：x+3y=0，故答案为 x+3y=0．【点评】本题考查相交弦所在的直线的方程，当两圆相交时，将两个圆方程作差，即得公共弦所在的直线方程．15．（6分）（2015秋淮北期末）（A类题）如图，在棱长为1的正方形ABCD﹣A1B1C1D1中选取四个点A1，C1，B，D，若A1，C1，B，D四个点都在同一球面上，则该球的表面积为3π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】由题意，A1，C1，B，D四个点都在同一球面上，且为正方体的外接球，球的半径为，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，A1，C1，B，D四个点都在同一球面上，且为正方体的外接球，球的半径为，∴球的表面积为=3π．故答案为：3π．【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，比较基础．16．（6分）（2015秋淮北期末）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=4，且PA、PB、PC两两垂直，若此三棱锥的四个顶点都在球面上，则这个球的体积为32πcm3．【考点】球的体积和表面积．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】设过A，B，C的截面圆的圆心为O′，半径为r，球心O到该截面的距离为d，利用PA，PB，PC两两垂直，O′为△ABC的中心，求出截面圆的半径，通过球的半径截面圆的半径球心与截面的距离，求出球的半径，即可求出球的体积．【解答】解：如图，设过A，B，C的截面圆的圆心为O′，半径为r，球心O到该截面的距离为d，∵PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=4，∴AB=BC=CA=4，且O′为△ABC的中心，于是=2r，得r=，又PO′==．OO′=R﹣=d=，解得R=2，故V球=πR3=32π．故答案为：32π．【点评】本题是中档题，考查球的体积的求法，球的截面圆的有关性质，考查空间想象能力，计算能力．三、解答题：本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（10分）（2015秋淮北期末）已知函数f（x）=﹣的定义域为集合A．且B={x∈Z|2 17．＜x＜10}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}．（Ⅰ）求A和（∁U A）∩B；（Ⅱ）若A∪C=R，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；并集及其运算．【专题】数形结合；定义法；集合．【分析】（Ⅰ）根据f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集A，再求∁R A∩B；（Ⅱ）根据A∪C=R，列出不等式组，求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=﹣，∴，解得3≤x＜7，∴A={x|3≤x＜7}；∴∁R A={x|x＜3或x≥7}，又B={x∈Z|2＜x＜10}={3，4，5，6，7，8，9}，∴∁R A∩B={7，8，9}；（Ⅱ）∵A={x|3≤x＜7}，C={x∈R|x＜a或x＞a+1}，且A∪C=R，∴，解得3≤a＜6．【点评】本题考查了求函数的定义域以及集合的基本运算问题，是基础题．18．（12分）（2015秋淮北期末）已知点P（2，﹣1）．（1）直线m经过点P，且在两坐标轴上的截距相等．求直线m的方程：（2）直线n经过点P．且坐标原点到该直线的距离为2．求直线n的方程．【考点】点到直线的距离公式；直线的截距式方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（1）当横截距a=0时，纵截距b=0，此时直线过点（0，0），P（2，﹣1）；当横截距a≠0时，纵截距b=a，此时直线方程设为x+y=a，把P（2，﹣1）代入，得a=1．由此能求出过点P（2，﹣1）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，即可求直线n的方程．【解答】解：（1）当横截距a=0时，纵截距b=0，此时直线过点（0，0），P（2，﹣1），∴直线方程为y=﹣x；当横截距a≠0时，纵截距b=a，此时直线方程设为x+y=a，把P（2，﹣1）代入，得a=1，∴所求的直线方程为：x+y﹣1=0．综上：过点P（2，﹣1）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为y=﹣x或x+y﹣1=0．（2）直线n的方程为x=2时，满足题意；直线的斜率存在时，设直线方程为y+1=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣1=0，坐标原点到该直线的距离为=2，∴k=，∴方程为3x﹣4y﹣10=0，综上，直线n的方程为x=2或3x﹣4y﹣10=0．【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要注意截距式方程的合理运用．19．（12分）（2015秋淮北期末）已知圆的圆心为坐标原点，且经过点（﹣1，）．（1）求圆的方程；（2）若直线l1：x﹣y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值；（3）求直线l2：x﹣=0被此圆截得的弦长．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】（1）由已知得圆心为（0，0），由两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．（2）由已知得l1与圆相切，由圆心（0，0）到l1的距离等于半径2，利用点到直线的距离公式能求出b．（3）先求出圆心（0，0）到l2的距离d，所截弦长l=2，由此能求出弦长．【解答】解：（1）∵圆的圆心为坐标原点，且经过点（﹣1，），∴圆心为（0，0），半径r==2，∴圆的方程为x2+y2=4．…（4分）（2）∵直线l1：x﹣y+b=0与此圆有且只有一个公共点，∴l1与圆相切，则圆心（0，0）到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=±4．…（8分）（3）∵直线l2：x﹣=0与圆x2+y2=4相交，圆心（0，0）到l2的距离d==，∴所截弦长l=2=2=2．…（14分）【点评】本题考查圆的方程的求法，考查实数值的求法，考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．20．（12分）（2015秋淮北期末）如图，AB=AD，∠BAD=90°，M，N，G分别是BD，BC，AB的中点，将等边△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置，使得AD⊥C′B．（Ⅰ）求证：平面GNM∥平面ADC′；（Ⅱ）求证：C′A⊥平面ABD．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）利用线面平行的判定定理，证明MN∥平面ADC′，NG∥平面ADC，再利用面面平行的判定定理证明平面GNM∥平面ADC′；（Ⅱ）利用AD⊥平面C′AB，证明AD⊥C′A，利用勾股定理的逆定理，证明AB⊥C′A，再利用线面垂直的判定定理证明C′A⊥平面ABD．【解答】（本题满分为10分）解：（Ⅰ）因为M，N分别是BD，BC′的中点，所以MN∥DC′．因为MN⊄平面ADC′，DC′⊂平面ADC′，所以MN∥平面ADC′．同理NG∥平面ADC′．又因为MN∩NG=N，所以平面GNM∥平面ADC′…（5分）（Ⅱ）因为∠BAD=90°，所以AD⊥AB．又因为AD⊥C′B，且AB∩C′B=B，所以AD⊥平面C′AB．因为C′A⊂平面C′AB，所以AD⊥C′A．因为△BCD是等边三角形，AB=AD，不妨设AB=1，则BC=CD=BD=，可得C′A=1．由勾股定理的逆定理，可得AB⊥C′A．因为AB∩AD=A，所以C′A⊥平面ABD…（10分）【点评】本题主要考查了面面平行，线面垂直的判定，考查了学生分析解决问题的能力、空间想象能力和推理论证能力，正确运用面面平行、线面垂直的判定定理是解题的关键，属于中档题．21．（12分）（2015秋淮北期末）（A类题）设f（x）=，其中e为自然底数．（Ⅰ）若f（m）=2，求实数m的值；（Ⅱ）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（Ⅲ）判断f（x）的反函数f﹣1（x）的奇偶性．【考点】反函数；函数奇偶性的判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）令f（m）=2列出方程，转化为二次函数解出；（2）将函数式子变形，用y表示出x，然后互换变量的符号得出反函数；（3）先判断反函数的定义域，再计算f﹣1（﹣x）+f﹣1（x）．【解答】解：（Ⅰ）由=2得：e2m﹣4e m﹣1=0，解得e m=2+或e m=2﹣（舍）．∴m=ln（2+）．（Ⅱ）由y=得：e2x﹣2ye x﹣1=0，解得e x=y+，∴x=ln（y+）．∴f﹣1（x）=ln（x+）（x∈R）．（Ⅲ）f﹣1（﹣x）+f﹣1（x）=ln（﹣x+）+ln（x+）=ln1=0．∴f﹣1（x）为奇函数．【点评】本题考查了函数值的计算，反函数的求法，函数奇偶性的判断，属于基础题．22．（2015秋淮北期末）（B类题）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f{f（f（﹣1））}的值；（Ⅱ）画出函数f（x）的图象；（Ⅲ）指出函数f（x）的单调区间．【考点】函数的单调性及单调区间；函数的值；分段函数的应用．【专题】数形结合；定义法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据分段函数的表达式代入即可求f{f（f（﹣1））}的值；（Ⅱ）根据函数图象的坐标即可画出函数f（x）的图象；（Ⅲ）由图象可知函数f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）f（﹣1）=﹣（﹣1）﹣1=0，f（0）=1，f（1）=﹣1+2×1=1，即f{f（f（﹣1））}=1．（Ⅱ）函数的图象如图：（3）由图象知递减区间：（﹣∞，0），（1，+∞），递增区间：（0，1）．【点评】本题主要考查分段函数的应用，比较基础．23．（12分）（2015秋淮北期末）设函数f（x）=，g（x）=x+1﹣a（1）求f（x）的值域；（2）若点（3，2）到函数g（x）图象所表示的直线的距离为3，求a值；（3）若有f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值域；点到直线的距离公式．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）根据根式函数以及一元二次函数的性质即可求f（x）的值域；（2）若点（3，2）到函数g（x）图象所表示的直线的距离为3，利用点到直线的距离关系进行求解即可求a值；（3）利用数形结合转化为直线和圆的位置关系即可得到结论．【解答】解：（1）由﹣x2﹣4x≥0得x2+4x≤0，即﹣4≤x≤0，此时f（x）==∈[0，2]，即函数f（x）的值域为[0，2]．（2）由g（x）=x+1﹣a=y得4x﹣3y+3（1﹣a）=0，则若点（3，2）到函数g（x）图象所表示的直线的距离为3，则d==3，即，则|3﹣a|=5，即a=8或a=﹣2．（3）若有f（x）≤g（x）恒成立，则函数f（x）对应的图象，在g（x）的图象下方，函数f（x）=，表示以C（﹣2，0）为圆心，半径r=2的圆的上半部分，则直线g（x）=x+1﹣a的截距1﹣a＞0，即a＜1，则满足圆心C到直线4x﹣3y+3（1﹣a）=0的距离d≥2，即≥2，则|3a+5|≥10，即3a+5≥10或3a+5≤﹣10，即3a≥5或3a≤﹣15，即a≥（舍）或a≤﹣5，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]．【点评】本题主要考查函数值域以及点到直线的距离的计算，不等式恒成立问题，利用数形结合进行转化是解决本题的关键．。
