高中数学必修二 5.3简单的三角恒等变换_导学案2-湘教版
精品导学案：简单的三角恒等变换(教、学案)
精品导学案：简单的三角恒等变换【教学目标】会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、 和差化积公式（公式不要求记忆），使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。
【教学重点、难点】教学重点：引导学生以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。
【教学过程】复习引入：复习倍角公式2S α、2C α、2Tα先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α。
既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 半角公式的推导及理解 ：例1、 试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．（二倍角公式中以α代2α，2α代α） 解：因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=； 因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 两式相除可以得到222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 点评：⑴以上结果还可以表示为：sin2cos2αα==tan2α=并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2α角的象限决定。
⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。
⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。
变式训练1：求证sin tan21cos 1cos tan 2sin αααααα=+-=积化和差、和差化积公式的推导（公式不要求记忆）： 例2：求证： （１）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系。
高中数学 第三章 三角恒等变换 第二节 简单的三角恒等变换(第二课时)示范教案数学教案
第三章第二节简单的三角恒等变换第二课时 导入新课思路 1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(π4＋α)－(π4－α)，π4＋α＝π2－(π4－α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开．思路 2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，本节主要研究函数y ＝a sin x ＋b cos x 的周期、最值等性质．三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具．高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段．三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能． 推进新课新知探究提出问题①三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期，最大值和最小值是多少？②函数y ＝a sin x ＋b cos x 的变形与应用是怎样的？③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质．而且正弦函数，余弦函数的周期都是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π.三角函数的自变量的系数变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y ＝sin x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是2π，函数y ＝sin2x 的周期是k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是－1，所以这两个函数的值域都是[－1,1]．函数y ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x )， ∵(aa 2＋b 2)2＋(b a 2＋b 2)2＝1，从而可令a a 2＋b 2＝cos φ，ba 2＋b 2＝sin φ，则有a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)．因此，我们有如下结论：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题．我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系．几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法．讨论结果：①y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是－1.②～③(略)见活动．应用示例思路1例1如图1，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α＝sin αcos α－33sin 2α.求这种y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成A sin(ωx ＋φ)型的三角函数求最值．教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，可分两步进行：(1)找出S 与α之间的函数关系；(2)由得出的函数关系，求S 的最大值．解：在Rt△OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α，图1在Rt△OAD 中，DA OA ＝tan60°＝3， 所以OA ＝33DA ＝33BC ＝33sin α. 所以AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α ＝sin αcos α－33sin 2α ＝12sin2α＋36cos2α－36＝13(32sin2α＋12cos2α)－36 ＝13sin(2α＋π6)－36. 由于0<α<π3，所以当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S 最大＝13－36＝36. 因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36. 点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申即可以去掉“记∠COP ＝α”，结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD ＝x ，S ＝x (1－x 2－33x )，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识．先用二倍角公式把函数化成最简形式，然后再解决与此相关的问题．解：y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋3sin2x ＝3sin2x －cos2x＝2sin(2x －π6)． 故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；在[0，π]上单调增区间是[0，π3]，[5π6，π]． 点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.例1已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M (3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．活动：学生在解此题时，对f (x )是偶函数这一条件的运用不存在问题，而在对“f (x )的图象关于M (3π4，0)对称”这一条件的使用上，多数考生都存在一定问题．一般地，定义在R 上的函数y ＝f (x )对定义域内任意x 满足条件：f (x ＋a )＝2b －f (a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称，反之亦然．教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练．解：由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，所以－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x 都成立．又ω>0，所以，得cos φ＝0.依题设0≤φ≤π，所以，解得φ＝π2. 由f (x )的图象关于点M 对称，得f (3π4－x )＝－f (3π4＋x )． 取x ＝0，得f (3π4)＝－f (3π4)，所以f (3π4)＝0. ∵f (3π4)＝sin(3ωπ4＋π2)＝cos 3ωπ4，∴cos 3ωπ4＝0. 又ω>0，得3ωπ4＝π2＋k π，k ＝0,1,2，….∴ω＝23(2k ＋1)，k ＝0,1,2，…. 当k ＝0时，ω＝23，f (x )＝sin(23x ＋π2)在[0，π2]上是减函数； 当k ＝1时，ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋π2)在[0，π2]上是减函数； 当k ≥2时，ω≥103，f (x )＝sin(ωx ＋π2)在[0，π2]上不是单调函数．所以，综合得ω＝23或ω＝2. 点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.∴cos B 2cos C 2＝2sin B sin C ＝8sin B 2·cos B 2cos C 2sin C 2.∴sin B 2sin C 2＝18. 积化和差，得4(cos B ＋C2－cos B －C2)＝－1，若存在θ使等式cos θ－sin θ＝4(cosB ＋C 2－cos B －C 2)成立，则2cos(θ＋π4)＝－1， ∴cos(θ＋π4)＝－22.而π<θ≤2π， ∴5π4<θ＋π4≤9π4.∴这样的θ不存在． 点评：对于不确定的开放式问题，通常称之为存在性问题．处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的，再进行演绎推理，若推证出现矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，即假设成立．