关于钢材下料问题的数学建模论文
钢管下料问题
钢管下料摘要在生活中常遇到通过切割、剪裁、等手段，将原材料加工成所需尺寸的工艺过程，称为原料下料问题。
按照进一步工艺要求，确定下料方案，使用料最省或利润最大。
本文研究的是钢管下料问题。
用数学规划模型确定切割方案，使其既能满足顾客需求，又能用料最省。
对于问题(1)，以按照第i 种模式(1,2,,7i =)切割的原料钢管的根数为研究对象，确定下料方案，使其用料最省。
①以切割后剩余的总余料量最小为目标建立整数线性规划模型如下：7171min ,1,2,3..0,1,2,,7i ii ji i j i iz c x a x b j s t x i ===⎧≥=⎪⎨⎪≥=⎩∑∑ 利用LINGO 软件进行求解得到一共需要切割27根原料钢管。
总余料量为27m 。
②以切割原料钢管的总根数最少为目标建立整数线性规划模型同上。
利用LINGO 软件进行求解得到一共需要切割25根原料钢管。
总余料量为35m 。
在余料没有什么用途的情况下，通常选择使用原料钢管的总根数最少为目标。
对于问题(2)，以所使用的第i 种切割模式下每根原料钢管生产4m ，5m ，6m ，和8m 的钢管数量为研究对象(1,2,3i =)，此处仅以切割原料钢管的总根数最少为目标，建立整数非线性规划模型如下：31314141min ,1,2,3,4,1,2,3..,1,2,30,1,2,3ii ji i j i j ji j j ji j iz y r y b j c r m i s t c r n i y i =====⎧≥=⎪⎪⎪≥=⎪⎨⎪⎪≤=⎪⎪≥=⎩∑∑∑∑ 利用LINGO 软件进行求解得到一共需要切割28根原料钢管。
此整数非线性规划模型的解并不唯一，本文仅给出其中一组解。
关键字：钢管下料，用料最省，切割模式，整数线性规划，整数非线性规划1. 问题重述某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m 。
公选课数学建模论文钢管下料问题
公选课-数学建模论文-钢管下料问题钢管下料问题摘要生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成所需大小这种工艺过程,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.针对钢管下料问题，我们采用数学中的线性规划模型.对模型进行了合理的理论证明和推导，然后借助于解决线性规划的专业软件Lingo 11.0，对题目所提供的数据进行计算，从而得出最优解.关键词线性规划最优解钢管下料1、问题的提出某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm ，现在一顾客需要15根290 mm ，28根315 mm ，21根350 mm 和30根455 mm 的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm ，为了使总费用最小，应该如何下料？2、问题的分析首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少.3、基本假设假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行.4、定义符号说明（1）设每根钢管的价格为a ，为简化问题先不进行对a 的计算.（2）四种不同的切割模式：1x 、2x 、3x 、4x .（3）其对应的钢管数量分别为：i r 1、i r 2、i r 3、i r 4（非负整数）.5、模型的建立由于不同的模式不能超过四种，可以用i x 表示i 按照第种模式（i =1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i 种切割模式下每根原料钢管生产290mm ，315mm,,350mm 和455mm 的钢管数量分别为i r 1，i r 2，i r 3，i r 4（非负整数）. 决策目标 切割钢管总费用最小，目标为：Min=（1x ⨯1.1+2x ⨯1.2+3x ⨯1.3+4x ⨯1.4）⨯a (1)为简化问题先不带入a约束条件 为满足客户需求应有11r ⨯1x +12r ⨯2x +13r ⨯3x +14r ⨯4x ≧15 (2) 21r ⨯1x +22r ⨯2x +23r ⨯3x +24r ⨯4x ≧28 (3) 31r ⨯1x +32r ⨯2x +33r ⨯3x +34r ⨯4x ≧21 (4) 41r ⨯1x +42r ⨯2x +43r ⨯3x +44r ⨯4x ≧15 (5) 每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm 也不能小于1750mm.于是：1750≦290⨯11r +315⨯21r +350⨯31r +455⨯41r ≦1850 （6） 1750≦290⨯12r +315⨯22r +350⨯32r +455⨯42r ≦1850 （7） 1750≦290⨯13r +315⨯23r +350⨯33r +455⨯43r ≦1850 （8） 1750≦290⨯14r +315⨯24r +350⨯34r +455⨯44r ≦1850 （9）由于排列顺序无关紧要因此有 1x ≧2x ≧3x ≧4x (10) 又由于总根数不能少于（15⨯290+28⨯315+21⨯350+30⨯455）/1850≧18.47 (11) 也不能大于（15⨯290+28⨯315+21⨯350+30⨯455）/1750≦19.525 (12) 由于一根原钢管最多生产5根产品，所以有i r 1+i r 2+i r 3+i r 4≦5 (13)7、模型的求解将（1）~（13）构建的模型输入Lingo11.0即取1x 切割模式14根及2x 切割模式5根，即可得到最优解：Min=（14⨯11/10+5⨯12/10）⨯a=21.4a6、结果分析、模型的评价与改进下料问题的建模主要有两部分组成，一是确定下料模式，二是构造优化模型.对于下料规格不太多时，可以采用枚举出下料模式，对规格太多的，则适用于本模型.