西藏林芝一中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 含答案
林芝市第一中学2015-2016学年第一学期第2学段考试高一数学考生注意：考试结束后，只交答题卷，总分：100分,时间：120分钟．一、选择题：请将唯一正确答案的选项在答题卷中涂黑，本题共10小题,每小题4分，共40分．1. 函数xy 11+=的零点是( ）． A.1- B 。
1 C. 4 D 。
0 2. 直线03=+-y x 的倾斜角为( ）．A 。
30° B. 45° C 。
135° D 。
150°3. 已知A )1,3(,B )2,1(-,则直线AB 的斜率为( ）． A. 71 B 。
0 C. 41- D. 3-4. 下列式子中成立的是（ ）．A. 5.8log 4.3log 22>B. 7.2log 8.1log 3.03.0< C 。
03.04.35.3> D 。
1161167.06.0> 5. 计算5log 122+等于（ )．A ．7B ．10C ．6 D. 296. 关于直线22=-y x 与直线12=+y x 的关系，正确的说法是( ）．A 。
重合 B. 相交但不垂直C. 垂直 D 。
平行7. 直线072=+-y x 的纵截距为（ ）．A. 7 B 。
1- C 。
27 D 。
27- 8. 下列命题中正确的是（ ）．A. 当0=α时函数αx y =的图象是一条直线．B 。
幂函数的图象都经过(0，0）和（1,1）点．C 。
若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数．D 。
幂函数的图象不可能出现在第四象限．9. 圆22220x y x y +-+=的周长是（ )．A 。
B 。
2πC 。
D 。
4π 10. 直线b x y +=与曲线21y x -=有且只有一个公共点，则b 的取值范围是（ ）．A 。
2±=b B. 11<<-b 或2-=b C 。
11≤<-b D 。
河南省郑州市一中高一数学上学期期末试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}2．下列函数中，在（﹣∞，1）内是增函数的是（）A．y=1﹣x3B．y=x2+x C．y=D．y=3．已知a=log5，b=log23，c=1，d=3﹣0.6，那么（）A．a＜c＜b＜d B．a＜d＜c＜b C．a＜b＜c＜d D．a＜c＜d＜b4．若函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在（0，1）内恰有一个零点，则a的取值X围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1）D．[0，1）5．下列命题中正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥C．由五个面围成的多面体一定是四棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点6．四面体ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）A．90° B．30° C．45° D．60°8．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π9．函数f（x）=log a（ax﹣2）在[1，3]上单调递增，则a的取值X围是（）A．（1，+∞）B．（0，2）C．（0，）D．（2，+∞）10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（）A．x+2y+3=0 B．2x+y+3=0 C．x﹣2y+3=0 D．2x﹣y+3=011．方程=k（x﹣1）+2有两个不等实根，则k的取值X围是（）A．（，+∞）B．（，1] C．（0，）D．（，1]12．设集合A={（x，y）|x2+y2≤|x|+|y|，x，y∈R}，则集合A所表示图形的面积为（）A．1+π B．2 C．2+π D．π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为．14．（log3）2﹣3+log0.25+（）﹣4=．15．当x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值X围是．16．圆C的方程为x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知集合A={x|x2﹣x﹣12＜0}，集合B={x|x2+2x﹣8＞0}，集合C={x|x2﹣4ax+3a2＜0，a≠0}，（Ⅰ）求A∩（C R B）；（Ⅱ）若C⊇（A∩B），试确定实数a的取值X围．18．分别求出适合下列条件的直线方程：（Ⅰ）经过点a＞2，t=2且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；（Ⅱ）经过直线2x+7y﹣4=0与7x﹣21y﹣1=0的交点，且和A（﹣3，1），B（5，7）等距离．19．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，（1）求每年砍伐面积的百分比；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）今后最多还能砍伐多少年？20．如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰在CD上，即A1O⊥平面DBC．（Ⅰ）求证：BC⊥A1D；（Ⅱ）求证：平面A1BC⊥平面A1BD；（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离．21．如图，已知圆心坐标为（，1）的圆M与x轴及直线y=x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=x分别相切于C、D两点．（1）求圆M和圆N的方程；（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．22．已知函数，其反函数为y=g（x）．（Ⅰ）若g（mx2+2x+1）的定义域为R，某某数m的取值X围；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；（Ⅲ）是否存在实数m＞n＞2，使得函数y=h（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．2015-2016学年某某省某某市一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．{0} B．{0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出集合N，然后直接求解M∩N即可．【解答】解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={﹣1，0，1}，所以M∩N={0，1}．故选B．【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题．2．下列函数中，在（﹣∞，1）内是增函数的是（）A．y=1﹣x3B．y=x2+x C．y=D．y=【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】逐一判断函数的单调性，推出正确结果即可．【解答】解：y=1﹣x3函数在（﹣∞，1）内是减函数．y=x2+x对称轴为x=﹣，在（﹣∞，1）内不是增函数．y==﹣1，在（﹣∞，1）内是增函数，满足题意．y=，函数在（﹣∞，1）内是减函数．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性的判断，是基础题．3．已知a=log5，b=log23，c=1，d=3﹣0.6，那么（）A．a＜c＜b＜d B．a＜d＜c＜b C．a＜b＜c＜d D．a＜c＜d＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用对数函数、指数数的性质求解．【解答】解：∵a=log5＜=﹣2，b=log23＞log22=1，c=1，0＜d=3﹣0.6＜30=1，∴a＜d＜c＜b．故选：B．【点评】本题考查四个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数数的性质的合理运用．4．若函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在（0，1）内恰有一个零点，则a的取值X围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1）D．[0，1）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】根据函数零点存在性定理，若函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在（0，1）内恰有一个零点，则f（0）f（1）＜0，可得关于a的不等式，解不等式，即可求出a的X围．【解答】解：当△=0时，a=﹣，此时有一个零点x=﹣2，不在（0，1）上，故不成立．∵函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在（0，1）内恰有一个零点，∴f（0）f（1）＜0，即﹣1×（2a﹣1）＜0，解得，a＞1，故选A【点评】本题考查了函数零点存在性定理，属基础题，必须掌握．