这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论.例2已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解：∵2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝12， ∴tan2(α－β)＝2tan α－β1－tan 2α－β＝43. 从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2α－β＋tan β1－tan2α－βtan β＝43－171＋43×17＝25212521＝1. 又∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝13<1.且0<α<π，∴0<α<π4.∴0<2α<π2. 又tan β＝－17<0，且β∈(0，π)，∴π2<β<π，－π<－β<－π2. ∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－3π4. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0，π)，则求cos α；若α∈(－π2，π2)，则求sin α等．知能训练课本本节练习4.解答：4.(1)y ＝12sin4x .最小正周期为π2，递增区间为[－π8＋k π2，π8＋k π2](k ∈Z )，最大值为12； (2)y ＝cos x ＋2.最小正周期为2π，递增区间为[π＋2k π，2π＋2k π](k ∈Z )，最大值为3；(3)y ＝2sin(4x ＋π3)．最小正周期为π2，递增区间为[－5π24＋k π2，π24＋k π2](k ∈Z )，最大值为2. 课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形，把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的，充分体现出“活”的数学．作业课本复习参考题A 组11、12.设计感想1．本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形，把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的．在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤．但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价．因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质．2．在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练．其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图．第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握．3．今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主．和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号．另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点．对三角函数综合应用的考查，估计仍然以三角与数列、不等式、平面向量、解析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题型主要是选择题、填空题，也可能以解答题形式出现，难度不会太大．应注意新情景立意下的三角综合应用也是考试的热点．备课资料一、三角函数的综合问题三角函数是中学学习的重要的基本初等函数之一，近年来，高考每年都要考查三角函数的图象和性质的基础知识．在综合题中，也常常会涉及三角函数的基础知识的应用．因此，对本单元的学习要落实在基础知识、基本技能和基本方法的前提下，还应注意与其他部分知识的综合运用．三角函数同其他函数一样，具有奇偶性、单调性、最值等问题，我们还要研究三角函数的周期性、图象及图象的变化，有关三角函数的求值、化简、证明等问题．应熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据，研究解析式为三角式的函数的性质，掌握判断周期性，确定单调区间的方法，能准确认识三角函数的图象，会做简图、对图象进行变化．二、备用习题1.sin10°＋sin20°cos10°＋cos20°的值是( ) A ．tan10°＋tan20° B.33C ．tan5°D ．2－3 答案：D2．若α－β＝π4，则sin αsin β的最大值是( ) A.2－24 B.2＋24C.34D ．1 答案：B3．若cos αsin x ＝12，则函数y ＝sin αcos x 的值域是( ) A ．[－32，12] B ．[－12，12]C ．[－12，32] D ．[－1,1] 答案：B4．log 2(1＋tan19°)＋log 2(1＋tan26°)＝________. 答案：15．已知函数f (x )＝cos2x cos(π3－2x )，求f (x )的单调递减区间、最小正周期及最大值．答案：解：f (x )＝12[cos π3＋cos(4x －π3)]＝12cos(4x －π3)＋14，由2k π≤4x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得原函数的单调递减区间是[k π2＋π12，k π2＋π3](k ∈Z )，T ＝π2，最大值是34. 6．已知sin A ＝－35，cos B ＝－941，A ∈(3π2，2π)，B ∈(π，3π2)，求sin(2A －B 2)的值，并判定2A －B 2所在的象限． 答案：解：cos A ＝45，sin2A ＝－2425，cos2A ＝1－2sin 2A ＝725， ∵B ∈(π，3π2)， ∴B 2∈(π2，3π4)． ∴sin B 2＝541，cos B 2＝－441.∴sin(2A －B 2)＝sin2A cos B 2－cos2A sin B 2＝61411 025. 又cos(2A －B 2)＝cos2A cos B 2＋sin2A sin B 2<0， ∴2A －B2是第二象限角． 7．已知f (0)＝a ，f (π2)＝b ，解函数方程：f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·cos y .答案：解：分别取⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝t ，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2＋t ，y ＝π2，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2，y ＝π2＋t ，代入方程，得错误! ①＋②－③，得2f (t )＝2f (0)cos t ＋2f (π2)sin t . ∵f (0)＝a ，f (π2)＝b ， ∴f (x )＝a cos x ＋b sin x .。
湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第2章 三角恒等变换 2.1.2 两角和与差的正弦公式
(1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.
(2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
变式训练 2 已知锐角 α,β 满足 cos
2√5
3
α= ,sin(α-β)=- ,求
5
5
sin β 的值.
解 因为 α,β 是锐角,
即
π
π
0<α< ,0<β< ,
2
2
规律方法
公式的巧妙运用
①顺用:如本题中的(1).②逆用:如本题中的(2).③变用:涉及两个方面,一个
是公式本身的变用,如cos(α+β)+sin αsin β=cos αcos β;一个是角的变用,也
称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等.从某种意义上来说,是
一种整体思想的体现,如cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=cos α.
3√10
β= 10 .
∵sin α<sin β,
π
π
∴0<α<β< .∴- <α-β<0.
2
2
√5
∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β= 5 ×
π
∴α-β=- .
4
√10
2√5 3√10 √2
− 5 × 10 =- 2 .
10
√2
A. 2
√2
B.- 2
C.2
D.-2
√3
解析 原式=2√2( sin
2
1
高中数学 53简单的三角恒等变换课后训练 湘教版必修2
高中数学 53简单的三角恒等变换课后训练 湘教版必修2双基达标 (限时20分钟)1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为 ( )．A.1925B.1625C.1425D.725解析 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2×925＝725.答案 D2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为()． A ．2π，x ＝π6 B ．2π，x ＝π12C ．π，x ＝π6D ．π，x ＝π12解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故选D.答案 D3．在△ABC 中，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 是 ( )．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形解析 由sin C ＝2cos A sin B 得，sin(A ＋B )＝2cos A sin B ，sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0，得到A ＝B .故选C.答案 C4．函数y ＝cos x ＋cos x ＋π3的最大值是________．解析 ∵y ＝2cos x ＋π6cos π6＝3cos x ＋π6，∴y max ＝ 3.答案 35．函数y ＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期是________．解析 ∵y ＝sin 4x ＋(1－sin 2x )＝sin 2x (sin 2x －1)＋1∴y ＝1－sin 2x cos 2x ＝1－14sin 22x＝1－14×1－cos 4x 2＝18cos 4x ＋78，∴T ＝2π4＝π2.