第二节 刚体转动的动能定理
03-1刚体定轴转动的动能定理和转动定律 (2)
定轴转动
非定轴转动
刚体的自由运动：
既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
二．刚体定轴转动的运动学
角位置
(t )
>0 <0
0
z
(t )
p
{
逆时针转动 顺时针转动
x
转动平面
参考轴
d 角速度 dt
方向：右手螺旋定则
1 1 2 2 F R d R F d J J 0 0 T 0 T 2 2 1 1 1 1 2 2 2 mgh mv mv0 ( J J 02 ) 2 2 2 2
FN
FT FT
o P'
FT
m
FT
物体由静止开始下落
拉力 FT 对圆盘做功，由刚体绕定轴转 动的动能定理可得
1 1 2 2 mgh R FT d mv mv0 0 2 2
FT
0
FT Rd R FT d
0
P
m
R
o
m' h m
FN
FT
m
1 2 1 2 J J 0 2 2
o P'
1 E k J 2 2
刚体 转动 动能
1 2 平动动能 Ek mv 2 比较： 1 转动动能 Ek J 2 2
d d d d d d dd J J J J J J M JJ 4 定轴转动的动能定理 d d dt d dt d dt dt 2 2 2 2 1 11 2 2 1 2 2 Md J d J J W Md J d J J 2 12 1 1 2 1 1 1 22 2
刚体动能定理
m、L 、
θ
mg θ
即： 0 = Ep2 +Ek2
∴ω = 3g cosθ L
c
mg
Hc
θ
c
mg
人 杆
O M=70kg H=1.8m Hc =1.2m JM=70kgm2
m=27kg L=12m Hc =1.2m Jm =363kgm2 Jm ~5JM
Hc(M+m)g=(1/2)J ω2 +(M+m)gHccos θ
§３ — ３ 力矩作功 刚体绕定轴转动的动能定理 一、力矩作功 1. 刚体中的内力不作功
W =0 内
因为刚体中各质元间无相对位移。 因为刚体中各质元间无相对位移。
r r dW = F ⋅ dr = F cos(90 −α)dS
0
2.力矩作功 力矩作功
α
dθ θ F ds
P
r θ
= Fsin αdS = Fsin αrdθ = Mdθ
ri
刚体的 转动动能
1 2 2 Ek = ∑Eki = ∑( ∆mi ri ω ) 2 i i
1 1 2 2 = (∑∆mi ri )ω = Jω2 2 i 2
2.动能定理 动能定理
dω dW = Mdθ = J dθ = Jωdω dt
W =∫
ω2 ω1
1 1 2 2 Jωdω = Jω2 − Jω1 2 2
X
处在重力场中的刚体， 处在重力场中的刚体，其重力势能 就是它的各质元重力势能的总和。 就是它的各质元重力势能的总和。
四、机械能守恒定律
在刚体的绕定轴转动中， 在刚体的绕定轴转动中，如果仅有保守内 力作功，则刚体的机械能守恒。 力作功，则刚体的机械能守恒。
刚体转动的动能定理
一、力矩的功 1 力矩的定义若作用的质点上的力为F ,则将r ×F 定义为力F 对O 点的力矩，记为M 。
M r F =⨯M 、F 、r 三者的方向构成右手螺旋关系。
M大小：方向：右手法则2 力矩的功设：；转盘上的微小质量元Δm 在力F 作用下以R 为半径绕O 轴转动，在dt 时间内转过角度d ，对应位移d r,路程ds,此时F 所做的元功为则总功为二、转动惯量设初速为零，质量元Δm 的动能为转盘的总动能1 定义：为物体的转动惯量。
意义：由质量和质量对于转轴的分布情况决定。
描述转动的惯性。
o z FtF nF tF ord rd θt t d d d d A F r F s F r θ=⋅==d d A M θ=21d A M θθθ=⎰αrsin t M Fr F rα==d θFtF ord r12ki i iE m v =212k ki i i i i E E m ==∆∑∑v 221()2i i i m r ω=∆∑2i i iI m r =∆∑单位：SI 制 kg m 22 定轴转动物体转动惯量的计算质量不连续分布的质点系：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量之和2i i iI m r =∑质量连续分布的刚体：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量的积分。