5．下列命题中正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥C．由五个面围成的多面体一定是四棱锥D．棱台各侧棱的延长线交于一点【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的几何特征，即可得出结论．【解答】解：有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，故A错误；有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故B错误；由5个面成的多面体可能是四棱锥或三棱柱，故C不正确；拿一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，故棱台各侧棱的延长线交于一点，即D正确．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，棱锥的几何特征，棱台的几何特征，熟练掌握相关定义是解答的关键．6．四面体ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】取AD的中点G，连接EG、FG，由三角形中位线定理得EG∥CD，从而得到∠GEF是EF与CD所成的角，由此能求出EF与CD所成的角的大小．【解答】解：设CD=2AB=2，取AD的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别为AC、BD中点，∴EG∥CD，且EG=，FG∥AB，且FG==．∵EF⊥AB，FG∥AB，∴EF⊥FG．∵EG∥CD，∴∠GEF是EF与CD所成的角，在Rt△EFG中，∵EG=1，GF=，EF⊥FG，∴∠GEF=30°，即EF与CD所成的角为30°．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成的角的大小是（）A．90° B．30° C．45° D．60°【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】连接A1C1交B1D1于O，连接OB，说明∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，然后求解即可．【解答】解：连接A1C1交B1D1于O，连接OB，因为B1D1⊥A1C1，A1C1⊥BB1，所以A1C1⊥平面BB1D1D，所以∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，设正方体棱长为1，所以A1O=，A1B=，sin∠A1BO=，∠A1BO=30°．故选B．【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，找出直线与平面所成角是解题的关键，考查计算能力．8．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了．【解答】解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球=π×（）3=．故选C．【点评】本题考查学生的思维意识，对球的结构和性质的运用，是基础题．9．函数f（x）=log a（ax﹣2）在[1，3]上单调递增，则a的取值X围是（）A．（1，+∞）B．（0，2）C．（0，）D．（2，+∞）【考点】复合函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得可得，由此解得a的X围．【解答】解：函数f（x）=log a（ax﹣2）在[1，3]上单调递增，可得，解得a＞2，【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数的性质，属于基础题．10．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（）A．x+2y+3=0 B．2x+y+3=0 C．x﹣2y+3=0 D．2x﹣y+3=0【考点】待定系数法求直线方程．【专题】直线与圆．【分析】由于AC=BC，可得：△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，求出线段AB的垂直平分线，即可得出△ABC的欧拉线的方程．【解答】解：线段AB的中点为M（1，2），k AB=﹣2，∴线段AB的垂直平分线为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．∵AC=BC，∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，因此△ABC的欧拉线的方程为：x﹣2y+3=0．故选：C．【点评】本题考查了欧拉线的方程、等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．方程=k（x﹣1）+2有两个不等实根，则k的取值X围是（）A．（，+∞）B．（，1] C．（0，）D．（，1]【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得，函数y=的图象和直线y=k（x﹣1）+2有2个交点，数形结合求得k的X围．【解答】解：方程=k（x﹣1）+2有两个不等实根，即函数y=的图象和直线y=k（x﹣1）+2有2个交点．而函数y=的图象是以原点为圆心，半径等于1的上半圆（位于x轴及x轴上方的部分），直线y=k（x﹣1）+2，即kx﹣y+2﹣k=0 的斜率为k，且经过点M（1，2），当直线和半圆相切时，由=1，求得k=．当直线经过点A（﹣1，0）时，由0=k（﹣1﹣2）+3求得k=1．数形结合可得k的X围为（，1]，【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了函数和方程的转化及数形结合的数学思想，属于中档题．12．设集合A={（x，y）|x2+y2≤|x|+|y|，x，y∈R}，则集合A所表示图形的面积为（）A．1+π B．2 C．2+π D．π【考点】圆方程的综合应用；Venn图表达集合的关系及运算．【专题】综合题；数形结合；分类讨论；直线与圆．【分析】根据不等式，分别讨论x，y的取值，转化为二元二次不等式组，结合圆的性质进行求解即可．【解答】解：若x≥0，y≥0，则不等式等价为x2+y2≤x+y，即（x﹣）x2+（y﹣）2≤，若x≥0，y＜0，则不等式等价为x2+y2≤x﹣y，即（x﹣）x2+（y+）2≤，若x≤0，y≤0，则不等式等价为x2+y2≤﹣x﹣y，即（x+）x2+（y+）2≤，若x＜0，y≥0，则不等式等价为x2+y2≤﹣x+y，即（x+）x2+（y﹣）2≤，则对应的区域如图：在第一象限内圆心坐标为C（，），半径=，则三角形OAC的面积S==，圆的面积为×=π，则一个弓弧的面积S=π﹣，则在第一象限的面积S=π×（）2﹣2×（π﹣）=﹣+=+，则整个区域的面积S=4×（+）=2+π，故选：C【点评】本题主要考查区域面积的计算，根据条件利用分类讨论的数学数学化简条件，利用圆的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，比较复杂．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】图表型．【分析】由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的形状，及关键数据，代入棱锥体积公式，即可求出答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体有一个半圆锥和一个四棱维组合而成，其中半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是一个边长为2为正方形，他们的高均为则V=（+4）•=故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状是解答本题的关键．14．（log3）2﹣3+log0.25+（）﹣4=．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（log3）2﹣3+log0.25+（）﹣4=﹣4+1+4=．故答案为：．【点评】本题考查对数运算法则的应用，考查计算能力．15．当x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值X围是（﹣∞，﹣5]．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用一元二次函数图象分析不等式在定区间上恒成立的条件，再求解即可．【解答】解：∵解：利用函数f（x）=x2+mx+4的图象，∵x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，∴，即，解得m≤﹣5．∴m的取值X围是（﹣∞，﹣5]．故答案为：（﹣∞，﹣5]．【点评】本题考查不等式在定区间上的恒成立问题．利用一元二次函数图象分析求解是解决此类问题的常用方法．16．圆C的方程为x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由于圆C的方程为（x﹣3）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣43）2+y2=4与直线y=kx ﹣2有公共点即可．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣6x+8=0，整理得：（x﹣3）2+y2=1，即圆C是以（3，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣3）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C′（3，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即5k2﹣12k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣3）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知集合A={x|x2﹣x﹣12＜0}，集合B={x|x2+2x﹣8＞0}，集合C={x|x2﹣4ax+3a2＜0，a≠0}，（Ⅰ）求A∩（C R B）；（Ⅱ）若C⊇（A∩B），试确定实数a的取值X围．【考点】一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用；交集及其运算；补集及其运算．