答案 π26．已知函数f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋b (a ＞0)的定义域为0，π2，值域为[－5，4]，求常数a ，b 的值．解 f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋b＝2a ·1－cos 2x 2－3a sin 2x ＋b＝－(3a sin 2x ＋a cos 2x )＋a ＋b .＝－2a sin2x ＋π6＋a ＋b∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤76π.∴－12≤sin2x ＋π6≤1.∵a ＞0，∴f (x )max ＝2a ＋b ＝4，f (x )min ＝b －a ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝4，b －a ＝－5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.综合提高 (限时25分钟)7．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是 ( )．A ．－π，－5π6B ．－5π6，－π6C ．－π3，0D ．－π6，0解析 f (x )＝2sin x －π3，f (x )的单调递增区间为2k π－π6，2k π＋56π(k ∈Z )，令k ＝0得增区间为－π6，56π，又x ∈[－π，0]，所以所求区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0.答案 D8．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)sin(α－β)＝ ( )．A ．－mB ．mC ．－m 2 D.m 2解析 cos 2α－cos 2β＝12(cos 2α－cos 2β)＝－sin(α＋β)sin(α－β)＝m ，∴sin(α＋β)sin(α－β)＝－m .答案 A9．已知1＋cos αsin α＝2，则cos α－sin α的值为________．解析 由已知2cos 2α22sin α2cos α2＝2，即cos α2sin α2＝2， ∴tan α2＝12.∴cos α－sin α＝cos 2α2－sin 2α2－2sin α2cos α2＝cos 2α2－sin 2α2－2sin α2cos α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α2－2tan α21＋tan 2α2＝1－14－2×121＋14＝－15.答案 －1510．和差化积：1＋sin θ＋cos θ＝________．解析 1＋sin θ＋cos θ＝(1＋cos θ)＋sin θ＝2cos 2θ2＋2sin θ2·cos θ2＝2cos θ2cos θ2＋sin θ2＝2cos θ2sin π2－θ2＋sin θ2＝4cos θ2·sin π4·cos π4－θ2＝22cos θ2·cos π4－θ2. 答案 22cos θ2cos π4－θ211．设f (x )＝6cos 2 x －3sin 2x .(1)求f (x )的最大值及最小正周期；(2)若锐角α满足f (α)＝3－23，求tan 45α的值． 解 (1)f (x )＝6·1＋cos 2x 2－3sin 2x ＝3cos 2x －3sin 2x ＋3 ＝23⎝⎛⎭⎫32cos 2x －12sin 2x ＋3 ＝23cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋3. 故f (x )的最大值为23＋3，最小正周期为π.(2)由f (α)＝3－23，∴23cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＋3＝3－23， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝－1， 又∵0<α<π2， ∴π6<2α＋π6<π＋π6， ∴2α＋π6＝π，解得α＝512π， 从而tan 4α5＝tan π3＝ 3. 12．(创新拓展)已知A ，B ，C 是△ABC 的三内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A )且m ·n ＝1(1)求角A ；(2)若1＋sin 2B cos 2B －sin 2B＝－3，求tan C . 解 (1)∵m·n ＝1，∴(－1，3)·(cos A ，sin A )＝1，即3sin A －cos A ＝1，2⎝⎛⎭⎫sin A ·32－cos A ·12＝1，sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. ∵0＜A ＜π，－π6＜A －π6＜5π6，∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.(2)由题知1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B ＝－3，整理得sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0， ∴cos B ≠0，∴tan 2 B －tan B －2＝0，∴tan B ＝2或tan B ＝－1.而tan B ＝－1使cos 2 B －sin 2 B ＝0，应舍去．∴tan B ＝2， 故tan C ＝tan [π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－2＋31－23＝8＋5311.。
湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 分层作业 第2章 三角恒等变换 习题课 三角恒等变换的应用
=·
=-1.
cos20°
cos70° cos20°
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
3sin20°-cos20°
10°· cos20°
14.已知函数 f(x)=4tan xsin
π
-
2
π
cos(x- )3
3.
(1)求 f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论 f(x)在区间
π π
π
π
π
1
π
[2-(4-α)]·cos(4-α)=sin(4-α)cos(4-α)=2sin(2-
2α)
1
= cos
2
1
1
2
2α= (1-2sin α)=
2
2
1-2 ×
1
9
=
7
,故选
18
A.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7.已知函数 f(x)=sin2x+2 3sin xcos x-cos2x,x∈R,则( D )
tan 26°,c=
1-cos50°
=sin
2
所以 a>c;在区间
π
0, 2
A )
2tan13°
26°,b=
=
2
1+tan 13°
25°,且正弦函数 y=sin x 在区间
π
0,
2
上单调递增,
上 tan α>sin α,所以 b>a,所以 c<a<b,故选 A.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
导学案简单的三角恒等交换
见高考调研
三、重点、难点
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。
四、导学流程
四、课堂小结：
求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型，其解题一般思路为“五遇六想”即：遇切割，想化弦；遇多元，想消元，引辅角。“五遇六想”作为解题经验的总结和概括，操作简便，十分有效。其中蕴含了一个变换思想（找差异，抓联系，促进转化），两种数学思想（转化思想和方程思想）；三个追求目标（化为特殊角的三角函数值，使之出现相消项或相约项），三种变换方法（切割化弦法，消元降次法，辅助元素法）。
导学案使用日期：5.28
课题名称
《简单的三角恒等变换》
年级
高二年级
学科
数学
课型
复习课
课时
1课时
主编教师
马季红
编号
一、课程标准、考纲要求
灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换
二、学习目标
1、掌握二倍角的正弦、余弦、式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。
湘教版高中数学《2.3简单的三角恒等变换(2)》教学设计
《2.3简单的三角恒等变换（2）》教学设计一、课程标准在两角和差的余弦公式基础上，进一步学习和差化积与积化和差公式及三角恒等变形的综合运用.二、教学目标1、了解和差化积与积化和差公式的推导过程；2、理解和差化积与积化和差公式，并会简单应用.三、重点重点：对积化和差与和差化积公式的理解与掌握，并运用于三角函数的化简与求值.四、教学难点：对积化和差与和差化积公式的的发现和推导过程的理解.五、教学过程（一）创设情境，引入新课回忆用向量方法推导两角差的余弦公式的思想方法，然后给出教材P.85图2.3-1，并提出下面的问题：你能用两种方法表示平行四边形OACB 的对角线OC 所对应的向量OC 吗？（二）自主学习，熟悉概念1.要求：学生阅读P85-872.思考：积化和差与和差化积公式的内容是什么？（三）检验自学，强化概念1.推导积化和差与和差化积公式：2. 和化积公式cos cos 2cos cos 22αβαβαβ-++=，sin sin 2cos sin 22αβαβαβ-++=，3. 积化和差公式1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--,1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--. 4.例题讲解例1.求证：（1）1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-（2）1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--设计意图：熟悉和差角的余弦公式，利用公式证明所求。
例2．在△ABC 中，求证：在ABC中，求证：+=--A B C A B Ccos2+cos2cos24cos cos cos1设计意图：引导学生灵活应用和角角公式进行证明. (三)课堂练习及检测P87 1,2,3(四)归纳小结1.和差化积公式.2.积化和差公式（五）作业1.习题2.3 1,2,32.预习后半部分六、教学反思（酌情写一些）七、板书设计。
湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第2章 三角恒等变换 2.1.1 两角和与差的余弦公式
因为
π
α∈(-2,0),所以
π
cos(α- )=cos
4
17 √2
C.