2mI r dm =⎰转动惯量的大小不仅取决于物体的质量，还与质量的分布和轴线的位置有关。
例1 求小球m 的转动惯量。
解：m 看作质点 I = m R 2例2 质量为m 的细圆环，求I 。
解：把环分成无限多个质量为dm 的小段，对每个d m 有d J = R 2对整个环有I = R 2d m = mR 2例3质量m ，半径 R 的薄圆盘，求I 。
解：把盘分成无限多个环。
取其中的一个环(半径r ，宽d r ，质量 d m )， 其转动惯量 d I = r 2d m22mdm rdr Rππ=整个盘的转动惯量d rd md SrRd mRRm22322200002122R R R Rm m I dI r dm r rdr r dr mR R R ππ=====⎰⎰⎰⎰例4 长为L 、质量为m 的细长直杆，转轴垂直于细杆且通过杆中心 解：杆长为L,质量为m, 则密度为＝m / L 。
§7.4刚体定轴转动的动能定理
5mg 解得： N N n 2
小 结 刚体定轴转动
M I
质点直线运动
F ma
0
Mdt I I
功
Fdt mv mv
0
1 转动动能 Ek I 2 2 A Md 1 1 2 2 Md I I 0 2 2 重力势能 E p mghc
例2
解法二：刚体定轴转动的机械能守恒定律
[分析:以杆和地球为一系统,只有 mg 作功, 机械能守恒.] 选择水平位置为杆的势能零点，开始时 E0 0 1 2 l 至杆与水平线夹角为 时 E I mg sin 2 2 1 l 2 N I mg sin 0 2 2 O mg 3g sin 解得： l 1 mg vc 3 gl sin 2
mghc
决定于刚体重心距势能零点的高度。
五、刚体的机械能
1 2 E Ek E p I z mghc 2
刚体的机械能守恒定律：
若只有重力做功，则刚体机械能保持不变。
例1
已知：滑轮为匀质圆柱，质量为m1，半径为R质量 为m2的重物由静止下落h，求重物下落h后的速度。 解1：质点和刚体定轴转动的动能定理
外 k
k0
由于刚体内力作功的代数和为零
1 1 2 2 A外 2 I z 2 I z 0
内容: 刚体绕定轴转动时，转动动能的增量 等于刚体所受外力矩做功的代数和。
四、刚体的重力势能
E pi mi ghi mi gyi E p mi gyi
my mg m
i i i
m 2 gh v 2 m1 2m 2
例1
解2：质点系动能定理：
刚体定轴转动的动能定理 ppt课件
dt 12
dt
考虑到 t
dr g cost 7lg cos(12 v0 t)ຫໍສະໝຸດ dt 224 v0
7l
上页 下页 返回 结束
第七章 刚体力学 作业： P256 7.4.2 7.5.1
上页 下页 返回 结束
O
上页 下页 返回 结束
第七章 刚体力学
[解](1)由机械能守恒得
m ghc
1 2
I 2
hc
1 2
l
I 1 ml2 3
联立得
3g
l
O Ep=0 C
v l 3gl
上页 下页 返回 结束
(2)根据质心运动定理
FN W mac
分量式
FNn
m
g
m
vc2 rc
mvM
l 2
I
2mu
l 2
1 ml 2
12
1 2
ml 2
解得
mvMl 2
ml 2 12 ml 2 2
6m(2gh)1 2 (m 6m)l
M
N
C
B
l
h A
l/2
上页 下页 返回 结束
第七章 刚体力学 演员N以u起跳，达到的高度，由机械能守恒：
h u 2 l 2 2 ( 3m )2 h
第七章 刚体力学
角动量守恒条件：
M 0
刚体所受的合外力矩为零
若I不变，ω不变； 若I变，ω也变，但 L I 不变.
内力矩不改变系统的角动量.