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）先通过解一元二次不等式化简集合A和B，再求集合B的补集，最后求出A∩（C R B）即可；（Ⅱ）由于一元二次方程x2﹣4ax+3a2=0的两个根是：a，3a．欲表示出集合C，须对a进行分类讨论：①若a=0，②若a＞0，③若a＜0，再结合C⊇（A∩B），列出不等关系求得a的取值X围，最后综合得出实数a的取值X围即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意得：A={x|﹣3＜x＜4}，B={x|x＜﹣4或x＞2}，（C R B）={x|﹣4≤x≤2}∴A∩（C R B）=（﹣3，2]（Ⅱ）∴A∩B={x|2＜x＜4}①若a=0，则C={x|x2＜0}=∅不满足C⊇（A∩B）∴a≠0②若a＞0，则C={x|a＜x＜3a}，由C⊇（A∩B）得③若a＜0，则C={x|3a＜x＜a}，由C⊇（A∩B）得综上，实数a的取值X围为【点评】本小题主要考查一元二次不等式的解法、集合的包含关系判断及应用、交集及其运算=补集及其运算不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想．属于基础题．18．分别求出适合下列条件的直线方程：（Ⅰ）经过点a＞2，t=2且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；（Ⅱ）经过直线2x+7y﹣4=0与7x﹣21y﹣1=0的交点，且和A（﹣3，1），B（5，7）等距离．【考点】直线的一般式方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）分别讨论直线过原点和不过原点两种情况，设出直线方程，解出即可；（Ⅱ）先求出直线的交点坐标，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式求出斜率k即可．【解答】解：（Ⅰ）当直线不过原点时，设所求直线方程为+=1，将（﹣3，2）代入所设方程，解得a=，此时，直线方程为x+2y﹣1=0．当直线过原点时，斜率k=﹣，直线方程为y=﹣x，即2x+3y=0，综上可知，所求直线方程为x+2y﹣1=0或2x+3y=0．…（Ⅱ）有解得交点坐标为（1，），当直线l的斜率k存在时，设l的方程是y﹣=k（x﹣1），即7kx﹣7y+（2﹣7k）=0，由A、B两点到直线l的距离相等得，解得k=，当斜率k不存在时，即直线平行于y轴，方程为x=1时也满足条件．所以直线l的方程是21x﹣28y﹣13=0或x=1．…【点评】本题考察了求直线方程问题，考察点到直线的距离公式，是一道中档题．19．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，（1）求每年砍伐面积的百分比；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？（3）今后最多还能砍伐多少年？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题．【分析】（1）根据每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，设每年砍伐面积的百分比为x 可建立方程，解之即可得到每年砍伐面积的百分比；（2）设经过m年剩余面积为原来的．根据题意：到今年为止，森林剩余面积为原来的．可列出关于m的等式，解之即可；（3）根据题意设从今年开始，以后砍了n年，再求出砍伐n年后剩余面积，由题意，建立关于n的不等关系，利用一些不等关系即可求得今后最多还能砍伐多少年．【解答】解：（1）设每年砍伐面积的百分比为x （ 0＜x＜1）．则，即，解得（2）设经过m年剩余面积为原来的，则，即，，解得m=5故到今年为止，已砍伐了5年．（3）设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为令≥，即（1﹣x）n≥，≥，≤，解得n≤15故今后最多还能砍伐15年．【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解法及指数式与对数式的互化．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．20．如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰在CD上，即A1O⊥平面DBC．（Ⅰ）求证：BC⊥A1D；（Ⅱ）求证：平面A1BC⊥平面A1BD；（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由线面垂直得A1O⊥BC，再由BC⊥DC，能证明BC⊥A1D．（Ⅱ）由BC⊥A1D，A1D⊥A1B，得A1D⊥平面A1BC，由此能证明平面A1BC⊥平面A1BD．（III）由=，能求出点C到平面A1BD的距离．【解答】证明：（Ⅰ）∵A1O⊥平面DBC，∴A1O⊥BC，又∵BC⊥DC，A1O∩DC=O，∴BC⊥平面A1DC，∴BC⊥A1D．（Ⅱ）∵BC⊥A1D，A1D⊥A1B，BC∩A1B=B，∴A1D⊥平面A1BC，又∵A1D⊂平面A1BD，∴平面A1BC⊥平面A1BD．解：（III）设C到平面A1BD的距离为h，∵=，∴=，又∵=S△DBC，，∴．∴点C到平面A1BD的距离为．【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．如图，已知圆心坐标为（，1）的圆M与x轴及直线y=x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=x分别相切于C、D两点．（1）求圆M和圆N的方程；（2）过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）圆M的圆心已知，且其与x轴及直线y=x分别相切于A，B两点，故半径易知，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=x分别相切于C、D两点，由相似性易得其圆心坐标与半径，依定义写出两圆的方程即可．（2）本题研究的是直线与圆相交的问题，由于B点位置不特殊，故可以由对称性转化为求过A点且与线MN平行的线被圆截得弦的长度，下易解．【解答】解：（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半径，则M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA的平分线，∵M的坐标为（，1），∴M到x轴的距离为1，即⊙M的半径为1，则⊙M的方程为，设⊙N的半径为r，其与x轴的切点为C，连接MA，NC，由Rt△OAM∽Rt△O可知，OM：ON=MA：NC，即得r=3，则OC=，则⊙N的方程为；（2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙N截得的弦的长度，此弦的方程是，即：x﹣﹣=0，圆心N到该直线的距离d=，则弦长=2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及直线与圆相交的性质，属于直线与圆的方程中综合性较强的题型，题后注意题设中条件转化的技巧．22．已知函数，其反函数为y=g（x）．（Ⅰ）若g（mx2+2x+1）的定义域为R，某某数m的取值X围；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；（Ⅲ）是否存在实数m＞n＞2，使得函数y=h（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；反函数．【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）求得g（x）=，由定义域为R，可得mx2+2x+1＞0恒成立，即有m＞0，判别式小于0，解不等式即可得到所求X围；（Ⅱ）令，即有y=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性，即可得到所求最小值；（III）h（x）=7﹣4x，x∈（2，+∞），且h（x）在x∈（2，+∞）上单调递减，可得h（n）=m2，h（m）=n2，两式相减，即可判断．【解答】解：（Ⅰ）由函数，可得其反函数为y=，因为定义域为R，即有mx2+2x+1＞0恒成立，所以，解得m∈（1，+∞）；（Ⅱ）令，即有y=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，当a＞2，区间[，2]为减区间，t=2时，y min=7﹣4a；当≤a≤2，t=a时，y min=3﹣a2；当a＜，区间[，2]为增区间，t=时，y min=﹣a．则；（III）h（x）=7﹣4x，x∈（2，+∞），且h（x）在x∈（2，+∞）上单调递减．所以，两式相减得，m+n=4，与m＞n＞2矛盾，所以不存在m，n满足条件．【点评】本题考查函数的定义域和值域的求法，考查二次函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．。
湖北省随州市高一数学上学期期末试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省随州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．设集合A={4，5，6}，B={2，3，4]，则A∪B中有（）个元素．A．1 B．4 C．5 D．62．下列两个函数相同的是（）A．f（x）=lnx2，g（x）=2lnx B．f（x）=x，g（x）=（）2C．f（x）=cosx•tanx，g（x）=sinx D．f（x）=x2，g（x）=3．下列四个函数中，在闭区间[﹣1，1]上单调递增的函数是（）A．y=x2B．y=2x C．y=log2x D．y=sin2x4．若函数f（x）=，则f[fA．0 B．2 C．﹣3 D．﹣45．已知a=log，b=log，c=sin，则（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a6．tan2016°的值所在的大致区间为（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，1）7．方程log2x+x=2的解所在的区间为（）A．（0.5，1）B．（1，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.5）8．已知平面向量，满足||=，||=2，•=﹣3，则|+2|=（）A．1 B．C．4+D．29．已知角α的终边上一点P的坐标为（sin，cos），则角α的最小正角为（）A．B．πC．πD．π10．已知定义在R上的函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，且f（x+1）为偶函数，则（）A．f（0）＜f（）B．