26
sin
π
αcos +sin
4
D )
7√2
D.
26
5
α=-13.
π
αsin
4
=
12 √2
5
√2
× +(- )×
13
2
13
2
=
7√2
.
26
1 2 3 4 5
4.已知 α 是锐角,sin
解析
2
α= ,则
3
因为 α 是锐角,sin
所以 cos
5
2
5
β=- ,β
13
cos α=-
1-sin2 =-
是第三象限角,得 sin β=-
所以 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin
4 2 3
1-( ) =- .
5
5
1-cos 2 =-
5 2 12
1-(- ) =- .
13
13
3
5
4
12
33
β=(-5)×(-13)+5×(-13)=-65.
√6-√2
4
.
规律方法
两角和与差的余弦公式常见题型及解法
公式C(α±β)是三角恒等式,既可正用,也可逆用,一定要注意公式的结构特征,
灵活变换角或名称,同时在利用两角和与差的余弦公式求某些角的三角函
数值时,关键在于把待求的角转化成已知角或特殊角(如
30°,45°,60°,90°,120°,150°,…)之间和与差的关系问题,然后利用公式化简求
《简单的三角恒等变换》 导学案
《简单的三角恒等变换》导学案一、学习目标1、能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换。
2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能进行简单的应用。
3、通过三角恒等变换，培养逻辑推理和数学运算能力。
二、重点难点1、重点（1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用。
（2）二倍角公式的应用。
2、难点（1）灵活运用三角公式进行恒等变换。
（2）三角恒等变换在解决实际问题中的应用。
三、知识回顾1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）（2）＼（＼sin(＼alpha ＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＼cos\alpha\sin\beta\）（3）＼（＼cos(＼alpha ＋＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＼sin\alpha\sin\beta\）（4）＼（＼cos(＼alpha ＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＋＼sin\alpha\sin\beta\）（5）＼（＼tan(＼alpha ＋＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＋＼tan\beta}｛1 ＼tan\alpha\tan\beta}＼）（6）＼（＼tan(＼alpha ＼beta) ＝＼frac{＼tan\alpha ＼tan\beta}｛1 ＋＼tan\alpha\tan\beta}＼）2、二倍角公式（1）＼（＼sin 2\alpha ＝ 2\sin\alpha\cos\alpha\）（2）＼（＼cos 2\alpha ＝＼cos^2\alpha ＼sin^2\alpha ＝2\cos^2\alpha 1 ＝ 1 2\sin^2\alpha\）（3）＼（＼tan 2\alpha ＝＼frac{2\tan\alpha}｛1 ＼tan^2\alpha}＼）四、新课导入在数学中，三角恒等变换是解决三角函数问题的重要工具。
高中数学 5.3简单的三角恒等变换教案 湘教版必修2
3.2 简单的三角恒等变换
（－）教学目标
1 知识目标：会推导半角的正弦，余弦和正切并会用半角公式进行证明，求值和化简
2 能力目标：会灵活运用公式进行推导变形
3 情感目标灵活运用公式化繁为简
（二）教学重点，难点
重点半角公式的推导方法和结构特征及应用公式求值，化简，证明
难点是用公式求值
（三）教学方法
引导学生复习二倍角公式，按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角公式，课堂上在老师引导下，以学生为主体，分析公式的结构特征，会根据公式特点得出公式的应用，用公式来进行化简证明和求值，老师为学生创设问题情景，鼓励学生积极探究。
反思：
重视新旧知识的联系，新知识在旧知识基础上形成并得到引申和发展，形成新知识的同时提升了学生的能力。
在教学过程中，注重培养学生的观察能力，分析问题及解决问题的能力，及分情况讨论的思想，和化归的思想使学生的数学素养的到提高。
数学：5.3《简单的三角恒等变换》学案(湘教版二)
5。
6简单三角恒等变换(2)一、学习目标:能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值．能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式证明． 二、自主学习： 【课前检测】1．已知3sin 5m m θ-=+，42cos 5m m θ-=+（2πθπ<<），则tan θ=（ C ）()A 423mm --()B 342m m -±- ()C 512- ()D 34-或512-略解：由22342()()155m m m m --+=++得8m =或0m =（舍），∴5sin 13θ=，∴5tan 12θ=-．2．已知1cos(75)3α+=,α是第三象限角，求cos(15)sin(15)αα-+-的值为 ．解：∵α是第三象限角,∴36025575360345k k α⋅+<+<⋅+（k Z ∈），∵1cos(75)3α+=,∴75α+是第四象限角，∴sin(75)α+==∴原式221cos(15)sin(15)sin(75)cos(75)3αααα+=---=+-+=-． 3．1sin 4cos 41sin 4cos 4αααα++=+- （ B ）()A cot α()B cot 2α()C tan α()D tan 2a4．已知()f x =53(,)42ππα∈时，式子(sin 2)(sin 2)f f αα--可化简（D ）()A 2sin α()B 2cos α-()C 2sin α-()D 2cos α5．222cos 12tan()sin ()44αππαα-=-+ 1 ．【考点梳理】1。