在冲击等问题中，因内力矩远大于外力矩 ，此时， 角动量守恒。
第二节 刚体转动的动能定理
§ 3.2 刚体转动的动能定理一、力矩的功 1 力矩的定义若作用的质点上的力为F ,则将r ×F 定义为力F 对O 点的力矩，记为M 。
M r F =⨯M 、F 、r 三者的方向构成右手螺旋关系。
大小：方向：右手法则2 力矩的功设：；转盘上的微小质量元Δm 在力F 作用下以R 为半径绕O 轴转动，在dt 时间内转过角度d θ， 对应位移d r,路程ds,此时F 所做的元功为则总功为二、转动惯量设初速为零，质量元Δm 的动能为转盘的总动能1 定义：为物体的转动惯量。
FtF nF tF d rt t d d d d A F r F s F r θ=⋅==d d A M θ=21d A M θθθ=⎰αrsin t M Fr F rα==tF d r12ki i iE m v =212k ki i i i i E E m ==∆∑∑v 221()2i i i m r ω=∆∑2i i iI m r =∆∑意义：由质量和质量对于转轴的分布情况决定。
描述转动的惯性。
例：一头粗，一头细的杆以不同端作轴转动是，其转动惯量不同。
单位：SI 制 kg m 22 定轴转动物体转动惯量的计算 质量不连续分布的质点系：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量之和2i i iI m r =∑质量连续分布的刚体：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量的积分。
2mI r dm =⎰转动惯量的大小不仅取决于物体的质量，还与质量的分布和轴线的位置有关。
例1 求小球m 的转动惯量。
解：m 看作质点 I = m R 2例2 质量为m 的细圆环，求I 。
解：把环分成无限多个质量为dm 的小段，对每个d m 有d J = R 2对整个环有I = ⎰ R 2d m = mR 2例3质量m ，半径 R 的薄圆盘，求I 。
解：把盘分成无限多个环。
取其中的一个环(半径r ，宽d r ，质量 d m )，d mR•R• m其转动惯量 d I = r 2d m22mdm rdr Rππ=整个盘的转动惯量22322200002122R R RRm m I dI r dm r rdr r dr mR R R ππ=====⎰⎰⎰⎰例4 长为L 、质量为m 的细长直杆，转轴垂直于细杆且通过杆中心 解：杆长为L,质量为m, 则密度为 ρ＝m / L 。
刚体定轴转动的动能定理
1
一
转动动能
刚体绕定轴转动时的动能，称为转动动能．
n 1 1 1 2 2 2 2 Ek mi ri ( mi ri ) J 2 2 i 1 2 i 1 2 n
刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量 与角速度平方乘积的一半.
第3章 刚体力学基础
4
例3.5 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒 OA，可绕固定点O在竖直平面内转动.今使棒从水平 位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角时 中心点C和端点A的速度. 解：棒受力如图
6 0
l 1 1 1 2 2 mg cos d J J 0 J 2 2 2 2 2
第3章 刚体力学基础
3–3 刚体定轴转动的动能定理
7
例 一根长为l、质量为m 的均匀细棒, 棒的一端可绕通过 O点并垂直于纸面的轴转动, 棒 的另一端有质量为 m 的小球. 开 始时, 棒静止地处于水平位置A. 当棒转过 角到达位置 B, 棒的 角速度为多少?
oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m, l
mg
A
m
B
mg
解: 取小球、细棒和地球为系统, 在棒转动过程中机 械能守恒, 设 A 位置为重力势能零点.
EkA EpA EkB EpB
第3章 刚体力学基础
3–3 刚体定轴转动的动能定理
8
EkA EpA EkB EpB
EkA EPA 0
o
m, l
A
m
1 2 EkB J J J1 J 2 B 2 mg 1 2 4 2 2 J ml ml ml mg 3 3 l 3 EpB (mg sin mgl sin ) mgl sin 2 2 3 g sin 1 2 3 2 2 3 ( ) 0 ml mgl sin 2 l 4 2
刚体定轴转动的动能定理
1
积累效应)
力矩作功的功率(power 作功的快慢):
P
dA dt
Md
dt
M
力矩的功： work done by torque
dA Mzd
2
A Mzd
1
A、 所谓力矩的功，实质上还是力的功，并无任何关于力
矩的功的新的定义，只是在刚体转动中，用力矩和角位移
的积来表示功更为方便而己。
B、对于定轴转动刚体，所有内力的功总和在任何过程 中均为零。（内力成对，大小相等方向相反，一对内力矩 的的功代数dA和为F零2 ；dr∴ 内相力对矩位的移功为总零和.）为零。另一角度，内力
m'l 2 3ma2
a m v m
3mva m'l 2 3ma2
o 30
射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统 ，机械能守恒 .
a m
1 (1 ml 2 ma2 ) 2
v m
2
3 mga(1
cos30)
mg
l 2
(1
cos30)
v g(2 3)(ml 2ma)(ml2 3ma2) 6 ma
dt d dt
d
2 Md
1
2 Id
1
1 2
I22
1 2
I12
Ek
1 2
I2
称为刚体的转动动能
A
Ek 2
Ek1
1 2
I22
1 2
I12
合外力矩对绕定轴转动的刚体做的功 = 刚体转动动能的增量
—— 刚体绕定轴转动的动能定理
刚体的重力势能：
刚体受保守力作用也有势能概念.