f（﹣2）＞f（2） C．f（﹣1）＜f（3） D．f（﹣4）=f（4）11．P是△A BC所在平面上一点，满足++=2，若S△ABC=12，则△PAB的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．1612．已知f（x）=，则方程2f2（x）﹣3f（x）+1=0的解的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．A={2，lnx}，B={x，y}，若A∩B={0}，则y=．14．化简（log43+log83）（log32+log92）=．15．若f（x）=e x﹣ae﹣x为奇函数，则f（x﹣1）＜e﹣的解集为．16．定义[x]与{x}是对一切实数都有定义的函数，[x]的值等于不大于x的最大整数，{x}的值是x﹣[x]，则下列结论正确的是（填上正确结论的序号）．①[﹣x]=﹣[x]；②[x]+[y]≤[x+y]；③{x}+{y}≥{x+y}；④{x}是周期函数．三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知A（1，﹣2），B（2，1），C（3，2），D（2，3）．（1）求+﹣；（2）若+λ与垂直，求λ的值．18．已知函数f（x）=定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+mx+4）定义域为集合B．（1）若m=3，求A∩（∁R B）；（2）若A∪B=A，求m的取值X围．19．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ＜）的图象如图所示．（1）直接写出f（x）表达式；（2）将f（x）图象上所有点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，然后再向右平移得到g（x）图象，求g（x）的单调区间．20．随州市汽车配件厂，是生产某配件的专业厂家，每年投入生产的固定成本为40万元，每生产1万件该配件还需要再投入16万元，该厂信誉好，产品质量过硬，该产品投放市场后供应不求，若该厂每年生产该配件x万件，每万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=．（1）写出年利润关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）当年产量为多少万件时，该厂获得的利润最大？并求出最大利润．21．已知f（x）=lgx，g（x）=x+，h（x）=f[g（x）]．（1）证明h（x）既是R上的奇函数又是R上的增函数；（2）若（x+）（y+）=，求证：x+2y=0．22．已知f（x）=1﹣，g（x）=2sin（2x﹣）．（1）若函数g（x）=（2x+1）•f（x）+k有零点，某某数k的取值X围；（2）对任意x1∈（0，1），总存在x2∈[﹣，]，使不等式f（x1）﹣m•2＞g（x2）成立，某某数m的取值X围．2015-2016学年某某省随州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．设集合A={4，5，6}，B={2，3，4]，则A∪B中有（）个元素．A．1 B．4 C．5 D．6【考点】并集及其运算．【分析】根据集合的运算性质求出A∪B即可．【解答】解：∵集合A={4，5，6}，B={2，3，4]，则A∪B={2，3，4，5，6}，有5个元素，故选：C．2．下列两个函数相同的是（）A．f（x）=lnx2，g（x）=2lnx B．f（x）=x，g（x）=（）2C．f（x）=cosx•tanx，g（x）=sinx D．f（x）=x2，g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．【解答】解：对于A，f（x）=lnx2的定义域为{x|x≠0}，g（x）=2lnx的定义域为{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数；对于B，f（x）=x的定义域为R，g（x）==x的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是相同函数；对于C，f（x）=cosx•tanx的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，g（x）=sinx的定义域为R，定义域不同，不是相同函数；对于D，f（x）=x2的定义域为R，g（x）==x2的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，所以是相同数．故选：D．3．下列四个函数中，在闭区间[﹣1，1]上单调递增的函数是（）A．y=x2B．y=2x C．y=log2x D．y=sin2x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据y=x2，y=2x，y=log2x，y=sin2x性质判断即可．【解答】解：①y=x2在[﹣1，0]单调递减，故A不正确；②y=2x在闭区间[﹣1，1]上单调递增，故B正确；③y=log2x在[﹣1，0]无意义，故C不正确；④y=sin2x在[，1]单调递减，故D不正确；故选；B4．若函数f（x）=，则f[fA．0 B．2 C．﹣3 D．﹣4【考点】对数的运算性质；函数的值．【分析】根据分段函数的表达式进行转化求解即可．【解答】解：由分段函数的表达式得f=﹣22+1=﹣4+1=﹣3，则f[f=﹣3，故选：C5．已知a=log，b=log，c=sin，则（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数的运算性质比较a，b的大小，且得到a，利用三角函数的单调性可知c=sin，则答案可求．【解答】解：∵a=log=log32＜1，且，b=log=log23＞1，c=sin，∴c＜a＜b．故选：A．6．tan2016°的值所在的大致区间为（）A．（﹣1，﹣）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，1）【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式、正切函数的单调性，得出结论．【解答】解：∵tan2016°=tan=tan36°，又∵tan30°=，tan45°=1，36°∈（30°，45°），函数y=tanx在（0°，90°）上单调递增，故tan36°∈（，1），故选：D．7．方程log2x+x=2的解所在的区间为（）A．（0.5，1）B．（1，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.5）【考点】函数零点的判定定理．【分析】判断f（x）=log2x+x﹣2，在（0，+∞）上单调递增．根据函数的零点存在性定理得出：f（1）•f（1.5）＜0，可得出f（x）的零点在（1，1.5）区间内，即可得出答案．【解答】解：设f（x）=log2x+x﹣2，在（0，+∞）上单调递增．∵f（1）=0+1﹣2=﹣1＜0，f（1.5）=log21.5﹣0.5=log21.5﹣log2＞0∴根据函数的零点存在性定理得出：f（x）的零点在（1，1.5）区间内∴方程log2x+x=2的解所在的区间为（1，1.5）故选：B．8．已知平面向量，满足||=，||=2，•=﹣3，则|+2|=（）A．1 B．C．4+D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的数量积的性质，向量的平方即为模的平方，代入计算即可得到．【解答】解：由于||=，||=2，•=﹣3，则|+2|===．故选B．9．已知角α的终边上一点P的坐标为（sin，cos），则角α的最小正角为（）A．B．πC．πD．π【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】先α的终边上一点的坐标化简求值，确定α的正余弦函数值，再确定角α的取值X围．【解答】解：由题意可知角α的终边上一点的坐标为（sin，cos），即（，﹣），∴sinα=﹣，cosα=，∴α=+2kπ（k∈Z），故角α的最小正值为：．故选：D．10．已知定义在R上的函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，且f（x+1）为偶函数，则（）A．f（0）＜f（）B．f（﹣2）＞f（2） C．f（﹣1）＜f（3） D．f（﹣4）=f（4）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据条件判断函数f（x）关于x=1对称，利用函数对称性和单调性的关系将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵f（x+1）为偶函数，∴f（x+1）=f（﹣x+1），即函数f（x）关于x=1对称，∵f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，∴f（0）＞f（），f（﹣2）=f（4）＞f（2），f（﹣1）=f（3），f（﹣4）=f（6）＞f（4），故选：B．11．P是△ABC所在平面上一点，满足++=2，若S△ABC=12，则△PAB的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．16【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据++=2，可得3=，所以∥并且方向一样，由此可求S△PAB．【解答】解：∵ ++=2=2（+）∴3=∴∥并且方向一样设AP与BC的距离为h，则∵S△PAB=||h，S△ABC=||h∵||=3||，S△ABC=12∴S△PAB=S△ABC=4故选A．12．已知f（x）=，则方程2f2（x）﹣3f（x）+1=0的解的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】法1：利用换元法设t=f（x），求出t的大小，利用分段函数进行求解；法2：作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：法1．设t=f（x），由2f2（x）﹣3f（x）+1=0得2t2﹣3t+1=0得t=1或t=，若x＞0，则由|lgx|=1得lgx=±1，则x=10或，由|lgx|=得lgx=±，则x=或，若x≤0，则由2|x|=1得|x|=0，则x=0，由2|x|=得|x|=﹣1．不成立，综上方程根的个数为5个，法2：作出函数f（x）的图象如图，当f（x）=1时，有3个根，当f（x）=时，有2个根，故方程根的个数为5个，故选：D．二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．A={2，lnx}，B={x，y}，若A∩B={0}，则y= 0 ．