而从本模型中可以看出尽管切割模式x3、x4的余料最少，但是其成本比较高因而舍弃.7、参考文献【1】姜启源，谢金星，叶俊,数学模型(第三版)，清华大学出版社，第121页.8、附录模型求解的算法程序：model:min=x1*1.1+x2*1.2+x3*1.3+x4*1.4;r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28;r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=15;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850; 290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850; 290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=1850; 290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1750; 290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1750; 290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1750; 290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>=1750;x1+x2+x3+x4>=19;x1+x2+x3+x4<=20;x1>=x2;x2>=x3;x3>=x4;r11+r21+r31+r41<=5;r12+r22+r32+r42<=5;r13+r23+r33+r43<=5;r14+r24+r34+r44<=5;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x2);@gin(x4);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r14); @gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r24); @gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r34); @gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);@gin(r44); end经运行得到输出如下：Global optimal solution found.Objective value: 21.40000Objective bound: 21.40000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 1Total solver iterations: 34507Variable Value Reduced Cost X1 14.00000 -0.1000000 X2 5.000000 0.000000 X3 0.000000 0.1000000 X4 0.000000 0.2000000 R11 0.000000 0.000000 R12 3.000000 0.000000 R13 0.000000 0.000000 R14 0.000000 0.000000 R21 2.000000 0.000000 R22 0.000000 0.000000 R23 1.000000 0.000000 R24 0.000000 0.000000 R31 2.000000 0.000000 R32 0.000000 0.000000 R33 3.000000 0.000000 R34 0.000000 0.000000 R41 1.000000 0.000000 R42 2.000000 0.000000 R43 1.000000 0.000000 R44 4.000000 0.000000。
钢管下料数学建模
钢管下料数学建模摘要：本论文通过数学建模的方法研究了钢管下料问题。
首先，提出了一个钢管下料的数学模型，建立了目标函数和约束条件，以求解钢管的最优下料方案。
接着，采用了一种基于遗传算法的优化方法对模型进行求解，通过对实际钢管下料问题的实例进行仿真实验，验证了模型的可行性和有效性。
最后，对论文的研究结果进行了分析和总结，并对进一步的研究方向进行了展望。
关键词：钢管下料；数学建模；遗传算法；最优化1. 引言钢管的下料是制造业中常见的生产工艺之一。
通过合理的下料方案，可以最大限度地利用原材料，提高钢管的利用率。
因此，钢管下料问题的研究对于降低生产成本、提高生产效率具有重要意义。
2. 钢管下料的数学模型2.1 目标函数钢管下料的目标是使得原材料的浪费最小化。
因此，我们可以将下料的浪费量作为目标函数，即最小化浪费的总量。
2.2 约束条件钢管下料的约束条件主要包括原材料的长度限制、钢管的尺寸要求、切割工具的限制等。
这些约束条件需要在数学模型中进行描述和考虑。
3. 遗传算法优化方法遗传算法是一种基于生物进化理论的优化算法，可以通过模拟自然选择、交叉和变异等过程，搜索最优解。
我们可以将钢管下料问题转化为一个优化问题，通过遗传算法来求解最优下料方案。
4. 实验仿真我们通过对一组实际钢管下料问题的实例进行仿真实验，验证了数学模型和遗传算法的可行性和有效性。
实验结果表明，采用遗传算法可以得到较优的下料方案，并且在一定时间内可以找到满足约束条件的最优解。
5. 结果分析和总结通过对实验结果的分析和总结，我们可以得出以下结论：数学模型和遗传算法在钢管下料问题中具有较好的应用效果，可以提高下料方案的优化效果和生产效率。
6. 进一步展望在进一步的研究中，我们可以考虑对模型进行改进和扩展，以适应更复杂的钢管下料问题。
此外，可以结合其他优化算法和数据挖掘技术，进一步提高钢管下料的效果和精度。
基于线性规划模型钢材下料问题最优切割方案
02
03
参考文献3
作者2，论文标题2，期刊名称2 ，发表时间2
作者3，论文标题3，期刊名称3 ，发表时间3
THANKS
感谢观看
限度地减少浪费和提高材料利用率的问题。随着制造业的不断发展，钢
材下料问题在实际生产中越来越受到关注。
02
现有研究的不足
尽管已经有一些研究针对钢材下料问题进行了探讨，但是仍存在一些问
题没有得到很好的解决，例如如何处理复杂的约束条件、如何优化切割
顺序等。
03
研究意义
本研究旨在通过建立一种基于线性规划模型的优化方法，解决现有研究
结果分析
根据实验结果，对不同切割方案进行对比分析，评估各方案的优劣
结果比较与讨论
结果比较
将最优切割方案与其他传统下料方案进 行比较，分析各自的优势与劣势
VS
结果讨论
探讨最优切割方案在实际生产中的应用与 局限性，为进一步优化提供参考依据
07
结论与展望
研究结论与贡献
线性规划模型的有效性
通过建立线性规划模型，成功解决了钢材下料问题的最优切割方案，证明了线性规划模型在该问题上的应用价值。
基于遗传算法的求解流程
01
初始化种群
随机生成一组染色体，组成初始 种群。
03
评估最优解
在迭代过程中，不断评估当前种 群中的最优解，记录最优解及其
对应的染色体。
02
迭代优化
通过选择、交叉和变异等操作， 逐步优化种群中的染色体。
04
终止条件
根据终止条件（如达到最大迭代 次数或最优解满足精度要求等）
，终止算法并输出最优解。
钢材下料问题建模
钢材下料问题是指如何将一块或多块钢材切割 成指定形状和尺寸的小块，以满足客户需求。
下料问题数学建模(钢管)
防盗窗下料问题摘要本文针对寻找经济效果最优的钢管下料方案，建立了优化模型。
问题中的圆形管下料设定目标为切割原料圆形管数量尽可能少且在使用一定数量圆形管的过程中使被切割利用过的原料总进价尽可能低。
问题中的方形管原料不足以提供所需截得的所用钢管，故设目标为使截得后剩余方形管总余量最小。