对于一个不太大的质量为 m 的物体，它的重
h
刚体力学第2讲——定轴转动中的功能关系、刚体的角动量定理和角动量守恒定律
第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的冲力极大， 物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略。这样，棒与物体 相撞时，它们组成的系统所受的对转轴O的外力矩为零，所 以，这个系统的对O轴的角动量守恒。我们用v表示物体碰撞 后的速度，则
1 1 2 2 ml mvl ml 3 3
（2）
式中’为棒在碰撞后的角速度，它可正可负。 ‘取正值， 表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。
第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减速直线运 动，加速度由牛顿第二定律求得为
mg ma
由匀减速直线运动的公式得
（3）
0 v 2as
2
亦即
v 2 2gs
（4）
由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得
R R/2
v
解：取人和盘为系统，
M外 0
R/2 R
系统的角动量守恒.
(1)开始系统的角动量为
2
o
v
1 1 R 2 m 0 M R 0 2 2
1 2 1 m R mE M R2 ME 后来： 4 2
mE ME mM
刚体力学第2讲——定轴转动中 的功能关系、刚体的角动量定理 和角动量守恒定律
主要内容
一、刚体转动动能定理 二、刚体的角动量守恒
一、转动动能定理
（一）力矩的功
W
2 1
M d
（二）转动动能定理
W Ek 2 Ek1
1 Ek J 2 2
（三）刚体的重力势能
（三） 刚体的重力势能
例2：两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2， 角速度分别为 1 、2，求两飞轮啮合后共 同的角速度 。啮合过程机械能损失。
高二物理竞赛刚体转动动能定理PPT(课件)
m3g
m1 a1
m1g
a2
T1 T2
讨论：当 m3
T2
T2
m2
a1
T1
a22am1m1m1ma1(22mgm1m2(2mmm12121121m2)gmm1mmm3232)3gg
m2mm12Tg12mm22g2mm1m1 2 gm2
0时
1 2
m2m3
1 2
m3
g
复习
一. 力矩
M rF
律。
已知：M0 I M1= –a |t=0=
求：（t）=？
0
解： 1）以刚体为研究对象；
M+
2）分析受力矩；
M0 I M1
3）建立轴的正方向； 4）列方程：
M0 M1 I
解：4）列方程：
M0 M1 I M0 M1 M0 a
M+ M0
M1=–a
d M0I a
dt
I
I
1 (ln M0 a ) t
分离变量：
a
M0
I
d dt M0 a I
0
d M0 a
t dt
0 I
M0
a
at
eI
M0
1 a
M0(1
at
eI
)
r 质量分别为m1，m2的物体通过轻绳挂在质量为
m3半径为 的圆盘形滑轮上。求物体m1 m2运动
的加速度以及绳子张力
T1.T2 ,（绳子质
量不计） 抵消 已知：m .m .m .r 解(二)：考虑杆从水平静止转到铅直方向的过程，重力做功，角速度从 0 -
建立轴的正向：（以逆时针转动方向为正方向） 1）以刚体为研究对象；
0则 0
刚体的能量定轴转动的动能定理
三、转动动能
刚体绕定轴以角速度旋转 刚体的动能应为各质元动能之 和为此将刚体分割成很多很小的
r i vi mi
M
质元 m1, m2 mi mn
r 任取一质元 mi 距转轴 i ，则该质元动能：
mivi2 / 2 mi (ri)2 / 2 miri22 / 2
故刚体的转动动能：
n
Ek Ek
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在一微小过程中
XX 力1矩O1作的2功2 M M
dA Md (1)
在考虑一个有限过程，设
在力矩作用下，刚体的角
位置由 功
1
2
则力矩的
A dA 2 Md (2) 1
力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越 大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。 这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？
/2 mg L cosd
0
2
mgL / 2
N
YZ
XO
r
mg
依动能定理
A力矩
1 2
J2
1 2
J02
A力矩
mg
L 2
mg
L 2
1 2
J
2
0
mgL J
mgL 1 mL2
3g L
3
XX
1
1 O
2
2
2 1
Md
1 2
J
2 2
1 2
J12
M
M
例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以
枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。
求： 当杆过铅直位置时的角速度：
N
YZ
XO
r
mg
刚体动能定理
一、力矩的功
F 在转动平面内 d t : 刚体角位移为d 质点元位移为 dr
元功：
O
d F dr
r
dW F dr
F d r cos d s r d F d s cos F r s in d cos s in
3. 机械能守恒定律： 只有保守内力做功
E E平 E转 Ep
则 : E1 E2 常 量
例:质量为m，长为L的匀质细杆可绕水平光滑轴O 在竖直平面内转动。若使杆从水平位置开始由静 止释放。试求：当杆过铅直位置时的角速度。 N Y 建立坐标系，分析受 L 解: Z 力如图： X O θ r
一力矩的功在转动平面内dt刚体角位移为dcosdscosdr刚体绕定轴以角速度旋转刚体定轴转动的转动动能三定轴转动动能定理k2k1外力内力合外力矩的功等于刚体转动动能的增量四刚体的重力势能机械定轴转动刚体的机械能
相对论
§5. 3 定轴转动的动能定理
力对空间累积效应： 力的功、动能、动能定理． 力矩对空间累积效应： 力矩的功、转动动能、动能定理．
三、定轴转动动能定理
W外力 W内力 Ek 2 Ek1
2
1
M d
内力功=0
1 2 J 2
2
1
1 1 2 2 M d J 2 J1 2 2
合外力矩的功等于刚体转动动能的增量
四、刚体的重力势能
Ep
m i ghi m
i
m h
i i
i
m hc 为刚体质心的高度
以细杆、转轴和地球为系统 法 2： 机械能守恒 取水平位置为势能零点
L
刚体力学_功 动能定理
m
.