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，以及两集合的交集，确定出y的值即可．【解答】解：∵A={2，lnx}，B={x，y}，且A∩B={0}，∴lnx=y=0，解得：x=1，y=0，故答案为：0．14．化简（log43+log83）（log32+log92）=．【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数的运算法则进行计算；【解答】解：（log43+log83）（log32+log92）=（）（）=（）（+）=×=，故答案为：．15．若f（x）=e x﹣ae﹣x为奇函数，则f（x﹣1）＜e﹣的解集为（﹣∞，2）．【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质先求出a的值，结合函数单调性的性质进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=e x﹣ae﹣x为奇函数，∴f（0）=0，即f（0）=1﹣a=0，则a=1，即f（x）=e x﹣e﹣x，则函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，则f（1）=e﹣，则不等式f（x﹣1）＜e﹣等价为f（x﹣1）＜f（1），即x﹣1＜1，解得x＜2，即不等式的解集为（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2）．16．定义[x]与{x}是对一切实数都有定义的函数，[x]的值等于不大于x的最大整数，{x}的值是x﹣[x]，则下列结论正确的是②③④（填上正确结论的序号）．①[﹣x]=﹣[x]；②[x]+[y]≤[x+y]；③{x}+{y}≥{x+y}；④{x}是周期函数．【考点】命题的真假判断与应用；函数解析式的求解及常用方法；函数的值．【分析】根据已知中，[x]和{x}的定义，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：当x为整数时，[﹣x]=﹣[x]，当x不是整数时，[﹣x]=﹣[x]﹣1，故①错误；当{x}+{y}＜1时，[x]+[y]=[x+y]；当{x}+{y}≥1时，[x]+[y]=[x+y]﹣1＜[x+y]；故[x]+[y]≤[x+y]，即②正确；当{x}+{y}＜1时，{x}+{y}={x+y}；当{x}+{y}≥1时，{x}+{y}＞{x+y}；故{x}+{y}≥{x+y}，即③正确；{x+1}={x}恒成立，故{x}是周期为1的周期函数．故④正确，故答案为：②③④三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知A（1，﹣2），B（2，1），C（3，2），D（2，3）．（1）求+﹣；（2）若+λ与垂直，求λ的值．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】（1）利用向量的坐标运算性质即可得出；（2）利用向量的坐标运算性质、向量垂直与数量积运算性质即可得出．【解答】解：（1）+﹣=++==（1，5）+（﹣1，1）=（0，6）．（2）=（2，4），=（1，3），=（﹣1，1）．∴+λ=（2+λ，4+3λ），∵+λ与垂直，∴（+λ）•=﹣（2+λ）+4+3λ=0，解得λ=﹣1．18．已知函数f（x）=定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+mx+4）定义域为集合B．（1）若m=3，求A∩（∁R B）；（2）若A∪B=A，求m的取值X围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）先分别求出函数f（x）和g（x）的定义域，再求出集合B的补集，再根据交集的定义求出所求；（2）若A∪B=A，B⊆A，﹣x2+mx+4＞0在（﹣1，5]上恒成立，即可求m的取值X围．【解答】解：函数f（x）=的定义域为集合A={x|﹣1＜x≤5}（1）若m=3，函数g（x）=lg（﹣x2+3x+4）的定义域为集合B={x|﹣1＜x＜4}C R B={x|x≤﹣1或x≥4}∴A∩（∁R B）=[4，5]（2）∵A∪B=A，∴B⊆A，∴﹣x2+mx+4＞0在（﹣1，5]上恒成立，∴，∴m∈∅．19．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ＜）的图象如图所示．（1）直接写出f（x）表达式；（2）将f（x）图象上所有点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，然后再向右平移得到g（x）图象，求g（x）的单调区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（1）由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=时取得最大值，求出φ，得到函数的解析式，即可得解．（2）由题意根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的图象的单调性，求得g（x）的单调区间．【解答】解：（1）由题意可知A=2，T=2（﹣）=π，ω=2，由A+k=，﹣A+k=﹣，解得：A=，k=1，当x=时取得最大值，所以=sin（2×+φ）+1，所以：2×+φ=2kπ+，k∈Z，因为：|φ|＜．所以φ=，函数f（x）的解析式：f（x）=sin（2x+）+1．（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，可得函数y=sin（3x+）+1的图象．再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）=sin[3（x﹣）+]+1=sin （3x﹣）+1，令2kπ+≤3x﹣≤2kπ+，k∈z，求得g（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．令2kπ﹣≤3x﹣≤2kπ+，k∈z，求得g（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．20．随州市汽车配件厂，是生产某配件的专业厂家，每年投入生产的固定成本为40万元，每生产1万件该配件还需要再投入16万元，该厂信誉好，产品质量过硬，该产品投放市场后供应不求，若该厂每年生产该配件x万件，每万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=．（1）写出年利润关于年产量x（万件）的函数解析式；（2）当年产量为多少万件时，该厂获得的利润最大？并求出最大利润．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利润=收入﹣成本（2）由分段函数，在各个段上讨论．利用基本不等式，可得最值．【解答】解：（1）设年利润为w万元，则年利润=年收入﹣年成本∴w（x）=xR（x）﹣16x﹣40=（2）∵利润与产量的函数为分段函数①0＜x≤40时，w（x）=﹣6x2+384x﹣40x=32时，w（x）取最大，最大值为11634②x＞40时，w（x）=﹣16x﹣+7360≤﹣1600+7360=6000当且仅当x=50时，取等号．由①，②得，当x=50时，即产量我50万件时，利润取得最大，最大利润为6000万元．21．已知f（x）=lgx，g（x）=x+，h（x）=f[g（x）]．（1）证明h（x）既是R上的奇函数又是R上的增函数；（2）若（x+）（y+）=，求证：x+2y=0．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的判断；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】（1）先求出，容易得到h（﹣x）=﹣h（x），即得到h （x）为奇函数，可以求导数h′（x）＞0，从而得出h（x）为R上的增函数；（2）由便可得到，两边取以10为底的对数，根据h（x）的解析式可得到h（x）+h（2y）=0，而由h（x）为奇函数且为增函数便可得到x+2y=0．【解答】证明：（1）；恒成立；∴h（x）的定义域为R，且==﹣h（x）；∴h（x）为R上的奇函数；又=；∴h（x）为R上的增函数；（2）=；∴；∴==h（x）+h（2y）=0；∴h（x）=﹣h（2y）；∵h（x）为R上的奇函数且是增函数；∴h（x）=h（﹣2y）；∴x=﹣2y；∴x+2y=0．22．已知f（x）=1﹣，g（x）=2sin（2x﹣）．（1）若函数g（x）=（2x+1）•f（x）+k有零点，某某数k的取值X围；（2）对任意x1∈（0，1），总存在x2∈[﹣，]，使不等式f（x1）﹣m•2＞g（x2）成立，某某数m的取值X围．【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理．【分析】（1）由题意可得g（x）=0，即为1﹣k=2x，由指数函数的值域，即可得到所求X围；（2）当x2∈[﹣，]，可得2x﹣∈[﹣，]，运用正弦函数的图象和性质可得g（x2）的最小值为g（﹣）=﹣2，由题意可得f（x1）﹣m•2＞﹣2，即m＜=+在（0，1）恒成立，运用指数函数的单调性，可得右边函数的值域，再由恒成立思想即可得到所求X围．【解答】解：（1）g（x）=（2x+1）•f（x）+k=2x﹣1+k，由题意可得g（x）=0，即为1﹣k=2x，由2x＞0，可得k＜1；（2）当x2∈[﹣，]，可得2x﹣∈[﹣，]，则g（x2）的最小值为g（﹣）=﹣2，即有不等式f（x1）﹣m•2＞g（x2）成立，即为f（x1）﹣m•2＞﹣2，即m＜=+在（0，1）恒成立，由h（x）=+在（0，1）递减，可得h（x）的值域为（，2），可得m≤．。
甘肃省合作第一中学2015-2016第一学期期末考试高一数学试题及答案