三角函数求值问题一般有三种基本类型: (1）给角求值,即在不查表的前提下，求三角函数式的值；（2)给值求值，即给出一些三角函数,而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值；（3）给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角．2．三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形（或结合给定条件而进行的恒等变形），使最后所得到的结果中：①所含函数和角的名类或种类最少;②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少；④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．3．三角恒等式的证明要求:利用已知三角公式通过恒等变形（或结合给定条件运用三角公式），论证所给等式左、右相等，要求过程清晰、步骤完整． 三、合作探究： 例1．已知2sin sin 1θθ+=,求243cos cos 2sin 1θθθ+-+的值．解：由题意，22sin 1sincos θθθ=-=，∴原式223sin sin2sin 1sin 1cos 1sin sin 22θθθθθθθ=+-+=+-+=-+=．例2．已知8cos(2)5cos 0αββ++=，求tan()tan αβα+⋅的值． 解：∵2()αβαβα+=++，()βαβα=+-， ∴8cos[()]5cos[()]0a αβααβ++++-=，得13cos()cos 3sin()sin αβααβα+=+，若cos()cos 0αβα+≠，则13tan()tan 3αβα+⋅=，若cos()cos 0αβα+=，tan()tan αβα+⋅无意义．说明：角的和、差、倍、半具有相对性，如()()βαβαβαα=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()αβαβα+=++等，解题过程中应充分利用这种变形．例3．已知关于x的方程221)0x x m -+=的两根为sin ,cos ,(0,2)θθθπ∈，求：（1）sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值；（2)m 的值；（3）方程的两根及此时θ的值．解：（1）由根与系数的关系，得sin cos sin cos 2m θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩,∴原式2222sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos θθθθθθθθθθθθ-=+==+=---． （2）由①平方得：12sin cos θθ+⋅=，sin cos θθ⋅=即2m =，故m =．（3）当221)0xx -+=，解得1212x x ==，∴sin 21cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1sin 2cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∵(0,2)x π∈，∴3πθ=或6π．例4．证明:（1）222(3cos 4)tancot 1cos 4x x x x++=-；（2）sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B AA+-+=．证：（1）左边22442222222222sin cos sin cos (sin cos )2sin cos 1cos sin sin cos sin 24x x x x x x x xx x x x x ++-=+==22222111sin 21sin 284sin 244cos 222111cos 41cos 4sin 2(1cos 4)48x xx x x x x x ---+====---42(1cos 4)2(3cos 4)1cos 41cos 4x x x x+++===--右边，∴得证．说明：由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”，必定要“切化弦”；若“从右证到左”，必定要用倍角公式． （2)左边sin[()]2cos()sin sin A B B A B A A++-+=① ②sin()cos cos()sin sin A B A A B A A+-+=sin[()]sin sin sin A B A B A A+-===右边，∴得证．四、课堂总结：1。
湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第2章 三角恒等变换 本章总结提升
1
1
+ 2 cos2
2
=
2
=
2
cos =|cos |=-cos .故选
2
1
1
+ 2 cos
2
2
1
2
1
+ cos2的结果为(
2
C.cos
1
1
+2
2
=
2
+
1
2
<π.
2
1
1
+ 2 |cos|
2
=
1
2
D.
cos2
2
D.-cos
2
D)
变式训练 3 求证:
1+sin -cos -2sin cos
2
故
π
f( )=2sin
6
0=0.
2
π
2x=2sin(2x-3),
(2)由题可得最小正周期 T=π.
π
π
令-2+2kπ≤2x-3
≤
π
+2kπ,k∈Z,
2
π
5π
解得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,故
12
12
π
5π
f(x)的单调递增区间为[- +kπ, +kπ],k∈Z.
12
12
规律方法 1.公式形式:公式 asin α+bcos α= 2 + 2 sin(α+φ)[或 asin α+bcos
2
2
- 2
解 易知 α+β=2
高二数学简单的三角恒等变换教案(通用11篇)
高二数学简单的三角恒等变换教案（通用11篇）高二数学简单的三角恒等变换教案 1教学目标1、理解并掌握基本的三角恒等式，如和差化积、积化和差公式。
2、能够运用三角恒等式进行简单的三角恒等变换。
3、培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
教学重点1、三角恒等式的理解和记忆。
2、三角恒等变换的方法和步骤。
教学难点三角恒等式的灵活运用和复杂三角表达式的化简。
教学准备1、多媒体课件，包含三角恒等式、例题和练习题。
2、黑板和粉笔。
教学过程一、导入新课复习上节课内容，回顾三角函数的定义和性质。
提出问题：如何利用已知的三角函数公式推导出新的三角恒等式？二、新课讲解1、讲解三角恒等式的基本概念，介绍和差化积、积化和差等公式。
2、通过实例演示如何使用三角恒等式进行三角恒等变换。
3、引导学生总结三角恒等变换的.一般方法和步骤。
三、课堂练习布置一些简单的三角恒等变换练习题，让学生尝试运用所学知识解决问题。
教师巡视指导，及时纠正学生的错误，并给予适当的提示和帮助。
四、巩固提升分析一些较复杂的三角恒等变换问题，引导学生思考如何灵活运用三角恒等式进行化简。
鼓励学生相互讨论，分享解题思路和方法。
五、课堂小结总结本节课的重点内容，强调三角恒等变换的重要性和应用价值。
布置课后作业，要求学生完成一些三角恒等变换的练习题，以巩固所学知识。
教学反思本节课通过实例演示和课堂练习，使学生初步掌握了三角恒等变换的基本方法和步骤。
但在处理较复杂问题时，部分学生仍显得不够熟练，需要进一步加强练习和指导。
在今后的教学中，可以设计更多具有针对性的练习题，帮助学生巩固和提高三角恒等变换的能力。