N
R
m1
m2 解: 把m1、m2和m看作一系统 系统所受 m g 看作一系统,系统所受 看作一系统 1 m2 g 合外力有重力m 、 合外力有重力 1g、m2g,这两个力对轴 这两个力对轴 支撑力N通过转轴 的力矩分别为m 的力矩分别为 1gR、m2gR;支撑力 通过转轴 对轴的力 、 支撑力 通过转轴,对轴的力 矩为零.加上阻力矩 加上阻力矩M 系统所受合外力矩为 顺时针为正) 系统所受合外力矩为(顺时针为正 矩为零 加上阻力矩 f ,系统所受合外力矩为 顺时针为正 M=m2gR-m1gR-Mf 系统的总角动量为(顺时针为正 顺时针为正) 系统的角 m: Jω 系统的总角动量为 顺时针为正 动量包括 m1: Rm1v L=Jω+Rm1v+Rm2v m2: Rm2v
1 1 1 2 2 2 mv 0 = mv + Jω 2 2 2
的圆盘， 例 一质量为 m' 、半径为 R 的圆盘，可绕一垂 圆盘上绕有轻绳， 直通过盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘上绕有轻绳， 问物体由静止下落高度 一端挂质量为m 一端挂质量为 的物体 . 问物体由静止下落高度 h 时， 其速度的大小为多少? 其速度的大小为多少 设绳的质量忽略不计 . v 对圆盘做功， 解1 拉力 FT 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动 v 能定理可得， 能定理可得，拉力 FT 的力矩所作的功为
o
圆 锥 摆
o
v θ T
'
m
v v
v p
o
v v
R
以子弹和杆为系统 守恒； 动量不守恒； 守恒； 角动量 守恒； 机械能 不守恒 .
圆锥摆系统 守恒； 动量不守恒； 对 O'O 轴角动量 守恒； 守恒； 机械能 守恒 .
大学物理CH.-刚体力学（ＰＤＦ）
β
ri Fi
sinϕi
+
ri
fi
sinθi
=
∆mi
r2 i
β
质点∆mi的外力矩
质点∆mi的内力矩
对所有质点求和，可以得到：
∑ ∑ ∑ riFi sinϕi +
ri fi sinθi =
∆mi
r2 i
β
i=1
i=1
i=1
合内力矩∑ri fi sinθi 为零，则：
∑ ∑ riFi sinϕi =
∆mi
F = 0 p = 常量
Ek
=
1 2
mv2
A = ∫ F ⋅ dr =∆Ek
刚体定轴转动规律
M = r × F = dL = J β
dt
L = r × p = Jω
∫t2 Mdt = ∆L t1
M = 0 L = 常量
Ek
=
1 2
Jω2
A = ∫ M ⋅ dθ = ∆Ek
第五节 进 动 一、 进动(precession)现象：
= ∫ r 2λdl l
质量体分布，例如立方体、球体 质量面分布，例如薄片、薄球壳 质量线分布，例如细棒、细环
例2 计算质量为 m ，长为 L 的匀质细棒绕通过其 端点的垂直轴的转动惯量。
解：J = ∫ r 2dm
z
dm = λdl = m dl o
L
∫ J = L l2 ⋅ m dl 0L = 1 mL2 3
o ω
o’
ω
oG
二、杠杆回转仪的分析
设右图中的刚体回转仪处于平
o
衡状态，现将重物左移并将飞
ω 轮作如图方向旋转。则飞轮进
动的方向如何？
绕定轴转动刚体的动能动能定理PPT课件
2 3g sin
l
例 本装置用于测量物体的转动惯量。待测物体A装在转动架上， 转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠在鼓轮上，另一 端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。重物下落时，由绳带 动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得重物由静止下落一段距离 h，所用时间为t。绳子、各轮质量及摩擦力忽略不计
四、 刚体的机械能
刚体重力势能
C mi
Ep mi ghi 质心的势能
hc
mg mihi
m
mghc
定轴转动刚体的机械能
E
1 2
J2
于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立
2019/9/18
5
例 滑轮 r 、 M，在绳的一端挂一重物 m ，开始时静止，不计
求 物体A对Z 轴的转动惯量JZ
z
解 以m和A为研究对象， m 的初始
位置为0势能面
初态 Ep1 0 Ek1 0
鼓轮