2015－2016学年度第一学期期末考试高一 数学命题人：杜林会 试卷满分：150分 答题时间：120分钟 座位号： 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.点,,)Px y z （关于坐标平面x oy 对称的点的坐标是（ ） A. （-x,-y,z ） B. (-x,y,z) C. (x,-y,z) D. (x,y,-z) 2.圆221x y +=与圆22689x y x y +-++=0的位置关系是（ ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离 3.某四棱锥的三视图如图1所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）4. 两平行线3x-4y-12=0与6x+ay+16=0间的距离是（ ） A. 285 B. 4 C. 145 D. 455. 如图2，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，M 是CD 的中点. 则二面角A-CD-B 的平面角是（ ）A. ∠ADBB. ∠BDCC. ∠AMBD. ∠ACB 6. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，直线BD 1与CC 1所成角的正切值为（ ） A.B.2C.D.37. 已知a 、b 、c 表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，则下列判断正确的是（ ）A.若a ⊥c,b ⊥c,则a ∥bB. 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC.若α⊥a,β⊥a,则α∥βD. 若a ⊥α,b ⊥a,则b ∥α 8. 三条两两相交的直线最多可确定（ ）个平面A. 1B. 2C. 3D. 无数 9. 下列说法正确的是（ ）A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B. 过点P(x 0,y 0)的所有直线的方程都可表示为y-y 0=k(x-x 0)C. 已知点A(x 0,y 0)是圆C ：x 2+y 2=1内一点，则直线x 0x+y 0y-1=0与圆C 相交D. 圆柱的俯视图可能为矩形10.已知两点A(-1,0),B(2,1),直线l 过点P(0,-1)且与线段AB 有公共点，则直线l 的斜(图1)(图2)率k 的取值范围是（ ）A. [-1，1]B.（-∞，-1]∪[1,+∞）C.[-1,0)∪(0,1]D. [-1,0)∪[1,+∞)11.如图3，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角为（ ）A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒12. 直线x+a 2y+6=0与直线(a-2)x+3ay+2a=0平行，则实数a 的值为（ ） A. 3或-1 B. 0或-1 C. -3或-1 D. 0或313. 直线x+y+1=0的倾斜角是14. 过点P(-2,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是. 15. 一个长方体的长宽高分别为2cm,2cm,它的顶点都在球面上，则球的体积是 .16. 已知圆x 2+y2=9,直线l ：y=x+b. 圆上至少有三个点到直线l 的距离等于1，则b 的取值范围是 . 三、解答题（共6小题，共70分） 17.（本题满分10分）如图4是某几何体的三视图.(Ⅰ)写出该几何体的名称，并画出它的直观图； (Ⅱ)求出该几何体的表面积和体积.1C3(图4)侧(左)视图俯视图18.（本题满分12分）已知直线1:3420l x y +-=，2:220l x y ++=，1l 与2l 交于点P . (Ⅰ)求点P 的坐标，并求点P 到直线4360x y --=的距离； (Ⅱ)分别求过点P 且与直线310x y -+=平行和垂直的直线方程.19. (本题满分12分)如图5，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点. (Ⅰ)证明：BD 1∥平面AEC ；(Ⅱ)证明：平面AEC ⊥平面BDD 1.20. (本题满分12分)已知圆心在第二象限，半径为2的圆C 与两坐标轴都相切. (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)求圆C 关于直线x-y+2=0对称的圆的方程.(图5)1A21. (本题满分12分)过点P(1,4)作圆C:(x-2)2+(y-1)2=1的两条切线，切点为A 、B. (Ⅰ)求PA 和PB 的长，并求出切线方程； (Ⅱ)求直线AB 的方程.22. (本题满分12分)如图6，已知四棱锥P-ABCD 的底面是矩形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，连接DE 、BD 、BE.(Ⅰ)(i)证明：DE ⊥平面PBC ；(ii)若把四个面都是直角三角形的四面体叫做直角四面体，试判断四面体EBCD 是否为直角四面体，若是写出每个面的直角(只需写结论)，若不是请说明理由.(Ⅱ)求二面角P-BC-A 的大小；(Ⅲ)记三棱锥P-ABD 的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V .C高一数学参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）13. 135︒ 14. 3x+2y=0或x+y-1=015. 323πcm 3. 16. [-三、解答题（共6小题，共70分） 17.（本题满分10分） 答案：（Ⅰ）三棱柱，直观图关键看底面正三角形的直观图是否正确. （Ⅱ）表面积：18+ 体积：18.（本题满分12分）答案：(Ⅰ)P （－2，2） 距离：4(Ⅱ)平行：3x-y+8=0 垂直：x+3y-4=019. (本题满分12分)答案：(Ⅰ)设BD 与AC 交于点O,连OE,证BD 1∥OE; (Ⅱ)证平面AEC 中的直线AC 垂直于平面BDD 1. 20. (本题满分12分) 答案：(Ⅰ)(x+2)2+(y-2)2=4(或x 2+y 2+4x-4y+4=0) (Ⅱ)x 2+y 2=4. 21. (本题满分12分)答案：(Ⅰ)PA=PB=3 切线方程：x-1=0, 4x+3y-16=0 (Ⅱ)x-3y+2=0 22. (本题满分12分)答案：(Ⅰ)因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥.由底面ABCD 为矩形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PCBC C =，所以DE ⊥平面PBC .由上述证明过程易知四面体EBCD 是一个直角四面体，其四个面的直角分别是：,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠(Ⅱ)由(Ⅰ)知BC ⊥平面PCD ，所以∠PCD 就是二面角P-BC-A 的平面角，又PD ⊥DC ，PD ＝DC ，所以∠PCD ＝45︒，即二面角P-BC-A 的大小是45︒.(Ⅲ)易得：12V V ＝2. (图6)C(图5)1A。
2015-2016学年高一第一学期期末考试数学试题 Word版含答案
2015-2016学年高一第一学期期末考试数学试题 Word版含答案2014-2015学年度高一第一学期期末考试数学试题一、选择题（每小题4分，共40分）1.已知集合A={1,3,5,7,9}，B={0,3,6,9,12}，则A∩(N-B)=（）A.{1,5,7}B.{3,5,7}C.{1,3,9}D.{1,2,3}2.在△ABC中，AN=12NC，P是BN上的一点，若AP=mAB+AC，则实数m的值为()A.1/3B.1/2C.2/3D.3/23.已知f(x)=log2x,x>1x+1,x≤1若f(x)是f(x)的最小值，则a的取值范围为（）A.[0,2]B.[1,2]C.[-1,0]D.[-1,2]4.已知函数y=sin(ωx+φ)，ω>0,φ<π/2的部分图象如图所示，则（）图略A.ω=1，φ=π/6B.ω=2，φ=-π/6C.ω=1，φ=-π/6D.ω=2，φ=π/65.如果函数f(x)上存在两个不同点A、B关于原点对称，则称A、B两点为一对友好点，记作A,B。
规定A,B和B,A是同一对，已知f(x)=cosx,x≥0lgx,x<0则函数f(x)上共存在友好点（）A.1对B.3对C.5对D.7对6.已知方程sin2x+cosx+k=0有解，则实数k的取值范围为（）A.-1≤k≤5/4B.-5/4≤k≤1C.-1≤k≤1D.-5/4≤k≤-1二、填空题11.已知O为坐标原点，点A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα)，且π/2<α<π。
若|OA+OC|=7，则OB与OC的夹角为______。
12.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边落在第三象限,与圆心在原点的单位圆交于点P(cosα,-sinα)，则tanα=________。
13.已知函数f(x)=loga(2x-a)在区间(0,a/2)上恒有f(x)>1，则实数a的取值范围是________。
湖北省宜昌金东方高级中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题解析(解析版)
湖北省宜昌金东方高级中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集{}0,1,2,3,4U =， 集合{}{}1,2,3,2,4A B ==则()U C A B ⋃为（ ） A.{}1,2,4 B.{}2,3,4 C.{}0,2,4 D.{}0,2,3,4 【答案】C 【解析】试题分析：{}{}{}()0,42,40,2,4U C A B ⋃==考点：集合的交并补运算2.已知点(5,6)M -和向量(1,2)a =-，若3MN a =-，则点N 的坐标为（ ） A ．(2,0) B ．(3,6)- C ．(6,2) D ．(2,0)- 【答案】A 【解析】试题分析：设(),N x y ()()()5,631,23,62,0x y x y ∴-+=--=-∴==，点N 的坐标为(2,0) 考点：向量的坐标运算3.下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．2log y x = B ．1-=x y C ．3x y = D ．xy 2= 【答案】C 【解析】试题分析：A 中函数不是奇函数，B 中函数是奇函数，在(0,)+∞上单调递减；C 中是奇函数，并且在(0,)+∞上是增函数，D 中不是奇函数 考点：函数奇偶性单调性4.已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =（ ）A.12 B. 14 C. 16 D. 18【答案】B 【解析】试题分析：()23111(())log 22994f f f f -⎛⎫==-== ⎪⎝⎭ 考点：分段函数求值5.已知向量(cos ,sin )a θθ=，(1,2)b =-，若//a b ，则代数式2sin cos sin cos θθθθ-+的值是（ ）A ．52 B ．34 C ．5 D ．32【答案】C 【解析】试题分析：由//a b 可知sin 2cos θθ=-2sin cos 5cos 5sin cos cos θθθθθθ--∴==+-考点：向量共线6.设()833-+=x x f x，用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()()025.1,05.1,01<><f f f ，则方程的根落在区间（ ）A.()1,1.25B.()1.25,1.5C.()1.5,2D.