模型的建立过程中，首先运用了C语言程序，利用逐层分析方法，罗列出针对一根钢材的截取模式；然后根据条件得出约束关系，写出函数关系并对圆形管下料建立了线性模型，对方形管下料建立了非线性模型；接着，在对模型按实际情况进行简化后，借助lingo程序对模型求解，得出了模型的最优解，并给出了最符合经济效果最优原则的截取方案。
关键词：钢管下料；最优化；lingo；问题提出某不锈钢装饰公司承接了一住宅小区的防盗窗安装工程，为此购进了一批型号为304的不锈钢管，分为方形管和圆形管两种，方管规格为25×25×1.2(mm),圆管规格Φ19×1.2(mm)。
每种管管长有4米和6米两种，其中4米圆形管5000根，6米圆形管9000根，4米方形管2000根，6米方形管2000根。
根据小区的实际情况，需要截取1.2m圆管8000根， 1.5m圆管16500根，1.8m圆管12000根，1.4m方形管6000根，1.7m方形管4200根，3m方形管2800根。
请根据上述的实际情况建立数学模型，寻找经济效果最优的下料方案。
基本假设和符号说明1、假设钢管切割过程中无原料损耗或损坏；2、假设余料不可焊接；3、假设同种钢材可采用的切割模式数量不限；4、假设不同长度钢管运费、存储资源价值没有区别；5、假设该304型号不锈钢管未经切割则价值不变，可在其它地方使用。
为便于描述问题，文中引入一些符号来代替基本变量，如表一所示：问题分析与模型建立问题中的圆形管原料足够，寻找经济效果最优的下料方案，即目标为切割原料圆形管数量尽可能少。
考虑到6米圆形管与4米圆形管的采购价格应该是不同的，所以我们寻求的是在使用一定数量6米圆形管与4米圆形管的过程中使被切割利用过的原料总进价尽可能低。
关于钢材下料问题的数学建模论文
B 题 钢管下料问题摘要应客户要求，某钢厂用两类同规格但不同长度的钢管切割出四种不同长度的成品钢管。
故该原料下料问题为典型的优化模型。
钢厂在切割钢管时，又要求每种钢管的切割模式都不能超过5种，故我们先分别列出两种原料钢管出现频率较高的切割模式，每一问都需要针对不同钢管节约要求分别求出5种切割模式的最佳组合。
第一问要求余料最少，在切割模式的选择方面，我们尽量要求余料为零，并在此基础上要求切割得成品钢管除满足客户要求外，多余客户要求的钢管数也要尽可能的少，运用Lingo 软件求出余料最少时，需要65根A 类钢管采用4种切割模式切割，需要40根B 类钢管采用2种切割模式切割，总余料为20米。
第二问要求总根数最少，故我们只要求总根数最少，在这里我们分了两种情况：有余料时，需A 类钢管65根，采用5种切割模式，需B 类钢管38根，采用4种切割模式，余料各为2米；无余料时，需A 类钢管75根，采用3种切割模式，需B 类钢管39根，采用4种切割模式。
第三问我们运用Lingo 软件求出较优解为当m=0.4时最大收益h=a-159，具体切割模式见模型求解部分。
为了找到替代比例与最大收益的关系，我们分别给m 赋值为0、10%、20%、30%、40%时，用Lingo 解得各自的最大收益，并用四次拟合的方法大致算出了最大收益z 和替代比例m 的关系，为4322083.31416.7279.1715.833160h a m m m m =+-+--（a 为总售出额）。
第四问就是将钢厂下料问题一般化，将本文中模型进行推广，得出了可普遍应用的一般化模型。
关键词：优化模型、整数规划模型、线性规划模型、非线性规划模型、Lingo 、四次拟合问题重述某钢厂主要生产两种结构用无缝钢管，两类钢管除长度不同外规格无差别，A 类型钢管长度为19米，B 类型钢管长度为29米。
假设某单位要订购该钢厂的一批钢管，要求钢厂将原料钢管按照客户订单的要求进行切割成不同长度，具体如下：钢厂在切割钢管时，要求每种钢管的切割模式都不能超过5种，建立数学模型解决下列问题： （1）在满足订单要求的前提下，如何切割才能使余料最省；（2）在满足订单要求的前提下，如何切割才能使耗费原料钢管的数量最少；（3）如果B 类钢管的单价是A 类钢管的2.5倍，又目前钢厂B 类钢管产量不足，如果客户要求将B 类钢管中的5米、7米和8米三种长度的订货量必须全部满足，而B 类中3米的订货量中可以有不超过40%的部分用A 类代替，又该如何切割，才能使钢厂的收益最大，并给出替代比例与最大收益之间的关系。
数学建模合理下料问题
数学建模合理下料问题某钢管零售商从钢管厂进货，然后将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时，每根钢管的长度都是19米①现在有一客户需要50根4米、20根6米、15根8米的钢管，应如何下料最节省？②零售商如果采用的不同切割方式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割方式不能超过3种。
此外，该客户除需要①中的三种钢管外，还需要10根5米的钢管，应如何下料最省？(一)模型假设：1，假设钢管可以任意分割一根钢管可以有以下7种分法：①②③④⑤⑥⑦4米 4 3 2 1 1 0 06米0 1 0 2 1 3 08米0 0 1 0 1 0 2余料 3 1 3 3 1 1 3符号说明：x1-x7，表示对应分割方法下4，6,8米钢管的根数w , 表示所用的19米钢管数h , 表示余料模型分析：要求下料最节省，也即是所用的19米钢管数w最少。
客户需要50根4米、20根6米、15根8米的钢管，可以得到以下方程式：4x1+3x2+2x3+x4+x5>=50x2+2x4+x5+3x6>=20x3+x5+x7>=15Min h=3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7模型求解：上述问题属于线性规划，它可以用单纯形法方法求解，也可以用LINDO软件求解。
用LINDO求解如下：直接输入min 3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7subject to4x1+3x2+2x3+x4+x5=50x2+2x4+x5+3x6=20x3+x5+x7=15end将文件存储并命名后，选择菜单“solve”，并对提示“DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS”回答“是”或“否”。
即可得输出结果。
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 35.00000VARIABLE V ALUE REDUCED COSTX1 0.000000 0.000000X2 10.000000 0.000000X3 5.000000 0.000000X4 0.000000 4.750000X5 10.000000 0.000000X6 0.000000 4.750000X7 0.000000 1.500000模型假设：一根钢管可以有以下15种分法：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂44 3 3 2 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 米0 1 0 2 1 0 3 1 0 2 2 1 1 0 0 5米0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 2 1 3 0 6米0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 2 8米3 2 1 1 0 3 0 2 1 3 1 2 0 1 3 余料符号说明：x1-x15，表示对应分割方法下4，5,6,8米钢管的根数w , 表示所用的19米钢管数h , 表示余料模型分析：要求下料最节省，也即是所用的19米钢管数w最少。