末态 Ep2 mgh
Ek2 mv2 / 2 J Z2 / 2
m
h
v 2 (mr2 JZ ) /(2r2 )
机械能守恒 Ek1 Ep1 Ek2 Ep2
说明
刚体平动动能
Ek
1 2
mv2
二、 力矩的功
dA F dr
F cos dr
Fτ | dr |
Fτ r d Md
F
o r d
A
dr Fτ
对一有限过程
2
A Md 1
( 积分形式 ）
三、定轴转动动能定理
dA Md M J d
3-3刚体转动的动能定理
T2
( m1
1 2
M )m 2 g
1 2
m1 m 2
M
以上两种方法，都是求解这类问题的基本方法, 都 应该理解和掌握。
例4：一个转动惯量为2.5 kgm2 、直径为60cm 的飞轮，正以130 rads1 的角速度旋转。现用闸瓦 将其制动, 如果闸瓦对飞轮的正压力为 500 N,闸瓦 与飞轮之间的摩擦系数为0.50。求：
设刚体有n个质点组成，其中第i个质点的质 量 为 mi ，它到转轴的距离为 ri，速度大小为vi ，则该质 1 1 E m vБайду номын сангаас，因 vi ri w ,所以 E m r w 。因 点的动能 2 2 此，整个刚体的动能为
2 ki i i
2
2
ki
i i
1 1 n 2 2 Ek mi vi mi ri w2 2 i 1 i 1 2
m2
m1
解：物体m1、m2和滑轮的受力情况如图所示。 列方程
T1 =m1 a
（ 1）
FN
m2 g T2 = m2 a （2）
对于滑轮
T1 T1 T2 T2
α
1 2 T2 r T1r I M r 2
辅助方程
（ 3）
m1 g
a
（ 4）
m2 g
r = a
n
式中 i 1 是刚体的转动惯量I，所以绕定轴转 动的动能可以写为
mi vi
n
2
1 2 E k Iw 2
三、定轴转动的动能定理
设刚体在 合 外力矩M的作用下,绕定轴转过角位 移 d ,合外力矩对刚体作的元功为
dA Md
刚体的能量定轴转动的动能定理
/2 mg L cosd
0
2
mgL / 2
N
YZ
XO
r
mg
依动能定理
A力矩
1 2
J2
1 2
J02
A力矩
mg
L 2
mg
L 2
1 2
J
2
0
mgL J
mgL
1 mL2
3g L
3
三、转动动能
刚体绕定轴以角速度旋转 刚体的动能应为各质元动能之 和为此将刚体分割成很多很小的
r i vi mi
M
质元 m1, m2 mi mn
r 任取一质元 mi 距转轴 i ，则该质元动能：
mivi2 / 2 mi (ri)2 / 2 miri22 / 2
故刚体的转动动能：
n
Ek Ek
力 F 作的功：
ds rd
dA F ds F sin rd Md
在一微小过程中 力矩作的功
dA Md (1)
在一微小过程中
XX 力1矩O1作的2功2 M M
dA Md (1)
在考虑一个有限过程，设
在力矩作用下，刚体的角
位置由 功
1
2
则力矩的
A dA 2 Md (2) 1
力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越 大，在空间转过的角度越大，作的功就越大。 这种力矩对空间的积累作用的规律是什么呢？
XX
1
1 O
2
2
2 1
Md
1 2
J
2 2
1 2
J12
M
M
例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以
枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。
6 刚体的动能定理
d
dr
F
P
3
力矩的功
因
Fr sin M
d A M d
力矩作功：
A M d M d
0
0
•对于刚体定轴转动情形， 因质点间无相对位移，任 何一对内力作功为零;
•另外只有在垂直于转轴平 面内的分力才作功，平行 于转轴的分力是不作功的 。
r
0‘
d
3g , l
0（合外力矩为零）
例题4-7
质量 m，长l 的均匀细杆，可绕水平轴在竖直平面内无 摩擦转动。转轴离杆一端l/3，设杆由水平位置自由转 下，求：(4)杆在竖直位置时对转轴的作用力。
(4)由质心运动定理：
2 vc 6m l N mg ma c m ( )2 l l 6 6
16
3g w l
3gl l v A wl 3gl , vC w 2 2
(2).由转动定理,得 M=I 在竖直位置 M=0
A C 0
17
若下垂角时， 情况怎样？
解法二
只有重力作功,因此机械能守恒.