不能确定 【答案】B 【解析】试题分析：由()()1.50, 1.250f f ><可得()()1.5 1.250f f <，所以方程的根落在()1.25,1.5内 考点：函数零点存在性定理7.设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(2)()0DB DC DA AB AC +-⋅-=，则ABC ∆ 的形状是（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【答案】B 【解析】试题分析：：∵(2)()0DB DC DA AB AC +-⋅-=，∴()()2200AB ACAB AC ABAC +-=∴-=，即|AB|=|AC|．△ABC 的形状是等腰三角形考点：向量运算8.已知0a >且1a ≠，函数log a y x =，x y a =，y x a =+在同一坐标系中的图象可能是（ ）【答案】C 【解析】试题分析：：（1）由指数函数和对数函数的单调性可知a ＞1，此时直线y=x+a 的截距不满足条件． （2）指数函数和对数函数的单调性不相同，不满足条件．（3）由指数函数和对数函数的单调性可知0＜a ＜1，此时直线y=x+a 的截距满足条件． （4）由指数函数和对数函数的单调性可知0＜a ＜1，此时直线y=x+a 的截距a ＞1不满足条件 考点：函数图像9.设α﹑β为钝角，且sin α=cos β=，则αβ+的值为 ( ) A ．43πB ．45πC ．47π D ．45π或47π 【答案】B 【解析】试题分析：sin cos αα== cos sin ββ==()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴+=-=4αβ5π+=考点：三角函数基本公式10.函数()log (6)a f x ax =-在[]0,2上为减函数，则a 的取值范围是（ ） A. (0,1) B. (1,3) C.(]1,3 D.(3,)+∞ 【答案】B【解析】试题分析：由函数()log (6)a f x ax =-在[]0,2上为减函数，可得函数t=6-ax 在[]0,2上大于零，且t 为减函数，且a ＞1，故有1620a a >⎧⎨->⎩，求得1＜a ＜3考点：复合函数单调性11.若函数sin()y A x ωϕ=+(0A >，0ω>，||2πϕ<)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是这段图象的最高点和最低点，且0OM ON ⋅=，则A ω⋅=（ ）A ．6πB C D 【答案】C 【解析】试题分析：由图得，4312T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则2ω=，设M （12π，A ），则N （712π，-A ），∵0OM ON ⋅=，A ＞0，∴701212A A ππ⨯-⨯=，解得A =∴A ω⋅=．考点： y=Asin （ωx+φ）中参数的物理意义；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值 12.设定义在区间(),b b -上的函数1()lg 12axf x x+=-是奇函数(,a b R ∈且2)a ≠-，则b a 的取值范围是（ ）A. (]2,1B. (]2,0C. ()2,1D. ()2,0 【答案】A 【解析】试题分析：：∵定义在区间(),b b -上的函数1()lg12axf x x+=-是奇函数∴f （-x ）+f （x ）=0222222111lg lg 0lg 0114121214ax axa x a x x x x ⎛⎫-+-∴+=∴=∴-=- ⎪+--⎝⎭，∵a ≠-2∴a=2 ∴()12lg12x f x x +=-令12012x x +>-，可得1122x -<<，∴102b <≤∵a=2，∴b a 的取值范围是(]2,1 考点：函数奇偶性单调性及值域第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数)1lg(4)(-+-=x x x f 的定义域为_____________.【答案】(1,4] 【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足401410x x x -≥⎧∴<≤⎨->⎩，定义域为(1,4]考点：函数定义域14.化简：sin()sin()tan(3)23cos()sin()2παπαπαπαα+++=+- 。
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高一第一学期期末考试试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页，共150分．考试时间120分钟．
注息事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·
4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=R ，集合{}{}0107|,73|2<+-=<≤=x x x B x x A ，则)(B A C R ⋂=
（ ） A ．()),5(3,+∞⋃∞-
B ．()),5[3,+∞⋃∞-
C ．),5[]3,(+∞⋃-∞
D ．),5(]3,(+∞⋃-∞ 2.3a a a ⋅⋅的分数指数幂表示为 ( )
A ．23
a B ． a 3 C ．43
a D ．都不对
3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A. 01ln 10==与e
B. 3121log 218
8)31(-==-与 C. 3929log 21
3==与 D. 7717log 17==与
4.下列函数()f x 中，满足“对任意的12,(,0)x x ∈-∞，当12x x <时，总有12()()f x f x >”的是
A ．2
()(1)f x x =+ B ．()ln(1)f x x =- C ．1()f x x
= D ．()x f x e = 5.已知函数)(x f y =是奇函数，当0>x 时，,lg )(x x f =则))1001((f f 的值等于（ ） A ．2lg 1 2lg 1.-B C ．2lg D ．-2lg
6.对于任意的0>a 且1≠a ，函数()31+=-x a x f 的图象必经过点 （ ）
A. ()2,5
B. ()5,2
C. ()1,4
D. ()4,1
7.设a ＝0.7log 0.8，b ＝ 1.1log 0.9，c ＝0.91.1，那么( )
A ．a<b<c
B ．b<a<c
C ．a<c<b
D ．c<a<b 8.下列函数中哪个是幂函数
（ ）
A ．31-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y
B ．22-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x y C ．32-=x y D ．()32--=x y 9. 函数|lg(1)|y x =-的图象是 ( ）
10.已知函数223y x x =--+在区间] ,[2a 上的最大值为4
33, 则a 等于( ) A ． －23 B ． 21 C ． －21 D ． －21或－23 11..函数x
e x
f x 1)(-=的零点所在的区间是（ ） A.)21,0( B.)1,21( C.)23,1( D.)2,2
3( 12.在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是 ( ）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.已知()21f x +定义域为[2,3]，则()1y f x =+的定义域是 14.函数(5)||y x x =--的递增区间是 .
15.已知22)1(++=-x x x f ，则()f x =
16.一个正三棱柱的三视图如右图所示，则该三棱柱的侧面积．．．
是 2cm ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}．
(1)当a ＝－4时，分别求A ∩B 和A ∪B ；
(2)若(∁R A)∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．
18.（本小题满分12分） 已知()x
x x f -+=11log 2
. （Ⅰ）求)(x f 的定义域；
（Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性；
（Ⅲ）求使0)(>x f 的x 的取值范围。
19.（本小题满分12分）二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f .
(1）求)(x f 的解析式；
(2）若不等式()2f x x m >+在区间[]1,1-上恒成立，求实数m 的取值范围. 20.（本小题满分12分）某公司为了实现2011年1000万元的利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，现有二个奖励模型：10.0025,ln 12
y x y x ==+，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？说明理由。
（解题提示：公司要求的模型只需满足：当
[10,1000]x ∈时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；参考数据：82.71828,2981e e =≈）
21.(本题满分12分)
已知函数)(x f ＝1-2a x - a 2x （a > 1 ）
（1）求函数)(x f 值域
（2）若∈x [-2，1]时，函数)(x f 最小值为 -7 ，求a 值，并求出函数的最大值。
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。
22.
（本小题满分10分）已知全集U R =，集合{|14}A x x =≤<，{|315}B x x x =-<+， 求：（Ⅰ）A B ； （Ⅱ）()U C A B ；
23.（本小题满分10分）
已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>-=.0 ,21,0 ,2,0 ,4)(2x x x x x x f
(Ⅰ）求)]2([-f f 的值；
(Ⅱ）求
)1(2+a f （a R ∈）的值； (Ⅲ）当34<≤-x 时，求函数)(x f 的值域。
24.（本小题满分10分）已知函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数，且满足)()()(y f x f xy f +=, 1)3(=f .
(Ⅰ) 求()()9,27f f 的值;
(Ⅱ) 解不等式()()82f x f x +-<.。