钢管下料数学建模
钢管下料数学建模一、引言钢管下料是工业生产中常见的一项工艺，它涉及到如何将原始的钢管按照预定的尺寸进行切割，以便于后续加工和使用。
在进行钢管下料时，数学建模可以帮助我们计算出最佳的下料方案，以最大程度地减少浪费，提高生产效率。
本文将以钢管下料数学建模为主题，探讨如何利用数学方法求解钢管下料问题。
二、问题描述假设有一根长度为L的钢管，需要按照给定的尺寸进行切割。
切割时需要考虑以下几个因素：1. 切割后的钢管长度需要满足给定的要求；2. 切割时需要考虑钢管的浪费情况，即尽量减少剩余钢管的长度；3. 切割时需要考虑生产效率，即尽量减少切割次数。
三、数学建模钢管下料问题可以抽象为一个数学模型，通过建立数学模型，我们可以计算出最佳的下料方案。
下面将介绍两种常见的数学建模方法。
1. 贪心算法贪心算法是一种简单而常用的数学建模方法，它通过每一步都选择局部最优解来达到全局最优解。
在钢管下料问题中，贪心算法可以按照以下步骤进行：1）将钢管初始长度L赋值给一个变量remain；2）根据给定的尺寸要求，选择一个长度小于等于remain的最大钢管尺寸，将其切割出来；3）将remain减去切割出来的钢管长度，得到剩余的钢管长度；4）重复步骤2和3，直到remain小于等于0。
2. 动态规划动态规划是一种更加复杂但是更加精确的数学建模方法，它通过将原问题划分为多个子问题，并保存子问题的解来求解原问题。
在钢管下料问题中，动态规划可以按照以下步骤进行：1）建立一个长度为L+1的数组dp，dp[i]表示长度为i的钢管的最佳下料方案所需的最少切割次数；2）初始化dp数组，将dp[0]设置为0，其余元素设置为正无穷大；3）从长度为1开始，依次计算dp[1]、dp[2]、...、dp[L]的值；4）最终dp[L]即为所求的最佳下料方案所需的最少切割次数。
四、案例分析为了更好地理解钢管下料数学建模，我们以一个具体的案例进行分析。
假设有一根长度为9米的钢管，需要切割成长度分别为2米、3米和4米的三段钢管。
原料钢管下料非线性优化模型
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Value Row Slack or Surplusபைடு நூலகம்
9 / 10
Variable
X1 X2 X3 X4 A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 A3 B3 C3 D3 A4 B4 C4 D4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
钢管下料最优表 290mm 钢管根数 315mm 钢管根数 350mm 钢管根数 455mm 钢管根数
模式一 1
2
0
2
模式二 0
0
5
0
模式三 2
0
1
2
需原料钢管根数 14 4 1
关键词：钢管下料 总费用最少 整数非线形规划 切割模式
2 / 10
1 问题重述
钢管零售商从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是一定的，而顾客需求的 钢管长度多样，因此零售商必须将钢管按顾客的需求切割后售出。现有一零售商 从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都为 1850mm，有一客户需要 15 根 290mm、 28 根 315mm、21 根 350mm 和 30 根 455mm 的钢管。为了简化生产过程，规定所使 用的切割模式的种类不能超过 4 种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料 钢管价值的 1/10 增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的 2/10 增加费用，依此类推，且每种切割模式下切割次数不能太多，规定一根原 料钢管最多生产 5 根产品，此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪 费不超过 100mm。根据以上约束条件，求解一个最优下料模型，使得总费用最少。
大学论文电气工程与自动化专业数学建模方法与应用课程论文基于最优理论的钢管下料问题
XX 大学本科生课程论文论文题目：基于最优理论的钢管下料问题学院：珠海学院学系：电气自动化研究所专业：电气工程及其自动化课程名称：数学建模方法及应用学生姓名：学号：指导教师：2010年6 月23 日基于最优化理论的钢管下料问题[摘要]本题求解的是钢管下料问题，是一个整数线性规划的优化模型。
问题（1）求解如何下料最为节省，对于如何为最节省，给出两个目标，一个是剩余总余料最省，另一个是切割原料钢管总根数最少。
对于总余料的定义为：每根钢管切割后不能再切割出产品的部分及生产出来而没有卖掉的产品。
两个目标虽然不同，但是最优解中所用的切割模式和切割钢管根数是一样的，因此两个模型具有等价性。
问题（2）求解的是如何下了是总费用最少。
总费用包括两个方面的费用：一是用于购买原料钢管的费用，这部分费用由购买原料钢管总根数决定；二是切割原料钢管的增加费用。
由于切割每根原料钢管的增加费用与原料钢管的价值成正比关系，可以目标函数转化为钢管根数的函数。
根据事实依据增加一些适当的约束条件，使软件快速和有效地求解。
[关键字]：钢管下料优化模型整数规划目录1．问题重述42．问题分析42.1.问题一42.2.问题二53．模型假设54．符号说明65．模型建立与求解65.1.问题一65.2.问题二96．模型检验及评价11参考文献11附录一12附录二151.问题重述某钢管零售商从钢管厂进货,将钢管按照顾客的要求切割后售出. 从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm. 现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm 和30根455mm的钢管.一根原料钢管最多生产5根产品. 此外, 为了减少余料浪费,每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm.（1）应如何下料最节省？（2）为了简化生产过程, 规定所使用的切割模式的种类不能超过4种, 使用频率最高的一种切割模式按照每切割一根原料钢管价值的1/10增加费用, 使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用, 依此类推。