同时，也要注重培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
高二数学简单的三角恒等变换教案 2理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括正弦、余弦、正切的和差公式，二倍角公式，半角公式等。
能够运用三角恒等变换解决一些简单的三角函数化简、求值及证明问题，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
《简单的三角恒等变换》教案与导学案
《简单的三角恒等变换》教案与导学案导学案（简单的三角恒等变换）一、知识导入1.请同学们回忆一下三角函数的定义及其在单位圆中的几何意义。
2.提问：在任意角A上可以建立正弦、余弦、正切的函数关系。
那么这些函数关系是否有规律可循呢？二、概念引入1.引入三角恒等变换的概念，即正弦、余弦、正切之间存在一些特定关系，这些关系称为三角恒等变换。
三、常见的三角恒等变换公式1.正弦函数的恒等变换：(1) 正弦函数的余角关系：sin(π/2 - A) = cosA(2) 正弦函数的余弦关系：sinA = cos(π/2 - A)(3) 正弦函数的补角关系：sin(π - A) = sinA(4) 正弦函数的周期性关系：sin(A + 2πn) = sinA，其中n为整数2.余弦函数的恒等变换：(1) 余弦函数的余角关系：cos(π/2 - A) = sinA(2) 余弦函数的正弦关系：cosA = sin(π/2 - A)(3) 余弦函数的补角关系：cos(π - A) = -cosA(4) 余弦函数的周期性关系：cos(A + 2πn) = cosA，其中n为整数3.正切函数的恒等变换：(1) 正切函数的余角关系：tan(π/2 - A) = 1/tanA(2) 正切函数的倒数关系：tanA = 1/tan(π/2 - A)(3) 正切函数的补角关系：tan(π - A) = -tanA(4) 正切函数的周期性关系：tan(A + πn) = tanA，其中n为整数四、常见的三角恒等变换推导1.根据角和差公式，推导正弦、余弦函数的恒等变换公式。
2.根据正切函数的定义，推导正切函数的恒等变换公式。
五、例题解析1. 求证：sinA + cosA = 1解析：根据余弦函数的余角关系cos(π/2 - A) = sinA，原式可写为sinA + cos(π/2 - A) = 1、因此，根据三角恒等变换公式，原式成立。
2. 求证：1 + tan^2A = sec^2A解析：根据正切函数的余角关系tan(π/2 - A) = 1/tanA，原式可写为 1/tan^2A + 1 = 1/cos^2A。
数学新同步湘教版必修2第5章5.3简单的三角恒等变换
5．3 简单的三角恒等变换积化和差与和差化积1．我们已学过两角和与差的正弦、余弦公式，那么＋＋S－，S＋－S－，C＋S(αβ)(αβ)(αβ)(αβ)(αβ)＋C(α－β)，C(α＋β)－C(α－β)会得到怎样的结论？2．将问题(1)中得到的结论中α＋β，α－β看作一个整体，又会得到什么样的结论？积化和差公式与和差化积公式(公式不要求记忆)积化和差公式和差化积公式1α＋βα－βsinαcosβ＝2[sin(α＋β)＋sin(α－β)]sinα＋sinβ＝2sin2cos2 1α＋βα－βcosαsinβ＝2[sin(α＋β)－sin(α－β)]sinα－sinβ＝2cos2sin21α＋βα－βcosαcosβ＝2[cos(α＋β)＋cos(α－β)]cosα＋cosβ＝2cos2cos2 1α＋βα－βsinαsinβ＝－2[cos(α＋β)－cos(α－β)]cosα－cosβ＝－2sin2sin21．将cos2x＋cos3x化成积的形式为________．5x x[提示]2cos2cos22．将sinxcos2x化成和差的形式为________．[提示]12(sin3x－sinx)辅助角公式辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋θ)其中tanθ＝b a.利用辅助角公式写出以下式子的化简结果．(1)sinx ＋ cosx ；(2)sinx －cosx ；(3) 3sinx ＋cosx ；(4) 3sinx －cosx ；(5)sinx ＋3cosx ；(6)sinx －3cosx.π[提示](1)sinx ＋cosx ＝ 2sinx ＋4.π(2)sinx －cosx ＝ 2sinx －4. π (3) 3sinx ＋cosx ＝2sinx ＋6. π (4) 3sinx －cosx ＝2sinx －6. π(5)sinx ＋ 3cosx ＝2sinx ＋3.π(6)sinx － 3cosx ＝2sinx －3.三角函数式的化简1＋cos θ＋sin θ1－cos θ＋sin θ[例1]化简＋.1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ[思路点拨]利用倍角公式，化去分子、分母中的常数项“1〞．2θ θ θ 2θ θ θ2cos＋2sincos2sin＋2sincos[边听边记]原式＝222＋22 2θθθθθθ2sin2＋2sincos2cos 2＋2sincos2 2 2 2 2 2θ θ θ θ θ θ2cos 2cos 2＋sin2 2sin 2 sin 2＋cos 2＝ θ θ θ＋ θ θ θ2sin sin ＋cos2cos cos ＋sin22 2222θθ2θ2θcossincos＋sin＝2＋2＝22θθθθsin 2 cos 2sin 2cos 2＝ 1 ＝2.1sin θ2sin θ化简的原那么是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求借题值的尽量求值．根据这些原那么，先观察待化简式的结构，合理选择公式化简，此题发挥的关键是去掉常数项 “1〞.3－4cos2A ＋cos4A 1．化简：.3＋4cos2A ＋cos4A2 3－4cos2A ＋2cos2A －1解：原式＝23＋4cos2A ＋2cos2A －121－2cos2A ＋cos2A＝21－cos2A 2＝1＋cos2A (tan 2A)2tan 4A.积化和差与和差化积的应用5sinx21[例2] 求函数f(x)＝－的值域．x22sin 2[思路点拨]5x－sin x和差化积．(1)先通分，将sin 22再积化和差得函数． 在定义域内求值域．5xx 3x3x [边听边记]f(x)＝ sin 2－sin 2 sin 2 ＋x －sin 2－x＝xx2sin 22sin 23x2cos 2sinx 3x x 3x x3x －x＝ ＝2cos 2 cos ＝cos ＋2＋cos 2x2 22 1 2sin 2cos2x ＋cosx ＝2cos 2x ＋cosx －129∵ 2cosx ＋4－8.sin x ≠0，∴x≠k π，即x ≠2k π(k ∈Z)．22∴－1≤cosx<1.当cosx ＝－1时，f(x)min ＝－9，48当cosx 趋于1时，f(x)趋于2.