张量分析——初学者必看

§A-4 张量的代数运算
六、张量的双叉乘
A 张量分析
A B ( Aijkei e j ek )(Brst er es et ) Aijkei e jrm em Brst eksn en et e jrm eksn Aijk Brst ei em en et S Simnt e jrm eksn Aijk Brst
八、指标置换
A 张量分析
A Aijkei e j ek
两个二阶张量点积的结果为一个新的二阶张量,这 相当于矩阵相乘
§A-4 张量的代数运算
五、张量的双点积
A 张量分析
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 4
A : B ( Aijkei e j ek )(Brst er es et ) Aijk Brst jr ksei et Aijk B jktei et S
Aijk xi y j zk
代表27项 的和式
二、自由指标
§ A-1 指标符号
A11 x1 A12 x2 A13 x3 b1 A21 x1 A22 x2 A23 x3 b2 A31 x1 A32 x2 A33 x3 b3
筒写为
Aij x j bi
j ——哑指标 i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式 中必须相同
A 张量分析
T A B ( Aij Bij )eie j Tijeie j
二、矢量与张量的点积(点乘)
矢量与张量点乘的结果仍为张量,新张量b比原张量 T的阶数降低一阶
左点乘
a T (ai ei ) (Tjk e j ek ) aiTjk ijek b
§A-3 坐标变换与张量的定义
A 张量分析
[ii ],[ii ]
互逆、正交矩阵
1 0 ii ii ij 0 1
基矢量变换式
ei ii ei ei iiei
坐标变换系数
任意向量变换式
vi iivi ii vi
§A-3 坐标变换与张量的定义
A 张量分析
x1 x1 cos x2 sin x2 x1 sin x2 cos
x1 x1 cos x2 sin x2 x1 sin x2 cos
坐标变换式
xi ii xi xi ii xi
ii cos(xi , xi ) ii cos(xi , xi )
左叉乘
a T (ai ei ) (T jk e j ek ) aiT jk eijrer ek eijr aiT jk er ek A
§A-4 张量的代数运算
三、矢量与张量的叉积
右叉乘
A 张量分析
T a (Tij ei e j ) (ak ek ) Tij ak ei e jkrer e jkrTij ak ei er B
A 张量分析
张量的定义——在坐标系变换时,满足如下变
换关系的量称为张量
ijkl ii jjkk llijkl
张量的阶——自由指标的数目
不变性记法
ijkl ei e j ek el
§A-3 坐标变换与张量的定义
一、加(减)法
§A-4 张量的代数运算
七、张量的缩并
A 张量分析
在张量的不变性记法中, 将某两个基矢量点乘, 其结果是一个较原张量低二阶的新张量, 这种运 算称为缩并
A Aijei e j
A Aijei e j Aij ij Aii A11 A22 A33
§A-4 张量的代数运算
§A-4 张量的代数运算
四、两个张量的点积
A 张量分析
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 2
A B ( Aijk ei e j ek ) ( Brs t er es et ) Aijk Brs t ei e j kr es et Aijk Bkst ei e j es et S
指标符号
i—指标——取值范围为小于或等于n的所有正整数
n—维数
§ A-1 指标符号
一、求和约定和哑指标
A 张量分析
S a1 x1 a2 x2 an xn
S ai xi a j x j
i 1 j 1 n n
求和指标 与所用的 字母无关 指标重复 只能一次
约定
S ai xi a j x j
指标范围
用拉丁字母表示3维，希腊字母表2维
一、求和约定和哑指标
§ A-1 指标符号
双重求和
Aij xi y j
i 1 j 1
3
3
Aij xi y j A11 x1 y1 A12 x1 y2 A13 x1 y3 A21 x2 y1 A22 x2 y2 A23 x2 y3 A31 x3 y1 A32 x3 y2 A33 x3 y3
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号 (Ricci符号) Kronecker-符号定义
11 12 13 1 0 0 ij 21 22 23 0 1 0 1 31 32 33 0 0 1
ij a j i1a1 i 2 a2 i 3a3 ai im Amj Aij
ii 11 22 33 3 ik kj ij ij ij ii jj 3 ij jk kl il