钢管下料
承诺书我们仔细阅读了西安铁路职业技术学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从C/D中选择一项填写）： D我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：西安铁路职业技术学院参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2012 年 6 月 10 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：交卷邮箱：longshoujianmo@交卷时间：截止2012年6月11日早8:30论文题目：关于钢管下料的最优解目录一.摘要……………………………………………………………………2.二.问题的提出 (3)三.问题的分析 (3)四.建模过程………………………………………………………(3至8)1.模型假设…………………………………………………….(3与4)2.定义符号和说明………………………………………….（4与5）3.模型建立……………………………………………………（5至7）4.模型求解…………………………………………………….（7与8）五. 结果分析、模型的评价与改进………………………………………………（8与9）六.参考文献 (9)七.附录……………………………………………………………………….（9至20）1.用Matlab求解切割模式种类的程序及解………………（9至10）2.用LINGO求解余料与根数最优解的程序及解………….（11至20）一. 摘要在生产中常常会遇到这样的问题，就是我们通过用切割、剪裁、冲压等手段将原材料加工成所需大小，这种工艺称为原料下料问题。
数学建模之下料问题
数学建模之下料问题下料问题摘要本文是针对如何对钢管进行下料问题，根据题目要求以及下料时有关问题进行建立切割费用最少以及切割总根数最少两个目标函数通过结果分析需要使用何种切割模式。
生产方式所花费的成本价格或多或少有所不同，如何选取合理的生产方式以节约成本成为了很多厂家的急需解决的问题。
这不仅仅关系到厂家的利益，也影响到一个国家甚至整个人类星球的可利用资源，人们的生活水平不断提高对物资的需求量也不断上升，制定有效合理的生产方式不仅可以为生产者节约成本也可以为社会节约资源，以达到资源利用最大化。
本文以用于切割钢管花费最省及切割总根数最少为优化目标，通过构建多元函数和建立线性整数规划模型，利用数学及相关方面的知识对钢管的切割方式进行优化求解最佳方案。
本文最大的特色在于通过求解出切割钢管花费最省及切割总根数最少时分别得出两种目标函数取最小值时的切割模式。
通过结果发现两种目标函数取最小值时所需切割根数都一样。
于是选择切割钢管花费最省为目标函数，此时的切割模式达到最少，这样既满足了总根数最小有满足了切割费用最小。
关键词：切割模式LINGO软件线性整数一、问题的提出某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后出售。
从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm。
现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。
为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根钢管最多生产5根产品）。
此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料不能超过100mm。
为了使总费用最小，应如何下料？二、基本假设1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm的钢管。
2、假设每次切割都准确无误。
3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。
钢管下料问题
2011西安文理学院数学建模竞赛论文钢管下料问题参赛人：建模：编程：写作：钢管下料问题摘要该问题在于确定钢管切割模式的安排上，是一个优化问题。
我们对题目中A 、B 两种不同钢管的各种限制因素进行分析后，并结合题目要求，找到目标函数和约束条件，建立模型，求解模型，最终结果可以作为零售商零售商采购——销售经营模式的初步参考。
问题一：这是一个INLP （整数线性规划）模型，我们根据订单的要求确立了约束条件，同时我们把所有合理的切割模式统计出来后，A 类和B 类原钢管余料为0m 切割方式分别有5种和13种，因此在不超过5种切割模式的前提下余料为0m 时最省，另外从零售商的利益出发，将所用原钢管的根数限制为最少，并以此为目标函数，通过对lingo 软件求解结果，统计出A 类和B 类原钢管切割模式分别为3种和4种、根数分别为75根和43根，具体切割模式见正文表一和表二。
问题二： 本问同问题一模型是一个INLP 模型，也以耗费原料钢管的数量最少为目标，我们只需在在问题一模型的基础上将余料约束加以修改，改为余料小于或等于客户需要钢管的最小尺寸，现对A 类和B 类钢管的约束为02,1,2,3,4,5i h i ≤≤=，通过对lingo 软件求解结果，统计出A 类和B 类原钢管切割模式分别为4种和5种、根数分别为65根和38根，具体切割模式见正文表三和表四。
问题三：显然这也是一个INLP 模型，该问题是在前两问的基础引进了替代比例k （00.4k ≤≤）和原钢管的价格，在这里为了计算方便可令每根A 类原钢管的单价为1，根据题目要求求钢厂的最大收益，假设A 类和B 类原钢管的单价不变，现将最大收益问题转化为最小花费最少问题，并以此为目标函数，此时的订单约束和余料约束也发生改变，列出新的订单，建立一个同前两问的模型，通过lingo 软件求解结果，通过结果分析钢厂最大收益为158.5，代替比例k 为0.4，具体的切割方式见表五。
数学建模--钢管下料问题
钢管下料问题摘要:如何建立整数规划模型并得出整数规划模型的求解方法是本实验要点,本题建立最常见的线性整数规划,利用分支定界法和Lingo 软件进行求解原料下料类问题，即生产中通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小；按照工艺要求，确定下料方案，使所用材料最省，或利润最大。
分支定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题，此方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。
Lingo 软件的功能是可以求解非线性规划(也可以做线性规划,整数规划等)，特点是运算速度快，允许使用集合来描述大规模的优化问题。