故函数f(x)的值域是－98，2.通过和差化积、积化和差等三角变换，改变函数式结构，并最终使函数解析式中只借题含一个三角函数符号，是上述变换过程的根本内容，一般对同名异角三角函数的和发挥或差可考虑和差化积；对异角正、余弦函数的积，可考虑积化和差.2．求函数f(x)＝(tan3x－tanx)(sin2x－sin4x)的值域．sin3x sinx解：f(x)＝cos3x－cosx(sin2x－sin4x)sin3xcosx－cos3xsinx＝(sin2x－sin4x)cos3xcosxsin2xcos3xcosx[sin(3x－x)－sin(3x＋x)]sin2xcos3xcosx(－2cos3xsinx)2sinxcosx2cos3xcosx(－2cos3xsinx)＝－4sinx＝－2(1－cos2x)＝2cos2x－2.3x≠kπ＋πcos3x≠0，，2由得(k∈Z)cosx≠0πx≠kπ＋2.2k＋1∴x≠π，62k＋1从而2x≠π(k∈Z)，31∴cos2x≠－1且cos2x≠2.故f(x)的值域是(－4，－1)∪(－1,0]．辅助角公式的应用1[例3]函数f(x)＝sinx－3cosx，x∈R.求f(x)的周期与值域；求f(x)的单调递增区间．[思路点拨] (1)将sinx－3cosx化简成a2＋b2·sin(x＋φ)的形式；根据y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质可求问题．[边听边记]∵f(x)＝sinx－3cosx3＝22sinx－2cosx＝2ππsinxcos－cosxsin33π＝2sinx－3(1)T＝2π，f(x)的值域为[－2,2]．πππ(2)由2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z.232π5π得x∈2kπ－6，2kπ＋6，k∈Z.即f(x)的单调递增区间为2kπ－π5π，k∈Z.，2kπ＋66借对于辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)中要注意两点：题(1)sinφ＝b2，cosφ＝a2，其中φ所在象限由(a，b)决定．发22a＋b a＋b挥(2)asinα＋bcosα中的角必须为同角α，否那么不成立.3．求f(x)＝3sinx＋cosx的最大值、最小值．π解：f(x)＝2sinx＋6，∴f(x)max＝2，f(x)min＝－2.1．函数y＝2cos2x的一个单调递增区间是()ππA.－，4 4π3πC.4，4解析：y＝2cos2x＝cos2x＋1，令2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，π∴kπ－2≤x≤kπ，k∈Z，π当k＝1时，≤x≤π.2答案：Dπ2．假设α－β＝4，那么sinαsinβ的最大值是πB．0，2πD．，π2()A.2－2B．2＋2 443C.4D ．1解析：由题意知，sin αsin β＝－11π π[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝－cos2β＋4－cos224＝－1cos2β＋π＋ 2，故其最大值为2＋2 .2 4 44答案：Bπsin π化为和差的形式是( )3．sin ＋α＋β441A.2[sin(α＋β)－cos(α－β)]1B ．－2[cos(α＋β)－cos(α－β)]1C ．－2[sin(α＋β)＋sin(α－β)]1D.2[sin(α＋β)＋cos(α－β)]解析：原式＝－1 π π ππ 1cos π cos ＋α＋＋β－cos＋α－－β＝－2 ＋α＋β－cos α－β244442＝－1 1[－sin(α＋β)－cos(α－β)]＝[sin(α＋β)＋cos(α－β)]．22答案：D4．函数f(x)＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．解析：f(x)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φsin(x ＋φ－φ)＝sinx ，因为x ∈R ，所以f(x)的最大值为 1.答案：115．设f(sin α＋cos α)＝sin2α，那么f 5的值为________．解析：令sin α＋cos α＝15，等式两边平方得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin2α＝1，2524124∴sin2α＝－25，∴f5 ＝－ 25.答案：－24252x6．函数f(x)＝sinx －23sin 2.(1) 求f(x)的最小正周期；2π(2)求f(x)在区间 0，3 上的最小值． 解：(1)因为f(x)＝sinx ＋ 3cosx － 3＝2sinx ＋π 3，－3所以f(x)的最小正周期为2π.2πππ(2)因为0≤x ≤3 ，所以 3≤x ＋ 3≤π.π2π当x ＋＝π，即x ＝时，f(x)取得最小值．33所以f(x)在区间，2π上的最小值为f 2π＝－3.33三角恒等变换有一种策略，即“化异为同〞，应用过程是首先观察不同之处，然后寻找化同的方法与途径，大家考虑一下，如何用“化异为同〞的方法策略解答下面这个题目：sin(x ＋20°)＝cos(x ＋10°)＋cos(x －10°)，求tanx 的值．先将式左右两边展开可得tanx ＝ 2cos10－°sin20 °cos20 ° ，再观察表达式：2cos10－°sin20°cos20°，这cos20°，分母是非特殊角的函数值cos20°，显然分子式中最好能出现样可以将分母中的 cos20°约去；分子2cos10°－sin20°是一个差式，由于有一个系数“2〞，而不能直接使用和差化积公式，(因为在和差化积公式cos α±cos β，sin α±sin β中，有特征：①同名三角函数的和与差；②两三角函数值前的系数的绝对值相等 )于是化常数2＝1＋1，所以有：2cos10－°sin20°cos10＋°cos10－°sin20°cos10＋°cos10－°cos70°cos20° ＝ cos20°＝cos20°cos10＋°2sin40sin °30 °cos10＋°cos50°2cos30cos °20°＝cos20°＝cos20°＝cos20°＝2cos30°＝3，即tanx ＝3.将2cos10－°sin20 °°转化为sin80 ，°再将80°向20°转化就有80°＝60°＋20°，cos20 °中的cos10所以tanx ＝2sin80－°sin20°cos20°2sin60°＋20°－sin20°cos20°＝2sin 60 cos ° 20 ＋°2cos60sin °20－°sin20°cos20°2sin 60 cos ° 20 °＝cos20 ° ＝2sin60°＝3.一、选择题1．tan10tan °20＋°3(tan10＋°tan20)°等于()3 B ．1A.3C.3D ．6解析：原式＝tan10°tan20°＋ 3tan30°(1－tan10°·tan20°)＝1.答案：B2．