aik kj aij aij ij aii a11 a22 a33 ai ij a j
§A-4 张量的代数运算
右点乘
A 张量分析
T a (Tij ei e j ) (ak ek ) Tij ak ei jk Tij a j ei c
a T T a
对称张量两 者才相等
§A-4 张量的代数运算
三、矢量与张量的叉积
A 张量分析
矢量与张量叉乘的结果仍为张量, 新张量与原 张量同阶
§A-2 矢量的基本运算
三、矢量的混合积
A 张量分析
a b c eijk ai b j ek cr er eijk ai b j cr kr eijk ai b j ck
ei e j ek eijrer ek eijr rk eijk
Ricci符号
ab a1b1e1e1 a1b2e1e2 a1b3e1e3
§A-3 坐标变换与张量的定义
A 张量分析
x x cos y sin y x sin y cos
x x cos y sin y x sin y cos
§A-3 坐标变换与张量的定义
ei ik ek e j jk ek
i1 i 2 i 3 ei e j j1 j 2 j 3
e1 e2 e3 erst ir jset eijtet eijk ek
§A-2 矢量的基本运算
二、矢量叉积
A 张量分析
a b ai ei b j e j ai b j ei e j ai b j eijk ek eijk ai b j ek c ck eijk ai b j
a11 A a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a11a22 a33 a12 a23 a31 a33
a13 a21a32 a13 a22 a31 a12 a21a33 a11a23 a32 eijk a1i a2 j a3k eijk ai1a j 2 ak 3
e321
31 32 33 0 0 1 21 22 23 0 1 0 1 11 12 13 1 0 0
eijk e jik eikj ekji eijk e jki ekij
i1 i 2 i 3 p1 q1 r1 j1 j 2 j 3 p 2 q 2 r 2 k1 k 2 k 3 p 3 q 3 r 3
直角坐标系的 基矢量
ei e j ij
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
Ricci符号定义
eijk
偶次置换
1 若i, j , k 1,2,3, 2,3,1, 3,1,2 1 若i, j , k 3,2,1, 2,1,3, 1,3,2 0 若有两个或三个指标相 等
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
Kronecker-符号定义
1 ji ij 0
当i j 当i j
当i, j 1,2,3时，有 11 22 33 1
12 21 23 32 31 13 0
Kronecker-和Ricci符号的关系
ekijekst is jt js it
§A-2 矢量的基本运算
在三维空间中, 任意矢 量都可以表示为三个基 矢量的线性组合
A 张量分析
e1 , e2 , e3
a a1e1 a2e2 a3e3 ai ei
ai为矢量a在基矢量ei下的分解系数, 也称矢量
eijk e pqr
i1 p1 i 2 p 2 i3 p3 i1 p1 ip
eijke pqr
ip iq ir jp jq jr kp kq kr
pk eijk ekqr
iq ir iq jr ir jq jq jr
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
奇次置换
§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
Ricci符号定义
i1 i 2 i 3 i1 j1 k1 eijk j1 j 2 j 3 i 2 j 2 k 2 k1 k 2 k 3 i 3 j 3 k 3
附A 张量ห้องสมุดไป่ตู้析
§ A-1 指标符号 例如, 三维空间任意一点P在笛卡儿坐 标系
x1 , x2 , x3
用指标符 号表示为
xi ,
i 1,2,3
数
a1 , a2 , a3 , , an x1 , x2 , x3 , , xn
变量
ai , i 1,2, , n xi , i 1,2, , n
的分量
一、矢量点积
ei e j ij
§A-2 矢量的基本运算
一、矢量点积
A 张量分析
a b ai ei b j e j ai b j ij ai bi a j b j
二、矢量叉积
ei e j eijkek
§A-2 矢量的基本运算
二、矢量叉积
证明
A 张量分析
§A-2 矢量的基本运算
四、矢量的并乘(并矢)
A 张量分析
a ai ei , b b j e j
并乘
ab ai ei b j e j ai b j ei e j
a2b1e2e1 a2b2e2e2 a2b3e2e3 a3b1e3e1 a3b2e3e2 a3b3e3e3