大规模数学规划的描述分为四个部分： model:1．集合部分（如没有，可省略） SETS:集合名/元素1，元素2，…，元素n/：属性1，属性2，… ENDSETS2．目标函数与约束部分3．数据部分（如没有，可省略）4．初始化部分（如不需要初始值，可省略） end关键字：材料 Lingo 软件 整数规划问题描述：某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料都是19米。
（1）现有一顾客需要50根4米、20根6米和15根8 米的钢管。
应如何下料最节省？（2）零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。
此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要10根5米的钢管。
应如何下料最节省。
（1）问题简化：问题1. 如何下料最节省 ? 节省的标准是什么？原料钢管:每根19米 4米50根 6米20根 8米15根问题2. 客户增加需求：由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，规定切割模式不能超过3种。
如何下料最节省？问题分析：切割模式,例如：按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式切割多少根原料钢管，最为节省？两种标准：1.原料钢管剩余总余量最小。
钢管下料数学建模
钢管下料数学建模（实用版）目录一、引言二、钢管下料问题的背景和意义三、数学建模方法和技术的选择四、具体建模方法和解决方案五、结论正文一、引言随着我国经济的快速发展，钢铁工业作为基础产业之一，其生产效率和质量的提升成为了行业面临的重要问题。
其中，钢管下料问题作为钢铁生产过程中的关键环节，如何提高下料效率和减少材料浪费，对于提高整体生产效益具有重要意义。
为此，我们需要对钢管下料问题进行数学建模，以期找到最优解决方案。
二、钢管下料问题的背景和意义钢管下料是指将一根钢管按照一定的切割模式进行切割，得到一定长度的钢管。
这个问题在钢铁、建筑等行业具有普遍性。
钢管下料问题的关键在于如何在满足生产需求的同时，最大限度地减少材料浪费，提高生产效率。
因此，对钢管下料问题进行数学建模，有助于优化资源配置，提高整体生产效益。
三、数学建模方法和技术的选择针对钢管下料问题，我们可以采用数学建模方法进行求解。
数学建模主要包括线性规划、非线性规划、整数规划等。
其中，线性规划适用于求解目标函数线性、约束条件线性的问题；非线性规划适用于求解目标函数非线性、约束条件非线性的问题；整数规划则适用于求解整数解的问题。
针对钢管下料问题，我们可以根据具体情况选择合适的数学建模方法。
四、具体建模方法和解决方案在对钢管下料问题进行数学建模时，我们可以根据实际生产需求和切割模式，建立目标函数和约束条件。
具体来说，可以根据钢管的总长度、不同长度的钢管数量以及切割模式等，建立目标函数和约束条件。
然后，采用相应的数学建模方法，求解最优解，从而得到最佳的切割方案。
五、结论通过对钢管下料问题进行数学建模，我们可以找到最优的切割方案，从而在满足生产需求的同时，最大限度地减少材料浪费，提高生产效率。
数学建模论文钢管下料
数学建模承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
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我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的电子文件名：所属学校（请填写完整的全名）：广西教育学院参赛队员(打印并签名) ：1. 陈夏玲2. 陈秋兰3. 熊明利指导教师或指导组负责人(打印并签名)：日期：2013 年6月16日钢管下料问题的建模与求解问题：某钢管零售商从钢管厂进货将钢管按照顾客的要求切割后售出。
从钢管进货时，得到的原料钢管的原料都是1850mm。
现有一客户需要15根295mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。
为了简化生产过程规定所使用的切割模式的总类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值得1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。
此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm。
为了使总费用最小，应如何下料？二、摘要本文以钢管下料为背景，在尽量减少余料浪费，简化生产过程等约束条件下，应如何选取最优切割方案使总费用最小的问题进行了简要的分析。
首先通过提取问题中的有用信息，即所使用的切割模式的种类不能超过4种，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品）等，可以列出一系列约束条件。
由于切割模式使用频率可以有两种或两种以上相同，为了简便起见，对问题进行了一些简化假设，然后在这些假设下建立了数学规划模型，对问题进行了初步解答。
数学建模论文
中南民族大学数学与统计学学院2012年数学建模竞赛参赛论文【C】【B43】下料问题的优化模型摘要：建立了下料问题的优化模型，使在完成任务的前提下余料最少。
本题以最少余料浪费为目标函数，有效地使用线性规划算法，利用LINGO软件得出最优解。
模型一：对钢管采取8种切割方案建立线性规划模型，在只考虑完成任务的前提下，使用LINGO软件求得余料最少的最优解。
模型二：在模型一的基础上求解，从上一模型的8种切割方案的各余料中选出大于或等于18cm的钢管另作他用。
既保证完成任务又保证拥有20根不短于18cm的钢管。
以最少余料浪费为目标函数建立优化方案，利用LINGO软件得出最优解。
关键词：余料线性规划 LINGO一、问题的描述和提出某车间有长度为160cm的钢管（数量充分多），今要将其截为三种不同长度的钢管若干根。
具体的说，长度为60cm的管料100根，而42cm、30cm分别不少于150根和120根，问应采取怎样的截法，才能完成任务，同时使剩下余料最少。
要求：（1）建立合理的下料问题的数学模型。
（2）欢迎对上述模型进行求解。
（3）对不短于18cm长的下脚料中需要20根另作他用，试建立合理下料问题的数学模型并求解。
（写出详细分析过程及程序）问题一：要采用怎样的截法才能完成任务，同时使余料最少。
建立合理的下料问题模型。
并对建立的模型求解。
问题二：对不短于18cm长的下脚料中需要20根另作他用。
建立合理的下料问题的数学模型并求解。
二、符号说明a：余料总长度。
b：问题1、2中各方案切割根数。
c: 问题2中所需要不短于18cm钢管根数。
d: 各方案最终余料根数。
e：各方案余料长度。
: 按方案1切割钢管的根数。
x1: 按方案2切割钢管的根数。
x2: 按方案3切割钢管的根数。
x3: 按方案4切割钢管的根数。
x4: 按方案5切割钢管的根数。
x5: 按方案6切割钢管的根数。