1 1 2 mgl 0 mgl Iw 2 2
dA Md I d Id Id 所做的功等于刚体转动动能的增量。 dt dt
化的原因可以用力矩做 功的效果来解释。
总外力矩对刚体所作的功为：
A Md
122来自11 1 2 2 Id I 2 I1 2 2
5
3.刚体的重力势能
对于一个不太大的质量为 m 的物体，它的重力势 能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。
mg T ma
（2）．因为 v 2 2ah 所以物体的动能为
2.3 刚体的转动动能
信息学院 物理教研室
由于静止下落，则初始各动能为零： 由于静止下落，则初始各动能为零：
1 11 1 1 2 2 2 2 ⇒ mgh = mv + Jω = mv + m ′R ω 2 2 2 2 2 2 1 1 2 = mv + m ′v 2 2 4
⇒v= 4mgh m ′ + 2m
一、刚体的转动动能 刚体可看作是由许多的质点组成， 刚体可看作是由许多的质点组成，刚体的转 动动能是刚体各部分动能的总和。 动动能是刚体各部分动能的总和。
1 E k = ∑ ∆m i ri2ω 2 2 1 = ∑ ∆m i ri2 ω 2 2 1 2 = Jω 2
(
)
注意: 为瞬时角速度， 注意 ω为瞬时角速度， Ek是刚体的瞬时转动 动能。 动能。
信息学院 物理教研室 x
dm
mg
dmg
由刚体转动动能定理得: 由刚体转动动能定理得
1 1 2 2 W = ∫ Mdθ = Jω − Jω 0 2 2
所以， 所以，有:
∫
θ
0
1 1 mgl cos θ d θ = J ω 2 2
2
1 1 ⇒ mgl sin θ = J ω 2 2 2
⇒ω =
mgl sin θ = J
∫
dmg
信息学院 物理教研室
根据质心定义有: 根据质心定义有 ∫ xdm＝ mx c ⇒ M = mgx c ＝ xc 重力对整个棒的合力 矩与全部重力集中作用在 O θ 质心所产生的力矩一样。 质心所产生的力矩一样。 C 1 1 x c = l cos θ ⇒ M = mgl cos θ 2 2 1 mgl cos θ M 3 g cos θ 2 则: α = = = 1 J 2l 2 ml 3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§ 3.2 刚体转动的动能定理
一、力矩的功 1 力矩的定义
若作用的质点上的力为F ,则将r ×F 定义为力F 对O 点的力矩，记为M 。
M r F =⨯r r
r
M 、F 、r 三者的方向构成右手螺旋关系。
M
大小：
方向：右手法则
2 力矩的功
设：；转盘上的微小质量元Δm 在力F 作用下以R 为半径绕O 轴转动，在dt 时间内转过角度d ，
对应位移d r,路程ds,此时F 所做的元功为
则总功为
二、转动惯量
设初速为零，质量元Δm 的动能为
转盘的总动能
1 定义：
为物体的转动惯量。
o z
F
v
t
F v n
F v
t
F v o
r
d r
v
d θ
t t d d d d A F r F s F r θ=⋅==v v
d d A M θ=2
1
d A M θθθ
=⎰αr sin t M Fr F r
α==
d θ
F
t
F v o
r
d r
v 12
ki i i
E m v =21
2
k ki i i i i E E m ==∆∑∑v 22
1()2i i i m r ω=∆∑2i i i
I m r =∆∑
意义：由质量和质量对于转轴的分布情况决定。
描述转动的惯性。
例：一头粗，一头细的杆以不同端作轴转动是，其转动惯量不同。
单位：SI 制 kg m 2
2 定轴转动物体转动惯量的计算 质量不连续分布的质点系：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量之和
2i i i
I m r =∑
质量连续分布的刚体：转动惯量定义为各个质点对该定轴的转动惯量的积分。
2m
I r dm =⎰
转动惯量的大小不仅取决于物体的质量，还与质量的分布和轴线的位置有关。
例1 求小球m 的转动惯量。
解：m 看作质点 I = m R 2
例2 质量为m 的细圆环，求I 。
