反比例函数知识点归纳总结与典型例题

反比例函数知识点归纳总结与典型例题
（一）反比例函数的概念： 知识要点：
1、一般地，形如 y =
x
k
( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。

注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；
（2）解析式有三种常见的表达形式：
（A ）y =
x
k （k ≠ 0） ， （B ）xy = k （k ≠ 0） （C ）y=kx -1
（k ≠0） 例题讲解：有关反比例函数的解析式 （1）下列函数，① 1)2(=+y x ②. 11+=
x y ③21x y = ④.x y 21
-=⑤2
x y =-⑥13y x = ；其中是y 关
于x 的反比例函数的有：_________________。

（2）函数2
2
)2(--=a
x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ）
A ．－1
B ．－2
C ．2
D ．2或－2 （3）若函数1
1-=
m x
y (m 是常数)是反比例函数，则m ＝________，解析式为________．
（4）反比例函数(0k
y k x
=
≠）
的图象经过（—2，5， n ），
求1）n 的值； 2）判断点B （24，
(二)反比例函数的图象和性质： 知识要点：
1、形状：图象是双曲线。

2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。

3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________；
（2）当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。

4、变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交
5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；（2）对于k 取互为相反数的两个反比例函数（如：y = x 6 和y = x
6
-）来说，它们是关于x 轴，y 轴___________。

例题讲解：
反比例函数的图象和性质：
（1）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 ．
（2）若反比例函数
2
2
)12(--=m
x m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ）
A 、 －1或1;
B 、小于
1
2
的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （3）下列函数中，当0x <时，y 随x 的增大而增大的是（ ） A ．34y x =-+ B ．123y x =-- C ．4
y x
=- D ．12y x =．
（4）已知反比例函数2
y x
-=
的图象上有两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），且12x x <，
则12y y -的值是（ ）
A ．正数
B ．负数
C ．非正数
D ．不能确定 （5）若点（1x ，1y ）、（2x ，2y ）和（3x ，3y ）分别在反比例函数2
y x
=- 的图象上，且 1230x x x <<<，则下列判断中正确的是（ ）
A ．123y y y <<
B ．312y y y <<
C ．231y y y <<
D ．321y y y << （6）在反比例函数x
k y 1
+=
的图象上有两点11()x y ，和22()x y ，，若x x 120<<时，y y 12>，则k 的取值范围是 ．
（7）老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质:
甲:函数的图象经过第二象限; 乙:函数的图象经过第四象限; 丙:在每个象限内,y 随x 的增大而增大. 请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数: . （三）反比例函数与面积结合题型。

知识要点：
1、反比例函数与矩形面积： 若P (x ，y )为反比例函数x
k
y =(k≠0)图像上的任意一点如图1所示，过P 作PM ⊥x 轴于M ，作PN ⊥y 轴于N ，求矩形PMON 的面积.
分析：S 矩形PMON =xy x y PN PM =⋅=⋅
∵x
k
y =, ∴ xy=k, ∴ S =k .
2、反比例函数与矩形面积： 若Q (x ，y )为反比例函数x
k
y =
(k≠0)图像上的任意一点如图2所示，过Q 作QA ⊥x 轴于A (或作QB ⊥y 轴于B )，连结QO ，则所得三角形的面积为：S △QOA =2
k （或S △QOB =
2
k ）.说明：以上结论与点在反比例函数图像上
的位置无关.
（1）如图3，在反比例函数x
y 6
-
=（x ＜0）的图象上任取一点P ，过P 点分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，那么四边形PMON 的面积为 ．
M y
N x
O
图4
（2） 反比例函数x
k
y =
的图象如图4所示，点M 是该函数图象上一点，MN ⊥x 轴，垂足为N.如果S △MON =2，这个反比例函数的解析式为______________
(3)如图5，正比例函数(0)y kx k =>与反比例函数2
y x
=的图象相交于A 、C 两点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连结BC ．则ΔABC 的面积等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．随k 的取值改变而改变． （4）如图6，A 、B 是函数2
y x
=的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ）
A ．2S =
B ．4S =
C ．24S <<
D ．4S >
（5）如图7，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数x
y x
y 2
4=-=和的图象交于点A 和点B ，若点C 是x 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的面积为 （ ） (四)一次函数与反比例函数
(1)一次函数y=﹣2x+1和反比例函数y=错误!未找到引用源。

的大致图象是（ ）
A B C D
(2)一次函数)0(≠+=k k kx y 和反比例函数)0(≠=
k x
k
y 在同一直角坐标系中的图象大致是( )
（3）一次函数y 1=k 1x+b 和反比例函数y 2= 错误!未找到引用源。

（k 1∙k 2≠0）的图象如图所示，若y 1＞
y 2，则x 的取值范围是（ ）
y
x
O
A C B
图6
图5
图7
2
k x
A 、﹣2＜x ＜0或x ＞1
B 、﹣2＜x ＜1
C 、x ＜﹣2或x ＞1
D 、x ＜﹣2或0＜x ＜ 1
（4）正比例函数2x y =
和反比例函数2
y x
=的图象有 个交点． （5）正比例函数y=k 1x(k 1≠0)和反比例函数y=2
k x
(k 2≠0)的一个交点为(m,n),则另一个交点为_________. （6）设函数y =错误!未找到引用源。

与y =x ﹣1的图象的交点坐标为（a ，B ），则错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

的值为 错误!未找到引用源。

(7)如图，Rt ΔABO 的顶点A 是双曲线k
y x
=
与直线y x m =-+•在第二象限的交点，AB 垂直x 轴于B ，且S △ABO
＝
3
2
，则反比例函数的解析式 ． (8)若反比例函数x
k
y =
与一次函数y ＝3x ＋b 都经过点(1，4)，则kb ＝________． （9）如图，已知A （4，a ），B （－2，－4）是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数 y ＝－
x
m
错误!未找到引用源。

的图象的交点． （1）求反比例函数和一次函数的解祈式； （2）求△A0B 的面积．
(10)如图,在平面直角坐标系中，直线2
k y x =+
与双曲线k
y x =在第一象限交于点A ，与x 轴交于点C ，AB ⊥x
轴，垂足为B ，且AOB S Λ＝1．求：（1）求两个函数解析式； （2）求△ABC 的面积．
（第（7）题）
（11）平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B 且与反比例函数图象分别交于C、D两点，过点C作CM⊥x轴于M，AO=6，BO=3，CM=5．求直线AB的解析式和反比例函数解析式．。