x6: 按方案7切割钢管的根数。
x7x: 按方案8切割钢管的根数。
数学建模——下料问题
为了使总费用最少，应如何下料？
1.3 问题分析
针对以上问题，作如下分析： 此问题是为了解决投入成本最小为目标的优化问题，我们利用线性规划知识 建立了优化模型。根据原材料费用和题意中切割模式下的产生的附加费用，建立 总费用目标函数。再根据题意中的客户需求和生产限制建立限制条件，得到待求 模型。最终求解模型得到最优解，然后对模型进行了检验和进一步分析可得这个 最优解就是最佳的切割模式分配。
z
a( x1
x2
x3
x4
)
1 10
ax1
2 10
ax2
3 10
ax3
4 10
ax4
（1）
由假设 1，为了满足客户需要 15 根 290mm、28 根 215mm、21 根 350mm 和 30 根 455mm 的钢管，构造如下约束条件：
x1r11 x2r12 x3r13 x4r14 15 x1r21 x2r22 Байду номын сангаасx3r23 x4r24 28 x1r31 x2r32 x3r33 x4r34 21 x1r41 x2r42 x3r43 x4r44 30
r1i , r2i , r3i , r4i 表 示 第 i 种 模 式 下 将 一 根 原 料 钢 管 切 割 成 290mm,215mm,350mm,455mm 钢管的数量
a 为原材料一根钢管的价值
2 模型的建立与求解
2.1 模型的建立
由假设 4，由于目标使得总运费最少，我们建立如下目标函数：
min
（2）
由假设 2,3 为了使每种切割模式下的余料浪费不能超过 100mm，构造如下约束 条件：
1750 290r11 215r21 350r31 455r41 1850 1750 290r12 215r22 350r32 455r42 1850 1750 290r13 215r23 350r33 455r43 1850 1750 290r14 215r24 350r34 455r44 1850
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B题钢管下料问题摘要应客户要求，某钢厂用两类同规格但不同长度的钢管切割出四种不同长度的成品钢管。
故该原料下料问题为典型的优化模型。
钢厂在切割钢管时，又要求每种钢管的切割模式都不能超过5种，故我们先分别列出两种原料钢管出现频率较高的切割模式，每一问都需要针对不同钢管节约要求分别求出5种切割模式的最佳组合。
第一问要求余料最少，在切割模式的选择方面，我们尽量要求余料为零，并在此基础上要求切割得成品钢管除满足客户要求外，多余客户要求的钢管数也要尽可能的少，运用Lingo软件求出余料最少时，需要65根A类钢管采用4种切割模式切割，需要40根B类钢管采用2种切割模式切割，总余料为20米。
第二问要求总根数最少，故我们只要求总根数最少，在这里我们分了两种情况：有余料时，需A类钢管65根，采用5种切割模式，需B类钢管38根，采用4种切割模式，余料各为2米；无余料时，需A类钢管75根，采用3种切割模式，需B类钢管39根，采用4种切割模式。
第三问我们运用Lingo软件求出较优解为当m=0.4时最大收益h=a-159，具体切割模式见模型求解部分。
为了找到替代比例与最大收益的关系，我们分别给m赋值为0、10%、20%、30%、40%时，用Lingo解得各自的最大收益，并用四次拟合的方法大致算出了最大收益z和替代比例m的关系，为432（a为总售出额）。
16385.13h=+-+--mma mm6.37382411.179.72第四问就是将钢厂下料问题一般化，将本文中模型进行推广，得出了可普遍应用的一般化模型。
关键词：优化模型、整数规划模型、线性规划模型、非线性规划模型、Lingo、四次拟合问题重述某钢厂主要生产两种结构用无缝钢管，两类钢管除长度不同外规格无差别，A 类型钢管长度为19米，B 类型钢管长度为29米。
假设某单位要订购该钢厂的一批钢管，要求钢厂将原料钢管按照客户订单的要求进行切割成不同长度，具体如下：钢厂在切割钢管时，要求每种钢管的切割模式都不能超过5种，建立数学模型解决下列问题：（1）在满足订单要求的前提下，如何切割才能使余料最省；（2）在满足订单要求的前提下，如何切割才能使耗费原料钢管的数量最少； （3）如果B 类钢管的单价是A 类钢管的2.5倍，又目前钢厂B 类钢管产量不足，如果客户要求将B 类钢管中的5米、7米和8米三种长度的订货量必须全部满足，而B 类中3米的订货量中可以有不超过40%的部分用A 类代替，又该如何切割，才能使钢厂的收益最大，并给出替代比例与最大收益之间的关系。
（4）如果要求A 类钢管切割模式有1m 种、B 类钢管钢管切割模式有2m 种，每类钢管都需要切割成n 种不同尺寸，且不同钢管种每种尺寸的订货量也不同，试给出求钢管厂最大收益的一般数学模型。
问题分析对于原料下料问题首先要确定采用哪些合理的切割模式。
本题要求每种钢管的切割模式都不能超过5种，于是问题便转化为在满足客户需要的条件下，求出有哪几种合理的模式，每种模式切割多少根原料钢管最为节省。
而所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的总余料量最省，二是切割原料钢管的总根数最省。
第一问即为解决总余料最少的情况。
本问我们计划运用整数规划模型，以最短余料长度为目标函数，运用线性规划、整数规划和非线性规划算法求出最优解。
第二问即为解决总根数最少的情况。
我们还是运用整数规划模型，但以最少原料根数为目标函数，运用线性规划和非线性规划算法求出最优解。
第三问，我们站在钢厂的角度，在考虑成本及实际情况的基础上，用一部分A类钢管替代B类钢管生产3米的成品钢管。
我们计划运用双目标规划模型，分别以钢厂收益和B类钢管可生产出的长度为3米的成品钢管根数为自变量建立目标函数求解。
第四问为解决整个原料下料问题的模型的推广。
模型假设1. 假设原料钢管切割过程中的无原料损耗；2. 假设原料钢管切割过程无因损坏而增加额外费用买进原料钢管的情况；3. 假设原料钢管与顾客所需钢管的大小一致；4. 假设原料钢管进货正常，没有额外追加订单；5. 假设切割得钢管均为合格品。
符号说明模型建立与求解首先要确定采用哪种切割模式是可行的。
所谓切割模式，是按照实际需要在原料上安排切割组合。
确定哪些切割模式是合理的。
通常假设一个合理切割模式的余料应该小于客户需要的钢管的最小尺寸。
在这种合理性假设下，切割模式情况如下表所示。
问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪几种合理的模式，切割多少根钢管最为节省。
而所谓节省，可以有两种标准：a.切割后剩余的总余料量最少；b.切割原料钢管的总根数最少。
下面将对这两个目标分别讨论。