解：把环分成无限多个质量为dm 的小段，对每个d m 有
d J = R 2
对整个环有
I = R 2d m = mR 2
例3质量m ，半径 R 的薄圆盘，求I 。
解：把盘分成无限多个环。
取其中的一个环(半径r ，宽d r ，质量 d m )， 其转动惯量
d m
R
•
R
• m
d I = r 2d m
2
2m
dm rdr R
ππ=
整个盘的转动惯量
2
2
32
22000
02122R R R R
m m I dI r dm r rdr r dr mR R R ππ=====⎰⎰⎰⎰
例4 长为L 、质量为m 的细长直杆，转轴垂直于细杆且通过杆中心 解：杆长为L,质量为m, 则密度为
＝m / L 。
以杆中心O 点为转轴，在距o 点为r 处取微小质量元dm =dr, 杆的转动惯量
为
例5 转轴垂直于细杆且通过杆的一端 以杆中心O /点为转轴，同上
2
22
2
22
322
13l l l
l l
l
I r dm r dr r ρρ---=
=
=⎰⎰m
L
O
O’
2
112
I mL
=
2
1
3
I mL
=
2020
313
l
l
l
o I r dm
r dr
r
ρρ===⎰⎰d r
d m
d S
r
R
3 几种典型的匀质刚体的转动惯量
4 影响转动惯量的三个因素
(1)刚体自身的性质如质量、大小和形状；
(2)质量的分布； (质量分布越靠近边缘转动惯量越大) (3)转轴的位置。
（同一个刚体对不同的轴转动惯量不同） 5 平行轴定理和转动惯量的可加性 1） 平行轴定理
设刚体相对于通过质心轴线的转动惯量为Ic ，相对于与之平行的另一轴的转动惯量为I ，则可以证明I 与Ic 之间有下列关系 2c I I md =+ 2）转动惯量的可加性
对同一转轴而言，物体各部分转动惯量之和 等于整个物体的转动惯量。
例6质量m ，长为l 的均匀细棒，求对于通过质心的垂直轴的转动惯量Jc 和通
2
c I I m
d =+
过端点a 的垂直轴的转动惯量J.
解：建立如图坐标Ox
2
2222
2
2
112
l l c l l m J x dm x dx ml l
++
--
=
=
=
⎰
⎰
由平行轴定理有
2
2211
1223a l J ml m ml ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
2
c 1
2I mR =2c 12
I mR =
如果刚体偏心转动，转轴通过半径的中点且垂直于盘面。
求盘对此轴的转动惯量I 。
解：题给两平行轴之间的距离
1
2
d R =
2
c I I m
d =+得刚体绕偏心轴的转动惯量
22213
()224
R I mR m mR =
+=由平行轴定理
例 3-2 如图所示，一圆盘状刚体的半径为 R ，质量为 m ，且均匀分布。
它对过质心并且垂直于盘面的转轴的转动惯量用Ic 表示。
例3-3 如图所示，某装置由均质细杆和均质圆盘构成。
杆的质量为 ，长 L 。
杆对O 轴的转动惯量 2
111
3
I m L =1
m
圆盘质量是 ，半径为R 。
，得知它对过质心C 且垂直于盘面的转轴的转动
惯量为 2
m 22c 21
2I m R
=求此装置对轴O 的转动惯量I 。
x
三、刚体绕定轴转动的动能定理 1 刚体绕定轴转动的转动动能
2 动能定理
合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。
刚体作为一个特殊的质点系，此质点系的动能定理为
21
e k k A E E =-2
1
2 2
2 111d θωω22
θM I I =
-⎰ θ
刚体定轴转动的动能定理
解：已知杆对轴O 的转动惯量
盘对轴C 的转动惯量
22c 21
2
I m R =
由平行轴定理得盘对轴O 的转动惯量
22c 2(I I m R L =++2221
(2
m R m R L =
++由转动惯量的可加性，得整个装置对轴 O 222
1212211
()32
I I I m L m R m R L =+=+++2111
3
I m L =
222
2k 111222
i i i i i i E m v m r I ωω
===∑∑V V 由于刚体的大小、形状不变，其上任何两质点间没有相对位移。
即：
i 0
A =。