设α，β均为锐角，且 cos(α＋β)＝sin(α－ β)，那么tan α的值为()A ．2B ． 33C ．1D ．3解析：由，得 cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(cos β＋sin β)．∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0， ∴sin α＝cos α，即tan α＝1.答案：C3．在△ABC 中，B ＝ πA ＋tan C ＋ 3tan A C的值是() ，那么tan 2 2 2 tan 23 A ．±3B ．－33C.3D ．3π2π解析：∵A ＋B ＋C ＝π，B ＝，∴A ＋C ＝，33tan A＋tan C＋3tan A tan C2222＝tan A ＋ CAC3tan AC2 2 ·1－tan 2tan 2 ＋ 2tan 23.答案：C4．假设tan α＋1 ＝10，α∈ ππ ，那么sin 2α＋ π， 的值为()tan α 3 424A ．－2 B ． 210 105 27 2 C.10D ． 10解析：由tan α＋1 ＝10，得(tan α－3)(3tan α－1)＝0.tan α31解得tan α＝3或tan α＝3.∵α∈ππ，∴tan α>1，∴tan α＝3，，24∴sin α＋π＝ 2sin2α＋cos2α2 4 2· 1＝ 22sin αcos α＋cos 2α－sin 2α2·cos 2α＋sin 2α＝ 2 2tan α＋1－tan 2α 2·1＋tan 2α＝2×2×3＋1－9＝－221＋910.答案：A二、填空题5．假设3sin β＝sin(2α＋β)，那么tan α＋β＝________.tan α 解析：∵3sin β＝sin(2α＋β)，3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)·sin α，即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.等式两边同除以 cos(α＋β)cos α，得tan(α＋β)＝2tan α，tan α＋β＝2.tan α答案：26．sinα＋ π4 3 π＋sin α＝－ 5 ，－ 2<α<0，那么cos α＝________.3 解析：∵sin α＋ π ＋sin α＝－4 3，－ π 3 5 2 <α<0，∴sin α＋π π π 33cos α 3 ＋sin α＝sin αcos ＋cos αsin ＋sin α＝sin α＋2332＝3sin α＋π＝－43，∴sinα＋π＝－4.6 56 5ππ3∵－2<α<0，∴cos α＋6 ＝5，ππ π π π π故cos α＝cos α＋－ ＝cos α＋cos ＋sin α＋6sin66 666334133－4＝ 5×2＋－5×2＝10. 答案：33－410三、解答题π4 7．函数 f(x)＝sin3x ＋4.求f(x)的单调递增区间；π(2) 假设α是第二象限角，f 3＝5cos α＋4cos2α，求cos α－sin α的值．α解：(1)∵函数y ＝sinx 的单调递增区间为[π π ]－＋2k π，＋2k π，k ∈Z ，πππ∴－＋2k π≤3x ＋≤＋2k π，k ∈Z.2 4 2π2k π π2k π解得－ 4＋3≤x ≤12 ＋ 3 ，k ∈Z.π2k ππ2k π故函数f(x)的单调递增区间为[－4＋3 ，12＋ 3 ]，k ∈Z. (2)∵f α＝sin α＋ π＝4cos α＋π(cos 2α－sin 2α)，345 4π π4 π π · 2 2∴sin αcos ＋cos αsin ＝ cos αcos －sin αsinα－ α，44 544 (cos sin)即sin α＋cos α＝4(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．53π当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝4＋2k π，k ∈Z.此时，cos α－sin α＝－ 2；25当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)＝.4由α是第二象限角，知 cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－ 52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.3π 8．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M 4，0对称，且在区间π上是单调函数，求φ和ω的值．0，2解：∵f(x)是偶函数，f(－x)＝f(x)，即sin(－ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ)，∴－sin ωx cos φ＝sin ωx cos φ对任意x 都成立．又∵ω>0，∴cos φ＝0.π∵0≤φ≤π，∴φ＝2.3π由f(x)的象关于点M 4，0称，得f 3π 3π4 －x ＝－f 4 ＋x.3π 3π3π取x ＝ 0，得f 4 ＝－f 4，即f 4 ＝0.3π 3ωππωπ又∵f4＝sin4 ＋2＝cos 34，3ωπ∴cos＝0.43ωππ又∵ω>0，∴ 4＝2＋k π，k ＝0,1,2⋯，2∴ω＝3(2k ＋1)，k ＝0,1,2⋯.2 2 ππ当k ＝0 ，ω＝3，f(x)＝sin 3x ＋2 在 0， 2 上是减函数；当k ＝1 ，ω＝2，f(x)＝sin＋π在 0 ，π上是减函数；2x22当k ≥2 ，ω≥10，f(x)＝sin ωx＋π在0，π上不是函数．3222上所述，ω＝或ω＝2.。
湘教版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第2章 2.3 简单的三角恒等变换
(1)将 sin xcos x
1
运用二倍角公式化为2sin
2x,对 sin2x,cos2x 运用降幂公式,对
sin(x±α),cos(x±α)运用两角和与差的公式展开.
(2)将(1)中得到的式子利用 asin α+bcos α=√2 + 2 ·sin(α+φ)化为
f(x)=Asin(ωx+φ)+m 的形式.
1
α+4sin
1
=4sin
3α.
1
-2
(cos 120°-cos 2α)
αcos 2α
3α+sin(-α)]
1
3α-4sin
α
变式探究
在例2(1)中,若不利用积化和差公式,如何求解?
解∵sin +
π
6
sin
∴(sin
π
θcos6 +cos
3
∴4
1-cos2
2
×
∴tan θ=±2.
1
4
π
- 6
即
sin = ,
sin = .
由 sin2φ+cos2φ=1 可得
因此,当 cos φ=
√ 2 +
其中 0≤φ<2π.
2
+
,sin φ=
2
2
=1,即
√ 2 +
A=√2 + 2 .
2 + 2 sin(x+φ)成立,
时,asin
x+bcos
x=√
2
过关自诊
√1+
A. 2