表1 A类钢管满足条件的切割模式表2 B 类钢管满足条件的切割模式5.1 问题一：余料最少5.1.1 模型的建立：针对问题一，我们设定决策变量：:i m 按照第i 种切割模式()5,4,3,2,1=i 切割的钢管的余料量； :i x 表示按照第i 种切割模式()5,4,3,2,1=i 切割的钢管的根数； :1i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的3米成品钢管的根数；:2i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的5米成品钢管的根数；:3i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的7米成品钢管的根数；:4i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的8米成品钢管的根数。
下面为求解本问的约束条件： A 类钢管： 余料长度：()⎩⎨⎧∈≤≤=----=N m m i r r r r m i i ii i i i ，、、、、20543218753194321成品钢管根数满足的约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥++++≥++++≥++++≥++++60407030545444343242141535434333232131525424323222121515414313212111x r x r x r x r x rx r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x rB 类钢管： 余料长度：()⎩⎨⎧∈≤≤=----=N m m i r r r r m i i ii i i i ,20543218753294321、、、、成品钢管根数满足的约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥++++≥++++≥++++≥++++45703525545444343242141535434333232131525424323222121515414313212111x r x r x r x r x rx r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r目标函数：最短余料长度5544332211min x m x m x m x m x m z ++++=该问题的线性规划模型为：5544332211min x m x m x m x m x m z ++++= ()()1234123412341234..1935781234530704060293578123453070406002,.(12345j=1234)i i i i ii ii ii ii i i i i i ii i i ii ii ii i i ji s t m r r r r i rx r x r x r x m r r r r i r x r x r x rx m m N N N i =----=≥≥≥≥=----=≥≥≥≥≤≤∈∈∈=∑∑∑∑∑∑∑∑、、、、、、、、，，x r 、、、、，、、、5.1.2 模型求解：在模型的求解过程中，由于可行解较多，考虑到钢厂的实际生产模式和收支平衡，故我们在原有模型的基础上增加了约束条件：使生产出的成品钢管除满足客户要求外，多处要求的钢管根数在合理的变化范围内。
用Lingo 求解时，我们分别对客户要求3m 、5m 、7m 、8m 钢管根数数量上分别各增加5、10、15(根)，通过大量计算和比较，我们找出了在各增加5根时解较优，如下：表一 A 类钢管的5种切割模式表二 B 类钢管的5种切割模式需A 类钢管65根，采用第一种切割模式切割20根、第二种20根，第三种20根，第四种5根，第五种0根，余料共20米。
需B 类钢管40根，采用第一种切割模式切割0根、第二种25根，第三种15根，第四种0根，第五种0根，无余料。
5.2 问题二：根数最少5.2.1 模型的建立针对问题二，我们设定决策变量：:i m 按照第i 种切割模式()5,4,3,2,1=i 切割的钢管的余料量； :i x 表示按照第i 种切割模式()5,4,3,2,1=i 切割的钢管的根数； :1i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的3米成品钢管的根数；:2i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的5米成品钢管的根数；:3i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的7米成品钢管的根数；:4i r 表示按照第i ()5,4,3,2,1=i 种切割模式下用A 类钢管生产的8米成品钢管的根数。
下面为求解本问的约束条件： A 类钢管： 余料长度：()⎩⎨⎧∈≤≤=----=N m m i r r r r m i i ii i i i ，、、、、20543218753194321成品钢管根数满足的约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥++++≥++++≥++++≥++++60407030545444343242141535434333232131525424323222121515414313212111x r x r x r x r x rx r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x rB 类钢管： 余料长度：()⎩⎨⎧∈≤≤=----=N m m i r r r r m i i ii i i i ,20543218753294321、、、、成品钢管根数满足的约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥++++≥++++≥++++≥++++45703525545444343242141535434333232131525424323222121515414313212111x r x r x r x r x rx r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r x r目标函数：切割原料钢管的总根数最少54321min x x x x x z ++++=该问题的线性规划模型为：54321min x x x x x z ++++= ()()1234123412341234..1935781234530704060293578123453070406002,.(12345j=1234)i i i i ii ii ii ii i i i i i ii i i ii ii ii i i ji s t m r r r r i rx r x r x r x m r r r r i r x r x r x rx m m N N N i =----=≥≥≥≥=----=≥≥≥≥≤≤∈∈∈=∑∑∑∑∑∑∑∑、、、、、、、、，，x r 、、、、，、、、5.2.2 模型的求解在模型的求解过程中，由于可行解较多，考虑到钢厂的实际生产模式和收支平衡，故我们在原有模型的基础上增加了约束条件：即分成有预料和无余料两种情况求的较优解。